1

Introduzione

La copertura globale, la tridimensionalità delle misure e la precisione fanno

del GPS uno strumento estremamente efficace per il calcolo della posizione di

un punto sulla superficie terrestre.

Risulta tuttavia molto complesso pensare ad un utilizzo di tale sistema per la

navigazione nello spazio e lontano dalla Terra, come nel caso di missioni

all’interno del Sistema Solare o al di fuori di esso.

Alcuni studiosi (Coll, 2006; Rovelli, 2002; Blagojevic, 2002; Tartaglia e

Ruggiero, 2007; Bini, 2008), nel corso di questi anni, hanno proposto sistemi

in grado di servirsi delle linee di universo di segnali elettromagnetici

provenienti da corpi celesti, al fine di effettuare un posizionamento

relativistico nello spazio.

E’ risultato immediato, a tale scopo, pensare di utilizzare dei set di pulsar,

stelle di neutroni comparabili a “fari” stellari, come sorgenti di tali segnali

elettromagnetici, data la loro capacità di emettere impulsi a periodi

estremamente regolari.

Nel presente lavoro di tesi verrà presentato dunque un approccio

matematico all’uso di emettitori pulsanti, situati a distanza infinita rispetto

all’osservatore, per definire un sistema di navigazione e di posizionamento

spaziale completamente relativistico.

Verrà mostrato inoltre come le pulsar possono essere utilizzate a tale scopo e

particolare attenzione verrà rivolta all’analisi delle fonti di errore e delle

incertezze relative al metodo di calcolo.

Sarà presentato infine un algoritmo in grado di ricavare, partendo dalla

simulazione di ricezione di segnali pulsar, il posizionamento di un punto

nello spazio, nonché di ricostruire la sua orbita.

2

Capitolo 1 Pulsar

Alla fine della loro vita, le stelle aventi una massa di circa dieci volte

superiore a quella solare esplodono come supernovae: questa esplosione può

portare alla nascita di una stella di neutroni, nome dovuto alla sua

composizione interna. Tali corpi celesti risultano avere una massa pari a circa

1,5 masse solari ed un raggio di circa 10 km, il che implica densità enormi

(dell’ordine di 1014 g/cm3) (Figura 1.1).

Figura 1.1: la stella di neutroni.

Una stella di neutroni isolata, senza alcuna materia attorno ad essa, è

pressoché invisibile: la sua altissima temperatura la porta ad emettere

un’esigua quantità di radiazione visibile ma, data la sua piccola dimensione,

la luce emessa non è rilevabile a distanze astronomiche.

3

Se, al contrario, la stella di neutroni ha una compagna oppure è circondata da

materia (ad esempio una nube di gas), questa può cederle massa: in tal caso

la stella di neutroni si rende visibile e può manifestarsi sotto varie forme.

Le pulsar – pulsating stars – sono una di tali forme osservabili dalla Terra.

Esse derivano il loro nome dalla capacità di emissione di impulsi di

radiazione fortemente direzionali. Furono scoperte nel 1967 da Jocelyn Bell,

studentessa presso l'Università di Cambridge, e Antony Hewish, vincitore del

premio Nobel per la fisica nel 1974, mentre stavano cercando di studiare la

scintillazione delle quasar1.

Le stelle di neutroni ruotano in modo molto rapido dopo la loro creazione per

via della legge di conservazione del momento angolare: una stella di neutroni

appena nata può ruotare molte volte al secondo. In generale, la velocità

angolare massima che questi corpi possono raggiungere dipende dalla forza

di coesione dei protoni all'interno degli stessi. In questo giocano un ruolo

fondamentale sia la forza di gravità che la forza di interazione forte2.

Col tempo le stelle di neutroni rallentano la rotazione dal momento che i loro

campi magnetici, molto intensi, irradiano energia verso l'esterno. Questo

effetto è detto frenamento magnetico: nel caso delle pulsar, il frenamento

magnetico aumenta l'intervallo tra un impulso e un altro.

Il ritmo a cui una stella di neutroni rallenta la propria rotazione è comunque

costante e molto lento: i ritmi osservati sono tra 10-12 e 10-19 secondi al

secolo. Le stelle di neutroni con un campo magnetico più debole, inoltre,

risentono di un frenamento magnetico meno efficace, impiegando dunque più

tempo per rallentare.

__________________________________________________________________

1 Una quasar (contrazione di quasi-stellar radio source, radiosorgente quasi stellare) è un oggetto astronomico che somiglia ad una stella in un telescopio ottico (cioè è una sorgente puntiforme), e che mostra un grande spostamento verso il rosso (redshift) del suo spettro. Con scintillazione si indica la rapida variazione della luminosità o del colore di un oggetto luminoso distante, osservato attraverso l’atmosfera terrestre.

2 Trattasi della forza che tiene legati neutroni e protoni nei nuclei degli atomi e, su distanze nucleari (10-13 cm), essa vince su quella elettromagnetica.

4

Queste differenze infinitesimali sono facilmente e precisamente misurabili da

orologi atomici, sui quali ogni osservatore di pulsar si sincronizza.

Il campo magnetico di questi corpi celesti, cento miliardi di volte superiore a

quello terrestre, può essere in generale approssimato ad un campo di dipolo

simile a quello di un’enorme calamita. Tale modello spiega il fenomeno

pulsar: la materia ionizzata catturata dal campo magnetico (principalmente

elettroni) viene convogliata verso i poli magnetici della stella. L'accelerazione

che ne consegue porta gli elettroni a velocità prossime a quella della luce e

provoca l'emissione di onde elettromagnetiche, soprattutto alle lunghezze

d'onda radio.

Il fatto che l'emissione non avvenga su una superficie sferica, ma solo nelle

due regioni polari, nonché il disallineamento dell'asse di rotazione rispetto a

quello magnetico, fan sì che le pulsar si comportino come dei fari: quando la

nostra linea di vista intercetta uno (o entrambi) i coni di emissione, allora

vediamo la radiazione emessa per il tempo che impiega tale cono ad

attraversare tale linea (Figura 1.2).

Percepiamo quindi l'emissione come un impulso con periodo uguale a quello

di rotazione della stella di neutroni (la metà se entrambi i coni intercettano la

nostra linea di vista).

Figura 1.2: il “fenomeno pulsar”.

5

Capitolo 2 Relativistic positioning

2.1 Emission Coordinates

Lo spazio-tempo è un concetto fisico, diretta conseguenza della teoria della

relatività ristretta, che combina le classiche nozioni tradizionalmente distinte

di spazio e di tempo in un solo costrutto unico e omogeneo. Secondo la

relatività generale, spazio e tempo costituiscono dunque una varietà

geometrica3 a quattro dimensioni, deformata a causa della presenza del

campo gravitazionale.

I punti dello spazio-tempo sono detti “eventi” e ciascuno di essi corrisponde

ad un fenomeno che si verifica in una certa posizione spaziale in un

determinato istante (vedi Appendice A). Al fine di localizzare un evento nello

spazio-tempo, sono necessari quattro parametri indipendenti: potremmo

banalmente considerare le tre coordinate spaziali cartesiane ed una

coordinata temporale, ma in generale è sufficiente una quaterna di valori

numerici indipendenti.

Consideriamo allora quattro orologi atomici, per semplicità in caduta libera

(moto geodetico4), che trasmettano regolarmente il proprio tempo tramite

segnali elettromagnetici.

__________________________________________________________________

3 In geometria, una varietà è un concetto abbastanza generale definito con lo scopo di modellare "spazi a più dimensioni", eventualmente curvi, che "visti con una lente di ingrandimento" sembrano piatti e simili allo spazio euclideo, ma che visti globalmente possono assumere le forme più svariate.

