Il  problema  della  ver-calità  

Maffini  Achille    Liceo  Scientifico  Ulivi  (PR)  

1

I  problemi  della  ver-calità:    una  consegna  

•  Quali  problemi  individui  nella  costruzione  di  un  curricolo  veramente  verticale?  

•  Su  quali  aspetti  specifici    (contenuti,  modalità  di  lavoro,  materiale  utilizzato,  finalità,  ecc.)  senti  più  l’esigenza  di  un  confronto  con  colleghi  di  altri  ordini  scolastici?  

•  Nella  tua  esperienza  scolastica,  quali  sono  i  concetti  o  gli  aspetti  che  hanno  fatto  più  problema  (sempre  nell’ottica  della  verticalità)?  

•  Quali  sono,  secondo  te,  i  nuclei    fondanti  che  dovrebbero  essere  posti  alla  base  di  un  curricolo  verticale?  

•  Che  ruolo  riveste  il  linguaggio  specifico  nella  costruzione  del  curricolo  e  nel  confronto  con  i  colleghi  di  scuole  di  ordini  diversi?  

2

Un  tenta-vo  di  risposta:  mate.con  

•  Corso  Mate.con  organizzato  dalla  Prof.ssa  Garofani  dell’Istituto  D’Arzo  di  Montecchio  Emilia  

•  Partecipanti:  – Scuola  Primaria:  10  – Scuola  secondaria  di  primo  grado:  11  – Scuola  secondaria  di  secondo  grado:  14  

•  Finalità:  favorire  il  raccordo  tra  scuole  di  diversi  gradi  scolastici  afferenti  all’Istituto  D’Arzo  

3

Gli  ambi-  della  logica  e  la  trasversalità:  le  finalità  del  corso  

•  Logica  e  pensiero  comune:  l’ambiguità  di  un  termine  

•  Il  ruolo  del  linguaggio  nella  matematica:  una  risposta  al  ruolo  del  linguaggio  nella  verticalità  – Matematica  come  linguaggio  del  rigore  ma…  – …  sottointesi  impliciti  nella  comunicazione  matematica  

4

Il  problema  della  logica  matema-ca:  lo  schema  di  riferimento  per  il  corso    

(Prof.  Marchini)  

5

Linguaggio “naturale”

Linguaggi formalizzati (1° ordine, ordine superiore) Metalinguaggio

Sintassi

Semantica

Morfologia

Gli  ambi-  della  logica  matema-ca:  la  struAura  del  linguaggio  

6

Logica e strutture di ragionamento

Quale rapporto tra linguaggio naturale

e matematica?

Come si struttura il linguaggio della

Matematica?

Come riconoscere “una frase” matematica?

Cos’è “una frase” matematica?

Linguaggio della logica? Circoli viziosi in agguato ….

Alcuni  temi  traAa-  •  Morfologia  

–  espressione  •  Linguaggio  logica  

–  Connettivi  –  quantificatori  

•  Sintassi  e  semantica  –  Il  problema  del  senso  e  del  significato  

•  Il  ruolo  dell’uguale  –  Le  equivalenze  –  Uguaglianza  e  relazioni  di  equivalenza    

•  La  geometria  tra  sintassi  e  semantica  

7

Gli  aspeC  morfologici  

•  Il  ruolo  della  morfologia  in  matematica:  gli  aspetti  sottointesi    

•  Il  rapporto  morfologia-­‐fonologia  •  Il  riconoscimento  delle  “parole”:  un  primo  passo  verso  …  che  cosa?  

•  Il  quale  ambito  (morfologico  o  fonologico)  ci  si  muove?  

•  Chi  dà  “dignità”  ad  una  stringa?  •  Cosa  sa  l’insegnante  e  cosa  sa  lo  studente?  

8

Esempio  di  aCvità:    

•  Individuare,  dai  libri  di  testo  o  dalla  propria  esperienza,  cos’è  una  espressione.  

