APPUNTI DI MATEMATICA LE SEZIONI CONICHE I sistemi di ... · 1.1 I sistemi di secondo grado ......

APPUNTI DI MATEMATICA

LE SEZIONI CONICHE

• I sistemi di secondo grado

• La parabola

ALESSANDRO BOCCONI

Indice

1 I sistemi di secondo grado 2

1.1 I sistemi di secondo grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.1 Verifica della soluzione di un sistema di secondo grado . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.2 Risoluzione di un sistema di secondo grado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Problemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4 Problemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2 Le sezioni coniche: la parabola 9

2.1 Le sezioni coniche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.1.1 Il cono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.1.2 Le sezioni coniche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.1.3 Alcune proprieta fisiche della parabola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2 Vertice e asse di simmetria di una parabola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.3 La parabola nel piano cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.4 Significato geometrico dei coefficienti della parabola . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.5 Rappresentare sul piano cartesiano una parabola nota la sua equazione . . . . . . . . 16

2.6 Equazione dell’asse di simmetria, coordinate del vertice di una parabola, del suofuoco e equazione della sua direttrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.7 La parabola per 3 punti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.8 La parabola passante per un punto e per un vertice assegnati . . . . . . . . . . . . . 21

2.8.1 Il passaggio di coordinate fra due sistemi di riferimento . . . . . . . . . . . . 21

2.8.2 L’equazione di una parabola noto il suo vertice . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.8.3 L’equazione di una parabola passante per un punto e avente vertice assegnati 22

2.9 Intersezione retta parabola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.10 Esercizi e problemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1

Capitolo 1

I sistemi di secondo grado

1.1 I sistemi di secondo grado

Come ben sappiamo, il grado di un sistema e dato dal prodotto dei gradi delle singole equazioni chelo compongono. Se noi abbiamo quindi un sistema di due equazioni, per essere di secondo gradouna delle due equazioni e di primo grado e l’altra e di secondo grado.

Esempi

. E di secondo grado il sistema: {x2 + y2 + 2y = 510x + y = 1

infatti la prima equazione e di secondo grado, la seconda e di primo grado quindi il sistema e disecondo grado (2 · 1 = 2).

. E di terzo grado il sistema: {x2y + y2 + 2y = 510x + y = 1

infatti la prima equazione e di terzo grado, la seconda e di primo grado quindi il sistema e di terzogrado (3 · 1 = 3).

. E di sesto grado il sistema: {x2y + y2 + 2y = 510x + y2 = 1

infatti la prima equazione e di terzo grado, la seconda e di secondo grado quindi il sistema e disesto grado (3 · 2 = 6).

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1.1.1 Verifica della soluzione di un sistema di secondo grado

Ricordiamo che risolvere un sistema in 2 incognite significa determinare una coppia (o piu coppie)di valori che sostituita alle incognite rende le equazioni del sistema delle uguaglianze vere.

Verificare una soluzione vuol dire quindi sostituire i rispettivi valori alle incognite e vedere se leequazioni si trasformano in uguaglianze vere. Chiariamo col seguente:

Alessandro Bocconi 3

Esempio

. Il sistema {x2 + y2 + 2x = 73x + y = 5

ha come soluzione la coppia (1; 2). Infatti sostituendo alla x il valore 1 e alla y il valore 2 otteniamoper la prima equazione:

primo termine: 12 + 22 + 2 · 1 = 1 + 4 + 2 = 7 secondo termine: 7

e quindi la prima eguaglianza e verificata.

Sostituendo nella seconda otteniamo:

primo termine: 3 · 1 + 2 = 5 secondo termine: 5

e quindi anche la seconda eguaglianza e verificata e con essa tutto il sistema.

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1.1.2 Risoluzione di un sistema di secondo grado

Adesso ci interessa come risolvere un sistema e, come vedremo, il metdo di risoluzione e moltosimile a quello adottato per sistemi di primo grado. Vediamolo con un esempio:

. Risolvere il seguente sistema:

{x2 + y2 + 2x = 73x + y = 5

Si considera l’equazione di primo grado (la seconda) e ci ricaviamo un’incognita in funzione dell’al-tra. Conviene ricavarci la y perche ha coefficiente 1:

{x2 + y2 + 2x = 7y = 5− 3x

Adesso sostituiamo, nell’altra equazione, alla y l’espressione ricavata al passo precedente:{x2 + (5− 3x)2 + 2x = 7y = 5− 3x

Eleviamo al quadrato: {x2 + 25 + 9x2 − 30x + 2x = 7y = 5− 3x

e sommare fra loro i monomi simili portando il termine noto al primo termine:{10x2 − 28x + 25− 7 = 0y = 5− 3x

{10x2 − 28x + 18 = 0y = 5− 3x


A questo punto abbiamo un’equazione di secondo grado che chiamiamo equazione risolvente.Come tutte le equazioni di secondo grado anche l’equazione risolvente puo avere 2 soluzioni, unasoluzione (o meglio 2 coincidenti) o zero soluzioni, a seconda che il discriminante (il delta) siamaggiore di zero, uguale a zero oppure minore di zero.

Risolviamo allora l’equazione: 10x2 − 28x + 18 = 0.

(Si osservi che sarebbe possibile dividere entrambi i termini per 2 semplificando i calcoli.)

Calcolando il delta con a = 10; b = −28 e c = 18 otteniamo:

4 = b2 − 4ac = (−28)2 − 4 · 10 · 18 = 784− 720 = 64

quindi il discriminante e maggiore di zero e ci aspettiamo due soluzioni che otteniamo usando laformula risolutiva per le equazioni di secondo grado:

x =−b±

√4

2a=

28±√

64

2 · 10=

28± 8

20→ x1 =

28− 8

20=620 1

620 1= 1; x2 =

28 + 8

20=636 9

620 5=

9

5

A questo punto abbiamo trovato 2 valori per la x. Sostituendoli nell’altra equazione determineremoi relativi valori di y: {

x = 1y = 5− 3 · 1

{x = 9

5y = 5− 3 · 95

{x = 1y = 2

{x = 9

5y = 5− 27

5 = 25−275 = −2

5

quindi il sistema ha due soluzioni, le coppie (1; 2) e (95 ;−25)

�

Dall’esempio possiamo ricavare facilmente la seguente:

Proprieta. L’equazione risolvente ed il sistema hanno lo stesso numero di soluzioni, quindi sel’equazione risolvente ha 2 soluzioni (come nell’esempio) il sistema ha 2 coppie di valori che lorisolvono, se l’equazione risolvente ha una soluzione il sistema ha una sola coppia che lo risolve,mentre se l’equazione risolvente non ha soluzioni, nessuna coppia risolve il sistema.

