LogicaMatematica: Logica delle Proposizioni Logica dei Predicati I.T.E. L. EINAUDI Porto S. Elpidio...

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I.T.E. “L. EINAUDI” Porto S. Elpidio Logica Logica Matematica: Matematica: un po’ di Storia Logica delle Logica delle Proposizioni Proposizioni e cenno alla Logica dei Logica dei Predicati Predicati

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Page 1: LogicaMatematica: Logica delle Proposizioni Logica dei Predicati I.T.E. L. EINAUDI Porto S. Elpidio Logica Matematica: un po di Storia Logica delle Proposizioni.

ITE ldquoL EINAUDIrdquo Porto S Elpidio

LogicaLogica MatematicaMatematica

un porsquo di StoriaLogica delle Logica delle ProposizioniProposizioni

e cenno alla Logica dei Logica dei PredicatiPredicati

LogicaLogica MatematicaMatematicabull Autori Valter Stortini amp Cbull Tematica

un porsquo di storia della Matematica i principii della Logica la Logica delle proposizioni e le Tavole di veritagrave

bull Finalitagrave ed obiettivi di apprendimentoportare gli alunni ad una riflessione sul loro modo di parlare e ascoltare motivandoli cosigrave ad apprendere gli schemi di ragionamento correttoragionamento corretto

bull Metodologia Progettazione Lezione dialogata ricerca su Internet lavoro di gruppo feedback

La Matematica si apprende studiando

oggetto dellrsquoapprendimento (da imparare)

Secondo Anatolio (santo e vescovo di Laodicea studioso di Matematica 269 dC) i Peripatetici (discepoli di Aristotele IV sec aC) affermavano che ldquomentre la retorica la poesia e la musica popolare possono essere praticate anche senza essere studiate nessuno puograve capire le cose che vengono chiamate con il nome di matematica senza averle prima studiaterdquo e per questa ragione ldquola teoria di queste cose egrave detta Matematicardquo

Logica e ragionamenti

La logica nasce come disciplina che studia i principi e le regole del ragionamento ne valuta la correttezza e ne formalizza luso

Fin dallantichitagrave la logica egrave stata molto studiata nella Grecia classica il piugrave famoso e importante pensatore che si egrave dedicato alla logica fu Aristotele (384 ac-322 ac)

Le regole di inferenza logica cioegrave le regole per cui date alcune premesse egrave possibile raggiungere una conclusione sono considerate evidenti di per seacute sono considerate valide e sono presenti naturalmente nel nostro modo di ragionare

Per i Greci la logica aveva grande importanza percheacute stava alla base della retorica Di conseguenza la studiavano soprattutto dal punto di vista linguistico valutandone il corretto utilizzo nellambito del linguaggio naturale Questo approccio rimarragrave per lungo tempo quello piugrave seguito e adottato

Un porsquo di storia della Logica

Ponendo laccento sulla retorica uno degli aspetti piugrave interessanti egrave dato dai cosiddetti paradossi (paragrave + doxa = contro lopinione comune) e antinomie (anti + nomos = contro la legge) logiche frasi dotate di significato se considerate dal punto di vista esclusivamente linguistico ma che dal punto di vista logico risultano contraddittorie I primi esempi di paradossi vengono proprio dalla Grecia antica ma anche nella storia successiva logici e filosofi hanno fornito numerosi esempi

I paradossi hanno sempre attirato un grande interesse da parte degli studiosi di logica e la loro esistenza egrave stata importantissima anche per la storia della matematica

Attorno al VI secolo aC raccogliendo lereditagrave dei matematici egiziani e babilonesi con gli studiosi ellenici nacquero i due processi principali su cui si basa lorganizzazione logica della matematica lastrazione (ricavare una regola generale dallosservazione di fenomeni particolari diversi) e la deduzione (partendo da alcune premesse ricavare una conclusione coerente con le assunzioni del ragionamento)

Nel V secolo aC Zenone enuncia i famosi paradossi (famoso quello di Achille e la Tartaruga)

Nel IV secolo aC Aristotele codifica le leggi del ragionamento logico mentre Euclide organizza negli Elementi i teoremi di geometria e di teoria dei numeri ottenuti dalla cultura matematica greca dellepoca Procede per definizioni postulati e teoremi con una esposizione che egrave rimasta classica per ogni tempo punto di riferimento per ogni teoria (vedi )

Continua Logica e Matematica

In tempi pressocheacute contemporanei ad Aristotele la logica esce dal contesto della retorica e inizia a essere utilizzata in maniera rigorosa anche in matematica in particolare in geometria con Euclide di Alessandria (365 AC - 300 AC) il quale nei suoi ldquoElementirdquo espone e tratta in maniera rigorosa la geometria piana partendo da postulati geometrici che lui considera evidenti e giustificati dalla realtagrave sensibile e da assiomi (che chiama nozioni comuni) che sono regole considerate evidenti e basate sul ragionamento logico

A partire dai postulati Euclide dimostra i teoremi utilizzando le regole di inferenza logica fornendo un grande esempio duso della logica in matematica

Anche in questo Euclide egrave stato un modello per molti matematici nei secoli successivi in tredici libri organizzograve tutti i teoremi di geometria e di teoria dei numeri della matematica greca dellepoca con una esposizione rimasta classica fino a oggi

Gli Elementi che fino al XIX secolo fu il testo piugrave diffuso dopo la Bibbia rappresentograve cosigrave la sistemazione delle conoscenze geometriche ldquoelementarirdquo e aprigrave la strada a ricerche di carattere ldquosuperiorerdquo

Medioevo trivio e quadrivio poi hellip Logica Matematica

La Matematica egrave sempre stata considerata genericamente come la ldquoScienza dei Numerirdquohellip Una simile definizione egrave parziale anche riferita solo al Medioevo durante il quale la

Matematica era insegnata nelle Universitagrave come arte liberale Nelle facoltagrave di Filosofia infatti venivano apprese le arti del Trivio (complesso delle discipline letterali costituito da Grammatica Retorica Logica) e del Quadrivio (complesso delle discipline scientifiche costituito dalla matematica ldquopurardquo Aritmetica e Geometria e dalla matematica ldquomistardquo Musica e Astronomia viste come loro rispettive applicazioni) Tale facoltagrave era la piugrave importante per il numero di studenti che la frequentavano e che dopo aver concluso i corsi potevano proseguire gli studi in una delle altre tre facoltagrave (Teologia Diritto Medicina)hellip

Successivamente a partire dal XVII secolo gli studi sulla logica iniziano a indirizzarsi decisamente verso la nascita della logica matematica allontanandosi da quella che possiamo definire logica filosofica che fino a quel momento era stata la piugrave studiata

I ragionamenti logici vengono formalizzati in modo da poter essere calcolati utilizzando un linguaggio formale che permetta un perfetto controllo delle dimostrazioni Cosigrave tra la fine del XIX e linizio del XX secolo la logica diventa lo strumento per lo sviluppo rigoroso e formale della matematica

Vero hellip o solo logicamente valido

Inoltre il rapporto sempre piugrave stretto tra logica e matematica produce risultati inaspettati viene compresa la differenza tra veritagrave e validitagrave logica Per secoli i matematici hanno pensato che le teorie matematiche e in particolare la geometria rappresentassero veritagrave assolute e che fosse loro compito scoprirle La nascita delle geometrie non-euclidee (a cui i matematici giungono nellOttocento dopo secoli di studi sul V postulato euclideo) fa comprendere che la scelta degli assiomi puograve essere del tutto arbitraria (purcheacute non portino a contraddizioni) e che ciograve che si deriva da essi egrave da considerarsi logicamente valido e non piugrave vero in senso assoluto

Ciograve che gli assiomi predicano puograve essere contrario a ciograve che suggerisce lesperienza ma ciograve che egrave possibile dimostrare a partire da essi risulta in ogni caso logicamente valido per cui non esiste piugrave una teoria vera che costringa le altre a essere false Di conseguenza egrave possibile creare diverse teorie non equivalenti ma tutte ugualmente coerenti e allora il problema principale della logica cambia natura e consiste nello sviluppare una teoria assicurandone la coerenza Per coerenza (consistenza) si intende il fatto che allinterno di tale teoria non egrave possibile dimostrare un teorema e la sua negazione

Paradosso di Russell ndash indovinelli e giochi

Allinizio del ventesimo secolo la logica viene usata per dare fondamento alla teoria intuitiva degli insiemi da Georg Cantor e Gottlob Frege

Proprio da questa prima formalizzazione (detta ingenua) nascono i primi problemi paradossali riguardanti logica e matematica proprio mentre Frege si accingeva a pubblicare i suoi risultati il matematico e filosofo Bertrand Russell (1872-1970) enuncia quello che egrave universalmente noto come paradosso di Russell che mina le basi della teoria di Cantor-Frege Questultima deve essere abbandonata e piugrave tardi viene sostituita dalla teoria assiomatica degli insiemi introdotta da Zermelo e perfezionata da Fraenkel

Oggi la logica egrave lo strumento privilegiato per lo sviluppo della matematica percheacute permette di procedere attraverso regole ben precise che assicurano la correttezza delle dimostrazioni

Cegrave da dire infine che la logica oltre a tutti i suoi utilizzi linguistici e matematici presenta anche un aspetto ludico Utilizzando la logica egrave possibile dare vita ad un numero elevatissimo di indovinelli e giochi che stuzzicando la mente rendono questa disciplina piugrave facilmente avvicinabile da tutti E forse anche piugrave divertente

Qualche paradosso

bull Il paradosso del mentitore Ersquo questo il piugrave celebre dei paradossi quello che ha conosciuto maggiore fortuna nella storia del pensiero impegnando per la sua soluzione una numerosa schiera di filosofi e logici La formulazione piugrave vicina a quella originale di Eubulide sembra quella tramandataci da Cicerone Se dici che menti e in ciograve dici il vero menti o dici la veritagrave

Di questo paradosso sono note anche altre versioni una delle piugrave celebri egrave la seguenteEpimenide cretese afferma che tutti i cretesi sono bugiardi Ersquo vero o no quanto afferma Epimenide

La sua forma piugrave semplice Assai semplicemente esso puograve venire espresso con lrsquoasserto ldquoquesto enunciato egrave falsordquo Ersquo lrsquoenunciato vero o falso

Il paradosso del postino Il postino prende la posta per tutti coloro che non se la prendono da soli ed ovviamente non prende la posta per tutti coloro che la prendono da soli Ma allora chi prende la posta del postino Se egrave lo stesso postino che prende la posta allora ne deriva che egli non prende la posta per se se invece non la prende allora si presume che egli la prende

Il paradosso del barbiere Presentato da Russell egrave del tutto simile a quello del postino Il barbiere fa la barba a tutti coloro che non la fanno da seacute Chi fa la barba al barbiere

Ed ora veniamo

al dunque

Logica Aristotelica e Megarico-Stoica

Aristotele indicava cosigrave i tre principi logici fondamentalii tre principi logici fondamentali riguar-danti la Logica dei Predicati validi anche per la Logica delle Proposizioni ( o degli Enunciati)

1- Principio di non contraddizione una proposizione e la sua negazione non possono essere contemporaneamente vere 2- Principio di identitagrave ogni proposizione egrave uguale (equivale)

a se stessa3- Principio del terzo escluso tra una proposizione e la sua negazione

almeno una egrave vera (e quindi per il n1 una sola) cioegrave una proposizione o egrave vera o egrave falsa

(non crsquoegrave una terza possibilitagrave) (tertium non datur)

LOGICA ARISTOTELICA qualche esempio di ragionamento (sillogismo)

LOGICA DEI PREDICATILOGICA DEI PREDICATILa logica aristotelica prevedeva lrsquoanalisi interna di alcuni tipidi proposizioni (universali particolari affermative negative) e lo studio dei sillogismi (Un sillogismo ha due premesse e una conclusione)

mentre la logica megarico-stoica non diversificava le proposizioni

Le proposizioni secondo Aristotele1048708 tipo A - Universale affermativaad esempio Tutti gli orsi sono vertebrati1048708 tipo I - Particolare affermativaad esempio Alcuni uccelli sono rapaci1048708 tipo E - Universale negativaad esempio Tutti gli orsi non sono pesci(ovvero Nessun orso egrave un pesce)1048708 tipo O - Particolare negativaad esempio Alcuni uccelli non sono rapaci

Sillogismo di tipo E A E

( CELAR ENT )E Nessun mammifero egrave un pesceA Tutti gli uomini sono mammiferi------------------------ E Nessun uomo egrave un pesce

Sillogismo di tipo A A A

( BARBARA )A Tutti i viventi invecchianoA Tutti i vegetali sono viventi------------------------ A Tutti i vegetali invecchiano

LOGICA ARISTOTELICA qualche esempio di ragionamento (sillogismo)

A(tutti sono europei)(tutti gli uomini sono europei)

E (tutti sono non europeicioegrave nessuno egrave europeo)(nessun uomo egrave europeo)

I = notE(esiste un europeo)(esiste almeno un uomo che egrave europeo)

O = notA(esiste un non europeo(esiste almeno un uomo che non egrave

europeo)cioegrave non tutti sono europei)

Altri esempi di tipi di Sillogismo i tipi corretti di Sillogismo sono 19 su 256(44)

Sillogismo di tipo A I I

( D A R I I )A Tutti gli uomini sono mortaliI Socrate egrave un uomo------------------------ I Socrate egrave mortale

Sillogismo di tipo A O O

( BAROCO )A Tutti i gatti sono esseri viventiO La Luna non egrave un essere vivente------------------------ O La Luna non egrave un gatto

Sillogismo di tipo E I O

( FERIO )E Nessun amico egrave un traditoreI Franco egrave un amico------------------------ O Franco non egrave un traditore

Sillogismo di tipo A A I

( DARAPTI )A Tutti i Pini sono ConifereA Tutti i Pini sono Vegetali------------------------ I Alcuni Vegetali sono Conifere

Adesso immaginiamo che le proposizioni ci vengano

nascoste

Possiamo solo sapere se sono vere o false ma nessuno ci dagrave

altre informazioni

1048708 Diremo enunciato o proposizione unrsquoaffermazioneche assume uno ed un solo valore di veritagrave

vero o falso1048708 Tale caratteristica egrave tuttrsquoaltro che banale infatti nontutte le affermazioni assumono incontestabilmente unoed un solo valore di veritagrave1048708 Alcuni enunciati sono costituiti da una solaaffermazione (laquoAtene egrave in Greciaraquo) e sono dettienunciati atomici1048708 Nella logica proposizionale prescinderemo dallaldquostruttura internardquo degli enunciati

Logica delle Proposizioni o EnunciatiLogica delle Proposizioni o Enunciati

Veritagrave e falsitagrave1048708 Enunciati composti sono costituiti da piugrave affermazioni collegate da

opportune parole (connettivi) comee o se allora se e solo se non o o

aut

1048708 I connettivi collegano gli enunciati senza riguardo al significato che possono assumere quelli lrsquounica caratteristica

che viene indicata nella loro definizione egrave quale valore di veritagrave abbia lrsquoenunciato composto a partire soltanto dai valori di veritagrave assegnati agli enunciati componenti

1048708 Le tavole di veritagrave riassumono (in versione moderna) le definizioni dei connettivi

Proposizioni hellip e Connettivi LogiciProposizioni hellip e Connettivi Logici

se e solo se allora

a b a b

V V V

V F F

F V F

F F V

ooa b a aut b

V V F

V F V

F V V

F F F

nona nota

V F

F V

Se allora

a b a b

V V V

V F F

F V V

F F V

ea b ab

V V V

V F F

F V F

F F F

oa b ab

V V V

V F V

F V V

F F F

Tavole di Veritagrave dei Connettivi Logici

Tavole di VeritagraveTavole di Veritagrave

ldquoEX FALSO SEQUITUR QUODLIBETrdquo

RIFERIMENTIldquoStoria della Matematica fino al 1200 Storia dello zerordquoppt profssa Francesca RussoldquoTavola dei Sillogismirdquo di Alessandro SalernoldquoSTSC-WEB(5)rdquopdf di Giorgio TBagnildquoLogica Fregeanardquopdf da GBoniolo P Vidali Filosofia della scienzaBMondadorildquoBreve storia della Logicardquo di Marco Pivetta ndash ubib060412s003pdf ndash httpulissesissait

  • Slide 4
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LogicaLogica MatematicaMatematicabull Autori Valter Stortini amp Cbull Tematica

un porsquo di storia della Matematica i principii della Logica la Logica delle proposizioni e le Tavole di veritagrave

bull Finalitagrave ed obiettivi di apprendimentoportare gli alunni ad una riflessione sul loro modo di parlare e ascoltare motivandoli cosigrave ad apprendere gli schemi di ragionamento correttoragionamento corretto

bull Metodologia Progettazione Lezione dialogata ricerca su Internet lavoro di gruppo feedback

La Matematica si apprende studiando

oggetto dellrsquoapprendimento (da imparare)

Secondo Anatolio (santo e vescovo di Laodicea studioso di Matematica 269 dC) i Peripatetici (discepoli di Aristotele IV sec aC) affermavano che ldquomentre la retorica la poesia e la musica popolare possono essere praticate anche senza essere studiate nessuno puograve capire le cose che vengono chiamate con il nome di matematica senza averle prima studiaterdquo e per questa ragione ldquola teoria di queste cose egrave detta Matematicardquo

Logica e ragionamenti

La logica nasce come disciplina che studia i principi e le regole del ragionamento ne valuta la correttezza e ne formalizza luso

Fin dallantichitagrave la logica egrave stata molto studiata nella Grecia classica il piugrave famoso e importante pensatore che si egrave dedicato alla logica fu Aristotele (384 ac-322 ac)

Le regole di inferenza logica cioegrave le regole per cui date alcune premesse egrave possibile raggiungere una conclusione sono considerate evidenti di per seacute sono considerate valide e sono presenti naturalmente nel nostro modo di ragionare

Per i Greci la logica aveva grande importanza percheacute stava alla base della retorica Di conseguenza la studiavano soprattutto dal punto di vista linguistico valutandone il corretto utilizzo nellambito del linguaggio naturale Questo approccio rimarragrave per lungo tempo quello piugrave seguito e adottato

