Infe 03 - 1 / 61 Lezione 6 Inferenza statistica. Infe 03 - 2 / 61 ERRATA CORRIGE teorema 5.1:...

Infe 03 - 1 / 61

Lezione 6Inferenzastatistica

Infe 03 - 2 / 61

ERRATA CORRIGE

teorema 5.1:

• estraendo a caso un campione di numerosità n finita

da una popolazione su cui è definita una variabile casuale X

con distribuzione normale, media e varianza 2,

la variabile casuale

segue una distribuzione t di Student con n-1 gradi di libertà

n

XT n

n

SX

Tn

n

Infe 03 - 3 / 61

parte 3Esercizi sulla stima della media e della varianza

Infe 03 - 10 / 61

• estraendo da una popolazione per cui è definita la

variabile casuale X avente distribuzione qualsiasi,

media e varianza 2,

un campione di n elementi a cui corrisponde l’insieme di variabili

casuali { X1, X2, …, Xn },

se n è sufficientemente grande

la media campionaria

- segue una distribuzione normale

- con media e varianza 2 / n

Distribuzione della media campionaria

n

j

jn Xn

X1

1

Infe 03 - 11 / 61

Distribuzione della media campionaria

• estraendo da una popolazione per cui è definita la

variabile casuale X con distribuzione normale,

media e varianza 2 finite,

un campione di n elementi a cui corrisponde l’insieme di

variabili casuali { X1, X2, …, Xn },

per qualsiasi n

la media campionaria

- segue una distribuzione normale- con media e varianza 2 / n

n

j

jn Xn

X1

1

Infe 03 - 12 / 61

• Considerazioni già fatte ci permettono di affermare che la media campionaria, sotto determinate ipotesi, segue una

distribuzione normale con media e varianza 2 / n

• è quindi facile costruire una variabile casualecon distribuzione normale standard, cioè con media nulla e varianza unitaria. n

XZ n

Dalla media campionaria alla media campionaria standardizzata

Infe 03 - 13 / 61

possiamo sostenere che:

estraendo a caso un campione con un numero n sufficiente-mente elevato elementi da una popolazione per cui è definita

una variabile casuale X con distribuzione qualsiasi, media e

varianza 2, c’è una probabilità pari a 1 - che l’intervallo casuale

in cui z1-/2 è il valore del quantile (1 - /2) di una variabile

Z normale standardizzata

contenga il valore della media per l’intera popolazione.

Intervallo di confidenza per la media

2/11 an z

nXI

Infe 03 - 14 / 61


estraendo a caso un campione con n finito da una popolazione

per cui è definita una variabile casuale X con distribuzione

normale, media e varianza 2, c’è una probabilità pari a 1 - che l’intervallo casuale

in cui z1-/2 è il valore del quantile (1 - /2) di una variabile normale standardizzata

contenga il valore della media per l’intera popolazione.

Intervallo di confidenza per la media: n finito

2/11 an zn

XI

Infe 03 - 15 / 61


estraendo a caso un campione con n finito da una popolazione

su cui è definita una variabile casuale X con distribuzione

normale, media e varianza 2, c’è una probabilità pari a 1 - che l’intervallo casuale

in cui t1-/2 è il valore del quantile (1 - /2) di una variabile

T distribuita secondo la t di Student con n -1 g.d.l.

contenga il valore della media della popolazione.

Intervallo di confidenza per la media: n finito e 2 sconosciuta

2/11 a

nn t

n

SXI

Infe 03 - 17 / 61

Intervallo di confidenza per la media: n < N

• se n 30 e la varianza per la popolazione 2 è nota:

• se n 30 , X è normale e la varianza per la popolazione 2 è nota:

• se X è normale:

1sup

N

nN

nzx Qn

1sup

N

nN

nzx Qn

1sup

N

nN

n

Stx nQn

Infe 03 - 18 / 61

Esercizio 1 stima della media

Infe 03 - 19 / 61

Esercizio 1

• Determinazione dei parametri statici di un OpAmp:misurazione della tensione di offset di ingresso

• La tensione di offset di ingresso è quella tensione continua che, in assenza di segnale utile, deve essere applicata all’ingresso di un operazionale per rendere nulla la tensione di uscita.