4 Le geodetiche descrivono la traiettoria di un punto materiale in presenza di un campo gravitazionale.

6

Un osservatore che è in grado di ricevere tali segnali da ognuno dei quattro

emettitori può dunque ottenere, in qualsiasi momento, i tempi corretti di

emissione del segnale di ciascuna sorgente.

Ogni quaterna formata da questi tempi dipende dalla posizione nello spazio-

tempo del ricevitore e ad essa è univocamente associato un evento: risulta

che i quattro tempi veicolati dai segnali elettromagnetici rappresentano

effettivamente un buon set di coordinate per individuare la posizione di un

osservatore nello spazio-tempo.

Queste coordinate sono dunque note come emission coordinates, coordinate

di emissione.

2.2 Posizionamento relativistico

Analizziamo ora il metodo di calcolo per il posizionamento di un osservatore

nello spazio tramite l’utilizzo delle emission coordinates. Tale approccio è

stato già affrontato da diversi autori: qui faremo riferimento in particolar

modo al modello proposto dal Prof. A. Tartaglia e dai suoi collaboratori in

[1], [2], [3].

2.2.1 Definizione del Sistema di riferimento e composizione della Griglia nello spazio-tempo

Prendiamo in esame una singola sorgente di onde elettromagnetiche, fissa

nello spazio e in grado di emettere impulsi periodici: a distanza infinita, un

osservatore percepirà i singoli fronti d’onda come piani e, nel complesso, il

segnale come un set di fronti d’onda planari che si muovono alla velocità

della luce. Dal momento che lo spazio-tempo di Minkowski (vedi Appendice

A) è quadridimensionale, risulta più corretto identificare ogni impulso in un

iperpiano5.

__________________________________________________________________

5 Dato uno spazio di dimensione finita n, è detto iperpiano un sottospazio di dimensione n-1. In questo caso il nostro iperpiano avrà dimensione 3.

7

L’orientamento del segnale è quindi definito da un quadrivettore6 nullo7,

ortogonale a tali iperpiani e che può essere espresso nella forma:

𝒇𝒇 = 𝑓𝑓𝜇𝜇 = (𝑓𝑓0, 𝑓𝑓1, 𝑓𝑓2, 𝑓𝑓3) = 1

𝑐𝑐𝑐𝑐(1, 𝐧𝐧�) (2.1)

dove c è la velocità della luce e T rappresenta il periodo degli impulsi forniti

in un sistema di riferimento dove la sorgente è fissa.

𝐧𝐧� è un versore di tipo spazio, a tre dimensioni, che descrive la direzione di

propagazione del segnale in un sistema a coordinate cartesiane di origine

arbitraria: le sue componenti sono i coseni direttori del vettore rispetto agli

assi (vedi Appendice B).

Il fattore 1/cT è infine utile per ottenere quattro coordinate fisicamente

omogenee.

Dal momento che stiamo parlando di impulsi elettromagnetici, il

quadrivettore 𝒇𝒇 è auto-normale, ovvero si ha che 𝒇𝒇 ∙ 𝒇𝒇 = 0.

Consideriamo ora N sorgenti fisse che emettono segnali periodici

caratterizzati ciascuno da una frequenza e da una direzione nello spazio.

Al fine del calcolo della posizione di un ricevitore nello spazio, sono

necessarie almeno quattro sorgenti. Consideriamo dunque N pari a 4: si

avranno quattro famiglie di iperpiani, definite ciascuna da un quadrivettore

𝒇𝒇, che si intersecheranno le une con le altre e andranno a formare nell’intero

spazio circostante una sorta di reticolo o griglia.

Identificando tali sorgenti con gli indici 𝑎𝑎, 𝑏𝑏, 𝑐𝑐 e 𝑑𝑑, risulta che i quattro

quadrivettori nulli �𝒇𝒇(𝑎𝑎) , 𝒇𝒇(𝑏𝑏), 𝒇𝒇(𝑐𝑐), 𝒇𝒇(𝑑𝑑)� , essendo linearmente indipendenti,

rappresentano una base nello spazio-tempo di Minkowski e dunque un

sistema di riferimento nullo.

__________________________________________________________________

6 In relatività ristretta, un quadrivettore, o tetravettore, è un vettore dello spazio-tempo di Minkowski, rappresentato da una quadrupla di valori che nelle trasformazioni di coordinate tra due riferimenti inerziali rispetta le trasformazioni di Lorentz. m:=(m0,m1,m2,m3)=(ct,x,y,z). Vedi Appendice A.

7 Il termine “nullo” nel corso del presente testo indicherà grandezze vettoriali di tipo luce. Vedi Appendice A.

8

Introduciamo ora, nel medesimo sistema di riferimento in cui è definito il

vettore di propagazione del segnale e quindi sempre rispetto ad un’origine

arbitraria, il quadrivettore di posizione 𝒓𝒓 = (𝑐𝑐𝑐𝑐, 𝐱𝐱�), con 𝐱𝐱� vettore spaziale a

tre dimensioni.

Tale quadrivettore può anche essere scritto, secondo il formalismo delle

tetradi9 e utilizzando la convenzione di Einstein8, nella forma:

𝒓𝒓 = 𝑋𝑋(𝑁𝑁)𝒇𝒇(𝑁𝑁) = 𝑋𝑋(𝑁𝑁)𝒇𝒇(𝑁𝑁) , 𝑁𝑁 = 𝑎𝑎, 𝑏𝑏, 𝑐𝑐, 𝑑𝑑 (2.2)

dove è utile precisare che, mentre il sistema �𝒇𝒇(𝑁𝑁)� = �𝒇𝒇(𝑎𝑎) , 𝒇𝒇(𝑏𝑏), 𝒇𝒇(𝑐𝑐), 𝒇𝒇(𝑑𝑑)� è

costituito da vettori nulli, il sistema �𝒇𝒇(𝑁𝑁)� = { 𝒇𝒇(𝑎𝑎), 𝒇𝒇(𝑏𝑏), 𝒇𝒇(𝑐𝑐), 𝒇𝒇(𝑑𝑑)} è costituito

da vettori di tipo spazio.

Lo scalare X è una funzione relativa all’evento spazio-temporale che,

identificata appunto dal quadrivettore 𝒓𝒓, può essere pensata come la

differenza di fase dell’onda, descritta da 𝒇𝒇, rispetto al suo valore nell’origine

del sistema una volta raggiunto l’evento:

𝑋𝑋(𝒓𝒓) = 𝒇𝒇 ∙ 𝒓𝒓 . (2.3)

L’operatore “∙” identifica il prodotto scalare di Minkowski.

Le quattro differenze di fase

𝑋𝑋(𝑁𝑁) = 𝒇𝒇(𝑁𝑁) ∙ 𝒓𝒓, (2.4)

relative ad ogni evento 𝒓𝒓, sono coordinate nulle e definiscono dunque un

sistema di coordinate nullo.

Inoltre, dal momento che sono legate fisicamente alla recezione di segnali

elettromagnetici emessi dalle sorgenti, sono a tutti gli effetti anche delle

emission coordinates.

__________________________________________________________________

8 Secondo questa convenzione, ogni indice che compare all'interno di un fattore più di una volta deve essere sommato al variare di tutti i possibili valori che l'indice può assumere. Nelle applicazioni più comuni l'indice può valere 1,2,3 (per calcoli nello spazio euclideo), o 1,2,3,4 (per calcoli nello spazio di Minkowski), ma esso può variare in qualsiasi intervallo.

9 Il formalismo tetrade è un approccio alla relatività generale che sostituisce una scelta di coordinate locali alla scelta meno restrittiva di una base locale.