�

Esempi

. Risolvi il seguente sistema: {8x + y = 26x2 + y + 2x = 17

Ci ricaviamo y dalla prima equazione:{y = 26− 8xx2 + y + 2x = 17

e lo sostituiamo nella seconda:{y = 26− 8xx2 + 26− 8x + 2x = 17

{y = 26− 8xx2 − 6x + 9 = 0


L’equazione risolvente e: x2 − 6x + 9 = 0


4 = b2 − 4ac = (−6)2 − 4 · 1 · 9 = 36− 36 = 0

quindi il discriminante e zero e ci aspettiamo una soluzione dell’equazione risolvente e, di conse-guenza, un’unica soluzione del sistema.

x =−b±

√4

2a=

6±√

0

2=

6

2→ x1 = x2 = 3

A questo punto abbiamo trovato un valore per la x. Sostituendolo nell’altra equazione determine-remo il relativo valore di y: {

y = 26− 8 · 3 = 2x = 3

quindi il sistema ha un’unica soluzione, la coppia (3; 2)

. Risolvi il seguente sistema: {x− 3y = 1x2 + 2y2 + 2x− 8y = 1

Ricaviamoci x dalla prima equazione e sostituiamo l’espressione ottenuta nella seconda:{x = 3y + 1(3y + 1)2 + 2y2 + 2(3y + 1)− 8y = 1

{x = 3y + 19y2 + 1 + 6y + 2y2 + 6y + 2− 8y = 1

{x = 3y + 111y2 + 4y + 2 = 0

L’equazione risolvente e: 11y2 + 4y + 2 = 0

Calcolando il delta con a = 11; b = 4 e c = 2 otteniamo:

4 = b2 − 4ac = (4)2 − 4 · 11 · 2 = 16− 88 = −72

il discriminante e minore di zero quindi l’equazione risolvente non ha soluzioni e, di conseguenza,non ha soluzioni nemmeno il sistema.

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1.2 Problemi

Anche i sistemi di secondo grado (come quelli di primo, le equazioni e le disequazioni) possonoessere utili a risolvere dei problemi di varia natura. Si veda il seguente:

Esempio

. L’area di un rettangolo e di 15 metri quadrati e il suo perimetro e di 16 metri. Determinare lamisura di entrambi i lati.


Notiamo che, essendo 2 i lati da determinare, sono 2 anche le incognite. Chiamiamo quindi con xla misura di un lato e con y la misura dell’altro.

Vincoli di “interezza”: x e y possono essere non interi.

Vincoli di range: x e y non possono essere negativi.

Dal momento che l’area di un rettangolo e data dal prodotto delle misure dei 2 lati differentiun’equazione e xy = 15. Inoltre il perimetro e la somma delle misure dei 4 lati, 2 dei qualimisurano x e gli altri due misurano y. Quindi: x + x + y + y = 16 cioe 2x + 2y = 16 e quindix + y = 8. Riassumendo il sistema e: {

xy = 15x + y = 8

che e di secondo grado perche la prima equazione e di secondo grado. Risolviamolo:{(8− y)y = 15x = 8− y

{8y − y2 − 15 = 0x = 8− y

{y2 − 8y + 15 = 0x = 8− y

Risolviamo allora l’equazione: y2 − 8y + 15 = 0.


4 = b2 − 4ac = (−8)2 − 4 · 1 · 15 = 64− 60 = 4

quindi il discriminante e maggiore di zero e ci aspettiamo due soluzioni che otteniamo usando laformula risolutiva per le equazioni di secondo grado:

y =−b±

√4

2a=

8±√

4

2 · 1=

8± 2

2→ y1 =

8− 2

2=

6

2= 3; y2 =

8 + 2

2=

10

2= 5

A questo punto abbiamo trovato 2 valori per la y. Sostituendoli nell’altra equazione determineremoi relativi valori di x: {

y = 3x = 8− 3 = 5

{y = 5x = 8− 5 = 3

e osserviamo che le 2 soluzioni indicano entrambe che un lato misura 3 metri e l’altro 5. Inoltre lasoluzione rispetta i vincoli.

�

1.3 Esercizi

Verificare se la coppia messa fra parentesi risolve il relativo sistema

1. {x + 5y = 7x2 − 2y2 + 3xy + y = 9

(2; 1)

2. {2x− 5y = 3x2 + 3y2 + 3x + 2y = 2

(4; 1)

3. {2x− 3y = 73x2 − 2y2 + 3xy + y = 3

(2;−1)


4. {2x + 3y = 24x2 − 9y2 + 4x + 3y = 3

(1

2;1

3)

5. {2x− 5y = 7x2 − 2y2 + 3xy + y = 32

(−4;−3)

Risolvere i seguenti sistemi

6. {x2 − 9x− y2 = 9yx− 3 = 7y

(10; 1) (3

8;−3

8)

7. {4x + 2y = 16x2 − xy + 4 = 0

(2; 4) (2

3;20

3)

8. {x + y = 6xy = 0

(0; 6) (6; 0)

9. {−2x + 2y = 0xy − 2x− 2y = −4

(2; 2)

10. {x2 − 2y2 − xy + 5y = x + 2y − 2 = x + 2

(−1; 3) (−7;−3)

11. {x2 + y2 + 4x− 3y + 10 = 03x− 3y = 0

impossibile

12. {x + y − 3 = 02x2 − 3y2 − 6x + 9y + xy = 0

(3; 0) (0; 3)

13. {x = 0x2 + (y − 1)2 = 1

(0; 1)

14. {2x− y = 0x2 + 2y2 + 2x + 2y − 3 = 0

(−1;−2) (1

3;2

3)

15. {xy = 82x− y = 6

(4; 2) (−1;−8)


16. {x2 + y2 − 10y = 03x− 4y = 5

(3; 1)

