Oderzogiugno 2012Insegnare matematica

Marta Todeschinim.todeschini@irreveneto.org

5 anni e mezzoLuigi: “Io i numeri li so più che bene, benissimo, meglio delle lettere, li so da prima delle lettere che ero piccolo piccolo”.Francesca: “Io con i numeri ci gioco. Io ti dico 1 e tu mi dici 2 e così via. A giocare a campana sono bravissima”.

10 anniLuigi: “Io a scuola sono un campione. La matematica mi piace più della maestra. Mi viene facile e tutti dicono: che bravo Luigi! Anche mia mamma lo racconta a tutti”.Francesca: “A scuola la matematica è alti e bassi. Un po’ più di bassi. Per il resto sono bravetta. Con i problemi alla lavagna divento tutta rossa e mi si sconfusiona la mente”.

13 anniLuigi: “Guarda, sono bravo sul serio. Non c’è che dire mi fa sentire bene perché per me è facile, più facile che il resto”.Francesca: “Aiuto, è un disastro. Mi iscrivo alle magistrali, speriamo bene”.

17 anniLuigi: Sto studiando Galileo e mi capita che davvero io vedo il mondo in termini di triangoli e quadrati. Solo che quando lo dico agli altri, soprattutto le mie compagne, si stufano”.Francesca: ”Non ne posso più. Via da me. Mi iscrivo a lingue così sono sicura di liberamene per sempre”.

INVALSI 2011

Quanti sono i bambini con Difficoltà in matematica?

+ 20% della popolazione scolastica

In Italia: Scuola primaria:5 bambini per classe con difficoltà di calcolo

5 - 7 bambini per classe con difficoltà di soluzione dei problemi

(ogni classe 25 alunni circa)

19,998 % della popolazione scolastica = falsi positivi

_

Quanti sono i bambini con Difficoltà in matematica?IARLD

(International Academy for Research in Learning Disabilities)

2,5 % della popolazione scolastica presenta difficoltà in matematica in comorbidità con altri disturbi

Discalculia: 2 bambini su 1000

Disturbo di Calcolo Difficoltà di Calcolo

appare in condizioni di adeguate abilità generali e di adeguato apprendimento in altri ambiti

Disturbo vs Difficoltà

Basi neurologiche

Comorbidità Specificità

- dislessia- difficoltà nella soluzione di problemi

l’intervento riabilitativo normalizza (?)

il profilo appare simile al disturbo

l’intervento riabilitativoottiene buoni risultatiin breve tempo

Ma allora …

Perché così tanti bambini hanno difficoltà in matematica?

Metodi di insegnamento?

Meccanismi di apprendimento?Sviluppo dell’intelligenza numerica?

Ricerca psicologica

Processi cognitivi dominio specifici

Processi motivazionaliBandura 1990

Schoenfeld 2003Intelligenza numerica

Butterworth 2003Modelli

neuropsicologici del calcolo

Mc Closkey 1985...

Componenti cognitive di

soluzione dei problemi

matematici

Didattica della matematica

Buone prestazioni in matematica

IMPUTABILI ALL’INSIEME DI CONOSCENZE ACQUISITE CIRCA

Regolazione cognizione

Teoria della mente in grado di guidare lo studente nel mettere in atto

comportamenti strategici(Wellman, Gelman, 1992)

Cognizione Regolazione della cognizione

Strategie

Conoscenza strategica generale

conoscenza di strategie e capacità di

utilizzarle in modo adeguato

basata sul sistema di credenze

stile attributivo

Comportamento motivato

Conoscenza strategica generale

Conoscenza strategica specifica

Secondo diversi studi, sia gli animali che i neonati sono capaci di

riconoscere le quantità numeriche e sono in grado di distinguere gruppi di

oggetti in base alla numerosità.

Cos’è l’intelligenza numerica?

Cos’è l’intelligenza numerica?

La capacità di manipolazione di “intelligere” le quantità- ovvero manipolare, capire, ragionare, attraverso il complesso sistema cognitivo dei

numeri e delle quantità

Le ricerche attuali dimostrano che l’intelligenza numerica è innata

Tramite istruzioni dei processi dominio specifici si può potenziare

Quanti sono questi?