Infe 03 - 25 / 61

Esercizio 1

la tensione di offset di ingresso è quindi espressa dalla:

21

1outos RR

Rvv

1

2osout 1

R

Rvv

Infe 03 - 26 / 61

Esercizio 1

costituiamo un campione con 11 propotipi di un nuovo OpAmp e

misuriamo i valori delle tensioni vout in mV usando i resistori

R1 = 1 e R2 = 1 k:

{ + 17,87 ; + 18,16 ; + 17,80 ; + 17,99 ; + 18,16 ; + 17,97 ; + 18,12 ; + 17,98 ; + 17,99 ; + 17,84 ; + 17,99 }

da questi ricaviamo i valori delle tensioni di offset in V:

{ + 17,85 ; + 18,14 ; + 17,78 ; + 17,97 ; + 18,14 ; + 17,95 ; + 18,10 ; + 17,96 ; + 17,97 ; + 17,82 ; + 17,97 }

21

1outos RR

Rvv

Infe 03 - 27 / 61

Esercizio 1

Sulla popolazione degli OpAmp definiamo una variabile aleatoria X che

assume, per ciascun elemento della popolazione, un valore x coincidente con

il valore in V della tensione di offset dell’elemento (trasformazione lineare).

A causa della molteplicità dei fattori del processo produttivo che condizionano

l’offset e per la linearità della trasformazione è plausibile ritenere che la X abbia distribuzione normale.

Le immagini dei componenti il campione sono:

x1 = + 17,85 ; x2 = + 18,14 ; x3 = + 17,78 ;

x4 = + 17,97 ; x5 = + 18,14 ; x6 = + 17,95 ;

x7 = + 18,10 ; x8 = + 17,96 ; x9 = + 17,97 ;

x10 = + 17,82 ; x11 = + 17,97

Infe 03 - 28 / 61

Esercizio 1

utilizziamo questi valori per individuare la stima del valore medio dell’offset per la intera popolazione mediante lo stimatore “media campionaria”:

11

111

1

j

jn xx

lo stimatore “media campionaria” ci fornisce il valore

97,17nx

Questo risultato ci permette di affermare che la stima fatta del valore medio della tensione di offset di ingresso per l’intera popolazione di OpAmp risulta di +17,97 V

Infe 03 - 29 / 61

Esercizio 1

dobbiamo ora trovare quanto il dato è “affidabile” stimando quanto la casualità del campione può condizionarne il valore: dato che non conosciamo la varianza

della X per la popolazione degli OpAmp costruiamo la variabile T che avrà una distribuzione“t di Student”:

attraverso cui individueremo l’intervallo di confidenza usando la:

n

SX

Tn

n

n

stx

n

st n

Qnn

Q supinf

Infe 03 - 30 / 61

Esercizio 1

il campione ha n = 11 quindi useremo la t di Student a 10 g.d.l. e, se cerchiamo un intervallo di confidenza al 90%, dovremo individuare i percentili 5% e 95% (cioè 0,05 e 0,95): in realtà ci basta individuare il 95% in quanto l’altro percentile è simmetrico rispetto a zero.

la tabella della t di Student ci fornisce il valore del percentile:

812,1sup Qt

da cui:

812,1inf Qt

Infe 03 - 31 / 61

Esercizio 1

Dai valori della X del campione individuiamo quindi il valore della varianza campionaria corretta e della sua radice (deviazione standard):

122,00147,010

111

1

22

n

j

njn sxxs

ricordando che vogliamo applicare la:

notiamo che ora è necessario stimare la varianza della media campionaria mediante la varianza campionaria corretta

n

stx

n

st n

Qnn

Q supinf

nX

n

j

njn XXn

S1

22

1

1

Infe 03 - 32 / 61

pertanto sostituendo nella:

Esercizio 1

316,3

122,0812,1

316,3

122,0812,1 nx

07,007,0 nx

otteniamo:

da cui:

n

stx

n

st n

Qnn

Q supinf

Infe 03 - 33 / 61

dalla:

Esercizio 1

07,007,0 nx

è facile ottenere:

da cui:

che rappresenta l’intervallo di confidenza al 90% per la

media della variabile casuale riferita all’intera popolazione

07,097,17

07,007,0 nn xx

Infe 03 - 34 / 61

Questo risultato ci permette di affermare che, con una probabilità del 90%, il valore medio della tensione di offset di ingresso della intera popolazione degli OpAmp è compreso nell’intervallo di estremi:

