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Istituto Comprensivo G. B. Niccolini San Giuliano Terme (Pisa)

http://www.gbniccolini.pisa.it

anno scolastico 2002-03

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Attività geometriche e artistiche sui poliedri in una classe di terza media

Maria Cristina Maffei Anna Amidei

Introduzione

Il lavoro nasce dalla osservazione di due quadri di Escher, Stars e Gravity, che si possono, a ragione, ritenere la premessa ideale delle attività sui poliedri svolte in una classe terza della scuola media di San Giuliano Terme di Pisa. I poliedri, effettivamente, hanno esercitato grande fascino sulle menti dei matematici di tutti i tempi: pare che Euclide negli Elementi, non volesse tanto fare un grande trattato di geometria, quanto un’introduzione ai 5 poliedri regolari (solidi platonici); inizia infatti con il triangolo equilatero e termina con la costruzione dell’icosaedro. Proporre uno studio sistematico sui poliedri in una scuola media inferiore, poteva essere un obiettivo troppo ambizioso, ma affrontarne uno studio più circoscritto, costruendo i solidi, dopo averne tracciato lo sviluppo sul piano, poteva essere un obiettivo perseguibile. La ricaduta sul piano didattico sarebbe stata la scoperta delle proprietà dei poliedri attraverso la manipolazione dei modelli costruiti e un potenziamento generale delle conoscenze relative allo spazio e alle simmetrie. Il lavoro è stato articolato in due fasi e tutte le attività svolte hanno avuto caratteristiche laboratoriali:

1. costruzione e classificazione di poliedri 2. creazione di un motivo artistico modulare (ispirato ai disegni di Escher), con cui

decorare lo sviluppo di un poliedro, coerente con la successiva chiusura nel solido. N. B. La fase 1 è stata svolta utilizzando anche il software Cabri-geometre; una sintesi è consultabile nella sezione L’uso di Cabri- Geometre come utile sussidio nella realizzazione di attività geometriche e artistiche sui poliedri con una classe di terza media

I Prerequisiti necessari per la realizzazione del lavoro: � concetti generali della geometria solida (•relazioni fra rette nel piano e nello spazio, •relazioni

fra piani, •angoli diedri e angoloidi,•concetto di poliedro, •prismi e piramidi � isometrie

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Prima fase A. Prime attività utili per lo sviluppo della capacità di dominare lo spazio tridimensionale

e la conoscenza delle proprietà delle figure geometriche B. Poliedri regolari o solidi platonici C. Poliedri semiregolari o archimedei D. Poliedri stellati E. Poliedri composti

A. Prime attività utili per lo sviluppo della capacità di dominare lo spazio tridimensionale e la conoscenza delle proprietà delle figure geometriche

� Il cubo

A1. In classe era già stato introdotto lo studio generale dei poliedri, distinti in prismi e piramidi. Tra i prismi il cubo era già stato introdotto e la costruzione del modello in cartoncino era già stata realizzata; ma per abituare i ragazzi a passare dal piano allo spazio e viceversa, sono state date loro delle scatole cubiche di cartoncino e sono stati invitati a tagliarle opportunamente lungo alcuni spigoli in modo da aprirle e distenderle nel piano. Quindi dovevano contrassegnare i vertici combacianti con A, B, C… e gli spigoli combacianti con lo stesso colore…. come da esempio

Utilizzando gli sviluppi piani trovati da ciascun alunno e discutendone in classe si è arrivati a individuare undici sviluppi piani possibili, in cui i quadrati sono uniti per un lato e non esistono spazi vuoti tra essi.

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Possibili sviluppi di cubo

Un’utile discussione è nata dalla osservazione che non tutte le possibili disposizioni di 6 quadrati uguali potevano essere sviluppi di un cubo, osservazione che è stata in seguito il punto di partenza per trovare la condizione di esistenza di un angoloide.

Vedi: scheda1 scheda2 A 2. Un’interessante modello di cubo è stato realizzato con la tecnica dell’origami , antichissima tecnica di origine giapponese che insegna ad ottenere da un foglio di carta, in genere di forma quadrata, senza mai tagliarlo e incollarlo, mediante piegature basate su proprietà di simmetria, oggetti di varia natura come fiori, animali, aeroplanini ecc. Con questa tecnica, senza usare quindi né matita né strumenti della geometria è anche possibile ottenere sia figure geometriche piane come varie forme poligonali sia figure tridimensionali come cubi e vari altri poliedri. Ai ragazzi è stata proposta la realizzazione di un cubo.. Il modello del cubo prevede la costruzione di 6 pezzi tutti uguali fra loro, la cui disposizione a incastro, permette di ottenere il solido; occorrono, per costruirlo, 6 fogli di forma quadrata di dimensione 10-15cm di lato, possibilmente di 3 colori diversi (2 fogli per ogni colore). Si procede secondo lo schema:

• piegare e riaprire

• portare i 2 lati fino alla traccia centrale

• piegare 2 angoli opposti

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• riaprire • nascondere gli angolini • mettere gli angoli sotto le alette per...