17. {x + y = 1x2 + y2 + x + y + 8 = 0

impossibile

18. {x2 + y2 = 5

23x + y = 3

(1

2;3

2) (

13

10;− 9

10)

19. {xy + 2x = 7−4x + y = 1

(1; 5) (−7

4;−6)

20. {−3x + y = 03x2 + y2 + 2 = 0

impossibile

21. {x + 2y − 4 = 022 − y2 + xy = 5

(2; 1) (−18; 11)

1.4 Problemi

Risolvi i seguenti problemi evidenziando i vincoli

1. Un triangolo ha l’ipotenusa di 5 centimetri e il perimetro di 12 centimetri. Determinare lalunghezza dei cateti.

2. Per piastrellare 2 stanze quadrate ci sono voluti esattamente 52 metri quadri di mattonelle,e 40 metri (lineari) di battiscopa (il battiscopa sta lungo il perimetro delle stanze). Quantomisura il lato di una stanza e quanto misura il lato dell’altra stanza.

3. Nel 2010 Mario spende per andare al cinema 126 euro. Dopo 3 volte che ci era andato avevagia speso 18 euro. Quanto costa il biglietto del cinema? Quante volte e andato nel 2010?

4. Lo spread fra i titolo di stato italiani e quelli tedeschi e di 4 punti percentuali. Se eleviamo alquadrato i punti percentuali dei titoli di stato italiani e facciamo lo stesso per quelli tedeschie sommiamo questi 2 quadrati si ottiene 58. Quanto e il rendimento dei titoli di stato italianie quale il rendimento di quelli tedeschi?

5. Sono state emesse azioni della ditta “Prince” per un valore di 130.000 euro. Dieci azionicostano 650 euro. Quante azioni sono state emesse? Quanto costa ciascuna azione?

Capitolo 2

Le sezioni coniche: la parabola

2.1 Le sezioni coniche

Le sezioni coniche rappresentano certamente un argomento di grande suggestione per le connessioniche mettono in evidenza fra la matematica e altre discipline (o forse sarebbe meglio dire fra lamatematica e il resto dell’Universo). Gia note dall’antichita, le sezioni coniche sono la circonferenza,l’ellisse, la parabola e l’iperbole e devono il loro nome al fatto che sono ottenute “affettando” uncono con un piano. Per comprendere bene l’argomento bisogna sapere cosa e un cono (figurafamiliare a tutti si pensi ad esempio al cono gelato).

2.1.1 Il cono

Il cono e un solido di rotazione, cio significa che e ottenuto ruotando una figura piana (in questocaso una specie di triangolo rettangolo). Immaginiamo di avere un compasso con le gambe dilunghezza infinita e di compiere una rotazione completa attorno a una delle due gambe (vedi figura2.1) Se la gamba che si muove lasciasse una scia luminosa tale scia formerebbe un cono (o meglioun semicono come vedremo dopo).

Nella figura 2.1 le gambe del compasso sono rappresentate da semirette. Nella definizione completadel cono pero al posto delle semirette si usano le rette. Quindi un cono si ottiene ruotando attornoa una retta la retta inclinata che genera il cono (figura 2.2). Ovviamente, essendo le rette dilunghezza infinita, e di lunghezza infinita anche il cono.

Figura 2.1: La semiretta obliqua (a sinistra) ruotando attorno alla semiretta verticale forma ilsemicono a destra

9


Figura 2.2: La retta obliqua (a sinistra) ruotando attorno alla retta verticale forma il cono a destra

Figura 2.3: Il piano, “affettando” il cono forma le sezioni coniche

2.1.2 Le sezioni coniche

Se tagliamo il cono con un piano perpendicolare all’asse del cono stesso, la sezione che otteniamoe una circonferenza. Se incliniamo leggermente il piano (meno di quanto e inclinata la retta gene-ratrice) otterremo un ellisse. Se incliniamo il piano rispetto all’asse, esattamente come e inclinatala retta generatrice, otteniamo una parabola. Se aumentiamo l’inclinazione otteniamo un iperbole(figura 2.3).

In modo piu semplice possiamo ottenere le sezioni coniche con una pila. Sappiamo che la pilaemette un cono di luce: se proiettiamo perpendicolarmente al muro otteniamo un cerchio di luce,se incliniamo leggermente la pila otteniamo un ellisse, se incliniamo ancora in modo che il cono diluce abbia la sua generatrice parallela al muro si ottiene una parabola. Se aumentiamo l’inclinazionesi ottiene un iperbole. Si osservi che il concetto e analogo al precedente, soltanto che in precedenzaabbiamo tenuto fermo il cono e aqbbiamo variato l’inclinazione del piano che lo “affetta”, mentreadesso abbiamo variato l’inclinazione del cono di luce mentre il piano (in questo caso il muro) stavaovviamente fermo (figura 2.4).


Figura 2.4: Il cono di luce della torcia, variando di inclinazione, forma le varie coniche sul muro

2.1.3 Alcune proprieta fisiche della parabola

Pur senza poterle dimostrare, e interessante vedere due proprieta fisiche della parabola:

• la traiettoria di un oggetto lanciato (non in verticale) descrive sempre una parabola comein figura 2.5 (questo risultato e stato dimostrato scientificamente dal fisico pisano GalileoGalilei).

• qualunque raggio che arriva parallelamente all’asse di simmetria della parabola, colpendo laparabola stessa, “rimbalza” sempre sullo stesso punto detto fuoco (figura 2.6)

L’ultima delle due proprieta spiega il motivo per cui si usa una antenna a forma di parabola perguardare la tv satellitare. Precisiamo innanzitutto che non si tratta di una parabola ma di unparaboloide, cioe di un solido tridimensionale ottenuto ruotando una parabola (che e invece unoggetto bidimensionale) (figura 2.7). Il paraboloide conserva la stessa proprieta della parabola percui i segnali provenienti dal satellite arrivano parallelamente all’asse del paraboloide e vengonoconvogliati nello stesso punto (il fuoco del paraboloide) dove e posto un ricettore che fa arrivare unsegnale nitido alla nostra televisione.

