Introduzione alla Meccanica Quantistica II Fedele Lizzi Università di Napoli Federico II.
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Introduzione alla Meccanica Quantistica II
Fedele Lizzi
Università di Napoli Federico II
Riassunto della puntata precedente
• Abbiamo visto come all’inizio del secolo scorso una serie di esperimenti mettevano in crisi le convinzioni consolidate della fisica classica che aveva funzionato tanto bene per tre secoli
• La fisica Newtoniana che descriveva le particelle e le equazioni di Maxwell che descrivevano l’andamento dei campi elettromagnetici sembrano totalmente inadeguati alla descrizione dei nuovi fenomeni
Corpo Nero
• La fisica classica ne da una descrizione lontanissima dai dati sperimentali, e per giunta internamente inconsistente
• La teoria si sposa perfettamente con id ati se si ipotizza che gli scambi di energia ad una certa frequenza avvengano in multipli di = h
Effetto fotoelettrico e effetto Compton
• La fisica classica non riesce a spiegarli con la natura ondulatoria della luce
• Entrambi i fenomeni si spiegano perfettamente assumendo che la radiazione elettromagnetica sia composta da “quanti”, unità discrete proporzionali alla frequenza e di energia = h
Gli elettroni
• Gli elettroni sono delle particelle, nel senso che hanno una carica ed una massa ben definite, e si comportano come particelle a tutti gli effetti
• Ma si comportano anche come onde, formando figure di interferenza del tutto simili a quelle formate dala luce, a parte la differente lunghezza d’onda
In effetti ancor prima dell’esperimento della diffrazione
degli elettroni:• Nel 1924 il giovane aristocratico francese
Louis-Victor-Pierre-Raymond, 7eme duc de Broglie ha una buona idea…
• Ipotizza che se la luce ha una natura corpuscolare allora anche le particelle possono avere una natura ondulatoria
• Con una lunghezza d’onda: λ = h/q = h/mv
Un successo della fisica teorica
• L’ipotesi di de Broglie viene fatta prima degli esperimenti di Thomson e Davisson-Germer che provano la diffrazione degli elettroni
• Quella che inizia a farsi strada e’ l’ipotesi che la materia e la radiazione a piccole distanze si comporti in maniera non descrivibile dalla fisica classica
• Il parametro h gioca un ruolo simile (ma non identico) a quello che in relativita’ speciale gioca 1/c, l’inverso della velocita’ della luce.
Il posto in cui guardare sono gli atomi
• Da non molto tempo si era iniziato a guardare “dentro” gli atomi attraverso gli esperimenti di Rutherford
• Gli atomi sembravano quindi composti da un nucleo centrale che conteneva una carica positiva e praticamente tutta la massa dell’atomo
Modello atomico di Rutherford
Il modello planetario
• Il modello sembra riprodurre in piccolo le caratteristiche di un sistema solare, ma ci sono anche molte differenze
• I pianeti non sono tutti uguali, gli elettroni si’
• I pianeti si attraggono fra di loro, gli elettroni si respingono
• Il rapporto fra la massa del nucleo e la massa dell’elettrone e’ di circa 2000 volte il numero atomico, il rapporto fra la massa del sole e la massa di Giove e’ circa mille, ma Sole/Plutone e’ dieci milioni e Sole/Terra e’ un milione
• Il rapporto fra raggio del sole e orbita di Plutone e’ circa 10000, simile al rapporto fra raggio del nucleo e raggio dell’atomo
La differenza fondamentale e’ quella fra forza elettromagnetica e
forza gravitazionale• C’è un fondamentale differenza fra la forza
gravitazionale e la forza elettromagnetica• Una carica in movimento irraggia, ovvero emette
radiazione. Questo e’ dovuto al fatto che non esiste solo la forza elettrostatica, ma anche la componente magnetica
• Emettendo radiazione perde energia, rallenta, l’orbita si fa più stretta…
• Cade sul nucleo! In miliardesimi di miliardesimi di secondo!
Le righe spettrali
• In effetti gli elettroni all’interno degli atomi possono emettere radiazione e cambiare la loro orbita
• Ma non lo fanno in maniera continua (rallentando progressivamente), invece saltano da una orbita all’altra emettendo un “quanto” di energia.