•  Stabilire  quale  ruolo  viene  svolto  da  =  nella  semplificazione  di  una  espressione  

•  Linguaggio  e  metalinguaggio:  il  ruolo  dell’uguale  

9

Le  risposte  della  scuola  primaria  a  “cos’è  un’espressione”  

•  Le  risposte  delle  insegnanti:  –  Catena  di  operazioni  –  Formula  con  lettere  e  numeri  –  Enunciato  –  Rappresentazione  –  Scrittura  di  lettere  e  numeri  con  operazioni  

•  Possibili  letture  delle  risposte  •  La  definizione  ricorsiva  di  espressione  

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Esercizi  e  lavori  propedeu-ci  •  Individua,  nella  tua  prassi  didattica,  i  termini  di  uno  

specifico  “ambito”,  dopo  aver  specificato  quest’ultimo.  

•  I  termini  per  ordini  di  scuole:  l’abitudine  al  controllo  –  Le  “cornicette”  e  le  “seriazioni”  –  L’individuazione  e  l’analisi  di  “scritture”  matematiche  –  Le  parole  di  alfabeti  specifici.      

•  Le  espressioni  “ambigue”  •  Gli  errori  a  livello  morfologico:  

l’attenzione  alle  “scritture”.  •  Il  gioco  delle  targhe:  codificare  una  regola  per  la  

costruzione  delle  stringhe  “targhe  automobilistiche”.  

11

Dai  termini  alle  formule:    ancora  morfologia?  

•  Consegna:  cos’è  una  “formula”?  (E5a,  M2c)    •  Predichiamo  sui  termini:  le  formule  atomiche  •  Dalle  “parole”  alle  “frasi”.  •  Il  ruolo  dell’uguale  (E7)  •  I  connettivi  a  livello  morfologico  •  Dal  linguaggio  naturale  ai  connettivi  (E1)  •  La  congiunzione  e  il  tempo  •  La  disgiunzione  e  la  causalità  (“Chiudo  il  contratto  oppure  

sono  rovinato”  )  •  Il  ruolo  dell’implicazione:  dalla  causalità  (implicazione  logica)  

al  connettivo  (implicazione  materiale)  

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L’implicazione  •  La  causa/effetto  in  matematica  esiste?  (E7)  •  Dalla  implicazione  causale  alla  implicazione  materiale.  •  Come  passare  all’implicazione  materiale?  

–  Motivazione  data  da  un’insegnante:  “verità  di  un  teorema:  se  le  ipotesi  sono  false,  il  teorema  deve  comunque  essere  vero”.    

•  Perché  l’implicazione  materiale?  •  Il  ruolo  dell’implicazione  nella  definizione;  cos’è  una  

definizione?  •  Definizione  di  circonferenza  nei  vari  ordini  di  scuole  (E8:  

Linea  curva  chiusa  i  cui  punti  sono  equidistanti  da  un  punto  interno  detto  centro.)  

•  Consegna:  cercare  definizioni  e  vederne  la  struttura  

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Andiamo  oltre:  alcuni  esempi  

•  Un  alunno  svolge  l’esercizio  •  In  un  triangolo  isoscele  vi  sono  due  angoli  

congruenti  •  Uno  di  voi  mi  tradirà  •  Se  un  numero  è  divisibile  per  10  allora  è  divisibile  

per  2  e  per  5  •  Un  numero  naturale  o  è  pari  o  è  dispari.  •  Se  n  è  pari  allora  n=2k,  con  k∈N  (quantificatori  e  

parametri:  ST1a)  •  Ci  sono  numeri  naturali  primi  

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Altri  esempi  •  Nell’addizione  (in  N)  il  risultato  rispetto  agli  addendi  è  sempre  …….  

