Alunno Enrico De Lorenzis IVSB Liceo Scientifico G.C. Vanini – Casarano (Le)

Svolta il 28.11.06

Il pendolo sempliceObbiettivo: studio del moto armonico semplice di un pendolo

Un moto periodico è un moto che si replica nello stesso modo ogni determinato intervallo di tempo, questo intervallo è detto periodo (T). Nella realtà, forze di attrito di diversa natura ostacolano questo moto determinando un’alterazione delle proprie caratteristiche, in particolare l’energia posseduta dal sistema diminuisce nel tempo fino a esaurirsi e di fatto il moto non è più neppure periodico.

Il moto armonico semplice è un particolare tipo di moto periodico corrispondente alla proiezione sul diametro di un moto circolare uniforme. Tutte le grandezze che lo riguardano possono pertanto essere calcolate attraverso la relazione goniometrica che le lega a quelle del moto circolare corrispondente. Definito θ l’angolo descritto da un punto materiale sulla circonferenza, la proiezione dello spazio percorso lungo la stessa, ovvero lo spazio (x) descritto dal moto armonico è, per le leggi della trigonometria, . Inoltre poiché in un moto circolare uniforme

lo spostamento può essere espresso come .Dalla formula si ricava che l’ampiezza (A), lo spostamento massimo in valore assoluto rispetto all’origine, si avrà per cosθ = ±1 ovvero per θ = 0 e θ = π. Graficamente è evidente come A = r, quindi si può scrivere

Poiché il verso di x coincide con il segno della funzione coseno, si deduce che lo spostamento sarà positivo nel primo e quarto quadrante, negativo nel secondo e nel terzo. Come già detto lo spostamento massimo in valore assoluto si ha per θ = 0 e θ = π, mentre sarà nullo per θ = π /2 e θ = 3π/2.

La velocità del moto armonico semplice, considerata la parallela al diametro condotta per il punto di applicazione è uguale a . Dato che in un moto circolare uniforme ,

La formula prevede il segno negativo poiché è evidente come graficamente il vettore della velocità tangenziale nel primo quadrante punti nel verso del semiasse negativo delle ascisse. Il verso della velocità è l’opposto del segno della funzione seno da cui dipende, pertanto la velocità sarà negativa nel primo e secondo quadrante, positiva nel terzo e nel quarto. La velocità massima in valore assoluto si avrà per senθ = ±1, ovvero per θ = π /2 e θ = 3π/2, al contrario sarà zero per θ = 0 e θ = π.

L’accelerazione del moto armonico semplice è espressa, sempre per le leggi della trigonometria dalla relazione e poiché in un moto circolare uniforme

si può concludere che

L’accelerazione massima in valore assoluto si avrà per θ = 0 e θ = π., sarà zero per θ = π /2 e θ = 3π/2. La stessa è positiva nel secondo e terzo quadrante, negativa nel primo e nel quarto quadrante essendo il suo verso determinato dall’opposto del segno della funzione coseno da cui dipende.

Il pendolo è un sistema oscillante in un piano ideale intorno ad un asse per effetto della forza gravitazionale, che e descrive un arco di circonferenza con centro nel punto di sospensione del filo. Una delle proprietà caratteristica del pendolo è la sua tendenza a mantenere immutato il piano di oscillazione rispetto a un riferimento assoluto. Il pendolo semplice né rappresenta il modello ideale, costituito da un punto materiale sospeso a un punto fisso mediante un filo in estensibile, di massa nulla e lunghezza L. Quando il pendolo è in posizione verticale, con θ = 0, la forza peso è annullata dalle tensione del filo e pertanto il sistema è in equilibrio. Quando il pendolo è in movimento, la forza peso si scompone in due componenti perpendicolari tra loro; la prima ha la stessa direzione e verso opposto rispetto alla tensione del filo e perciò e annullata dalla stessa, la seconda invece è quella che produce il moto del pendolo stesso ed è detta forza di richiamo (Fpx). Un pendolo che compie piccole oscillazioni esegue un moto armonico semplice.

T

Fp Fpθ

L

T

θ

Fpx Fpy

x

A

oθx

Aac

oθ

a

θ

Voθ

Vt

θA

-x x

Per le leggi delle trigonometria . Poiché , approssimando lo spostamento x all’arco di circonferenza descritto dal moto , e per il secondo principio della dinamica si può eguagliare

scrivendo ovvero . Dato che in un moto circolare uniforme e effettuando le opportune

semplificazioni

Dalla formula finale (legge di Galileo) è evidente come il periodo non dipenda dalla massa del pendolo ma esclusivamente dalla sua lunghezza. La legge dell’isocronismo, esplicita questa proprietà sostenendo che il periodo del pendolo semplice è indipendente dalla massa sospesa e dall'ampiezza delle oscillazioni ma dipende soltanto dalla lunghezza del filo che sostiene il corpo e dall'accelerazione di gravità. Questa legge è valida solo nel caso in cui il pendolo compia piccole oscillazioni, infatti solo per angoli piccoli l’arco descritto dal moto può essere approssimato alla distanza x dalla verticale dell’azzeramanto.