• ...formare un

incastro e voltare • piegare i 2 angoli e

riaprire • voltare • il modulo

• I 6 moduli ottenuti, alla sovrapposizione dovranno risultare identici, cioè tutti piegati nello stesso verso(o tutti destri o tutti sinistri).

• Per formare il cubo, basta assemblare i 6 moduli, incastrandoli tramite le alette e le tasche

formate con le piegature.

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A 3. Allo scopo di facilitare il lavoro successivo, si è passati allo studio delle sezioni piane del cubo Attraverso l’esperienza diretta, tagliando un cubetto di polistirolo, è stato possibile osservare le sezioni che si ottenevano mediante piani mediani, piani diagonali e piani trasversi

Esempi di possibili sezioni nel cubo Piani di sezione sezioni

Piani mediani quadrati Piani diagonali rettangoli Piani trasversi triangoli quadrilateri pentagoni esagoni

Anche in questo caso per abituare i ragazzi a passare dal piano allo spazio e viceversa sono state preparate delle schede di approfondimento Vedi Scheda3 Scheda4-5

Sezioni ottenute mediante piani trasversi

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B. Poliedri regolari o solidi platonici Il cubo ha permesso di riprendere il tema degli angoloidi , già trattato, ma in forma generale. Verificare la condizione di esistenza dell’angoloide è stata la premessa necessaria per iniziare il percorso che ha portato alla scoperta dei poliedri regolari. Manipolando il cubo è stato subito evidente che le facce convergenti in un vertice erano tre e la somma dei relativi angoli (90°*3=270°) era la misura della somma degli angoli delle facce di ogni angoloide; se si tentava di aggiungere una quarta faccia quadrata, l’angoloide cessava di esistere perché si schiacciava sul piano. Si poteva concludere quindi, che un angoloide esiste se la somma degli angoli delle sue facce convergenti in un vertice è minore di 360°.

Gli angoloidi nel cubo sono tutti congruenti , le facce sono dei poligoni regolari e sono tutte

congruenti. Tutti questi requisiti ci hanno permesso per estensione di arrivare alla definizione di poliedro regolare come poliedro i cui angoloidi sono tutti congruenti e le cui facce sono poligoni regolari congruenti. Accanto a questa è stata introdotta anche l’altra definizione: E’ regolare ogni poliedro in cui la figura al vertice, formata dai segmenti che giacciono nelle facce situate attorno a un vertice particolare e che uniscono i punti medi degli spigoli concorrenti in tale vertice, è un poligono regolare

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Subito sono state poste le seguenti domande: • quanti tipi di poliedri regolari esistono oltre il cubo? • sono infiniti come accade nel piano per i poligoni regolari?

Tenendo conto dei requisiti della definizione e della condizione di esistenza dell’angoloide, i ragazzi sono giunti alla scoperta degli altri poliedri regolari.

• Risulta subito evidente che con le facce quadrate, è possibile solo il cubo. • Se le facce sono triangoli equilateri, si rileva la possibilità di costruire un poliedro con tre

facce triangolari convergenti in ciascun angoloide; infatti la somma degli angoli delle facce di ciascun angoloide è 60°*3= 180°<360°: ecco il tetraedro regolare.

t

Sviluppo del tetraedro regolare Tetraedro regolare costruito dai ragazzi

Lo sviluppo sul piano per la costruzione del relativo modello è stata individuata dai ragazzi.

• Ma possono esistere anche angoloidi aventi per facce 4 triangoli equilateri; infatti 60°*4=240°<360°: ecco l’ottaedro regolare.

Ottaedro regolare Ottaedro regolare costruito dai ragazzi

Anche qui è stato possibile lasciare liberi i ragazzi di costruire il modello in cartoncino usando lo sviluppo piano mostrato dall’insegnante o lo sviluppo proposto da alcuni alunni.

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Sviluppi ottaedro regolare

• Ma si può pensare di costruire angoloidi aventi per facce anche 5 triangoli equilateri; infatti 60°*5=300°<360° e si giunge alla scoperta dell’icosaedro regolare

Icosaedro regolare Icosaedro regolare costruito dai ragazzi

Lo sviluppo piano è stato proposto direttamente ai ragazzi perché la ricerca avrebbe richiesto tempi di lavoro eccessivamente lunghi e probabilmente non tutti sarebbero stati in grado di proporre un’eventuale soluzione.