Lo scopo di questi esempi e soprattutto far riflettere come un oggetto come la parabola (ma lostesso si potrebbe dire per circonferenza, ellisse e iperbole) ottenuta sezionando un cono ricorra inapplicazioni fisiche (e non solo) che nulla hanno a che vedere con la sua costruzione. Lo stuporedeve essere lo stesso che si avrebbe mettendo una serie di lettere a caso una dopo l’altra per poiscoprire che esiste nel mondo una lingua per cui quella serie di lettere messe a caso rappresentauna frase di perfetto senso compiuto (o meglio una poesia di rara bellezza).

2.2 Vertice e asse di simmetria di una parabola

Nella figura 2.8 sono evidenziati il vertice e l’asse di simmetria della parabola.


Figura 2.5: L’acqua della fontana e il pallone da basket descrivono una traiettoria a forma diparabola

Figura 2.6: I raggi che arrivano parallelamente all’asse “rimbalzano” tutti sul fuoco

2.3 La parabola nel piano cartesiano

Prima di dare la definizione di una parabola ricordiamo cos’e la distanza di un punto P da unaretta r: Se H e il punto di intersezione fra la retta r e la retta passante per P e perpendicolare ar, la distanza di P da r e la lunghezza del segmento PH (figura 2.9).

Definizione di parabola. La parabola e il luogo dei punti equidistanti da un punto detto fuocoe da una retta detta direttrice.

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Dalla definizione segue che, una volta scelta una retta e un punto e determinata la parabola che haquella retta come direttrice e quel punto come fuoco. Il problema e determinarla e noi lo faremoin un caso particolare.

Si scelga in un piano cartesiano una retta parallela all’asse x avente equazione y = −d (dallageometria della retta sappiamo che ogni retta parallela all’asse x ha equazione y = un numero.Nel nostro caso il numero e −d); e un punto F sull’asse y di coordinate (0; d). Se prendiamo unqualunque punto P di coordinate generiche (x; y) ci chiediamo dove si deve trovare il punto P , e


Figura 2.7: Un paraboloide ottenuto ruotando una parabola (a sinistra) e un’antenna parabolica(a destra)

Figura 2.8: L’asse e il vertice di una parabola

Figura 2.9: La distanza del punto P dalla retta r

quindi come devono essere le sue coordinate, affinche P sia uno dei punti della parabola (figura2.10).

Innanzitutto scriviamo la formula della distanza fra i due punti P e F :

PF =√

(x− 0)2 + (y − d)2 =√x2 + (y − d)2

Inoltre la distanza fra P e la retta r e la lunghezza del segmento PH. Ma dato che la distanza frala retta scelta e l’asse delle x e uguale a d e la distanza da P dall’asse delle x e uguale a y risultache PH = y + d.

Affinche P appartenga alla parabola (ricordiamoci la definizione di parabola data in precedenza),deve risultare che:

PH = PF

cioe in coordinate cartesiane:y + d =

√x2 + (y − d)2


x

y

P(x,y)

F(0,d)

O

} y

} d

Direttrice di equazione y=- d H

Figura 2.10: P per appartenere alla parabola deve essere equidistante da F e da H

Per risolvere questa equazione abbiamo bisogno di eliminare la radice quadrata. Per farlo possiamoelevare alla seconda sia il primo che il secondo termine dell’equazione:

(y + d)2 = (√x2 + (y − d)2)2

Dal momento che la radice quadrata e l’operazione inversa dell’elevamento al quadrato, nel secondotermine dell’equazione la radice e l’elevamento a potenza si annullano a vicenda. Si ottiene quindi:

(y + d)2 = x2 + (y − d)2

da cuiy2 + 2dy + d2 = x2 + y2 − 2dy + d2

semplificando e portando i monomi che contengono y al primo termine e gli altri al secondo siottiene:

6y2 +2dy+ 6d2 +2dy = x2+ 6y2 + 6d2→ 4dy = x2 → y =1

4dx2

Per semplificare l’equazione sostituiamo a 14d la lettera a e l’equazione diviene

y = ax2

Abbiamo quindi ottenuto l’equazione di una parabola avente asse verticale e vertice nell’origine (sipotrebbe dimostrare, anche se non lo faremo, che l’asse di simmetria e la direttrice sono sempreperpendicolari fra loro: quindi se la direttrice e orizzontale, l’asse di simmetria e verticale).

Piu in generale, se non avessimo preso il fuoco sull’asse y e con distanza dall’origine uguale alladistanza fra la direttrice e l’origine (vedi secondo esempio di questo paragrafo), avremmo ottenutouna parabola con un’equazione del tipo:

y = ax2 + bx + c

Questa equazione vale per tutte le parabole con asse di simmetria verticale. Dalmomento che noi tratteremo esclusivamente questo tipo di parabole, la formula pre-cedente rappresenta l’equazione di tutte le parabole di cui ci occuperemo.

Osservazione. Non deve stupire la sostituzione che abbiamo effettuato quando, al posto di 14d ;

abbiamo scritto a. Questi “cambiamenti” di lettera sono molto frequenti in matematica e servonoper scrivere le formule in modo piu semplice. Osserviamo che tali sostituzioni sono corrette: unavolta scelto d diverso da zero infatti, e sempre possibile scegliere a tale che a = 1

4d . Ad esempio sed = 1 allora a = 1

4 , se d = 2 allora a = 18 ecc.

�


Esempi

. Determinare la parabola avente fuoco F (0, 2) e direttrice di equazione y = −2

Un punto P (x, y) per appartenere a detta parabola deve verificare che:

PH = PF

dove H e il punto sulla direttrice tale che PH sia perpendicolare alla direttrice stessa.

Passando in coordinate cartesiane:

y + 2 =√

x2 + (y − 2)2

eleviamo al quadrato entrambi i termini per eliminare la radice quadrata:

(y + 2)2 = x2 + (y − 2)2 →6y2 + 64 +4y = x2+ 6y2 + 64 −4y → 8y = x2 → y =1

8x2

l’equazione della parabola cercata e quindi:

y =1

8x2

. Determinare la parabola avente fuoco F (2, 1) e direttrice di equazione y = −3

Un punto P (x, y) per appartenere a detta parabola deve verificare che:

PH = PF

dove H e il punto sulla direttrice tale che PH sia perpendicolare alla direttrice stessa.

