Ileana Saporiti 25 gennaio 2008

Dall’esperienza al sapere

IN LABORATORIO

PER IMPARARE MATEMATICA

Ileana SaporitiFornovo, 25 gennaio 2008

Ileana Saporiti 25 gennaio 2008

Dall’intuizione alla certezza

“La pianta prende acqua dal terreno, non beve acqua se la si mette sulle foglie. Allo stesso modo la vera conoscenza non va appiccicata, come si fa con un cerotto.

La vera conoscenza è qualcosa che impregna l’uomo. Davanti ai nostri occhi passano tante cose meravigliose. E’ uno spreco se voi non ve ne accorgete.”

Etsuro Sotoo

Ileana Saporiti 25 gennaio 2008

Congettura e scoperta

• Scoprire perché certe relazioni sono vere, dà la stessa emozione di chi le ha scoperte la prima volta. ( un collega )

“I testi matematici hanno la forza dell’evidenza, danno l’impressione che le spiegazioni siano così chiare che avrebbero dovuto esistere da sempre”

“Ciò che soddisfa il desiderio è frutto di un lavoro accanito: l’apparente facilità impedisce una vera conoscenza.”

Laurent Lafforgue

Ileana Saporiti 25 gennaio 2008

• stimolare la curiosità

• sviluppare la capacità critica

• riempire di senso le forme astratte

• pervenire alla comprensione attraverso

l’esperienza

• saper dimostrare

OBIETTIVI

Ileana Saporiti 25 gennaio 2008

• In aula: materiali scolastici semplici o

strutturati

• In laboratorio di informatica:

Excel – Cabri – Derive

Strumenti

Ileana Saporiti 25 gennaio 2008

Attraverso i problemi

Qual è la situazione di partenza?

Analisi delle conoscenze e delle capacità attraverso problemi: riannodiamo i fili

Quante celle in Excel?

La palestra

I figli della vicina

Dividere in gruppi

Ileana Saporiti 25 gennaio 2008

Quante celle?

In Excel:- scopri quante colonne ci sono- quante righe- quante celle- scopri se i numeri trovati sono potenze

di 2 e quali sono gli esponenti

Ileana Saporiti 25 gennaio 2008

La palestra

“L’insegnante di educazione fisica, per un problema di spazio, ha detto che avrebbe portato in palestra metà della classe più mezzo studente. Alle proteste degli altri, l’insegnante ha risposto che la settimana successiva avrebbe portato in palestra metà dei rimanenti più mezzo studente, e nella terza settimana avrebbe portato i rimanenti. Di quanti alunni potrebbe essere composta la classe?”

Ileana Saporiti 25 gennaio 2008

Congetture

• Quando possiamo dire mezzo alunno?• “19 va bene, anche 23 va bene: forse il

numero deve essere primo”

• “ Il primo numero deve essere dispari e anche il secondo”

Ileana Saporiti 25 gennaio 2008

I figli della vicina

“La vicina di casa ha dei figli: l’età del

minore è la metà dell’età del maggiore

e il prodotto di tutte le età è 1664.

Quanti sono i figli della vicina?”

- si deve scomporre - le età dei figli sono i sottomultipli di 1664 - la metà di una potenza

Ileana Saporiti 25 gennaio 2008

Dividere in gruppi

“Un insegnante vuole dividere la classe in gruppi da tre, ma un ragazzo rimane da solo; allora divide in gruppi da quattro ma ne restano due. Prova a dividere in gruppi da cinque, ma restano ancora due ragazzi. Qual è il numero degli alunni della classe?”

Ileana Saporiti 25 gennaio 2008

Il cartone del latte

Due cartoni del latte hanno la stessa superficie laterale data da 16ab, essendo 4a e 4b le dimensioni del rettangolo che si ottiene sviluppando la superficie laterale nel piano.

4b

4a

4a

4b

Quale dei due contiene più latte?

Ileana Saporiti 25 gennaio 2008

V1 = a2 4b V2 = b2 4a

a2 4b ; b2 4a

dividiamo per 4ab:

a ; b

Il volume dipende dallo spigolo di base:

se a > b allora V1 > V2

Ileana Saporiti 25 gennaio 2008

I poligoni reticolari I poligoni reticolari sono poligoni che hanno i vertici

nei punti di un piano cartesiano a coordinate intere.

