1

INTRODUZIONE

Il nostro lavoro muove dallo studio del superamento della visione meccanicistica avvenuta nel contesto dello

studio delle interazioni elettriche e magnetiche fra la fine del „700 e l‟inizio dell‟800. Leggendo i capitoli del

libro di Einstein e Infeld “L‟evoluzione della fisica”, relativi a questo tema, abbiamo riprodotto in laboratorio

gli esperimenti concettuali descritti nel testo, osservando le interazioni elettriche e magnetiche, descrivendole

secondo un modello di tipo Newtoniano, fino all‟esperimento di Oersted del 1820 e ai successivi esperimenti

di Faraday.

Stimolato dalla scoperta di Oersted che evidenziava gli effetti magnetici prodotti da una corrente, Faraday

indagò sulla possibilità di produrre corrente in opportuni sistemi come conseguenza della modificazione

delle loro condizioni elettriche o magnetiche. L‟introduzione dell‟idea di linea di forza, visualizzabile

intuitivamente con la limatura di ferro, e la sua evoluzione nel concetto di campo, ci ha consentito una

interpretazione unitaria dei fenomeni osservati. Abbiamo potuto così scoprire l‟equivalenza fra spire percorse

da corrente e magneti, progettare semplici esperimenti per osservare le loro interazioni e infine enunciare le

leggi di Faraday nella forma seguente: un campo magnetico variabile può generare un campo elettrico e, in

particolare, una variazione del flusso del campo produce una corrente indotta la cui intensità è

proporzionale alla rapidità con cui varia il flusso. Il verso della corrente indotta si può determinare con la

legge di Lenz: essa è tale da opporsi alla causa che l‟ha generata.

Nei nostri esperimenti abbiamo verificato la legge di Lenz ma non ne abbiamo “sentito” gli effetti.

I giochi di Anacleto ci hanno suggerito una semplice situazione sperimentale in cui l‟effetto della legge di

Lenz è ben apprezzabile: la caduta di un magnete attraverso un tubo di alluminio o di rame.

Consideriamo la caduta di un magnete attraverso una spira:

Se il magnete entra nella spira, il flusso del suo

campo magnetico aumenta, producendo una corrente indotta tale da

opporsi alla causa che l‟ha generata; per l‟equivalenza fra spire e magneti,

possiamo associare ad essa un campo con verso opposto a quello del

magnete. Pertanto il magnete sarà respinto dalla spira e rallentato nella sua

caduta.

2

se invece il magnete esce dalla spira il flusso

decresce e la corrente indotta che deve compensare questa diminuzione,

produce un campo equiverso che attira il magnete. Ancora una volta la

caduta sarà rallentata.

Nel nostro esperimento il magnete sarà fatto cadere attraverso un tubo di

materiale conduttore, non magnetizzabile: esso può essere considerato come

infinite spire a contatto l‟una con l‟altra. Facendo cadere il magnete al suo

interno, le porzioni di tubo che lo sovrastano si comportano come spire da cui

esce e quindi ne viene attirato, mentre quelle sottostanti si possono considerare come spire in cui sta per

entrare, e quindi lo respingono. Di conseguenza ci aspettiamo l‟esistenza di una forza frenante per la

quale il moto del magnete non sarà una caduta libera.

IL NOSTRO PROGETTO DI LAVORO

Il nostro obiettivo consiste nello studiare sperimentalmente il moto per verificare l’esistenza della

forza frenante e costruire un modello matematico del moto stesso.

Il lavoro sarà suddiviso tre fasi :

1. l’analisi sperimentale del moto ci permetterà di verificare l’ipotesi dell’esistenza di una forza

frenante e di ricavare dati quantitativi per poter formulare un modello matematico;

2. costruzione di un modello matematico del moto del magnete;

3. il modello matematico ottenuto sarà confrontato con i dati sperimentali e ci potrà offrire una

comprensione maggiore del fenomeno studiato.