(esercizio  Scuola  Primaria)  •  Nel  triangolo  equilatero,  baricentro,  circocentro  e  incentro  coincidono.  •  Il  minimo  comune  multiplo  tra  due  numeri  a  e  b  è  …….  •  Due  insiemi  tra  i  quali  si  possa  stabilire  una  corrispondenza  biunivoca  si  

dicono  equipotenti  (Pellerey)  •  Una  circonferenza  ha  il  centro  nel  punto  (-­‐3;0)  e  raggio  di  misura  5.  

Scrivere  l’equazione  della  circonferenza…    (anche  ST3a)  •  Si  dice  radice  n-­‐esima  di  a,  e  si  indica    n√a  ,  quel  numeri  reale  positivo  la  

cui  potenza  n-­‐esima  è  a        (Palladino)  •  Un  rombo  ha  le  diagonali  perpendicolari  •  Tutte  le  proprietà  di  un  rombo  sono  anche  proprietà  di  un  

quadrato  

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Esempi  dai  tes-:  quali  quan-ficatori?  

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Analisi  quan-ficatori:    cosa  sa  l’insegnante,  cosa  sa  l’alunno  

•  Il  ruolo  e  l’ambiguità  dell’articolo  indeterminativo:  l’esigenza  di  un  riferimento  contestuale    

•  Esistenza  e  unicità:  il  passaggio  “implicito”  dall’articolo  indeterminativo  all’articolo  determinativo.  

•  L’articolo  determinativo  come  connotazione.  •  L’eliminazione  dell’ambiguità:  verso  un  linguaggio  meno  ambiguo  •  I  quantificatori  sui  libri  di  testo:  

–  Individua,  sui  libri,  definizioni,  teoremi  o  altro  coinvolgenti  i  quantificatori,  specificando  il  quantificatore  coinvolto.  

–  Individua  proposizioni  coinvolgenti  l’articolo  determinativo  o  l’articolo  indeterminativo.  

•  Come  vengono  “motivate”  tali  affermazioni?  •  Quantificatori  e  proprietà:  dal  particolare  al  generale    •  Una  significativa  differenza  numerica:  la  proprietà  associativa  •  Il  tempo  e  i  quantificatori:  “sempre”  (E2)  •  La  risposta  diligente  alla  richieste  dei  libri  di  testo:  la  definizione  di  addizione  (E2)  •  Quantificatori  e  non  (E1)  

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La  struAura  delle  proposizioni  contenen-  quan-ficatori  

•  La  struttura  delle  proposizioni  quantificate  universalmente  

•  La  struttura  delle  proposizioni  quantificate  esistenzialmente  

•  I  quantificatori  relativizzati:  le  difficoltà  delle  insegnanti  

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Quan-ficatori  e  negazione  

•  Dal  generale  al  particolare  e  viceversa.  •  Il  diverso  ruolo  della  verifica  e  della  dimostrazione  

•  Ma  cos’è  una  dimostrazione?  •  Si  deve  cambiare  ambito:  dal  linguaggio  alla  sua  strutturazione…..  

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Consegna  

•  I  termini  “senso”  e  “significato”  compaiono  spesso  in  matematica  in  frasi  del  tipo  “(non)  ha  senso”  o  “perde  di  significato”.  

•  Individua  ambiti  ed  esempi  specifici  in  cui  vengono  utilizzate  tali  espressioni  e  con  quale  valenza.  

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Senso  e  significato  

•  In  quali  contesti  vengono  usate  espressioni  del  tipo  “non  ha  senso”?  Es1  

•  Segno,  denotazione,  senso:  su  quali  piani  ci  si  muove?    

•  Alcuni  esempi:    E1,  E3f  •  Il  ruolo  del  significato:  in  quali  contesti  si  parla  di  perdita  di  significato?  Es2  

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Seman-ca  

•  Il  significato  e  il  concetto  di  funzione  •  L’uso  (e  abuso)  delle  frecce:  riconoscerne  la  tipologia    

•  Un  lavoro  sulle  operazioni:  esempio  di  semanticità  gestita  alla  scuola  Primaria  generalmente  in  modo  sintattico  

•  Relazioni  e  semantica  •  Equazioni  alla  scuola  elementare    

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Giochi  come  ambien-  sintaCci  

•  La  dama  e  le  sue  regole  •  Ma  anche  …  la  briscola  e  le  sue  regole  •  Cosa  sono  le  regole  di  un  gioco?  •  Come  sono  i  giochi?  