Un porsquo di storia della Logica

Ponendo laccento sulla retorica uno degli aspetti piugrave interessanti egrave dato dai cosiddetti paradossi (paragrave + doxa = contro lopinione comune) e antinomie (anti + nomos = contro la legge) logiche frasi dotate di significato se considerate dal punto di vista esclusivamente linguistico ma che dal punto di vista logico risultano contraddittorie I primi esempi di paradossi vengono proprio dalla Grecia antica ma anche nella storia successiva logici e filosofi hanno fornito numerosi esempi

I paradossi hanno sempre attirato un grande interesse da parte degli studiosi di logica e la loro esistenza egrave stata importantissima anche per la storia della matematica

Attorno al VI secolo aC raccogliendo lereditagrave dei matematici egiziani e babilonesi con gli studiosi ellenici nacquero i due processi principali su cui si basa lorganizzazione logica della matematica lastrazione (ricavare una regola generale dallosservazione di fenomeni particolari diversi) e la deduzione (partendo da alcune premesse ricavare una conclusione coerente con le assunzioni del ragionamento)

Nel V secolo aC Zenone enuncia i famosi paradossi (famoso quello di Achille e la Tartaruga)

Nel IV secolo aC Aristotele codifica le leggi del ragionamento logico mentre Euclide organizza negli Elementi i teoremi di geometria e di teoria dei numeri ottenuti dalla cultura matematica greca dellepoca Procede per definizioni postulati e teoremi con una esposizione che egrave rimasta classica per ogni tempo punto di riferimento per ogni teoria (vedi )

Continua Logica e Matematica

In tempi pressocheacute contemporanei ad Aristotele la logica esce dal contesto della retorica e inizia a essere utilizzata in maniera rigorosa anche in matematica in particolare in geometria con Euclide di Alessandria (365 AC - 300 AC) il quale nei suoi ldquoElementirdquo espone e tratta in maniera rigorosa la geometria piana partendo da postulati geometrici che lui considera evidenti e giustificati dalla realtagrave sensibile e da assiomi (che chiama nozioni comuni) che sono regole considerate evidenti e basate sul ragionamento logico

A partire dai postulati Euclide dimostra i teoremi utilizzando le regole di inferenza logica fornendo un grande esempio duso della logica in matematica

Anche in questo Euclide egrave stato un modello per molti matematici nei secoli successivi in tredici libri organizzograve tutti i teoremi di geometria e di teoria dei numeri della matematica greca dellepoca con una esposizione rimasta classica fino a oggi

Gli Elementi che fino al XIX secolo fu il testo piugrave diffuso dopo la Bibbia rappresentograve cosigrave la sistemazione delle conoscenze geometriche ldquoelementarirdquo e aprigrave la strada a ricerche di carattere ldquosuperiorerdquo

Medioevo trivio e quadrivio poi hellip Logica Matematica

La Matematica egrave sempre stata considerata genericamente come la ldquoScienza dei Numerirdquohellip Una simile definizione egrave parziale anche riferita solo al Medioevo durante il quale la

Matematica era insegnata nelle Universitagrave come arte liberale Nelle facoltagrave di Filosofia infatti venivano apprese le arti del Trivio (complesso delle discipline letterali costituito da Grammatica Retorica Logica) e del Quadrivio (complesso delle discipline scientifiche costituito dalla matematica ldquopurardquo Aritmetica e Geometria e dalla matematica ldquomistardquo Musica e Astronomia viste come loro rispettive applicazioni) Tale facoltagrave era la piugrave importante per il numero di studenti che la frequentavano e che dopo aver concluso i corsi potevano proseguire gli studi in una delle altre tre facoltagrave (Teologia Diritto Medicina)hellip

Successivamente a partire dal XVII secolo gli studi sulla logica iniziano a indirizzarsi decisamente verso la nascita della logica matematica allontanandosi da quella che possiamo definire logica filosofica che fino a quel momento era stata la piugrave studiata

I ragionamenti logici vengono formalizzati in modo da poter essere calcolati utilizzando un linguaggio formale che permetta un perfetto controllo delle dimostrazioni Cosigrave tra la fine del XIX e linizio del XX secolo la logica diventa lo strumento per lo sviluppo rigoroso e formale della matematica

Vero hellip o solo logicamente valido

Inoltre il rapporto sempre piugrave stretto tra logica e matematica produce risultati inaspettati viene compresa la differenza tra veritagrave e validitagrave logica Per secoli i matematici hanno pensato che le teorie matematiche e in particolare la geometria rappresentassero veritagrave assolute e che fosse loro compito scoprirle La nascita delle geometrie non-euclidee (a cui i matematici giungono nellOttocento dopo secoli di studi sul V postulato euclideo) fa comprendere che la scelta degli assiomi puograve essere del tutto arbitraria (purcheacute non portino a contraddizioni) e che ciograve che si deriva da essi egrave da considerarsi logicamente valido e non piugrave vero in senso assoluto

Ciograve che gli assiomi predicano puograve essere contrario a ciograve che suggerisce lesperienza ma ciograve che egrave possibile dimostrare a partire da essi risulta in ogni caso logicamente valido per cui non esiste piugrave una teoria vera che costringa le altre a essere false Di conseguenza egrave possibile creare diverse teorie non equivalenti ma tutte ugualmente coerenti e allora il problema principale della logica cambia natura e consiste nello sviluppare una teoria assicurandone la coerenza Per coerenza (consistenza) si intende il fatto che allinterno di tale teoria non egrave possibile dimostrare un teorema e la sua negazione

Paradosso di Russell ndash indovinelli e giochi

Allinizio del ventesimo secolo la logica viene usata per dare fondamento alla teoria intuitiva degli insiemi da Georg Cantor e Gottlob Frege

Proprio da questa prima formalizzazione (detta ingenua) nascono i primi problemi paradossali riguardanti logica e matematica proprio mentre Frege si accingeva a pubblicare i suoi risultati il matematico e filosofo Bertrand Russell (1872-1970) enuncia quello che egrave universalmente noto come paradosso di Russell che mina le basi della teoria di Cantor-Frege Questultima deve essere abbandonata e piugrave tardi viene sostituita dalla teoria assiomatica degli insiemi introdotta da Zermelo e perfezionata da Fraenkel

Oggi la logica egrave lo strumento privilegiato per lo sviluppo della matematica percheacute permette di procedere attraverso regole ben precise che assicurano la correttezza delle dimostrazioni

Cegrave da dire infine che la logica oltre a tutti i suoi utilizzi linguistici e matematici presenta anche un aspetto ludico Utilizzando la logica egrave possibile dare vita ad un numero elevatissimo di indovinelli e giochi che stuzzicando la mente rendono questa disciplina piugrave facilmente avvicinabile da tutti E forse anche piugrave divertente

Qualche paradosso

bull Il paradosso del mentitore Ersquo questo il piugrave celebre dei paradossi quello che ha conosciuto maggiore fortuna nella storia del pensiero impegnando per la sua soluzione una numerosa schiera di filosofi e logici La formulazione piugrave vicina a quella originale di Eubulide sembra quella tramandataci da Cicerone Se dici che menti e in ciograve dici il vero menti o dici la veritagrave

Di questo paradosso sono note anche altre versioni una delle piugrave celebri egrave la seguenteEpimenide cretese afferma che tutti i cretesi sono bugiardi Ersquo vero o no quanto afferma Epimenide

La sua forma piugrave semplice Assai semplicemente esso puograve venire espresso con lrsquoasserto ldquoquesto enunciato egrave falsordquo Ersquo lrsquoenunciato vero o falso

Il paradosso del postino Il postino prende la posta per tutti coloro che non se la prendono da soli ed ovviamente non prende la posta per tutti coloro che la prendono da soli Ma allora chi prende la posta del postino Se egrave lo stesso postino che prende la posta allora ne deriva che egli non prende la posta per se se invece non la prende allora si presume che egli la prende

Il paradosso del barbiere Presentato da Russell egrave del tutto simile a quello del postino Il barbiere fa la barba a tutti coloro che non la fanno da seacute Chi fa la barba al barbiere

Ed ora veniamo

al dunque

Logica Aristotelica e Megarico-Stoica

Aristotele indicava cosigrave i tre principi logici fondamentalii tre principi logici fondamentali riguar-danti la Logica dei Predicati validi anche per la Logica delle Proposizioni ( o degli Enunciati)

1- Principio di non contraddizione una proposizione e la sua negazione non possono essere contemporaneamente vere 2- Principio di identitagrave ogni proposizione egrave uguale (equivale)

a se stessa3- Principio del terzo escluso tra una proposizione e la sua negazione

almeno una egrave vera (e quindi per il n1 una sola) cioegrave una proposizione o egrave vera o egrave falsa

(non crsquoegrave una terza possibilitagrave) (tertium non datur)

LOGICA ARISTOTELICA qualche esempio di ragionamento (sillogismo)

LOGICA DEI PREDICATILOGICA DEI PREDICATILa logica aristotelica prevedeva lrsquoanalisi interna di alcuni tipidi proposizioni (universali particolari affermative negative) e lo studio dei sillogismi (Un sillogismo ha due premesse e una conclusione)

mentre la logica megarico-stoica non diversificava le proposizioni

Le proposizioni secondo Aristotele1048708 tipo A - Universale affermativaad esempio Tutti gli orsi sono vertebrati1048708 tipo I - Particolare affermativaad esempio Alcuni uccelli sono rapaci1048708 tipo E - Universale negativaad esempio Tutti gli orsi non sono pesci(ovvero Nessun orso egrave un pesce)1048708 tipo O - Particolare negativaad esempio Alcuni uccelli non sono rapaci

Sillogismo di tipo E A E

( CELAR ENT )E Nessun mammifero egrave un pesceA Tutti gli uomini sono mammiferi------------------------ E Nessun uomo egrave un pesce

Sillogismo di tipo A A A

( BARBARA )A Tutti i viventi invecchianoA Tutti i vegetali sono viventi------------------------ A Tutti i vegetali invecchiano

LOGICA ARISTOTELICA qualche esempio di ragionamento (sillogismo)

A(tutti sono europei)(tutti gli uomini sono europei)

E (tutti sono non europeicioegrave nessuno egrave europeo)(nessun uomo egrave europeo)

I = notE(esiste un europeo)(esiste almeno un uomo che egrave europeo)

O = notA(esiste un non europeo(esiste almeno un uomo che non egrave

europeo)cioegrave non tutti sono europei)

Altri esempi di tipi di Sillogismo i tipi corretti di Sillogismo sono 19 su 256(44)

Sillogismo di tipo A I I

( D A R I I )A Tutti gli uomini sono mortaliI Socrate egrave un uomo------------------------ I Socrate egrave mortale

Sillogismo di tipo A O O

( BAROCO )A Tutti i gatti sono esseri viventiO La Luna non egrave un essere vivente------------------------ O La Luna non egrave un gatto

Sillogismo di tipo E I O

( FERIO )E Nessun amico egrave un traditoreI Franco egrave un amico------------------------ O Franco non egrave un traditore

Sillogismo di tipo A A I

( DARAPTI )A Tutti i Pini sono ConifereA Tutti i Pini sono Vegetali------------------------ I Alcuni Vegetali sono Conifere

Adesso immaginiamo che le proposizioni ci vengano

nascoste

Possiamo solo sapere se sono vere o false ma nessuno ci dagrave

altre informazioni

1048708 Diremo enunciato o proposizione unrsquoaffermazioneche assume uno ed un solo valore di veritagrave

vero o falso1048708 Tale caratteristica egrave tuttrsquoaltro che banale infatti nontutte le affermazioni assumono incontestabilmente unoed un solo valore di veritagrave1048708 Alcuni enunciati sono costituiti da una solaaffermazione (laquoAtene egrave in Greciaraquo) e sono dettienunciati atomici1048708 Nella logica proposizionale prescinderemo dallaldquostruttura internardquo degli enunciati

Logica delle Proposizioni o EnunciatiLogica delle Proposizioni o Enunciati

Veritagrave e falsitagrave1048708 Enunciati composti sono costituiti da piugrave affermazioni collegate da

opportune parole (connettivi) comee o se allora se e solo se non o o

aut

1048708 I connettivi collegano gli enunciati senza riguardo al significato che possono assumere quelli lrsquounica caratteristica

che viene indicata nella loro definizione egrave quale valore di veritagrave abbia lrsquoenunciato composto a partire soltanto dai valori di veritagrave assegnati agli enunciati componenti

1048708 Le tavole di veritagrave riassumono (in versione moderna) le definizioni dei connettivi

Proposizioni hellip e Connettivi LogiciProposizioni hellip e Connettivi Logici

se e solo se allora

a b a b

V V V

V F F

F V F

F F V

ooa b a aut b

V V F

V F V

F V V

F F F

nona nota

V F

F V

Se allora

a b a b

V V V

V F F

F V V

F F V

ea b ab

V V V

V F F

F V F

F F F

oa b ab

V V V

V F V

F V V

F F F

Tavole di Veritagrave dei Connettivi Logici

Tavole di VeritagraveTavole di Veritagrave

ldquoEX FALSO SEQUITUR QUODLIBETrdquo

RIFERIMENTIldquoStoria della Matematica fino al 1200 Storia dello zerordquoppt profssa Francesca RussoldquoTavola dei Sillogismirdquo di Alessandro SalernoldquoSTSC-WEB(5)rdquopdf di Giorgio TBagnildquoLogica Fregeanardquopdf da GBoniolo P Vidali Filosofia della scienzaBMondadorildquoBreve storia della Logicardquo di Marco Pivetta ndash ubib060412s003pdf ndash httpulissesissait

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La Matematica si apprende studiando

oggetto dellrsquoapprendimento (da imparare)

Secondo Anatolio (santo e vescovo di Laodicea studioso di Matematica 269 dC) i Peripatetici (discepoli di Aristotele IV sec aC) affermavano che ldquomentre la retorica la poesia e la musica popolare possono essere praticate anche senza essere studiate nessuno puograve capire le cose che vengono chiamate con il nome di matematica senza averle prima studiaterdquo e per questa ragione ldquola teoria di queste cose egrave detta Matematicardquo

Logica e ragionamenti

La logica nasce come disciplina che studia i principi e le regole del ragionamento ne valuta la correttezza e ne formalizza luso

Fin dallantichitagrave la logica egrave stata molto studiata nella Grecia classica il piugrave famoso e importante pensatore che si egrave dedicato alla logica fu Aristotele (384 ac-322 ac)

Le regole di inferenza logica cioegrave le regole per cui date alcune premesse egrave possibile raggiungere una conclusione sono considerate evidenti di per seacute sono considerate valide e sono presenti naturalmente nel nostro modo di ragionare

Per i Greci la logica aveva grande importanza percheacute stava alla base della retorica Di conseguenza la studiavano soprattutto dal punto di vista linguistico valutandone il corretto utilizzo nellambito del linguaggio naturale Questo approccio rimarragrave per lungo tempo quello piugrave seguito e adottato

Un porsquo di storia della Logica

Ponendo laccento sulla retorica uno degli aspetti piugrave interessanti egrave dato dai cosiddetti paradossi (paragrave + doxa = contro lopinione comune) e antinomie (anti + nomos = contro la legge) logiche frasi dotate di significato se considerate dal punto di vista esclusivamente linguistico ma che dal punto di vista logico risultano contraddittorie I primi esempi di paradossi vengono proprio dalla Grecia antica ma anche nella storia successiva logici e filosofi hanno fornito numerosi esempi

I paradossi hanno sempre attirato un grande interesse da parte degli studiosi di logica e la loro esistenza egrave stata importantissima anche per la storia della matematica

Attorno al VI secolo aC raccogliendo lereditagrave dei matematici egiziani e babilonesi con gli studiosi ellenici nacquero i due processi principali su cui si basa lorganizzazione logica della matematica lastrazione (ricavare una regola generale dallosservazione di fenomeni particolari diversi) e la deduzione (partendo da alcune premesse ricavare una conclusione coerente con le assunzioni del ragionamento)

Nel V secolo aC Zenone enuncia i famosi paradossi (famoso quello di Achille e la Tartaruga)

Nel IV secolo aC Aristotele codifica le leggi del ragionamento logico mentre Euclide organizza negli Elementi i teoremi di geometria e di teoria dei numeri ottenuti dalla cultura matematica greca dellepoca Procede per definizioni postulati e teoremi con una esposizione che egrave rimasta classica per ogni tempo punto di riferimento per ogni teoria (vedi )

Continua Logica e Matematica

In tempi pressocheacute contemporanei ad Aristotele la logica esce dal contesto della retorica e inizia a essere utilizzata in maniera rigorosa anche in matematica in particolare in geometria con Euclide di Alessandria (365 AC - 300 AC) il quale nei suoi ldquoElementirdquo espone e tratta in maniera rigorosa la geometria piana partendo da postulati geometrici che lui considera evidenti e giustificati dalla realtagrave sensibile e da assiomi (che chiama nozioni comuni) che sono regole considerate evidenti e basate sul ragionamento logico

A partire dai postulati Euclide dimostra i teoremi utilizzando le regole di inferenza logica fornendo un grande esempio duso della logica in matematica

Anche in questo Euclide egrave stato un modello per molti matematici nei secoli successivi in tredici libri organizzograve tutti i teoremi di geometria e di teoria dei numeri della matematica greca dellepoca con una esposizione rimasta classica fino a oggi

Gli Elementi che fino al XIX secolo fu il testo piugrave diffuso dopo la Bibbia rappresentograve cosigrave la sistemazione delle conoscenze geometriche ldquoelementarirdquo e aprigrave la strada a ricerche di carattere ldquosuperiorerdquo

Medioevo trivio e quadrivio poi hellip Logica Matematica

La Matematica egrave sempre stata considerata genericamente come la ldquoScienza dei Numerirdquohellip Una simile definizione egrave parziale anche riferita solo al Medioevo durante il quale la