ANALISI TEORICA-UN’IPOTESI DI

PARTENZA

Le correnti indotte prodotte durante la caduta del magnete causano una forza

frenante proporzionale alla velocità e opposta al peso:

Infatti l‟intensità della corrente indotta dipende dalla rapidità con cui varia il

flusso del campo magnetico e nel nostro caso è legata alla velocità di caduta del magnete. Le altre variabili

3

da cui può dipendere la corrente indotta come la sezione del conduttore attraverso cui si considera il flusso e

la sua conducibilità nel nostro esperimento non cambiano. Ipotizziamo dunque che la dipendenza di dalla

velocità sia lineare: .

Per la seconda legge della dinamica:

, dove m è la massa del magnete.

Nella fase iniziale del moto il termine cresce, la forza risultante non è costante, e ci aspettiamo un moto

vario; essendo inizialmente si tratterà di un moto accelerato. Ad un certo istante la forza frenante

uguaglia il peso:

La velocità non cresce più, il moto diventa rettilineo uniforme. Questo implica l‟esistenza di una velocità

limite che dipende dalla massa del magnete in caduta e dalla costante di forza k secondo la relazione:

(1) .

STUDIO SPERIMENTALE DEL MOTO

STRUMENTI:

-tubo di alluminio (lunghezza 2 m, sezione 1,2 cm)

-magnete ricavato dal gioco geomag (4,26 g);

-masse aggiuntive ritagliate da un foglio di rame

(1,16 g; 1,84 g; 2,91 g);

-cronometri (sensibilità 1/100 s).

-bilancia analitica (sensibilità 0,01g)

PROCEDIMENTO:

Lasciamo cadere il magnete da

diverse altezze del tubo e

cronometriamo i tempi di caduta.

Ogni misura viene ripetuta dieci volte. Per far variare lo spazio percorso, abbiamo

segnato esternamente sul tubo una tacca orizzontale ogni 10cm e abbiamo trascinato il

magnete fino all‟altezza desiderata con un magnete esterno che poi abbiamo rimosso,

facendo partire il cronometro.

Base di alluminio per

sentire “l’arrivo” del

magnete.

Base in alluminio per sentire

“l’arrivo” del magnete.

4

Abbiamo ripetuto la misura con diverse masse aggiuntive ritagliate da un foglio di rame e incollate al

magnete.

I risultati delle misure ottenute per ciascun valore della massa, riportati nelle tabelle allegate con i relativi

grafici delle leggi orarie, sono sintetizzati nel grafico seguente.

In tutti i casi la legge oraria è una retta: possiamo concludere che per le distanze analizzate il moto è

rettilineo uniforme, con una velocità diversa a seconda della massa.

Non avrebbe senso operare un‟estrapolazione per tempi più brevi e non possiamo fare misure sulla prima

parte del moto con i nostri strumenti.

Il grafico ottenuto mostra che abbiamo “registrato” il moto dopo che il magnete ha raggiunto la

velocità limite. Possiamo misurare la velocità limite come coefficiente angolare della retta dei minimi

quadrati ottenuta dal grafico spazio – tempo.

Nella tabella seguente sono riportate le velocità limite per diversi valori della massa.

0

50

100

150

200

250

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

spaz

io p

erc

ors

o (

cm)

tempo (s)

leggi orarie per i diversi valori della massa

massa 4,26g

massa 5,42 g

massa 6,10 g

massa 7,17 g

5

vL m

72,36 4,26

97,35 5,42

123 6,1

146 7,17

I risultati delle misure hanno confermato l‟esistenza di una forza frenante per la quale il magnete in caduta

raggiunge una velocità limite che dipende dalla massa secondo la relazione (1). Dalla stessa relazione

abbiamo calcolato il valore di k, che assume valori compresi fra 48 g/s e 57g/s, a seconda della massa

considerata.