• Quello che si vede sono le righe spettrali
Per un atomo di idrogeno si ha:
Chi non salta un elettrone non è
• Se un gas è riscaldato, emetterà radiazione con un certo “spettro”
• D’altro canto, se mandiamo della radiazione contenente tutte le frequenze su un gas, dall’altra parte vedremo che certe frequenze mancano, sono state assorbite
• Dato che le frequenze sono le stesse, la spiegazione è che gli elettroni saltano da un orbita discreta all’altra.
Gli spettri buoni
• Le righe spettrali identificano in maniera univoca gli elementi
• Le frequenze presenti seguono una certa regolarità, ovvero
• Con
)11
(22 mn
cRh
11.1 mRH
L’atomo di Bohr
• La struttura di atomo proposta da Bohr è simile a quella del suo professore Rutherford
• Ma con una differenza cruciale:• Le orbite degli elettroni sono quantizzate: il
loro momento della quantità di moto deve essere un multiplo di…
• h/2π
La quantizzazione delle onde
• Bohr in effetti stava usando i principi della meccanica ondulatoria dei de Broglie per delle onde che non si propagano ma sono stazionarie
• Se io ho una corda tesa con le estremita’ fisse (come una corda di chitarra) solo certe frequenze sono possibili
Gli elettroni “vibrano”
• Quelle delle corde vibranti e’ solo una analogia, che serve a capire come gli elettroni, che sono al tempo stesso onde e particelle, all’interno dell’atomo possano avere solo delle ben determinate frequenze e lunghezze d’onda
• In particolare l’ ipotesi di Bohr porta, con un semplice calcolo, a spiegare gli spettri delle particelle
Stiamo iniziando a capire qualcosa
• Il fatto che la quantita’
Sia composta tutta da grandezze altrimenti note ci permette di calcolare la costante RH con un ottimo accordo con i dati
20
4
8 h
eme
Ma abbiamo ancora della strada da fare
• Bohr introdusse il principio di complementarieta’ secondo il quale gli aspettti ondulatori e quelli particellari sono complentari, ovvero quendo ne riveliamo uno necessariamente nascondiamo l’altro
• Questa visione e’ in qualche modo superata, gli elettroni si comportano come elettroni il 100% delle volte, obbedendo le loro leggi quantiche
• Siamo noi che per spiegarli talvolta li equipariamo alle palline da tennis e talvolta alle onde del mare o alle onde luminose
Ma che onde sono le particelle?
• Intorno al 1925 si fa un grande passo in avanti con la descrizione dell’equazione che descrive l’andamento ondulatorio della materia
• L’equazione di Schrödinger descrive il comportamento quantistico della materia
Equazioni delle onde
• Una equazione delle onde descrive l’andamento nello spazio e nel tempo di una funzione d’onda Ψ(x,t).
• Se prendiamo le onde su una corda di chitarra la Ψ rappresenta l’altezza della corda rispetto al punto di equilibrio
• Mentre per una particella ci basta dare una posizione (un vettore) ad un istante ben definito
• Per un onda dobbiamo dare una funzione ad un certo istante
Funzione d’onda
• Per esempio l’onda della corda di chitarra e’ descritta dalla funzione
Ψ =A Sen(n x/L) Cos(ω t)
Mentre un’onda che si propaga e’ descritta da
Ψ =A Sen(x/λ + v/λ t)
Equazioni differenziali
• L’equazione che la Ψ della corda di chitarra deve soddisfare e’:
• E i seni e i coseni hanno la caratteristica che la loro derivata seconda e’ uguale a – la funzione originale
2
22
2
2
xv
t
Equazione di Schrödinger
)(
2 2
22
xVxmt
i
L’andamento delle onde di materia descritte da questa equazione ha alcune caratteristiche in comune con le onde di prima, ma anche moltedifferenze
Onde di materia
• Tanto per cominciare la presenza della unita’ immaginaria implica che la funzione di onda Ψ e’ necessariamente una quantita’ complessa
• La presenza della funzione V(x) descrive le forze classiche che agiscono sulla particella/onda
• Anche senza forze la forma delle onde si deforma
La Meccanica quantistica
• Con l’equazione di Schrödinger la meccanica quantistica raggiunge la maturita’ di una teoria compiuta
• In breve tempo si riescono a calcolare gli spettri di vari atomi e di molte molecole
• Si descrivono le interferenze, la diffrazione e i vari esperimenti
• Ci sono ancora alcuni problemi con la radiazione elettromagnetica (particelle senza massa) e la realtivita’, ma i passi in avanti sono clamorosi
Resta da capire una cosa:
• Onde di che?
• Cosa oscilla nell’equazione delle onde di materia?