Compiti Fisica 2 Fisica-Unipi

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1 Universit` a di Pisa Corso di laurea in Fisica Compiti di elettromagnetismo www.df.unipi.it/˜astrumia/fisica2.html Ultimo aggiornamento: 12 Settembre 2005, e non ce ne saranno altri Introduzione ‘bI’ significa primo semestre (elettrostatica e magnetostatica). ‘bII’ significa secondo semestre (elet- trodinamica). Esistono due corsi paralleli equivalenti: A e B. Ogni anno vengono fatti 2 ‘compitini’ durante lo svolgimento di ciascun semestre, e 5 ‘compiti’. Quindi — assurdo ma vero — ogni anno vengono preparati circa 24 compiti e compitini di elettromagnetismo. Questa raccolta contiene: solo le prove del corso al quale ho collaborato: A o B; Fisica bI ` e inclusa fino al 2005. Gli esercizi sono state preparati insieme con Barbieri, Bondioli, Cavasinni, Costantini, Macchi, Pegoraro. La modalit` a d’esame ` e variata negli anni, ma pi` u o meno ` e: Modalit` a d’esame. Gli studenti che sostengono l’esame di fisica bIB devono svolgere solo gli esercizi del compito di fisica bIB. Gli studenti che sostengono l’esame di fisica bIIB devono svolgere solo gli esercizi del compito di fisica bIIB. Gli studenti che sostengono l’esame complessivo devono svolgere, a loro scelta, due esercizi del compito di fisica bIB ed un esercizio del compito di fisica bIIB. Si spieghi in dettaglio il procedimento seguito, il significato dei vari simboli e le formule adoperate. Si prega inoltre di fare attenzione alla leggibilit` a dell’elaborato. Si usi il sistema SI. Alcuni compiti hanno pi` u di 3 esercizi: era richiesto risolverne 3 a scelta.

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raccolta compiti fisica 2, laurea triennale in fisica, unipi

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  • 1Universita` di Pisa

    Corso di laurea in Fisica

    Compiti di elettromagnetismo

    www.df.unipi.it/ astrumia/fisica2.htmlUltimo aggiornamento: 12 Settembre 2005, e non ce ne saranno altri

    Introduzione

    bI significa primo semestre (elettrostatica e magnetostatica). bII significa secondo semestre (elet-trodinamica). Esistono due corsi paralleli equivalenti: A e B. Ogni anno vengono fatti 2 compitinidurante lo svolgimento di ciascun semestre, e 5 compiti. Quindi assurdo ma vero ogni annovengono preparati circa 24 compiti e compitini di elettromagnetismo. Questa raccolta contiene: solole prove del corso al quale ho collaborato: A o B; Fisica bI e` inclusa fino al 2005. Gli esercizi sonostate preparati insieme con Barbieri, Bondioli, Cavasinni, Costantini, Macchi, Pegoraro.

    La modalita` desame e` variata negli anni, ma piu` o meno e`:Modalita` desame. Gli studenti che sostengono lesame di fisica bIB devono svolgere solo gli

    esercizi del compito di fisica bIB. Gli studenti che sostengono lesame di fisica bIIB devono svolgeresolo gli esercizi del compito di fisica bIIB. Gli studenti che sostengono lesame complessivo devonosvolgere, a loro scelta, due esercizi del compito di fisica bIB ed un esercizio del compito di fisica bIIB.

    Si spieghi in dettaglio il procedimento seguito, il significato dei vari simboli e le formule adoperate.Si prega inoltre di fare attenzione alla leggibilita` dellelaborato. Si usi il sistema SI. Alcuni compiti hanno piu` di 3 esercizi: era richiesto risolverne 3 a scelta.

  • Indice

    1 Elettrostatica e magnetostatica 3Compito di Fisica bIB (12 Settembre 2005) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3Compito di Fisica bIB (11 luglio 2005) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4Compito di Fisica bIB (20 giugno 2005) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6Compito di Fisica bIB (2 febbraio 2005) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7Compito di Fisica bIB (12 gennaio 2005) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8Compitino di Fisica bIB (21 dicembre 2004) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10Compitino di Fisica bIB (15 novembre 2004) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12Compito di Fisica bIB (16 settembre 2004) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14Compito di Fisica bIB (12 luglio 2004) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15Compito di Fisica bIB (6 febbraio 2004) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18Compito di Fisica bIB (16 gennaio 2004) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21Compitino di Fisica bIB (19 dicembre 2003) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24Compitino di Fisica bIB (18 novembre 2003) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26Compito di Fisica bIA (19 settembre 2003) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30Compito di Fisica bIA (11 luglio 2003) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32Compito di Fisica bIA (20 giugno 2003) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33Compito di Fisica bIA (7 febbraio 2003) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34Compito di Fisica bIA (17 gennaio 2003) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35Compitino di Fisica bIA (20 dicembre 2002) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37Compitino di Fisica bIA (6 novembre 2002) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

    2

  • Capitolo 1

    Elettrostatica e magnetostatica

    Compito di Fisica bIB (12 Settembre 2005)

    1Le armature di un condensatore sferico hanno raggi a e b, e vengonomantenute ad una differenza di potenziale costante V da una pila, come

    in figura.

    a) Calcolare la capacita` del condensatore e lenergia elettrostatica in essoracchiusa.

    b) A parita` di differenza di potenziale V e di raggio b dellarmatura esterna,quanto deve valere il raggio a dellarmatura interna perche su di essa ilcampo elettrico E sia minimo?

    c) Lo spazio fra le armature viene riempito con un materiale di conducibilita`. Calcolare la corrente totale I che passa fra le due armature.

    b

    a

    V

    +

    Soluzione:

    a) Sia Q la carica sullarmatura interna. Poiche il problema ha simmetria sferica la carica Q sara` distribuitauniformemente e il campo elettrico sara` radiale e dipendente solo da r. Applicando il teorema di Gauss ad unasuperficie sferica concentrica al condensatore ed avente raggio r si ha subito

    4pir2E(r) =Q

    0, E(r) =

    Q

    4pi0r2.

    La differenza di potenziale tra le armature e` data dallintegrale di linea

    V = E dl = Q

    4pi0

    ba

    dr

    r2=

    Q

    4pi0

    (1b 1a

    ).

    La capacita` vale quindi

    C =Q

    V= 4pi0

    ab

    b a ,

    e lenergia elettrosattica vale U = CV 2/2.

    b) La densita` superficiale di carica a sullarmatura interna ed il valore Ea del campo elettrico sulla stessa armaturasono dati da

    a =Q

    4pia2=

    0V b

    a(b a) , Ea =a0

    =V b

    a(b a) .

    Imponendo Ea/a = 0 si trova a = b/2.

    3

  • 4 CAPITOLO 1. ELETTROSTATICA E MAGNETOSTATICA

    c) Si ha I = dQ/dt = (J) = (E) = Q/0 = CV/0.

    2Un dipolo magnetico P = P (x cos + z sin ) e` posto nel punto X di coordinate (0, 0, Z), con Z > 0, ed ilsemispazio (z < 0) e` riempito da un mezzo con permeabilita` magnetica . Calcolare

    a) linduzione magnetica B in tutto lo spazio;

    b) la forza F a cui e` soggetto il dipolo.

    c) Rispondere alle domande precedenti se il mezzo magneticamente permeabile si trova nela regione z > 0.

    Soluzione:

    a) Il campo magnetico Bup nella regione z > 0 si puo` scrivere come

    Bup(r) = Bdipolo(P , r X) +Bup(r)dove

    Bdipolo(p, r) =3r(r p) p

    r3

    e` il campo generato da un dipolo magnetico p posto nellorigine.Poiche Bup e` per z > 0 sia irrotazionale che a divergenza nulla, si puo` interpretare come un campo generato da unadistribuzione di correnti diversa da zero solo nella regione z < 0: per ovvie ragioni di simmetria facciamo lansatz

    Bup(r) = Bdipolo(Pup, r +X)con P da determinarsi.Per le stesse ragioni, nella regione z < 0 poniamo

    Bdn(r) = Bdipolo(Pdn, r X)

    Le condizioni al contorno per z = 0 sono

    z (Bup Bdn) = 0z (Bup Bdn) = 0 (1.1)da cui si ricava

    z Pup = ( 1+ 1

    )z P z Pup =

    ( 1+ 1

    )z P Pdn =

    (2

    + 1

    )P

    b) Poiche il dipolo P e` immerso in un campo magnetico identico a quello generato da un dipolo Pup posto nel puntoX, la forza cui esso e` soggetto e` data da

    F = (P )Bup = 3P2

    16Z4

    ( 1+ 1

    )(1 2 sin2 )z

    c) Le risposte si ottengono da quelle precedenti semplicemente operando le sostituzioni P P/, 1/.

    Compito di Fisica bIB (11 luglio 2005)

    1Una spira circolare ha raggio a, autoinduzione L trascurabile, resistenza R. Un dipolo magnetico , orientatoparallelamente alla direzione del moto, si muove lungo lasse z della spira con velocita` v costante: z(t) = vt.

    a) Calcolare il flusso indotto sulla spira.

    b) Calcolare la corrente I indotta sulla spira e dire per quale valore di z e` massima.

    c) Stimare (a meno di fattori di ordine 1) lenergia totale dissipata per effetto Joule.

    d) Calcolare la forza sentita dalla spira e dire per quale valore di z e` massima.

  • 5Soluzione:

    a) Si puo` fare il calcolo diretto. Alernativamente si puo` usare il seguente trucco: sfruttando la simmetria deicoefficienti di induzione si ottiene = B/I = 0a2/2(a2 + z2)3/2 dove B = 0Ia2/2(a2 + z2)3/2 e` il campomagnetico generato da un solenoide lungo il suo asse.

    b) I = E/R = /R = 3a2tv20/2R(a2 + t2v2)5/2, massima per z = a/2.c) La posso stimate moltiplicando la potenza dissipata allistante a cui e` massima, per il tempo caratteristico a/v.

    Omettendo fattori di ordine uno si ottiene U = c v220/a3R con c 1. Il calcolo esplicito di U =dt IR2

    fornisce c = 45pi/512 = 0.27.

    d) Le forze sono uguali ed opposte: conviene calcolare quella sentita dal dipolo, che viene compensata da un opportu-na forza esterna tale che il dipolo procede con v costante. Usando la conservazione dellenergia si ha Fv = RI2.Quindi F e` massima quando I e` massima: a z = a/2.Altermativamente, il calcolo esplicito della forza fornisce F = B/z = 9a3t2v3220/4R(a2+t2v2)5. (Notareche (B)/z sarebbe sbagliato)

    2Si schematizzi un conduttore come una distribuzione omogenea e rigida di carica positiva + > 0 allinternodella quale sono confinate delle particelle di carica e < 0 e massa m con una densita` (numero di particelle

    per unita` di volume) in condizioni di equilibrio pari a N = +/|e|. Ciascuna particella di carica e e` soggetta, oltreche alla forza di Lorentz F L = e(E + v B), anche ad una forza di tipo dissipativo F diss = vrel, dove vrel e` lavelocita` relativa della particella rispetto alla distribuzione di carica positiva.

    a) Calcolare la conducibilita` del conduttore in questo modello (trascurando gli effetti di bordo, ovvero assumendo chela distribuzione di cariche negative resti omogenea).

    Si consideri un cilindro di raggio R, costituito da un siffatto materiale, in rotazione attorno al suo asse con velocita`angolare ed in condizioni stazionarie. Calcolare:

    b) i campi elettrico e magnetico in tutto lo spazio;

    c) le densita` superficiali di carica e di corrente sulla superficie del cilindro.

    Soluzione:

    a) Poiche la corrente e` generata solo dalle particelle a carica negativa possiamo scrivere J = eNv. In condizionistazionarie devessere F L + F diss = 0, ovvero v = eE/ e, combinando con la legge di Ohm J = E, otteniamo

    =Ne

    2

    b) Ora, per le simmetrie del problema, abbiamo

    tot(x) = tot(r) = + + eN(r) = 01r

    d

    dr[rE(r)] (1.2)

    J tot(x) = rtot(r) = 10

    dB(r)dr

    (1.3)

    avendo introdotto un sistema di coordinate polari piane (r, , z) con asse coincidente a quello del cilindro, ed avendoposto E(x) = E(r)r, B(x) = B(r)z. Per una particella che percorre un cerchio di raggio r abbiamo, per r < R,

    m r a = m2r = e[E(r) + rB(r)] (1.4)

    Dividendo per r, derivando e sostituendo le precedenti equazioni, otteniamo

    0 =d

    dr

    [E(r)r

    (1 002r2)]

    che integrata da`E(r) = A

    r

    1 002r2

  • 6 CAPITOLO 1. ELETTROSTATICA E MAGNETOSTATICA

    La costante A si determina sostituendo nuovamente questa espressione nella (3) ed imponendo che il campomagnetico sullasse sia nullo; riassumendo si ha, per r < R,

    E(r) = m2

    e

    r

    1 002r2

    B(r) =m

    e

    002r2

    1 002r2Per r > R il campi si annullano.

    c) La densita` superficiale di carica si determina dalla discontinuita` della componente radiale del campo elettrico:

    sup = 0E(R)La densita` superficiale di corrente e` allora

    wsup = Rsup

    (e coincide ovviamente con quella che si ottiene dalla discontinuita` della componente tangente del campo magnetico).