Quanti sono questi?

Quanti sono questi?

Secondo Gallister e Gelman (1992) i processi di quantificazione sono sostenuti dalla capacità di riconoscimento immediato di quantità senza la necessità di contare.

Tale processo prende il nome di subitizing e ha luogo di fronte ad insiemi di 3-4 elementi.

N + 1; N – 1; E’ la capacità primordiale che ci sostiene nelle operazioni di calcolo mentale

La corrispondenza biunivoca e l’ordine stabile. Un bambino di 2 anni che ha degli oggetti in mano è in grado di dare un singolo oggetto a ciascuna delle persone presenti intorno a lui, e lo sa fare prima di aver imparato il nome dei numeri!

Quali sono i meccanismi innati?

Studi su l’intelligenza numerica

Antell e Keating Antell e Keating nel 1983 hanno verificato, attraverso la «tecnica dell'abituazione-disabituazione» che i neonati (da 1 a 12 giorni di vita) sono sensibili alla quantità e capaci di differenziare gli insiemi in base alla numerosità degli elementi contenuti

Ai bambini venivano presentati diverse volte dei cartoncini con due punti neri, diversamente distanziati, fino a creare “abituazione”. Veniva quindi presentato un nuovo cartoncino con tre puntini allineati. I bambini rimanevano ad osservare più a lungo questo cartoncino

Studi su l’intelligenza numerica

Wynn (1992) ha riscontrato come bambini di 5-6 mesi sappiano compiere semplici operazioni di tipo additivo (1 + 1) e sottrattivo (2 - 1)

A bambini di 5-6 mesi veniva presentato un pupazzo che poi veniva spostato dietro uno schermo, veniva fatta la stessa cosa con un secondo pupazzo. Alla fine veniva tolto lo schermo e presentati o entrambi i pupazzi (1+1=2) o solo uno (1+1≠ 2). I bambini guardavano più a lungo la seconda condizione, indice che percepivano qualcosa di “strano”.

La stessa cosa accade con la sottrazione.

Natura vs Cultura «la natura fornisce un nucleo di capacità per classificare

piccoli insiemi di oggetti nei termini delle loro numerosità [...] per capacità più avanzate abbiamo bisogno dell'istruzione, ossia di acquisire gli strumenti concettuali forniti dalla cultura in cui viviamo» ButterworthButterworth (1999)

Imparare a contare rappresenta il primo Imparare a contare rappresenta il primo collegamento tra natura e culturacollegamento tra natura e cultura

Lo sviluppo delle abilità di conteggio

Gelman e Gallistel Gelman e Gallistel (1978), hanno elaborato la “teoria dei principi di conteggio” secondo la quale l'acquisizione dell'abilità di conteggio verbale è guidata dalla conoscenza innata di alcuni principi basati sulla competenza numerica non verbale.

In pratica bambini piccoli possiedono un concetto innato di numero, che si evolve nell’acquisizione delle procedure di calcolo attraverso alcuni principi

Lo sviluppo delle abilità di conteggio

I tre principi del «come contare» individuati dalle ricercatrici sono:1. il principio della corrispondenza biunivoca il principio della corrispondenza biunivoca (a ogni elemento dell'insieme contato deve corrispondere una sola parola-numero e viceversa) (il bambino distribuisce un giocattolo a ogni persona, mette ogni tazza sul suo piattino, ecc.)2. il principio dell'ordine stabile il principio dell'ordine stabile (le parole-numero devono essere ordinate in una sequenza fissa e inalterabile)3. il principio della cardinalità il principio della cardinalità (l'ultima parola-numero usata nel conteggio rappresenta la numerosità dell'insieme)

Lo sviluppo delle abilità di conteggio

La padronanza di questi principi comincia verso i 2-3 anni e, per la maggior parte dei bambini, si completa attorno ai 5 anni

