IntroduzioneData una funzione f che dipende da una o più variabili, si

vogliono trovare i valori delle variabili in corrispondenza dei quali f assume valore massimo o minimo, e calcolare tale valore i due problemi sono equivalenti:

il massimo (minimo) di f è il minimo (massimo) di –fClassificazione degli estremi:

estremo globale: è il punto in cui la funzione assume il valore più alto (o più basso) in assoluto

estremo locale: è il punto in cui la funzione assume il valore più alto (o più basso) limitatamente ad un intorno dell’estremo (massimi e minimi relativi)

In genere si vogliono ricercare gli estremi locali di una funzione

Ci sono due tipi di metodi di ricerca di massimi e minimi:metodi che non richiedono il calcolo delle derivatemetodi che richiedono il calcolo delle derivate

nel caso multidimensionale la derivata è un gradiente in genere questi metodi richiedono un numero maggiore di

calcoli, ma sono più efficaci

Intrappolamento (“bracketing”)Un minimo di una funzione f(x) si dice intrappolato se

esistono tre punti a,b,c con a<b<c tali che f(b)<f(a) e f(b)<f(c)in questo caso, se f(x) è continua, il minimo si troverà in

un punto dell’intervallo [a,c]nel caso di un massimo, devono esistere tre punti

a,b,c con a<b<c tali che f(b)>f(a) e f(b)>f(c)

x

y

a b c

f(c)

f(b)

f(a)

Metodo della sezione aurea (1)Si parte da un minimo inizialmente intrappolatoDetti a,b,c i punti che intrappolano il minimo si ha:

Analogamente a quanto viene fatto nel metodo di bisezione, si cerca un nuovo punto x, compreso tra a e b oppure tra b e c, che restringa l’intervallo

Supponiamo di scegliere x tra b e c: se f(x)>f(b) il nuovo tripletto di punti sarà a,b,x se f(x)<f(b) il nuovo tripletto di punti sarà b,x,c

)()()()( cfbfafbf

cba

x

y

a b cx x

y

a b cx

Metodo della sezione aurea (2)Il processo di intrappolamento viene arrestato quando la

distanza c-a è sufficientemente piccolase è la precisione della macchina, si potrebbe pensare di

fermare il processo quando a=b(1- ) e c=b(1+ ) in realtà conviene fermarsi prima per evitare troppi calcoli

Se x=b è la posizione del minimo, in un intorno di x si ha:

Il secondo termine della somma deve essere trascurabile rispetto al primo (di un fattore ):

Poiché il termine sotto radice è in genere dell’ordine dell’unità, è sufficiente che la larghezza frazionaria dell’intervallo |x-b|/b sia dell’ordine di ε1/2

in questo modo si evita di effettuare troppe bisezioni

2)(2

1)()( bxbfbfxf

)(

)(2

)(

)(2)()(

2

12

2

bfb

bfbbx

bf

bfbxbfbxbf

Metodo della sezione aurea (3)Quale è la strategia migliore per scegliere il

nuovo punto x in ogni iterazione?Poniamo:

Supponiamo che il punto x successivo si trovi tra b e c e poniamo:

Se x si trova tra a e b si ragiona analogamente (in questo caso sarà Z<0)

ac

bcW

ac

abW

1

ac

bxZ

a b cx

W(c-a) (1-W)(c-a)

Z(c-a)

Metodo della sezione aurea (4)A seconda del valore di f(x) si sceglierà il nuovo tripletto di

punti:se f(x)>f(b) i nuovi 3 punti da usare sono a,b,x

il nuovo intervallo [a,x] ha lunghezza (W+Z)(c-a)se f(x)<f(b) i nuovi 3 punti da usare sono b,x,c

il nuovo intervallo [b,c] ha lunghezza (1-W)(c-a)Conviene scegliere Z in maniera tale che, qualunque condizione

si verifichi, l’intervallo finale abbia sempre la stessa lunghezza:

Con questa scelta |b-a|=|x-c|:

WZWZW 211

)())(1(

))(1()()()(

)(

acWacWZ

acWacZbcbxcx

acWab

a b cx

W(c-a) (1-W)(c-a)

Z(c-a) W(c-a)

Metodo della sezione aurea (5) Il punto x è il simmetrico di b nell’intervallo [a,c]

il punto x si trova sempre all’interno del più lungo tra i segmenti [a,b] (se Z<0) e [b,c] (se Z>0)

Consideriamo i tripletti di punti a,b,c e b,x,c:

Se gli intervalli vengono divisi sempre allo stesso modo, allora i due rapporti devono essere uguali e quindi deve aversi:

a b cx

W(c-a) (1-W)(c-a)

Z(c-a) W(c-a)

W

Z

acW

acZ

bc

bxW

ac

ab

11

38197.02

5301321

11

22

WWWWWW

WWZWW

Z

Metodo della sezione aurea (6)L’intrappolamento ottimale porta a tripletti di punti in cui

il punto centrale si trova ad una distanza frazionaria W=0,38197 da uno dei due estremi e ad una distanza frazionaria 1-W=0,61803 dall’altro estremo (sezioni auree)

Dato un tripletto di punti a,b,c, il punto successivo x in cui calcolare il valore della funzione si trova alla distanza frazionaria W=0.38197 dal punto di mezzo del tripletto, nel più lungo dei due intervalli [a,b] o [b,c]

Se gli intervalli del tripletto di partenza non rispettano i rapporti aurei non è un problema la procedura iterativa converge rapidamente verso intervalli

ottimaliLa dimensione dell’intervallo ottenuto alla n-esima

iterazione è pari a 0,61803 volte la dimensione dell’intervallo ottenuto alla (n-1)-esima iterazionequesto valore va confrontato con il valore di 0,5 del metodo

di bisezione per la ricerca degli zeri

Interpolazione parabolica (1)Se la funzione f(x) è abbastanza regolare, in un intorno del

minimo si può approssimare il suo grafico con quello di una parabola

Sia x0 l’ascissa del minimo e sviluppiamo f(x) in serie di Taylor in un intorno di x0:

avendo sfruttato il fatto che f’(x0)=0In prossimità del minimo ha dunque senso approssimare il

grafico della funzione con quello di una parabolaUna volta individuati 3 punti a,b,c che intrappolano il

minimo di f(x) consideriamo la parabola per i tre punti [a,f(a)], [b,f(b)] e [c,f(c)] il minimo della parabola (che ne è anche il vertice) sarà

usato come approssimazione del minimo della funzione

2000 2

1xxxfxfxf

Interpolazione parabolica (2)Scriviamo l’equazione della parabola che

passa per i tre punti [a,f(a)], [b,f(b)] e [c,f(c)] nella forma:

e determiniamo i parametri A, B e C:

Restano da risolvere la prima e la terza equazione per trovare i valori di A e B

CbxBbxAy 2

cfCbcBbcA

bfC

afCbaBbaA

2

2

bfcfbcBbcA

bfC

bfafbaBbaA

2

2

Interpolazione parabolica (3)Riscrivendo in maniera opportuna le due

equazioni e sottraendo membro a membro si ha:

bc

bfcfBbcA

ba

bfafBbaA

ab

afbf

bc

bfcf

acA

ba

bfaf

bc

bfcfacA

1

2

2

bc

bfcf

bc

BA

ba

bfaf

ba

BA

ab

afbfbc

bc

bfcfab

acB

ab

afbf

bc

bfcf

abbc

acB

ba

bfaf

bc

bfcf

babcB

1

11

22

22

Interpolazione parabolica (4)Cerchiamo adesso l’ascissa del minimo della

parabola:

Sostituendo i valori di A e B determinati prima si ha:

L’interpolazione parabolica viene usata nel metodo di Brent, in combinazione con la regola aurea