Esercizio 1

μV04,18eμV90,17

Infe 03 - 35 / 61

Esercizio 2 stima per intervalli della media

Infe 03 - 36 / 61

Esercizio 2

costituiamo un campione con 16 propotipi di resistori di nuovo tipo e misuriamo

i valori delle resistenze in k:

{ + 15,37 ; + 15,16 ; + 15,80 ; + 15,49 ; + 15,26 ;

+ 15,87 ; + 15,12 ; + 15,58 ; + 15,39 ; + 15,64 ;

+ 15,27 ; + 15,22 ; + 15,57 ; + 15,54 ; + 15,64 ; + 15,32 }

Data la molteplicità delle cause indipendenti che determinano la variabilità

della resistenza è plausibile ritenerla distribuita normalmente.

Costruita la variabile casuale X che assume per ciascun elemento valore pari

al valore in k della sua resistenza elettrica

(è una trasformazione lineare quindi X conserva la distribuzione normale)

si individui l’intervallo di confidenza al 95% per il valore tipico della resistenza

della intera popolazione supponendo che la varianza della X per l’intera

popolazione sia 2 = 0,0256

Infe 03 - 37 / 61

Esercizio 2

risoluzione:

dato che la X è distribuita normalmente si costruisce la variabile

che segue una distribuzione normale standardizzata

46,1516

116

1

j

jn xx

n

XZ n

Infe 03 - 38 / 61

Esercizio 2

risoluzione (segue):

dalla tabella si ottiene:

46,1516

116

1

j

jn xx

96,196,1 infsup QQ zz

n

XZ n

04,04

16,016

0256,02

nn

08,046,1507,046,15 84sup n

zx Qn

Infe 03 - 39 / 61

Questo risultato ci permette di affermare che, con una probabilità del 95%, il valore tipico della resistenza della intera popolazione dei resistori è compreso nell’intervallo di estremi:

Esercizio 2

k54,15ek38,15

Infe 03 - 40 / 61

Esercizio 1bis stima della media

Infe 03 - 41 / 61

Esercizio 1bis

Sulla popolazione degli OpAmp definiamo una variabile aleatoria X

che assume, per ciascun elemento della popolazione, un valore x

coincidente con il valore in centesimi di V della tensione di offset dell’elemento diminuito di 1800 (trasformazione lineare):

A causa della molteplicità dei fattori del processo produttivo che condizionano

l’offset è plausibile ritenere che la X abbia distribuzione normale.

Le immagini dei componenti il campione sono pertanto

x1 = -15 ; x2 = + 14 ; x3 = -22 ;

x4 = - 3 ; x5 = + 14 ; x6 = - 5 ;

x7 = + 10 ; x8 = - 4 ; x9 = - 3 ;

x10 = - 18 ; x11 = - 3 ;

100

180018100

XvvX osos

Infe 03 - 42 / 61

Esercizio 1bis

utilizziamo questi valori per individuare la stima del valore medio dell’offset per la intera popolazione mediante lo stimatore “media campionaria”:

11

111

1

j

jn xx

lo stimatore “media campionaria” ci fornisce il valore

18,3nx

Questo risultato ci permette di affermare che la stima fatta del valore medio della tensione di offset di ingresso per l’intera popolazione di OpAmp risulta di +17,97 V

100

180018100

XvvX osos

Infe 03 - 43 / 61

Esercizio 1bis

dobbiamo ora trovare quanto il dato è “affidabile” stimando quanto la casualità del campione può condizionarne il valore:

dato che non conosciamo la varianza della X per la popolazione

degli OpAmp costruiamo la variabile T che avrà una distribuzione “t di Student”:

n

SX

Tn

n

n

stx

n

st n

Qnn

Q supinf

Infe 03 - 44 / 61

Esercizio 1bis

il campione ha n = 11 quindi useremo la t di Student a 10 g.d.l. e, se cerchiamo un intervallo di confidenza al 90%, dovremo individuare i percentili 5% e 95% (cioè 0,05 e 0,95): in realtà ci basta individuare il 95% in quanto l’altro percentile è simmetrico rispetto a zero.