9

In sostanza, se consideriamo gli iperpiani relativi al sistema nullo

�𝒇𝒇(𝑎𝑎) , 𝒇𝒇(𝑏𝑏), 𝒇𝒇(𝑐𝑐), 𝒇𝒇(𝑑𝑑)�, nella griglia da essi definita rispetto ad un’origine

arbitraria ogni evento è identificato da una propria fase dei segnali

elettromagnetici: le coordinate dell’evento sono date, in tale sistema di

riferimento, dalle funzioni { 𝑋𝑋(𝑁𝑁)}. Allo stesso modo, per la (2.2), le fasi { 𝑋𝑋(𝑁𝑁)}

rappresentano le coordinate del sistema { 𝒇𝒇(𝑎𝑎), 𝒇𝒇(𝑏𝑏), 𝒇𝒇(𝑐𝑐), 𝒇𝒇(𝑑𝑑)}.

Se un osservatore si trovasse allora in moto nello spazio-tempo, la sua linea

di universo andrebbe ad intercettare una serie di iper-celle di tale griglia,

aventi i bordi di lunghezza pari a cT(a), cT(b), cT(c), cT(d): l’intersezione fra la

linea di universo ed un iperpiano identificherebbe l’evento di ricezione del

corrispondente impulso.

2.2.2 Posizionamento all’interno della griglia per N=4 sorgenti

Supponiamo che l’osservatore sia dotato di un ricevitore in grado di

riconoscere e contare gli impulsi provenienti da ciascuna delle sorgenti di

segnali elettromagnetici periodici (nel nostro caso reale quattro pulsar

opportunamente scelte). Al fine del calcolo è quindi fondamentale conoscere

i quattro vettori 𝐧𝐧� di propagazione dei vari segnali e le frequenze ν proprie di

questi ultimi.

Ammettiamo inoltre che il ricevitore sia dotato di un orologio atomico in

grado di misurare con precisione, per ogni pulsar, gli intervalli temporali fra

l’arrivo di un impulso e il successivo.

Costruiamo allora il sistema di riferimento inerziale delle sorgenti e poniamo

nella sua origine (arbitraria) un evento iniziale 𝒓𝒓 = 0, dal quale vengono

misurate le fasi di ciascun segnale. Chiameremo ricezione l’evento

corrispondente all’arrivo di un impulso da una sorgente.

Ad un successivo evento 𝒓𝒓 associamo le quattro differenze di fase (2.4): in

accordo alla (2.2) è possibile ottenere le coordinate dell’evento in funzione

delle differenze di fase misurate:

𝒓𝒓 = 𝑋𝑋(𝑎𝑎)𝒇𝒇(𝑎𝑎) + 𝑋𝑋(𝑏𝑏)𝒇𝒇(𝑏𝑏) + 𝑋𝑋(𝑐𝑐)𝒇𝒇(𝑐𝑐) + 𝑋𝑋(𝑑𝑑)𝒇𝒇(𝑑𝑑). (2.5)

10

Le 𝑋𝑋(𝑁𝑁), dal momento che i segnali emessi delle pulsar non sono continui e

consistono di una serie di impulsi, sono esprimibili come somma di un valore

intero n, che numera l’ordine di arrivo di tali impulsi, e da una frazione χ , il

cui valore solitamente varia da 0 a 1:

𝑋𝑋(𝑎𝑎) = 𝑛𝑛(𝑎𝑎) + 𝜒𝜒(𝑎𝑎) , (2.6)

𝑋𝑋(𝑏𝑏) = 𝑛𝑛(𝑏𝑏) + 𝜒𝜒(𝑏𝑏) , (2.7)

𝑋𝑋(𝑐𝑐) = 𝑛𝑛(𝑐𝑐) + 𝜒𝜒(𝑐𝑐) , (2.8)

𝑋𝑋(𝑑𝑑) = 𝑛𝑛(𝑑𝑑) + 𝜒𝜒(𝑑𝑑) , (2.9)

Nelle equazioni (2.6 - 2.9), solo una delle χ sarà in generale a zero: quando

arriva, per esempio, un impulso dalla sorgente a, 𝜒𝜒(𝑎𝑎) sarà pari a zero,

mentre 𝜒𝜒(𝑏𝑏), 𝜒𝜒(𝑐𝑐), 𝜒𝜒(𝑑𝑑) no. Parimenti, quando arriva un impulso dalla sorgente

b, 𝜒𝜒(𝑏𝑏) sarà pari a zero mentre le altre tre frazioni no, e così via.

Una volta scelta un’origine arbitraria, il ricevitore è in grado di contare gli

impulsi per ottenere le n(N); non ha tuttavia mezzi per misurare in modo

diretto i valori frazionari 𝜒𝜒(𝑁𝑁). Essi possono comunque essere ricavati tramite

calcolo numerico, a seguito di opportune ipotesi geometriche: supponiamo

che l'accelerazione dell'utente sia molto piccola nel corso di una serie limitata

di eventi di ricezione e che la sua linea di universo possa essere quindi

identificata, in questo intervallo, con una linea retta. Tale ipotesi è detta di

linearità. Sapendo che l’osservatore è in grado di misurare il corretto

intervallo di tempo τij tra l’evento di arrivo i-esimo e j-esimo, procediamo

come segue per determinare i valori frazionari χ.

Prendiamo in considerazione due sequenze10 di tempi di arrivo dalle

sorgenti: abbiamo otto eventi, ciascuno dei nella forma

𝒓𝒓𝑗𝑗 = 𝑋𝑋(𝑎𝑎)𝑗𝑗 𝒇𝒇(𝑎𝑎) + 𝑋𝑋(𝑏𝑏)𝑗𝑗 𝒇𝒇(𝑏𝑏) + 𝑋𝑋(𝑐𝑐)𝑗𝑗 𝒇𝒇(𝑐𝑐) + 𝑋𝑋(𝑑𝑑)𝑗𝑗 𝒇𝒇(𝑑𝑑), 𝑗𝑗 = 1, … 8, (2.10)

dove le 𝑋𝑋(𝑁𝑁)𝑗𝑗 sono espressioni come le (2.6 - 2.9).

__________________________________________________________________

10 Essi possono essere successivi o no, purché l'intervallo di tempo totale non faccia decadere l'ipotesi di linearità della linea di universo.

11

Gli eventi sono disposti in modo tale che 𝒓𝒓1 sia l'arrivo del segnale generico

dalla pulsar 𝑎𝑎 e 𝒓𝒓2, 𝒓𝒓3, 𝒓𝒓4 siano gli arrivi del primo segnale, dopo 𝒓𝒓1,

rispettivamente delle pulsar 𝑏𝑏, 𝑐𝑐 e 𝑑𝑑. 𝒓𝒓5 è l'arrivo del segnale successivo della

pulsar 𝑎𝑎, e così via. Le pulsar sono ordinate in funzione del periodo: dal più

grande, corrispondente ad 𝑎𝑎, al più breve, corrispondente a 𝑑𝑑.

