Introduzione alla dinamica linearizzata e al suo uso nell'analisi sismica

Introduzione alla dinamica linearizzata Obbiettivi della presentazione

Introduzione alla dinamica linearizzataDinamica modale ed analisi sismica

Raffaele Casciaro

Universita` della Calabriahttp://www.labmec.unical.it

Newsoft s.a.s. - Cosenzahttp://www.newsoft-eng.it

LAquilaPescara ottobre 2010

Raffaele Casciaro (Unical) Newsoft - www.newsoft-eng.it LAquilaPescara 2010 1 / 10

Introduzione alla dinamica linearizzata Obbiettivi della presentazione

Obbiettivo della presentazione

Si vuole fornire una introduzione alla dinamica linearizzata e del suo usonellanalisi sismica.La presentazione affrontera` i seguenti argomenti:

Linearizzazione delle equazioni del moto.Modellazione elastoviscosa equivalente, motivazioni, scelte possibili e limitidella equivalenza.

Decomposizione spettrale. Modi e periodi propri di vibrazione. Soluzionedisaccoppiata per combinazione modale.

Uso degli spettri di risposta.

Analisi sismica.


Introduzione alla dinamica linearizzata Dinamica linearizzata

Dissipazione dinamica

La risposta di una struttura soggetta a carichi dinamici dipende in modorilevante dai meccanismi dissipativi che le consentono di disperdere lenergiafornita dallesterno impedendo che questa possa accumularsi nella struttura informa di energia elastica di deformazione e generare tensioni elevate.

La dissipazione e` essenzialmente originata dal comportamento elastoplasticoche porta al formarsi di cicli di isteresi (larea del ciclo corrisponde allenergiadissipata). Altre forme di dissipazione (effetto aerodinamico, ..) sonoquantitativamente irrilevanti.

Il comportamento nonlineare svolge pertanto un ruolo essenziale nella rispostadinamica delle strutture. ma, al momento, lonere computazionale richiestoda una analisi dinamica condotta in campo nonlineare e` ancora elevato.

Lanalisi richiede un approccio incrementale al passo e coinvolge un numeroelevato di passi (dellordine delle migliaia).Se i carichi sono noti solo in forma probabilistica (come in analisi sismica), larisposta puo` essere solo caratterizzata attraverso simulazioni Montecarlo incui lanalisi e` ripetuta per un numero rilevante di sequenze di carico.



Il modello elastoviscoso equivalente

La complessta` di un approccio realmente non-lineare spinge verso soluzionilineari approssimate ottenute sostituendo alleffettivo meccanismo dissipativodi tipo isteretico un meccanismo equivalente di tipo viscoso attraverso lascrittura dellequazione di equilibrio dinamico nella forma:

Mu[t] + Cu[t] + Ku[t] = f[t]

dove K e` la matrice di rigidezza, C la matrice di viscosita`, M la matrice dellemasse, u[t] il vettore degli spostamenti, f[t] il vettore delle forze e si e`indicato con il punto la derivazione rispetto al tempo.La validita` di questa approssimazione e` legata ad una scelta appropriata dellematrici M, K e C equivalenti. Generalmente si fa questa scelta:

M e` definita in base alleffettiva distribuzione di masse (o ad un suaaccettabile approssimazione).K e` presa pari alla matrice elastica iniziale.C e` scelta in modo da produrre la stessa dissipazione energetica fornita dalmeccanismo isteretico interno.

Lobbiettivo resta quello di ottenere, a parita` di sollecitazione esterna, lestesse deformazioni massime che si produrrebbero nella struttura reale acomportamento elastoplastico.Raffaele Casciaro (Unical) Newsoft - www.newsoft-eng.it LAquilaPescara 2010 3 / 10


Osservazioni sulla equivalenza

La rigidezza della struttura varia in funzione dellescursione in campoplastico. Una rigidezza equivalente costante e pari a quella elastica inizialecorrisponde quindi ad una approssimazione comunque molto rozza.

Il meccanismo dissipativo reale della struttura e` legato allaria del ciclo diisteresi e quindi allampiezza di escursione in campo plastico, e non allavelocita` con cui il ciclo viene percorso. Riferirsi ad una dissipazione legataalla velocita` e non alla escursione, rende quanto meno ambiguo il concetto diequivalenza.

Gia` alla nascita di questo concetto (primi anni 60), vi erano forti dubbi suuna sua accettabile definizione, da parte degli stessi ricercatori che laproponevano, anche nel caso semplicissimo di oscillatore elementare ad ungrado di liberta`.

Nel caso di strutture a piu` gradi di liberta`, si aggiunge una ulteriorecomplicazione. Infatti, mentre la risposta equivalente lineare presentacomunque modi di vibrazione disaccoppiati, in rapporto diretto con la solaeccitante esterna, la risposta nonlineare e` caratterizzata da forteaccoppiamento modale e presenza di fenomeni caotici.