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• Non è possibile invece costruire

angoloidi aventi per facce 6 triangoli equilateri; infatti 60°*6=360°.

Si è giunti così alla conclusione che, per poter costruire un poliedro regolare avente come facce triangoli equilateri, 5 era il massimo di facce

• Si è passati quindi ad un altro poligono regolare: il pentagono.

Tre facce pentagonali convergenti in un vertice rendevano possibile l’esistenza di un angoloide; infatti 108°*3=324° <360° e si è giunti così alla scoperta del dodecaedro regolare.

Dodecaedro regolare Dodecaedro regolare realizzato dai ragazzi

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Per realizzarlo, sono stati proposti 2 possibili sviluppi

Sviluppi piani proposti

I ragazzi sono stati invitati a costruire uno sviluppo che sfrutta le proprietà del pentagono regolare. Basta disegnare un pentagono regolare e tracciare le sue diagonali; i punti di intersezione delle diagonali sono vertici di un altro pentagono , corrispondente a quello di partenza in una omotetia che ha il centro nel comune centro dei due pentagoni regolari ; con 5 simmetrie assiali rispetto a ciascun lato se ne possono costruire altri 5 congruenti, aventi ciascuno un angolo coincidente con un angolo del pentagono grande. Togliendo le parti di cartoncino in eccedenza ai cinque pentagoni esterni, si ottiene lo sviluppo di mezzo dodecaedro. Due sviluppi come questo danno lo sviluppo di tutto il dodecaedro.

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L’ulteriore analisi dei poligoni regolari (già tre esagoni convergenti in angoloide portano allo schiacciamento sul piano, infatti 120°*3= 360°; con tre ettagoni c’è la sovrapposizione nel piano di parte di due,infatti ogni angolo misura 128° 34’ 17’’ e la loro somma è maggiore di 360° ) ha portato i ragazzi alla conclusione che i poliedri regolari potevano essere solo questi 5, detti anche solidi platonici, perché citati da Platone nel dialogo“Il Teeteto”

Una volta costruiti i solidi, i ragazzi sono stati invitati a contare le facce, i vertici e gli spigoli di ciascuno e a cercare di scoprire se esisteva una relazione, valida per tutti i solidi, tra questi elementi. E’ stato facile verificare la relazione di Eulero , per cui

facce + vertici = spigoli + 2

Tabella riassuntiva

poliedro numero facce f

numero vertici v

numero spigoli s

misura somma degli angoli angoloide

tetraedro 4 4 6 180° ottaedro 8 6 12 240 cubo 6 8 12 270° icosaedro 20 12 30 300° dodecaedro 12 20 30 324° Per taluni ragazzi il conteggio degli spigoli è stato frutto dell’osservazione che se in un vertice convergono n spigoli, moltiplicando n .v (v=numero dei vertici) ottengo un numero doppio di quello degli spigoli, dato che per due vertici passa uno stesso spigolo, quindi la formula finale per calcolare il numero degli spigoli (s) risulta:

s= ( n . v)/2 Allo stesso modo il numero delle facce f, essendo 2 il numero delle facce che hanno uno spigolo in comune, s il numero degli spigoli e l = numero di lati del poligono regolare che è faccia del poliedro, risulta:

f= ( 2.s )/l e quindi f= (n . v )/ l

tetraedro cubo o esaedro ottaedro dodecaedro icosaedro

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All’uso di questi conteggi sistematici, alla scoperta di regolarità e manipolazione di semplici formule letterarie i ragazzi erano abituati sin dalle prime classi quando dovevano, per esempio, cercare il numero delle strette di mano tra n diverse persone o il numero delle diagonali in un poligono di n lati o la somma degli angoli interni di un poligono di n lati.

L’ultimo passo relativo è stato quello di cercare di ricavare le formule per il calcolo di superfici e volumi in alcuni poliedri regolari, sfruttando le conoscenze degli alunni relative al teorema di Pitagora, al calcolo delle aree delle figure piane e dei volumi delle piramidi.

Poliedro Superficie totale Volume cubo 6l2 l3. tetraedro √√√√3 l2 l3 √√√√2 /3 ottaedro 2. √√√√3 l2 l3√√√√2 /3 icosaedro 5. √√√√3 l2 non calcolato Per i volumi il lavoro si è limitato, però, solo a un ristretto gruppo di alunni aventi maggiore dimestichezza con il calcolo algebrico.