    Compito di Fisica bIB (20 giugno 2005)

    1Una sfera conduttrice di raggio R contiene una carica Q. La sfera e` per meta` immersa in acqua (costantedielettrica > 0); laltra meta` si trova nel vuoto. Calcolare

    a) Il campo elettrico in tutto lo spazio.

    b) La densita` di carica sulla superficie della sfera.

    c) La pressione sulla superficie e la forza totale da essa esercitata.

    d) Il lavoro necessario a portare la sfera molto sopra lacqua. (Si calcoli solo il contributo dovuto alle forze elettrosta-tiche, trascurando quello dovuto alla forza di gravita`).

    Soluzione:

    a) Dentro il conduttore E = 0. Il campo elettrico e` radiale ed ha lo stesso valore in acqua e nel vuoto, in quanto lacomponente parallela alla superficie di separazione e` continua. Il vettore D vale Dvac = 0E nel vuoto e Dacqua = Enellacqua. Applicando il teorema di Gauss su di una superficie sferica concentrica alla sfera e di raggio r > R siottiene 2pir2(Dvac +Dacqua) = Q, da cui E = Q/2pi(+ 0)r2.

    b) La carica vale = 0E: in totale e` minore di Q ed e` distribuita uniformemente. Essa pue` essere decomposta come = free+ pol. La carica libera vale free = D: in totale vale Q ed e` maggiore nellacqua che nel vuoto. La caricadi polarizzazione vale zero nel vuoto e vale pol = P = ( 0)E nellacqua.

    c) La pressione elettrostatica sulla superficie vale freeE/2 ed e` diretta verso lesterno della sfera (infatti essa e` dovutaalla repulsione fra le cariche). Siccome acquafree >

    vuotofree la pressione e` maggiore sulla superficie dentro lacqua,

    producendo una forza totale verso il basso: il verso e` confermato al punto d). La forza totale e` verticale con modulo

    F =dS Fz =

    pi/20

    d 2piR sin (Facqua Fvuoto) cos = (Facqua Fvuoto)piR2 = E2

    2( 0)piR2.

    d) Il lavoro e` uguale alla differenza delle energie elettrostatiche:

    L = Uacqua/vuoto Uvuoto = Uacqua Uvuoto2 =Q2

    8piR

    [2

    + 0 10

    ]< 0.

    2Un impulso isotropo di 108 elettroni viene emesso al tempo t = 0 dal punto S. Gli elettroni hanno velocita`v0 e sono immersi in un campo magnetico B con verso lungo lasse x positivo.

  • 7a) Descrivere il moto degli elettroni in funzione dell angolo tra la direzione iniziale della velocita` ed il campo B.

    b) Calcolare la massima distanza dall asse x cui possono arrivare gli elettroni, in funzione di .

    c) Calcolare gli istanti di tempo in cui gli elettroni intersecano lasse x.

    Un rivelatore di elettroni di dimensioni 1 mm2 viene posto ortogonalmente allasse x a distanza d = 1 m dal punto S.

    d) Stimare il numero di elettroni che saranno rivelati inizialmente.

    Soluzione:

    a) F = qv B = me2R, F = qBv0| sin | = m(v0sin(theta))2/R dove e l angolo tra v0 e l asse positivodelle x, v0 sin() e la comp. della velocita proiettata sul piano (yz), R e il raggio del moto circolare ottenutoproiettando la traiettoria di ciascun elettrone sul piano (yz), R = (mev0 sin )/(qB).

    Gli elettroni compiono delle traiettorie a spirale, con raggio R indicato, con asse parallelo all asse x e tangentia tale asse. Se v0 cos > 0 (< 0) gli elettroni si spostano lungo l asse positivo (negativo) delle x. Per = pi/2le traiettorie sono circolari giacenti sul piano yz. Per = 0 e pi la traiettoria giace sull asse x.

    b) La max. distanza dall asse x per ciascuna traiettoria e 2R con Rmax = (mev0)/(qB) e Rmin = 0.

    c) La velocita angolare = (v0 sin )/R = qB/m degli elettroni e uguale per tutte le traiettorie ed il periodo eT = 2pi/ Gli istanti di tempo in cui gli elettroni intersecano tutti simultaneamente l asse x sono: tn = nT conn = 0, 1, 2, ...

    d) gli elettroni con R 1/4 mm vengono tutti intercettati dal rivelatore e sono i primi ad arrivare perche hannola componente vx piu elevata. R = (mev0 sin )/(qB) 1/4 mm.N() N0mm2/(4pi(103)2 = N0 106/4pi N0 107.

    Compito di Fisica bIB (2 febbraio 2005)

    1Una lastra dielettrica di spessore h lunghezza L h, e permeabilita` dielettrica relativa r e` immersa in uncampo elettrico costante E0, in modo che tale campo esterno formi un angolo con la normale alla superficie.

    Si trascurino gli effetti al bordo.

    a) Calcolare il campo elettrico allinterno della lastra e langolo che esso forma con la normale alla superficie diessa.

    b) Calcolare le densita` di carica di polarizzazione.

    c) Si dica se il campo esterno esercita un momento di rotazione sulla lastra e se ne dia il verso.

    Soluzione:

    a) La componente del campo elettrico parallela alla superficie e` continua e vale E = E0 sin . Nel vuoto la com-ponente perpendicolare del campo vale Ev, = E0 cos . Sfruttiamo la continuita` di D = E per trovareEv, = rEd, dove Ed e` il campo allinterno del dielettrico. Si ha quindi Ed, = E0 cos /r e

    tan =Ed,Ed,

    =E0 sin

    E0 cos /r= r tan .

    Poiche` r > 1 si ha > .

    b) Per il teorema di Gauss si ha

    p = 0(Ev, Ed,) = 0E0 cos (1 1

    r

    ).

  • 8 CAPITOLO 1. ELETTROSTATICA E MAGNETOSTATICA

    c) La densita` di energia elettrostatica allinterno della lastra e`

    uE =

    2E2 =

    2E20(2r cos

    2 + sin2 ).

    Si vede che lenergia elettrostatica cresce con e quindi ci si aspetta che le forze elettrostatiche tendano a riportarela lastra nella posizione di energia minima, cioe` per = 0.

    Assumendo che lenergia sia uniformemente distirbuita, lenergia totale e` UE = V uE, dove V e` il volume dellalastra, e il momento delle forze e`

    M = UE

    =

    2E20V sin 2

    (2r 1

    )< 0 .

    2Una spira rettangolare di lati ` e 2` ha resistenza R, autoinduzione trascurabile e velocita` iniziale v0 = v0x.Nella regione x > 0 e` presente un campo magnetico costante B = Bz. La spira e` ortogonale al campo

    magnetico, ed il suo lato lungo e` parallelo allasse x.

    a) Calcolare lenergia dissipata assumendo che la velocita` v0 venga mantenuta costante da una forza esterna.

    b) In assenza di forze esterne, calcolare la velocita` iniziale minima vmin0 che la spira deve avere per riuscire adentrare completamente nella zona dove B 6= 0.

    La spira viene ora girata di 90 gradi attorno ad un asse parallelo a B in modo che il suo lato corto coincida con lassex, e messa in moto verso la zona dove B = 0 con velocita` v0 = v0x, mantenuta costante.

    c) Per quale valore di v0 lenergia dissipata nelluscire dal campo magnetico ha lo stesso valore che in a)?

    d) Calcolare la minima energia dissipata nel far passare in un tempo t una spira di area S, resistenza R e formaarbitraria da una zona dove B = 0 ad una zona dove ce` un campo magnetico costante di modulo B, in modoche il flusso finale sia = BS.

    Soluzione: In generale, detta S(t) la superficie entrata al tempo t si ha E = BS, W = E2/R = B2S2/R = Fvdove F e` la forza magnetica agente sulla spira. Lequazione del moto e` quindi mx = F = xB2S2/R dove S = S/x.

    a) S = ` v0t e lattraversamento dura t = 2`/v0. Quindi lenergia dissipata vale U =W t = 2B2`3v0/R.b) Lequazione del moto e` mx = x/ con 1/ = `B2/R, risolta da x(t) = v0et/ . Quindi lo spazio percorso e`

    x =0

    x dt = v0. Imponendo x > 2` si trova v0 = 2B`2/R.

    c) Ripetendo il calcolo in a) si trova ora S = 2`v0t e t = `/v0 e quindi U

    = 4B2`3c0/R: si ha U = U per

    v0 = v0/2, cioe` quando il tempo di passaggio e` lo stesso.

    d) Questo suggerisce che lenergia minima sia B2S2/Rt. In effetti le formule generali sopra mostrano che questaenergia e` realizzata quando la velocita` viene scelta in modo che S sia costante. Ad una spira circolare va fattapassare piu` lenta quando e` a meta` strada. Questo si applica anche al caso in cui la spira venga fatta entrareparallela al campo magnetico, e poi girata.

    Compito di Fisica bIB (12 gennaio 2005)

    1Su una superficie sferica di raggio a sia distribuita una carica con densita` () = 0 cos(), dove e` lusualeangolo rispetto ad un asse polare z.

    a) Calcolare la carica totale sulla meta` della superficie dove > 0.

    b) Calcolare il modulo del campo elettrico nel centro C della sfera.

    c) Calcolare il momento di dipolo elettrico della sfera.

  • 9Soluzione:

    a) la carica positiva totale e` Q = pi/20

    ()2pia2 sin() d = pia20.

    b) Il campo E totale nel centro C della sfera deve essere diretto lungo lasse z: considero solo la componente di Elungo lasse.

    E(C) =1

    4pi0a2

    pi0

    ()2pia2 sin cos d =030

    c) il contributo al dipolo di due cariche infinitesime dq poste ad un valore generico di (+dq) e pi (dq) hadirezione lungo l asse z di modulo dp = 2a cos dq che integrato da:

    p = pi/20

    2a cos ()(2pia2 sin d) = 4pia30/3

    pari al valore massimo della densita` superficiale di carica per il volume della sfera, ma anche alla carica totalepositiva della risposta a) per un braccio di 4a/3.

    2Un condensatore piano quadrato di lato D e spessore d mantenuto a differenza di potenziale V costante stain un mezzo con costante dielettrica (z) = 0(1 + z/2`) dove z e` lasse del condensatore ed il centro del

    condensatore sta a z = z0 = 0 (vedi figura 1). Si assuma ` D d.a) Calcolare la capacita` C.

    b) Calcolare la forza totale che agisce sul condensatore.

    D

    dz

    D

    d

    z

    Rispondere nuovamente alle domande a) e b) assumendo che lasse del condensatore sia ortogonale allasse z (vedifigura 2).

    Soluzione:

    a) Lo si puo` vedere come una serie di infiniti condensatori, per i quali vale il noto risultato

    C =D2

    d11 = D

    2

    d

    1 2ln(1/2)

    =2D30d`

    ln1`+D + 2z0`D + 2z0 '

    D20d

    (1 + 2z0`)

    b) Fz =V 2

    2C

    z0= 4V

    2D40d`(D2 `2) ln

    2 `+D`D '

    V 2D20d`

    tende a spingere il conduttore dove e` piu` grosso.

    a) Lo si puo` vedere come un parallelo di infiniti condensatori, per i quali vale il noto risultato

    C =D2

    d = D

    2

    d

    1 + 22

    =D2

    d(z0) =

    D20d

    (1 +z02`)

    dove 1,2 sono i valori di ai due bordi del condensatore.

    b) Fz = (V 2/2)(C/z0) = V 2D20/4d` che e` 4 volte piu` debole che nel caso precedente.