Costruiamo un modello teorico del moto: la

legge della velocità A questo punto ci siamo proposti di costruire un modello matematico del moto che possa descrivere anche il

regime transitorio. Per la seconda legge della dinamica:

Questa relazione ci dice come la variazione di velocità Δv nell’intervallo di tempo Δt dipende dal valore

della velocità raggiunto all’inizio dell’intervallo di tempo Δt. Esplicitando Δv a partire dal primo intervallo si

ottiene:

………………………………………

Sapendo che e che e ponendo (su suggerimento dell‟insegnante),

possiamo calcolare il valore della velocità nell‟istante ; conoscendo possiamo calcolare e così via.

Il moto da noi osservato ha una durata compresa fra 1s e 2s: per descriverlo dovremmo ripetere il calcolo

circa 200 volte. Abbiamo potuto apprezzare il foglio elettronico.

Grafico ottenuto per il valore della massa pari a 7,17 grammi.

0

50

100

150

200

0 2 4 6 8

velocità limite- massa

6

Dalla legge della velocità alla legge del moto Conoscendo la legge della velocità e la condizione iniziale, calcoliamo lo spazio percorso come area sottesa

al grafico della velocità; invece di calcolare l’area relativa al moto complessivo, dall’istante iniziale a quello

finale, abbiamo calcolato l’area sottesa al grafico della velocità dall’istante t=0 all’istante t1, poi fino

all’istante t2 e così via ottenendo la legge oraria. Nel grafico seguente è mostrato il risultato per m=7,17g.

Si nota un andamento lineare caratteristico del moto rettilineo uniforme, salvo un breve tratto iniziale che

nel caso riportato dura circa 0,6s con uno spazio percorso di circa 70cm.

0

20

40

60

80

100

120

140

160

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4tempo (s)

velocità in funzione del tempo

velocità (cm/s)

0

50

100

150

200

250

300

350

0 0,5 1 1,5 2 2,5

spazio percorso (cm)

velocità (cm/s)

7

Confronto con le misure

Un primo confronto Abbiamo sovrapposto i valori misurati per la velocità limite e gli spazi percorsi al grafico teorico ottenendo

un buon accordo.

L’accordo con i dati sperimentali non è stato immediato. Dopo la prima serie di misure abbiamo rilevato un

errore sistematico: i valori delle posizioni erano tutti al di sopra di quelli teorici. Abbiamo analizzato

nuovamente tutta la procedura e ci siamo accorti che, nel pesare il magnetino, non abbiamo eliminato del

tutto l’interazione con il piatto in acciaio della bilancia. Inizialmente avevamo separato il magnetino e il

piatto con una lastra di vetro; abbiamo poi utilizzato più fogli di polistirolo inserendo uno spessore tale che

il valore della massa non dipendesse dall’orientamento del magnete.

Cerchiamo un solo valore per k Dall’analisi delle misure abbiamo ottenuto valori di k compresi fra 48g/s e 57g/s, a seconda del valore della

massa ( . Ma la forza frenante non dipende dalla massa: il sistema deve essere

caratterizzato da un solo valore di k.

Per individuare il valore di k che meglio descrive l’interazione del nostro magnete con il tubo di rame

proviamo ad assegnare a k diversi valori compresi nel intervallo individuato sperimentalmente. Per ogni

valore di k calcoliamo il valore della velocità limite teorica prevista dal nostro modello per ciascuna massa.

Riportiamo in una tabella tutti i valori così calcolati e i valori sperimentali delle velocità limite. Cerchiamo il

valore di k che rende minima l’espressione:

.

