Indici di variabilità

10x = 10x =

Gli indici di posizione sono tanto più rappresentativi

quanto minore è la dispersione dei dati intorno ad essi.

La variabilità è l’attitudine delle osservazioni ad esse

diverse l’una dall’altra

Gli indici di variabilità misurano

1) la dispersione (rispetto alla posizione)

2) la variabilità

Voti Master

Studente Matematica Algebra Probabilità Inferenza

A 25 24 28 24

B 23 24 24 25

C 25 24 30 27

D 25 24 27 23

E 28 27 26 28

F 28 24 26 24

G 26 24 26 28

H 25 24 25 26

I 26 27 27 25

L 22 21 25 21

M 26 27 23 26

N 22 21 20 20

O 20 24 25 24

P 27 24 30 25

La varianzaDati n valori 1 2 nx , x , ,x… con media x , la varianza è

2 2

(2)s x x= −

dove n

i

i

x xn =

= ∑ 2(2)

1

1

( )22

1

1 n

i

i

s x xn =

= −∑

Essa indica qual è la concentrazione delle osservazioni

intorno alla media, fornendo indicazioni sull’ordine di

grandezza degli scarti.

Scarto quadratico medio

2sσ =

La varianza

( )

( )

( )

����

( )

( )

22

22

1

2 2

1

2 2

1 1 1

2 2

2

2

2

1

12

1 1 12

2

n

i

i

n

i i

i

n n n

i i

i i i

x x nx

s x xn

x x x xn

x x x xn n n

x x x

x x .

=

=

= = =

= = =

= −

= − +

= − +

= − +

= −

∑

∑

∑ ∑ ∑��� ������ ������ ������ ���

Esempio 4.1 - Varianza

(1, 2, 5, 6, 7, 9) 5x =Dati:

2 2 2 2

2 2 2

1(1 5) (2 5) (5 5)

6

(6 5) (7 5) (9 5) 7.67

s = − + − + −

+ − + − + − =

1. Media dei quadrati degli scarti

( ) ( )2 2 2 2 2 2

2

11 2 5 6 7 9 32.67

6x = + + + + + =

2 232 67 5 7 67s . .= − =

2. Differenza fra la media dei quadrati e il quadrato della

media

7 67 2 77. .σ = =Scarto quadratico medio

Varianza

da distribuzione di frequenza

( )22

1

1 k

i i

i

s x x nn =

= −∑

2 2

2( )s x x= −

X assume

k valori x1, x2, …, xk

con frequenze n1, n2, …, nk

dove ( )

2

2

1

1 k

i i

i

x x nn =

= ∑

1.

2.

Esempio 4.2 – Varianza Voti in algebra

( )22

1

1 144 3574

14

3 17

k

i i

i

s x x n .n

.

=

= − =

=

∑

Tabella 4.2 – Calcolo della varianza dei voti in Algebra.

ix

in

ix x− ( )

2

ix x− ( )

2

i ix x n−

21 2 -3.21 10.3041 20.6082

24 9 -0.21 0.0441 0.3969

27 3 2.79 7.7841 23.3523

Totale 14 44.3574

( )2

1

k

i i

i

x x n=

−∑

3 17 1 78. .σ = =Scarto quadratico medio

24.21=x

Esempio 4.2 – Varianza dei voti in Probabilità

2

2

1

1 9450675

14

k

( ) i i

i

y y nn =

= = =∑2 2 2

2 675 25 86

6 26

( )s y y .

.