Introduzione alla dinamica linearizzata Decomposizione spettrale

Vibrazioni libere

Lo studio della risposta dinamica e` condotto discutendo preliminarmente ilproblema di vibrazioni libere non dissipative retta dallequazione omogenea

Ku[t] + Mu[t] = 0

la cui soluzione puo` essere ottenuta in funzione degli autovettori yi , ed degliautovalori 2i , del problema generalizzato agli autovalori:

Ky + 2My = 0

Questultimo, per K 0 ed M > 0 simmetriche di ordine n, ammette n soluzionidistinte yi , i = 1 . . . n caratterizzate dalle condizioni:

yTi Myj =

1 se i = j0 se i 6= j y

Ti Kyj =

2i se i = j0 se i 6= j

Pertanto, espandendo nella base yi ,

u[t] :=n

i=1

yiwi [t] , yTi {Ku[t] + Mu[t]} = 0 , i = 1 n

lequazione dinamica si riscrive in forma disaccoppiata:

wi + 2i wi = 0 , i = 1 n



Soluzione per sovrapposizione modale

La soluzione generale della singola equazione e` rappresentabile nella forma:

w [t] = wi sin(i t + i )

dove le costanti wi e i sono definite dalle condizioni iniziali.

Pertanto la soluzione del problema di vibrazioni libere non smorzate e`rappresentabile nella forma:

u[t] :=n

i=1

wi sin(i t + i )yi

che puo` leggersi come sovrapposizione di n contributi, ciascuno dei quali haandamento sinusoidale con periodo Ti = 2pi i , forma yi , ampiezza wi e fasei . Le quantita` yi ed i sono chiamate, rispettivamente, modi e frequenzeproprie di vibrazione del sistema. Le quantita` wi e i sono determinate inaccordo con le condizioni iniziali.



Vibrazioni forzate

Generalmente si assume che anche la matrice di viscosita` C siadisaccoppiabile, cioe` che risulti:

yTi Cyj =

ii se i = j

0 se i 6= jdove i 0 rappresenta il fattore di smorzamento associato al modo iesimo,da valutare in funzione proprieta` dissipative del sistema.

In tali condizione lanalisi per disaccoppiamento modale puo` essere estesa alcaso generale di presenza di forze viscose e di eccitazione esterna. Si ottieneinfatti:

wi + wi + 2i wi = ai [t]

dove la componente forzante ai [t] e` definita dalla:

ai [t] := yTi f[t]

Lassunzione di viscosita` disaccoppiabile fornisce una notevole semplificazioneallanalisi, accettabile solo in ragione delle ambiguita` con cui, comunque,verrebbe costruita la matrice C.Raffaele Casciaro (Unical) Newsoft - www.newsoft-eng.it LAquilaPescara 2010 7 / 10


Soluzione in termini di escursione massima

La soluzione della singola equazione modale:

wi + wi + 2i wi = ai [t]

puo` essere condotta con gli strumenti standard del calcolo differenziale. Inparticolare, la massima escursione

wi := max{wi [t]}

raggiunta da un modo inizialmente in quiete, puo` essere espresso nella forma:

wi =ai2i

fr [i , i , ci [t]]

dove ai := max{ai [t]} rappresenta il massimo valore raggiunto dalleccitazionemodale ai [t] ed fr [ ] e` il fattore di amplificazione della risposta funzione dellafrequenza i e dello smorzamento i del sistema e dellandamento temporale dellaforzante ai [t].


Introduzione alla dinamica linearizzata Analisi sismica

Analisi sismica

In presenza di eccitazione sismica lequazione dinamica puo` essere scritta nellaforma

Ku[t] + Cu[t] + Mu[t] = Mug

dove u rappresenta lo spostamento relativo della struttura ed u lo spostamentorigido prodotto dal moto alla base della struttura, che puo` essere espresso nellaforma.

ug = uwg

Si ottiene il sistema disaccoppiato:

wi + ii wi + 2wi = ci [t] := fpi wg , fpi := y

Ti Mu

dove fpi e` chiamato fattore di participazione.In termini di valori massimi dellampiezza modale si ha quindi:

wi =1

2ifpi S [Ti ] , S [Ti ] := fri wgmax

dove laccelerazione spettrale S [Ti ], raccoglie in un unico parametroopportunamente tarato tutta linformazione sullazione sismica.


Introduzione alla dinamica linearizzata Analisi sismica

Combinazione delle sollecitazioni

Le sollecitazioni S utili ai fini della verifica si ottengono combinando i singolicontributi modali Si . Data la non contemporaneita` dei massimi, la combinazionenon e` fatta per somma di valori ma e` ricondotta a quella dei segnali random,interpretando il Si come valore caratteristico del segnale Si [t].

Per una distribuzione Gaussiana a media nulla, il valore caratteristico, intesocome frattile, e` legato allo scarto quadratico medio e ne segue la stessa leggedi combinazione. In particolare, se i segnali sono scorrelati, la combinazione siottiene come radice quadrata della somma dei quadrati (SRSS)

S = S21 + S22 + + S2n

Altrimenti, in caso di parziale correlazione segue una combinazione piu`complessa, retta da una matrice di correlazione Aij :

S = S2 , S2 :=

ni,j=1

Aij Si Sj

Nella combinazione CQC la correlazione e` legata alla vicinanza dei periodi.Il contributo dei modi a frequenza elevata diventa rapidamente trascurabile espesso ci si riduce a considerare solo i primi modi di vibrazione.Raffaele Casciaro (Unical) Newsoft - www.newsoft-eng.it LAquilaPescara 2010 10 / 10

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