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C. poliedri archimedei Sono stati presentati ai ragazzi dei solidi che pur non essendo poliedri regolari in senso stretto, ne mantenevano alcune proprietà. Archimede di Siracusa (287-212 a. C.) che fu allievo di Euclide ad Alessandria d’Egitto, si dedicò allo studio di questi solidi da lui stesso scoperti : sono poliedri convessi, le cui facce sono poligoni regolari di almeno due tipi, i cui spigoli hanno tutti la stessa misura e a ogni vertice le facce sono disposte nello stesso ordine: per queste loro peculiarità sono detti anche semi-regolari. A questa famiglia appartengono

��� poliedri archimedei a facce regolari (sono 13) ��� poliedri archimedei duali a vertici regolari , che hanno proprietà scambiate rispetto al

gruppo precedente, cioè le facce sono tutte uguali, ma non sono poligoni regolari. ��� prismi (le cui basi sono poligoni regolari congruenti e le altre facce dei quadrati pure

congruenti) e antiprismi (le cui basi sono poligoni regolari congruenti disposti su piani paralleli e con centri allineati, ma ruotati uno rispetto all’altro in modo che i vertici dell’uno si proiettano tra i vertici dell’altro e le altre facce sono dei triangoli equilateri)

antiprisma

Abbiamo scelto di lavorare solo sul cubottaedro e il dodecaedro rombico come esempi dei due primi insieme di poliedri. Il cubottaedro come esempio di un poliedro archimedeo a facce regolari:

le facce sono poligoni regolari, ma di tipo diverso (quadrati e triangoli equilateri), gli angoloidi sono congruenti e le facce sono disposte sempre nello stesso ordine.

• 14 facce • 12 vertici

cubottaedro

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Sviluppo del cubottaedro

Lo sviluppo è stato proposto ai ragazzi e su di esso sono state fatte osservazioni comparate sui lati e sugli angoli degli 8 triangoli equilateri e 6 quadrati con i lati congruenti, che hanno permesso di arrivare con facilità al calcolo della superficie totale:

2l2 (3 + √√√√3 ) Per il calcolo del volume vedi

Vedi Scheda6 Il dodecaedro rombico come esempio di un poliedro archimedeo a vertici regolari:

le facce sono tutte uguali (rombi), ma non sono regolari.

• 12 facce • 14 vertici dodecaedro rombico costruito dai ragazzi

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Sviluppo dodecaedro rombico

Le rette facilitano la costruzione in cartoncino del solido; gli angoli di ogni rombo misurano rispettivamente 70°32’ e 109°28’. Anche in questo caso oltre allo sviluppo proposto, è stato presentato un altro modo di costruire il dodecaedro rombico che permette di scoprire le relazioni esistenti tra diagonali e lato di ciascuna faccia rombica (a partire da un solido articolato formato da 6 piramidi interne di un cubo)

Vedi Scheda 7 Il conteggio del numero delle facce e dei vertici nel cubottaedro e nel dodecaedro rombico ci ha permesso di osservare che anche qui, come nel cubo e nell’ottaedro, nel dodecaedro e nell’icosaedro si verificava uno scambio tra il numero delle facce e quello dei vertici. Questa importante osservazione ci ha permesso di introdurre • .il principio di dualità . Parlare, in una scuola media, di piani polari rispetto a una sfera, come la teoria in questo caso prevede, sarebbe risultato ostico e complesso; il nostro cammino si è basato su esperienze geometriche che i ragazzi avevano già incontrato. Le sezioni piane del cubo, in progressione si sono rivelate molto utili all’acquisizione del concetto:

Come ottenere un ottaedro da un cubo sezionandolo mediante 8 piani perpendicolari alle sue 4 diagonali con distanze via via decrescenti rispetto al centro del cubo. Sezione1 I piani asportano solamente piccole porzioni del cubo contenenti i vertici. Si ottiene: il cubo tronco

Sezione2 I piani arrivano a passare per i punti medi degli spigoli del cubo. Si ottiene: il cubottaedro

Sezione3 I piani entrano ulteriormente in profondità nel cubo. Si ottiene: l’ottaedro tronco

Sezione4 I piani arrivano a passare per i centri delle facce del cubo. Si ottiene: l’ottaedro

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Osserviamo quindi, in conclusione che nel passaggio dal cubo all’ottaedro si verifica uno scambio tra le facce del cubo che corrispondono ai vertici dell’ottaedro e i vertici del cubo che corrispondono alle facce dell’ottaedro . Proprio in questo scambio dei vertici con i centri delle facce (=vertice del duale) e quindi la sostituzione di ciascun piano con il vertice e ciascun vertice con la faccia che consiste la dualità. Si può osservare come è possibile iterare il passaggio reciproco da un solido al suo duale, all’infinito.

