Istituzioni ed Esercitazioni di Matematica...
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Trigonometria
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Trigonometria
La misura degli angoli
La misura degli angoli
•Gradi sessagesimali
•Gradi centesimali
•Radianti
I radianti
Il radiante è quell’arco che
rettificato è uguale al raggio
Un radiante è la misura di un angolo il cui
arco corrispondente è lungo quanto il raggio
della circonferenza cui l’arco appartiene.
I radianti
l
r
rl
α
α : 360°= ρ : 2π
Le funzioni goniometriche
O
P
Qα
Le funzioni goniometriche
O
P
Qα
P’P’’
Q’ Q’’
' ' '' ''
' ''
PQ P Q P Q
OP OP OP sin
Le funzioni goniometriche
O
P
Qα
P’P’’
Q’ Q’’' ''
' ''
OQ OQ OQ
OP OP OP cos
2 2cos sin 1
Le funzioni goniometriche
O
P
Qα
P’P’’
Q’ Q’’
' ' '' ''
' ''
PQ P Q P Q
OQ OQ OQ tan tg
sin
cos
Le funzioni goniometriche
O
P
Qα
P’P’’
Q’ Q’’
secOP
OQ
1
cos cos
OPec
PQ
1
sin
cotOQ
gPQ
1
t g
Le funzioni trigonometriche
x
y
OP=r=1
P
AαOQ
sinPQ
PQOP
cosOQ
OQOP
2 2cos sin 1
Le funzioni trigonometriche
x
y OP=OA=r=1
P
AαO
tanPQ BA
BAOQ OA
B
Qsin
tancos
≠0
Le funzioni trigonometriche
x
y
OP=OC=r=1
P
AαO
cotOQ CB
g CBPQ OC
B
Q
C
Angoli fondamentali
x
yOP=r=1
P
AαOQ
α=45°=π/4
α2
sin4 2
2cos
4 2
tan 14
PQ
OQ
OQ=PQ
Angoli fondamentali
x
yOP=r=1
P
AαOQ
α=30°=π/6
3cos
6 2
3tan
6 3
OP=PP’=OP’
2α
P’
α
2α
PQ=OP/21sin6 2
Angoli fondamentali
x
yOP=r=1
P
Aα=60°OQ
α=60°= π/3
3sin
3 2
tan 33
OQ=OP/21
cos3 2
30°
Angoli complementari
x
y
P
AαOQ
P’
tan cot2
g
Q’
90°-α
OP=OP’=r=1
PQ=OQ’sin cos2
OQ=P’Q’cos sin2
Angoli fondamentali
x
yOP=r=1
P
AαOQ
α=60°=π/3
1cos
3 2
3sin
3 2
tan 33
Angoli supplementari
x
y
P
AαO Q
P’
tan tan
Q’
180°-α
OP=OP’=r=1
PQ=P’Q’ sin sin
OQ=OQ’ cos cos
Angoli esplementari o opposti
x
y
P
Aα
OQ
P’
tan tan 2 tan( )
360°-α
OP=OP’=r=1
PQ=P’Q sin sin 2 sin( )
OQ cos cos 2 cos( )
-α
Angoli che differiscono di 90°
x
y
P
AαO Q
P’
tan cot2
g
Q’
90°+α
OP=OP’=r=1
PQ=OQ’sin cos2
OQ=P’Q’cos sin2
Angoli che differiscono di 180°
x
y
P
AαO Q
P’ tan tan
Q’180°+α
OP=OP’=r=1
PQ=P’Q’ sin sin
OQ=OQ’ cos cos
α sin α
0 0
π/6 1/2
π/4 √2/2
π/3 √3/2
π/2 1
π/2 < α < π sin (π/2+α)=sin (π/2-α)
π 0
π < α < 3π/2 sin (π+α)=-sin α
3π/2 -1
3π/2 < α < 2π sin (2π-α)=-sin α
Sinusoide
α cos α
0 1
π/6 √3/2
π/4 √2/2
π/3 1/2
π/2 0
π/2 < α < π cos (π/2+α)=-cos (π/2-α)
π -1
π < α < 3π/2 cos (π+α)=-cos α
3π/2 0
3π/2 < α < 2π cos (2π-α)=cos α
Cosinusoide
α tan α
0 0
π/6 √3/3
π/4 1
π/3 √3
π/2 Non definita
π/2 < α < π tg (π/2+α)=-tg (π/2-α)
π 0
π < α < 3π/2 tg (π+α)=tg α
3π/2 Non definita
3π/2 < α < 2π tg (2π-α)=-tg α
Tangentoide
Equazioni trigonometriche elementari
x
ycos α = q
P
Aα
O
Q