la tabella della t di Student ci fornisce il valore del percentile:

812,1sup Qt

da cui:

812,1inf Qt

Infe 03 - 45 / 61

Esercizio 1bis

Dai valori della X del campione individuiamo quindi il valore della varianza campionaria corretta e della sua radice (deviazione standard):

17,122,14810

1 11

1

22

nj

njn sxxs

ricordando che vogliamo applicare la:

notiamo che ora è necessario stimare la varianza della media campionaria mediante la varianza campionaria corretta

n

stx

n

st n

Qnn

Q supinf

nX

n

j

njn XXn

S1

22

1

1

Infe 03 - 46 / 61

pertanto sostituendo nella:

Esercizio 1bis

316,3

17,12812,1μ

316,3

17,12812,1 nx

65,6μ65,6 nx

otteniamo:

da cui:

n

stx

n

st n

Qnn

Q supinf

Infe 03 - 47 / 61

dalla:

Esercizio 1bis

65,6μ65,6 nx

è facile ottenere:

da cui:

che rappresenta l’intervallo di confidenza al 90% per la

media della variabile casuale X riferita all’intera popolazione

65,618,3μ

65,6μ65,6 nn xx

65,665,6 nx

Infe 03 - 48 / 61

Questo risultato ci permette di affermare che, con una probabilità del 90%, il valore tipico della tensione di offset di ingresso della intera popolazione degli OpAmp è compreso nell’intervallo di estremi:

Esercizio 1bis

μV04,18eμV90,17

0347,18100

180047,3;9017,17

100

180083,9100

180018100

supinf

osos

osos

vv

XvvX

65,618,3μ

Infe 03 - 49 / 61

Esercizio 2bis stima per intervalli della media

Infe 03 - 50 / 61

Esercizio 2bis

costituiamo un campione con 16 propotipi di resistori di nuovo tipo e misuriamo

i valori delle resistenze in k:

{ + 15,37 ; + 15,16 ; + 15,80 ; + 15,49 ; + 15,26 ;

+ 15,87 ; + 15,12 ; + 15,58 ; + 15,39 ; + 15,64 ;

+ 15,27 ; + 15,22 ; + 15,57 ; + 15,54 ; + 15,64 ; + 15,32 }

Data la molteplicità delle cause indipendenti che determinano la variabilità

della resistenza è plausibile ritenerla distribuita normalmente.

Costruita la variabile casuale X che assume per ciascun elemento valore pari

a…

(è una trasformazione lineare quindi X conserva la distribuzione normale)

si individui l’intervallo di confidenza al 95% per il valore tipico della resistenza

della intera popolazione supponendo che la varianza della X per l’intera

popolazione sia 2 = 0,0256 * ? 221

21 baXbX

Infe 03 - 51 / 61

Questo risultato ci permette di affermare che, con una probabilità del 95%, il valore tipico della resistenza della intera popolazione dei resistori è compreso nell’intervallo di estremi:

Esercizio 2

k55,15ek37,15

Infe 03 - 52 / 61


Infe 03 - 53 / 61

Esercizio 3

Si è definita su di una popolazione di sfere da cuscinetto una variabile

casuale avente, per ciascuna sfera prodotta, valore uguale al valore

del diametro misurato in centimetri.

Un campione casuale costituito da 200 sfere mostra un valore

della media campionaria di 0,824 e

della deviazione standard campionaria corretta di 0,042.

Determinare l’intervallo di confidenza al 99% per la media della

variabile casuale relativa all’intera popolazione.

Infe 03 - 54 / 61

Esercizio 3

risoluzione:

Dato che la varianza della X per l’intera popolazione è sconosciuta

si dovrebbe costruire una variabile casuale T definita:

per determinare la risposta al problema mediante la

n

stx

n

stxt

n

sx

t nQn

nQnQ

n

nQ supinfsupinf

n

XT n

Infe 03 - 55 / 61

Esercizio 3

risoluzione (segue): :

dato che n = 200 la distribuzione della t di Student (con 199 gdl) è approssimabile con la distribuzione normale standardizzata:

n

stx

n

stxt

n

sx

t nQn

nQnQ

n

nQ supinfsupinf

n

szx

n

szx n

Qnn

Qn supinf

200

042,0575,2824,0

200

042,0575,2824,0

Infe 03 - 56 / 61

Esercizio 3

risoluzione (segue):

E’ quindi possibile affermare che, con una probabilità del 99%, il valore tipico del diametro per l’intera popolazione è compreso fra i valori:

6565 007,0824,0007,0824,0

200

042,0575,2824,0

200

042,0575,2824,0

cm832,0ecm816,0

Infe 03 - 57 / 61


Infe 03 - 58 / 61

Ricalcolare l’intervallo di confidenza dell’esercizio precedente nell’ipotesi che il campione sia costituito da 20 sfere.