Cubo e ottaedro Icosaedro e dodecaedro

Riassumendo:

il tetraedro è il duale di sé stesso l’ottaedro è il duale del cubo l’icosaedro è il duale del dodecaedro il dodecaedro rombico è il duale del cubottaedro

poliedro facce vertici Tetraedro 4 4

Cubo 6 8

Ottaedro 8 6

Dodecaedro 12 20

Icosaedro 20 12

Cubottaedro 14 12

Dodecaedro rombico 12 14

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D. poliedri stellati -

I poliedri platonici e quelli archimedei sono poliedri convessi; ma esistono anche poliedri concavi le cui facce sono regolari e congruenti. Il lavoro con i ragazzi è diventato più avvincente quando si è passati alla trattazione di questi poliedri regolari concavi, detti stellati perché si generano dalla stellatura di poliedri regolari. La nostra osservazione si è rivolta ai 2 poliedri stellati di Keplero., che si ottengono dal dodecaedro e dall’icosaedro regolari Johannes Kepler (1571- 1630), noto soprattutto per il suo contributo all’astronomia, diede un non meno fondamentale contributo alla teoria dei solidi platonici (Harmonice mundi 1619); si occupò, inoltre, di provare che i poliedri archimedei erano solo 13 e scoprì anche la famosa stella octangula, ottenuta dalla compenetrazione di 2 tetraedri, di cui parleremo in seguito. Nel trattato Harmonice mundi, Keplero descrive un solido che chiama stellarum duodecim planarum pentagonicarum , un solido stellato la cui generazione ha luogo dalla continuazione dei 5 piani del dodecaedro finchè si incontrano in solo punto: si tratta del piccolo dodecaedro stellato, la cui scoperta gli è attribuita.

piccolo dodecaedro stellato

Dodecaedro + 12 piramidi a base pentagonale

piccolo dodecaedro stellato costruito dai ragazzi

Scoprì anche un secondo poliedro stellato, il grande dodecaedro stellato

grande dodecaedro stellato Icosaedro + 20 piramidi a base

triangolare

grande dodecaedro stellato costruito dai ragazzi

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Per cercare di acquisire conoscenze nell’ambito di questi affascinanti solidi è stato necessario tornare indietro nella geometria piana per riflettere sui poligoni e in particolare sulla distinzione tra poligoni convessi e poligoni concavi e sulla individuazione tra i poligoni concavi di quelli stellati che si possono ottenere come dall’esempio:

1. Si parte dal pentagono e si prolungano i lati finchè i prolungamenti si incontrano:

• si genera un pentagono stellato.

2. Si parte dal pentagono e si tracciano le diagonali:

• si genera un pentagono stellato

Dalla seconda costruzione si possono generare iterativamente, in modo alternato, pentagoni convessi e pentagoni stellati. Si possono fare considerazioni sulle omotetie centrali in cui i pentagoni ottenuti si corrispondono.

Passando dal piano allo spazio, i ragazzi hanno subito capito che se invece di prolungare i lati del poligono, si cercava di prolungare facce non adiacenti del poliedro regolare fino ad intersecarsi(stellatura) si ottenevano sul poliedro di partenza delle punte che altro non erano che piramidi di base uguale alla faccia del poliedro. E’ stato fatto osservare ai ragazzi che si potevano ottenere poliedri stellati, anche con un’altra modalità( sfaccettatura) tracciando, cioè nuovi piani passanti per una catena di vertici.

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Stellatura 1 Stellatura completa Sfaccettatura 1

Per la costruzione dei due poliedri stellati di Keplero, i ragazzi proponevano di realizzarli a partire dal poliedro regolare e poi applicando tante piramidi quante le facce del solido, in modo da realizzare le “ punte”. Questa procedura è stata utilizzata per il grande dodecaedro stellato

Il solido consiste di 20 piramidi triangolari che circoscrivono un icosaedro, una per ciascuna faccia.

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Sviluppo di una singola piramide Per semplificare il lavoro è utile costruire le

piramidi a coppie incernierate e poi incollarle all’icosaedro per mezzo delle linguette

Per il piccolo dodecaedro stellato è stato invece proposto uno sviluppo più complesso, costituito da 12 mezzi decagoni, che corrispondono allo sviluppo delle 12 piramidi a base pentagonale, le punte della stella.

Si può partire da un mezzo decagono, costruito partendo dalla circonferenza circoscritta, costruire un modello in cartoncino rigido e poi realizzare lo sviluppo operando le opportune traslazioni e simmetrie

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I vertici si possono collegare secondo lo schema qui accanto ed è utile che tutti gli spigoli che vengono a coincidere con gli spigoli del dodecaedro siano forniti di linguetta.