= − = −

=

6 26 2 50. .σ = =Scarto quadratico medio

Tabella 4.3 – Media dei quadrati

dei voti in Probabilità.

iy in 2iy 2

i iy n

20 1 400 400

23 1 529 529

24 1 576 576

25 3 625 1⋅875

26 3 676 2⋅028

27 2 729 1⋅458

28 1 784 784

30 2 900 1⋅800

Totale 14 9⋅⋅⋅⋅450

2

1

k

i i

i

y n=

∑

25.86=y

Varianza da dati

raggruppati in classi

k classi

(x0 – x1), (x1 – x2), … , (xk-1 – xk)

con frequenze n1, n2, … , nk

e valori centrali x1, 2x , … , kx

( )22

1

1 k

i i

i

s x x nn =

−∑≃≃≃≃

2 2

2( )s x x−≃≃≃≃

dove 2

(2)

1

1 k

i i

i

x x nn =

∑≃

1.

2.

Esempio 4.3 – varianza rendimentiTabella 4.4 – Calcolo della varianza per i rendimenti .

Classi ix

in

ix x− ( )

2

ix x− ( )

2

i ix x n−

- 1.0 |– 1.0 0.0 9 -2.83 8.01 72.09

1.0 |– 2.0 1.5 23 -1.33 1.77 40.71

2.0 |– 3.0 2.5 24 -0.33 0.11 2.64

3.0 |– 4.0 3.5 8 0.67 0.45 3.60

4.0 |– 6.0 5.0 9 2.17 4.71 42.39

6.0 |– 8.0 7.0 3 4.17 17.39 52.17

8.0 |– 10.0 9.0 3 6.17 38.07 114.21

10.0 |– 12.0 11.0 1 8.17 67.75 67.75

Totale 80 395.56

( )2

1

k

i i

i

x x n=

−∑

( )22

1

1 1395.56 4.94

80

k

i i

i

s x x nn =

− = =∑≃≃≃≃

4 94 2 22. .σ =≃≃≃≃

2 83x .=

Esempio 4.3 – varianza rendimentiTabella 4.5 – Calcolo della media dei quadrati

Classi ix

in 2

ix

2

i ix n

-1.0 |– 1.0 0.0 9 0.00 0.00

1.0 |– 2.0 1.5 23 2.25 51.75

2.0 |– 3.0 2.5 24 6.25 150.00

3.0 |– 4.0 3.5 8 12.25 98.00

4.0 |– 6.0 5.0 9 25.00 225.00

6.0 |– 8.0 7.0 3 49.00 147.00

8.0 |– 10.0 9.0 3 81.00 243.00

10.0 |– 12.0 11.0 1 121.00 121.00

Totale 80 1⋅⋅⋅⋅035.75

2

1

k

i i

i

x n=

∑

2 2 2

2 12 95 2 83 4 94( )s x x . . .− = − =≃≃≃≃

2

(2)

1

1 1035.7512.95

80

k

i i

i

x x nn =

= = =∑

2 83x .=

Disuguaglianza di Chebyshev

( )2

21

sfr X x ε

ε− < ≥ −

( )2

21

sfr x X xε ε

ε− < < + ≥ −

x ε−

x

x ε+

La frequenza con la quale una variabile statistica X assume

valori in un intorno della media di semi- ampiezza ε è

almeno pari a 1-s2/ ε2.

0ε >

Esempio 4.4 – Disuguaglianza di Cebyshev

Tabella 4.6 – Tempo impiegato dagli operatori di un call center.

1.32 1.65 1.67 1.73 1.78 2.08 2.16 2.19 2.21 2.34 2.42 2.63

2.64 2.74 2.82 2.95 2.97 2.98 3.06 3.09 3.11 3.16 3.25 3.28

3.32 3.34 3.36 3.39 3.42 3.42 3.45 3.47 3.49 3.62 3.63 3.76

3.77 3.90 3.96 4.06 4.11 4.19 4.20 4.21 4.28 4.32 4.46 4.54

4.56 4.56 4.61 4.63 4.70 4.74 4.77 4.77 4.92 5.12 5.24 5.51

3 5x .=

( )

( )

1.5 5.5

1.022 1 0.745

4

fr X

fr X x

< <

= − < ≥ − =

2 1 02s .=

Varianza

di trasformazioni lineari

Sia 2

Xs la varianza di una variabile X, la varianza di una

trasformazione lineare Y aX b= + è data da

2 2 2 2

Y aX b Xs s a s+

= =

� La varianza è indipendente dalla posizione

� La varianza cambia quando varia la scala

Varianza

di trasformazioni lineari

( )

( )

( )

( )

2

22

1

2

1

2

1

22 2 2

1

1

1

1

1.