–  Giochi  a  configura  iniziale  fissata  e  a  configurazione  finale  variabile  (es.:  scacchi,  dama,  othello,  ecc.)  

–  Giochi  a  configurazione  iniziale  variabile  (ma  riconoscibile)  e  a  configurazione  finale  fissata  (es.:  bridge  e  giochi  di  carte  in  genere,  sudoku,    ecc.)  

–  Tutti  a  configurazione  finita  (una  delle  “regole”  ne  fa  individuare  la  fine)  

•  Come  riconoscere  le  configurazioni  compatibili?  –  Il  problema  del  senso  

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I  giochi  come  contes-  sintaCci  •  Il  ruolo  delle  “regole”:  comandi  o  motivazioni  di  scelte?    •  Il  ruolo  dei  termini  primitivi  •  La  partita  “giocata”:  le  configurazioni  e  le  motivazioni.  •  Un  esempio:  una  partita  a  scacchi  •  Esercizio  1:  codificare  le  regole  di  un  gioco,  dopo  aver  

individuato  i  termini  ritenuti  primitivi  •  Esercizio  2:  far  svolgere  una  partita  al  gioco  dell’oca.  Far  

riportare  dopo  ciascun  lancio  la  casella  d’arrivo  e  a  sinistra  la  “giustificazione”  (uscita  dado,  primi,  penalità,  ecc.)  che  motiva  tale  posizione.  

24

I  ruoli  dell’uguale  

•  Uguale  come  simbolo  morfologico:  quante  “forme”  per  l’uguaglianza?  

•  Uguale  come  simbolo  definitorio  (M1)  •  L’uguaglianza  sul  piano  sintattico:  le  “proprietà”  della  

relazione  di  uguaglianza  (S-­‐Pal)    •  L’uguaglianza  sul  piano  semantico:  equazioni  e…  (E4-­‐pan)  •  ..le  equivalenze:  di  cosa  predicano  l’uguaglianza?  Di  nuovo  il  

senso  •  Le  relazioni  di  equivalenza  come  forme  di  uguaglianza  

(MFlac2,  E3-­‐pan)  •  Esempi  vari:  E4f,  FrazM,  FrazS  •  Consegna1:  esaminare  uguaglianze  presenti  in  contesti  vari  e  

stabilirne  la  tipologia  •  Consegna2:  stabilire  le  relazioni  di  equivalenza  presenti  in  

specifici  contesti  di  uguaglianze.   25

Le  relazioni  (necessarie  ma)  pericolose  

•  La  risoluzione  dei  problemi  •  Operazioni  •  Geometria  •  Aspetti  sintattici  e  semantici  presenti  in  un  testo  di  geometria  della  scuola  primaria:  un  esempio  

•  Relazioni,  funzioni  (corrispondenze)  

26

I  nuclei  fondan-  nella  costruzione  di  un  curricolo:  una  proposta  

•  Concetti  (anche  impliciti)  di  relazione  e  di  funzione  

•  Il  ruolo  semantico  come  ricerca  di  significati  (matematici)  

•  Il  linguaggio  come  struttura  del  sapere  matematico  (oltre  che  della  matematica)      

27

Ringraziamen-  

•  A  tutte/i  per  la  pazienza  e  la  partecipazione    

28

•  “La  capacità  di  costruire  nuovi  modelli  deriva  dalla  capacità  umana  di  cogliere  situazioni  attraverso  vari  aspetti  che  possono  essere  ricombinati  e  riorganizzati  per  creare  nuove  situazioni.  Come  cogliere,  riorganizzare  e  comunicare  i  singoli  aspetti  ed  intere  nuove  situazioni?  Ovviamente  attraverso  il  linguaggio.”    (R.  Ferro,  “La  logica  dei  logici”,  IMSI  16,  n.11-­‐12,  1993)  

•  Il  rapporto  tra  semiotica  e  noetica.  29

Quali  difficoltà?  