    3Un solenoide (infinito) di raggio a con n spire per unita` di lunghezza e` percorso da una corrente I. Unasorgente puntiforme radioattiva posta sullasse del solenoide emette isotropamente particelle di carica q > 0,

    massa m ed energia cinetica T :

  • 10 CAPITOLO 1. ELETTROSTATICA E MAGNETOSTATICA

    a) calcolare per quali valori di T nessuna delle particelle emesse dalla sorgente colpisce la superficie del solenoide;

    b) sia ora T = 2Tcrit, dove Tcrit e` lestremo superiore dei valori calcolati al punto precedente, e sia langolo compresofra la direzione di emissione di ciascuna particella e la direzione del campo magnetico allinterno del solenoide:calcolare per quali valori dellangolo di emissione le particelle colpiscono la superficie del solenoide.

    c) si assuma ora che il solenoide sia immerso in un campo elettrico uniforme E parallelo al suo asse e si rispondanuovamente ai punti a) e b);

    d) determinare infine esplicitamente la traiettoria di una particella emessa allistante t = 0 con un angolo = pi/3,discutendo il numero di parametri cinematici rimasti liberi, e calcolare il tempo necessario alleventuale impattocon la superficie del solenoide (con il campo elettrico presente, T = 2Tcrit e trascurando gli effetti di bordo).

    Soluzione:

    a) Il campo magnetico allinterno del solenoide e` parallelo al suo asse e di modulo B = 0nI. Le particelle emes-se con un angolo dalla sorgente percorrono spirali, con asse parallelo o quello del solenoide, di raggio r() =2T/m2 sin , con = 0qnI/m, e passo uniforme. Poiche le spirali intersecano lasse del solenoide, la

    condizione per cui le particelle non colpiscono la sua superficie e` r() < a/2, da cui T < m2a2/8 = Tcrit

    b) Se T = 2Tcrit lespressione per i raggi delle spirali diventa r() = (a/2) sin per cui, affinche le particelle

    colpiscano la superficie del solenoide, devessere pi/4 3pi/4.c) La presenza del campo elettrico modifica soltanto il moto longidudinale, ovvero il passo delle spirali non e` piu`

    costante, ma il loro raggio in funzione di rimane invariato e si ha nuovamente a) T < m2a2/8 = Tcrit, b)pi/4 3pi/4.

    d) Introducendo un terna cartesiana centrata sulla sorgente e con lasse z lungo la direzione del campo magnetico, lagenerica traiettoria che soddisfa le condizioni indicate nel testo e` data da

    x(t) =a sin

    2[sin(t+ ) sin] = a

    38[sin(t+ ) sin]

    y(t) =a sin

    2[cos(t+ ) cos] = a

    38[cos(t+ ) cos]

    z(t) = (a cos )t+12qE

    mt2 =

    a

    2t+

    12qE

    mt2

    Resta il parametro libero , che determina la direzione della velocita` nel piano perpendicolare allasse del solenoide:i conti tornano perche la posizione iniziale era completamente determinata mentre della velocita` si conosceva soloil modulo e langolo formato con lasse del solenoide. Siccome pi/4 < < 3pi/4, la soluzione data sopra e` validasolo per 0 t t dove t = (1/) arccos[1/ tan2 ] ' 1.91/ e` listante della collisione con la superficie; si notiche non dipende da , come e` giusto che sia.

    Compitino di Fisica bIB (21 dicembre 2004)

    1Una sfera di raggio R ha costante dielettrica , conducibilita` , e densita` di carica iniziale 0 = Q/V uniforme,dove V = 4piR3/3.

    a) Calcolare il campo elettrico allistante iniziale t = 0, sia allinterno che allesterno della sfera.

    b) Si mostri che rimane uniforme e si calcoli levoluzione temporale delle densita` di carica di volume e superficiali.

    c) A quale istante t la potenza W (t) dissipata per effetto Joule e` massima, e quanto vale questo valore massimo?

    d) Descrivere lo stato finale, calcolando il campo elettrico allistante finale, sia allinterno che allesterno della sfera.

    e) Calcolare lenergia totale dissipata per effetto Joule.

  • 11

    Soluzione:

    a) Il campo elettrico e` radiale e vale

    Er(r) =

    Q

    4pir

    R3r < R

    Q

    4pi1r2

    r > R

    b) La corrente vale J = E. Quindi = J = E = /: quindi (t) = 0et/ dove = /.La carica e` conservata e si accumula uniformemente sulla superficie: Qsuperficiale(t) = Q(1 et/ ).

    c) La densita` di potenza vale dW/dV = J E = E2 e` massima a t = 0 e dopo si riduce come e2t/ . La potenzatotale vale

    W (0) =dV E2 =

    R0

    4pir2 dr(Qr

    4piR3)2 =

    15

    Q2

    4pi2R

    d) Alla fine tutta la carica Q si trova sulla superficie. Il campo elettrico interno vale zero, mentre quello esternonon e` variato.

    e) Si puo` procedere integrando la potenza W sul tempo:

    E0 =W (0) 0

    e2t/dt =

    2W (0) =

    110

    Q2

    4piR.

    Oppure, si puo` calcolare la differenza fra le energie iniziali e finali. Visto che il campo esterno non varia, e chequello interno alla fine vale zero tutta lenergia E0 inizialmente contenuta nel campo elettrico interno alla sferaviene dissipata: E0 =

    dV E2/2.

    2Una sbarretta conduttrice omogenea di massa m, lunghezza d e resistenza trascurabile e` incernierata perpen-dicolarmente a due guide rettilinee anchesse metalliche e di resistenza trascurabile e disposte parallelamente

    al campo gravitazionale g = gz (g > 0). I due estremi superiori delle guide sono collegati con un filo di resistenzaR ed autoinduttanza L e nello spazio e` presente un campo magnetico uniforme B = Bx perpendicolare al pianocontenente le due guide. Allistante t = 0 la sbarretta forma con le guide ed il filo che chiude il circuito un qua-drato di area d2 e viene lasciata libera di cadere da ferma (la sbarretta puo` scivolare senza attrito lungo le guide):

    a) scrivere le equazioni del moto per la sbarretta per il casoR 6= 0, L = 0 (esplicitando la corrente) e calcolare il valoreasintotico della corrente;

    b) scrivere le equazioni del moto per la sbarretta per il caso R =0, L 6= 0 (esplicitando la corrente);

    c) scrivere le equazioni del moto per la corrente per il caso gene-rico R 6= 0, L 6= 0 (esplicitando la posizione della sbarretta) ecalcolarne il valore asintotico;

    d) determinare nel caso R 6= 0, L = 0 la legge oraria z(t) dellasbarretta e la corrente che circola nel circuito per t > 0;

    e) calcolare, sempre nel caso R 6= 0, L = 0, la potenza WJoule(t)dissipata dalla resistenza e discutere il bilancio energetico.

    R L

    d

    x

    z

    y

    [Si ricorda che la soluzione generale di una equazione differenziale lineare non omogenea si puo` sempre scriverecome la somma di una soluzione particolare e della soluzione generale dellequazione omogenea.]

    Soluzione: Dallequazione di Faraday si ha, orientando il circuito in senso antiorario rispetto al semispazio x > 0,RI(t) = (t) = LI(t) +Bdz(t) mentre dallequazione di Newton mz(t) = mg BdI(t)a) Se L = 0 si ha RI(t) = Bdz(t) e sostituendo

    mz(t) = mg (Bd)2

    Rz

  • 12 CAPITOLO 1. ELETTROSTATICA E MAGNETOSTATICA

    ovvero un moto smorzato. Asintoticamente z(t) 0, quindi z(t) mgR/(Bd)2 eI(t) mg/(Bd)

    b) Se R = 0, si ha LI(t) = Bdz(t) che si integra immediatamente in LI(t) = Bd(z(t) + d), avendo utilizzato lacostante arbitraria per imporre I(0) = 0. Sostituendo si trova

    mz = (Bd)2

    L

    [z(t) + d+

    mgL

    (Bd)2

    ]ovvero un moto armonico attorno alla posizione di equilibrio z = d mgL(Bd)2 .

    c) Nel caso generale si puo` derivare lequazione di Faraday e sostituirvi lespressione per z(t) che si ottiene dallequa-zione di Newton e si trova

    LI(t) = Bdg (Bd)2

    mI(t)RI(t)

    che un moto armonico smorzato. Asintoticamente I(t), I(t) 0 e quindiI(t) mg/(Bd)

    esattamente come per il caso a).

    d) La soluzione generale e` data daz(t) = g1t+ z1 + z2et/1

    con 1 = mR/(Bd)2. Le condizioni iniziali per t = 0 consentono di determinare z1 e z2, ottenendo alla fine

    z(t) = d+ g21(1 t

    1 et/1

    )I(t) =

    Bd

    Rz(t) =

    mg

    Bd

    (et/1 1

    )e) La potenza dissipata nella resistenza e` data da

    WJoule(t) = RI2(t) = R(mgBd

    )2 (1 et/1

    )2mentre quella guadagnata grazie allazione del campo gravitazionale e`

    Wgrav(t) = mgz(t) = R(mgBd

    )2 (1 et/1

    )Si noti che Wgrav(t) > WJoule(t) (ricordiamo che t > 0): la potenza restante viene spesa per aumentare lenergiacinetica della sbarretta:

    d

    dt

    [12mz2(t)

    ]= mz(t)z(t) =Wgrav(t)WJoule(t)

    Compitino di Fisica bIB (15 novembre 2004)

    1Un dipolo p con orientazione fissa come da figura si trova a distanza R dal centro di una sfera conduttricedi raggio r messa a terra. Calcolare

    a) Il potenziale elettrico in tutto lo spazio.

    b) La carica totale indotta sulla sfera.

    c) La forza esercitata dalla sfera sul dipolo. In particolare si dica in che modo essadipende da R per R r.

    d) Il lavoro necessario per portare il dipolo da R a distanza infinita.

    e) Rispondere nuovamente alla domande precedenti nel caso di sfera isolata escarica.

    pr R

  • 13

    Soluzione:

    a) Serve un dipolo immagine p = p(r/R)3 messo a distanza R = r2/R dal centro della sfera. Lo si ottiene dallasoluzione corrispondente per una carica q = qr/R tenendo conto che il braccio del dipolo viene ridotto di unfattore R/R. (Notare che questo e` vero solo per un dipolo orientato come in figura).

    b) 0

    c) La forza fra due dipoli p e p a distanza X, orientati perpendicolarmente a X, e` F = 3(p p)X/4pi0X4.1 Nelcaso particolare di questo esercizio si ha Fx = 3p2r3R/4pi0(R2 r2)4. Per grande R si ha F R7.

    d) Il lavoro vale

    L = R

    F dR = p2r3

    8pi0(R2 r2)3Essa e` uguale ad 1/2 dellenergia di interazione fra due dipoli U = p E come atteso perche` a) ragionandoin termini di dipolo immagine, uno solo dei due dipoli e` reale; b) ragionando in termini di polarizzazione dellasfera conduttrice, essa e` indotta dal primo dipolo.

    e) Siccome non veniva indotta nessuna carica sulla sfera le risposte non cambiano.

    2Sia dato un condensatore sferico carico di raggio interno R1 e raggio esterno R2 riempito di dielettricoisotropo con costante dielettrica relativa . Si supponga Q(R1) > 0. Determinare:

    a) le densita` superficiali, con il relativo segno, di carica di polarizzazione presenti sulle superfici del dielettrico.

    b) la densita` di carica di polarizzazione presente allinterno del dielettrico.

    c) lenergia elettrostatica complessiva immagazzinata nel condensatore e quella spesa per polarizzare il dielettrico.

    Nellipotesi che sia presente un dielettrico isotropo con costante relativa 1 tra R1 ed Ri ed un dielettrico con costanti2 tra Ri ed R2, determinare:

    d) la variazione del campo elettrico nell attraversamento di Ri.

    e) la densita` superficiale complessiva di cariche di polarizzazione sulla superficie di raggio Ri.

