Istituti di Istruzione Superiore di

Sestri Levante, Chiavari,Rapallo, Camogli

I fenomeni reali e le funzioni

grafici e proprietà di funzioni trigonometriche, esponenziali e logaritmiche.

Docenti universitari:Emanuela De Negri, Danilo Bruno

Istituti :

I.I.S. Deambrosis-Natta di Sestri Levante

ITCG   In memoria dei morti della patria di Chiavari

ITC Liceti di Rapallo

ITN San Giorgio di Camogli

Docenti Classi coinvolte

Daniela Oneto Rita Cafferata Gianna Picasso Maria Elisa Canepa Carlo Mortola Teresa Balestra

Classi IV e V sez. A L.S.T. Classe III sez. B L.S.T. Classe IV A Classe IV B Classi IV A e V A Mercurio

Classe V AIM

Motivazioni e obiettivi

Consentire agli studenti di:

Acquisire e comprendere il concetto di funzione

Descriverne le proprietà attraverso l’utilizzo dei grafici.

Risalire, dall’esame di un grafico, alle principali proprietà della funzione e , in alcuni casi,alla sua espressione analitica

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Motivazioni e obiettivi

Aiutare i ragazzi a superare le difficoltà incontrate nello studio delle funzioni trascendenti,introducendole “ dal basso”, cioè costruendone il significato attraverso la realizzazione di semplici modelli

Potenziare l’interesse verso le funzioni in oggetto come possibile chiave di lettura e di interpretazione di fenomeni ed eventi reali

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Motivazioni e obiettivi

Potenziare l’importanza delle funzioni in oggetto come possibile chiave di lettura e di interpretazione di fenomeni ed eventi reali

Sviluppare nei ragazzi la capacità di: Passare dall’osservazione di un fenomeno alla

sua formalizzazione Ricercare quindi una funzione che ne riassuma

le caratteristiche essenziali

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Descrizione sintetica

Preparazione di diverse unità didattiche, indipendenti l’una dall’altra, incentrate sul concetto di funzione e di relativo grafico. 

Sperimentazione con i propri allievi delle unità adatte al tipo di scuola e alla classe.

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Descrizione sintetica

Le unità realizzate e proposte vogliono sottolineare:

La valenza formativa e l’efficacia della didattica per laboratori per le discipline scientifiche

L’importanza di portare i ragazzi a ragionare, fare ipotesi, costruire un modello e verificare la coerenza dei risultati

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Risultati ottenuti per gli studenti:

Approccio “più amichevole” a concetti che appaiono astratti e avulsi dalla realtà

Sviluppo delle capacità di tracciare grafici di funzioni di diverso tipo a partire da quello di funzioni elementari

Comprensione e riconoscimento di proprietà invarianti

Capacità di decodificare e modellizzare problemi reali

Consapevolezza del ruolo della matematica nell’inter-pretazione della realtà quotidiana.

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Risultati ottenuti per i docenti:

Potenziamento della didattica del ragionamento scientifico

Condivisione da parte dei docenti delle discipline scientifiche di metodi di insegnamento per lo sviluppo di competenze trasversali di analisi e di sintesi ai fini

Lavoro in team trasversali di docenti per sviluppare le abilità di argomentazione logica degli studenti

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I laboratori

Descrizione sintetica delle attività più significative svolte con gli studenti

Elaborazione di grafici di funzioni

L’obiettivo è quello di arrivare gradualmente alla rappresentazione cartesiana di funzioni, sia algebriche che trascendenti, accostando allo studio tradizionale (con la determinazione di campo di esistenza, limiti, segno, etc) alcune semplici osservazioni relative alle trasformazioni geometriche.

Durante l’attività si mostra come ottenere la rappresentazione cartesiana di alcune funzioni trasformando opportunamente i grafici delle funzioni fondamentali. Tali funzioni vengono presentate  all’inizio dell’attività, dopo una breve introduzione storica.

Composizione di funzioni

L’obiettivo è insegnare agli studenti il concetto di composizione di funzioni. Date due funzioni  f (x) e g(x), si verifica sotto quali condizioni è possibile comporle, e si determina la funzione composta h(x)=f(g(x)).

Gli studenti usano il programma Derive per determinare esplicitamente e graficamente il dominio e l' espressione della funzione composta di due funzioni assegnate.

Funzione parametrica

L’obiettivo è quello di portare gli studenti a capire come varia il grafico di una funzione al variare della sua espressione.