Matematica era insegnata nelle Universitagrave come arte liberale Nelle facoltagrave di Filosofia infatti venivano apprese le arti del Trivio (complesso delle discipline letterali costituito da Grammatica Retorica Logica) e del Quadrivio (complesso delle discipline scientifiche costituito dalla matematica ldquopurardquo Aritmetica e Geometria e dalla matematica ldquomistardquo Musica e Astronomia viste come loro rispettive applicazioni) Tale facoltagrave era la piugrave importante per il numero di studenti che la frequentavano e che dopo aver concluso i corsi potevano proseguire gli studi in una delle altre tre facoltagrave (Teologia Diritto Medicina)hellip

Successivamente a partire dal XVII secolo gli studi sulla logica iniziano a indirizzarsi decisamente verso la nascita della logica matematica allontanandosi da quella che possiamo definire logica filosofica che fino a quel momento era stata la piugrave studiata

I ragionamenti logici vengono formalizzati in modo da poter essere calcolati utilizzando un linguaggio formale che permetta un perfetto controllo delle dimostrazioni Cosigrave tra la fine del XIX e linizio del XX secolo la logica diventa lo strumento per lo sviluppo rigoroso e formale della matematica

Vero hellip o solo logicamente valido

Inoltre il rapporto sempre piugrave stretto tra logica e matematica produce risultati inaspettati viene compresa la differenza tra veritagrave e validitagrave logica Per secoli i matematici hanno pensato che le teorie matematiche e in particolare la geometria rappresentassero veritagrave assolute e che fosse loro compito scoprirle La nascita delle geometrie non-euclidee (a cui i matematici giungono nellOttocento dopo secoli di studi sul V postulato euclideo) fa comprendere che la scelta degli assiomi puograve essere del tutto arbitraria (purcheacute non portino a contraddizioni) e che ciograve che si deriva da essi egrave da considerarsi logicamente valido e non piugrave vero in senso assoluto

Ciograve che gli assiomi predicano puograve essere contrario a ciograve che suggerisce lesperienza ma ciograve che egrave possibile dimostrare a partire da essi risulta in ogni caso logicamente valido per cui non esiste piugrave una teoria vera che costringa le altre a essere false Di conseguenza egrave possibile creare diverse teorie non equivalenti ma tutte ugualmente coerenti e allora il problema principale della logica cambia natura e consiste nello sviluppare una teoria assicurandone la coerenza Per coerenza (consistenza) si intende il fatto che allinterno di tale teoria non egrave possibile dimostrare un teorema e la sua negazione

Paradosso di Russell ndash indovinelli e giochi

Allinizio del ventesimo secolo la logica viene usata per dare fondamento alla teoria intuitiva degli insiemi da Georg Cantor e Gottlob Frege

Proprio da questa prima formalizzazione (detta ingenua) nascono i primi problemi paradossali riguardanti logica e matematica proprio mentre Frege si accingeva a pubblicare i suoi risultati il matematico e filosofo Bertrand Russell (1872-1970) enuncia quello che egrave universalmente noto come paradosso di Russell che mina le basi della teoria di Cantor-Frege Questultima deve essere abbandonata e piugrave tardi viene sostituita dalla teoria assiomatica degli insiemi introdotta da Zermelo e perfezionata da Fraenkel

Oggi la logica egrave lo strumento privilegiato per lo sviluppo della matematica percheacute permette di procedere attraverso regole ben precise che assicurano la correttezza delle dimostrazioni

Cegrave da dire infine che la logica oltre a tutti i suoi utilizzi linguistici e matematici presenta anche un aspetto ludico Utilizzando la logica egrave possibile dare vita ad un numero elevatissimo di indovinelli e giochi che stuzzicando la mente rendono questa disciplina piugrave facilmente avvicinabile da tutti E forse anche piugrave divertente

Qualche paradosso

bull Il paradosso del mentitore Ersquo questo il piugrave celebre dei paradossi quello che ha conosciuto maggiore fortuna nella storia del pensiero impegnando per la sua soluzione una numerosa schiera di filosofi e logici La formulazione piugrave vicina a quella originale di Eubulide sembra quella tramandataci da Cicerone Se dici che menti e in ciograve dici il vero menti o dici la veritagrave

Di questo paradosso sono note anche altre versioni una delle piugrave celebri egrave la seguenteEpimenide cretese afferma che tutti i cretesi sono bugiardi Ersquo vero o no quanto afferma Epimenide

La sua forma piugrave semplice Assai semplicemente esso puograve venire espresso con lrsquoasserto ldquoquesto enunciato egrave falsordquo Ersquo lrsquoenunciato vero o falso

Il paradosso del postino Il postino prende la posta per tutti coloro che non se la prendono da soli ed ovviamente non prende la posta per tutti coloro che la prendono da soli Ma allora chi prende la posta del postino Se egrave lo stesso postino che prende la posta allora ne deriva che egli non prende la posta per se se invece non la prende allora si presume che egli la prende

Il paradosso del barbiere Presentato da Russell egrave del tutto simile a quello del postino Il barbiere fa la barba a tutti coloro che non la fanno da seacute Chi fa la barba al barbiere

Ed ora veniamo

al dunque

Logica Aristotelica e Megarico-Stoica

Aristotele indicava cosigrave i tre principi logici fondamentalii tre principi logici fondamentali riguar-danti la Logica dei Predicati validi anche per la Logica delle Proposizioni ( o degli Enunciati)

1- Principio di non contraddizione una proposizione e la sua negazione non possono essere contemporaneamente vere 2- Principio di identitagrave ogni proposizione egrave uguale (equivale)

a se stessa3- Principio del terzo escluso tra una proposizione e la sua negazione

almeno una egrave vera (e quindi per il n1 una sola) cioegrave una proposizione o egrave vera o egrave falsa

(non crsquoegrave una terza possibilitagrave) (tertium non datur)

LOGICA ARISTOTELICA qualche esempio di ragionamento (sillogismo)

LOGICA DEI PREDICATILOGICA DEI PREDICATILa logica aristotelica prevedeva lrsquoanalisi interna di alcuni tipidi proposizioni (universali particolari affermative negative) e lo studio dei sillogismi (Un sillogismo ha due premesse e una conclusione)

mentre la logica megarico-stoica non diversificava le proposizioni

Le proposizioni secondo Aristotele1048708 tipo A - Universale affermativaad esempio Tutti gli orsi sono vertebrati1048708 tipo I - Particolare affermativaad esempio Alcuni uccelli sono rapaci1048708 tipo E - Universale negativaad esempio Tutti gli orsi non sono pesci(ovvero Nessun orso egrave un pesce)1048708 tipo O - Particolare negativaad esempio Alcuni uccelli non sono rapaci

Sillogismo di tipo E A E

( CELAR ENT )E Nessun mammifero egrave un pesceA Tutti gli uomini sono mammiferi------------------------ E Nessun uomo egrave un pesce

Sillogismo di tipo A A A

( BARBARA )A Tutti i viventi invecchianoA Tutti i vegetali sono viventi------------------------ A Tutti i vegetali invecchiano

LOGICA ARISTOTELICA qualche esempio di ragionamento (sillogismo)

A(tutti sono europei)(tutti gli uomini sono europei)

E (tutti sono non europeicioegrave nessuno egrave europeo)(nessun uomo egrave europeo)

I = notE(esiste un europeo)(esiste almeno un uomo che egrave europeo)

O = notA(esiste un non europeo(esiste almeno un uomo che non egrave

europeo)cioegrave non tutti sono europei)

Altri esempi di tipi di Sillogismo i tipi corretti di Sillogismo sono 19 su 256(44)

Sillogismo di tipo A I I

( D A R I I )A Tutti gli uomini sono mortaliI Socrate egrave un uomo------------------------ I Socrate egrave mortale

Sillogismo di tipo A O O

( BAROCO )A Tutti i gatti sono esseri viventiO La Luna non egrave un essere vivente------------------------ O La Luna non egrave un gatto

Sillogismo di tipo E I O

( FERIO )E Nessun amico egrave un traditoreI Franco egrave un amico------------------------ O Franco non egrave un traditore

Sillogismo di tipo A A I

( DARAPTI )A Tutti i Pini sono ConifereA Tutti i Pini sono Vegetali------------------------ I Alcuni Vegetali sono Conifere

Adesso immaginiamo che le proposizioni ci vengano

nascoste

Possiamo solo sapere se sono vere o false ma nessuno ci dagrave

altre informazioni

1048708 Diremo enunciato o proposizione unrsquoaffermazioneche assume uno ed un solo valore di veritagrave

vero o falso1048708 Tale caratteristica egrave tuttrsquoaltro che banale infatti nontutte le affermazioni assumono incontestabilmente unoed un solo valore di veritagrave1048708 Alcuni enunciati sono costituiti da una solaaffermazione (laquoAtene egrave in Greciaraquo) e sono dettienunciati atomici1048708 Nella logica proposizionale prescinderemo dallaldquostruttura internardquo degli enunciati

Logica delle Proposizioni o EnunciatiLogica delle Proposizioni o Enunciati

Veritagrave e falsitagrave1048708 Enunciati composti sono costituiti da piugrave affermazioni collegate da

opportune parole (connettivi) comee o se allora se e solo se non o o

aut

1048708 I connettivi collegano gli enunciati senza riguardo al significato che possono assumere quelli lrsquounica caratteristica

che viene indicata nella loro definizione egrave quale valore di veritagrave abbia lrsquoenunciato composto a partire soltanto dai valori di veritagrave assegnati agli enunciati componenti

1048708 Le tavole di veritagrave riassumono (in versione moderna) le definizioni dei connettivi

Proposizioni hellip e Connettivi LogiciProposizioni hellip e Connettivi Logici

se e solo se allora

a b a b

V V V

V F F

F V F

F F V

ooa b a aut b

V V F

V F V

F V V

F F F

nona nota

V F

F V

Se allora

a b a b

V V V

V F F

F V V

F F V

ea b ab

V V V

V F F

F V F

F F F

oa b ab

V V V

V F V

F V V

F F F

Tavole di Veritagrave dei Connettivi Logici

Tavole di VeritagraveTavole di Veritagrave

ldquoEX FALSO SEQUITUR QUODLIBETrdquo

RIFERIMENTIldquoStoria della Matematica fino al 1200 Storia dello zerordquoppt profssa Francesca RussoldquoTavola dei Sillogismirdquo di Alessandro SalernoldquoSTSC-WEB(5)rdquopdf di Giorgio TBagnildquoLogica Fregeanardquopdf da GBoniolo P Vidali Filosofia della scienzaBMondadorildquoBreve storia della Logicardquo di Marco Pivetta ndash ubib060412s003pdf ndash httpulissesissait

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Page 4: LogicaMatematica: Logica delle Proposizioni Logica dei Predicati I.T.E. L. EINAUDI Porto S. Elpidio Logica Matematica: un po di Storia Logica delle Proposizioni.

Logica e ragionamenti

La logica nasce come disciplina che studia i principi e le regole del ragionamento ne valuta la correttezza e ne formalizza luso

Fin dallantichitagrave la logica egrave stata molto studiata nella Grecia classica il piugrave famoso e importante pensatore che si egrave dedicato alla logica fu Aristotele (384 ac-322 ac)

Le regole di inferenza logica cioegrave le regole per cui date alcune premesse egrave possibile raggiungere una conclusione sono considerate evidenti di per seacute sono considerate valide e sono presenti naturalmente nel nostro modo di ragionare

Per i Greci la logica aveva grande importanza percheacute stava alla base della retorica Di conseguenza la studiavano soprattutto dal punto di vista linguistico valutandone il corretto utilizzo nellambito del linguaggio naturale Questo approccio rimarragrave per lungo tempo quello piugrave seguito e adottato

Un porsquo di storia della Logica

Ponendo laccento sulla retorica uno degli aspetti piugrave interessanti egrave dato dai cosiddetti paradossi (paragrave + doxa = contro lopinione comune) e antinomie (anti + nomos = contro la legge) logiche frasi dotate di significato se considerate dal punto di vista esclusivamente linguistico ma che dal punto di vista logico risultano contraddittorie I primi esempi di paradossi vengono proprio dalla Grecia antica ma anche nella storia successiva logici e filosofi hanno fornito numerosi esempi

I paradossi hanno sempre attirato un grande interesse da parte degli studiosi di logica e la loro esistenza egrave stata importantissima anche per la storia della matematica

Attorno al VI secolo aC raccogliendo lereditagrave dei matematici egiziani e babilonesi con gli studiosi ellenici nacquero i due processi principali su cui si basa lorganizzazione logica della matematica lastrazione (ricavare una regola generale dallosservazione di fenomeni particolari diversi) e la deduzione (partendo da alcune premesse ricavare una conclusione coerente con le assunzioni del ragionamento)

Nel V secolo aC Zenone enuncia i famosi paradossi (famoso quello di Achille e la Tartaruga)

Nel IV secolo aC Aristotele codifica le leggi del ragionamento logico mentre Euclide organizza negli Elementi i teoremi di geometria e di teoria dei numeri ottenuti dalla cultura matematica greca dellepoca Procede per definizioni postulati e teoremi con una esposizione che egrave rimasta classica per ogni tempo punto di riferimento per ogni teoria (vedi )

Continua Logica e Matematica

In tempi pressocheacute contemporanei ad Aristotele la logica esce dal contesto della retorica e inizia a essere utilizzata in maniera rigorosa anche in matematica in particolare in geometria con Euclide di Alessandria (365 AC - 300 AC) il quale nei suoi ldquoElementirdquo espone e tratta in maniera rigorosa la geometria piana partendo da postulati geometrici che lui considera evidenti e giustificati dalla realtagrave sensibile e da assiomi (che chiama nozioni comuni) che sono regole considerate evidenti e basate sul ragionamento logico

A partire dai postulati Euclide dimostra i teoremi utilizzando le regole di inferenza logica fornendo un grande esempio duso della logica in matematica

Anche in questo Euclide egrave stato un modello per molti matematici nei secoli successivi in tredici libri organizzograve tutti i teoremi di geometria e di teoria dei numeri della matematica greca dellepoca con una esposizione rimasta classica fino a oggi

Gli Elementi che fino al XIX secolo fu il testo piugrave diffuso dopo la Bibbia rappresentograve cosigrave la sistemazione delle conoscenze geometriche ldquoelementarirdquo e aprigrave la strada a ricerche di carattere ldquosuperiorerdquo

Medioevo trivio e quadrivio poi hellip Logica Matematica

La Matematica egrave sempre stata considerata genericamente come la ldquoScienza dei Numerirdquohellip Una simile definizione egrave parziale anche riferita solo al Medioevo durante il quale la

Matematica era insegnata nelle Universitagrave come arte liberale Nelle facoltagrave di Filosofia infatti venivano apprese le arti del Trivio (complesso delle discipline letterali costituito da Grammatica Retorica Logica) e del Quadrivio (complesso delle discipline scientifiche costituito dalla matematica ldquopurardquo Aritmetica e Geometria e dalla matematica ldquomistardquo Musica e Astronomia viste come loro rispettive applicazioni) Tale facoltagrave era la piugrave importante per il numero di studenti che la frequentavano e che dopo aver concluso i corsi potevano proseguire gli studi in una delle altre tre facoltagrave (Teologia Diritto Medicina)hellip

Successivamente a partire dal XVII secolo gli studi sulla logica iniziano a indirizzarsi decisamente verso la nascita della logica matematica allontanandosi da quella che possiamo definire logica filosofica che fino a quel momento era stata la piugrave studiata

I ragionamenti logici vengono formalizzati in modo da poter essere calcolati utilizzando un linguaggio formale che permetta un perfetto controllo delle dimostrazioni Cosigrave tra la fine del XIX e linizio del XX secolo la logica diventa lo strumento per lo sviluppo rigoroso e formale della matematica

Vero hellip o solo logicamente valido

Inoltre il rapporto sempre piugrave stretto tra logica e matematica produce risultati inaspettati viene compresa la differenza tra veritagrave e validitagrave logica Per secoli i matematici hanno pensato che le teorie matematiche e in particolare la geometria rappresentassero veritagrave assolute e che fosse loro compito scoprirle La nascita delle geometrie non-euclidee (a cui i matematici giungono nellOttocento dopo secoli di studi sul V postulato euclideo) fa comprendere che la scelta degli assiomi puograve essere del tutto arbitraria (purcheacute non portino a contraddizioni) e che ciograve che si deriva da essi egrave da considerarsi logicamente valido e non piugrave vero in senso assoluto

Ciograve che gli assiomi predicano puograve essere contrario a ciograve che suggerisce lesperienza ma ciograve che egrave possibile dimostrare a partire da essi risulta in ogni caso logicamente valido per cui non esiste piugrave una teoria vera che costringa le altre a essere false Di conseguenza egrave possibile creare diverse teorie non equivalenti ma tutte ugualmente coerenti e allora il problema principale della logica cambia natura e consiste nello sviluppare una teoria assicurandone la coerenza Per coerenza (consistenza) si intende il fatto che allinterno di tale teoria non egrave possibile dimostrare un teorema e la sua negazione

Paradosso di Russell ndash indovinelli e giochi

Allinizio del ventesimo secolo la logica viene usata per dare fondamento alla teoria intuitiva degli insiemi da Georg Cantor e Gottlob Frege

Proprio da questa prima formalizzazione (detta ingenua) nascono i primi problemi paradossali riguardanti logica e matematica proprio mentre Frege si accingeva a pubblicare i suoi risultati il matematico e filosofo Bertrand Russell (1872-1970) enuncia quello che egrave universalmente noto come paradosso di Russell che mina le basi della teoria di Cantor-Frege Questultima deve essere abbandonata e piugrave tardi viene sostituita dalla teoria assiomatica degli insiemi introdotta da Zermelo e perfezionata da Fraenkel

Oggi la logica egrave lo strumento privilegiato per lo sviluppo della matematica percheacute permette di procedere attraverso regole ben precise che assicurano la correttezza delle dimostrazioni

Cegrave da dire infine che la logica oltre a tutti i suoi utilizzi linguistici e matematici presenta anche un aspetto ludico Utilizzando la logica egrave possibile dare vita ad un numero elevatissimo di indovinelli e giochi che stuzzicando la mente rendono questa disciplina piugrave facilmente avvicinabile da tutti E forse anche piugrave divertente