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4

spazio percorso

velocità

POSIZIONI MISURATE

velocità limite misurata

8

Di seguito sono riportati i valori assegnati a k .

k1 k2 k3 k4 k5 k6 k7 k8 k9 k10

48 49 50 51 52 53 54 55 56 57

Con questi valori di k abbiamo ottenuto le previsioni per la velocità limite per i diversi valori delle masse

masse k1 k2 k3 k4 k5 k6 k7 k8 k9 k10 Errore velocità

m1 87,06 85,29 83,58 81,94 80,37 78,85 77,39 75,98 74,63 73,32 72,36 2,2

m2 110,77 108,51 106,34 104,26 102,25 100,32 98,46 96,67 94,95 93,28 97,35 3,9

m3 124,67 122,12 119,68 117,34 115,08 112,91 110,82 108,80 106,86 104,98 123,00 6,2

m4 146,54 143,55 140,68 137,92 135,26 132,71 130,25 127,89 125,60 123,40 146,00 8,8

χ^2 57,84 43,77 32,71 24,32 18,34 14,50 12,59 12,40 13,75 16,49

Riportiamo come esempio il calcolo di

.

Dal grafico di in funzione di k possiamo dedurre che valore di k per il quale è minimo è k=55g/s

Proviamo a usare il modello Il modello matematico che abbiamo costruito, oltre ad accordarsi con i dati sperimentali, ci consente di

comprendere meglio il fenomeno e ci fornisce una capacità di previsione.

Possiamo infatti variare il valore della massa. Se ad esempio usassimo un magnetino di massa 10 g, la

velocità limite si raggiungerebbe intorno ai 200 cm e quindi il nostro tubo non sarebbe sufficientemente

0,00

10,00

20,00

30,00

40,00

50,00

60,00

70,00

46 48 50 52 54 56 58

χ^2 in funzione di k

48

49

50

51

52

53

54

55

56

57

χ^2 k8

12,40 55

9

lungo per osservare il raggiungimento della velocità di regime. Il modello matematico ci permette dunque di

adottare degli accorgimenti per ottenere dei risultati ottimali nel caso volessimo ripetere l‟esperimento. Con

un tubo lungo 3m potremmo, con lo stesso magnete arrivare fino a masse di 10g.

Roportiamo il grafico della velocità per masse di 4g, 8g e 16g.

Abbiamo poi provato a variare il valore di k (che equvale a usare un magnete più o meno forte oppure un

tubo con diverse caratteristiche):aumentando il valore di k la velocità di regime viene raggiunta più

velocemente. Facendo diverse prove ci siamo accorti che gli stessi effetti si possono ottenere raddoppiando il

valore della massa o dimezzando il valore di k: quello che determina le caratteristiche del moto è il rapporto

. Ci è parso significativo a questo punto che il rapporto ha le dimensioni di un tempo ed è indicativo di

quanto rapidamente viene raggiunta la velocità limite. Si può osservare che la velocità di regime viene

raggiunta in un tempo t≈3 .

Conclusioni Realizzando questo esperimento è stato interessante ripercorrere tutte le tappe del metodo scientifico:

-abbiamo osservato la caduta del magnete nel tubo;

-abbiamo ipotizzato l‟esistenza di una forza frenante;

-abbiamo progettato e realizzato l‟esperienza in laboratorio verificando la nostra ipotesi;

-abbiamo costruito un modello matematico per descrivere il fenomeno studiato.

0

50

100

150

200

250

300

350

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4

velocità massa 4g

velocità massa 8g

velocità massa 16g

m/k=0,3s

m/k=0,15s

m/k=0,07s

10

E‟ evidente, soprattutto nella parte conclusiva del nostro lavoro, come la matematica riesca a descrivere i

fenomeni naturali, permettendoci persino di costruire modelli adatti a preverdeli e comprenderli meglio.