“Che legame c’è tra l’area di un poligono reticolare, i suoi punti interni e i punti del suo perimetro?”

Area = I + P/2 – 1 Con questa formula si può calcolare l’area di un

triangolo equilatero?E’ sempre possibile decidere se un punto è interno o

si trova sul perimetro?

Il teorema di Pick

Ileana Saporiti 25 gennaio 2008

Trovare formule

I numeri triangolari

n(n + 1) / 2

Ileana Saporiti 25 gennaio 2008

Al lavoro con i numeri naturali

I numeri quadrati

Ileana Saporiti 25 gennaio 2008

Errori per riflettere

I numeri quadrati 2

Scomposizione 2

Il foglio di brutta

Scomposizione 1

I numeri quadrati 1

Ileana Saporiti 25 gennaio 2008

La spirale dei numeri quadrati

Ileana Saporiti 25 gennaio 2008

Ileana Saporiti 25 gennaio 2008

Le terne pitagoricheEsse sono terne di numeri interi, x, y e z, che soddisfano il teorema di Pitagora: x^2 + y^2 = z^2Scriviamo i quadrati dei primi venti numeri naturali e tra questi venti quadrati, operiamo la differenza tra ciascun quadrato e il suo precedente.

1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21

121 144 169 196 225 256 289 361 400 23 25 27 29 31 33 35 37

Ileana Saporiti 25 gennaio 2008

Dall’intuizione alla certezza

Osserviamo che 9 è un quadrato, differenza di due quadrati: 25 e 16. Allora i numeri 3, 4, 5, costituiscono una terna pitagorica. Ci sono altre terne pitagoriche? Quante sono?

Le terne sono infinite, perché ci sono infiniti numeri quadrati dispari.

Guardiamo le prime terne scoperte: com’è una terna rispetto alla precedente?

Ileana Saporiti 25 gennaio 2008

n 3 + 2n 4 + 2n(n+3) 5 + 2n(n+3)

0 3 4 5

1 5 12 13

2 7 24 21

3 9 40 41I numeri della prima colonna sono i numeri naturali.I numeri della seconda colonna sono i numeri dispari a partire da 3, quindi: 3 + 2n

I numeri della terza colonna sono dati da: 4 più 4n più quattro volte i numeri triangolari (1, 3, 6, …). Abbiamo quindi la formula: 4 + 4n + 4n(n +1)/2 = 4 + 2n(n + 3)I numeri dell’ultima colonna sono i numeri della colonna precedente aumentati di 1.

Ileana Saporiti 25 gennaio 2008

2 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23

25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47

49 51 53 55 57 59 61 63 65 67 69 71

73 75 77 79 81 83 85 87 89 91 93 95

97 99 101 103 105 107 109 111 113 115 117

Il crivello di Eratostene

Ileana Saporiti 25 gennaio 2008

Possiamo scrivere una formula per continuare la sequenza dei numeri primi? Euclide aveva la certezza che i numeri primi fossero infiniti. Aveva supposto che i numeri primi fossero tre: il 2, il 3 e il 5, e aveva scritto un numero non divisibile per nessuno di essi: o era primo o era divisibile per un numero primo diverso da essi. Questo significa che i numeri primi non sono solo tre, ma non sono neppure quattro, o cinque, o ….

Euclide però non sapeva determinare il successivo numero primo, a partire da un qualsiasi numero primo: questo è un problema ancora aperto!

Euclide e i numeri primi

Ileana Saporiti 25 gennaio 2008

In laboratorio per calcolare

Verifichiamo con Derive la seguente congettura:

“Se il resto della divisione di 2^n diviso n è 2, allora n è un numero primo.”

n è primo?