Attraverso la manipolazione dei modelli dei poliedri stellati costruiti, sono state fatte osservare ai ragazzi le facce ovvero i pentagoni stellati evidenziati dalla diversa telatura nelle immagini seguenti:appaiono così chiaramente, in entrambi i solidi, le 12 facce che motivano la denominazione di dodecaedri.

Il colore verde rende evidente una faccia pentagonale stellata per ciascun solido

Per il piccolo dodecaedro stellato è stata realizzata la pianta con opportuna colorazione di una faccia . Si è anche osservato che per il piccolo dodecaedro stellato, non vale la relazione di Eulero, motivo per cui più di un matematico ne negò l’esistenza.

facce vertici spigoli Piccolo dodecaedro stellato 12 12 30

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E. poliedri composti L’ultimo gruppo esaminato è stato quello dei poliedri derivati dalla composizione di poliedri regolari. Noi ci siamo occupati di due poliedri regolari composti cioè quelli che si ottengono dalla composizione-compenetrazione di un poliedro regolare e del suo duale, in modo che i loro spigoli si dimezzino ad angolo retto • tetraedro combinato con tetraedro (stella octangula) • cubo combinato con un ottaedro stella octangula

stella octangula disegno in pianta che mette in evidenza il cubo che racchiude il solido

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sviluppo proposto ai ragazzi

Un altro modo di costruzione della stella octangula è consultabile nella Scheda8 cubo - ottaedro

Un utile approfondimento su di esso ci ha permesso di scoprire le relazioni tra le due figure piane che lo costituiscono: 24 triangoli equilateri e 24 triangoli rettangoli isosceli, la cui ipotenusa coincide con il lato del triangolo equilatero(=l) Spigolo cubo = l. √2 Spigolo ottaedro = 2 l Si deduce, pertanto, che lo spigolo dell’ottaedro è √2 volte più grande dello spigolo del cubo.

sviluppo proposto ai ragazzi

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Sono stati colorati in rosa gli sviluppi delle 8 punte(a 3 facce) corrispondenti ai vertici del cubo e in verde gli sviluppi delle 6 punte(a 4 facce) corrispondenti ai vertici dell’ottaedro. Il calcolo della superficie totale è facilmente intuibile, perché si tratta di 24 triangoli rettangoli isosceli aventi il cateto uguale a mezzo spigolo del cubo (l) e di 24 triangoli equilateri con il lato uguale a suddetto cateto.

3l2 (√√√√ 3 + 1/2)

Un altro modo di costruzione della cubo-ottaedro è consultabile nella Scheda9

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Fase 2 Dopo questo approfondimento matematico dei poliedri, siamo ritornati a colui che aveva ispirato e in qualche modo motivato il nostro lavoro: Escher. Con l’insegnante di educazione artistica i ragazzi hanno ripreso le opere dell’artista e ne hanno studiato le tecniche grafiche di riempimento del piano. Si sono quindi ripetutamente esercitati a creare dei disegni modulari con cui tassellare il piano e successivamente hanno scelto lo sviluppo del piccolo dodecaedro stellato come area di riempimento. Il motivo grafico modulare, creato singolarmente da ciascun alunno, è stato frutto di un laborioso studio perché oltre a essere coerenti con la tassellazione del piano , era necessario prevedere molto chiaramente le combinazioni degli spigoli nelle varie facce affinchè i disegni mantenessero disposizioni simmetriche anche nel solido.

Esempi di disegno modulare sullo sviluppo

Disegno con riempimento modulare realizzato al computer

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Sono stati costruiti circa una ventina di solidi diversi, uno più bello dell’altro, che hanno gratificato gli studenti del lungo lavoro necessario per giungere a un risultato, appagante sul piano estetico, ma anche preciso e rigoroso nel rispetto delle regole della geometria. Ogni studente ha descritto come ha realizzato il proprio modello:

I disegni delle facce sono stati realizzati con l’aiuto di un compasso: dapprima sono state tracciate delle linee circolari come punti di riferimento per le punte degli alberi; successivamente le linee passanti per tali punti hanno generato degli alberi di Natale, a cui sono state aggiunte delle decorazioni a forma di luna. La colorazione in nero è a china.

Ogni piramide è stata quadrettata e sugli spigoli sono stati disegnati, a mano, delle specie di petali. E’ stata poi cancellata la quadrettatura e sono stati poi riempiti gli spazi dei disegni con la china.Nei petali è stato creato un intreccio di linee in direzioni diverse, mentre negli spazi rimanenti la tecnica di riempimento è di addensamento e rarefazione di punti.