Qualche paradosso

bull Il paradosso del mentitore Ersquo questo il piugrave celebre dei paradossi quello che ha conosciuto maggiore fortuna nella storia del pensiero impegnando per la sua soluzione una numerosa schiera di filosofi e logici La formulazione piugrave vicina a quella originale di Eubulide sembra quella tramandataci da Cicerone Se dici che menti e in ciograve dici il vero menti o dici la veritagrave

Di questo paradosso sono note anche altre versioni una delle piugrave celebri egrave la seguenteEpimenide cretese afferma che tutti i cretesi sono bugiardi Ersquo vero o no quanto afferma Epimenide

La sua forma piugrave semplice Assai semplicemente esso puograve venire espresso con lrsquoasserto ldquoquesto enunciato egrave falsordquo Ersquo lrsquoenunciato vero o falso

Il paradosso del postino Il postino prende la posta per tutti coloro che non se la prendono da soli ed ovviamente non prende la posta per tutti coloro che la prendono da soli Ma allora chi prende la posta del postino Se egrave lo stesso postino che prende la posta allora ne deriva che egli non prende la posta per se se invece non la prende allora si presume che egli la prende

Il paradosso del barbiere Presentato da Russell egrave del tutto simile a quello del postino Il barbiere fa la barba a tutti coloro che non la fanno da seacute Chi fa la barba al barbiere

Ed ora veniamo

al dunque

Logica Aristotelica e Megarico-Stoica

Aristotele indicava cosigrave i tre principi logici fondamentalii tre principi logici fondamentali riguar-danti la Logica dei Predicati validi anche per la Logica delle Proposizioni ( o degli Enunciati)

1- Principio di non contraddizione una proposizione e la sua negazione non possono essere contemporaneamente vere 2- Principio di identitagrave ogni proposizione egrave uguale (equivale)

a se stessa3- Principio del terzo escluso tra una proposizione e la sua negazione

almeno una egrave vera (e quindi per il n1 una sola) cioegrave una proposizione o egrave vera o egrave falsa

(non crsquoegrave una terza possibilitagrave) (tertium non datur)

LOGICA ARISTOTELICA qualche esempio di ragionamento (sillogismo)

LOGICA DEI PREDICATILOGICA DEI PREDICATILa logica aristotelica prevedeva lrsquoanalisi interna di alcuni tipidi proposizioni (universali particolari affermative negative) e lo studio dei sillogismi (Un sillogismo ha due premesse e una conclusione)

mentre la logica megarico-stoica non diversificava le proposizioni

Le proposizioni secondo Aristotele1048708 tipo A - Universale affermativaad esempio Tutti gli orsi sono vertebrati1048708 tipo I - Particolare affermativaad esempio Alcuni uccelli sono rapaci1048708 tipo E - Universale negativaad esempio Tutti gli orsi non sono pesci(ovvero Nessun orso egrave un pesce)1048708 tipo O - Particolare negativaad esempio Alcuni uccelli non sono rapaci

Sillogismo di tipo E A E

( CELAR ENT )E Nessun mammifero egrave un pesceA Tutti gli uomini sono mammiferi------------------------ E Nessun uomo egrave un pesce

Sillogismo di tipo A A A

( BARBARA )A Tutti i viventi invecchianoA Tutti i vegetali sono viventi------------------------ A Tutti i vegetali invecchiano

LOGICA ARISTOTELICA qualche esempio di ragionamento (sillogismo)

A(tutti sono europei)(tutti gli uomini sono europei)

E (tutti sono non europeicioegrave nessuno egrave europeo)(nessun uomo egrave europeo)

I = notE(esiste un europeo)(esiste almeno un uomo che egrave europeo)

O = notA(esiste un non europeo(esiste almeno un uomo che non egrave

europeo)cioegrave non tutti sono europei)

Altri esempi di tipi di Sillogismo i tipi corretti di Sillogismo sono 19 su 256(44)

Sillogismo di tipo A I I

( D A R I I )A Tutti gli uomini sono mortaliI Socrate egrave un uomo------------------------ I Socrate egrave mortale

Sillogismo di tipo A O O

( BAROCO )A Tutti i gatti sono esseri viventiO La Luna non egrave un essere vivente------------------------ O La Luna non egrave un gatto

Sillogismo di tipo E I O

( FERIO )E Nessun amico egrave un traditoreI Franco egrave un amico------------------------ O Franco non egrave un traditore

Sillogismo di tipo A A I

( DARAPTI )A Tutti i Pini sono ConifereA Tutti i Pini sono Vegetali------------------------ I Alcuni Vegetali sono Conifere

Adesso immaginiamo che le proposizioni ci vengano

nascoste

Possiamo solo sapere se sono vere o false ma nessuno ci dagrave

altre informazioni

1048708 Diremo enunciato o proposizione unrsquoaffermazioneche assume uno ed un solo valore di veritagrave

vero o falso1048708 Tale caratteristica egrave tuttrsquoaltro che banale infatti nontutte le affermazioni assumono incontestabilmente unoed un solo valore di veritagrave1048708 Alcuni enunciati sono costituiti da una solaaffermazione (laquoAtene egrave in Greciaraquo) e sono dettienunciati atomici1048708 Nella logica proposizionale prescinderemo dallaldquostruttura internardquo degli enunciati

Logica delle Proposizioni o EnunciatiLogica delle Proposizioni o Enunciati

Veritagrave e falsitagrave1048708 Enunciati composti sono costituiti da piugrave affermazioni collegate da

opportune parole (connettivi) comee o se allora se e solo se non o o

aut

1048708 I connettivi collegano gli enunciati senza riguardo al significato che possono assumere quelli lrsquounica caratteristica

che viene indicata nella loro definizione egrave quale valore di veritagrave abbia lrsquoenunciato composto a partire soltanto dai valori di veritagrave assegnati agli enunciati componenti

1048708 Le tavole di veritagrave riassumono (in versione moderna) le definizioni dei connettivi

Proposizioni hellip e Connettivi LogiciProposizioni hellip e Connettivi Logici

se e solo se allora

a b a b

V V V

V F F

F V F

F F V

ooa b a aut b

V V F

V F V

F V V

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nona nota

V F

F V

Se allora

a b a b

V V V

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F V V

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ea b ab

V V V

V F F

F V F

F F F

oa b ab

V V V

V F V

F V V

F F F

Tavole di Veritagrave dei Connettivi Logici

Tavole di VeritagraveTavole di Veritagrave

ldquoEX FALSO SEQUITUR QUODLIBETrdquo

RIFERIMENTIldquoStoria della Matematica fino al 1200 Storia dello zerordquoppt profssa Francesca RussoldquoTavola dei Sillogismirdquo di Alessandro SalernoldquoSTSC-WEB(5)rdquopdf di Giorgio TBagnildquoLogica Fregeanardquopdf da GBoniolo P Vidali Filosofia della scienzaBMondadorildquoBreve storia della Logicardquo di Marco Pivetta ndash ubib060412s003pdf ndash httpulissesissait

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Page 5: LogicaMatematica: Logica delle Proposizioni Logica dei Predicati I.T.E. L. EINAUDI Porto S. Elpidio Logica Matematica: un po di Storia Logica delle Proposizioni.

Un porsquo di storia della Logica

Ponendo laccento sulla retorica uno degli aspetti piugrave interessanti egrave dato dai cosiddetti paradossi (paragrave + doxa = contro lopinione comune) e antinomie (anti + nomos = contro la legge) logiche frasi dotate di significato se considerate dal punto di vista esclusivamente linguistico ma che dal punto di vista logico risultano contraddittorie I primi esempi di paradossi vengono proprio dalla Grecia antica ma anche nella storia successiva logici e filosofi hanno fornito numerosi esempi

I paradossi hanno sempre attirato un grande interesse da parte degli studiosi di logica e la loro esistenza egrave stata importantissima anche per la storia della matematica

Attorno al VI secolo aC raccogliendo lereditagrave dei matematici egiziani e babilonesi con gli studiosi ellenici nacquero i due processi principali su cui si basa lorganizzazione logica della matematica lastrazione (ricavare una regola generale dallosservazione di fenomeni particolari diversi) e la deduzione (partendo da alcune premesse ricavare una conclusione coerente con le assunzioni del ragionamento)

Nel V secolo aC Zenone enuncia i famosi paradossi (famoso quello di Achille e la Tartaruga)

Nel IV secolo aC Aristotele codifica le leggi del ragionamento logico mentre Euclide organizza negli Elementi i teoremi di geometria e di teoria dei numeri ottenuti dalla cultura matematica greca dellepoca Procede per definizioni postulati e teoremi con una esposizione che egrave rimasta classica per ogni tempo punto di riferimento per ogni teoria (vedi )

Continua Logica e Matematica

In tempi pressocheacute contemporanei ad Aristotele la logica esce dal contesto della retorica e inizia a essere utilizzata in maniera rigorosa anche in matematica in particolare in geometria con Euclide di Alessandria (365 AC - 300 AC) il quale nei suoi ldquoElementirdquo espone e tratta in maniera rigorosa la geometria piana partendo da postulati geometrici che lui considera evidenti e giustificati dalla realtagrave sensibile e da assiomi (che chiama nozioni comuni) che sono regole considerate evidenti e basate sul ragionamento logico

A partire dai postulati Euclide dimostra i teoremi utilizzando le regole di inferenza logica fornendo un grande esempio duso della logica in matematica

Anche in questo Euclide egrave stato un modello per molti matematici nei secoli successivi in tredici libri organizzograve tutti i teoremi di geometria e di teoria dei numeri della matematica greca dellepoca con una esposizione rimasta classica fino a oggi

Gli Elementi che fino al XIX secolo fu il testo piugrave diffuso dopo la Bibbia rappresentograve cosigrave la sistemazione delle conoscenze geometriche ldquoelementarirdquo e aprigrave la strada a ricerche di carattere ldquosuperiorerdquo

Medioevo trivio e quadrivio poi hellip Logica Matematica

La Matematica egrave sempre stata considerata genericamente come la ldquoScienza dei Numerirdquohellip Una simile definizione egrave parziale anche riferita solo al Medioevo durante il quale la

Matematica era insegnata nelle Universitagrave come arte liberale Nelle facoltagrave di Filosofia infatti venivano apprese le arti del Trivio (complesso delle discipline letterali costituito da Grammatica Retorica Logica) e del Quadrivio (complesso delle discipline scientifiche costituito dalla matematica ldquopurardquo Aritmetica e Geometria e dalla matematica ldquomistardquo Musica e Astronomia viste come loro rispettive applicazioni) Tale facoltagrave era la piugrave importante per il numero di studenti che la frequentavano e che dopo aver concluso i corsi potevano proseguire gli studi in una delle altre tre facoltagrave (Teologia Diritto Medicina)hellip

Successivamente a partire dal XVII secolo gli studi sulla logica iniziano a indirizzarsi decisamente verso la nascita della logica matematica allontanandosi da quella che possiamo definire logica filosofica che fino a quel momento era stata la piugrave studiata

I ragionamenti logici vengono formalizzati in modo da poter essere calcolati utilizzando un linguaggio formale che permetta un perfetto controllo delle dimostrazioni Cosigrave tra la fine del XIX e linizio del XX secolo la logica diventa lo strumento per lo sviluppo rigoroso e formale della matematica

Vero hellip o solo logicamente valido

Inoltre il rapporto sempre piugrave stretto tra logica e matematica produce risultati inaspettati viene compresa la differenza tra veritagrave e validitagrave logica Per secoli i matematici hanno pensato che le teorie matematiche e in particolare la geometria rappresentassero veritagrave assolute e che fosse loro compito scoprirle La nascita delle geometrie non-euclidee (a cui i matematici giungono nellOttocento dopo secoli di studi sul V postulato euclideo) fa comprendere che la scelta degli assiomi puograve essere del tutto arbitraria (purcheacute non portino a contraddizioni) e che ciograve che si deriva da essi egrave da considerarsi logicamente valido e non piugrave vero in senso assoluto

Ciograve che gli assiomi predicano puograve essere contrario a ciograve che suggerisce lesperienza ma ciograve che egrave possibile dimostrare a partire da essi risulta in ogni caso logicamente valido per cui non esiste piugrave una teoria vera che costringa le altre a essere false Di conseguenza egrave possibile creare diverse teorie non equivalenti ma tutte ugualmente coerenti e allora il problema principale della logica cambia natura e consiste nello sviluppare una teoria assicurandone la coerenza Per coerenza (consistenza) si intende il fatto che allinterno di tale teoria non egrave possibile dimostrare un teorema e la sua negazione

Paradosso di Russell ndash indovinelli e giochi

Allinizio del ventesimo secolo la logica viene usata per dare fondamento alla teoria intuitiva degli insiemi da Georg Cantor e Gottlob Frege

Proprio da questa prima formalizzazione (detta ingenua) nascono i primi problemi paradossali riguardanti logica e matematica proprio mentre Frege si accingeva a pubblicare i suoi risultati il matematico e filosofo Bertrand Russell (1872-1970) enuncia quello che egrave universalmente noto come paradosso di Russell che mina le basi della teoria di Cantor-Frege Questultima deve essere abbandonata e piugrave tardi viene sostituita dalla teoria assiomatica degli insiemi introdotta da Zermelo e perfezionata da Fraenkel

Oggi la logica egrave lo strumento privilegiato per lo sviluppo della matematica percheacute permette di procedere attraverso regole ben precise che assicurano la correttezza delle dimostrazioni

Cegrave da dire infine che la logica oltre a tutti i suoi utilizzi linguistici e matematici presenta anche un aspetto ludico Utilizzando la logica egrave possibile dare vita ad un numero elevatissimo di indovinelli e giochi che stuzzicando la mente rendono questa disciplina piugrave facilmente avvicinabile da tutti E forse anche piugrave divertente

Qualche paradosso

bull Il paradosso del mentitore Ersquo questo il piugrave celebre dei paradossi quello che ha conosciuto maggiore fortuna nella storia del pensiero impegnando per la sua soluzione una numerosa schiera di filosofi e logici La formulazione piugrave vicina a quella originale di Eubulide sembra quella tramandataci da Cicerone Se dici che menti e in ciograve dici il vero menti o dici la veritagrave

Di questo paradosso sono note anche altre versioni una delle piugrave celebri egrave la seguenteEpimenide cretese afferma che tutti i cretesi sono bugiardi Ersquo vero o no quanto afferma Epimenide

La sua forma piugrave semplice Assai semplicemente esso puograve venire espresso con lrsquoasserto ldquoquesto enunciato egrave falsordquo Ersquo lrsquoenunciato vero o falso

Il paradosso del postino Il postino prende la posta per tutti coloro che non se la prendono da soli ed ovviamente non prende la posta per tutti coloro che la prendono da soli Ma allora chi prende la posta del postino Se egrave lo stesso postino che prende la posta allora ne deriva che egli non prende la posta per se se invece non la prende allora si presume che egli la prende

Il paradosso del barbiere Presentato da Russell egrave del tutto simile a quello del postino Il barbiere fa la barba a tutti coloro che non la fanno da seacute Chi fa la barba al barbiere

Ed ora veniamo

al dunque

Logica Aristotelica e Megarico-Stoica

Aristotele indicava cosigrave i tre principi logici fondamentalii tre principi logici fondamentali riguar-danti la Logica dei Predicati validi anche per la Logica delle Proposizioni ( o degli Enunciati)

1- Principio di non contraddizione una proposizione e la sua negazione non possono essere contemporaneamente vere 2- Principio di identitagrave ogni proposizione egrave uguale (equivale)

a se stessa3- Principio del terzo escluso tra una proposizione e la sua negazione

almeno una egrave vera (e quindi per il n1 una sola) cioegrave una proposizione o egrave vera o egrave falsa

(non crsquoegrave una terza possibilitagrave) (tertium non datur)

LOGICA ARISTOTELICA qualche esempio di ragionamento (sillogismo)

LOGICA DEI PREDICATILOGICA DEI PREDICATILa logica aristotelica prevedeva lrsquoanalisi interna di alcuni tipidi proposizioni (universali particolari affermative negative) e lo studio dei sillogismi (Un sillogismo ha due premesse e una conclusione)

mentre la logica megarico-stoica non diversificava le proposizioni

Le proposizioni secondo Aristotele1048708 tipo A - Universale affermativaad esempio Tutti gli orsi sono vertebrati1048708 tipo I - Particolare affermativaad esempio Alcuni uccelli sono rapaci1048708 tipo E - Universale negativaad esempio Tutti gli orsi non sono pesci(ovvero Nessun orso egrave un pesce)1048708 tipo O - Particolare negativaad esempio Alcuni uccelli non sono rapaci

Sillogismo di tipo E A E

( CELAR ENT )E Nessun mammifero egrave un pesceA Tutti gli uomini sono mammiferi------------------------ E Nessun uomo egrave un pesce

Sillogismo di tipo A A A

( BARBARA )A Tutti i viventi invecchianoA Tutti i vegetali sono viventi------------------------ A Tutti i vegetali invecchiano

LOGICA ARISTOTELICA qualche esempio di ragionamento (sillogismo)

A(tutti sono europei)(tutti gli uomini sono europei)

E (tutti sono non europeicioegrave nessuno egrave europeo)(nessun uomo egrave europeo)

I = notE(esiste un europeo)(esiste almeno un uomo che egrave europeo)

O = notA(esiste un non europeo(esiste almeno un uomo che non egrave

europeo)cioegrave non tutti sono europei)

Altri esempi di tipi di Sillogismo i tipi corretti di Sillogismo sono 19 su 256(44)

Sillogismo di tipo A I I

( D A R I I )A Tutti gli uomini sono mortaliI Socrate egrave un uomo------------------------ I Socrate egrave mortale

Sillogismo di tipo A O O

( BAROCO )A Tutti i gatti sono esseri viventiO La Luna non egrave un essere vivente------------------------ O La Luna non egrave un gatto

Sillogismo di tipo E I O

( FERIO )E Nessun amico egrave un traditoreI Franco egrave un amico------------------------ O Franco non egrave un traditore