    Soluzione:

    a) In generale pol = P = ( 1)0E, Ad R1 la carica di polarizzazione scherma parzialmente la carica Q:pol(R1) = (1 1)Q/4piR21 < 0. Quindi ad R2 ha il segno opposto: pol(R2) = (1 1)Q/4piR22.

    b) pol = divP divE = 0.

    c) Etot = R2R1

    (/2)E2dV Epol = R2R1

    (0/2)( 1)E2dV dove R2R1

    E2dV = ((Q/4pi)2)(1/R1 1/R2).

    d) Non sono presenti cariche libere sulla superficie di separazione tra i due dielettrici, quindi D e` continuo cioe`1E1 = 2E2 e quindi

    E2 E1 = E1(12 1) = Q

    4pi0R2i(12 11

    )

    e) tot = 0(E2 E1), che e` stato calcolato al punto d).1Lo si puo` ricavare in due modi.1) Dalla formula F = U con U = p E = (p p)/4pi0X3. Notare che leventuale variazione di p con X (che sarebbe presente

    in questo esercizio) non va tenuta in conto.2) Dalla generale formula F = (p )E = pyE dove

    E =1

    4pi0

    "3(p X)X

    X5 p

    X3

    #X = (x r2/R, y, z)

    e` il campo elettrico generato da p. Lunico termine che contribuisce alla derivata calcolata a y = 0 e` Ex = 3py/4pi0X4.

  • 14 CAPITOLO 1. ELETTROSTATICA E MAGNETOSTATICA

    Compito di Fisica bIB (16 settembre 2004)

    1Sia data una sfera di raggio R avente una densita` di carica (r) = re carica totale Q nota.

    a) Determinare il valore della costante ed il campo elettrico allinterno ed allesterno della sfera.

    b) Una carica puntiforme Q viene sparata da distanza r R con velocita` v0 verso il centro della sfera: determinareil valore minimo di v0 per cui la carica puntiforme attraversa completamente la sfera.

    c) Determinare lenergia elettrostatica della distribuzione di carica.

    d) Supponendo che che la caricaQ si distribuisca uniformemente sulla superficie della sfera, determinare la differenzadi energia elettrostatica rispetto al punto c).

    e) Si supponga che un emisfero abbia densita di carica di volume di segno opposto. Calcolare il campo elettricosull asse di simmetria delle distribuzioni a distanza r R.

    Soluzione:

    a) Calcoliamo la carica totale della distribuzione sferica in funzione di :

    Q = R0

    (r)4pir2dr = 4pi R0

    r3dr = piR4: =Q

    piR4

    Per il calcolo del campo elettrico sfruttiamo il teorema di Gauss applicato a superfici sferiche di raggio r, per cuicalcolata la carica contenuta nel volume racchiuso da tali superfici si ottiene:

    E(r) =Q

    4pi0r2

    R4r per r R e E(r) = Q

    4pi01r2r per r > R

    b) Dalla conservazione dellenergia T Q ((0) ()) e visto che:

    (0) () = RE(r) dr

    0R

    E(r) dr = 14pi0

    [Q

    R+

    Q

    3R

    ]=

    Q

    3pi0R

    otteniamo:12mv20

    Q2

    3pi0R

    c) Per il calcolo dellenergia sfruttiamo il campo elettrico calcolato al punto a):

    U =

    120E(r)2d =

    02

    [ R0

    E(r)2d + R

    E(r)2d

    ]=

    Q2

    (4pi)20

    [ R0

    r4

    R84pir2dr +

    R

    1R4

    4pir2dr

    ]=

    Q2

    4pi01R

    [17+ 1]

    [SOLUZIONE PROVVISORIA, PROBABILMENTE MANCA 1/2]

    d) In tal caso il primo termine dellintegrale precedente e` nullo, in quanto e` nullo il campo elettrico allinterno dellasuperficie carica, mentre il campo allesterno rimane invariato, per cui:

    U = 17Q2

    4pi01R

    e) La carica totale in questo caso e` nulla e rimane solo un campo di dipolo elettrico:

    E(r) =1

    4pi03(p r)r p

    r3per |r| R

  • 15

    Il momento di dipolo e` allineato lungo lasse z (si e` divisa la sfera nelle emisfere z > 0 con > 0 e z < 0 con < 0), per cui calcolando il contributo al momento di dipolo rispetto allorigine dellemisfero positivo abbiamo:

    p+z =z>0

    zdq =z>0

    r cos() r r2dr sin()dd = 2pi R0

    r4dr

    pi2

    0

    sin() cos()d =15piR5

    e tenendo conto anche dellanalogo contributo dellaltro emisfero abbiamo:

    p =25piR5z =

    25QRz

    col quale possiamo valutare il campo elettrico a grande distanza dalla sfera.

    2Una molla di lunghezza a riposo d, lunghezza iniziale ` = d/2, co-stante elastica k e` costitituita da costituita da N spire conduttrici

    di sezione circolare S d2 e resistenza trascurabile percorse da una correnteiniziale I0.

    a) Determinare come varia la corrente I se ` viene variato.

    b) Determinare il valore di I0 tale che ` = d/2 sia posizione di equilibrio.

    La corrente viene mantenuta costante al valore I0 da un generatore esterno, ela molla viene lentamente allungata fino a raggiungere la lunghezza di riposo d.

    c) Calcolare il lavoro delle forze esterne.

    d) Calcolare la variazione di energia magnetica ed il lavoro compiuto dalgeneratore.

    Soluzione:

    a) La corrente varia in modo da mantenere costante il flusso del campo magnetico = LI con L = 0SN2/`.Quindi I = I0L0/L = I0(2`/d).

    b) Lenergia magnetica vale U = LI2/2 = 20/2L = Fmag` dove Fmag = 20I20SN

    2/d2 e produce quindi unaforza magnetica costante ed attrattiva Fmag. (Come noto la forza magnetica tende ad attirare fili percorsi dacorrenti nello stesso verso. Il calcolo esplicito partendo dalla forza di Lorentz e` complicato in quanto la forzatotale Fmag dipende da effetti ai bordi). Eguagliandola alla forza repulsiva elastica Fel = k(d/2) si trova I0 =d3/2k1/2/2NS1/21/20 .

    c) La forza magnetica Fmag = 0I20N2S/2`2 e la forza elastica sono state calcolate al punto b). Quindi occorre

    fornire un lavoro Lmecc = k/2(d/2)2 + 0I20N2S/2d. Inserendo il valore di I0 calcolato al punto b) si ottieneLmecc = 0. La cancellazione non e` dovuta a nessun motivo di principio.

    d) Lenergia magnetica dipende da ` come Umag = LI20/2 1/`. Quindi Umag = (I20/2)L = 0I20N2S/2d.Il bilancio energetico Lgen + Lmecc = Umolla + Umag consente di ricavare Lgen. Alternativamente, il calcolodiretto fornisce

    Lgen =V I dt = I0 = I20L =

    0I20N

    2S

    d

    Compito di Fisica bIB (12 luglio 2004)

  • 16 CAPITOLO 1. ELETTROSTATICA E MAGNETOSTATICA

    1Si considerino due spire circolari coassiali di raggio a e resistenza Rposte a distanza d a. Una corrente I1(t) = Kt fluisce in verso

    antiorario attraverso una delle due spire.

    1. Trascurando i coefficienti di autoinduzione, calcolare la corrente I2(t) chefluisce nella seconda spira, specificandone il verso.

    2. Calcolare la forza ed il momento della forza cui e` soggetta la secondaspira.

    3. Calcolare il coefficiente di mutua induzione delle due spire poste sia nellaposizione su indicata che nel caso in cui una giaccia su un piano contenentelasse dellaltra.

    4. Determinare il campo elettrico generato solamente dalla prima spira inuna regione intorno all asse della spira stessa a distanze molto maggioridi a.

    2I

    d

    a

    I1

    Soluzione:

    a) Dato che la distanza fra le spire e` molto maggiore del raggio delle stesse, possiamo considerare il campo generatodalla prima omogeneo sulla superficie della seconda e pari a quello presente nel suo centro:

    B12 =04pi

    I1

    s1

    d`1 r21r321

    =0a

    2I1z

    2r3

    ove si e` posto per convenienza r2 = a2 + d2. Integrando sulla superficie della seconda spira abbiamo il flussoconcatenato dalla prima:

    12 =0pia

    4I12r3

    e dalla legge di Faraday possiamo scrivere la forza elettromotrice indotta dalla variazione di I1 sulla secondaspira:

    E2 = d12dt

    = 0pia4

    2r3dI1dt

    = RI2

    nella quale si intende che il generatore E e` orientato lungo la direzione della corrente I2, ovvero tale correntelo percorre dal polo negativo a quello positivo. Sostituendo la derivata della corrente nella prima spira, abbiamo:

    I2 = 0pia4K

    2r3R

    b) Se consideriamo le due spire come due dipoli magnetici:

    m1 = piI1a2z e m2 = piI2a2z

    abbiamo che il momento della forza della prima sulla seconda e` pari a:

    N12 =m2 B(r2) = 0

    visto che sia m2 che B12 sono allineati lungo lasse z. La forza e` invece:

    F 12 = (m2 )B(r)|r=r2 = piI2a2

    z

    (0a

    2I1z

    2r3

    )=

    34pi220a

    8K2tz

    r8Rz

    c) Il coefficiente di mutua induzione nel caso di spire con gli assi paralleli e` per definizione pari a:

    M12 =12I1

    =0pia

    4

    2r3

    mentre nel caso gli assi siano ortogonali, dato che il campo B12 si mantiene parallelo alla superficie dellaseconda spira, il flusso concatenato e` nullo e cos` pure il coefficiente di mutua induzione.

  • 17

    d) Per ragioni di simmetria il campo elettrico E indotto deve avere solo componente tangenziale, come si puo`dimostrare sfruttando una riflessione speculare su un piano che contiene lasse della prima spira. Considerandoquindi la seconda equazione di Maxwell integrata su un disco di raggio , concentrico con lasse z ed orientatolungo il medesimo, abbiamo:

    S

    E d` = 2piE() = t

    S

    B d = pi2 Bzt

    da cui:

    E() = 2Bzt

    = 20a

    2K

    2r3

    valido fintanto che sia d.

    2Un condensatore cilindrico e` costituito da due armature di altezza he raggi esterno ed interno R e r (vedi figura). Allinterno del conden-

    satore e` presente un dielettrico isotropo con costante dielettrica e massa m.Il dielettrico e` libero di scorrere senza attrito in direzione longitudinale rispettoalle armature del condensatore ed e` soggetto allazione del campo gravitazio-nale g. Le armature del condensatore sono mantenute ad una differenza dipotenziale V da un opportuno generatore. Detta z laltezza della porzione didielettrico che emerge dal fondo del condensatore, calcolare:

    1. la capacita` C(z) del condensatore in funzione dellaltezza z.

    2. le distribuzioni della densita` di carica presenti sulle armature

    3. la forza totale agente sulla lastra di dielettrico specificandone il verso.

    4. il potenziale V0 col quale il dielettrico puo` essere mantenuto in equilibrio.

    Supponendo che il condensatore sia mantenuto alla differenza di potenziale V0e che il dielettrico sia parzialmente inserito fra le sue armature, calcolare:

    5. il lavoro fatto dal generatore quando il dielettrico viene spostato di unaquantita` z

    6. la variazione dellenergia totale del sistema a seguito del medesimospostamento z del dielettrico.

    g

    z

    Rr

    +

    V

    Soluzione:

    a) La capacita` si puo` calcolare considerando il parallelo di due condensatori cilindrici, il primo in aria di altezza zed il secondo con dielettrico di altezza h z:

    C(z) =2pi0

    [z + (h z) 0

    ]ln (b/a)

    b) Dalle condizioni al contorno per la componente di E parallela alla superficie superiore del cilindro dielettrico edal teorema di Gauss per il campo D abbiamo:

    Earia(r) = Ediel.(r) =:Daria(r)

    0=Ddiel.(r)

    =:

    aria0

    =diel.

    quindi dalla carica totale Q presente sullarmatura interna:

    aria =Q

    2pia[z + (h z) 0

    ] , diel. = 0

    aria

    c) Per il calcolo della forza conviene procedere con la tecnica dei lavori virtuali e pertanto scriviamo lenergia totaledel sistema condensatore, dielettrico e generatore:

    E = T mgz + 12C(z)V 2 + Ugen.