Il disegno, impostato sul piano in un triangolo non regolare, è stato modificato: la forma base è stata rimpicciolita. La forma ad abete è stata realizzata nel contorno con il pennarello, e nell’interno con la china e con tratti intrecciati.

In ogni faccia triangolare sono stati realizzati due gattini riempiti con addensamento di punti. Lo spazio rimanente è stato riempito di nero.

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Ogni faccia è stata divisa a metà ed è stata disegnata su di essa una foglia. E’ stato riempito lo spazio bianco con la matita nera.

Su ogni faccia è stato disegnato un petalo di margherita e lo sfondo è stato riempito a linee ondulate; il settore del fiore di puntini e i petali sono riempiti alcuni di nero e altri di bianco.

Ogni faccia triangolare, dalla punta alla base, è stata divisa in strisce di 1cm, 0.5cm, 1cm e 1.5cm. E’ stata segnata orizzontalmente la metà di ogni striscia e i vari segni sono stati collegati con linee. Dall’alto di ogni punta appaiono, così delle stelle, che sono state colorate a china con un pennello.

La decorazione a china è stata in parte di riempimento totale e in parte a punti.

Ogni piramide è stata divisa in varie sezioni, dove sono state disegnate con la china composizioni a forma di fiori, con alternanza dei colori bianco e nero. Ogni fiore è stato riempito con la china (tecnica ad incrocio).

Su tutte le piramidi sono state realizzate linee verticali e sono stati contornati i vertici con degli ispessimenti irregolari.

Sulle facce sono stati riprodotti i semi delle carte ripetendo il primo seme (picche) sulla prima e la quinta faccia, essendo le facce un numero dispari rispetto ai semi. Alcuni semi sono stati riempiti di nero di china, altri con la tecnica della linea intrecciata e della linea fine.

Nove piramidi sono state colorate con la china nera; nelle altre tre piramidi sono state disegnate delle righe nere su sfondo bianco. L’effetto, visto dall’alto, è quello di stelle bianche.

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Ogni faccia triangolare è stata suddivisa in parti simmetriche. La colorazione è stata fatta a china in bianco e nero. Il contrasto è nettamente visibile.

Su ogni faccia sono state disegnate stelline con una saponetta a forma di stella e sono state poi colorate di nero con la china. Lo spazio rimasto tra le stelle, che risulta a forma di foglia, è stato colorato con il pennino e la china (tecnica a puntini).

Ogni faccia triangolare è stata divisa in tanti trapezi, dentro ai quali è stato disegnato il seme fiori delle carte da gioco, poi colorato a china con tante piccole righe.

In ogni triangolino sono state disegnate righe a zig-zag per dare origine a forme simili a stelle. Col pennarello fine nero è stato pitturato l’interno di ogni stella.

Su ogni faccia è stato disegnato un vaso semplice, in modo tale da ottenere, tra un vaso e l’altro, un pesciolino. I pesciolini sono stati decorati con la china, evidenziando le squame e un occhio. Lo spazio rimanente al di sopra dei vasi , lasciato bianco , è stato riempito con un pennello a china.

Su ogni faccia appaiono fantasmini a braccia aperte, dal cui incastro derivano, in nero, delle coppe. Ogni fantasmino è suddiviso in tre parti: quella più in alto, degli occhi, colorata in nero, quella in mezzo della testa e delle braccia (aperte) e quella in fondo di busto e gambe.

Ogni piramide è stata divisa in tre sezioni ad archi, poi con la china sono state ispessite i vertici e le linee. Lo spazio rimanente è stato riempito con uno spazzolino riproducendo la tecnica della china a spruzzo.

Su una faccia di ogni piramide è stata alternata una casina (la porta realizzata con china nera e il tetto con china grigia) e una caramella stilizzata grigia chiara, con le zone esterne completamente nere.

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Conclusioni Al di là dell’indubbia bellezza di gran parte dei lavori realizzati, i risultati perseguiti sul piano dell’apprendimento sono stati abbastanza lusinghieri e si possono sintetizzare in:

• maggiore consapevolezza e padronanza del concetto di piano e di spazio • uso più consapevole dei termini specifici della geometria e della grafica • miglioramento nelle capacità di orientamento spaziale; è stato sorprendente osservare la

facilità con cui molti alunni, di cui alcuni precedentemente in difficoltà, riuscivano a prevedere la corretta collocazione dei punti nel passaggio dallo sviluppo al solido.