Sillogismo di tipo A A I

( DARAPTI )A Tutti i Pini sono ConifereA Tutti i Pini sono Vegetali------------------------ I Alcuni Vegetali sono Conifere

Adesso immaginiamo che le proposizioni ci vengano

nascoste

Possiamo solo sapere se sono vere o false ma nessuno ci dagrave

altre informazioni

1048708 Diremo enunciato o proposizione unrsquoaffermazioneche assume uno ed un solo valore di veritagrave

vero o falso1048708 Tale caratteristica egrave tuttrsquoaltro che banale infatti nontutte le affermazioni assumono incontestabilmente unoed un solo valore di veritagrave1048708 Alcuni enunciati sono costituiti da una solaaffermazione (laquoAtene egrave in Greciaraquo) e sono dettienunciati atomici1048708 Nella logica proposizionale prescinderemo dallaldquostruttura internardquo degli enunciati

Logica delle Proposizioni o EnunciatiLogica delle Proposizioni o Enunciati

Veritagrave e falsitagrave1048708 Enunciati composti sono costituiti da piugrave affermazioni collegate da

opportune parole (connettivi) comee o se allora se e solo se non o o

aut

1048708 I connettivi collegano gli enunciati senza riguardo al significato che possono assumere quelli lrsquounica caratteristica

che viene indicata nella loro definizione egrave quale valore di veritagrave abbia lrsquoenunciato composto a partire soltanto dai valori di veritagrave assegnati agli enunciati componenti

1048708 Le tavole di veritagrave riassumono (in versione moderna) le definizioni dei connettivi

Proposizioni hellip e Connettivi LogiciProposizioni hellip e Connettivi Logici

se e solo se allora

a b a b

V V V

V F F

F V F

F F V

ooa b a aut b

V V F

V F V

F V V

F F F

nona nota

V F

F V

Se allora

a b a b

V V V

V F F

F V V

F F V

ea b ab

V V V

V F F

F V F

F F F

oa b ab

V V V

V F V

F V V

F F F

Tavole di Veritagrave dei Connettivi Logici

Tavole di VeritagraveTavole di Veritagrave

ldquoEX FALSO SEQUITUR QUODLIBETrdquo

RIFERIMENTIldquoStoria della Matematica fino al 1200 Storia dello zerordquoppt profssa Francesca RussoldquoTavola dei Sillogismirdquo di Alessandro SalernoldquoSTSC-WEB(5)rdquopdf di Giorgio TBagnildquoLogica Fregeanardquopdf da GBoniolo P Vidali Filosofia della scienzaBMondadorildquoBreve storia della Logicardquo di Marco Pivetta ndash ubib060412s003pdf ndash httpulissesissait

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Page 6: LogicaMatematica: Logica delle Proposizioni Logica dei Predicati I.T.E. L. EINAUDI Porto S. Elpidio Logica Matematica: un po di Storia Logica delle Proposizioni.

Continua Logica e Matematica

In tempi pressocheacute contemporanei ad Aristotele la logica esce dal contesto della retorica e inizia a essere utilizzata in maniera rigorosa anche in matematica in particolare in geometria con Euclide di Alessandria (365 AC - 300 AC) il quale nei suoi ldquoElementirdquo espone e tratta in maniera rigorosa la geometria piana partendo da postulati geometrici che lui considera evidenti e giustificati dalla realtagrave sensibile e da assiomi (che chiama nozioni comuni) che sono regole considerate evidenti e basate sul ragionamento logico

A partire dai postulati Euclide dimostra i teoremi utilizzando le regole di inferenza logica fornendo un grande esempio duso della logica in matematica

Anche in questo Euclide egrave stato un modello per molti matematici nei secoli successivi in tredici libri organizzograve tutti i teoremi di geometria e di teoria dei numeri della matematica greca dellepoca con una esposizione rimasta classica fino a oggi

Gli Elementi che fino al XIX secolo fu il testo piugrave diffuso dopo la Bibbia rappresentograve cosigrave la sistemazione delle conoscenze geometriche ldquoelementarirdquo e aprigrave la strada a ricerche di carattere ldquosuperiorerdquo

Medioevo trivio e quadrivio poi hellip Logica Matematica

La Matematica egrave sempre stata considerata genericamente come la ldquoScienza dei Numerirdquohellip Una simile definizione egrave parziale anche riferita solo al Medioevo durante il quale la

Matematica era insegnata nelle Universitagrave come arte liberale Nelle facoltagrave di Filosofia infatti venivano apprese le arti del Trivio (complesso delle discipline letterali costituito da Grammatica Retorica Logica) e del Quadrivio (complesso delle discipline scientifiche costituito dalla matematica ldquopurardquo Aritmetica e Geometria e dalla matematica ldquomistardquo Musica e Astronomia viste come loro rispettive applicazioni) Tale facoltagrave era la piugrave importante per il numero di studenti che la frequentavano e che dopo aver concluso i corsi potevano proseguire gli studi in una delle altre tre facoltagrave (Teologia Diritto Medicina)hellip

Successivamente a partire dal XVII secolo gli studi sulla logica iniziano a indirizzarsi decisamente verso la nascita della logica matematica allontanandosi da quella che possiamo definire logica filosofica che fino a quel momento era stata la piugrave studiata

I ragionamenti logici vengono formalizzati in modo da poter essere calcolati utilizzando un linguaggio formale che permetta un perfetto controllo delle dimostrazioni Cosigrave tra la fine del XIX e linizio del XX secolo la logica diventa lo strumento per lo sviluppo rigoroso e formale della matematica

Vero hellip o solo logicamente valido

Inoltre il rapporto sempre piugrave stretto tra logica e matematica produce risultati inaspettati viene compresa la differenza tra veritagrave e validitagrave logica Per secoli i matematici hanno pensato che le teorie matematiche e in particolare la geometria rappresentassero veritagrave assolute e che fosse loro compito scoprirle La nascita delle geometrie non-euclidee (a cui i matematici giungono nellOttocento dopo secoli di studi sul V postulato euclideo) fa comprendere che la scelta degli assiomi puograve essere del tutto arbitraria (purcheacute non portino a contraddizioni) e che ciograve che si deriva da essi egrave da considerarsi logicamente valido e non piugrave vero in senso assoluto

Ciograve che gli assiomi predicano puograve essere contrario a ciograve che suggerisce lesperienza ma ciograve che egrave possibile dimostrare a partire da essi risulta in ogni caso logicamente valido per cui non esiste piugrave una teoria vera che costringa le altre a essere false Di conseguenza egrave possibile creare diverse teorie non equivalenti ma tutte ugualmente coerenti e allora il problema principale della logica cambia natura e consiste nello sviluppare una teoria assicurandone la coerenza Per coerenza (consistenza) si intende il fatto che allinterno di tale teoria non egrave possibile dimostrare un teorema e la sua negazione

Paradosso di Russell ndash indovinelli e giochi

Allinizio del ventesimo secolo la logica viene usata per dare fondamento alla teoria intuitiva degli insiemi da Georg Cantor e Gottlob Frege

Proprio da questa prima formalizzazione (detta ingenua) nascono i primi problemi paradossali riguardanti logica e matematica proprio mentre Frege si accingeva a pubblicare i suoi risultati il matematico e filosofo Bertrand Russell (1872-1970) enuncia quello che egrave universalmente noto come paradosso di Russell che mina le basi della teoria di Cantor-Frege Questultima deve essere abbandonata e piugrave tardi viene sostituita dalla teoria assiomatica degli insiemi introdotta da Zermelo e perfezionata da Fraenkel

Oggi la logica egrave lo strumento privilegiato per lo sviluppo della matematica percheacute permette di procedere attraverso regole ben precise che assicurano la correttezza delle dimostrazioni

Cegrave da dire infine che la logica oltre a tutti i suoi utilizzi linguistici e matematici presenta anche un aspetto ludico Utilizzando la logica egrave possibile dare vita ad un numero elevatissimo di indovinelli e giochi che stuzzicando la mente rendono questa disciplina piugrave facilmente avvicinabile da tutti E forse anche piugrave divertente

Qualche paradosso

bull Il paradosso del mentitore Ersquo questo il piugrave celebre dei paradossi quello che ha conosciuto maggiore fortuna nella storia del pensiero impegnando per la sua soluzione una numerosa schiera di filosofi e logici La formulazione piugrave vicina a quella originale di Eubulide sembra quella tramandataci da Cicerone Se dici che menti e in ciograve dici il vero menti o dici la veritagrave

Di questo paradosso sono note anche altre versioni una delle piugrave celebri egrave la seguenteEpimenide cretese afferma che tutti i cretesi sono bugiardi Ersquo vero o no quanto afferma Epimenide

La sua forma piugrave semplice Assai semplicemente esso puograve venire espresso con lrsquoasserto ldquoquesto enunciato egrave falsordquo Ersquo lrsquoenunciato vero o falso

Il paradosso del postino Il postino prende la posta per tutti coloro che non se la prendono da soli ed ovviamente non prende la posta per tutti coloro che la prendono da soli Ma allora chi prende la posta del postino Se egrave lo stesso postino che prende la posta allora ne deriva che egli non prende la posta per se se invece non la prende allora si presume che egli la prende

Il paradosso del barbiere Presentato da Russell egrave del tutto simile a quello del postino Il barbiere fa la barba a tutti coloro che non la fanno da seacute Chi fa la barba al barbiere

Ed ora veniamo

al dunque

Logica Aristotelica e Megarico-Stoica

Aristotele indicava cosigrave i tre principi logici fondamentalii tre principi logici fondamentali riguar-danti la Logica dei Predicati validi anche per la Logica delle Proposizioni ( o degli Enunciati)

1- Principio di non contraddizione una proposizione e la sua negazione non possono essere contemporaneamente vere 2- Principio di identitagrave ogni proposizione egrave uguale (equivale)

a se stessa3- Principio del terzo escluso tra una proposizione e la sua negazione

almeno una egrave vera (e quindi per il n1 una sola) cioegrave una proposizione o egrave vera o egrave falsa

(non crsquoegrave una terza possibilitagrave) (tertium non datur)

LOGICA ARISTOTELICA qualche esempio di ragionamento (sillogismo)

LOGICA DEI PREDICATILOGICA DEI PREDICATILa logica aristotelica prevedeva lrsquoanalisi interna di alcuni tipidi proposizioni (universali particolari affermative negative) e lo studio dei sillogismi (Un sillogismo ha due premesse e una conclusione)

mentre la logica megarico-stoica non diversificava le proposizioni

Le proposizioni secondo Aristotele1048708 tipo A - Universale affermativaad esempio Tutti gli orsi sono vertebrati1048708 tipo I - Particolare affermativaad esempio Alcuni uccelli sono rapaci1048708 tipo E - Universale negativaad esempio Tutti gli orsi non sono pesci(ovvero Nessun orso egrave un pesce)1048708 tipo O - Particolare negativaad esempio Alcuni uccelli non sono rapaci

Sillogismo di tipo E A E

( CELAR ENT )E Nessun mammifero egrave un pesceA Tutti gli uomini sono mammiferi------------------------ E Nessun uomo egrave un pesce

Sillogismo di tipo A A A

( BARBARA )A Tutti i viventi invecchianoA Tutti i vegetali sono viventi------------------------ A Tutti i vegetali invecchiano

LOGICA ARISTOTELICA qualche esempio di ragionamento (sillogismo)

A(tutti sono europei)(tutti gli uomini sono europei)

E (tutti sono non europeicioegrave nessuno egrave europeo)(nessun uomo egrave europeo)

I = notE(esiste un europeo)(esiste almeno un uomo che egrave europeo)

O = notA(esiste un non europeo(esiste almeno un uomo che non egrave

europeo)cioegrave non tutti sono europei)

Altri esempi di tipi di Sillogismo i tipi corretti di Sillogismo sono 19 su 256(44)

Sillogismo di tipo A I I

( D A R I I )A Tutti gli uomini sono mortaliI Socrate egrave un uomo------------------------ I Socrate egrave mortale

Sillogismo di tipo A O O

( BAROCO )A Tutti i gatti sono esseri viventiO La Luna non egrave un essere vivente------------------------ O La Luna non egrave un gatto

Sillogismo di tipo E I O

( FERIO )E Nessun amico egrave un traditoreI Franco egrave un amico------------------------ O Franco non egrave un traditore

Sillogismo di tipo A A I

( DARAPTI )A Tutti i Pini sono ConifereA Tutti i Pini sono Vegetali------------------------ I Alcuni Vegetali sono Conifere

Adesso immaginiamo che le proposizioni ci vengano

nascoste

Possiamo solo sapere se sono vere o false ma nessuno ci dagrave

altre informazioni

1048708 Diremo enunciato o proposizione unrsquoaffermazioneche assume uno ed un solo valore di veritagrave

vero o falso1048708 Tale caratteristica egrave tuttrsquoaltro che banale infatti nontutte le affermazioni assumono incontestabilmente unoed un solo valore di veritagrave1048708 Alcuni enunciati sono costituiti da una solaaffermazione (laquoAtene egrave in Greciaraquo) e sono dettienunciati atomici1048708 Nella logica proposizionale prescinderemo dallaldquostruttura internardquo degli enunciati

Logica delle Proposizioni o EnunciatiLogica delle Proposizioni o Enunciati

Veritagrave e falsitagrave1048708 Enunciati composti sono costituiti da piugrave affermazioni collegate da

opportune parole (connettivi) comee o se allora se e solo se non o o

aut

1048708 I connettivi collegano gli enunciati senza riguardo al significato che possono assumere quelli lrsquounica caratteristica

che viene indicata nella loro definizione egrave quale valore di veritagrave abbia lrsquoenunciato composto a partire soltanto dai valori di veritagrave assegnati agli enunciati componenti

1048708 Le tavole di veritagrave riassumono (in versione moderna) le definizioni dei connettivi

Proposizioni hellip e Connettivi LogiciProposizioni hellip e Connettivi Logici

se e solo se allora

a b a b

V V V

V F F

F V F

F F V

ooa b a aut b

V V F

V F V

F V V

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nona nota

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Se allora

a b a b

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V V V

V F V

F V V

F F F

Tavole di Veritagrave dei Connettivi Logici

Tavole di VeritagraveTavole di Veritagrave

ldquoEX FALSO SEQUITUR QUODLIBETrdquo

RIFERIMENTIldquoStoria della Matematica fino al 1200 Storia dello zerordquoppt profssa Francesca RussoldquoTavola dei Sillogismirdquo di Alessandro SalernoldquoSTSC-WEB(5)rdquopdf di Giorgio TBagnildquoLogica Fregeanardquopdf da GBoniolo P Vidali Filosofia della scienzaBMondadorildquoBreve storia della Logicardquo di Marco Pivetta ndash ubib060412s003pdf ndash httpulissesissait

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  • Slide 19
  • Slide 21
Page 7: LogicaMatematica: Logica delle Proposizioni Logica dei Predicati I.T.E. L. EINAUDI Porto S. Elpidio Logica Matematica: un po di Storia Logica delle Proposizioni.

Medioevo trivio e quadrivio poi hellip Logica Matematica

La Matematica egrave sempre stata considerata genericamente come la ldquoScienza dei Numerirdquohellip Una simile definizione egrave parziale anche riferita solo al Medioevo durante il quale la

Matematica era insegnata nelle Universitagrave come arte liberale Nelle facoltagrave di Filosofia infatti venivano apprese le arti del Trivio (complesso delle discipline letterali costituito da Grammatica Retorica Logica) e del Quadrivio (complesso delle discipline scientifiche costituito dalla matematica ldquopurardquo Aritmetica e Geometria e dalla matematica ldquomistardquo Musica e Astronomia viste come loro rispettive applicazioni) Tale facoltagrave era la piugrave importante per il numero di studenti che la frequentavano e che dopo aver concluso i corsi potevano proseguire gli studi in una delle altre tre facoltagrave (Teologia Diritto Medicina)hellip

Successivamente a partire dal XVII secolo gli studi sulla logica iniziano a indirizzarsi decisamente verso la nascita della logica matematica allontanandosi da quella che possiamo definire logica filosofica che fino a quel momento era stata la piugrave studiata

I ragionamenti logici vengono formalizzati in modo da poter essere calcolati utilizzando un linguaggio formale che permetta un perfetto controllo delle dimostrazioni Cosigrave tra la fine del XIX e linizio del XX secolo la logica diventa lo strumento per lo sviluppo rigoroso e formale della matematica

Vero hellip o solo logicamente valido

Inoltre il rapporto sempre piugrave stretto tra logica e matematica produce risultati inaspettati viene compresa la differenza tra veritagrave e validitagrave logica Per secoli i matematici hanno pensato che le teorie matematiche e in particolare la geometria rappresentassero veritagrave assolute e che fosse loro compito scoprirle La nascita delle geometrie non-euclidee (a cui i matematici giungono nellOttocento dopo secoli di studi sul V postulato euclideo) fa comprendere che la scelta degli assiomi puograve essere del tutto arbitraria (purcheacute non portino a contraddizioni) e che ciograve che si deriva da essi egrave da considerarsi logicamente valido e non piugrave vero in senso assoluto

Ciograve che gli assiomi predicano puograve essere contrario a ciograve che suggerisce lesperienza ma ciograve che egrave possibile dimostrare a partire da essi risulta in ogni caso logicamente valido per cui non esiste piugrave una teoria vera che costringa le altre a essere false Di conseguenza egrave possibile creare diverse teorie non equivalenti ma tutte ugualmente coerenti e allora il problema principale della logica cambia natura e consiste nello sviluppare una teoria assicurandone la coerenza Per coerenza (consistenza) si intende il fatto che allinterno di tale teoria non egrave possibile dimostrare un teorema e la sua negazione

Paradosso di Russell ndash indovinelli e giochi

Allinizio del ventesimo secolo la logica viene usata per dare fondamento alla teoria intuitiva degli insiemi da Georg Cantor e Gottlob Frege

Proprio da questa prima formalizzazione (detta ingenua) nascono i primi problemi paradossali riguardanti logica e matematica proprio mentre Frege si accingeva a pubblicare i suoi risultati il matematico e filosofo Bertrand Russell (1872-1970) enuncia quello che egrave universalmente noto come paradosso di Russell che mina le basi della teoria di Cantor-Frege Questultima deve essere abbandonata e piugrave tardi viene sostituita dalla teoria assiomatica degli insiemi introdotta da Zermelo e perfezionata da Fraenkel