  • 18 CAPITOLO 1. ELETTROSTATICA E MAGNETOSTATICA

    ove il primo termine e` lenergia cinetica del dielettrico, eventualmente in moto, il terzo lenergia del campo elet-trostatico mentre Ugen. indica lenergia interna del generatore, da intendersi ad esempio come lenergia chimicadi una pila. Per questultima, al passare di una carica q = CV verso larmatura interna del condensatore aseguito di un cambiamento della capacita` del medesimo, abbiamo che:

    Ugen. = Lgen.syst. = qV = CV 2

    e pertanto la variazione di energia totale del sistema per uno spostamento virtuale z del dielettrico e` pari a:

    E = T mgz + 12C(z)V 2 C(z)V 2 = T mgz 1

    2C(z)V 2

    Consideriamo ora il dielettrico fermo sia prima che dopo lo spostamento e a tal proposito applichiamo al die-lettrico una forza esterna F = Fz z ( z e` il versore unitario diretto verso il basso) tale da mantenerlo in talecondizione, allora:

    E = Fzz = mgz 12C(z)V2

    La forza totale percepita dal dielettrico, a seguito dellazione del campo gravitazionale ed elettrostatico e` loppostodella forza esterna utilizzata per mantenerlo in equilibrio, ed e` pertanto pari a:

    Fdiel. = Fz z =(mg +

    12C

    zV 2)z =

    (mg 1

    22pi0V 2

    ln (b/a)

    [

    0 1])

    z

    ove il contributo del campo elettrostatico e` diretto in modo da attrarre il dielettrico allinterno del condensatore,dal momento che la derivata della capacita` rispetto alle variazioni di z e` negativa.

    d) Il potenziale V0 e` tale per cui la forza totale agente sul dielettrico e` nulla, ovvero:

    V 20 =mg ln (b/a)

    pi0

    [0 1]

    e) Il calcolo precedente fornisce la risposta una volta sostituito il valore V0 per il potenziale:

    Lgen.syst. = qV0 = Cz

    V 20 z

    f) La variazione di energia del sistema condensatore-dielettrico e` pari al lavoro fatto dal generatore:

    E Lgen.syst.peraltro e` utile verificare tale relazione con il calcolo esplicitito, allorche` si sfrutti la condizione di equilibrio:

    mg +12C

    zV 20 = 0

    da cui:E = mgz + 1

    2CV 20 =: E = mgz +

    12CV 20 = CV

    20 = Lgen.syst..

    Compito di Fisica bIB (6 febbraio 2004)

    1Due dipoli magnetici sono posti nelle posizioni (0, 0, d) e (0, 0,d) di un sistema di coordinate cartesiane(vedi fig. 1) ed hanno momenti magnetici m antiparalleli ed allineati lungo lasse z. Si calcolino nei punti

    del piano xy:

    a) le componenti ortogonali e parallele al piano del campo B.

    Si consideri ora il caso in cui sia presente il solo dipolo in posizione (0, 0, d) mentre il semispazio z < 0 risultariempito con un materiale superconduttore (vedi fig. 2). Ricordando che un tale materiale ha la proprieta` di opporsialla creazione di un qualunque campo magnetico allinterno del proprio volume (effetto Meissner) si calcoli:

  • 19

    b) il valore di Bz nei punti situati appena allesterno della superficie del superconduttore;

    c) il campo magnetico B nel volume z > 0 (suggerimento: si sfrutti la tecnica delle cariche immagini);

    d) la forza cui e` soggetto il dipolo in funzione della sua altezza z.

    d

    d

    m

    m

    x

    z

    y

    d

    m

    z

    B=0

    x

    Fig. 1 Fig. 2

    Soluzione: Questo esercizio richiede di sfruttare una variazione della tecnica delle cariche immagini. Nel caso delproblema elettrostatico di una carica affacciata ad un piano conduttore e` richiesto un campo che risulti normale allasuperficie del piano, nei punti appena allesterno del medesimo. In tale contesto una carica posta simmetricamentealla prima e di segno opposto e` proprio tale da annullare le componenti tangenti. Al contrario, utilizzando una caricacol medesimo segno si ha leffetto di annullare la componente normale. Con un dipolo affacciato ad un piano, lacondizione al contorno in cui il campo e` normale alla superficie, si ottiene considerando un dipolo immagine in cui isegni delle cariche sono invertiti, il che con loperazione di simmetria speculare porta ad un dipolo parallelo e concordeal primo. Un dipolo immagine antiparallelo produrra invece un campo tangente alla superficie.

    a) Il campo magnetico e` la somma dei due campi dipolari:

    B(r) =04pi

    [3(m r1)r1 m

    r31+3(m r2)r2 +m

    r32

    ](1.5)

    ove i vettori r1,2 e i relativi versori r1,2 sono dati da:

    r1 = r (0, 0,+d), r1 = r1r1

    r2 = r (0, 0,d), r2 = r2r2

    Per un vettore r appartenente al piano abbiamo:

    B(r) =04pi

    [6(m d)r(d2 + r2)5/2

    ]

    che corrisponde ad un campo tangente al piano nei punti prossimi al medesimo.

    b) Il fatto che la divergenza di B sia nulla impone che la componente normale al piano sia continua nel passare daun lato allaltro del medesimo per cui:

    Bz(x, y, 0+) = 0

    c) Il primo punto suggerisce di considerare come soluzione la (1.5), sovrapposizione del campo di dipolo del ma-gnetino e del campo di un dipolo immagine antiparallelo al primo e posto in posizione simmetrica rispetto alpiano. In tal maniera si soddisfano le condizioni al contorno suggerite dal punto b e il campo ha il richiestocomportamento di dipolo in prossimita` della sorgente.

  • 20 CAPITOLO 1. ELETTROSTATICA E MAGNETOSTATICA

    d) La forza cui e` soggetto il dipolo sorgente e` la medesima che sentirebbe se il campo prodotto per la presenza delpiano fosse sostituito dal dipolo immagine e pertanto considerando solo il secondo termine della (1.5) si ha:

    F immdip = (m )[04pi3(m r2)r2 +m

    r32

    ]= m

    z

    [04pi

    2mz(d+ z)3

    ]=

    30m2z32pid4

    ove si e` sfruttato il fatto che viene richiesta solamente la derivata parziale lungo z per limitarsi al calcolo di Blungo la retta (0, 0, z). La forza e` repulsiva ed e` in grado di far levitare il magnetino, cos` come viene spessopresentato nelle dimostrazioni delle straordinarie proprieta` dei materiali superconduttori.

    2Un condensatore piano isolato e` costituito da due armature quadrate di lato L poste a distanza d S1/2.Allinterno del condensatore e` presente una lastra di dielettrico con costante che se inserita in modo completo

    occupa interamente lo spazio tra le armature. La lastra e` agganciata ad una molla di costante K e lunghezza a riposoL, fissata ad un estremo come mostrato in figura. Sia Q la carica presente sulle armature. Trascurando gli effetti dibordo, calcolare:

    a) la capacita` C(x) del condensatore in funzione della distanza x, indicata in figura.

    b) la distribuzione della densita` di carica presente sulle armature.

    c) la forza agente sul dielettrico.

    d) il lavoro necessario per spostare la lastra da una posizione generica 0 < x < L alla posizione x = L.

    xL

    d

    Soluzione: Indichiamo con z lasse ortogonale alle armature del condensatore e diretto verso lalto, con d e vrispettivamente le zona in cui vi e` il dielettrico e quella in cui non e` presente, sia inoltre Q la carica possedutadallarmatura superiore.

    a) Ispirandoci al caso del condensatore piano omogeneo, proviamo se e` possibile una soluzione in cui il campoelettrico fra le armature sia ortogonale alle stesse e costante, ovvero E(r) = Ez. In tal caso infatti sarebberosoddisfatte sia le condizioni al contorno sulle armature, sia la richiesta di continuita` della componente di Etangente ai due lati della superficie di passaggio fra dielettrico e vuoto. Dalle relazioni fra i vettori D ed Eabbiamo:

    Dv = 0E Dd = E

    con le quali possiamo calcolare la densita` di carica sulle superfici delle armature:

    v = Dv,z = 0Ez d = Dd,z = Ez (1.6)

    e quindi la relazione fra carica totale e campo elettrico:

    Q = vS( xL

    )+ dS

    (1 x

    L

    )= EzS

    [0

    ( xL

    )+ (1 x

    L

    )](1.7)

    La capacita` totale risulta pertanto pari a:

    C =Q

    V V =Q

    Ezd =[0

    ( xL

    )+ (1 x

    L

    )] Sd

    b) Le densita` di carica si ottengono calcolando il campo elettrico dalla (1.7) e sostituendolo nelle (1.6) a dare:

    v =0Q

    S[0(xL

    )+ (1 xL

    )] , d = QS[0(xL

    )+ (1 xL

    )]

  • 21

    c) Per il calcolo della forza totale agente sul dielettrico consideriamo la situazione in cui si applica al medesimouna forza esterna F ext = F tot che compensa esattamente le forze esercitate dalla molla e dal campo elettrico.Lenergia totale del sistema e` pari a:

    U(x) =12k(x L)2 + Q

    2

    2C(x)

    per cui dal teorema delle forze vive abbiamo che dato uno spostamento dx:

    dU = F ext dx = F tot dx

    ovvero:

    Ftot,x = ddx

    [12k(x L)2 + Q

    2

    2C(x)

    ]= k(x L) + Q

    2

    2C(x)2dC

    dx

    d) Sempre considerando lenergia di cui al punto precedente:

    L =F ext dx = U = Q

    2

    2C(L) 1

    2k(x L)2 Q

    2

    2C(x)

    3In una regione di spazio dove non vi sono correnti si trova un campo magnetico statico B = B(, z) aventesimmetria cilindrica (cioe` di rotazione attorno allasse z). La componente del campo lungo lasse z e` nota e

    vale Bz = B0zz/L.

    a) Si determini la componente radiale B del campo magnetico.

    Una piccola spira circolare di raggio a, resistenza R e coefficiente di autoinduzione trascurabile si muove con velocita`v costante lungo lasse z, con la propria superficie perpendicolare allasse.

    b) Si calcoli la corrente indotta nella spira e la potenza dissipata per effetto Joule.

    c) Si calcoli la forza sulla spira specificandone direzione e verso.

    Soluzione:

    a) La III equazione di Maxwell, scritta in coordinate cilindriche

    0 = B = 1(B) + zBz,

    impone (B) = B0/L e quindi B = B0/2L. (Allo stesso risultato si arriva considerando il teorema diGauss per una superficie cilindrica di raggio ed altezza h intorno allasse z: (B) = pi2[Bz(z+h)Bz(z)] +2pihB() = 0).

    b) Il flusso di B sulla superficie della spira e` ' B(z)pia2 dove dz/dt = v. Quindi la f.e.m indotta e` E = d/dt =pia2B0v/L. La corrente e` I = E/R e la potenza dissipata e` W = RI2 = (pia2B0v/L)2/R.

    c) Siccome la spira si muove a velocita` costante la forza totale e` zero. Cioe` occorre una forza esterna che siopponga alla forza magnetica, che tenderebbe a frenare la spira. Per calcolarla si possono seguire diversi metodi.A) Siccome F v = W si ha F = v(pia2B0/L)2 (dove v = vz). B) Oppure si puo` approssimare la spira conun dipolo: F = ( B)/2 dove = pia2I z e` il momento magnetico indotto della spira. C) E` interessanteanche fare il conto nel modo piu` complicato: integrando le forze sui singoli portatori di carica, in quanto lacomponente del campo magnetico che produce la forza verticale e` la B calcolata al punto a).

    Compito di Fisica bIB (16 gennaio 2004)

  • 22 CAPITOLO 1. ELETTROSTATICA E MAGNETOSTATICA

    1Una carica puntiforme q e` posta allinterno di un guscio condut-tore sferico di raggio interno R e raggio esterno R, a distanza

    d dal centro. Il guscio conduttore e` posto a terra. Calcolare

    a) Il potenziale ed il campo elettrico in tutto lo spazio.

    b) La forza sulla carica q.

    c) Mostrare che la carica totale indotta sulla sfera e` pari a q.d) Come cambia la risposta a) se il guscio conduttore e` isolato?

    Soluzione:

    a) E` noto che due cariche q e q = qR/d a distanze dd = R2 dal centro di una sfera producono potenziale zerosulla sfera. Questo e` il sistema di cariche immagini che ci serve per calcolare E nella zona interna. Il fatto cheil conduttore abbia spessore finito non complica il problema. Dentro il conduttore e nella zona esterna E = 0.

    b) La forza e` attrattiva e vale F = qq/4pi0(d d)2.c) Siccome fuori E = 0, la carica totale (q + carica indotta) e` zero.

    d) La carica totale ora e` q. Sulla superficie interna si dispone una carica totale q distribuita in modo da schermare,a r > R leffetto della carica puntiforme. Sulla superfcie esterna si dispone uniformemente una carica totale q,generando un campo radiale E = q/4pi0r2. Dentro E rimane come prima.

