INTEGRALI IMPROPRI

Prerequisiti: Calcolo degli integrali indefiniti

Integrale definito di una funzione continua

Teorema e formula fondamentale del calcolo integrale

Applicazioni del calcolo integrale

Obiettivi : Saper riconoscere un integrale improprio

Saper distinguere integrali impropri di primo tipo, di secondo tipo e misti

Saper determinare il carattere di un integrale improprio

TEORIA in sintesi

Sia ( )xfy = una funzione continua nell’intervallo ][ ba, , sappiamo che sotto tali condizioni esiste

l’integrale definito fra a e b della funzione ( )xf e graficamente tale integrale rappresenta l’area

della parte di piano (TRAPEZOIDE) delimitata dal grafico della funzione, dall’asse delle ascisse e

dalle rette di equazione ax = e bx = .

Nel caso in cui la funzione assegnata non sia continua nell’intervallo di integrazione, oppure

almeno uno degli estremi di integrazione non sia finito si parla di INTEGRALE IMPROPRIO.

In sostanza l’integrale improprio rappresenta l’estensione del concetto di integrale definito per

funzioni che presentino un numero finito di punti discontinuità nell’intervallo di integrazione,

oppure per funzioni il cui intervallo di integrazione risulti illimitato.

Gli integrali impropri si classificano in:

1. Integrali impropri di I tipo o specie se almeno uno degli estremi di integrazione non è

finito.

2. Integrali impropri di II tipo o specie se nell’intervallo di integrazione si ha almeno un

punto di discontinuità.

3. Integrali impropri che sono contemporaneamente di I e II tipo.

INTEGRALI IMPROPRI DI PRIMO TIPO

Sono integrali che hanno uno o entrambi gli estremi di integrazione non finiti e si presentano sotto

la forma:

( )∫+∞

a

dxxf ; ( )∫∞−

b

dxxf ; ( )∫+∞

∞−

dxxf

Per calcolare il valore di tali integrali si integra la funzione in un intervallo finito e poi si passa al

limite facendo tendere all’infinito uno o entrambi gli estremi di integrazione:

( ) ( )∫∫+∞

+∞→=

t

aat

dxxfdxxf lim ; ( ) ( )∫∫∞−

−∞→=

b

s

b

sdxxfdxxf lim ; ( ) ( )∫∫

+∞

∞− −∞→+∞→

=

t

sst

dxxfdxxf lim

In base al risultato che assume il limite si distinguono i seguenti casi:

1) Se il valore del limite è finito si dice che la funzione è integrabile in senso improprio o

generalizzato nell’intervallo dato e l’integrale improprio è convergente . (Carattere

convergente)

Interpretazione geometrica ⇒ Area del trapezoide FINITA

2) Se il valore del limite è infinito si dice che la funzione non è integrabile in senso improprio

o generalizzato nell’intervallo dato e l’integrale improprio è divergente . (Carattere

divergente)

Interpretazione geometrica ⇒ Area del trapezoide INFINITA

3) Se il valore del limite non esiste si dice che la funzione non è integrabile in senso improprio

o generalizzato nell’intervallo dato e l’integrale improprio è indeterminato. (Carattere

indeterminato)

Interpretazione geometrica ⇒ Nulla si può affermare sulla’area del trapezoide

Esempio 1 Si debba calcolare il seguente integrale improprio ∫+∞

1x

dx

[ ] [ ] ( ) +∞==−===+∞→+∞→+∞→+∞→

+∞

∫∫ ttxx

dx

x

dx

tt

t

t

t

tloglim1logloglimloglimlim

111

Poiché il limite ottenuto non è finito, l’integrale improprio diverge.

Esempio 2 Calcolare il seguente integrale improprio ∫+∞

12

x

dx

11011

1

11lim

1limlim

112

12

=+=+∞+

−=

+−=

−==

+∞→+∞→+∞→

+∞

∫∫ txx

dx

x

dx

t

t

t

t

t

Poiché il limite esiste ed è finito, l’integrale improprio converge.

Esempio 3 Calcolare il seguente integrale improprio ∫∞−

π

xdxcos

[ ] [ ] ( ) ( )∞−−=∞−−=−===−∞→−∞→−∞→

∞−

∫∫ sensensenssensenxxdxxdxs

ss

ss

0limlimcoslimcos ππ

ππ

Poiché per −∞→s , sens oscilla costantemente tra 1− e 1+ ,

tale limite non esiste e quindi l’integrale improprio è indeterminato.