Oggi la logica egrave lo strumento privilegiato per lo sviluppo della matematica percheacute permette di procedere attraverso regole ben precise che assicurano la correttezza delle dimostrazioni

Cegrave da dire infine che la logica oltre a tutti i suoi utilizzi linguistici e matematici presenta anche un aspetto ludico Utilizzando la logica egrave possibile dare vita ad un numero elevatissimo di indovinelli e giochi che stuzzicando la mente rendono questa disciplina piugrave facilmente avvicinabile da tutti E forse anche piugrave divertente

Qualche paradosso

bull Il paradosso del mentitore Ersquo questo il piugrave celebre dei paradossi quello che ha conosciuto maggiore fortuna nella storia del pensiero impegnando per la sua soluzione una numerosa schiera di filosofi e logici La formulazione piugrave vicina a quella originale di Eubulide sembra quella tramandataci da Cicerone Se dici che menti e in ciograve dici il vero menti o dici la veritagrave

Di questo paradosso sono note anche altre versioni una delle piugrave celebri egrave la seguenteEpimenide cretese afferma che tutti i cretesi sono bugiardi Ersquo vero o no quanto afferma Epimenide

La sua forma piugrave semplice Assai semplicemente esso puograve venire espresso con lrsquoasserto ldquoquesto enunciato egrave falsordquo Ersquo lrsquoenunciato vero o falso

Il paradosso del postino Il postino prende la posta per tutti coloro che non se la prendono da soli ed ovviamente non prende la posta per tutti coloro che la prendono da soli Ma allora chi prende la posta del postino Se egrave lo stesso postino che prende la posta allora ne deriva che egli non prende la posta per se se invece non la prende allora si presume che egli la prende

Il paradosso del barbiere Presentato da Russell egrave del tutto simile a quello del postino Il barbiere fa la barba a tutti coloro che non la fanno da seacute Chi fa la barba al barbiere

Ed ora veniamo

al dunque

Logica Aristotelica e Megarico-Stoica

Aristotele indicava cosigrave i tre principi logici fondamentalii tre principi logici fondamentali riguar-danti la Logica dei Predicati validi anche per la Logica delle Proposizioni ( o degli Enunciati)

1- Principio di non contraddizione una proposizione e la sua negazione non possono essere contemporaneamente vere 2- Principio di identitagrave ogni proposizione egrave uguale (equivale)

a se stessa3- Principio del terzo escluso tra una proposizione e la sua negazione

almeno una egrave vera (e quindi per il n1 una sola) cioegrave una proposizione o egrave vera o egrave falsa

(non crsquoegrave una terza possibilitagrave) (tertium non datur)

LOGICA ARISTOTELICA qualche esempio di ragionamento (sillogismo)

LOGICA DEI PREDICATILOGICA DEI PREDICATILa logica aristotelica prevedeva lrsquoanalisi interna di alcuni tipidi proposizioni (universali particolari affermative negative) e lo studio dei sillogismi (Un sillogismo ha due premesse e una conclusione)

mentre la logica megarico-stoica non diversificava le proposizioni

Le proposizioni secondo Aristotele1048708 tipo A - Universale affermativaad esempio Tutti gli orsi sono vertebrati1048708 tipo I - Particolare affermativaad esempio Alcuni uccelli sono rapaci1048708 tipo E - Universale negativaad esempio Tutti gli orsi non sono pesci(ovvero Nessun orso egrave un pesce)1048708 tipo O - Particolare negativaad esempio Alcuni uccelli non sono rapaci

Sillogismo di tipo E A E

( CELAR ENT )E Nessun mammifero egrave un pesceA Tutti gli uomini sono mammiferi------------------------ E Nessun uomo egrave un pesce

Sillogismo di tipo A A A

( BARBARA )A Tutti i viventi invecchianoA Tutti i vegetali sono viventi------------------------ A Tutti i vegetali invecchiano

LOGICA ARISTOTELICA qualche esempio di ragionamento (sillogismo)

A(tutti sono europei)(tutti gli uomini sono europei)

E (tutti sono non europeicioegrave nessuno egrave europeo)(nessun uomo egrave europeo)

I = notE(esiste un europeo)(esiste almeno un uomo che egrave europeo)

O = notA(esiste un non europeo(esiste almeno un uomo che non egrave

europeo)cioegrave non tutti sono europei)

Altri esempi di tipi di Sillogismo i tipi corretti di Sillogismo sono 19 su 256(44)

Sillogismo di tipo A I I

( D A R I I )A Tutti gli uomini sono mortaliI Socrate egrave un uomo------------------------ I Socrate egrave mortale

Sillogismo di tipo A O O

( BAROCO )A Tutti i gatti sono esseri viventiO La Luna non egrave un essere vivente------------------------ O La Luna non egrave un gatto

Sillogismo di tipo E I O

( FERIO )E Nessun amico egrave un traditoreI Franco egrave un amico------------------------ O Franco non egrave un traditore

Sillogismo di tipo A A I

( DARAPTI )A Tutti i Pini sono ConifereA Tutti i Pini sono Vegetali------------------------ I Alcuni Vegetali sono Conifere

Adesso immaginiamo che le proposizioni ci vengano

nascoste

Possiamo solo sapere se sono vere o false ma nessuno ci dagrave

altre informazioni

1048708 Diremo enunciato o proposizione unrsquoaffermazioneche assume uno ed un solo valore di veritagrave

vero o falso1048708 Tale caratteristica egrave tuttrsquoaltro che banale infatti nontutte le affermazioni assumono incontestabilmente unoed un solo valore di veritagrave1048708 Alcuni enunciati sono costituiti da una solaaffermazione (laquoAtene egrave in Greciaraquo) e sono dettienunciati atomici1048708 Nella logica proposizionale prescinderemo dallaldquostruttura internardquo degli enunciati

Logica delle Proposizioni o EnunciatiLogica delle Proposizioni o Enunciati

Veritagrave e falsitagrave1048708 Enunciati composti sono costituiti da piugrave affermazioni collegate da

opportune parole (connettivi) comee o se allora se e solo se non o o

aut

1048708 I connettivi collegano gli enunciati senza riguardo al significato che possono assumere quelli lrsquounica caratteristica

che viene indicata nella loro definizione egrave quale valore di veritagrave abbia lrsquoenunciato composto a partire soltanto dai valori di veritagrave assegnati agli enunciati componenti

1048708 Le tavole di veritagrave riassumono (in versione moderna) le definizioni dei connettivi

Proposizioni hellip e Connettivi LogiciProposizioni hellip e Connettivi Logici

se e solo se allora

a b a b

V V V

V F F

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V V F

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Tavole di Veritagrave dei Connettivi Logici

Tavole di VeritagraveTavole di Veritagrave

ldquoEX FALSO SEQUITUR QUODLIBETrdquo

RIFERIMENTIldquoStoria della Matematica fino al 1200 Storia dello zerordquoppt profssa Francesca RussoldquoTavola dei Sillogismirdquo di Alessandro SalernoldquoSTSC-WEB(5)rdquopdf di Giorgio TBagnildquoLogica Fregeanardquopdf da GBoniolo P Vidali Filosofia della scienzaBMondadorildquoBreve storia della Logicardquo di Marco Pivetta ndash ubib060412s003pdf ndash httpulissesissait

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Page 8: LogicaMatematica: Logica delle Proposizioni Logica dei Predicati I.T.E. L. EINAUDI Porto S. Elpidio Logica Matematica: un po di Storia Logica delle Proposizioni.

Vero hellip o solo logicamente valido

Inoltre il rapporto sempre piugrave stretto tra logica e matematica produce risultati inaspettati viene compresa la differenza tra veritagrave e validitagrave logica Per secoli i matematici hanno pensato che le teorie matematiche e in particolare la geometria rappresentassero veritagrave assolute e che fosse loro compito scoprirle La nascita delle geometrie non-euclidee (a cui i matematici giungono nellOttocento dopo secoli di studi sul V postulato euclideo) fa comprendere che la scelta degli assiomi puograve essere del tutto arbitraria (purcheacute non portino a contraddizioni) e che ciograve che si deriva da essi egrave da considerarsi logicamente valido e non piugrave vero in senso assoluto

Ciograve che gli assiomi predicano puograve essere contrario a ciograve che suggerisce lesperienza ma ciograve che egrave possibile dimostrare a partire da essi risulta in ogni caso logicamente valido per cui non esiste piugrave una teoria vera che costringa le altre a essere false Di conseguenza egrave possibile creare diverse teorie non equivalenti ma tutte ugualmente coerenti e allora il problema principale della logica cambia natura e consiste nello sviluppare una teoria assicurandone la coerenza Per coerenza (consistenza) si intende il fatto che allinterno di tale teoria non egrave possibile dimostrare un teorema e la sua negazione

Paradosso di Russell ndash indovinelli e giochi

Allinizio del ventesimo secolo la logica viene usata per dare fondamento alla teoria intuitiva degli insiemi da Georg Cantor e Gottlob Frege

Proprio da questa prima formalizzazione (detta ingenua) nascono i primi problemi paradossali riguardanti logica e matematica proprio mentre Frege si accingeva a pubblicare i suoi risultati il matematico e filosofo Bertrand Russell (1872-1970) enuncia quello che egrave universalmente noto come paradosso di Russell che mina le basi della teoria di Cantor-Frege Questultima deve essere abbandonata e piugrave tardi viene sostituita dalla teoria assiomatica degli insiemi introdotta da Zermelo e perfezionata da Fraenkel

Oggi la logica egrave lo strumento privilegiato per lo sviluppo della matematica percheacute permette di procedere attraverso regole ben precise che assicurano la correttezza delle dimostrazioni

Cegrave da dire infine che la logica oltre a tutti i suoi utilizzi linguistici e matematici presenta anche un aspetto ludico Utilizzando la logica egrave possibile dare vita ad un numero elevatissimo di indovinelli e giochi che stuzzicando la mente rendono questa disciplina piugrave facilmente avvicinabile da tutti E forse anche piugrave divertente

Qualche paradosso

bull Il paradosso del mentitore Ersquo questo il piugrave celebre dei paradossi quello che ha conosciuto maggiore fortuna nella storia del pensiero impegnando per la sua soluzione una numerosa schiera di filosofi e logici La formulazione piugrave vicina a quella originale di Eubulide sembra quella tramandataci da Cicerone Se dici che menti e in ciograve dici il vero menti o dici la veritagrave

Di questo paradosso sono note anche altre versioni una delle piugrave celebri egrave la seguenteEpimenide cretese afferma che tutti i cretesi sono bugiardi Ersquo vero o no quanto afferma Epimenide

La sua forma piugrave semplice Assai semplicemente esso puograve venire espresso con lrsquoasserto ldquoquesto enunciato egrave falsordquo Ersquo lrsquoenunciato vero o falso

Il paradosso del postino Il postino prende la posta per tutti coloro che non se la prendono da soli ed ovviamente non prende la posta per tutti coloro che la prendono da soli Ma allora chi prende la posta del postino Se egrave lo stesso postino che prende la posta allora ne deriva che egli non prende la posta per se se invece non la prende allora si presume che egli la prende

Il paradosso del barbiere Presentato da Russell egrave del tutto simile a quello del postino Il barbiere fa la barba a tutti coloro che non la fanno da seacute Chi fa la barba al barbiere

Ed ora veniamo

al dunque

Logica Aristotelica e Megarico-Stoica

Aristotele indicava cosigrave i tre principi logici fondamentalii tre principi logici fondamentali riguar-danti la Logica dei Predicati validi anche per la Logica delle Proposizioni ( o degli Enunciati)

1- Principio di non contraddizione una proposizione e la sua negazione non possono essere contemporaneamente vere 2- Principio di identitagrave ogni proposizione egrave uguale (equivale)

a se stessa3- Principio del terzo escluso tra una proposizione e la sua negazione

almeno una egrave vera (e quindi per il n1 una sola) cioegrave una proposizione o egrave vera o egrave falsa

(non crsquoegrave una terza possibilitagrave) (tertium non datur)

LOGICA ARISTOTELICA qualche esempio di ragionamento (sillogismo)

LOGICA DEI PREDICATILOGICA DEI PREDICATILa logica aristotelica prevedeva lrsquoanalisi interna di alcuni tipidi proposizioni (universali particolari affermative negative) e lo studio dei sillogismi (Un sillogismo ha due premesse e una conclusione)

mentre la logica megarico-stoica non diversificava le proposizioni

Le proposizioni secondo Aristotele1048708 tipo A - Universale affermativaad esempio Tutti gli orsi sono vertebrati1048708 tipo I - Particolare affermativaad esempio Alcuni uccelli sono rapaci1048708 tipo E - Universale negativaad esempio Tutti gli orsi non sono pesci(ovvero Nessun orso egrave un pesce)1048708 tipo O - Particolare negativaad esempio Alcuni uccelli non sono rapaci

Sillogismo di tipo E A E

( CELAR ENT )E Nessun mammifero egrave un pesceA Tutti gli uomini sono mammiferi------------------------ E Nessun uomo egrave un pesce

Sillogismo di tipo A A A

( BARBARA )A Tutti i viventi invecchianoA Tutti i vegetali sono viventi------------------------ A Tutti i vegetali invecchiano

LOGICA ARISTOTELICA qualche esempio di ragionamento (sillogismo)

A(tutti sono europei)(tutti gli uomini sono europei)

E (tutti sono non europeicioegrave nessuno egrave europeo)(nessun uomo egrave europeo)

I = notE(esiste un europeo)(esiste almeno un uomo che egrave europeo)

O = notA(esiste un non europeo(esiste almeno un uomo che non egrave

europeo)cioegrave non tutti sono europei)

Altri esempi di tipi di Sillogismo i tipi corretti di Sillogismo sono 19 su 256(44)

Sillogismo di tipo A I I

( D A R I I )A Tutti gli uomini sono mortaliI Socrate egrave un uomo------------------------ I Socrate egrave mortale

Sillogismo di tipo A O O

( BAROCO )A Tutti i gatti sono esseri viventiO La Luna non egrave un essere vivente------------------------ O La Luna non egrave un gatto

Sillogismo di tipo E I O

( FERIO )E Nessun amico egrave un traditoreI Franco egrave un amico------------------------ O Franco non egrave un traditore

Sillogismo di tipo A A I

( DARAPTI )A Tutti i Pini sono ConifereA Tutti i Pini sono Vegetali------------------------ I Alcuni Vegetali sono Conifere

Adesso immaginiamo che le proposizioni ci vengano

nascoste

Possiamo solo sapere se sono vere o false ma nessuno ci dagrave

altre informazioni

1048708 Diremo enunciato o proposizione unrsquoaffermazioneche assume uno ed un solo valore di veritagrave

vero o falso1048708 Tale caratteristica egrave tuttrsquoaltro che banale infatti nontutte le affermazioni assumono incontestabilmente unoed un solo valore di veritagrave1048708 Alcuni enunciati sono costituiti da una solaaffermazione (laquoAtene egrave in Greciaraquo) e sono dettienunciati atomici1048708 Nella logica proposizionale prescinderemo dallaldquostruttura internardquo degli enunciati

Logica delle Proposizioni o EnunciatiLogica delle Proposizioni o Enunciati

Veritagrave e falsitagrave1048708 Enunciati composti sono costituiti da piugrave affermazioni collegate da

opportune parole (connettivi) comee o se allora se e solo se non o o

aut

1048708 I connettivi collegano gli enunciati senza riguardo al significato che possono assumere quelli lrsquounica caratteristica

che viene indicata nella loro definizione egrave quale valore di veritagrave abbia lrsquoenunciato composto a partire soltanto dai valori di veritagrave assegnati agli enunciati componenti

1048708 Le tavole di veritagrave riassumono (in versione moderna) le definizioni dei connettivi

Proposizioni hellip e Connettivi LogiciProposizioni hellip e Connettivi Logici

se e solo se allora

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Tavole di Veritagrave dei Connettivi Logici

Tavole di VeritagraveTavole di Veritagrave

ldquoEX FALSO SEQUITUR QUODLIBETrdquo

RIFERIMENTIldquoStoria della Matematica fino al 1200 Storia dello zerordquoppt profssa Francesca RussoldquoTavola dei Sillogismirdquo di Alessandro SalernoldquoSTSC-WEB(5)rdquopdf di Giorgio TBagnildquoLogica Fregeanardquopdf da GBoniolo P Vidali Filosofia della scienzaBMondadorildquoBreve storia della Logicardquo di Marco Pivetta ndash ubib060412s003pdf ndash httpulissesissait

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Page 9: LogicaMatematica: Logica delle Proposizioni Logica dei Predicati I.T.E. L. EINAUDI Porto S. Elpidio Logica Matematica: un po di Storia Logica delle Proposizioni.