L’ipotesi geometrica della planarità dei fronti d’onda consente di scrivere il

quadrivettore spostamento tra due eventi di ricezione come:

𝒓𝒓𝑖𝑖𝑗𝑗 = 𝒓𝒓𝑖𝑖 − 𝒓𝒓𝑗𝑗 = �𝑋𝑋(𝑁𝑁)𝑖𝑖 − 𝑋𝑋(𝑁𝑁)𝑗𝑗 �𝒇𝒇(𝑁𝑁) = Δ𝑋𝑋(𝑁𝑁)𝑖𝑖𝑗𝑗 𝒇𝒇(𝑁𝑁) . (2.11)

Prendiamo ora in considerazione tre eventi di ricezione successivi i, j, k :

𝒓𝒓𝑗𝑗𝑖𝑖 = Δ𝑋𝑋(𝑁𝑁)𝑗𝑗𝑖𝑖 𝒇𝒇(𝑁𝑁) , 𝒓𝒓𝑘𝑘𝑗𝑗 = Δ𝑋𝑋(𝑁𝑁)𝑘𝑘𝑗𝑗 𝒇𝒇(𝑁𝑁) . (2.12)

Grazie all’ipotesi di linearità possiamo scrivere: 𝜏𝜏𝑗𝑗𝑖𝑖

𝜏𝜏𝑘𝑘𝑗𝑗=

Δ𝑋𝑋(𝑎𝑎)𝑗𝑗𝑖𝑖

Δ𝑋𝑋(𝑎𝑎)𝑘𝑘𝑗𝑗=

Δ𝑋𝑋(𝑏𝑏)𝑗𝑗𝑖𝑖

Δ𝑋𝑋(𝑏𝑏)𝑘𝑘𝑗𝑗=

Δ𝑋𝑋(𝑐𝑐)𝑗𝑗𝑖𝑖

Δ𝑋𝑋(𝑐𝑐)𝑘𝑘𝑗𝑗=

Δ𝑋𝑋(𝑑𝑑)𝑗𝑗𝑖𝑖

Δ𝑋𝑋(𝑑𝑑)𝑘𝑘𝑗𝑗, (2.13)

dove τji e τkj sono i tempi corretti trascorsi rispettivamente tra l'i-esimo e il j-

esimo evento di ricezione e il j-esima e il k-esimo.

Queste relazioni ci permettono di ottenere i valori χ che ci interessano:

possiamo organizzare infatti i coefficienti dell’equazione (2.10) in una

matrice 8 × 4 (8 eventi, 4 fonti):

𝑋𝑋(𝑁𝑁)𝑖𝑖 =

⎝

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎛

𝑛𝑛1(𝑎𝑎) 𝑛𝑛1

(𝑏𝑏) + 𝜒𝜒1(𝑏𝑏)

𝑛𝑛2(𝑎𝑎) + 𝜒𝜒2

(𝑎𝑎) 𝑛𝑛2(𝑏𝑏)

𝑛𝑛1(𝑐𝑐) + 𝜒𝜒1

(𝑐𝑐) 𝑛𝑛1(𝑑𝑑) + 𝜒𝜒1

(𝑑𝑑)

𝑛𝑛2(𝑐𝑐) + 𝜒𝜒2

(𝑐𝑐) 𝑛𝑛2(𝑑𝑑) + 𝜒𝜒2

(𝑑𝑑)

𝑛𝑛3(𝑎𝑎) + 𝜒𝜒3

(𝑎𝑎) 𝑛𝑛3(𝑏𝑏) + 𝜒𝜒3

(𝑏𝑏)

𝑛𝑛4(𝑎𝑎) + 𝜒𝜒4

(𝑎𝑎)

𝑛𝑛5(𝑎𝑎)

𝑛𝑛6(𝑎𝑎) + 𝜒𝜒6

(𝑎𝑎)

𝑛𝑛7(𝑎𝑎) + 𝜒𝜒7

(𝑎𝑎)

𝑛𝑛8(𝑎𝑎) + 𝜒𝜒8

(𝑎𝑎)

𝑛𝑛4(𝑏𝑏) + 𝜒𝜒4

(𝑏𝑏)

𝑛𝑛5(𝑏𝑏) + 𝜒𝜒5

(𝑏𝑏)

𝑛𝑛6(𝑏𝑏)

𝑛𝑛7(𝑏𝑏) + 𝜒𝜒7

(𝑏𝑏)

𝑛𝑛8(𝑏𝑏) + 𝜒𝜒8

(𝑏𝑏)

𝑛𝑛3(𝑐𝑐) 𝑛𝑛3

(𝑑𝑑) + 𝜒𝜒3(𝑑𝑑)

𝑛𝑛4(𝑐𝑐) + 𝜒𝜒4

(𝑐𝑐)

𝑛𝑛5(𝑐𝑐) + 𝜒𝜒5

(𝑐𝑐)

𝑛𝑛6(𝑐𝑐) + 𝜒𝜒6

(𝑐𝑐)

𝑛𝑛7(𝑐𝑐)

𝑛𝑛8(𝑐𝑐) + 𝜒𝜒8

(𝑐𝑐)

𝑛𝑛4(𝑑𝑑)

𝑛𝑛5(𝑑𝑑) + 𝜒𝜒5

(𝑑𝑑)

𝑛𝑛6(𝑑𝑑) + 𝜒𝜒6

(𝑑𝑑)

𝑛𝑛7(𝑑𝑑) + 𝜒𝜒7

(𝑑𝑑)

𝑛𝑛8(𝑑𝑑) ⎠

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎞

(2.14)

Come si vede, le χ assumono valore zero lungo le diagonali principali della

metà matrice superiore e di quella inferiore.

Questo avviene in corrispondenza degli arrivi degli impulsi provenienti dalle

varie pulsar: all’arrivo di un impulso da 𝑎𝑎, la corrispondente 𝜒𝜒(𝑎𝑎) è zero;

parimenti all’arrivo di un impulso da 𝑏𝑏, 𝜒𝜒(𝑏𝑏) è zero, e così via.

12

Utilizzando le relazioni della (2.13) si ottengono i valori frazionari nei

termini degli intervalli corretti di tempo misurati dall’osservatore. Avremo:

𝜒𝜒1(𝑎𝑎) = 0,

𝜒𝜒1(𝑏𝑏) = 𝑛𝑛2

(𝑏𝑏) − 𝑛𝑛1(𝑏𝑏) − �𝑛𝑛6

(𝑏𝑏) − 𝑛𝑛2(𝑏𝑏)�

𝜏𝜏21

𝜏𝜏62,

𝜒𝜒1(𝑐𝑐) = 𝑛𝑛3

(𝑐𝑐) − 𝑛𝑛1(𝑐𝑐) − �𝑛𝑛7

(𝑐𝑐) − 𝑛𝑛3(𝑐𝑐)�

𝜏𝜏31

𝜏𝜏73,

𝜒𝜒1(𝑑𝑑) = 𝑛𝑛4

(𝑑𝑑) − 𝑛𝑛1(𝑑𝑑) − �𝑛𝑛8

(𝑑𝑑) − 𝑛𝑛4(𝑑𝑑)�

𝜏𝜏41

𝜏𝜏84,

𝜒𝜒2(𝑎𝑎) = 𝑛𝑛1

(𝑎𝑎) − 𝑛𝑛2(𝑎𝑎) + �𝑛𝑛5

(𝑎𝑎) − 𝑛𝑛1(𝑎𝑎)�

𝜏𝜏21

𝜏𝜏51,

𝜒𝜒2(𝑏𝑏) = 0,

𝜒𝜒2(𝑐𝑐) = 𝑛𝑛3

(𝑐𝑐) − 𝑛𝑛2(𝑐𝑐) + �𝑛𝑛7

(𝑐𝑐) − 𝑛𝑛3(𝑐𝑐)�

𝜏𝜏23

𝜏𝜏73,

𝜒𝜒2(𝑑𝑑) = 𝑛𝑛4

(𝑑𝑑) − 𝑛𝑛2(𝑑𝑑) + �𝑛𝑛8

(𝑑𝑑) − 𝑛𝑛4(𝑑𝑑)�

𝜏𝜏24

𝜏𝜏84,

𝜒𝜒3(𝑎𝑎) = 𝑛𝑛1

(𝑎𝑎) − 𝑛𝑛3(𝑎𝑎) + �𝑛𝑛5

(𝑎𝑎) − 𝑛𝑛1(𝑎𝑎)�

𝜏𝜏31

𝜏𝜏51,

𝜒𝜒3(𝑏𝑏) = 𝑛𝑛2

(𝑏𝑏) − 𝑛𝑛3(𝑏𝑏) − �𝑛𝑛6

(𝑏𝑏) − 𝑛𝑛2(𝑏𝑏)�

𝜏𝜏23

𝜏𝜏62,

𝜒𝜒3(𝑐𝑐) = 0,

𝜒𝜒3(𝑑𝑑) = 𝑛𝑛4

(𝑑𝑑) − 𝑛𝑛3(𝑑𝑑) + �𝑛𝑛8

(𝑑𝑑) − 𝑛𝑛4(𝑑𝑑)�

𝜏𝜏34

𝜏𝜏84,

𝜒𝜒4(𝑎𝑎) = 𝑛𝑛1

(𝑎𝑎) − 𝑛𝑛4(𝑎𝑎) + �𝑛𝑛5

(𝑎𝑎) − 𝑛𝑛1(𝑎𝑎)�

𝜏𝜏41

𝜏𝜏51,

𝜒𝜒4(𝑏𝑏) = 𝑛𝑛2

(𝑏𝑏) − 𝑛𝑛4(𝑏𝑏) − �𝑛𝑛6

(𝑏𝑏) − 𝑛𝑛2(𝑏𝑏)�

𝜏𝜏24

𝜏𝜏62,

𝜒𝜒4(𝑐𝑐) = 𝑛𝑛3

(𝑐𝑐) − 𝑛𝑛4(𝑐𝑐) − �𝑛𝑛7

(𝑐𝑐) − 𝑛𝑛3(𝑐𝑐)�

𝜏𝜏34

𝜏𝜏73,

𝜒𝜒4(𝑑𝑑) = 0,

13

e via seguendo.

Spostando la coppia di sequenze e ripetendo le operazioni passo dopo passo,

siamo in grado di ricostruire l'intera linea di universo del ricevitore in

termini di tempi di arrivo.

Richiamiamo a questo punto l’equazione (2.4): essa ci permette di calcolare

le esatte coordinate �̅�𝑥 di ogni evento 𝒓𝒓 e, per farlo, può essere scritta in forma

di sistema lineare:

𝐴𝐴�̅�𝑥 = 𝑦𝑦� (2.15)

in cui il vettore 𝑦𝑦� ha come componenti le differenze di fase X(N)

precedentemente ricavate:

𝑦𝑦� =

⎝

⎜⎛

𝑋𝑋(𝑎𝑎)𝑋𝑋(𝑏𝑏)𝑋𝑋(𝑐𝑐)𝑋𝑋(𝑑𝑑)⎠

⎟⎞

, (2.16)

mentre la matrice

𝐴𝐴 =

⎝

⎜⎛

𝑓𝑓(𝑎𝑎)0 −𝑓𝑓(𝑎𝑎)

1

𝑓𝑓(𝑏𝑏)0 −𝑓𝑓(𝑏𝑏)

1−𝑓𝑓(𝑎𝑎)

2 −𝑓𝑓(𝑎𝑎)3

−𝑓𝑓(𝑏𝑏)2 −𝑓𝑓(𝑏𝑏)

3

𝑓𝑓(𝑐𝑐)0 −𝑓𝑓(𝑐𝑐)

1

𝑓𝑓(𝑑𝑑)0 −𝑓𝑓(𝑑𝑑)

1−𝑓𝑓(𝑐𝑐)

2 −𝑓𝑓(𝑐𝑐)3

−𝑓𝑓(𝑑𝑑)2 −𝑓𝑓(𝑑𝑑)

3 ⎠

⎟⎞

(2.17)

ha come componenti le 𝒇𝒇(𝑁𝑁), che, come visto, sono dipendenti sia dai periodi

dei segnali 𝑐𝑐(𝑁𝑁) = (𝑐𝑐𝑓𝑓(𝑁𝑁)0 )−1, sia dai coseni direttori 𝑛𝑛(𝑁𝑁)

𝑖𝑖 = 𝑐𝑐𝑐𝑐(𝑁𝑁)𝑓𝑓(𝑁𝑁)𝑖𝑖 , indicanti

le posizioni angolari delle sorgenti.

Essendo gli 𝐧𝐧�(𝑁𝑁) tutti differenti, A risulta essere una matrice non singolare: il

generico vettore

�̅�𝑥 = �𝑥𝑥0

𝑥𝑥1

𝑥𝑥2

𝑥𝑥3

� = �𝑐𝑐𝑐𝑐𝑥𝑥𝑦𝑦𝑧𝑧

� , (2.18)

appartenente a ℝ4 (da non confondere quindi con un quadrivettore), potrà

pertanto essere calcolato tramite il sistema �̅�𝑥 = 𝐴𝐴−1𝑦𝑦� e l’utente sarà in grado

di ricavare per ogni evento di ricezione degli impulsi la propria posizione

nello spazio.

14

E’ opportuno ricordare che il metodo di calcolo qui descritto fornisce

soluzioni rispetto ad un’origine scelta arbitrariamente in un sistema di

riferimento in cui le sorgenti sono fisse: ciò significa che esso non provvede

ad un posizionamento assoluto nello spazio, bensì relativo ad un evento

iniziale che si collocherà in tale origine. All’atto pratico, dunque, la

localizzazione esatta di un utente in moto nello spazio è possibile a patto di

conoscere le coordinate relative al punto di partenza, corrispondenti

all’evento di ricezione iniziale, ovvero il momento in cui viene acceso il

ricevitore.

2.3 Errori sistematici e limiti del metodo di calcolo

L'errore sistematico (o determinato) è definito come lo scostamento tra il

valore ottenuto con una misurazione ed il valore reale della grandezza

studiata: è indice dell'accuratezza11 dei dati. È detto sistematico perché è

costante al ripetersi della misura e, per questo, non può essere eliminato con

la ripetizione della misurazione, come avviene per l'errore statistico.

In generale, gli errori sistematici dipendono dalla scarsa conoscenza di alcuni

parametri del sistema o da una ricostruzione non corretta o approssimativa

dei processi fisici alla base del modello di calcolo.

2.3.1 Sorgenti in movimento

Ipotesi base del modello di calcolo proposto è considerare le sorgenti di

segnali pulsanti fisse nello spazio, a distanza infinita: questo comporta un

errore sistematico, dal momento che qualsiasi sorgente, in particolare una

pulsar, possiede un moto proprio ed è locata ad una distanza finita

dall’osservatore.

__________________________________________________________________

11 L'accuratezza è il grado di corrispondenza del dato teorico, desumibile da una serie di valori misurati (campione di dati), con il dato reale o di riferimento, ovvero la differenza tra valor medio campionario e valore vero o di riferimento.

15

Ad ogni modo, considerando appunto il caso di pulsar reali, è stato stimato

che il rateo di variazione della posizione angolare è genericamente

dell’ordine di 10−6 �100 pc𝑑𝑑

� rad all’anno: in pratica, è possibile considerare tali

sorgenti fisse nello spazio per diversi mesi prima di correggere il valore dei

coseni direttori relativi alla direzione di propagazione dei loro segnali. Si

presuppone, ovviamente, la conoscenza del comportamento delle pulsar nel

tempo.

La grande distanza che ci separa da esse, infine, permette di mantenere

valida la seconda ipotesi iniziale.

2.3.2 Aumento del periodo dei segnali pulsar

E’ noto che, come visto nel capitolo 1, le pulsar sono soggette al frenamento

magnetico, il quale comporta una perdita di energia da parte della stella.

Questa perdita si traduce in un aumento del periodo dei segnali

elettromagnetici da essa emessi: in generale, comunque, essendo anche

questo rateo di decadimento noto e molto piccolo, è possibile considerare i

periodi delle pulsar “fissi” per lungo tempo (compatibilmente all’accuratezza

richiesta) per poi essere corretti.

2.3.3 Ipotesi di planarità

Al fine del calcolo è utile garantire che, per tempi sufficientemente brevi, i

fronti d’onda dei segnali emessi dalle sorgenti possano essere considerati

delle superfici piane.

