Insegnare per domande - MATMEDIA · diagramma a blocchi (Burkhardt) o di flusso (Mc Lone – con...

Il 24° problema della Matematica –

Comunicare: cosa, come, perché

Liceo Salvemini – Bari 2017

Insegnare per domande Dino Caroppo – Liceo Classico O. Flacco - Bari

Il quadro orario del Liceo Classico

Ordinamento I II III IV V

Matematica 3 3 2 2 2

Fisica - - 2 2 2

Internazionale

4-ennale I II III IV

Matematica 4 3 2 3

Fisica - 2 2 2

D. Caroppo - Mathesis Bari 2017

2

La matematica nel liceo classico …

Cosa: resistere all’accerchiamento

Come: con rispetto ma fermamente

Perché: verità storica e meriti culturali

filosofo


3

Che cos’è la matematica, Courant - Robbins

Prefazione alla I edizione, 1941: questione annosa


4

Due strade, spesso parallele, due modi e due mondi,

che noi sappiamo costituire un sapere organico,

analitico e sintetico, unico e unificante:

“sporcarsi le mani”

“volare alto”

(accettare una sfida culturale)

Come resistere D. Caroppo - Mathesis Bari 2017

5

Armonizzare

matematica funzionale

matematica sistematica

Applicazione: come risolvere uno

specifico problema?

Astrazione: come si risolve

un’equazione/come si effettua un

calcolo simbolico?

Distorsione: manca una

visione d’insieme, unificante

Distorsione: manca un

significato, una “vita”, un

messaggio


6

Un pericoloso equivoco

L’insegnamento della matematica è – de plano, ovviamente,

automaticamente – un insegnamento per problemi: i libri di

matematica sono pieni di “problemi” da risolvere …

??? Ma … neanche la sola matematica utile (finalizzata alla

esclusiva soluzione di problemi reali – “troppe persone

pensano di essere le sole a vivere nel mondo reale”*). Ecco

perché: funzionale (nel senso di efficace, anche ad uso

“interno” della matematica)

Contratto didattico …

(*) Ian Stewart, Dio gioca a dadi?, Bollati Boringhieri 2010


7

Ciclo virtuoso: bilanciare globi e frecce

Problema in un

contesto

Problema matematico

Soluzione matematica

Risultati nel

contesto

Applicare

! Verificare Formulare

!

Interpretare !

Ciclo di matematizzazione

OCSE PISA

G. Polya, How to solve it, 1945:

Comprendi – Progetta –

Applica – Controlla


8

A proposito di modello matematico *

Il procedimento di modellizzazione matematica viene incapsulato in un

diagramma a blocchi (Burkhardt) o di flusso (Mc Lone – con tanto di start

e stop! – come se il cervello umano fosse una macchina)

Invece:

Malinvaud:

Un modello matematico è la rappresentazione formale di idee o conoscenze relative ad un

fenomeno

von Neumann:

Le scienze non cercano di spiegare, a malapena tentano di interpretare, ma fanno soprattutto

dei modelli. Per modello si intende un costrutto matematico che, con l’aggiunta di certe

interpretazioni verbali, descrive dei fenomeni osservati […] ci si aspetta che funzioni –

cioè descriva correttamente i fenomeni in un’area ragionevolmente ampia

* G. Israel, Modelli matematici, Muzzio 2009


9

Una risposta e qualche dubbio …

Possibile approccio: io insegno matematica, quindi fornisco tecniche e

procedure (e teoremi, risultati consolidati, etc.), a prescindere. Le altre

discipline forniranno il contesto cui applicarle significativamente

MA …

• In quel momento gli alunni saranno pronti?

• Sapranno automaticamente convertire conoscenze in competenze?

• Non significa rinunciare anche ad una dimensione storica?

• Riusciremmo a trasmettere il “mistero” della matematica, quello che

Wigner definì “la irragionevole efficacia della matematica nella

descrizione del mondo fisico”?

Però: attenzione ad una contestualizzazione a tutti i

costi che rischia di renderla fittizia, inutile, confusa


10

Contestualizzazione … a tutti i costi?

• Non fittizia, non forzata, utile alla comprensione del “fatto”

• Bene se è “storica”

• Ci deve essere una preparazione, un’abitudine


11

I momenti “tranquilli”

Non c’è alcuna piaggeria: quanti alunni preferirebbero la cara vecchia

“espressione”, il caro problema di geometria con la richiesta di un

volume o di un bel peso specifico (di cui spesso mancano le unità di

misura nei risultati dei libri…), dove la strada è segnata e l’unica

“insidia” è l’errore di calcolo/applicazione!

Beninteso, il momento “tranquillizzante” non deve mancare in assoluto,

serve anche ad acquisire sicurezza e padronanza procedurale

… E la ricerca delle competenze non deve diventare una tirannia né

trasformarsi in mero addestramento o una scorciatoia (“questo è tutto

quel che ti serve” …)

Ritorna il contratto didattico …


12

La conoscenza non nasce assertiva …

Numeri decimali, approssimazioni, stime … “sporcarsi le mani”

Domande (è sempre vero che ..., è sempre possibile …, cosa accade se …)

Controesempio, congettura, … generalizzazione

“Esperimenti” di matematica: esplorazioni (software avanzati, ma anche calcolatrice)


13

Domande …

• Quant’è, più o meno, 17/8 ?

• Dato il numero a, quale fra i numeri a e – a è negativo?

• Cosa si intende per |a|?