Passando in coordinate cartesiane:

y + 3 =√

(x− 2)2 + (y − 1)2

eleviamo al quadrato entrambi i termini per eliminare la radice quadrata:

(y + 3)2 = (x− 2)2 + (y − 1)2 →6y2 +9 + 6y = x2 + 4− 4x+ 6y2 +1− 2y → 8y = x2 − 4x− 4

y =1

8x2 − 4

8x− 4

8→ 1

8x2 − 1

2x− 1

2l’equazione della parabola cercata e quindi:

y =1

8x2 − 1

2x− 1

2

2.4 Significato geometrico dei coefficienti della parabola

Il coefficiente a “determina” la concavita della parabola, infatti se:

• a > 0 allora la parabola ha la concavita rivolta verso l’alto (ha una forma a ∪)

• a < 0 allora la parabola ha la concavita rivolta verso il basso (ha una forma a ∩)

Inoltre a determina anche l’ampiezza della parabola: piu a e vicino a zero e piu la parabola e larga.Piu a cresce (in valore assoluto e quindi anche con segno negativo) piu la parabola si “restringe”(vedi figura 2.11).

Il coefficiente c trasla in verticale la parabola, in altre parole se aumentiamo ad esempio di 1 ilcoefficiente c, tutta la parabola “sale” di 1; se lo diminuiamo di 2 la parabola “scende” di 2.

Il coefficiente b (insieme ad a) determina il posizionamento dell’asse verticale (destra-sinistra) e,insieme sia ad a che a c, dello spostamento in verticale della parabola.


y=x>^2

y=3x^2

y=- x^2

y=0,1x^2

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

100

120

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

Figura 2.11: quattro parabole con vertice nell’origine: maggiore e il valore di a e piu la parabola sirestringe

2.5 Rappresentare sul piano cartesiano una parabola nota la suaequazione

Per disegnare una parabola conoscendo la sua equazione si compiono i seguenti passi:

1. Si determina se la concavita e rivolta verso il basso o verso l’alto

2. Si determinano le intersezioni con l’asse x (o, in mancanza di queste, con un’altra rettaorizzontale)

3. Si determinano le coordinate del vertice

4. Si determina l’intersezione con l’asse y

5. Si uniscono i punti trovati

Esempi

. Rappresentare graficamente la parabola di equazione y = x2 − 6x + 5

Concavita: la concavita e rivolta verso l’alto dato che il coefficiente a e 1 e quindi positivo

Intersezioni con l’asse x: per determinare le intersezioni della parabola con l’asse x bisognamettere a sistema l’equazione della parabola con l’equazione dell’asse x cioe y = 0{

y = x2 − 6x + 5y = 0

da cui sostituendo a y il valore zero nella prima si ottiene l’equazione di secondo grado x2−6x+5 = 0le cui 2 soluzioni sono x = 1 e x = 5. Quindi la parabola interseca l’asse delle x nei punti di ascissax = 1 e x = 5.

Coordinate del vertice: l’asse di simmetria della parabola divide in due parti uguali la parabolae quindi deve passare “in mezzo” ai 2 punti di intersezione della parabola con l’asse x. Dal momentoche il vertice sta sull’asse di simmetria per determinare la sua ascissa xv bisogna determinare ilvalore medio delle 2 soluzioni trovate al punto precedente. Quindi:

xv =1 + 5

2= 3

Per determinare l’ordinata del vertice (yv)e sufficiente sostituire alla x il valore dell’ascissa delvertice (xv) nell’equazione y = x2 − 6x + 5 della parabola:

yv = x2v − 6xv + 5→ yv = 32 − 6 · 3 + 5→ yv = −4


5

1

V(3; -4)

5

-10

-5

0

5

10

15

20

25

30

35

-4 -2 0 2 4 6 8 10

Figura 2.12:

Quindi le coordinate del vertice sono V (3;−4)

Intersezione con l’asse y: per determinare le intersezioni della parabola con l’asse y bisognamettere a sistema l’equazione della parabola con l’equazione dell’asse y cioe x = 0

{y = x2 − 6x + 5x = 0

da cui sostituendo a x il valore zero nella prima equazione si ottiene y = 5. Quindi la parabolainterseca l’asse y nel punto di ordinata y = 5

Unendo i punti trovati si ottiene il grafico di figura 2.12.

. Rappresentare graficamente la parabola di equazione y = 2x2 − 2x + 1

Concavita: la concavita e rivolta verso l’alto dato che il coefficiente a e 2 e quindi positivo

Intersezioni con l’asse x: per determinare le intersezioni della parabola con l’asse x bisognamettere a sistema l’equazione della parabola con l’equazione dell’asse x cioe y = 0{

y = 2x2 − 2x + 1y = 0

da cui sostituendo a y il valore zero nella prima si ottiene l’equazione di secondo grado 2x2−2x+1 =0 che non ha soluzioni in quanto il suo 4 e negativo. Questo significa che la parabola non haintersezioni con l’asse x e quindi, visto che ha la concavita rivolta verso l’alto, sta tutta “sopra”l’asse delle x.

Dobbiamo allora determinare una retta orizzontale “piu alta” dell’asse delle x che intersechi laparabola. La retta orizzontale di equazione y = termine noto della parabola interseca sempre laparabola (come sarebbe facile dimostrare). Dato che la parabola ha come termine noto 1 ( cioe ilcoefficiente c), studiamo le intersezioni della parabola con la retta y = 1.

{y = 2x2 − 2x + 1y = 1

da cui sostituendo a y il valore uno nella prima si ottiene l’equazione di secondo grado 2x2−2x+1 = 1le cui 2 soluzioni sono x = 0 e x = 1. Quindi la parabola interseca la retta orizzontale y = 1 neipunti di ascissa x = 0 (quindi sull’asse delle y) e x = 1. Osserviamo quindi che abbiamo giadeterminato anche l’intersezione della parabola con l’asse delle y.

Coordinate del vertice: abbiamo gia osservato che il vertice sta sull’asse di simmetria quindiper determinare la sua ascissa xv bisogna determinare il valore medio delle 2 soluzioni trovate al


(0; 1)

V(1/2;1/2)

(1; 1)

Figura 2.13:

punto precedente. Quindi:

xv =0 + 1

2=

1

2

Per determinare l’ordinata del vertice (yv)e sufficiente sostituire alla x il valore dell’ascissa delvertice (xv) nell’equazione y = 2x2 − 2x + 1 della parabola:

yv = 2x2v − 2xv + 1→ yv = 2 ∗ 1

2

2

− 2 · 1

2+ 1→ yv =

1

2

Quindi le coordinate del vertice sono V (12 ; 12)

Intersezione con l’asse y: gia determinato.