Per giustificare la validità di tale assunzione in un contesto fisico reale,

possiamo pensare che la velocità relativa di un emettitore rispetto

all’osservatore sia, ad oggi, dell’ordine di 104 m/s: ciò implica uno

spostamento massimo dell’ordine del metro durante il periodo di

integrazione dell’algoritmo. A distanze molto elevate questo spostamento è

percepito come una variazione angolare dai μrad fino ai nrad. Anche

considerassimo un’accelerazione relativa dell’emettitore rispetto al

16

ricevitore, la più alta credibile porterebbe a una variazione della velocità

dell’ordine del cm/s: lo scostamento dalla planarità sarebbe dell’ordine di

1/1019, tranquillamente trascurabile dunque per tempi brevi di ricezione e

integrazione.

2.3.4 Ipotesi di linearità

Cerchiamo di giustificare ora l’ipotesi di linearità, introdotta in 2.2.2, e di

analizzare la validità di tale approssimazione, secondo cui è possibile, per

tempi sufficientemente brevi e corrispondenti a pochi eventi di ricezione,

considerare la linea di universo dell’osservatore come una retta.

Chiamiamo δτ12 la precisione dell'orologio montato sul ricevitore e definiamo

il massimo intervallo di tempo Δτmax , cosicché valga la seguente relazione:

𝛥𝛥𝜏𝜏𝑚𝑚𝑎𝑎𝑥𝑥 = �2 𝑣𝑣 𝛿𝛿𝜏𝜏 𝑎𝑎

, (2.19)

dove 𝑎𝑎 rappresenta l’ordine di grandezza dell’accelerazione dell’utente, 𝑣𝑣 la

sua velocità.

Supponiamo allora che l’utente sia in movimento nello spazio-tempo con, per

esempio, δτ ≃ 10-10 s, 𝑣𝑣 = 5×105 m/s e 𝑎𝑎 = 1 m/s2: per la (2.19) il Δτmax

sarà dell’ordine di 10-2 s. Tale intervallo è corrispondente a diversi periodi di

emissione dei segnali di una pulsar millisecondo13 ed è sufficiente al fine

della ricostruzione a tratti della linea di universo.

In realtà, lo scostamento della linea di universo dell'utente dalla linearità può

anche essere dovuto alla curvatura dello spazio-tempo, ossia alla presenza di

un campo gravitazionale.

__________________________________________________________________

12 In questa δτ dovremmo in realtà includere anche le variazioni dovute al moto proprio e al decadimento del periodo delle pulsar, che consideriamo costante durante ogni singola fase di processo; questi ultimi sono comunque effetti da considerarsi di gran lunga inferiori a quelli dovute alla accelerazione del ricevitore.

13 Una Pulsar millisecondo (MSP) è una pulsar con un periodo rotazionale compreso tra 1 e 10 millisecondi. Può essere visibile nella porzione dello spettro in microonde o nei raggi X.

17

Chiamando ϕ il suo potenziale, poniamo che 𝑎𝑎 sia dello stesso ordine di

grandezza del campo gravitazionale indotto dal Sole alla distanza di 1 AU14:

𝑎𝑎 = |∇ϕ| = 10-3 m/s2. Se consideriamo una velocità 𝑣𝑣 = 103 m/s otteniamo

ancora che, sempre per la (2.19), Δτmax = 10-2 s.

E’ possibile allora far riferimento a casi reali in fisica per i quali ha senso

l'ipotesi di linearità: limitatamente ad essi, la procedura di calcolo descritta

per il posizionamento di un utente nello spazio-tempo è dunque valida.

2.3.5 Influenza del campo gravitazionale

Oltre a condizionare l’andamento della linea di universo dell’osservatore, la

presenza di campi gravitazionali influenza anche la propagazione dei segnali

elettromagnetici nello spazio.

Al fine di un posizionamento reale nel Sistema Solare, nonostante il modello

matematico proposto si sviluppi sotto l’ipotesi di moto nello spazio-tempo

piatto di Minkowski, risulta comunque ovvio che si debba tenere conto degli

effetti del campo gravitazionale del Sole (come di qualsiasi altro corpo celeste

maggiore) e che vadano poste nuove condizioni al calcolo.

L’ordine di grandezza del campo gravitazionale statico relativo al Sole è di

circa 10−8 (1 𝐴𝐴𝐴𝐴𝑅𝑅

) e raggiunge valore massimo nelle sue vicinanze:

𝐺𝐺 𝑀𝑀𝑆𝑆𝑐𝑐 2 𝑅𝑅

= 𝛿𝛿𝑆𝑆 ≈ 10−6. Tale campo condiziona i tempi di arrivo degli impulsi

elettromagnetici provenienti dalle sorgenti: questo effetto risulta rilevante

solo nel caso in cui i tempi di arrivo subiscano variazioni di quantità

comparabili ai tempi di integrazione dell’algoritmo.

Immaginiamo allora che un utente stia viaggiando nello spazio con velocità 𝐯𝐯�

e direzione radiale 𝐫𝐫� rispetto al Sole (solo questa componente è di interesse).

__________________________________________________________________

14 1 AU (Astronomical Unit) = 149598000 kilometri. Esprimiamo la distanza in AU cosicché ad una distanza pari a 1 corrisponda la posizione della Terra.

18

Gli effetti dovuti al suo moto in un intervallo di tempo δt sono espressi in

termini di variazioni in frazioni di periodo dei segnali: sapendo che

𝛿𝛿𝑆𝑆,𝑣𝑣 = 𝐺𝐺 𝑀𝑀𝑠𝑠𝑐𝑐 2𝑅𝑅2 𝐯𝐯� ∙ 𝐫𝐫� 𝛿𝛿𝑐𝑐 è quindi possibile fissare un limite superiore al valore

accettabile di δt affinché l’effetto sia compatibile con la tolleranza richiesta

dall’algoritmo.

In ogni caso, la presenza di questi disturbi diventa trascurabile nel caso si

scelgano sorgenti a grande distanza nello spazio come, appunto, le pulsar.

2.4 Incertezze ed errori relativi

Dopo aver discusso gli errori sistematici legati al modello fisico che è alla

base del calcolo, esaminiamo ora gli errori relativi alla procedura in sé e alle

incertezze connesse alle variazioni stocastiche delle grandezze coinvolte nel

processo di posizionamento.

Consideriamo allora, nuovamente, il sistema (2.15). Mentre le componenti

della matrice A sono affette da errori sistematici, la misura delle fasi soffre di

errori casuali: è possibile calcolare il massimo errore relativo 𝛿𝛿�̅�𝑥 sulle

soluzioni �̅�𝑥 quantificando gli errori su A e stimando tramite un’analisi

statistica l’incertezza sulla misura delle fasi.

Definiamo dunque una norma appropriata, per esempio ‖𝐴𝐴‖ = �∑ �𝑎𝑎𝑖𝑖 ,𝑗𝑗 �2

𝑖𝑖 ,𝑗𝑗 e

‖�̅�𝑥‖ = �∑ |𝑥𝑥𝑖𝑖|2𝑖𝑖 . Vale la seguente relazione:

𝛿𝛿�̅�𝑥 ≤ 𝑘𝑘(𝐴𝐴)2𝛿𝛿𝐴𝐴 (2.20)

dove 𝛿𝛿�̅�𝑥 = ‖∆𝑥𝑥̅‖‖𝑥𝑥̅‖

, 𝛿𝛿𝐴𝐴 = ‖∆𝐴𝐴‖‖𝐴𝐴‖ e 𝑘𝑘(𝐴𝐴) è il numero di condizionamento del sistema

(2.15). Se supponiamo che gli errori relativi ∆𝑐𝑐/𝑐𝑐 dei periodi e ∆𝑛𝑛𝑖𝑖 dei coseni

direttori siano più o meno gli stessi per tutte le sorgenti e in ogni direzione,

allora l’equazione (2.20) ci permette di scrivere:

𝛿𝛿�̅�𝑥 ≤ 𝑘𝑘(𝐴𝐴)2 ���∆𝑐𝑐𝑐𝑐

�2

+32

(∆𝑛𝑛)2� . (2.21)

19

𝑘𝑘(𝐴𝐴) è sempre maggiore o uguale a 1 e, nel nostro caso, possiamo scrivere:

𝑘𝑘(𝐴𝐴) ∝1

|det(𝐴𝐴)|2 �1

𝑐𝑐(𝑁𝑁)2 𝑐𝑐2

4

𝑁𝑁

. (2.22)

Possiamo notare che l’errore relativo è minimo quando il determinante della

matrice A e i periodi sono massimi. Dal momento che le componenti spaziali

della matrice A sono i coseni direttori, il determinante è massimo quando è

massimo il volume individuato da questi vettori.