Limitiamoci a numeri positivi.

• Moltiplicando fra loro due numeri, si ottiene sempre un numero

maggiore di entrambi?

• Cosa succede aumentando l’esponente di una potenza? Il

risultato aumenta?

• Il quadrato di un numero è maggiore del numero stesso?

E la radice quadrata?


14

… e risposte

L’osservazione durante l’attesa fornisce anche indicazioni sugli stili

cognitivi

0

0,5

1

1,5

2

2,5

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6

registro tabellare, grafico, funzionale

analisi dei grafici: questioni di concavità

x x^2 sqrt(x)

0,0 0,00 0,0000

0,1 0,01 0,3162

0,2 0,04 0,4472

0,3 0,09 0,5477

0,4 0,16 0,6325

0,5 0,25 0,7071

0,6 0,36 0,7746

0,7 0,49 0,8367

0,8 0,64 0,8944

0,9 0,81 0,9487

1,0 1,00 1,0000

1,1 1,21 1,0488

1,2 1,44 1,0954

1,3 1,69 1,1402

1,4 1,96 1,1832

1,5 2,25 1,2247


15

La rimozione del pensiero proporzionale è per l’alunna/o un vero e proprio

cambiamento di paradigma

Abbiamo visto funzioni che crescono, ma crescono sempre meno o sempre più …

Il pensiero proporzionale/lineare

OCSE PISA,

La crescita


16

Competenza nelle trasformazioni

di un grafico: saranno l’una

l’inversa dell’altra!

• Differenze prime e seconde …

• Tassi di crescita, rapporti incrementali …

Cosa è l’inflazione? Se scende, i prezzi diminuiscono? (Financial literacy – PISA)

• Esiste una funzione che più e grande, più velocemente cresce?

E una che, pur crescendo, cresce “molto lentamente”?

Come cresce? D. Caroppo - Mathesis Bari 2017

17

Contestualizzazioni significanti

1. Può esistere un uomo alto dieci metri (mantenendo le proporzioni)?

2. Quanto tempo per cuocere un tacchino?

Tacchino = circa 1.5 polli; ma il tempo di cottura scala con la superficie …

3. Il sacco di Galileo

lungo quale lato arrotolare un “foglio” di iuta rettangolare per ottenere un sacco

con maggior volume interno? - Problema elementare di massimo

4. Leggi di scala in biologia , esponenti (negativi) da

stimare (*) … A che serve una scala bi-logaritmica?

5. Cosa succederebbe se l’orecchio umano non fosse “logaritmico”?

(legge di Weber-Fechner: uno stimolo doppio non produce sensazione

doppia)

(*) Densità di popolazione d vs dimensione lineare tipica l

Frequenza cardiaca mammiferi f vs massa corporea tipica m

lcd mcf

Gruppo di rinormalizzazione


18

Approssimare un funzione

Hai scoperto che

Ora, qual è la più semplice funzione che approssima sin x

nei pressi dell’origine?

1sin

lim0

x

x

x

Vietato “leggere” che

“vicino a 0” ? 1

sin

x

x


19


Fin dove va bene?

E se volessimo migliorarla?

E se l’angolo non fosse in radianti?

Qual è la parità della funzione seno?


20

Quale funzione potrebbe approssimare cos x nei pressi dell’origine?

A quale funzione “assomiglia” la funzione coseno nei pressi

dell’origine?

Qual è la parità del cos?

A quale limite si può far riferimento?

? No

Sì

• Dare dignità al ≈, ~

• Intuizioni

• Procedimenti euristici


2

1cos1lim

20

x

x

x

0cos1

lim0

x

x

x


21

Cosa, come, perché

Torniamo all’inizio …

Non è la conoscenza, ma l’atto dell’apprendimento, e non il possesso, ma l’atto di arrivare fino alla meta, che ci garantisce il maggior godimento – K. F. Gauss

E allora il “come” può diventare una guida anche per il “cosa”: chi

apprende deve poter cogliere il senso della costruzione, oltre che del

risultato

Riflessione: Fisica Moderna (quantistica) …

descrittiva, qualitativa

La natura della disciplina non viene snaturata?


22

Radici razionali → numeri algebrici → numeri trascendenti

… quanti “livelli” di infinito in matematica!

Densità di lettura: da segue una marea di cose (medie

aritmetica/geometrica; problema di max/min: già nei primi anni …)

Cambiamenti di paradigma (fisica & …)

Modello “giocattolo” comportamento semplice

Accettare la sfida

02

yx

Sistemi dinamici discreti

Iterazione di mappe 1D ad un parametro

Punto fisso e analisi di stabilità:

1)( 0 xf


23

“A che serve”?

A questa fatale domanda si risponde, spesso, facendo notare che senza

la matematica il mondo sarebbe diverso (ricadute tecnologiche)

Accettare la sfida, ancora:

la matematica ha prodotto anche arricchimenti semantici, quando non

vere e proprie metafore (ricadute culturali) *

Non ce l’ho fatta per un epsilon, Vive in un intorno della parrocchia, Al primo

ordine – in prima approssimazione – direi che, Effetto farfalla, …

E poi:

processo iterativo, meccanicismo, determinismo, mondo-orologio,

causalità, incertezza, complessità, probabilità ontologica, …

avrebbero lo stesso significato senza la matematica e la fisica?

* L. Colletti, L’insegnamento umanistico della Fisica, La fisica nella scuola, suppl.to a n. 2/2016


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