A

BbxBbxA

dx

dy

2020

afbfbcbfcfab

afbfbcbfcfabbx

abafbf

bcbfcf

ac

abafbfbc

bcbfcfab

acb

A

Bbx

22

2

1

2

1

2

Metodo di Nelder e Mead (1) Il metodo di Nelder e Mead, noto come “downhill simplex

method” o “metodo dell’ameba”, permette di ricercare massimi e minimi di funzioni di più variabili

In tale metodo si utilizzano soltanto i valori della funzione, senza calcolarne le derivate

Definizione: si chiama “simplex” in uno spazio a N dimensioni la figura geometrica definita da N+1 vertici e da tutte le linee che connettono tali vertici nello spazio a 2 dimensioni un simplex è un triangolo nello spazio a 3 dimensioni un simplex è un tetraedro

In generale ci interessano i simplex non degeneri, ossia i simplex che racchiudono un volume N-dimensionale nello spazio a 2 dimensioni un triangolo è degenere se i suoi 3

vertici sono collineari in tal caso il triangolo degenera in un segmento e la sua superficie è nulla

nello spazio a 3 dimensioni un tetraedro è degenere se i suoi 4 vertici sono complanari in tal caso il tetraedro degenera in un triangolo ed il suo volume è nullo

in generale, nello spazio a N dimensioni un simplex è degenere se i suoi N+1 vertici sono contenuti in un iperpiano di dimensione N-1

Metodo di Nelder e Mead (2)Si sceglie un simplex di partenza individuato dagli

N+1 punti P0,P1,...,PN

in genere conviene fissare P0 e scegliere gli altri N punti in modo che sia:

dove gli ei sono N vettori unitari linearmente indipendenti e λ è una costante che può rappresentare una costante di scala del problema in esamein principio si possono scegliere N valori di λi diversi

Si procede in maniera iterativa:in ogni iterazione il simplex ottenuto nell’iterazione

precedente viene opportunamente modificato

NiePP ii ...1 0

Metodo di Nelder e Mead (3)Possibili operazioni:

riflessione: il punto in cui f(x) ha il valore più alto viene sostituito con il suo simmetrico rispetto alla faccia opposta del simplex

riflessione con espansione: il punto in cui f(x) ha il valore più alto è sostituito con un punto simmetrico rispetto alla faccia opposta del simplex, a distanza maggiore

contrazione lungo una dimensione: il punto in cui f(x) ha il valore più alto è sostituito con un punto lungo la perpendicolare alla faccia opposta, a distanza minore

contrazione lungo tutte le dimensioni verso il punto in cui f(x) ha il valore più basso: gli altri N punti del simplex dove f(x) ha il valore maggiore vengono spostati lungo la congiungente con il punto in cui f(x) ha il valore più basso in direzione di tale punto

Metodo di Nelder e Mead (4)

A

B

C

A’A

B

CA’

f(A)>f(B)>f(C)

A

B

C

A’

C

A’

A

B’B

riflessione riflessione con

espansione

contrazione in una

dimensione

contrazione lungo

più dimension

i

Metodo di Nelder e Mead (5)

Metodo di Nelder e Mead (6)La procedura iterativa sceglie di volta in volta

quale è l’operazione più opportuna da compiere sul simplex di partenza

La procedura termina quando la distanza percorsa in una iterazione è più piccola di un valore di tolleranza prefissato dall’utentetipicamente si sceglie una tolleranza pari alla

precisione della macchinaA volte la procedura iterativa può essere

terminata erroneamenteè sempre bene far ripartire l’algoritmo dal punto

in cui è stato individuato il minimo se effettivamente il punto di partenza è un minimo,

allora la procedura iterativa restituirà ancora una volta tale punto

EsempioConsideriamo la funzione f(x,y)=(1-x)2+100(y-x2)2+1Tale funzione ha un minimo in (1,1) e f(1,1)=1