Esercizio 4

Infe 03 - 59 / 61

Esercizio 4

risoluzione:

A causa della molteplicità dei fattori del processo produttivo che condizionano il diametro di ciascuna sfera è plausibile ritenere che la popolazione abbia distribuzione normale.

E’ quindi possibile affermare che, con una probabilità del 99%, il valore medio del diametro per l’intera popolazione è compreso fra i valori:

n

stx

n

stx n

Qnn

Qn supinf

20

042,0861,2824,0

20

042,0861,2824,0

027,0824,0027,0824,0

cm851,0ecm797,0

Infe 03 - 60 / 61


Infe 03 - 61 / 61

Che risultato si sarebbe ottenuto nell’esercizio precedente usando, erroneamente, la teoria dei campioni numerosi?






Esercizio 5

Infe 03 - 62 / 61

Esercizio 5

risoluzione:

mentre abbiamo visto che il risultato corretto è:

n

szx

n

szx n

Qnn

Qn supinf

20

042,0575,2824,0

20

042,0575,2824,0

024,0824,0024,0824,0

027,0824,0027,0824,0

Infe 03 - 63 / 61

Tecnica delle misurazioni applicate – Esame del 27 marzo 2008

Problema 1.

Microlè SpA è un’impresa che costruisce relè per la commutazione di segnali. Essa dichiara sul suo catalogo che la resistenza parassita dei contatti (chiusi) dei propri relè è garantita, tramite un controllo di qualità sul 100% della produzione, non superiore a 10,2 m.

Un nuovo progetto di un modello di relè in produzione da tempo sembra poter apportare benefici, ma l’ing. Tizio, Responsabile della Produzione, teme che la resistenza parassita dei contatti dei nuovi relè possa avere una elevata variabilità: ciò potrebbe riflettersi in un aumento della percentuale di dispositivi “fuori tolleranza” che dovranno pertanto essere scartati durante il controllo di qualità del prodotto.

L’ing. Tizio decide di condurre una valutazione, su di una preserie campione, del valore dello “scarto per fuori tolleranza” che il nuovo progetto potrebbe determinare.

Realizzata una preserie di 16 elementi Tizio misura con uno strumento di elevata qualità (tanto da poter ritenere trascurabile la incertezza di misura) la resistenza parassita Rp dei contati chiusi di ciascun relè ottenendo i seguenti risultati:

Rp1 = 9,5 m Rp2 = 9,6 m Rp3 = 9,6 m Rp4 = 9,7 mRp5 = 9,7 m Rp6 = 9,7 m Rp7 = 9,8 m Rp8 = 9,8 mRp9 = 9,8 m Rp10 = 9,8 m Rp11 = 9,9 m Rp12 = 9,9 mRp13 = 9,9 m Rp14 = 10,0 m Rp15 = 10,0 m Rp16 = 10,1 mSi chiede al candidato di determinare, sulla base dei risultati sopra riportati:

1. l’intervallo di valori della Rp che corrisponde all’intervallo di confidenza al 90% per la media della variabile casuale che si è adottata.

2. Il valore massimo e minimo dello scarto che può essere atteso per l’intera popolazione dei relè eventualmente prodotti in base al nuovo progetto (si operi con una confidenza del 90% nella determinazione della varianza della variabile casuale che si è adottata).

Infe 03 - 1 / 61 Lezione 6 Inferenza statistica. Infe 03 - 2 / 61 ERRATA CORRIGE teorema 5.1:...

Documents

Transcript of Infe 03 - 1 / 61 Lezione 6 Inferenza statistica. Infe 03 - 2 / 61 ERRATA CORRIGE teorema 5.1:...