    2Un tubo conduttore ha raggio esterno b, raggio interno a e altezza h b. Il tubo viene mantenuto inrotazione intorno al proprio asse con velocita` angolare . Calcolare:

    a) Il campo elettrico nel cilindro in regime stazionario;

    b) la distribuzione di cariche e di correnti (superficiali e di volume);

    c) il campo magnetico nel cilindro;

    d) le pressioni elettrostatica e magnetostatica sulle superfici laterali interna ed esterna, specificando in che versosono dirette.

    Soluzione:

    a) Allequilibrio la forza totale agente sugli elettroni e` zero: F = qeE +me2r = 0 quindi E = 2rme/qe.b) La densita` di carica e` costante: usando la divergenza in coordinate cilindriche

    = 0 E = 0 1r

    r(rEr) = 202me/qe.

    La densita` superficiale e` b = 0E(b) e a = 0E(a). Il valore ed il segno sono quelli attesi in quanto la caricatotale viene zero: qtot = pi(b2 a2)+ 2pi(bb + aa).La carica gira e dentro il conduttore genera una corrente J(r) = v = r cioe` J = r. Sulla superfici a eb ce` una densita` superficiale di corrente a,b = a,bva,b.

    c) Per simmetria B e` diretto lungo lasse. Siccome la corrente e` prodotta da una carica totale zero, Bz = 0 perr < a e per r > b. Dalla IV equazione di Maxwell ed dal teorema di Stokes segue che appena dentro il cilindroBz(r = a) = 0a = 0aa. Per calcolare Bz dentro il cilindro scelgo di non usare Stokes. Scrivo invecela IV equazione di Maxwell in forma differenziale usando la formula del rotore in coordinate cilindriche:

    (B) = Bzr

    = 0J : Bz(r) = Bz(a) r2 a22

    0 per a < r < b.

    Si puo` verificare che Bz(b+ 0) = Bz(b 0) 0bb viene zero come deve.d) La pressione lungo una superficie dove E e B variano e` data da p = L dove L = 02 E

    2 120B2 ed e` direttaverso dove L e` grosso. Il termine elettrico e` dominante per b c: la pressione tende quindi a comprimere ilconduttore.

  • 23

    3Una spira di forma semicircolare, raggio a, resistenza elettricaR ed autoinduttanza L e` posta col centro nellorigine di un

    piano coordinato xy (vedi figura). Nel semipiano x > 0 e` presente uncampo magnetico B ortogonale al piano stesso. Indichiamo con lan-golo formato dal diametro della spira con lasse y, e consideriamo il casoin cui la spira sia mantenuta in rotazione con velocita` angolare costantecon legge oraria = t. Si calcoli:

    a) la f.e.m. indotta dal campo magnetico esterno sulla spira infunzione del tempo (la si rappresenti graficamente);

    b) la corrente che circola nella spira nellipotesi che L/R pi/;c) il momento delle forze esercitate sulla spira e la potenza necessaria

    per mantenerla in rotazione.

    y

    x

    B

    Nellistante in cui la spira ha compiuto esattamente un giro, il campo magnetico viene spento e la spira viene lasciatalibera di ruotare attorno al proprio asse senza attrito, determinare:

    d) la legge oraria della spira e lenergia totale dissipata.

    Soluzione: Scegliamo in maniera arbitraria una normale positiva n per la spira, la quale e` univocamente legata alverso di percorrenza e al segno del generatore di forza elettromotrice . Analogamente scegliamo un verso arbitrarioper la corrente I che percorre la spira (vedi figura).

    a) Dalla legge di Faraday abbiamo:

    E = dBdt

    ove il flusso B e` pari a:

    B = BzS()pia2

    2pi

    In tale formula si e` indicato con S()/2pi la frazione di area delcerchio attraversata dal campo magnetico esterno B (vedi fig. 2).In definitiva abbiamo:

    E = 12a2BzS

    ()

    B

    n^

    y

    x

    I

    R

    +

    -2 - 0 2 3 4

    0.5

    1

    1.5

    2

    2.5

    3

    SHL

    -2 - 0 2 3 4

    -1

    -0.5

    0.5

    1SHL

    -

    0

    2

    3

    4

    t

    I0

    IHtL

    b) Lequazione del circuito e`

    E +RI + LI = 0 : LI +RI = 12a2BzS

    ()

    la cui soluzione puo` essere trovata componendo le soluzioni negli intervalli in cui S() risulta costante. Nellipo-tesi che il tempo di rilassamento = L/R sia molto minore del tempo fra i cambiamenti di segno della funzioneS(t), abbiamo:

    I0 =12R

    a2BzS() I(t) = I0

    {1 et/ per t < pi/1 2e(tpi/)/ per t > pi/

  • 24 CAPITOLO 1. ELETTROSTATICA E MAGNETOSTATICA

    c) La forza di Lorentz viene esercitata dal campo B solo nella regione di filo presente nel semipiano x > 0. Inoltrela forza che esercitata sul segmento circolare della spira e` radiale e pertanto non contribuisce al momento delcampo sulla spira stessa. Rimane da calcolare il contributo associato al segmento rettilineo:

    dF = IdrBzS()r z = IdrBzS()

    Il momento totale e` pertanto dato da:

    M =dM =

    r dF = IBzS()(r )

    a0

    drr = I(t)BzS()a2

    2z

    dove I ed S cambiano segno in modo che il momento delle forze tende sostanzialmente sempre ad opporsi almoto. La potenza vale

    P =M = IBz a2

    2S()

    -

    0

    2

    3

    4

    t

    P0PHtL

    d) Al compimento del primo giro il campo magnetico B non e` concatenato con la superficie e pertanto il suospegnimento non ha effetto sulla spira. In seguito la spira non e` piu` soggetta a forze esterne e procede convelocita` angolare costante. La corrente attraverso la spira decade esponenzialmente come richiesto da un ordinariocircuito RL:

    I(t) = I0et/ ove I0 = 12Ra2Bz E =

    LI202

    Compitino di Fisica bIB (19 dicembre 2003)

    1Due piastre circolari di raggio a sono poste orizzontalmente una sopra laltra a z = d/2 a. Ciascunadelle due piastre contiene una carica Q/2 distribuita uniformemente lungo la superficie. Il volume V fra le

    due piastre e` riempito con un materiale di conducibilita` e densita` iniziale di carica 0 = Q/V .

    a) Calcolare la densita` di corrente J allistante iniziale.

    b) Si mostri che rimane uniforme e se ne calcoli levoluzione temporale.

    c) Calcolare lenergia dissipata per effetto Joule.

    d) Calcolare il campo magnetico.

    Soluzione:

    a) J = E. Il campo elettrico e` diretto lungo lasse z e vale zero per z = 0. La prima eq. di Maxwell Ez/z = /0implica Ez = z/0 per |z| < d/2. Fuori E = 0.

    b) = J = E = /0: quindi (t) = 0et/ dove = 0/.c) Si puo` procedere integrando la potenza W sul tempo. Oppure, si puo` piu` semplicemente usare il fatto che tutta

    lenergia iniziale E0 viene dissipata:

    E0 =dV

    0E2

    2=

    dQ2

    24pia20.

    d) B = 0(J + JS) dove J = E e` la corrente e JS = 0E = J e` la corrente di spostamento. QuindiB = 0.

  • 25

    2Una spira rettangolare di massa m e` disposta verticalmentein prossimita` di un filo rettilineo infinito percorso da corren-

    te costante IF . La spira ha resistenza R ed induttanza trascurabile.Il sistema e` soggetto allazione del campo gravitazionale. Detta zIla coordinata del lato della spira piu` vicino al filo (vedi figura), sicalcolino:

    a) il coefficiente di mutua induzione fra spira e filo;

    b) lequazione del moto per la spira;

    IF

    a

    g

    b

    R

    z

    zI

    c) il tempo t, a partire dal momento in cui la spira e` lasciata libera di cadere, per il quale laccelerazione e` massimaed il valore di tale accelerazione.

    Soluzione: Indichiamo con n la normale alla spira la quale, sfruttando la regola della mano destra, individua ilrispettivo verso di percorrenza (antiorario in figura) ed il segno del generatore della forza elettromotrice E.

    a) Calcoliamo il campo B prodotto dal filo:

    B = 0if2pir

    n

    e dal suo flusso attraverso la spira:

    fs =Mif = 0ifb2pi ln(z + az

    )otteniamo il coefficiente di mutua induttanza M richiesto.

    IF

    a

    g

    b

    R

    z

    zI

    n

    +

    I

    b) Trascurando lautoinduttanza della spira abbiamo dal circuito in figura che E = RI, ove sfruttando la legge diFaraday si ha:

    E = dfsdt

    =0ifb

    2pid

    dtln(z + az

    )da cui la corrente indotta a seguito del movimento della spira:

    I = 0ifb2piR

    a

    z(z + a)z

    Calcolando la forza di Lorentz, osserviamo che i lati verticali sono soggetti a contributi opposti i quali si elidono,mentre per i lati orizzontali abbiamo:

    F fs =0ifI

    2piab

    z(z + a)z

    Lequazione del moto e` pertanto:

    mz = (

    0ifa

    2piz(z + a)

    )2b2

    Rz +mg

    Come atteso linduzione magnetica produce una forza tipo attrito. Nei limiti in cui questa forza e` grossa odebole sarebbe semplice risolvere lequazione del moto.

    c) Nellequazione del moto il termine dipendente dalla velocita` ha segno opposto al termine costante dovuto allaforza di gravita`; pertanto laccelerazione massima z = g si ha allinizio della caduta (ed eventualmente anche at).

    3Una piccola spira circolare di raggio a, resistenza R e indut-tanza trascurabile si trova allinterno di un lungo solenoide

    avente n spire per unita` di lunghezza. Il centro della spira giace sul-lasse del solenoide, con il quale lasse della spira forma un angolo (vedi figura). Nel solenoide passa la corrente (lentamente) variabilenel tempo I(t) = I0t/ .

    B z

    x

    a) Calcolare la corrente i indotta nella spira ed il campo magnetico totale al centro della spira;

  • 26 CAPITOLO 1. ELETTROSTATICA E MAGNETOSTATICA

    b) Calcolare il momento delle forze sulla spira;

    c) Discutere la forza sulla spira (almeno in direzione e verso) nel caso in cui essa sia vicina ad una estremita`.

    Soluzione:

    a) Il campo generato dal solenoide al suo interno vale B = 0nI(t). Il flusso attraverso la spira vale = pia2B cos ,la forza elettromotrice indotta e la corrente circolante nella spira sono quindi

    E = ddt

    = pia20nI0 cos

    , Isp =

    ER.

    Al centro della spira la corrente indotta genera un campo Bsp che in modulo vale

    Bsp =0Isp2a

    =pia20nI0 cos

    2R

    che, dovendo opporsi alla variazione di flusso per la legge di Lenz, forma un angolo pi con il campo generatodal solenoide. Il campo magnetico totale al centro della spira avra` una componente lungo z ed una lungo x

    Bx = Bsp sin Bz = 0nI Bsp cos

    b) Il momento M che agisce sulla spira vale M = B, dove = IspSn e` il momento magnetico della spira.Quindi

    M = pia2 Bsp 0nI sin(pi ) = pi2a420n2I

    20 sin cos

    R2t

    c) La forza sulla spira vale vale F =(B), con lorientazione di costante. Siccome il indotto e` anti-paralleloa B la forza tende a muovere la spira verso lesterno del solenoide. Calcolare il gradiente di B richiede solotempo; e` facile stimare che attorno allimboccatura B B/a.

    Compitino di Fisica bIB (18 novembre 2003)

    1Due sfere indeformabili di uguale raggio R, aventi massa M e cariche Q uniformemente distribuite nelproprio volume, si attraggono partendo da fermo e da distanza infinita.

    a) Si calcoli lenergia iniziale del sistema.

    b) Si calcoli la velocita` delle sfere quando si toccano (cioe` quando la distanza tra i centri e` d = 2R).

    Dopo il contatto, le sfere continuano a muoversi compenetrandosi senza attrito.

    c) Mostrare che il campo elettrico nella regione di sovrapposizione delle sfere e` uniforme e darne il valore in funzionedella distanza d (< 2R) tra i centri.

    d) Si calcoli la velocita` delle sfere quando i centri si sovrappongono (d = 0).