Allegati

Sono state allegate le misure effettuate con diversi valori della massa e le relative leggi orarie.

massa (g) 4,26

h (cm) t di caduta (s) t medio (s) ∆t (s) ∆t%

200 2,84 2,87 2,88 2,87 2,85 2,81 2,82 2,87 2,84 2,84 2,85 2,85 0,03 1,2

180 2,57 2,56 2,59 2,56 2,62 2,62 2,65 2,53 2,63 2,6 2,53 2,59 0,06 2,3

160 2,25 2,19 2,21 2,19 2,21 2,22 2,22 2,19 2,25 2,22 2,25 2,22 0,03 1,4

140 1,94 1,98 1,91 1,96 2,03 2 1,94 1,93 1,94 2 2 1,97 0,06 3,1

120 1,78 1,79 1,78 1,85 1,84 1,8 1,81 1,75 1,78 1,82 1,78 1,80 0,05 2,8

11

massa (g) 5,42

h (cm) t di caduta (s) t medio (s) ∆t (s) ∆t%

200 2,09 2,06 2,04 2,09 2,06 2,03 2,03 2,06 2,1 2,09 2,07 0,04 1,7

180 1,78 1,78 1,84 1,82 1,78 1,85 1,88 1,84 1,81 1,81 1,82 0,05 2,7

160 1,59 1,56 1,56 1,55 1,59 1,56 1,59 1,59 1,59 1,56 1,57 0,02 1,3

140 1,44 1,44 1,47 1,47 1,46 1,5 1,53 1,53 1,54 1,44 1,48 0,05 3,4

120 1,19 1,22 1,19 1,22 1,21 1,28 1,25 1,22 1,25 1,21 1,22 0,05 3,7

y = 72,36x - 5,258R² = 0,985

0

50

100

150

200

250

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

spazio percorso in funzione del tempo

12

massa (g) 6,10

h (cm)

t di caduta (s)

t di caduta (s)

t di caduta (s)

t di caduta (s)

t di caduta (s)

t di caduta (s)

t di caduta (s)

t di caduta (s)

t di caduta (s)

t di caduta (s)

t di caduta (s)

t medio (s)

∆t (s) ∆t%

200 1,69 1,66 1,63 1,59 1,62 1,69 1,75 1,75 1,75 1,75 1,76 1,69 0,09 5,0

180 1,56 1,53 1,55 1,53 1,53 1,47 1,47 1,53 1,57 1,54 1,57 1,53 0,05 3,3

160 1,31 1,35 1,35 1,35 1,34 1,31 1,28 1,28 1,38 1,31 1,31 1,32 0,05 3,8

140 1,19 1,12 1,19 1,22 1,22 1,23 1,22 1,22 1,13 1,13 1,15 1,18 0,05 4,6

120 1,03 1,03 1,1 1,06 1,05 1,1 1,06 1,09 1,04 1,1 1,04 1,06 0,04 3,3

y = 97,35x + 1,043R² = 0,982

0

50

100

150

200

250

0 0,5 1 1,5 2 2,5tempo di caduta (t)

spazio in funzione del tempo∆

y = 123,0x - 7,334R² = 0,990

0

50

100

150

200

250

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8

tempo in funzione della posizione

13

massa (g) 7,17

h (cm) t di caduta (s)

t medio (s)

∆t

(s) ∆t%

200 1,53 1,62 1,53 1,5 1,62 1,5 1,5 1,6 1,6 1,54 1,5 1,53 1,47 1,6 1,5 1,43 1,53 0,10 6,2

180 1,34 1,38 1,47 1,32 1,35 1,41 1,4 1,4 1,4 1,38 1,4 1,32 1,32 1,4 1,4 1,41 1,38 0,08 5,5

160 1,25 1,22 1,25 1,21 1,22 1,25 1,3 1,2 1,2 1,19 1,3 1,22 1,18 1,3 1,18 1,28 1,23 0,05 4,1

140 1,15 1,13 1,1 1,12 1,09 1,12 1,1 1,1 1,2 1,15 1,2 1,09 1,09 1,1 1,1 1,15 1,12 0,03 3,1

120 1 0,94 0,94 1 1 1 1 1 1 0,91 1 0,94 0,91 1 1,03 0,97 0,98 0,06 6,1

y = 146,4x - 22,738R² = 0,9959

0

50

100

150

200

250

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8

tempo in funzione della posizione