Unendo i punti trovati si ottiene il grafico di figura 2.13.

2.6 Equazione dell’asse di simmetria, coordinate del vertice di unaparabola, del suo fuoco e equazione della sua direttrice

Vogliamo adesso determinare l’equazione dell’asse di simmetria di una parabola. Sappiamo chetale retta e verticale e quindi la sua equazione e del tipo x = un numero. Per trovare questonumero ricordiamo che l’asse passa nel punto medio fra i 2 punti intersezione della parabola stessacon una qualunque retta orizzontale. Consideriamo allora una parabola di generica equazioney = ax2 + bx + c e determiniamone le intersezioni con la retta orizzontale y = c.{

y = ax2 + bx + cy = c

Sostituendo a y il valore c nella prima equazione si ottiene:

ax2 + bx+ 6 c=6 c→ x(ax + b) = 0

e quindi troviamo x = 0 e ax + b = 0→ ax = −b→ x = − ba .

Le due intersezioni hanno ascissa x = 0 e x = − ba , quindi il suo punto medio ha ascissa:

0− ba

2= − b

2a

e di conseguenza troviamo l’equazione dell’asse di simmetria della parabola che e:

x = − b

2a


Per determinare le coordinate del vertice osserviamo che il vertice appartiene all’asse di simmetriadella parabola i cui punti hanno tutti ascissa x = − b

2a , e quindi anche il vertice ha ascissa:

xv = − b

2a

per trovare l’ordinata del vertice sostituiamo, nell’equazione generica della parabola, a x il valoredi xv (cioe − b

2a) ottenendo:

yv = ax2v + bxv + c = a(− b

2a)2 + b · (− b

2a) + c =6a b2

4a62− b2

2a+ c =

b2 − 2b2 + 4ac

4a= −b2 − 4ac

4a

quindi le coordinate del vertice sono:

V (− b

2a;−b2 − 4ac

4a)

Esempio

. Determinare le coordinate del vertice della parabola di equazione y = x2−6x+ 5 (si osservi chee la stessa parabola del primo esempio del paragrafo precedente)

Sappiamo che le coordinate del vertice sono

xv = − b

2a; yv = −b2 − 4ac

4a

In questo caso abbiamo che a = 1; b = −6; c = 5. Per determinare le coordinate del vertice esufficiente sostituire tali valori nelle coordinate generiche:

xv = − −6

2 · 1= 3; yv = −(−6)2 − 4 · 1 · 5

4 · 1= −36− 20

4= −4

e si osservi che il risultato coincide con quello dell’esempio del paragrafo precedente.

�

Per completezza diamo le coordinate del fuoco e l’equazione della retta direttrice:

F (− b

2a;−1 +4

4a) direttrice: y = −1 +4

4a

2.7 La parabola per 3 punti

Per qualunque terna di punti non allineati e tali che abbiano tutti una ascissa diversa, esiste un’unicaparabola con asse verticale passante per detti punti. Il problema di determinare tale parabola notele coordinate dei tre punti e concettualmente molto facile anche se di non immediata risoluzione.Spieghiamoci tramite un esempio:

Esempio.

. Si determini l’equazione della parabola passante per i punti A(1; 2), B(−1; 6) e C(2; 3).

Sappiamo che la parabola ha equazione generica y = ax2+bx+c, quindi per determinarla dobbiamotrovare il valore dei coefficienti a, b e c.

Affinche la parabola passi per il punto A, deve essere vera l’uguaglianza che si ottiene sostituendoa x l’ascissa di A (che e 1) e a y l’ordinata di A (che e 2):

2 = a · 12 + b · 1 + c


Affinche la parabola passi per il punto B, deve essere vera l’uguaglianza che si ottiene sostituendoa x l’ascissa di B (che e -1) e a y l’ordinata di B (che e 6):

6 = a · (−1)2 + b · (−1) + c

Affinche la parabola passi per il punto C, deve essere vera l’uguaglianza che si ottiene sostituendoa x l’ascissa di C (che e 2) e a y l’ordinata di C (che e 3):

3 = a · 22 + b · 2 + c

Mettendo insieme le 3 equazioni si ottiene il sistema:2 = a · 12 + b · 1 + c6 = a · (−1)2 + b · (−1) + c3 = a · 22 + b · 2 + c

Da cui, scambiando i termini delle 3 equazioni e eseguendo le operazioni si ottiene:

a + b + c = 2a− b + c = 64a + 2b + c = 3

Quanto appena scritto e un sistema di 3 equazioni nelle 3 incognite a, b e c. Concettualmente ilmetodo di risoluzione e identico rispetto ai sistemi di 2 equazioni, soltanto che il procedimento epiu lungo (soprattutto se si usa il metodo della sostituzione).

Ricaviamo c dalla prima equazione e sostituiamolo nelle altre due:c = 2− a− b6a −b + 2− 6a −b = 64a + 2b + 2− a− b = 3

nella seconda equazione dopo aver semplificato a ci ricaviamo facilmente b:

c = 2− a− b−2b = 44a + 2b + 2− a− b = 3

c = 2− a− bb = −24a + 2b + 2− a− b = 3

sostituiamo a b il valore −2 nella terza equazione:c = 2− a− bb = −24a + 2 · (−2) + 2− a− (−2) = 3

c = 2− a− bb = −24a− 64 + 62 −a+ 62= 3

c = 2− a− bb = −2a = 1

Sostituiamo i valori trovati per a e per b nella prima equazione:c = 2− 1− (−2)b = −2a = 1

c = 3b = −2a = 1

quindi la parabola cercata e y = x2 − 2x + 3.

Il procedimento risulta essere molto piu semplice se qualcuno dei punti appartiene all’asse y, comepossiamo osservare nel seguente esempio:

. Determinare la parabola passante per i punti A(0;−3), B(1; 0) e C(2; 7).