Paradosso di Russell ndash indovinelli e giochi

Allinizio del ventesimo secolo la logica viene usata per dare fondamento alla teoria intuitiva degli insiemi da Georg Cantor e Gottlob Frege

Proprio da questa prima formalizzazione (detta ingenua) nascono i primi problemi paradossali riguardanti logica e matematica proprio mentre Frege si accingeva a pubblicare i suoi risultati il matematico e filosofo Bertrand Russell (1872-1970) enuncia quello che egrave universalmente noto come paradosso di Russell che mina le basi della teoria di Cantor-Frege Questultima deve essere abbandonata e piugrave tardi viene sostituita dalla teoria assiomatica degli insiemi introdotta da Zermelo e perfezionata da Fraenkel

Oggi la logica egrave lo strumento privilegiato per lo sviluppo della matematica percheacute permette di procedere attraverso regole ben precise che assicurano la correttezza delle dimostrazioni

Cegrave da dire infine che la logica oltre a tutti i suoi utilizzi linguistici e matematici presenta anche un aspetto ludico Utilizzando la logica egrave possibile dare vita ad un numero elevatissimo di indovinelli e giochi che stuzzicando la mente rendono questa disciplina piugrave facilmente avvicinabile da tutti E forse anche piugrave divertente

Qualche paradosso

bull Il paradosso del mentitore Ersquo questo il piugrave celebre dei paradossi quello che ha conosciuto maggiore fortuna nella storia del pensiero impegnando per la sua soluzione una numerosa schiera di filosofi e logici La formulazione piugrave vicina a quella originale di Eubulide sembra quella tramandataci da Cicerone Se dici che menti e in ciograve dici il vero menti o dici la veritagrave

Di questo paradosso sono note anche altre versioni una delle piugrave celebri egrave la seguenteEpimenide cretese afferma che tutti i cretesi sono bugiardi Ersquo vero o no quanto afferma Epimenide

La sua forma piugrave semplice Assai semplicemente esso puograve venire espresso con lrsquoasserto ldquoquesto enunciato egrave falsordquo Ersquo lrsquoenunciato vero o falso

Il paradosso del postino Il postino prende la posta per tutti coloro che non se la prendono da soli ed ovviamente non prende la posta per tutti coloro che la prendono da soli Ma allora chi prende la posta del postino Se egrave lo stesso postino che prende la posta allora ne deriva che egli non prende la posta per se se invece non la prende allora si presume che egli la prende

Il paradosso del barbiere Presentato da Russell egrave del tutto simile a quello del postino Il barbiere fa la barba a tutti coloro che non la fanno da seacute Chi fa la barba al barbiere

Ed ora veniamo

al dunque

Logica Aristotelica e Megarico-Stoica

Aristotele indicava cosigrave i tre principi logici fondamentalii tre principi logici fondamentali riguar-danti la Logica dei Predicati validi anche per la Logica delle Proposizioni ( o degli Enunciati)

1- Principio di non contraddizione una proposizione e la sua negazione non possono essere contemporaneamente vere 2- Principio di identitagrave ogni proposizione egrave uguale (equivale)

a se stessa3- Principio del terzo escluso tra una proposizione e la sua negazione

almeno una egrave vera (e quindi per il n1 una sola) cioegrave una proposizione o egrave vera o egrave falsa

(non crsquoegrave una terza possibilitagrave) (tertium non datur)

LOGICA ARISTOTELICA qualche esempio di ragionamento (sillogismo)

LOGICA DEI PREDICATILOGICA DEI PREDICATILa logica aristotelica prevedeva lrsquoanalisi interna di alcuni tipidi proposizioni (universali particolari affermative negative) e lo studio dei sillogismi (Un sillogismo ha due premesse e una conclusione)

mentre la logica megarico-stoica non diversificava le proposizioni

Le proposizioni secondo Aristotele1048708 tipo A - Universale affermativaad esempio Tutti gli orsi sono vertebrati1048708 tipo I - Particolare affermativaad esempio Alcuni uccelli sono rapaci1048708 tipo E - Universale negativaad esempio Tutti gli orsi non sono pesci(ovvero Nessun orso egrave un pesce)1048708 tipo O - Particolare negativaad esempio Alcuni uccelli non sono rapaci

Sillogismo di tipo E A E

( CELAR ENT )E Nessun mammifero egrave un pesceA Tutti gli uomini sono mammiferi------------------------ E Nessun uomo egrave un pesce

Sillogismo di tipo A A A

( BARBARA )A Tutti i viventi invecchianoA Tutti i vegetali sono viventi------------------------ A Tutti i vegetali invecchiano

LOGICA ARISTOTELICA qualche esempio di ragionamento (sillogismo)

A(tutti sono europei)(tutti gli uomini sono europei)

E (tutti sono non europeicioegrave nessuno egrave europeo)(nessun uomo egrave europeo)

I = notE(esiste un europeo)(esiste almeno un uomo che egrave europeo)

O = notA(esiste un non europeo(esiste almeno un uomo che non egrave

europeo)cioegrave non tutti sono europei)

Altri esempi di tipi di Sillogismo i tipi corretti di Sillogismo sono 19 su 256(44)

Sillogismo di tipo A I I

( D A R I I )A Tutti gli uomini sono mortaliI Socrate egrave un uomo------------------------ I Socrate egrave mortale

Sillogismo di tipo A O O

( BAROCO )A Tutti i gatti sono esseri viventiO La Luna non egrave un essere vivente------------------------ O La Luna non egrave un gatto

Sillogismo di tipo E I O

( FERIO )E Nessun amico egrave un traditoreI Franco egrave un amico------------------------ O Franco non egrave un traditore

Sillogismo di tipo A A I

( DARAPTI )A Tutti i Pini sono ConifereA Tutti i Pini sono Vegetali------------------------ I Alcuni Vegetali sono Conifere

Adesso immaginiamo che le proposizioni ci vengano

nascoste

Possiamo solo sapere se sono vere o false ma nessuno ci dagrave

altre informazioni

1048708 Diremo enunciato o proposizione unrsquoaffermazioneche assume uno ed un solo valore di veritagrave

vero o falso1048708 Tale caratteristica egrave tuttrsquoaltro che banale infatti nontutte le affermazioni assumono incontestabilmente unoed un solo valore di veritagrave1048708 Alcuni enunciati sono costituiti da una solaaffermazione (laquoAtene egrave in Greciaraquo) e sono dettienunciati atomici1048708 Nella logica proposizionale prescinderemo dallaldquostruttura internardquo degli enunciati

Logica delle Proposizioni o EnunciatiLogica delle Proposizioni o Enunciati

Veritagrave e falsitagrave1048708 Enunciati composti sono costituiti da piugrave affermazioni collegate da

opportune parole (connettivi) comee o se allora se e solo se non o o

aut

1048708 I connettivi collegano gli enunciati senza riguardo al significato che possono assumere quelli lrsquounica caratteristica

che viene indicata nella loro definizione egrave quale valore di veritagrave abbia lrsquoenunciato composto a partire soltanto dai valori di veritagrave assegnati agli enunciati componenti

1048708 Le tavole di veritagrave riassumono (in versione moderna) le definizioni dei connettivi

Proposizioni hellip e Connettivi LogiciProposizioni hellip e Connettivi Logici

se e solo se allora

a b a b

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Tavole di Veritagrave dei Connettivi Logici

Tavole di VeritagraveTavole di Veritagrave

ldquoEX FALSO SEQUITUR QUODLIBETrdquo

RIFERIMENTIldquoStoria della Matematica fino al 1200 Storia dello zerordquoppt profssa Francesca RussoldquoTavola dei Sillogismirdquo di Alessandro SalernoldquoSTSC-WEB(5)rdquopdf di Giorgio TBagnildquoLogica Fregeanardquopdf da GBoniolo P Vidali Filosofia della scienzaBMondadorildquoBreve storia della Logicardquo di Marco Pivetta ndash ubib060412s003pdf ndash httpulissesissait

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Qualche paradosso

bull Il paradosso del mentitore Ersquo questo il piugrave celebre dei paradossi quello che ha conosciuto maggiore fortuna nella storia del pensiero impegnando per la sua soluzione una numerosa schiera di filosofi e logici La formulazione piugrave vicina a quella originale di Eubulide sembra quella tramandataci da Cicerone Se dici che menti e in ciograve dici il vero menti o dici la veritagrave

Di questo paradosso sono note anche altre versioni una delle piugrave celebri egrave la seguenteEpimenide cretese afferma che tutti i cretesi sono bugiardi Ersquo vero o no quanto afferma Epimenide

La sua forma piugrave semplice Assai semplicemente esso puograve venire espresso con lrsquoasserto ldquoquesto enunciato egrave falsordquo Ersquo lrsquoenunciato vero o falso

Il paradosso del postino Il postino prende la posta per tutti coloro che non se la prendono da soli ed ovviamente non prende la posta per tutti coloro che la prendono da soli Ma allora chi prende la posta del postino Se egrave lo stesso postino che prende la posta allora ne deriva che egli non prende la posta per se se invece non la prende allora si presume che egli la prende

Il paradosso del barbiere Presentato da Russell egrave del tutto simile a quello del postino Il barbiere fa la barba a tutti coloro che non la fanno da seacute Chi fa la barba al barbiere

Ed ora veniamo

al dunque

Logica Aristotelica e Megarico-Stoica

Aristotele indicava cosigrave i tre principi logici fondamentalii tre principi logici fondamentali riguar-danti la Logica dei Predicati validi anche per la Logica delle Proposizioni ( o degli Enunciati)

1- Principio di non contraddizione una proposizione e la sua negazione non possono essere contemporaneamente vere 2- Principio di identitagrave ogni proposizione egrave uguale (equivale)

a se stessa3- Principio del terzo escluso tra una proposizione e la sua negazione

almeno una egrave vera (e quindi per il n1 una sola) cioegrave una proposizione o egrave vera o egrave falsa

(non crsquoegrave una terza possibilitagrave) (tertium non datur)

LOGICA ARISTOTELICA qualche esempio di ragionamento (sillogismo)

LOGICA DEI PREDICATILOGICA DEI PREDICATILa logica aristotelica prevedeva lrsquoanalisi interna di alcuni tipidi proposizioni (universali particolari affermative negative) e lo studio dei sillogismi (Un sillogismo ha due premesse e una conclusione)

mentre la logica megarico-stoica non diversificava le proposizioni

Le proposizioni secondo Aristotele1048708 tipo A - Universale affermativaad esempio Tutti gli orsi sono vertebrati1048708 tipo I - Particolare affermativaad esempio Alcuni uccelli sono rapaci1048708 tipo E - Universale negativaad esempio Tutti gli orsi non sono pesci(ovvero Nessun orso egrave un pesce)1048708 tipo O - Particolare negativaad esempio Alcuni uccelli non sono rapaci

Sillogismo di tipo E A E

( CELAR ENT )E Nessun mammifero egrave un pesceA Tutti gli uomini sono mammiferi------------------------ E Nessun uomo egrave un pesce

Sillogismo di tipo A A A

( BARBARA )A Tutti i viventi invecchianoA Tutti i vegetali sono viventi------------------------ A Tutti i vegetali invecchiano

LOGICA ARISTOTELICA qualche esempio di ragionamento (sillogismo)

A(tutti sono europei)(tutti gli uomini sono europei)

E (tutti sono non europeicioegrave nessuno egrave europeo)(nessun uomo egrave europeo)

I = notE(esiste un europeo)(esiste almeno un uomo che egrave europeo)

O = notA(esiste un non europeo(esiste almeno un uomo che non egrave

europeo)cioegrave non tutti sono europei)

Altri esempi di tipi di Sillogismo i tipi corretti di Sillogismo sono 19 su 256(44)

Sillogismo di tipo A I I

( D A R I I )A Tutti gli uomini sono mortaliI Socrate egrave un uomo------------------------ I Socrate egrave mortale

Sillogismo di tipo A O O

( BAROCO )A Tutti i gatti sono esseri viventiO La Luna non egrave un essere vivente------------------------ O La Luna non egrave un gatto

Sillogismo di tipo E I O

( FERIO )E Nessun amico egrave un traditoreI Franco egrave un amico------------------------ O Franco non egrave un traditore

Sillogismo di tipo A A I

( DARAPTI )A Tutti i Pini sono ConifereA Tutti i Pini sono Vegetali------------------------ I Alcuni Vegetali sono Conifere

Adesso immaginiamo che le proposizioni ci vengano

nascoste

Possiamo solo sapere se sono vere o false ma nessuno ci dagrave

altre informazioni

1048708 Diremo enunciato o proposizione unrsquoaffermazioneche assume uno ed un solo valore di veritagrave

vero o falso1048708 Tale caratteristica egrave tuttrsquoaltro che banale infatti nontutte le affermazioni assumono incontestabilmente unoed un solo valore di veritagrave1048708 Alcuni enunciati sono costituiti da una solaaffermazione (laquoAtene egrave in Greciaraquo) e sono dettienunciati atomici1048708 Nella logica proposizionale prescinderemo dallaldquostruttura internardquo degli enunciati

Logica delle Proposizioni o EnunciatiLogica delle Proposizioni o Enunciati

Veritagrave e falsitagrave1048708 Enunciati composti sono costituiti da piugrave affermazioni collegate da

opportune parole (connettivi) comee o se allora se e solo se non o o

aut

1048708 I connettivi collegano gli enunciati senza riguardo al significato che possono assumere quelli lrsquounica caratteristica

che viene indicata nella loro definizione egrave quale valore di veritagrave abbia lrsquoenunciato composto a partire soltanto dai valori di veritagrave assegnati agli enunciati componenti

1048708 Le tavole di veritagrave riassumono (in versione moderna) le definizioni dei connettivi

Proposizioni hellip e Connettivi LogiciProposizioni hellip e Connettivi Logici

se e solo se allora

a b a b

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Tavole di Veritagrave dei Connettivi Logici

Tavole di VeritagraveTavole di Veritagrave

ldquoEX FALSO SEQUITUR QUODLIBETrdquo

RIFERIMENTIldquoStoria della Matematica fino al 1200 Storia dello zerordquoppt profssa Francesca RussoldquoTavola dei Sillogismirdquo di Alessandro SalernoldquoSTSC-WEB(5)rdquopdf di Giorgio TBagnildquoLogica Fregeanardquopdf da GBoniolo P Vidali Filosofia della scienzaBMondadorildquoBreve storia della Logicardquo di Marco Pivetta ndash ubib060412s003pdf ndash httpulissesissait

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Ed ora veniamo

al dunque

Logica Aristotelica e Megarico-Stoica

Aristotele indicava cosigrave i tre principi logici fondamentalii tre principi logici fondamentali riguar-danti la Logica dei Predicati validi anche per la Logica delle Proposizioni ( o degli Enunciati)

1- Principio di non contraddizione una proposizione e la sua negazione non possono essere contemporaneamente vere 2- Principio di identitagrave ogni proposizione egrave uguale (equivale)

a se stessa3- Principio del terzo escluso tra una proposizione e la sua negazione

almeno una egrave vera (e quindi per il n1 una sola) cioegrave una proposizione o egrave vera o egrave falsa

(non crsquoegrave una terza possibilitagrave) (tertium non datur)

LOGICA ARISTOTELICA qualche esempio di ragionamento (sillogismo)

LOGICA DEI PREDICATILOGICA DEI PREDICATILa logica aristotelica prevedeva lrsquoanalisi interna di alcuni tipidi proposizioni (universali particolari affermative negative) e lo studio dei sillogismi (Un sillogismo ha due premesse e una conclusione)

mentre la logica megarico-stoica non diversificava le proposizioni

Le proposizioni secondo Aristotele1048708 tipo A - Universale affermativaad esempio Tutti gli orsi sono vertebrati1048708 tipo I - Particolare affermativaad esempio Alcuni uccelli sono rapaci1048708 tipo E - Universale negativaad esempio Tutti gli orsi non sono pesci(ovvero Nessun orso egrave un pesce)1048708 tipo O - Particolare negativaad esempio Alcuni uccelli non sono rapaci

Sillogismo di tipo E A E

( CELAR ENT )E Nessun mammifero egrave un pesceA Tutti gli uomini sono mammiferi------------------------ E Nessun uomo egrave un pesce

Sillogismo di tipo A A A

( BARBARA )A Tutti i viventi invecchianoA Tutti i vegetali sono viventi------------------------ A Tutti i vegetali invecchiano

LOGICA ARISTOTELICA qualche esempio di ragionamento (sillogismo)

A(tutti sono europei)(tutti gli uomini sono europei)

E (tutti sono non europeicioegrave nessuno egrave europeo)(nessun uomo egrave europeo)

I = notE(esiste un europeo)(esiste almeno un uomo che egrave europeo)

O = notA(esiste un non europeo(esiste almeno un uomo che non egrave

europeo)cioegrave non tutti sono europei)

Altri esempi di tipi di Sillogismo i tipi corretti di Sillogismo sono 19 su 256(44)

Sillogismo di tipo A I I

( D A R I I )A Tutti gli uomini sono mortaliI Socrate egrave un uomo------------------------ I Socrate egrave mortale

Sillogismo di tipo A O O

( BAROCO )A Tutti i gatti sono esseri viventiO La Luna non egrave un essere vivente------------------------ O La Luna non egrave un gatto

Sillogismo di tipo E I O

( FERIO )E Nessun amico egrave un traditoreI Franco egrave un amico------------------------ O Franco non egrave un traditore

Sillogismo di tipo A A I

( DARAPTI )A Tutti i Pini sono ConifereA Tutti i Pini sono Vegetali------------------------ I Alcuni Vegetali sono Conifere

Adesso immaginiamo che le proposizioni ci vengano

nascoste

Possiamo solo sapere se sono vere o false ma nessuno ci dagrave

altre informazioni

1048708 Diremo enunciato o proposizione unrsquoaffermazioneche assume uno ed un solo valore di veritagrave

vero o falso1048708 Tale caratteristica egrave tuttrsquoaltro che banale infatti nontutte le affermazioni assumono incontestabilmente unoed un solo valore di veritagrave1048708 Alcuni enunciati sono costituiti da una solaaffermazione (laquoAtene egrave in Greciaraquo) e sono dettienunciati atomici1048708 Nella logica proposizionale prescinderemo dallaldquostruttura internardquo degli enunciati

Logica delle Proposizioni o EnunciatiLogica delle Proposizioni o Enunciati

Veritagrave e falsitagrave1048708 Enunciati composti sono costituiti da piugrave affermazioni collegate da

opportune parole (connettivi) comee o se allora se e solo se non o o

aut

1048708 I connettivi collegano gli enunciati senza riguardo al significato che possono assumere quelli lrsquounica caratteristica

che viene indicata nella loro definizione egrave quale valore di veritagrave abbia lrsquoenunciato composto a partire soltanto dai valori di veritagrave assegnati agli enunciati componenti

1048708 Le tavole di veritagrave riassumono (in versione moderna) le definizioni dei connettivi

Proposizioni hellip e Connettivi LogiciProposizioni hellip e Connettivi Logici

se e solo se allora

a b a b

V V V

V F F

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V V V

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Tavole di Veritagrave dei Connettivi Logici