2.4.1 Geometric Dilution of Precision (GDOP)

Al fine di garantire una maggiore accuratezza al calcolo, è utile analizzare le

proprietà prettamente geometriche del sistema (2.15), in particolar modo le

posizioni angolari delle sorgenti dislocate nel cielo.

Faremo dunque riferimento ad una grandezza di fondamentale importanza

anche per i sistemi GPS: il GDOP, ovvero il Geometric Dilution of Precision.

Esso ci permette di valutare l’affidabilità del nostro set di quaterne, in

funzione della posizione nello spazio delle sorgenti, l’una rispetto all’altra.

Il GDOP è calcolabile tramite la matrice delle covarianze15 degli errori di

posizionamento. Tale matrice può essere espressa come:

cov(�̅�𝑥) = [𝐴𝐴𝑐𝑐cov(𝑦𝑦�)𝐴𝐴]−1 (2.23)

Se gli errori nelle misurazioni delle differenze di fase sono scorrelati e

distribuiti in maniera Gaussiana, con media zero e varianza 𝜎𝜎(𝑁𝑁)2 , la matrice

diventa:

cov(�̅�𝑥) = �𝐴𝐴𝑐𝑐diag(𝜎𝜎(𝑎𝑎)2 , 𝜎𝜎(𝑏𝑏)

2 , 𝜎𝜎(𝑐𝑐)2 , 𝜎𝜎(𝑑𝑑)

2 )𝐴𝐴�−1

(2.24)

__________________________________________________________________

15 La matrice delle covarianze rappresenta la variazione di coppie di variabili aleatorie in una analisi statistica di un fenomeno, cioè rappresenta il modo in cui ogni variabile varia rispetto alle altre.

20

Il GDOP è allora definito come:

GDOP = �Tr�cov(�̅�𝑥)� (2.25)

dove con “Tr” indichiamo la traccia16 della matrice.

Considerando ora il caso in cui le misurazioni delle fasi abbiano la stessa

varianza 𝜎𝜎2 ed utilizzando la notazione in cofattori17 per scrivere

(𝐴𝐴𝑐𝑐𝐴𝐴)−1 = 1|det (𝐴𝐴)|2 (cof A)T(cof A) , possiamo esprimere il GDOP come:

GDOP = σ

|det(𝐴𝐴)|2 �Tr(cof A)T(cof A) (2.26)

Risulta anche qui fondamentale il ruolo del determinante di A al fine di

minimizzare gli errori: il GDOP è minimo quando gli angoli compresi fra le

direzioni relative alle sorgenti sono massimi.

2.4.2 Disposizione delle pulsar nello spazio

Avendo discusso la dipendenza dell’accuratezza del calcolo rispetto alle

proprietà geometriche del sistema, è utile sottolineare che la maggioranza

delle pulsar ad oggi scoperte è concentrata lungo il disco galattico, ovvero il

piano di simmetria della Galassia.

Questa distribuzione planare delle sorgenti è interessante al momento del

posizionamento perché pone un limite minimo al GDOP, causando la

presenza di un errore che, seppur piccolo, non è eliminabile.

__________________________________________________________________

16 In matematica, si definisce traccia di una matrice quadrata la somma di tutti gli elementi della sua diagonale principale.

17 In algebra lineare, il cofattore descrive una particolare costruzione che è utile per calcolare sia determinante e l’inversa di matrici quadrate.

21

Capitolo 3 Posizionamento con N>4 pulsar

Fino ad ora abbiamo considerato, al fine del calcolo, un numero minimo di

sorgenti pari a quattro: il perché di tale numero è dettato dal fatto che le

coordinate necessarie a localizzare un punto nello spazio sono appunto

quattro (tre spaziali ed una temporale).

E’ comunque molto sensato e conveniente utilizzare un numero N di sorgenti

maggiore: il metodo di calcolo rimarrebbe invariato, ma si applicherebbe ad

ogni possibile quadrupla contenuta in N e la posizione finale sarebbe

determinata come media dei risultati ottenuti per ciascuna quadrupla. E’

possibile, in questo modo, smorzare gli effetti dei disturbi casuali

sull’emissione dei segnali.

Inoltre, se una sorgente dovesse venire meno per qualsiasi motivo (ad

esempio nel caso di eclissi), la localizzazione non verrebbe interrotta.

3.1 Simulazione numerica

Al fine di valutare la bontà del metodo e di applicarlo ad un numero di

sorgenti superiore a quattro, abbiamo scritto in codice MATLAB un algoritmo

in grado di simulare la ricezione degli impulsi elettromagnetici e la

misurazione dei tempi di arrivo per ricostruire la traiettoria ellittica nota di

un punto materiale nello spazio (vedi Appendice C).

Si è dunque fatto riferimento a quindici millisecond pulsar18 reali supposte

__________________________________________________________________

18 Una pulsar millisecondo è una pulsar con un periodo rotazionale compreso tra 1 e 10 ms.

22

fisse nello spazio e i cui parametri principali, riportati nella Tabella 1, sono

stati presi dal Catalogo Pulsar ATNF [4].

I quadrivettori base 𝒇𝒇 di ogni sorgente sono stati ottenuti calcolando i coseni

direttori a partire dai parametri relativi alle coordinate ellittiche delle pulsar

scelte e ricorrendo alla formula (2.1), con N pari a 15. Si è assunto di

conoscere sia periodi che coseni direttori con un’accuratezza limitata alla

sola precisione numerica.

Ricevendo segnali da svariati emettitori, la posizione finale del ricevitore

deve essere calcolata come media dei risultati ottenuti per ciascuna

quadrupla q contenuta in N: è necessario dunque calcolare le combinazioni

ℂN,k , con k=4. In totale, esse saranno 𝑄𝑄 = �𝑁𝑁𝑘𝑘 � = �15

4 � = 1365 .

Con l’obiettivo di minimizzare gli errori relativi, come visto in 2.4 e in 2.5,

abbiamo ritenuto opportuno scegliere, fra la totalità delle combinazioni Q ,

solamente le quaterne aventi le pulsar disposte geometricamente meglio

nello spazio, le une rispetto alle altre: per fare ciò abbiamo pensato di

calcolare il numero di condizionamento delle matrici chi, di componenti 𝒇𝒇(𝑁𝑁)

(vedi l’espressione 2.17), e di porre un limite al suo valore per selezionare le

migliori combinazioni.

Un valore del numero di condizionamento accettabile per il sistema in esame

è compreso fra 1 e 100: nel nostro caso abbiamo comunque imposto che

debba essere inferiore a 30, al fine di garantire risultati più precisi.

Per snellire il calcolo, abbiamo deciso infine di considerare un massimo di

quaranta quaterne fra quelle già selezionate.