Viene acquisito per ultimo il principio della cardinalità

Video

Lo sviluppo delle abilità di scrittura del numero (3-6

anni)La competenza scritta dipende da 

lo sviluppo gerarchico di processi cognitivi specifici che permettono la costruzione di

veri e propri sistemi simbolici

legame tra simbolo e referente

Lo sviluppo delle abilità di scrittura del numero (3-6

anni)Si possono distinguere tre tipi di notazione numerica:

notazione con grado informativo nullo per un osservatore esterno, ma portatore di significato personale per il bambino

notazione basata sulla corrispondenza biunivoca

notazione convenzionale

notazione nulla continua notazione nulla discreta

errata corretta

Lo sviluppo delle abilità di scrittura del

numero (3-6 anni)

notazione basata sulla corrispondenza biunivoca;

notazione convenzionale

La lettura dei numeri Nella codifica verbale di un numero, ciascuna cifra, a

seconda della sua posizione, assuma un «nome» diverso: compito dei meccanismi lessicali è selezionare adeguatamente questi nomi per riconoscere quello in esame.

I numeri primitivi appartengono a 3 classi distinte, chiamate «ordini di grandezza» o «livelli»:

a) le unità (1, 2, 3, …)b) i «teens», che contengono la sottocategoria dei «dici»

(11, 12, 13, ...)c) le decine (20, ... 30, ...40, ...)

Quali sono gli errori più frequenti nella lettura dei

numeri?- errori a livello di lessico numericoerrori a livello di lessico numerico, quelli cioè relativi

alla produzione delle singole cifre, ma che non coinvolgono il loro posto all'interno del numero. Ad esempio: 4 / 7 leggo, o mi rappresento mentalmente, scrivo o dico ad alta voce «sette» invece di «quattro»

- errori di lettura a base sintatticaerrori di lettura a base sintattica, quelli cioè dovuti a difficoltà nel riconoscimen to delle posizioni delle cifre all'interno del numero, legati pertanto alla sintassi interna del numero stesso.

20057 «duecentocinquantasette»

Quindi ….L’evoluzione dei meccanismi di riconoscimento pre-verbale delle L’evoluzione dei meccanismi di riconoscimento pre-verbale delle

quantità svolgono dunque un ruolo essenziale. quantità svolgono dunque un ruolo essenziale.

Solo quando tale evoluzione si è sviluppata e integrata con gli Solo quando tale evoluzione si è sviluppata e integrata con gli apprendimenti relativi ai sistemi di conteggio, lettura e scrittura dei apprendimenti relativi ai sistemi di conteggio, lettura e scrittura dei

numeri elementari possono avere origine tutti i meccanismi di numeri elementari possono avere origine tutti i meccanismi di calcolo e manipolazione del sistema numerico. calcolo e manipolazione del sistema numerico.

Meccanismi lessicaliMeccanismi lessicali, regolano il nome del numero, regolano il nome del numero

Meccanismi semanticiMeccanismi semantici, regolano la comprensione della quantità, regolano la comprensione della quantità

Meccanismi sintatticiMeccanismi sintattici colgono la grammatica interna dei numeri colgono la grammatica interna dei numeri

Cosa può fare l’insegnante?

Conoscere l’evoluzione delle acquisizioni (numeri, calcolo, ....)

Impostare una didattica attenta ai meccanismi implicati negli apprendimenti

Prevenire le situazioni di difficoltà e individuare i casi sospetti di DSA attraverso strumenti standardizzati

Potenziare le abilità implicate

Intelligenza numerica

Schema dei Processi implicatinella costruzione della conoscenza numerica e nel

calcoloenumerazioneavanti

COUNTING

enumerazioneindietro

I livello

-   via fonologica-   via visiva-   via semantica

II livello

-   strategie ricostruttive-   livello metacognitivo(necessari per decimali e frazioni)

PROCESSILESSICALI

I livello

Esercizi di transcoding

lettura

scrittura

II livello

-   via fonologica-   via visiva-   via semantica analogica

-   strategie ricostruttive-   livello metacognitivo-   consapevolezza fonologica

PROCESSISEMANTICI

I livello II livello

-   via analogica-   comparazioni-   counting

-  strategie ricostruttive-  scomposizioni-  raggruppamenti

PROCESSISINTATTICI

I livello II livello

-   via visiva-   via semantica-   via lessicale

Combinazioni delle diverse vieEx.: 1 < 2 12 1 > 2

CALCOLO

A MENTE

SCRITTO

Strategie Ricostruttive n + 1 / Raggruppamenti / Scomposizioni

Arrotondamenti a 10 / Recupero fatti aritmetici

via visiva / analogica /recupero memoria fonologica

etc.