Affinche la parabola passi per il punto A, deve essere vera l’uguaglianza che si ottiene sostituendoa x l’ascissa di A (che e 0) e a y l’ordinata di A (che e −3):

−3 = a · 02 + b · 0 + c

Affinche la parabola passi per il punto B, deve essere vera l’uguaglianza che si ottiene sostituendoa x l’ascissa di B (che e 1) e a y l’ordinata di B (che e 0):

0 = a · 12 + b · 1 + c

Affinche la parabola passi per il punto C, deve essere vera l’uguaglianza che si ottiene sostituendoa x l’ascissa di C (che e 2) e a y l’ordinata di C (che e 7):

7 = a · 22 + b · 2 + c

Mettendo insieme le 3 equazioni si ottiene il sistema:−3 = a · 02 + b · 0 + c0 = a · 12 + b · 1 + c7 = a · 22 + b · 2 + c

Da cui, scambiando i termini delle 3 equazioni e eseguendo le operazioni si ottiene:

c = −3a + b + c = 04a + 2b + c = 7

c = −3a + b = 34a + 2b = 10

ricaviamo a dalla seconda equazione e sostituiamo nella terza:c = −3a = 3− b4(3− b) + 2b = 10

c = −3a = 3− b12− 4b + 2b = 10

c = −3a = 3− b−2b = −2

da cui c = −3a = 2b = 1

quindi la parabola cercata e y = 2x2 + x− 3.

�

2.8 La parabola passante per un punto e per un vertice assegnati

2.8.1 Il passaggio di coordinate fra due sistemi di riferimento

In un piano cartesiano oxy (che significa di origine nel punto o e assi x e y), scegliamo 2 puntiqualunque, ad esempio A(4; 4) e B(8; 3). Si consideri adesso un altro sistema di riferimento OXY(abbiamo scelto le lettere maiuscole per distinguerlo dall’altro) tale che abbia gli assi paralleli alsistema oxy e origine O di cordinate, rispetto all’altro sistema di riferimento, (3; 2) (vedi figura2.14).

Ci chiediamo che coordinate hanno, nel sistema di riferimento OXY , i punti A e B. La figura ciaiuta a capire che, nel nuovo sistema di riferimento, abbiamo che A ha coordinate (1; 2) e B ha


xo

y

XO

Y

AB

8

5

4

1

1324

Figura 2.14:

coordinate (5; 1). E immediato osservare che, per trovare l’ascissa di A e B nel nuovo sistema diriferimento, e stato sufficiente sottrarre 3 all’ascissa che avevano nel vecchio sistema di riferimento(ascissa nuova di A = ascissa vecchia di A − 3 e ascissa nuova di B = ascissa vecchia di B − 3)mentre per trovare l’ordinata di A e B nel nuovo sistema di riferimento, e stato sufficiente sottrarre2 all’ordinata che avevano nel vecchio sistema di riferimento (ordinata nuova di A = ordinatavecchia di A − 2 e ordinata nuova di B = ordinata vecchia di B − 2). Questo metodo vale perqualunque punto: se avessimo un punto C avente nel sistema di riferimento oxy coordinate (17; 10),nel sistema di riferimento OXY avrebbe coordinate (14; 8) (14 = 17− 3; 8 = 10− 2).

Ovviamente per passare da oxy a OXY si sottrae di 3 per le ascisse e di 2 per le ordinate percheO nel sistema di riferimento oxy ha coordinate (3; 2). Se vogliamo fare un discorso piu generaleconsideriamo che O, nel sistema di riferimento oxy abbia coordinate (x0; y0). Allora le equazioniper passare da un sistema di riferimento all’altro sono:{

X = x− x0Y = y − y0

2.8.2 L’equazione di una parabola noto il suo vertice

Sappiamo che una parabola con il vertice nell’origine ha equazione:

y = ax2

Supponiamo adesso che una parabola abbia il vertice nel punto di coordinate (x0; y0). Consideriamoun nuovo sistema di riferimento OXY in cui l’origine abbia coordinate (x0; y0): in questo sistemadi riferimento il vertice coincide nell’origine e quindi la parabola ha equazione:

Y = aX2

ma a noi interessa l’equazione della parabola nel sistema di riferimento oxy quindi utilizziamo leformule per i passaggi di coordinata visti alla fine del precedente paragrafo e sostituiamo a Xl’espressione x− x0 e a Y l’espressione y − y0 ottenendo cosı:

y − y0 = a(x− x0)2

che rappresenta l’equazione di tutte le parabole aventi vertice nel punto di coordinate (x0; y0)

2.8.3 L’equazione di una parabola passante per un punto e avente verticeassegnati

A questo punto e semplice risolvere il problema della parabola noti il vertice e un suo punto. Loaffrontiamo con un esempio:


Esempio

. Determinare la parabola avente vertice V (3;−2) e passante per il punto P (1; 6)

Usiamo la formula appena trovata e sostituiamo a x0 e y0 le coordinate del vertice. Si ottiene:

y + 2 = a(x− 3)2

a questo punto imponiamo il passaggio della parabola per il punto P sostituendo a x e ad y lecoordinate 1 e 6. Possiamo cosı ricavarci a:

6 + 2 = a(1− 3)2 → 8 = 4a→ 6464a =68 2

64 1→ a = 2

Adesso, nell’equazione y + 2 = a(x− 3)2, sostituiamo ad a il valore appena trovato ed eleviamo alquadrato:

y + 2 = 2(x− 3)2 → y + 2 = 2(x2 − 6x + 9)→ y + 2 = 2x2 − 12x + 18→ y = 2x2 − 12x + 16

che rappresenta l’equazione cercata.

�

2.9 Intersezione retta parabola

Ormai sappiamo che in geometria analitica le intersezioni si trovano risolvendo dei sistemi. Perdeterminare le intersezioni fra una retta e una parabola bisogna mettere a sistema l’equazione dellaretta (di primo grado) e l’equazione della parabola (di secondo grado). Otteniamo cosı dei sistemidi secondo grado come quelli studiati nel capitolo precedente.

Possono accadere 3 casi:

• Se il sistema non ha soluzioni da un punto di vista geometrico significa che non esistono puntidi intersezione fra la retta e la parabola: in questo caso si dice che la retta e esterna allaparabola.