Per affermare che una congettura è falsa basterebbe un controesempio …

controesempio 341

Ileana Saporiti 25 gennaio 2008

Sequenze in ExcelEsprimi a parole le formule proposte e realizza una sequenza di almeno10 termini per ogni formula, avendo posto n = 0, 1, 2, 3, … 1) = 7*n 2) = 3n

3) = n*(n+1) Osserva le sequenze proposte e visualizza almeno 10 termini di ogni sequenza, esprimendo a parole la formula da inserire :4) 1 3 5 7 9 … ?5) 0 3 6 9 12 … ?6) 0 3 7 15 31 … ?

Ileana Saporiti 25 gennaio 2008

Un orizzonte infinito

L’insieme dei numeri razionali è denso-“Qual è il numero che viene dopo il 10?”

-“l’ 11”

-“non possiamo dire il 10,1?”

- “sì”

-“e il 10,01? Dimmi un numero tra 10 e 10,01”

-“Ce ne sono infiniti”

E’ utile considerare e risolvere i problemi sapendo che tipo di soluzione si cerca e in quale insieme si trova: ha valore riflettere sul finito se si ha presente l’infinito.

Ridurre la matematica a ciò che serve è una grave mutilazione della ragione.

Ileana Saporiti 25 gennaio 2008

Il percorso minimo

Trovare il percorso minimoQuale percorso deve fare la formica per raggiungere il punto B partendo dal punto A, in modo che sia il più breve? A

B

Disegniamo le due facce del cubo: quando la somma dei segmenti è minima?

Ileana Saporiti 25 gennaio 2008

Area minima

Il quadrato inscritto di area minima

In un quadrato ABCD, inscrivi un altro quadrato PQRS, con P su AB.A quale distanza da A deve essere fissato il punto P, perché PQRS abbia area minima?

Ileana Saporiti 25 gennaio 2008

• Qual è la somma degli angoli interni di un quadrilatero?

E di un pentagono? E di un poligono di n lati?

Congettura e scoperta

• Qual è la somma degli angoli esterni di un quadrilatero? E di un pentagono?

E di un poligono di n lati?

Ileana Saporiti 25 gennaio 2008

“Sia ABC un triangolo equilatero e P un punto interno qualsiasi. Traccia da P le rette perpendicolari ai lati opposti che intersecano in H, K, L.

Calcola la somma delle lunghezze dei segmenti di perpendicolare PH, PK, PL.

Verifica che muovendo il punto P all’interno del triangolo, la somma dei segmenti è costante”

In laboratorio per intuire

Spiega perchè si ottiene tale risultato.

Ileana Saporiti 25 gennaio 2008

Risolvere problemi con Excel• Il problema degli alunni• Il problema della pizzeria• Il problema delle api

EXCEL

Un approccio ai problemi per tentativi, può essere un aiuto per l’analisi e la formalizzazione. Occorre tuttavia condurre i ragazzi a rilevare i limiti della macchina.

Equazioni e problemi

Ileana Saporiti 25 gennaio 2008

In laboratorio per vedere

Disuguaglianze nel triangolo

Se in un triangolo sono date le lunghezze di due lati, che valori può assumere la misura del terzo lato?

Seguire le istruzioni e completare !

Ileana Saporiti 25 gennaio 2008

Disuguaglianze in Excel

Ileana Saporiti 25 gennaio 2008

Risolvere equazioni fratte con Derive

Anche con un software per l’algebra ci sono limiti che dobbiamo evidenziare: il simbolo ci fa capire che l’equazione non ha soluzione, ma non dice perché …

In laboratorio … criticamente

Ileana Saporiti 25 gennaio 2008

Verso gli irrazionali

Laboratorio con i fogli di carta A4

• ottenere un quadrato

• ottenere un rettangolo 1 x 2

• misurare il lato lungo del foglio con il

lato corto

Ileana Saporiti 25 gennaio 2008

Nel foglio A4

Ileana Saporiti 25 gennaio 2008

La chiocciola degli irrazionali

Ileana Saporiti 25 gennaio 2008

Obiettivi raggiunti?

• Rimotivazione

• Adesione al lavoro proposto

• Ricaduta positiva come maggiore

comprensione degli argomenti svolti

• Verifiche di laboratorio

1a

2a

Ileana Saporiti 25 gennaio 2008

grazie e buon lavoro!