30

…  ma  anche  …  

31

Un  esempio  di  linguaggio  del  primo  ordine    

•  L’alfabeto  A  del  linguaggio  L  è  costituito  dai  seguenti  insiemi  a  due  a  due  disgiunti:  

•  a)  un  insieme  C,  eventualmente  vuoto,  di  costanti  individuali,  che  indicheremo  con  a1,  a2,  a3,...  In  genere  però  si  usano  le  prime  lettere  dell’alfabeto  italiano  (a,  b,  c,  ..)  anziché  usare  indici;  

•  b)  un  insieme  numerabile    V  di  indeterminate  (variabili  individuali)  x1,  x2,  x3,...  (solitamente  si  usano  le  ultime  lettere  dell’alfabeto  inglese  x,  y,  z):  

•  c)  l’insieme  {¬,  ∧,  ∨,  →,  ↔}  dei  connettivi  che  si  chiamano,  nell’ordine,  “non”,  “e”,  “o”,  “implica”  e  “equivale”;  

•  d)  l’insieme  {∀,  ∃}  dei  quantificatori  che  si  chiamano  “quantificatore  universale”  e  “quantificatore  esistenziale”;  

•  e)  l’insieme  {(  ,  ),  ,}  dei  simboli  ausiliari  (“parentesi  aperta”,  “parentesi  chiusa”  e  “virgola”);  

•  f)  per  ogni  n>0,  un  insieme,  eventualmente  vuoto,  Pn  ,  di  predicati  n-­‐ari,  (solitamente  indicati  con  le  lettere  A,  B,  C,  ...);  

•  g)  per  ogni  n>0,  un  insieme,  eventualmente  vuoto,  Fn,  di  elementi  detti  simboli  funzionari  n-­‐ari,  solitamente  indicati  con  le  lettere  fn1,  fn2,..(in  genere  si  usano  le  lettere  f,  g,  h,..)  

32

I  termini  

•  Definizione    – ogni  costante  individuale  è  un  termine;  – ogni  indeterminata  è  un  termine  – se    t1,t2,..,tn  sono  termini  ed  fn  è  un  simbolo  funzionale  n-­‐ario  allora  fn(t1,t2,...,tn)  è  un  termine  

– Nient’altro  è  un  termine  

•  La  struttura  “ad  albero”  dei  termini  

33

Le  formule  ben  formate  •  Sia  P  un  predicato  n-­‐ario  e  siano  t1,t2,t3,...tn  termini;  

P(t1,t2,t3,...tn)  è  detta  formula  atomica.  •  Diremo  che  una  stringa  del  linguaggio  L  è  una  formula  ben  

formata  (più  brevemente  kf)  se  è  definita  dalle  seguenti  clausole:  –  ogni  formula  atomica  è  una  kf;  –  se  A  e  B  sono  kf  allora  (¬A),  (A∧B),  (A∨B),  (A→B),  (A↔B)  sono  kf;  –  se  A(x)  è  una  kf,  essendo  x  una  indeterminata  (variabile)  libera  in  A,  

allora  ∀x(A(x))  e  ∃x(A(x))  sono  kf;  –  nient’altro  è  una  kf.  

•  Il  problema  della  definizione  di  indeterminata  libera  •  Il  ruolo  e  l’importanza  dei  nomi:  formula  •  Esempi  di  formule  ben  formate  nel  linguaggio  naturale  e  nel  

linguaggio  matematico  

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Equivalenze    (sensi  diversi  per  stessa  denotazione)  

35

Oggetto (segmento)

Grandezza (lunghezza)

R+0

R+0

Misura in m

Misura in yard

equivalenza

36