    Soluzione:

    a) Il calcolo dellenergia delle due sfere, quando la distanza dei centri sia tale da non avere sovrapposizione dellerispettive distribuzioni di carica, si puo` scrivere come:

    U =12

    S1

    dq1 (1 + 2) +12

    S2

    dq2 (1 + 2) = 2U0 + Uint

    ove si e` indicato con U0 = 12S1dq11 lenergia necessaria allassemblaggio di una singola sfera e con Uint il

    contributo associato allinterazione delle due distribuzioni. Calcolo di U0: ci serve il campo elettrico determinatoda ogni singola sfera il quale, utilizzando il teorema di Gauss, risulta essere:

    E(r) =

    kQR3 r r < R

    kQr3 r r R

  • 27

    quindi la funzione potenziale associata alla presenza di una singola distribuzione sferica di carica e` pari a:

    (r) =

    kQR +

    kQ2R3 (R

    2 r2) r < RkQr r R

    e lenergia di autointerazione risulta dallintegrale:

    U0 =12

    Sr

    dq =

    2

    Sr

    dr(r) =

    2

    R0

    kQ

    2R3(3R2 r2) drd = 3

    5kQ2

    R

    Calcolo di Uint: se r > 2R sappiamo che e` conseguenza del teorema di Gauss il fatto che la forza di interazionefra le sfere e` uguale a quella fra due cariche puntiformi poste nei rispettivi centri. Quindi lenergia potenzialeelettrostatica totale risulta pari a:

    U(r) =65kQ2

    R kQ

    2

    rper r 2R.

    b) Si conserva sia limpulso totale che lenergia del sistema e pertanto:

    22Mv2 =

    kQ2

    2R: v =

    kQ2

    2MR

    c) Sia ora r il vettore posizione del centro di S2 rispetto al centro di S1, supponiamo r < 2R e poniamo lorigine diun sistema di riferimento coincidente col punto di mezzo di tali centri. In tal caso, considerando punti allinternodelle distribuzioni di entrambe, abbiamo:

    E(x) = E1(x+r

    2) +E2(x r2 ) =

    kQ

    R3

    (x+

    r

    2

    ) kQ

    R3

    (x r

    2

    )=

    kQ

    R3r

    da cui la costanza del campo nella zona di sovrapposizione.

    d) Nel momento in cui i centri delle sfere sono coincidenti, le due cariche e i rispettivi campi si elidono. Lenergiadella configurazione risulta U(0) = 0 e pertanto, con le medesime considerazioni utilizzate per il calcolo al puntob, si ha:

    22Mv2 = U() : v =

    65kQ2

    MR.

    2Due cariche puntiformi Q1 = q e Q2 = q sono poste di fronte ad un pianoconduttore infinito e messo a terra. Le due cariche sono poste a distanza d

    luna dallaltra ed entrambe a distanza d/2 dal piano. Calcolare:

    a) la forza totale esercitata dalle cariche sul piano;

    b) il campo elettrico sullasse z a distanza z d dal piano (vedi figura);c) la densita` superficiale (x, y) di carica indotta sul piano conduttore lungo la

    retta x = 0;

    d) lenergia elettrostatica del sistema.

    d2

    d2 +q

    q

    d z

    y

    x

    Soluzione: Il sistema di cariche immagini e` mostrato in figura.

  • 28 CAPITOLO 1. ELETTROSTATICA E MAGNETOSTATICA

    a) La forza che le cariche esercitano sul piano e` uguale ed opposta alla forza che il pianoesercita sulle cariche:

    F1+2piano = Fpiano1+2 = (q E1 q E2)

    ove Ei indica il campo determinato, nella posizione della carica i-esima, dalle altrecariche presenti nel sistema. Utilizzando la tecnica delle cariche immagini si ha:

    F piano1+2 = q (kqd2z+

    kq

    2d2z+ y

    2

    ) q

    (kq

    d2z kq

    2d2z y

    2

    )= kq

    2

    d2

    (2 1

    2

    )z

    il cui opposto e` la forza richiesta.

    d2

    d2 +q

    q

    d z

    y

    q

    +q

    13

    4 2

    r

    x

    ^

    ^^

    b) Il calcolo del campo elettrico a distanza z d dal piano suggerisce di considerare le quattro cariche, quelle realie le loro immagini, come una coppia di dipoli. Posto p = qdy, abbiamo il potenziale:

    (x) = kp rr3

    r=x d2 z

    k p rr3

    r=x+ d2 z

    ' kd z p rr3

    r=x

    ed utilizzando il sistema di coordinate polari di figura abbiamo:

    p rr3

    =(p sin r2

    )=

    p

    r3

    (2 sin r+ cos

    )ovvero, sviluppando il prodotto scalare:

    (x) ' 3kdp2|x|3 sin 2

    Siamo ora in grado di calcolare il campo come:

    E(x) = |x '32dkp

    |x|4[3 sin 2r 2 cos 2

    ]da cui il risultato richiesto, qualora si ponga = 0.

    c) Calcoliamo la carica indotta sul piano come somma della carica indotta da ciascuna delle q1,2 separatamente.Indicata con r la posizione di un punto del piano relativamente alla proiezione ortogonale della carica sul pianostesso, abbiamo che il campo elettrico, appena allesterno della superficie conduttrice, e` pari a:

    E(r) = kqdz(r2 + d24

    ) 32

    e sfruttando il teorema di Gauss:

    q(r) = 0 (Eext. Eint) z = qd4pi(r2 + d24

    ) 32

    Sommando quindi i contributi dovuti alla presenza di entrambe le cariche si ha:

    (0, y, 0) =qd

    4pi

    1((y + d2 )

    2 + d24) 32 1(

    (y d2 )2 + d2

    4

    ) 32

    d) Lenergia potenziale della configurazione e` pari a:

    U =12

    z>0

    (r)(r)dr+12

    i=1,2

    qi(ri) =12

    (12

    z r1(0) dal centro, ad ogni istante successivo r2(t) > r1(t).)

    b) Sia r = r(t) la posizione al tempo t delle particelle che a t = 0 sono a distanza r0 = r(0) < R dal centro.Mostrare che lequazione del moto per r = r(t) e`

    md2r

    dt2=

    qQ

    4pi0r2(r0R

    )3()

    c) Si dica a che distanza dal centro si trovano inizialmente le particelle che acquistano la massima energia cineticadurante lespansione, e si dia il valore di tale energia massima.

    Soluzione:

    a)

    V (r) =

    {Q

    4pi0( r22R3 + 32R ) per r < R

    Q4pi0

    1r per r > R

    b) Poiche` le particelle non si scavalcano, la carica contenuta entro una sfera di raggio r(t) rimane costante.

    c) Lenergia potenziale corrispondente allequazione del moto (*) e` Ur0 = (Q/4pi0)(r0/R)3/r. Lenergia cinetica

    massima viene acquistata a distanza infinita ed e` uguale a Ur0 , che e` massima per r0 = R.

    4Due lastre metalliche identiche di superficie S emassa M possono scorrere senza attrito lungo la

    superficie interna di una guida isolante. Inizialmente le la-stre sono a distanza h = hi

    S fra loro. Nello spazio

    fra le lastre si trova un gas avente densita` n = ni e suscet-tivita` dielettrica i. Si supponga che sulle lastre si trovinorispettivamente le cariche +Q e Q.

    a) Calcolare la forza tra le lastre e lenergia elettrostatica del sistema,

    b) Calcolare la velocita` delle lastre quando, sotto lazione delle forze elettrostatiche, la distanza fra esse e` variatadi hi/2.

    Si supponga ora che la suscettivita` dielettrica del gas dipenda linearmente dalla sua densita`:

    =inin

    La guida e` a tenuta stagna e quindi la quantita` totale di gas tra le lastre e` costante (la pressione cinetica del gas e`trascurabile).

    c) Sotto questa nuova ipotesi si risponda di nuovo alle domande a), b).

    Si supponga ora che le lastre siano connesse fra loro attraverso un generatore che mantiene una differenza di potenzialecostante V tra esse, mantenendo le altre ipotesi.

    c) Rispondere di nuovo alle domande a), b) ( costante) e c) ( variabile con la densita`).

  • 32 CAPITOLO 1. ELETTROSTATICA E MAGNETOSTATICA

    Soluzione:

    a) Ues = Q2/2C = Q2h/2S dove = 0(1 + i). F = Ues/h = E/2 (attrattiva).b) Poiche` il ssitem a e` isolato Kf Ki = 2(Mv2/2) = Ufes U ies = U ies/2 = Q2/4C.c) Come a) e b), ma nel calcolo dellenergia bisogna considerare la variazione di = (h) = 0(1 + ihi/h):

    Ufes U ies = (Q2/2)[hi/(2(hi/2)) hi/(hi)].d) Per uno spostamento a V costante dUes = d(CV 2/2) = (V 2/2)dC, dUgen = dW = V dQ = V 2dC, dUtot =

    dUes+dUgen = (V 2/2)dC, dove dC = d(S/h) = S(/h2+h/h)dh. In particolare Kf Ki = UftotU itot =(V 2/2) dC e quindi

    Mv2 = S(V 2/2) hi/2hi

    (/h2 + h/h)dh.

    Compito di Fisica bIA (11 luglio 2003)

    1Un filo percorso dalla corrente variabile I = I0t/ e` di-sposto lungo lasse z di un sistema di riferimento. Lungo

    lasse x, a distanza r dal filo si trova una piccola spira quadratadi lato a r e resistenza R. Il piano della spira e` perpendicolareal piano zy e forma un angolo col piano xy.Calcolare:

    a) la corrente i indotta nella spira;

    b) la forza sulla spira, specificandone il verso;

    c) il momento delle forze sulla spira, specificandone il verso.

    2Sulla superficie di un palloncino sferico di raggio a e` distribuita lacarica Q. Il palloncino si trova allinterno di un guscio conduttore

    sferico di raggio R > 2a. I centri delle due sfere coincidono.Il conduttore viene messo a terra, cioe` mantenuto a potenziale nullo.

    a) Calcolare la differenza di potenziale tra palloncino e guscio.

    b) Calcolare la pressione elettrostatica sul palloncino e sulla superficieinterna del guscio conduttore.

    Il palloncino si espande fino ad un raggio a = 2a.

    c) Calcolare il lavoro compiuto dalle forze durante lespansione del palloncino.

    Si consideri ora il caso in cui il guscio conduttore e` isolato.

    d) Si dica come cambiano le risposte a)-c) rispetto al caso di conduttore a terra.

    3Un condensatore piano e` costituito da due armature di superfice S e distanziate di d S. Sulle armaturesi trovano le cariche Q.

    Calcolare la differenza di potenziale tra le armature nei casi seguenti:

    a) Il condensatore e` riempito con due strati sovrapposti di spessore d/2 aventi costante dielettrica a, b > a.

    b) Il condensatore e` riempito con N strati sovrapposti di spessore d/N aventi costante dielettrica 1 = a, 2 =a + , . . . , n = a + (n 1), . . . , N = b essendo = (b a)/(N 1).

  • 33

    c) Il condensatore e` riempito con un materiale di densita` variabile in modo che la costante dielettrica varia nellospazio tra le armature in maniera continua secondo la legge (0 < x < d)

    (x) = a + (b a)x/d

    Compito di Fisica bIA (20 giugno 2003)

    1Un cilindro di raggio r e lunghezza r e` formato da due semicilindri dielettrici (a sezione di semicerchio,uniti lungo laltezza) di costanti dielettriche relative 1, 2 e permeabilita` magnetiche 1 = 2. Sul cilindro

    si avvolgono n spire per unita` di lunghezza in cui si fa passare una corrente I(t) dipendente (lentamente) dal tempo.

    a) Calcolare il campo elettrico allinterno del cilindro.

    Si supponga ora 1 6= 2.

    b) Si risponda di nuovo alla domanda a).

    2Un gas di N elettroni e` confinato in una lastra quadrata di lato L e spessore a L. Il sistema e` posto inun campo magnetico uniforme, parallelo alla superficie della lastra, che nel vuoto ha valore H0. Si calcoli la

    suscettivita` magnetica del sistema seguendo i seguenti passi:

    a) si calcoli il momento magnetico di un elettrone di velocita` v che si muove in un campo uniforme H;

    b) supponendo che tutti gli elettroni abbiano velocita` v e che il loro moto sia confinato nel piano della lastra,calcolare la magnetizzazione M;

    c) sapendo che il campo H e` la somma del campo esterno H0 e del campo dovuto alla magnetizzazione, si calcoli specificando se il sistema risulta diamagnetico o paramagnetico.