X

k

Y i i

i

k

i i

i

k

i i

i

k

i i X

i

s

s y y nn

ax b ax b nn

ax ax nn

a x x n a sn

=

=

=

=

=

= −

= + − +

= −

= − =

∑

∑

∑

∑����������������������������

Sia X una variabile statistica

• che assume valori positivi, X>0,

• con media x

• scarto quadratico medio σ ,

il coefficiente di variazione è dato da

Coefficiente di variazione

CVx

σ=

Il coefficiente di variazione non dipende dall’unità di

misura

CV(X) = CV(aX), per a >0

Esempio – coefficiente di variazione

Tabella 4.6 – Tempo impiegato dagli operatori di un call center.

1.32 1.65 1.67 1.73 1.78 2.08 2.16 2.19 2.21 2.34 2.42 2.63

2.64 2.74 2.82 2.95 2.97 2.98 3.06 3.09 3.11 3.16 3.25 3.28

3.32 3.34 3.36 3.39 3.42 3.42 3.45 3.47 3.49 3.62 3.63 3.76

3.77 3.90 3.96 4.06 4.11 4.19 4.20 4.21 4.28 4.32 4.46 4.54

4.56 4.56 4.61 4.63 4.70 4.74 4.77 4.77 4.92 5.12 5.24 5.51

1 020 29

3 5

.CV .

.= =

3 5x .=

2 1 02s .=

MAD

Median Absolute Deviation

{ }1.483 iMAD mediana x med= −

o X: x1, x2, … , xn

o med = mediana(X)

o Se la distribuzione è “normale” il MAD

approssima lo scarto quadratico medio

o Non risente dei valori anomali

Esempio - MAD

ix ix med−

58 14

64 8

68 4

70 2

71 1

71 1

72 0

74 2

76 4

78 6

87 15

103 31

121 49

{ } 4imed x med− =

1 483 4 5 932MAD . .= × =

Consumi pro-capite annui di cereali

med=72

16 335.σ =

ix med−

0

1

1

2

2

4

4

6

⋮

Scarti

ordinati

( ) 7prof med =

mediana

I quartili

4

1 1Q x

=

4

3 3Q x

=2Q med=

I quartili dividono i dati in quattro parti di eguale

numerosità.

E1 Q1 med Q3 E2

1/4 1/4 1/4 1/4

Profondità del quartile

( )( )

1

prof med +1prof Q =

2

o Ottili

o Sedicili

o etc.

Esempio – quartili

consumi di carne

( ) 8.5prof med =

( )[ ]

1

8.5 14.5

2prof Q

+= =

n=16

Med=87

Carne

( 55, 61, 62, 66, 68, 75, 85, 86, 88, 91, 97, 107, 152, 231, 299, 329 )

1

3

67

1

66

29 5

68

2

107 152

2

Q

Q .

+= =

+= =

M 87

Q 67 129.5

E 55 329

Sintesi

Differenza interquartile

3 1DQ Q Q= −

� x(1), x(2), … , x(n)

�Quartili Q1 e Q3

Misura la variabilità della metà centrale dei dati.

Campo di variazione

( ) ( )1nx x−

Esempio – Differenza interquartile e campo di

variazione

( ) ( )1329 55 274

nx x− = − =

3 1 129 5 67 62 5QD Q Q . .= − = − =

Carne

( 55, 61, 62, 66, 68, 75, 85, 86, 88, 91, 97, 107, 152, 231, 299, 329)

M 87

Q 67 129.5

E 55 329

Sintesi

83.91σ =