INTEGRALI IMPROPRI DI SECONDO TIPO

Sono integrali che presentano almeno un punto di discontinuità nell’intervallo di integrazione e,

proprio in relazione al loro intervallo di integrazione, si presentano, in genere, nelle seguenti forme:

( )∫b

a

dxxf → con ( )xf definita in [ [ba;

( )∫b

a

dxxf → con ( )xf definita in ] ]ba,

( )∫b

a

dxxf → con ( )xf definita in ] [ba,

( )∫b

a

dxxf → con ( )xf definita in [ [ ] ]bcca ,, ∪

Per calcolare il valore di tali integrali si integra la funzione in un intervallo di completa continuità e

poi si passa al limite facendo tendere a zero uno o entrambi i parametri utilizzati nei nuovi estremi

di integrazione:

( )∫b

a

dxxf → ( ) ( )∫∫−

→ +=

ε

ε

b

a

b

a

dxxfdxxf0

lim

( )∫b

a

dxxf → ( ) ( )∫∫+

→ +=

b

a

b

a

dxxfdxxf

δδ 0lim

( )∫b

a

dxxf → ( ) ( )∫∫−

+→

→+

+=

ε

δδ

ε

b

a

b

a

dxxfdxxf

0

0lim

( )∫b

a

dxxf → ( ) ( ) ( ) ( )∫∫∫ ∫+

→

−

→ +++=+

b

c

c

a

c

a

b

c

dxxfdxxfdxxfdxxf

δδ

ε

ε 00limlim

In base al risultato che assume il limite si distinguono i seguenti casi:

1) Se il valore del limite è finito si dice che la funzione è integrabile in senso improprio o

generalizzato nell’intervallo dato e l’integrale improprio ha carattere convergente .

Interpretazione geometrica ⇒ Area del trapezoide FINITA

2) Se il valore del limite è infinito si dice che la funzione non è integrabile in senso improprio o

generalizzato nell’intervallo dato e l’integrale improprio ha carattere divergente .

Interpretazione geometrica ⇒ Area del trapezoide INFINITA

3) Se il valore del limite non esiste si dice che la funzione non è integrabile in senso improprio o

generalizzato nell’intervallo dato e l’integrale improprio ha carattere indeterminato.

Interpretazione geometrica ⇒ Nulla si può affermare sulla’area del trapezoide

Esempio 1 Calcolare il seguente integrale improprio: ∫−

+2

12 1

31dx

x

x

poiché ( )xf ha un punto di discontinuità per 1=x l’integrale è improprio di

secondo tipo e, mediante il metodo d’integrazione di funzioni razionali fratte,

si riduce a:

[ ]

[ ] ( ) +∞=∞−⋅−−=++−

=−++=−

+=

−

+

+

++

→

+→+

→∫∫

22log3loglog22loglim3log

1log21loglim1

31lim

1

31

0

2

10

2

1

20

2

1

2

δδδ

δδδ

δxxdx

x

xdx

x

x

Poiché il limite ottenuto non è finito, l’integrale improprio diverge.

Esempio 2 Calcolare il seguente integrale improprio : ∫−

2

024

1dx

x

poiché ( )xf ha un punto di discontinuità per 2=x l’integrale è improprio di

secondo tipo e, riconducendolo ad una integrazione immediata, diventa:

2010

2

2lim

2lim

4

1lim

4

1

0

2

00

2

020

2

02

πε

ε

ε

ε

ε

ε

=−=

−

−

=

=

−=

−

+

++

→

−

→

−

→∫∫

arcsenarcsenarcsen

xarcsendx

xdx

x

Poiché il limite esiste finito, l’integrale improprio converge.

Esempio 2 Calcolare il seguente integrale improprio : ∫−

1

22

1 dxx

poiché ( )xf nell’intervallo d’integrazione ha un punto di discontinuità per 0=x

l’integrale è improprio di secondo tipo e diventa:

+∞=+−−=

++−+

−+

−−

=

−+

−=+=+=

++→→

+→

−

−→

+→

−

−→

−−

++

++++ ∫∫∫∫∫

0

11

2

1

0

1

0

1

1

1lim

2

1

0

1lim

1lim

1lim

1 lim

1 lim

1

1

1

00

1

00

0

20

1

02

0

0

22

1

00

2

0

22

1

22

δε δε

δδ

ε

εδ

δ

ε

ε xxdx

xdx

xdx

xdx

xdx

x

Poiché il limite esiste finito, l’integrale improprio converge.

ESERCIZI: Quesiti a risposta multipla:

ESERCIZI: Determina il carattere dei seguenti integrali impropri:

1. ∫∞−

−

2

5x

dx 2. ∫

+∞−

1

2dxe

x 3. ∫1

0

log xdx 4. ∫− +

0

33 1x

dx

5. ∫2

02cos

π

x

dx 6. ∫

+∞

∞−

−dxxe

x2

7. ∫−

0

2

1 dxx

8. ( )∫

+∞

−12

1x

dx

9. ∫4

0 x

dx 10. ∫

+∞

∞−+

dxx

21

1 11. ∫

+∞

0

senxdx 12. dxx

∫−

2

23 2

1