    Soluzione:

    a) Lelettrone gira con velocita` v e raggio R dato da v2/R = evB/m generando una corrente i = e/T ed dipolomagnetico

    = piR2i =evR

    2=

    mv2

    2e2

    B

    3Un satellite in orbita polare (raggio r0 > RT , si trascuri la differenza fra polo nord geografico e magnetico)intorno alla terra e` schematizzabile come una spira circolare di raggio a e resistenza R. Il satellite orbita con

    velocita` costante v ed asse parallelo a v. Sia T il momento di dipolo magnetico terrestre. Calcolare:

    a) la corrente I indotta nel satellite in funzione della sua posizione.

    b) la potenza istantanea Pe dissipata per effetto Joule;

    c) la forza meccanica Fm sul satellite e la potenza Pm sviluppata da essa;

    d) lenergia totale Ud dissipata lungo unorbita, nellipotesi Ud U , essendo U lenergia totale del satellite.

  • 34 CAPITOLO 1. ELETTROSTATICA E MAGNETOSTATICA

    Soluzione:

    = AB con B = ... sin /r30. E =

    Compito di Fisica bIA (7 febbraio 2003)

    1Un condensatore piano (superficie S, spessore h = h0+h1+h2) e` riempito con tre strati di materiali diversi:un primo strato di materiale dielettrico con costante dielettrica relativa 1 avente spessore h1, uno strato

    intermedio di conduttore con resistivita` avente spessore h0, ed un terzo strato di materiale dielettrico con costantedielettrica relativa 2 avente spessore h2. Il condensatore e` posto in serie ad un generatore di tensione costante V .

    a) Si trovino in condizioni stazionarie il campo elettrico allinterno di ciascuno strato e le densita` di carica liberasulle superfici di separazione.

    b) Si calcoli il tempo caratteristico affinche` il sistema raggiunga la condizione stazionaria e lintensita` di correntenel conduttore durante la fase transiente.

    Soluzione:

    a) Sia la densita` di carica libera superficiale alla separazione tra larmatura del condensatore ed il dielettrico 1 ec la densita` alla separazione tra il dielettrico 1 ed il conduttore. La neutralita` impone che tra il dielettrico 2 elaltra armatura ci sia una densita` e che tra il dielettrico 2 ed il conduttore ci sia c. Poiche` nel conduttoreE = 0 deve essere = c. Si ha quindi che il campo D = 0E e` lo stesso nei due dielettrici: D1 = D2 ovvero1E1 = 2E2. Dallaltra condizione E1h1 + E2h2 = V si trova D = = 0V/(h1/1 + h2/2) 0.

    a) Durante la fase transiente nel conduttore esiste un campo E0 6= 0 e c 6= . Nel conduttore passa la correnteI = V0/R = dQc/dt dove V0 = E0h0, R = h0/S, e Qc = cS. Quindi dc/dt = E0/ (che e` la legge di Ohm informa differenziale). Dalle condizioni al contorno D1 D0 = c e D0 D2 = c si ha che D1 = D2. Usandoinoltre E1h1 + E0h0 + E2h2 = V , si ha E0 = 0VH0(H+h0) dove H (h1/1 + h2/2). Sostituendo si ha infinedc/dt = H0(H+h0) (V/H ); la soluzione e` c = 0(1 et/ ) dove =

    0(H+h0)H .

    2Un dipolo elettrico p e` posto a distanza z da un piano conduttore infinito mantenuto a potenziale zero. Ladirezione del dipolo forma un angolo con la normale al piano. Si determini:

    a) il potenziale elettrico ed il campo elettrico in tutto lo spazio;

    b) la densita` di carica sul piano conduttore;

    c) la forza sul dipolo;

    d) il momento delle forze sul dipolo.

    Soluzione:

    a) Nella regione esterna al conduttore il potenziale ed il campo sono quelli dovuti al dipolo p piu` un dipolo immaginep posto in posizione simmetrica rispetto a p (cioe` px,y = px,y e p

    z = pz). Quindi

    V =p

    4pi0

    (p rr3

    +p rr3

    )con di , relativi alla direzione dei due dipoli, Sulla superficie del conduttore r = r e V = 0.

    b) Ricordando che un dipolo p genera il campo elettrico

    E =1

    4pi0

    [2(p r)r

    r5+r (r p)

    r5

    ]la carica superficiale vale = 0Ez = pz/pi0z3.

  • 35

    c) Conviene scrivere lenergia potenziale di interazione fra i due dipoli:

    Ue =1

    4pi0(2z)3(p p 3pxpx) = p

    2

    32pi0z3(1 + cos2 ).

    Si ha Fz = Uz = 3p2

    32pi0z4(1 + cos2 ).

    d) Il momento e` M = U = p2

    32pi0z3sin 2.

    3Una sfera di raggio a e massa Ms e` vincolata a muoversi su un asse verticale nel campo della gravita` g. Adistanza z a sotto la sfera ed in asse con essa e` fissata una spira di raggio b z e resistenza R.

    a) Connettendo la spira ad un generatore di tensione si fa circolare in essa una corrente i0. Si scriva lenergiapotenziale dinterazione tra la sfera e la spira e si trovi leventuale condizione per la quale la sfera rimane inequilibrio nel campo di gravita` nelle due situazioni seguenti:

    a1) la sfera ha una magnetizzazione permanente M nella direzione parallela allasse (si considerino esplicita-mente i casi in cui M e` parallela od antiparallela a g.);

    a2) la sfera ha una permeabilita` magnetica .

    b) La spira e` disconnessa dal generatore e la sfera con magnetizzazione costanteM e` lasciata cadere. Si calcolino,in funzione della posizione z e della velocita` di caduta vz della sfera:

    b1) la corrente indotta nella spira, trascurando il coefficiente di autoinduzione;

    b2) la forza esercitata sulla sfera. Si dica se la forza magnetica rinforza lazione della gravita` o si oppone adessa.

    Soluzione:

    a1) A distanze z b il campo magnetico della spira e` quello di un dipolo mi = pib2i0z: quindi sullasse B0(z) 'z0mi/(2piz3). Considerando il campo uniforme sulla sfera, lenergia potenziale e` U ' ms B(z) dove ms =(4pia3/3)M VsM e` il momento magnetico della sfera. La forza magnetica e` Fz = dU/dz = 302piz4ms mi,ed e` attrattiva (repulsiva) se ms, mi sono concordi (discordi); nel secondo caso se Fz =Msg la sfera rimane inequilibrio.

    a2) La magnetizzazione indotta e`MB = 10B0(z) e lenergia potenziale e U = (1/2)VsMB B0(z) = (1)Vs20

    B20(z).La forza magnetica Fz = dU/dz 1/z7 e` sempre attrattiva.

    b1) Il campo magnetico generato dalla sfera sulla spira e` Bs(z) ' z0ms/(2piz3) dove ms = VsM. Il flusso e`(Bs) ' pib2Bs(z) uz. La forza elettromotrice indotta e` = d(Bs)/dt = 0b

    2vzz3 ms uz, essendo vz = dz/dt,

    e la corrente e` i = /R.

    b2) Usando i risultati del punto a1) Fz = 302piz4ms mi dove mi = pib2iuz. Quindi Fz = 320b

    4vz2Rz7 |ms|2 ed e` sempre

    repulsiva.

    Compito di Fisica bIA (17 gennaio 2003)

    1Nel modello di Thomson per latomo di idrogeno, la carica positiva e e` distribuita uniformemente in unasfera di raggio a0. Lelettrone di carica e e` considerato puntiforme e si muove allinterno della sfera.

    a) Calcolare il campo elettrico ed il potenziale generati dalla carica positiva e la posizione dequilibrio per lelettrone(assunto in uno stato di momento angolare nullo).

    b) Determinare lenergia di ionizzazione UI (ovvero lenergia necessaria ad estrarre lelettrone dallatomo). Trovareil valore di a0 consistente col valore sperimentale UI = 2.18 1018 Joule.

  • 36 CAPITOLO 1. ELETTROSTATICA E MAGNETOSTATICA

    c) Determinare il periodo di oscillazione dellelettrone intorno alla posizione dequilibrio e confrontarlo col valoresperimentale T = 3.04 1016 sec1.

    d) Si calcoli il momento di dipolo elettrico p indotto nellatomo da un campo esterno E0, la polarizzabilita` dellatomo e la costante dielettrica dellidrogeno allo stato solido (cioe` nello stato in cui tutti gli atomi sonoadiacenti fra loro a formare un reticolo).

    Si assuma ora che lelettrone descriva unorbita circolare (interna alla sfera) con un valore assegnato L del momentoangolare.

    e) Calcolare il raggio rorb ed il periodo Torb dellorbita, il momento magnetico dellatomo ed il campo magneticoB0 generato dallelettrone al centro dellatomo. Sono gradite stime numeriche (si prenda L = 1.0546 1034Joule sec).

    Soluzione:

    a) Il campo e` radiale; E(r) =

    {e

    4pi0ra30

    r < a0e

    4pi01r2 r > a0

    ; V (r) =

    { e4pi0a0

    (r2

    2a20 32

    )r < a0

    + e4pi01r r > a0

    ;

    equilibrio stabile in r = 0.

    b) UI = eV (0) = 3e2/8pi0a0, uguale al valore sperimentale per a0 = 1.6 1010 m.

    c) Dallequazione del moto

    r = eme

    e

    4pi0r

    a30= 2r

    si ha 2 = e2/4pi0mea30 e quindi T = 2pi/ = 7.9 1016 s.

    d) La nuova posizione dequilibrio req e` data da E(req) = E0 da cui req = 4pi0a30E0/e; p = ereq = E0 dove = 4pi0a30; la densita` di atomi e` n = 1/(2a0)

    3; quindi = 1 + n/0 = 1 + pi/2.

    e) Dal bilancio delle forze radialimerorb2orb = e2rorb/(4pi0a30) si ricava la frequenza orbitale orb =

    e2/4pi0mea30

    e Torb = 2pi/orb. Il raggio e` rorb =L/meorb. Schematizzando lelettrone orbitante come una spira di corrente

    i = eorb/2pi si ricava = e2meL, B0 = 0eorb/4pirorb.

    2Un cilindro e` costituito da due semicilindri di forma identica, aventiuna sezione semicircolare di raggio R e altezza h R, e permeabilita`

    magnetiche relative 1 e 2. Sul cilindro si avvolge N volte un filo nel qualepassa la corrente I, formando cos` un solenoide.

    a) Determinare i campi H e B e la magnetizzazione indotta M nel cilindro.

    b) Determinare la pressione sulla superficie di contatto fra i due semicilindri.

    c) Stimare il coefficiente di autoinduzione L del solenoide.

    1

    2

    Soluzione:

    a) H e` continuo, uniforme e vale H = NI/h. B e M sono uniformi nei semicilindri e discontinui alla superficie;Bi = 0iH, Mi = Bi/0 H.

    b) P = (B21 B22)/20.

    c) L = (B)/I = piR2(B1 +B2)N/2I = pi0R2N2(1 + 2)/2h.

  • 37

    3Un condensatore costituito da due cilindri coassiali (rag-gi interno ed esterno r1 < r2, altezza h r2) e` posto

    in serie ad un generatore di tensione costante V . Il condensatoreviene riempito dacqua (costante dielettrica > 1, conducibilita`) fino ad un livello l < h. Calcolare

    a) i campi E, D nel condensatore e la carica Q sulle armature;

    b) la corrente I nel circuito.

    Si interrompe ora la tensione:

    c) calcolare il tempo di scarica del condensatore in funzione dellivello dellacqua.

    0 r1 r2

    V

    l

    h

    Soluzione:

    a) E = E(r)ur ha simmetria radiale ed e` continuo alla superficie dellacqua, mentre D = D1 = E nel vuoto eD = D2 = E nellacqua. Dalla relazione

    r2r1

    drE(r) = V si ha E(r) = Vr (lnr2r1)1. Dal th. di Gauss

    2pir[D1(h l) +D2l] = Q/0, quindi Q = CV dove C = 2pi0(h l + l)/ln r2r1 .b) Integrando la densita` di corrente J = E sulla superficie si ha I = V/R dove R = ln(r2/r1)/2pil.

    c) Il sistema e` equivalente ad un circuito RC dove R, C sono dati sopra e quindi = RC l(h l + l).

    Compitino di Fisica bIA (20 dicembre 2002)

    Si calcoli, per 0 < X < a ed in condizioni stazionarie:la corrente I che circola nella spira (intensita` e verso); la potenza dissipata nella spira; la forza meccanica necessaria per mantenere la spira a velocita` costante e la potenza sviluppata da tale forza. Si discuta la conservazione dellenergia.Si considerino ora le fasi di ingresso del lato destro (X = 0, t = 0) e del lato sinistro