• maggiore dimestichezza con il disegno geometrico • capacità di decifrare, capire e riprodurre lo sviluppo di un solido • potenziamento delle immagini mentali relative alla geometria • potenziamento delle abilità grafiche • scoperta che, anche con l’uso della matematica, si possono ottenere prodotti di indubbia

bellezza

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Scheda 1 Quali tra i seguenti modelli non sono sviluppi piani di un cubo? perchè? Per quelli che, secondo voi, sono sviluppi piani di un cubo, prevedete quali lati combaceranno indicandoli con lo stesso numero (1,1; 2,2…) e quali vertici indicandoli con la stessa lettera (A, A,A; B,B,B; ….); disegnati quindi i modelli ingranditi nel rapporto di 1:3 o 1:4, costruite i cubi per verificate le vostre previsioni.

Scheda 2 Qui sotto sono disegnati alcuni possibili sviluppi piani di solidi; ma solo alcuni di essi sono corretti. Correggi gli sviluppi sbagliati; ti occorre anche una riga o un compasso per misurare i lati. Se non riesci a trovare gli errori, prova a costruire i solidi dopo averli disegnati secondo un opportuno rapporto di ingrandimento, per es. 1:3. Segna sui modelli disegnati sotto, dopo la correzione, i vertici che combaciano con la stessa lettera (A, B....) e i lati che combaciano con lo stesso numero (1,2.... )

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Scheda 3 Le linee colorate sui seguenti sviluppi di uno stesso cubo rappresentano le tracce di diverse sezioni del cubo con un piano. Di quali sezioni si tratta? Ti conviene, per ogni sviluppo, contrassegnare i vertici dei singoli quadrati con lettere maiuscole, facendo in modo da assegnare la stessa lettera ai vertici che nel cubo devono coincidere.

E D

C

A B

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Scheda 4 - 5

Esercitazione sulle sezioni piane di un cubo

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Scheda 6 Come si può calcolare il volume del cubottaedro, partendo da una sezione del cubo

Osservando la sezione del cubo con piani perpendicolari alle sue 4 diagonali passanti per i punti medi degli spigoli si ottiene il cubottaedro. Ciò che rimane del cubo, levato il cubottaedro, sono 8 piramidi regolari a base triangolare, aventi lo spigolo di base uguale a metà diagonale di una faccia del cubo, e come facce laterali 3 triangoli rettangoli isosceli con i lati uguali a metà spigolo del cubo. Provate a calcolare il volume del cubottaedro.

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Scheda 7 Il dodecaedro rombico si può costruire anche a partire dallo sviluppo piano a croce della superficie di un cubo e da sei piramidi rette a base quadrata e altezza uguale a metà dello spigolo di base del cubo e quindi con apotema laterale e spigolo di base nel rapporto di 1 /2√2 a 1l

Per ottenere il solido si incollano le basi delle piramidi sopra lo sviluppo a croce; ripiegando verso l’interno il solido articolato, le sei piramidi si accostano l’una all’altra formando un cubo, ma avvolgendo il solido articolato dalla parte opposta, si forma un poliedro caratterizzato da 12 facce rombiche, appunto il dodecaedro rombico.

Ciascuna delle facce del dodecaedro rombico è un rombo formato dall’unione di due triangoli congruenti che hanno come base lo spigolo del cubo, e i lati corrispondenti a metà diagonale del cubo (1 /2 l √3). La diagonale minore del rombo è l e quella maggiore è l √2 Gli angoli del rombo misurano rispettivamente 70°32’ e 109°28’

In questo modo è inoltre possibile trovare la misura della superficie del dodecaedro rombico e del suo volume: per questo ultimo, molto semplicemente, basta pensare ai rapporti tra volume di una piramide e quello del cubo, tra volume del cubo e quello del dodecaedro, tra volume di una piramide e quello del dodecaedro, che risultano evidenti dalla costruzione.

faccia dodecaedro rombico

sviluppo di una piramide

l

1 /2 l √2

l

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Scheda 8

Un modo diverso per costruire la stella octangula

Si costruiscono 4 tetraedri regolari di spigolo l e un tetraedro di spigolo 2l. Dopo aver contrassegnato i punti medi degli spigoli del tetraedro grande si incolla su ciascuna delle sue facce un tetraedro piccolo in modo che i vertici della faccia che viene incollata, cadano nei punti medi degli spigoli del tetraedro grande. Si ottiene così il solido a due colori

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Scheda 9

Un modo diverso per costruire il cubo-ottaedro Costruire in cartoncino di un certo colore un cubo e contrassegnare i punti medi degli spigoli di ciascuna faccia. I quadrati che così si evidenziano e che hanno come lato metà diagonale della faccia del cubo, sono la base di piramidi regolari rette ( di cui uno sviluppo è disegnato sotto in altro colore ) con gli spigoli laterali uguali agli spigoli di base. Le stesse vanno poi incollate sui 6 quadrati interni alle facce del cubo.

Si ottiene così il solido bicolore:

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