I livelloprocedure – algoritmi

via visiva (visuospaziale) / fatti aritmetici

memoria breve termine

lungo termine

Il programma si sviluppa in 4 aree

Cosa è il potenziamento (empowerment)?

Empowerment significa acquisizione di un senso personale di “potere”, allo scopo di sentirsi responsabili del proprio apprendimento.

Concretamente questo vuol dire:1. Sapersi automotivare anche dopo l’insuccesso;2. Sviluppare la conoscenza l’automonitoraggio e l’uso autoregolato

di strategie di comprensione e studio;3. Possedere convinzioni e percezioni di sé adeguate che

sostengono l’intero processo di “risollevarsi” dopo il fallimento.(Pazzaglia et al. 2002)

Il potenziamento cognitivo

Deriva dal concetto di SVILUPPO PROSSIMALE di

Vygotskij

spazio tra il livello di sviluppo attuale

del bambinoed il suo livello di sviluppo potenziale

i processi cognitivi e le strategie presenti nel

patrimonio cognitivodella persona

non sempre vengono utilizzati

evidenziare il potenziale = scoprire la CAPACITA’INTERNA, fornendo

mediazioni tra risorse interne ed esterne

(Egorova, 1995; Fabio, 2003; 1999)

RECUPERARE = riacquistare una capacità che si ritiene perduta, distrutta o inesistente

EMPOWERMENT= POTENZIARE = ‘conferire o acquisire potenza’, andare oltre le proprie potenzialità (Pazzaglia, Moè, Friso & Rizzato, 2002)

Cosa modificare ?

EMOZIONIMOTIVAZIONI

COMPORTAMENTI

PROCESSICOGNITIVI

Sé

RELAZIONE

Promuovere un senso di padronanza e controllo degli eventi e dei processi di apprendimento

Rendere consapevoli della modificabilità delle proprie potenzialità

Rendere più sicuri delle proprie capacità e artefici dei propri successi

NELLO STUDENTE…..

INSEGNANTE, PSICOLOGO = “COACH”

Parte da ciò che l’alunno già possiede

Lo aiuta ad automatizzare processi e contenuti dell’apprendimento attraverso nuovi modelli di azione

Rinforza i nuovi modelli così che l’alunno diventi consapevole del loro significato

Conduce il ragazzo verso sistemi di logica più complessa

Il ruolo dell’insegnante: L’insegnante media l’apprendimento: fornisce

sostegno agli alunni attraverso l’interazione sociale nel momento in cui essi costruiscono in modo cooperativo consapevolezza, conoscenze e competenze

L’insegnante è flessibile: modifica i suoi interventi in funzione dei feedback che provengono dai bambini impegnati nell’attività di apprendimento

La quantità di sostegni forniti dall’insegnante è variabile, da direttive molto esplicite a vaghi accenni

Empowerment e approccio metacognitivo

Empowerment è favorito da un approccio metacognitivo

Le strategie non devono essere presentate come “regole” ma suggerite ed implementate nelle situazioni concrete di studio e verifica

Le strategie devono essere presentate come spunto per migliorare il metodo di studio preesistente in modo da acquisire un senso di controllo nelle situazioni di studio

Un buon metodo di Potenziamento …

E’ chiara la connessione con il problema da trattare e quindi con la valutazione iniziale

E’ fondato su dati di ricerca scientifica Le ipotesi di miglioramento sono esplicite

Fasi per il potenziamento

Conoscere lo sviluppo tipico Analisi del profilo individuale Potenziamento dominio specifico

Facilitare per ogni competenza la conquista

della fase successiva di sviluppo

Dalla Valutazione…al Potenziamento Potenziamento:

Su un caso singolo Su gruppi (es. gruppi classe)

Caratteristiche del trattamento su caso singolo:

Specifico (parte da analisi funzionale) Focus su problema principale (es. su componenti di

una abilità non appresa, su abilità cognitive di base, su idee o rappresentazioni inadeguate relative all’apprendimento e processi in esso implicati)

Potenziamento

Valutazione Iniziale

Individuazione abilitàcarenti

Potenziamento

Valutazione Finale

Somministrazione strumenti di valutazione

Criterio “Discrepenzadalla Norma”

Intervento su area/ecarenti Somministrazione

degli stessi strumenti della Valutazione

Iniziale

Analisi dei bisogni

Entrare in un ottica di progettualità

Valutazione e controllo

Attività e strategie

Obiettivi

Il progetto di potenziamento

Valutazione delle competenze

Intervento sistematico che tenga conto delle caratteristiche dello

studente e dello sviluppo

Strumenti per la valutazione

Programma di intervento

Modalità di intervento (Es. 1)

Gruppo sperimentale Valutazione iniziale

Trattamento

Valutazione finale

Gruppo controllo Valutazione iniziale

Normale attività didattica

Valutazione finale

Modalità di intervento (Es. 2)

Gruppo sperimentale Valutazione iniziale

Trattamento

Valutazione finale

No Gruppo controllo Dati Normativi

Dati Normativi

Materiale per valutare l’efficacia

Perché valutare l’efficacia di un trattamento? È importante capire se il nostro lavoro ha avuto

l’esito ipotizzato migliorare le competenze in un determinato ambito

SI: Siamo riusciti a individuare gli aspetti critici utilizzando materiale adatto

al gruppo

NO: Analisi del trattamento

Cosa non ha funzionato?

I problemi: la voce ai bambini Matteo: i problemi sono difficili perché

altrimenti non sarebbero problemi Luca: Il problema è un gioco con cui si

impara la matematica. E’ qualcosa da risolvere, devi usare i calcoli e ci devi mettere la testa per fare i ragionamenti logici.

Anna: I problemi servono ad allenare la mente.

Il ruolo delle abilità cognitiveHuman Information Prossesing

Newell e Simon (1972) indicano 2 tipologie di conoscenze necessarie per risolvere problemi:

Conoscenze dichiarative (individuano le informazioni chiave contenute nel problema)

Conoscenze procedurali (nelle quali sono implicate le strategie utili al processo di soluzione)

Mayer (1983, 87, 98) propone un modello secondo cui il processo di soluzione è diviso in

Codifica del problema (guidata da un processo di traduzione e uno di integrazione)

Processo di ricerca (è articolata in pianificazione e calcolo)

Il ruolo delle abilità metacognitive Consapevolezza metacognitiva (insieme di

conoscenze riguardo il funzionamento della propria mente)

Controllo (processi autoregolatori che presiedono l’esecuzione cognitiva del compito stesso)

Anne Brown (1978)

Ha ipotizzato un sistema mentale superordinato capace di controllare l’efficacia prima,

durante e dopo il compito. Previsione Pianificazione Monitoraggio valutazione

Modello componenti abilità soluzione problemiLucangeli, Tressoldi, Cendron (1998)

1. Comprensione delle informazioni presenti nel problema e delle loro relazioni

2. Rappresentazione delle informazioni mediante uno schema in grado di strutturarle ed integrarle

3. Categorizzazione del problema in base alla struttura profonda (operazioni necessarie per risolvere il problema stesso)

4. Pianificazione delle procedure

5. Monitoraggio e Valutazione

COMPR

ENSIONE

PRODU

ZIONE

In quali fasi di risoluzione del problema si può incontrare difficoltà?

Risolvere problemi in 6 mosse

Swanson: problemi ed esercizi Le conoscenze sono

necessarie ma non sufficienti

Esige una scoperta da fare La scoperta è frutto di

creatività, intuizione, invenzione, ragionamento, strutturazione.

L’attenzione è rivolta alle attività di soluzione.

PROCESSO

Le conoscenze sono necessarie e sufficienti

E’ l’applicazione di una scoperta

E’ riproduzione di schemi noti

Applicazione di tecniche acquisite memorizzazione di procedimenti

L’attenzione è rivolta al risultato che è univocalmente determinato

PRODOTTO

Fondamentale è il vissuto del soggetto