Dopo aver rivisto con gli studenti  i grafici di alcune funzioni

elementari, essi vengono utilizzati per studiare il grafico di una funzione parametrica al variare del parametro, senza usare gli strumenti propri dell’analisi.

Metodo di bisezione

L’obiettivo è quello di insegnare agli studenti il metodo di bisezione per la ricerca degli zeri di una funzione, evidenziando l’utilità dell’uso del calcolatore nell’applicarlo.

Dopo una breve introduzione in classe, l’attività prosegue nel laboratorio di informatica. Con l’ausilio del foglio elettronico si ricercano gli zeri di una funzione data. Dopo una prima stima ottenuta graficamente, si elabora la procedura del metodo di bisezione per migliorare la precisione. 

Si mostra inoltre agli studenti come calcolare il numero di passi necessari per determinare lo zero con una approssimazione fissata.

Crescite veloci e crescite lente

L’obiettivo è di guidare gli studenti alla scoperta di alcune proprietà delle funzioni esponenziale e logaritmo, partendo da situazioni prese da vari ambiti del mondo reale.

Si propongono ai ragazzi vari fenomeni reali modellizzabili mediante l’uso delle funzioni esponenziale e logaritmo. L’andamento della funzione viene ricostruito a partire da tabelle di dati.

Contemporaneamente si ha occasione di parlare di numeri irrazionali e dell’uso dei logaritmi nei calcoli (numeri e algoritmi) ma anche di scegliere alcune dimostrazioni delle proprietà dei logaritmi (argomentare, congetturare, dimostrare).

Interpretazione esponenziale e lineare di un fenomeno

L’obiettivo è mostrare la differenza tra la modellizzazione lineare e esponenziale di un fenomeno

Si spiega agli studenti il concetto di modellizzazione matematica di un fenomeno e si analizzano le caratteristiche dei due diversi modelli, quello lineare e quello esponenziale.

In laboratorio questo viene applicato ai dati relativi ad alcuni fenomeni proposti dall’insegnante.

Un problema di scelta

L’obiettivo è mostrare agli studenti come attraverso l’uso della funzione esponenziale l’investitore possa scegliere quale sia la più favorevole tra due possibilità di investimento.

Si spiega agli studenti le leggi di capitalizzazione a regime composto e a regime semplice.

Si rappresentano sul piano cartesiano i grafici della due leggi e studiando la pendenza della funzione a regime semplice si individua quale delle due è più conveniente per l’investitore.

L’obiettivo è quello di mostrare agli studenti che i numeri 2 e 4 sono le uniche soluzioni intere dell’equazione

In laboratorio il problema viene risolto utilizzando l’operatore logaritmo e analizzando poi le due funzioni che vengono così ottenute. Attraverso semplici considerazioni su  dominio e codominio delle stesse si conclude la dimostrazione.

Un problema curioso: i due numeri

€

x y = y x

Esponenziale ed equazioni differenziali

L’obiettivo dell' attività è quello di calcolare la soluzione dell' equazione f' = f, senza utilizzare le tecniche esatte di

soluzione, ma costruendo la soluzione “per punti”.

In laboratorio, l’equazione viene studiata partendo dalla definizione della derivata prima come limite del rapporto incrementale e valutando quest'ultimo per valori finiti

dell' incremento. L'utilizzo della scala logaritmica permette di riconoscere nella soluzione così costruita una funzione esponenziale, la cui base può essere calcolata e confrontata con il valore del numero e di Nepero. Infine, un confronto con la soluzione esatta permette di valutare l' errore commesso ad ogni passo.

Rappresentazione grafica delle funzioni goniometriche

L’obiettivo è quello di studiare le proprietà delle funzioni goniometriche in relazione al grafico.

L’attività inizia con una parte teorica sulle misure degli angoli in gradi e radianti, sulle principali funzioni goniometriche, sul loro grafico e sulle funzioni goniometriche inverse. In laboratorio di informatica con l’ausilio del foglio elettronico si costruiscono i grafici delle funzioni goniometriche e delle loro inverse, si studia come varia il grafico al variare dei parametri. Infine, si considera la somma di funzioni goniometriche di diversa frequenza ed ampiezza, si disegna il grafico e si utilizzano I risultati così ottenuti per descrivere fenomeni fisici quali onde sonore, oscillazioni smorzate e battimenti