• Se il sistema ha un’unica soluzione significa che esiste un solo punto di intersezione fra laretta e la parabola: in questo caso si dice che la retta e tangente alla parabola.

• Se il sistema ha due soluzioni significa che esistono due punti di intersezione fra la retta e laparabola: in questo caso si dice che la retta e secante alla parabola.

Esempi

. Determinare le intersezioni fra la parabola di equazione y = x2 − x + 2 e la retta di equazione2x− y = 0.

Dobbiamo risolvere il sistema: {2x− y = 0y = x2 − x + 2

conviene ricavarsi y dalla prima e sostituirlo nella seconda:{y = 2x2x = x2 − x + 2

{y = 2xx2 − 3x + 2 = 0

Determiniamo allora le soluzioni dell’equazione x2 − 3x + 2 = 0:

4 = b2 − 4ac = 9− 8 = 1


il discriminante e positivo quindi il sistema ha 2 soluzioni che significa che la retta e la parabbolahanno 2 punti di intersezione.

x =−b±

√4

a=

3± 1

2x = 1; x = 2

Abbiamo trovato le ascisse dei due punti di intersezione. Per trovare le ordinate:{x = 1y = 2x

{x = 2y = 2x

da cui {x = 1y = 2

{x = 2y = 4

quindi i 2 punti di intersezione hanno coordinate (1; 2) e (2; 4)

. Determinare le intersezioni fra la parabola di equazione y = x2 − x + 5 e la retta di equazioney = 2x− 1.

Dobbiamo risolvere il sistema: {y = 2x− 1y = x2 − x + 5

conviene ricavarsi y dalla prima e sostituirlo nella seconda:{y = 2x− 12x− 1 = x2 − x + 5

{y = 2x− 1x2 − 3x + 6 = 0

Determiniamo allora le soluzioni dell’equazione x2 − 3x + 6 = 0:

4 = b2 − 4ac = 9− 24 = −15

il discriminante e negativo quindi il sistema non ha soluzioni. Cio significa che la retta e la parabbolanon hanno punti di intersezione e quindi la retta e esterna alla parabola.

�

2.10 Esercizi e problemi

Paragrafo 2.3

1. Si determini la parabola avente direttrice y = −1 e fuoco nel punto F (0; 1)

2. Si determini la parabola avente direttrice y = 2 e fuoco nel punto F (0;−2)

3. Si determini la parabola avente direttrice y = −2 e fuoco nel punto F (1; 1)

4. Si determini la parabola avente direttrice y = 0 e fuoco nel punto F (2; 3)

5. Si determini la parabola avente direttrice y = −3 e fuoco nel punto F (−2; 3)

6. Si determini la parabola avente direttrice y = 2 e fuoco nel punto F (0; 0)

7. Si determini la parabola avente direttrice y = −1 e fuoco nel punto F (22;−3)

Paragrafo 2.5

Rappresentare graficamente le parabole aventi equazione:


8. y = x2 − 2x− 3

9. y = 2x2 − 2x + 5

10. y = −x2 − 2x− 1

11. y = 3x2 + 2x− 1

12. y = −2x2 + 3x + 2

13. y = 12x

2 − 3x + 4

14. y = 10x2 + 3x + 1

15. y = x2 − 2x

16. y = 4x2

17. y = −2x2 + 18

18. y = x2 − 2x− 4

19. y = −13x

2 − x

20. y = x2 − 5x + 6

21. y = −x2 + 2x + 15

22. y = 2x2 − 12x

23. y = x2 + 10x + 9

Paragrafo 2.6

Determinare l’equazione dell’asse, le coordinate del vertice, le coordinate del fuoco e l’equa-zione della direttrice delle seguenti parabole:

24. y = x2 − 2x− 3

25. y = 2x2 − 2x + 5

26. y = −x2 − 2x− 1

27. y = 3x2 + 2x− 1

28. y = −2x2 + 3x + 2

29. y = 12x

2 − 3x + 4

30. y = 10x2 + 3x + 1

31. y = x2 − 2x

32. y = 4x2

33. y = −2x2 + 18

Paragrafo 2.7

Determinare l’equazione della parabola passante per i punti:

34. A(0; 5), B(1; 5), C(−1; 9) [y = 2x2 − 2x + 5]

35. A(1;−6), B(2;−14), C(0;−4) [y = −3x2 + x− 4]

36. A(−3;−3), B(1; 5), C(0; 0) [y = x2 + 4x]


37. A(2; 7), B(−1;−2), C(−2; 7) [y = 3x2 − 5]

38. A(0;−1), B(1; 2), C(−2; 5) [y = 2x2 + x− 1]

39. A(2; 0), B(3; 0), C(1; 2) [y = x2 − 5x + 6]

40. A(1;−2), B(0; 1), C(3;−32) [y = −4x2 + x + 1]

41. A(1;−12), B(−1;−12), C(0;−10) [y = −2x2 − 10]

Paragrafo 2.8

Determinare l’equazione della parabola avente vertice nel punto V e passante per il punto Adi coordinate:

42. V (0; 1) e A(2; 0)

43. V (−1;−1) e A(1; 3)

44. V (1;−18) e A(4; 0)

45. V (3; 4) e A(2; 3)

46. V (32 ;−14) e A(3; 2)

47. V (−1;−8) e A(2; 10)

48. V (6;−16) e A(2; 0)

49. V (0;−9) e A(1;−8)

50. V (−1; 12) e A(−2; 9)

Paragrafo 2.9

Determinare le eventuali intersezioni fra le rette e le parabole di equazione

51. x + y = 2 e y = x2 + 2x− 2

52. 4x− y − 1 = 0 e y = 3x2 − 2x− 1

53. x + y = 0 e y = −x2 + 2x

54. −2x + y = −2 e y = 4x2 + 7x− 1

55. 2x + y = 3 e y = x2 − 5

56. y = 7− 3x e y = 3x2 + 2x− 1

57. 5x + y + 5 = 0 e y = −5x2 + 2x + 1

58. 2x + 3y = 3 e y = −2x2 + 2x + 1

59. x + 2y = −1 e y = 6x2 − 5x− 2

APPUNTI DI MATEMATICA LE SEZIONI CONICHE I sistemi di ... · 1.1 I sistemi di secondo grado ......

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