Introduzionealle

sezioni coniche

a cura di Elisabetta Boselli – elisabetta.boselli@rcm.inet.it

Cono retto ad una falda a base circolare generatrice

curva direttrice

altezza

vertice

- cono a base circolare: la curva direttrice è una cir-conferenza

- cono retto: perché la ret-ta che congiunge il verti-ce con il centro della cir-conferenza di base è per-pendicolare al piano che la contiene

Solido delimitato da una superficie co-nica ad una falda e da un piano che tagli tutte le generatrici.

CONO

Nello spazio tridimen-sionale, è il luogo geo-metrico dei punti appar-tenenti alle rette che passano per un punto V dato, detto vertice del cono, e per un punto di una curva data, detta direttrice.

Superficie conica a due falde

Vretta generatrice

Ognuna delle rette considerate si dice generatrice.

curva direttrice

Sono le diverse figure piane che si ottengono dall’intersezione tra una superficie conica a due falde ed un piano.

Per semplicità, negli e-sempi utilizzeremo una sup. conica (a due fal-de) circolare e retta.

Sezioni coniche

Vretta generatrice

Diremo asse del cono la retta per V perpendicolare al piano della circonferen-za direttrice.

L’angolo α formato dalla retta generatrice e dal suo asse è l’apertura del cono.

α

retta

gen

eratr

ice

α

Se l’angolo (convesso) che il piano di sezione forma con l’asse del cono è mag-giore di α, avremo che l’a-pertura del cono è minore dell’inclinazione del piano

La curva ottenuta sarà chiusa e si dirà ellisse (in greco, il termine ‘ellisse’ significa ‘mancare’); se il piano forma con l’asse un angolo retto, si otterrà una circonferenza.

Ellisse

V

retta

gen

eratr

ice

α

Se l’angolo (convesso) che il piano di sezione forma con l’asse del cono è congruente ad α, avremo che l’apertura del cono è uguale all’inclina-zione del piano

La curva ottenuta sarà aperta e si dirà parabola (in greco, il termine ‘parabola’ significa ‘eguagliare’).

Parabola

retta

gen

eratr

ice

α

Se l’angolo (convesso) che il piano di sezione forma con l’asse del cono è minore di α, avremo che l’apertura del cono è maggiore dell’incli-nazione del piano: accade così che il piano intersechi entrambe le falde del cono

La curva ottenuta sarà aperta e, poiché il piano di sezione interseca entrambe le falde del cono, risulterà formata da due diversi rami: tale curva si dirà iperbole (in greco, questo termine signi-fica ‘oltrepassare’).

Iperbole

Cenni storici- la scoperta delle coniche (solo più tardi chiamate ellisse, iperbole, parabola) viene attribuita a Menecmo: vissuto in-torno al 350 a.C., fu allievo di Eudosso e maestro di Ales-sandro Magno

- tra le opere perdute di Euclide (circa 300 a.C.) ve n’è una dedicata alle coniche

- è del 225 a.C. ca. il trattato di Apollonio sulle Coniche, il più importante dell’antichità sull’argomento: dimostra che tutte e tre le varietà di coniche si possono ottenere da un unico tipo di cono (non necessariamente retto) e introduce il cono a due falde nonché i nomi dei diversi tipi di coni-che

Un’importante osservazione….Vale il seguente TEOREMA:

Si consideri un’equazione di secondo grado in due in-cognite, la cui forma generale è la seguente:

ax² + bxy + cy² + dx + ey + f = 0, a,b,c,d,e,f R

L’insieme delle soluzioni reali (formate da coppie di numeri reali) di ogni equazione di questo tipo, se non è vuoto, è rappresentato sul piano cartesiano da una coni-ca (eventualmente degenere).

E viceversa: ogni conica ha come espressione algebrica un’equazione di questo tipo.

FINE

curva direttrice

Nello spazio tridimen-sionale, è il luogo geo-metrico dei punti appar-tenenti alle semirette che passano per un punto V dato, detto vertice del cono, e per un punto di una curva data, detta direttrice.

Ognuna di queste semi-rette si dice generatrice.

Superficie conica a una falda

V

semiretta generatrice