Partendo a questo punto dalla conoscenza della traiettoria del ricevitore (un

moto ellittico uniforme sul piano (x,y), percorso ad una velocità angolare

costante e pari a quella media della Terra attorno al Sole)(Figure 3.1 e 3.2)

abbiamo simulato la ricezione degli impulsi: i loro ToA (tempi di arrivo) sono

stati ricavati numericamente per ciascuna quaterna intersecando la curva

parametrica nota con quattro famiglie di iperpiani paralleli fra loro,

corrispondenti ai segnali elettromagnetici provenienti dalle pulsar.

23

Figura 3.1: l’orbita ideale e nota del punto materiale, vista nel piano (x,y).

Figura 3.2: l’orbita ideale e nota del punto materiale, vista nel piano (x,y,z).

Ripercorrendo lo stesso metodo di calcolo presentato in 2.2.2 e dopo aver

impostato opportunamente l’origine del nostro sistema di riferimento, è stato

possibile ricostruire le orbite ellittiche per ognuna delle quaranta quaterne

scelte (Figure 3.3 e 3.4), raccogliendo in appositi vettori le coordinate

spaziali e la base dei tempi degli eventi di ricezione.

24

Figura 3.3: le quaranta orbite ricostruite dall’algoritmo, sul piano (x,y).

Figura 3.4: le quaranta orbite ricostruite dall’algoritmo, sul piano (x,y,z). Si nota lo

scostamento dal caso ideale sul piano z.

In Figura 3.4 si nota come il complesso delle orbite ricostruite presenti un

certo scostamento dall’orbita ideale sull’asse z: si tratta di un modesto errore

imputabile ad una disposizione nello spazio ancora non ottimale di alcune

quaterne.

25

Come anticipato, è necessario a questo punto mediare le soluzioni ottenute

per ciascuna quaterna al fine di ottenere un’unica orbita ricostruita. Tale

operazione è resa complicata dal fatto che ogni quaterna assume come tempo

di riferimento il periodo maggiore di una delle quattro pulsar di cui è

composta. Si ha dunque che la scala temporale delle quaranta orbite riportate

in Figura 3.4 non è sempre la stessa.

Abbiamo ritenuto allora opportuno scegliere una base temporale adeguata, in

funzione della quale sia possibile effettuare un’interpolazione fra le

componenti spaziali dei vettori costruiti tramite le coordinate di ricezione.

Abbiamo assunto quindi come base dei tempi quella relativa alla quaterna

avente periodo minore in assoluto, e abbiamo eseguito un’interpolazione

polinomiale di primo ordine.

Le soluzioni ottenute sono riportate nelle Figure 3.5, 3.6 e 3.7: in rosso è

indicata la funzione interpolante le curve relative alle componenti spaziali

della traiettoria individuata da ciascuna quaterna.

Figura 3.5: curva interpolante e curve relative alla componente x della traiettoria individuata

dalle quaranta quaterne.

26

Figura 3.6: curva interpolante e curve relative alla componente y della traiettoria individuata

dalle quaranta quaterne.

Figura 3.7: curva interpolante e curve relative alla componente z della traiettoria individuata dalle quaranta quaterne. Sono osservabili gli scostamenti su sull’asse z delle orbite ellittiche

ricostruite rispetto all’orbita ideale.

La soluzione ottimizzata è infine riportata in figura 3.8.

27

Figura 3.8: l’orbita del punto materiale ricostruita tramite l’algoritmo.

Si riscontra un’incertezza lungo l’asse z, molto piccola ed evidentemente

dipendente dalla bontà della scelta di alcune quaterne. Ricordiamo a tal

proposito che, come visto in 2.4.2, per quanto si cerchi di selezionare le

migliori costellazioni di pulsar, esse sono locate prevalentemente lungo il

piano galattico: questa particolare distribuzione influisce negativamente

sull’accuratezza del posizionamento.

Abbiamo ritenuto interessante, a questo punto, capire come varia l’errore

spaziale all’aumentare del numero delle quaterne, mantenendo sempre il

limite di 30 sul numero di condizionamento, con l’obiettivo di capire se

all’aumentare delle quaterne considerate si ha un miglioramento

nell’accuratezza del calcolo e se, in tal caso, esiste una quantità soglia oltre la

quale i miglioramenti sono trascurabili.

Abbiamo diagrammato dunque l’errore in funzione del tempo all’aumentare

delle quaterne considerate, fino a considerarne un totale di quaranta: il

grafico ottenuto è rappresentato in Figura 3.9.

28

Figura 3.9: errore spaziale in funzione del tempo.

L’errore non tende a variare all’aumentare delle quaterne considerate: si

deduce dunque che le diverse combinazioni di quaterne non rappresentano

un insieme statistico e che, al fine di minimizzare l’errore, è importante

analizzare la qualità e bontà di ogni quaterna scelta, scartando ulteriormente

fra esse quelle che forniscono i risultati più dispersi.

29

Conclusione

Abbiamo qui presentato un interessante approccio matematico all’uso di

sorgenti di segnali elettromagnetici pulsanti per il posizionamento nello

spazio.

La procedura è completamente relativistica, non richiede sincronizzazione

fra i segnali provenienti dalle diverse sorgenti né stesse frequenze, e

permette di determinare la posizione di un utente rispetto ad un evento

arbitrario nello spazio tempo. Quest’ultimo aspetto rappresenta un limite

pratico di tale modello di calcolo in quanto l’utente, per poter ricostruire la

sua posizione nello spazio, deve conoscere le esatte coordinate del suo punto

di partenza. Ipotizzando una missione spaziale con partenza dalla Terra, il

computer connesso al ricevitore dovrà associare all’evento di ricezione

iniziale le coordinate della base terrestre da cui avviene il lancio, e non dovrà

essere spento per tutta la durata della missione. Uno spegnimento o la

perdita momentanea di segnale implicherebbero l’impossibilità di proseguire

con il posizionamento.

Nel presente lavoro di tesi abbiamo fatto riferimento ad impulsi

elettromagnetici emessi da millisecond pulsar. Sebbene tali corpi celesti

abbiano caratteristiche molto interessanti, quali un periodo di emissione

costante per lunghi periodi di tempo e una forte direzionalità, presentano

comunque un problema di rilevante importanza: la debolezza del loro

segnale. Questo difetto si traduce nella necessità di antenne e dispositivi di

ricezione all’avanguardia, molto ingombranti e molto costosi, che rendono

difficoltosa oggigiorno un’applicazione reale di tale sistema.

E’ comunque da considerare che lo stesso principio di calcolo può essere

applicato a sorgenti che non siano pulsar: si potrebbe pensare, ad esempio, di

30

porre degli emettitori di segnali pulsanti su corpi celesti e satelliti in orbita

all’interno del Sistema Solare, per un posizionamento all’interno dello stesso.

Un utente potrebbe dunque ripercorrere gli stessi calcoli affrontati nel

presente lavoro per ricostruire la sua traiettoria nello spazio, con l’accortezza

di conoscere il moto esatto di ciascun emettitore e aggiornare di continuo le

sue effemeridi.

In conclusione, il modello di calcolo qui descritto rappresenta, al netto di

errori e di incertezze già approfonditi e al netto di perfezionamenti futuri,

soprattutto in ambito tecnologico, un passo importante verso un sistema di

posizionamento completamente autonomo e relativistico nello spazio-tempo.

31

Riferimenti

[1] A. Tartaglia, ML. Ruggiero, E. Capolongo. A null frame for spacetime positioning by means of pulsating sources. 2011.

[2] A. Tartaglia. Emission coordinates for the navigation in space. 2009.

[3] A. Tartaglia, ML. Ruggiero, E. Capolongo. A relativistic navigation system for space. 2011.

[4] http://www.atnf.csiro.au/

[5] N. Ashby. Relativity in the Global Positioning System. 2003. http://www.livingreviews.org/lrr-2003-1.