-1≤q≤1
1-1
-1<q<1 2 soluzioni:α, 2π-α (-α)
2π-α
Equazioni trigonometriche elementari
x
ycos α = q
A
O 1-1
-1<q<1 2 soluzioni:α, -α
q=1 1 soluzione: 0P
Equazioni trigonometriche elementari
x
ycos α = q
P Aπ
O 1-1
-1<q<1 2 soluzioni:α, π-α
q=1 1 soluzione: 0
q=-1 1 soluzione: π
Equazioni trigonometriche elementari
x
y cos α = q
A
O
q>1 Nessuna soluzione
1
-1
-1<q<1 2 soluzioni:α, -α
q=1 1 soluzione: 0
q=-1 1 soluzione: π
q<-1
Nessuna soluzione
Equazioni trigonometriche elementari
x
ysin α = p
P
Aα
O
Q -1≤p≤11
-1
-1<p<1 2 soluzioni:α, π-α
π-α
Equazioni trigonometriche elementari
x
ysin α = p
P
Aπ/2
O
1
-1
-1<p<1 2 soluzioni:α, π-α
p=1 1 soluzione: π/2
Equazioni trigonometriche elementari
x
ysin α = p
P
A3π/2
O
1
-1
-1<p<1 2 soluzioni:α, π-α
p=1 1 soluzione: π/2
p=-1 1 soluzione: 3π/2
Equazioni trigonometriche elementari
x
y sin α = p
A
Op>1 Nessuna
soluzione
1
-1
-1<p<1 2 soluzioni:α, π-α
p=1 1 soluzione: π/2
p=-1 1 soluzione: 3π/2
p<-1
Nessuna soluzione
Equazioni trigonometriche elementari
x
ytg α = m
PAα
O
Q
1
-1
mR 2 soluzioni:α, π+α
π+αATTENZIONE:
α≠π/2α≠3π/2
Equazioni trigonometriche elementari
1sin
2x
3cos
2x
tan 1x
sin 1x
2cos
2x
tan 3x
2sin 2
2x
2 cos(2 ) 1 04
x
tan 12
x
Equazioni trigonometriche riconducibili ad elementari
sin sin2x x
Equazioni risolubili mediante applicazione della legge di annullamento del prodotto
22sin 3sin 0x x
tan (1 sin ) 0x x
Equazioni trigonometriche riconducibili ad elementari
22sin 1x
Equazioni contenenti una sola funzione goniometrica
23 tan 4 tan 3 0x x
1 1 22
1 cos cos 1 3x x
Equazioni trigonometriche riconducibili ad elementari
22sin 3cos 0x x
Equazioni riconducibili ad una sola funzione goniometrica
2tan cot 3
3x anx
Disequazioni trigonometriche elementari
x
ycos α < q
P
Aα*
O
Q
-1≤q≤1
1-1
-1<q<1 Soluzione:α*<α<2π-α*
2π-α*cos α = q
Disequazioni trigonometriche elementari
x
ycos α < q
A
O 1-1
-1<q<1
q=1 Soluzione: 0<α<2π
P
Soluzione:α*<α<2π-α*
Disequazioni trigonometriche elementari
x
ycos α < q
P A
O 1-1q≤-1 Nessuna
soluzione
-1<q<1
q=1 Soluzione: 0<α<2π
Soluzione:α*<α<2π-α*
Disequazioni trigonometriche elementari
x
ysin α > p
P
Aα*
O
Q1
-1
-1≤p<1 1 soluzione:α*<α<π-α*
π-α*
Disequazioni trigonometriche elementari
x
ysin α > p
A
O
1
-1
-1≤p<1 1 soluzione:α*<α<π-α*
p=-1 1 soluzione:0<α<3π/2 U3π/2<α<2 π
Disequazioni trigonometriche elementari
x
ysin α > p
A
1
-1
-1≤p<1 1 soluzione:α*<α<π-α*
p=-1 1 soluzione:0<α<3π/2 U3π/2<α<2 π
p=1 Nessuna soluzione
Disequazioni trigonometriche elementari
x
ytg α > m
PAα*
O
Q
1
-1
mR Soluzione:α*<α<π/2 Uπ+α*<α< 3π/2
π+α*
Disequazioni trigonometriche elementari
3tan 3x
2sin 1x
1 2cos
2 2x
