Introduzione alla Meccanica Quantistica III

Fedele Lizzi

Università di Napoli Federico II

Riassunto delle puntate precedenti

• Abbiamo visto come all’inizio del secolo scorso una serie di esperimenti mettevano in crisi le convinzioni consolidate della fisica classica

• Abbiamo visto che la soluzione del problema risiedeva nel considerare la materia fatta di onde, la cui dinamica e’ descritta dalla equazione di Schrodinger

La Meccanica quantistica

• Con l’equazione di Schrödinger la meccanica quantistica raggiunge la maturita’ di una teoria compiuta

• In breve tempo si riescono a calcolare gli spettri di vari atomi e di molte molecole

• Si descrivono le interferenze, la diffrazione e i vari esperimenti

• Ci sono ancora alcuni problemi con la radiazione elettromagnetica (particelle senza massa) e la realtivita’, ma i passi in avanti sono clamorosi

Equazione di Schrödinger

)(

2 2

22

xVxmt

i

La Ψ e’ una quantita’ complessa che descrive l’ondadi materia

Ci siamo lasciate con le domande:

• Onde di che?

• Cosa oscilla nell’equazione delle onde di materia?

Ricordate il filmino?

• Gli elettroni arrivavano uno alla volta sullo schermo

• All’inizio sembrava che essi arrivassero a caso nei vari punti

• Ma se aspettiamo un tempo sufficientemente lungo vediamo che in effetti i singoli elettroni stanno “costruendo” la figure di interferenza

A caso ma non tanto

• Immaginiamo di avere una scatola con un numero uguale e molto grande di biglie bianche e rosse

• Se prendiamo una biglia a caso la meta’ delle volte troveremo una biglia bianca e l’altra meta’ una biglia rossa

• Ora immaginiamo che da un’altra scatola risultino ¼ delle volta la biglia biance e ¾ quella rossa

• Possiamo, anzi dobbiamo concludere che nella scatole ½ delle biglie sono bianche e ¾ rosse.

• Ma non sappiamo la prossima biglia di che colore sara’. Sappiamo solo che “probabilmente” sara’ rossa

• Ora immaginate un caso in cui estraiamo tante biglie di colori diversi che si dispongono sul seguente istogramma

Questa e’ una distribuzione di probabilita’

Questa invece e’ la distribuzione di probabilita’ della misura di interferenza (di neutroni questa volta)

Dove arriva la particella?

• Noi non sappiamo dove arriva la particella,• Sappiamo solo che se aspettiamo a lungo

vedremo la figura di interferenza• Lo stesso avviene per gli atomi che

decadono emettendo i raggi che formano lo spettro

• Non sappiamo quale atomo decade, ma sappiamo che dopo un certo tempo la meta’ degli atomi sono decaduti

Ma dove e’ la particella

• Il fatto che la luce sia fatta di onde e al tempo stesso di fotoni ha conseguenze importanti per la misura

• Principio di indeterminazione di Heisenberg:

• E’ impossibile misurare al tempo stesso posizione e velocita’ di una particella

Microscopio di Heisenberg

• Per “vedere” particella dobbiamo illuminarla

• Ma per illuminarla dobbiamo mandarci su un fotone

• E per vederla con precisione dobbiamo mandare un fotone “piccolo”

Δx Δp ≥ h/4π

• Il problema e’ che per misurare la posizione con precisione devo prendere un fotone con lunghezze d’onda piccola

• Ma λ=c/. Quindi se λ e’ piccolo e’ grande• Ma l’energia E=h • Per cui per misurare con precisione la posizione

devo mandare un bel fotone molto energetico• Ma questo da una bella sberla alla particella, e

quindi non ne so piu’ la velocita’

L’interpretazione di Copenaghen

• Alla fine degli anni 20 vari fisici, Bohr, Born, Heisenberg, Pauli... proposero che le onde di materia dovessero essere interpretate come onde di probabilita’

• Piu’ precisamente il modulo quadro della funzione d’onda e’ la densita’ di probabilita’ di trovare la particella in un dato punto

Onde di probabilita’

• La materia e’ fatta di queste onde• E la somma di onde e’ diversa

C’e’ del marcio in Danimarca?

• Questa delle onde di probabilita’ e’ una idea che all’inizio non fu accettata, soprattutto da parte dei fisici piu’ anziani

• “Dio non gioca a dadi con il mondo”

• E perche’ mai no?

• Certo l’interpretazione di Copenaghen lascia perplessi, ma sembra funzionare

Se funziona non aggiustarlo!

• E’ indubbio che le’quazione di Schrodinger sia una buona descrizione della natura, i suoi successi in fisica atomica e nucleare lo dimostrano

• La sue versione relativistica (equazione di Dirac) risolve alcuni dei suoi problemi e con l’elettrodinamica quantistica si raggiungono livelli di precisione ottmi

• Quello che magari lascia perplessi e’ l’interpretazione probabilistica

Gatto di Schrodinger

Gatto vivo o gatto morto?

• Sicuramente ci disturba il fatto che il gatto sia vivo e morto al tempo stesso

• E soprattutto che esso poi passi in uno dei due stati solo se apriamo la scatola!

• Il punto e’ che il gatto e’ composto da un altissimo numero di particelle quantistiche che si comportano in maniera incoerente

• E’ un poco come la reversibilita’ che scompare con i grandi numeri

La democrazie e Copenaghen

• Forse l’interpretazione probabilistica e’ come la democrazia

• Pessima ma migliore di tutte le altre

• Per esempio la teoria delle variabili nascoste (locali) e’ stata dimostrata non essere valida sperimentalmente

• Quindi per il momento ce la teniamo

Grandi successi

• Soprattutto perche’ la meccanica quantistica ha avuto degli indubbi grandissimi successi

• Tutta la fisica atomica (bombe, energia, risonanza magnetica)

• Tutta la fisica dello stato solido (e tutta l’elettronica che ci circonda)

• La teoria delle interazioni fondamentali

MQ relativistica spin

• La meccanica quantistica relativistica e’ stata sviluppata da Dirac, e predice lo spin dell’elettrone e il fatto che non ci possono due elettroni nello stesso stato

• Ma ha addirittura predetto qualcosa che neanche la fantascienza aveva predetto:

• ANTIMATERIA!

Andar per campi

• Un migliorato accordo con gli esperimenti si ottiene con la teoria dei campi

• Le onde divengono dei campi quantistici regolati da equazioni che generalizzano quella di Schrodinger

• Ma che hanno degli infiniti che bisogna imparare a rinormalizzare, ovvero a cancellare ad arte

E viviamo felici e scontenti…

• Questo ha portato alla formulazione del dell’attuale modello standard delle interazioni: forte, debole e elettromagnatica

• L’unico elemento che manca, il bosone di Higgs lo stanno acchiappando…

• Il futuro della fisica e’ di nuovo oltre la sesta cifra decimale

Un’altra frontiera

• Purtroppo la cancellazione degli infiniti ha un problema

• Non funziona se lo spaziotempo e’ curvo

• Quindi non funziona con la relativita’ generale

• Quindi dobbiamo unificare Teoria dei Campi e Gravitazione:

LA GRAVITA’ QUANTISTICA

Questa ve la lascio come compito a casa