Tavole di VeritagraveTavole di Veritagrave

ldquoEX FALSO SEQUITUR QUODLIBETrdquo

RIFERIMENTIldquoStoria della Matematica fino al 1200 Storia dello zerordquoppt profssa Francesca RussoldquoTavola dei Sillogismirdquo di Alessandro SalernoldquoSTSC-WEB(5)rdquopdf di Giorgio TBagnildquoLogica Fregeanardquopdf da GBoniolo P Vidali Filosofia della scienzaBMondadorildquoBreve storia della Logicardquo di Marco Pivetta ndash ubib060412s003pdf ndash httpulissesissait

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Logica Aristotelica e Megarico-Stoica

Aristotele indicava cosigrave i tre principi logici fondamentalii tre principi logici fondamentali riguar-danti la Logica dei Predicati validi anche per la Logica delle Proposizioni ( o degli Enunciati)

1- Principio di non contraddizione una proposizione e la sua negazione non possono essere contemporaneamente vere 2- Principio di identitagrave ogni proposizione egrave uguale (equivale)

a se stessa3- Principio del terzo escluso tra una proposizione e la sua negazione

almeno una egrave vera (e quindi per il n1 una sola) cioegrave una proposizione o egrave vera o egrave falsa

(non crsquoegrave una terza possibilitagrave) (tertium non datur)

LOGICA ARISTOTELICA qualche esempio di ragionamento (sillogismo)

LOGICA DEI PREDICATILOGICA DEI PREDICATILa logica aristotelica prevedeva lrsquoanalisi interna di alcuni tipidi proposizioni (universali particolari affermative negative) e lo studio dei sillogismi (Un sillogismo ha due premesse e una conclusione)

mentre la logica megarico-stoica non diversificava le proposizioni

Le proposizioni secondo Aristotele1048708 tipo A - Universale affermativaad esempio Tutti gli orsi sono vertebrati1048708 tipo I - Particolare affermativaad esempio Alcuni uccelli sono rapaci1048708 tipo E - Universale negativaad esempio Tutti gli orsi non sono pesci(ovvero Nessun orso egrave un pesce)1048708 tipo O - Particolare negativaad esempio Alcuni uccelli non sono rapaci

Sillogismo di tipo E A E

( CELAR ENT )E Nessun mammifero egrave un pesceA Tutti gli uomini sono mammiferi------------------------ E Nessun uomo egrave un pesce

Sillogismo di tipo A A A

( BARBARA )A Tutti i viventi invecchianoA Tutti i vegetali sono viventi------------------------ A Tutti i vegetali invecchiano

LOGICA ARISTOTELICA qualche esempio di ragionamento (sillogismo)

A(tutti sono europei)(tutti gli uomini sono europei)

E (tutti sono non europeicioegrave nessuno egrave europeo)(nessun uomo egrave europeo)

I = notE(esiste un europeo)(esiste almeno un uomo che egrave europeo)

O = notA(esiste un non europeo(esiste almeno un uomo che non egrave

europeo)cioegrave non tutti sono europei)

Altri esempi di tipi di Sillogismo i tipi corretti di Sillogismo sono 19 su 256(44)

Sillogismo di tipo A I I

( D A R I I )A Tutti gli uomini sono mortaliI Socrate egrave un uomo------------------------ I Socrate egrave mortale

Sillogismo di tipo A O O

( BAROCO )A Tutti i gatti sono esseri viventiO La Luna non egrave un essere vivente------------------------ O La Luna non egrave un gatto

Sillogismo di tipo E I O

( FERIO )E Nessun amico egrave un traditoreI Franco egrave un amico------------------------ O Franco non egrave un traditore

Sillogismo di tipo A A I

( DARAPTI )A Tutti i Pini sono ConifereA Tutti i Pini sono Vegetali------------------------ I Alcuni Vegetali sono Conifere

Adesso immaginiamo che le proposizioni ci vengano

nascoste

Possiamo solo sapere se sono vere o false ma nessuno ci dagrave

altre informazioni

1048708 Diremo enunciato o proposizione unrsquoaffermazioneche assume uno ed un solo valore di veritagrave

vero o falso1048708 Tale caratteristica egrave tuttrsquoaltro che banale infatti nontutte le affermazioni assumono incontestabilmente unoed un solo valore di veritagrave1048708 Alcuni enunciati sono costituiti da una solaaffermazione (laquoAtene egrave in Greciaraquo) e sono dettienunciati atomici1048708 Nella logica proposizionale prescinderemo dallaldquostruttura internardquo degli enunciati

Logica delle Proposizioni o EnunciatiLogica delle Proposizioni o Enunciati

Veritagrave e falsitagrave1048708 Enunciati composti sono costituiti da piugrave affermazioni collegate da

opportune parole (connettivi) comee o se allora se e solo se non o o

aut

1048708 I connettivi collegano gli enunciati senza riguardo al significato che possono assumere quelli lrsquounica caratteristica

che viene indicata nella loro definizione egrave quale valore di veritagrave abbia lrsquoenunciato composto a partire soltanto dai valori di veritagrave assegnati agli enunciati componenti

1048708 Le tavole di veritagrave riassumono (in versione moderna) le definizioni dei connettivi

Proposizioni hellip e Connettivi LogiciProposizioni hellip e Connettivi Logici

se e solo se allora

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Tavole di Veritagrave dei Connettivi Logici

Tavole di VeritagraveTavole di Veritagrave

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RIFERIMENTIldquoStoria della Matematica fino al 1200 Storia dello zerordquoppt profssa Francesca RussoldquoTavola dei Sillogismirdquo di Alessandro SalernoldquoSTSC-WEB(5)rdquopdf di Giorgio TBagnildquoLogica Fregeanardquopdf da GBoniolo P Vidali Filosofia della scienzaBMondadorildquoBreve storia della Logicardquo di Marco Pivetta ndash ubib060412s003pdf ndash httpulissesissait

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LOGICA ARISTOTELICA qualche esempio di ragionamento (sillogismo)

LOGICA DEI PREDICATILOGICA DEI PREDICATILa logica aristotelica prevedeva lrsquoanalisi interna di alcuni tipidi proposizioni (universali particolari affermative negative) e lo studio dei sillogismi (Un sillogismo ha due premesse e una conclusione)

mentre la logica megarico-stoica non diversificava le proposizioni

Le proposizioni secondo Aristotele1048708 tipo A - Universale affermativaad esempio Tutti gli orsi sono vertebrati1048708 tipo I - Particolare affermativaad esempio Alcuni uccelli sono rapaci1048708 tipo E - Universale negativaad esempio Tutti gli orsi non sono pesci(ovvero Nessun orso egrave un pesce)1048708 tipo O - Particolare negativaad esempio Alcuni uccelli non sono rapaci

Sillogismo di tipo E A E

( CELAR ENT )E Nessun mammifero egrave un pesceA Tutti gli uomini sono mammiferi------------------------ E Nessun uomo egrave un pesce

Sillogismo di tipo A A A

( BARBARA )A Tutti i viventi invecchianoA Tutti i vegetali sono viventi------------------------ A Tutti i vegetali invecchiano

LOGICA ARISTOTELICA qualche esempio di ragionamento (sillogismo)

A(tutti sono europei)(tutti gli uomini sono europei)

E (tutti sono non europeicioegrave nessuno egrave europeo)(nessun uomo egrave europeo)

I = notE(esiste un europeo)(esiste almeno un uomo che egrave europeo)

O = notA(esiste un non europeo(esiste almeno un uomo che non egrave

europeo)cioegrave non tutti sono europei)

Altri esempi di tipi di Sillogismo i tipi corretti di Sillogismo sono 19 su 256(44)

Sillogismo di tipo A I I

( D A R I I )A Tutti gli uomini sono mortaliI Socrate egrave un uomo------------------------ I Socrate egrave mortale

Sillogismo di tipo A O O

( BAROCO )A Tutti i gatti sono esseri viventiO La Luna non egrave un essere vivente------------------------ O La Luna non egrave un gatto

Sillogismo di tipo E I O

( FERIO )E Nessun amico egrave un traditoreI Franco egrave un amico------------------------ O Franco non egrave un traditore

Sillogismo di tipo A A I

( DARAPTI )A Tutti i Pini sono ConifereA Tutti i Pini sono Vegetali------------------------ I Alcuni Vegetali sono Conifere

Adesso immaginiamo che le proposizioni ci vengano

nascoste

Possiamo solo sapere se sono vere o false ma nessuno ci dagrave

altre informazioni

1048708 Diremo enunciato o proposizione unrsquoaffermazioneche assume uno ed un solo valore di veritagrave

vero o falso1048708 Tale caratteristica egrave tuttrsquoaltro che banale infatti nontutte le affermazioni assumono incontestabilmente unoed un solo valore di veritagrave1048708 Alcuni enunciati sono costituiti da una solaaffermazione (laquoAtene egrave in Greciaraquo) e sono dettienunciati atomici1048708 Nella logica proposizionale prescinderemo dallaldquostruttura internardquo degli enunciati

Logica delle Proposizioni o EnunciatiLogica delle Proposizioni o Enunciati

Veritagrave e falsitagrave1048708 Enunciati composti sono costituiti da piugrave affermazioni collegate da

opportune parole (connettivi) comee o se allora se e solo se non o o

aut

1048708 I connettivi collegano gli enunciati senza riguardo al significato che possono assumere quelli lrsquounica caratteristica

che viene indicata nella loro definizione egrave quale valore di veritagrave abbia lrsquoenunciato composto a partire soltanto dai valori di veritagrave assegnati agli enunciati componenti

1048708 Le tavole di veritagrave riassumono (in versione moderna) le definizioni dei connettivi

Proposizioni hellip e Connettivi LogiciProposizioni hellip e Connettivi Logici

se e solo se allora

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Tavole di Veritagrave dei Connettivi Logici

Tavole di VeritagraveTavole di Veritagrave

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LOGICA ARISTOTELICA qualche esempio di ragionamento (sillogismo)

A(tutti sono europei)(tutti gli uomini sono europei)

E (tutti sono non europeicioegrave nessuno egrave europeo)(nessun uomo egrave europeo)

I = notE(esiste un europeo)(esiste almeno un uomo che egrave europeo)

O = notA(esiste un non europeo(esiste almeno un uomo che non egrave

europeo)cioegrave non tutti sono europei)

Altri esempi di tipi di Sillogismo i tipi corretti di Sillogismo sono 19 su 256(44)

Sillogismo di tipo A I I

( D A R I I )A Tutti gli uomini sono mortaliI Socrate egrave un uomo------------------------ I Socrate egrave mortale

Sillogismo di tipo A O O

( BAROCO )A Tutti i gatti sono esseri viventiO La Luna non egrave un essere vivente------------------------ O La Luna non egrave un gatto

Sillogismo di tipo E I O

( FERIO )E Nessun amico egrave un traditoreI Franco egrave un amico------------------------ O Franco non egrave un traditore

Sillogismo di tipo A A I

( DARAPTI )A Tutti i Pini sono ConifereA Tutti i Pini sono Vegetali------------------------ I Alcuni Vegetali sono Conifere

Adesso immaginiamo che le proposizioni ci vengano

nascoste

Possiamo solo sapere se sono vere o false ma nessuno ci dagrave

altre informazioni

1048708 Diremo enunciato o proposizione unrsquoaffermazioneche assume uno ed un solo valore di veritagrave

vero o falso1048708 Tale caratteristica egrave tuttrsquoaltro che banale infatti nontutte le affermazioni assumono incontestabilmente unoed un solo valore di veritagrave1048708 Alcuni enunciati sono costituiti da una solaaffermazione (laquoAtene egrave in Greciaraquo) e sono dettienunciati atomici1048708 Nella logica proposizionale prescinderemo dallaldquostruttura internardquo degli enunciati

Logica delle Proposizioni o EnunciatiLogica delle Proposizioni o Enunciati

Veritagrave e falsitagrave1048708 Enunciati composti sono costituiti da piugrave affermazioni collegate da

opportune parole (connettivi) comee o se allora se e solo se non o o

aut

1048708 I connettivi collegano gli enunciati senza riguardo al significato che possono assumere quelli lrsquounica caratteristica

che viene indicata nella loro definizione egrave quale valore di veritagrave abbia lrsquoenunciato composto a partire soltanto dai valori di veritagrave assegnati agli enunciati componenti

1048708 Le tavole di veritagrave riassumono (in versione moderna) le definizioni dei connettivi

Proposizioni hellip e Connettivi LogiciProposizioni hellip e Connettivi Logici

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Tavole di Veritagrave dei Connettivi Logici

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Altri esempi di tipi di Sillogismo i tipi corretti di Sillogismo sono 19 su 256(44)

Sillogismo di tipo A I I

( D A R I I )A Tutti gli uomini sono mortaliI Socrate egrave un uomo------------------------ I Socrate egrave mortale

Sillogismo di tipo A O O

( BAROCO )A Tutti i gatti sono esseri viventiO La Luna non egrave un essere vivente------------------------ O La Luna non egrave un gatto

Sillogismo di tipo E I O

( FERIO )E Nessun amico egrave un traditoreI Franco egrave un amico------------------------ O Franco non egrave un traditore

Sillogismo di tipo A A I

( DARAPTI )A Tutti i Pini sono ConifereA Tutti i Pini sono Vegetali------------------------ I Alcuni Vegetali sono Conifere

Adesso immaginiamo che le proposizioni ci vengano

nascoste

Possiamo solo sapere se sono vere o false ma nessuno ci dagrave

altre informazioni

1048708 Diremo enunciato o proposizione unrsquoaffermazioneche assume uno ed un solo valore di veritagrave

vero o falso1048708 Tale caratteristica egrave tuttrsquoaltro che banale infatti nontutte le affermazioni assumono incontestabilmente unoed un solo valore di veritagrave1048708 Alcuni enunciati sono costituiti da una solaaffermazione (laquoAtene egrave in Greciaraquo) e sono dettienunciati atomici1048708 Nella logica proposizionale prescinderemo dallaldquostruttura internardquo degli enunciati

Logica delle Proposizioni o EnunciatiLogica delle Proposizioni o Enunciati

Veritagrave e falsitagrave1048708 Enunciati composti sono costituiti da piugrave affermazioni collegate da

opportune parole (connettivi) comee o se allora se e solo se non o o

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che viene indicata nella loro definizione egrave quale valore di veritagrave abbia lrsquoenunciato composto a partire soltanto dai valori di veritagrave assegnati agli enunciati componenti

1048708 Le tavole di veritagrave riassumono (in versione moderna) le definizioni dei connettivi

Proposizioni hellip e Connettivi LogiciProposizioni hellip e Connettivi Logici

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Tavole di Veritagrave dei Connettivi Logici

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Adesso immaginiamo che le proposizioni ci vengano

nascoste

Possiamo solo sapere se sono vere o false ma nessuno ci dagrave

altre informazioni

1048708 Diremo enunciato o proposizione unrsquoaffermazioneche assume uno ed un solo valore di veritagrave

vero o falso1048708 Tale caratteristica egrave tuttrsquoaltro che banale infatti nontutte le affermazioni assumono incontestabilmente unoed un solo valore di veritagrave1048708 Alcuni enunciati sono costituiti da una solaaffermazione (laquoAtene egrave in Greciaraquo) e sono dettienunciati atomici1048708 Nella logica proposizionale prescinderemo dallaldquostruttura internardquo degli enunciati

Logica delle Proposizioni o EnunciatiLogica delle Proposizioni o Enunciati

Veritagrave e falsitagrave1048708 Enunciati composti sono costituiti da piugrave affermazioni collegate da

opportune parole (connettivi) comee o se allora se e solo se non o o

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1048708 I connettivi collegano gli enunciati senza riguardo al significato che possono assumere quelli lrsquounica caratteristica

che viene indicata nella loro definizione egrave quale valore di veritagrave abbia lrsquoenunciato composto a partire soltanto dai valori di veritagrave assegnati agli enunciati componenti

1048708 Le tavole di veritagrave riassumono (in versione moderna) le definizioni dei connettivi

Proposizioni hellip e Connettivi LogiciProposizioni hellip e Connettivi Logici

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1048708 Diremo enunciato o proposizione unrsquoaffermazioneche assume uno ed un solo valore di veritagrave

vero o falso1048708 Tale caratteristica egrave tuttrsquoaltro che banale infatti nontutte le affermazioni assumono incontestabilmente unoed un solo valore di veritagrave1048708 Alcuni enunciati sono costituiti da una solaaffermazione (laquoAtene egrave in Greciaraquo) e sono dettienunciati atomici1048708 Nella logica proposizionale prescinderemo dallaldquostruttura internardquo degli enunciati

Logica delle Proposizioni o EnunciatiLogica delle Proposizioni o Enunciati

Veritagrave e falsitagrave1048708 Enunciati composti sono costituiti da piugrave affermazioni collegate da

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1048708 Le tavole di veritagrave riassumono (in versione moderna) le definizioni dei connettivi

Proposizioni hellip e Connettivi LogiciProposizioni hellip e Connettivi Logici

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Veritagrave e falsitagrave1048708 Enunciati composti sono costituiti da piugrave affermazioni collegate da

opportune parole (connettivi) comee o se allora se e solo se non o o

aut

1048708 I connettivi collegano gli enunciati senza riguardo al significato che possono assumere quelli lrsquounica caratteristica

che viene indicata nella loro definizione egrave quale valore di veritagrave abbia lrsquoenunciato composto a partire soltanto dai valori di veritagrave assegnati agli enunciati componenti

1048708 Le tavole di veritagrave riassumono (in versione moderna) le definizioni dei connettivi

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Tavole di VeritagraveTavole di Veritagrave

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RIFERIMENTIldquoStoria della Matematica fino al 1200 Storia dello zerordquoppt profssa Francesca RussoldquoTavola dei Sillogismirdquo di Alessandro SalernoldquoSTSC-WEB(5)rdquopdf di Giorgio TBagnildquoLogica Fregeanardquopdf da GBoniolo P Vidali Filosofia della scienzaBMondadorildquoBreve storia della Logicardquo di Marco Pivetta ndash ubib060412s003pdf ndash httpulissesissait

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Tavole di Veritagrave dei Connettivi Logici

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Tavole di VeritagraveTavole di Veritagrave

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