Strumenti Pendolo semplice Riga Sonar: è uno strumento che permette di individuare la posizione di un oggetto emettendo

delle onde e captandone gli impulsi riflessi. Dal tempo intercorso tra l'emissione del segnale e la ricezione dell'onda riflessa è possibile infatti risalire alla distanza dell'oggetto individuato.

Lab Pro: è un apparecchio che media il passaggio delle informazioni tra il sonar e il computer. È dotato di due porte per l’ingresso delle informazioni.

Logger pro3: è il programma indispensabile per l’elaborazione dei dati acquisiti per mezzo del sonar. Raccoglie tutte le informazioni ed è anche in grado di comporre dei grafici sulla base dalle stesse.

Metodo1. Misurare la lunghezza (L) del pendolo con l’ausilio della riga..2. Sospendere il pendolo ad un supporto e collocare correttamente il sonar. È necessario infatti

che il proiettore del sonar si trovi allineato con il baricentro della massa sospesa del pendolo e collocato ad una distanza tale (70 cm circa che il cono delle onde emesse colpisca il pendolo durante tutto il suo movimento.

3. Predisporre le apparecchiature collegando il sonar al LabPro e questo al computer.

4. Impostare la porta del LabPro per il collegamento con il sonar ciccando sulla barra degli strumenti “LabPro” e poi su “DIG/SONIC 1 o 2” a seconda della porta scelta

5. Prestando attenzione che il pendolo sia fermo procedere all’azzeramento cliccando “Esperimento” sulla barra dei menù e quindi “Azzeramento Sensori”.

6. Mettere in moto il pendolo prestando attenzione a farlo muovere allineato con il sonar e di un angolo abbastanza piccolo da rendere il periodo costante.

7. Cliccare su “Misura” in modo tale che il sonar proceda con le misurazioni e il programma acquisisca ed elabori i dati creando il grafico di x=f(t) e v=f(t). Il sonar considererà lo spostamento come la distanza dalla verticale e lo leggerà negativo, quando il pendolo gli si avvicina, positivo in caso contrario.

Analisi dei dati

Sonar e Lab Pro

La lunghezza del pendolo (L) risulta dalla misurazione effettuata di 0,60m.I dati riportati riguardano la variazione dello spostamento e della velocità per l’intervallo di tempo compreso tra 0,05s e 3,00s. Dagli stessi si ricava che lo spostamento massimo (A) del pendolo rispetto alla posizione idi equilibrio è di circa 0,11m . ■Considerando il tempo trascorso tra due oscillazioni consecutive è possibile ricavare sperimentalmente la misura del periodo.

■

Si può quindi verificare come dalla formula matematica per il calcolo del periodo si ricavi lo stesso valore:

È utile a questo punto rintracciare l’equazioni x=f(t), v=f(t )e a=f(t) per completare lo studio del moto. È fondamentale considerare che la misura da parte del sonar difficilmente è iniziata con il pendolo nella posizione di equilibrio (θ = 0), pertanto è necessario includere nell’equazioni uno sfasamento (φ) che esprima in pratica l’angolo che il pendolo forma con il semiasse positivo delle ascisse a tempo zero. Lo sfasamento, che è valido per tutte e tre le equazioni relative al moto, può essere calcolato sostituendo due valori a caso corrispondenti di posizione e tempo tra quelli registrati dal sonar in una delle tre equazioni. Consideriamo ad esempio la più semplice

Poiché in un moto circolare uniforme , la relazione può essere espresse nel

seguente modo

.

Sostituiamo quindi nell’equazione altre a A=0,11m e T=1,55 precedentemente ricavati I valori t = 1,10s e x = 0,11m

Pertanto l’equazione oraria x=f(t) completa è

Il grafico dello spostamento e della velocità in funzione del tempo riprodotti del computer sulla base dei dati sperimentali, affiancati alla curva ideale del moto che descrive l’equazione ottenuta sono:

Tempo (s)

Posizione (m)

Velocità (m/s)

0,05 -0,040 -0,4670,10 -0,064 -0,4020,15 -0,082 -0,3250,20 -0,096 -0,2510,25 -0,107 -0,1700,30 -0,113 -0,0740,35 -0,115 0,0210,40 -0,111 0,1130,45 -0,104 0,2080,50 -0,090 0,2910,55 -0,074 0,3530,60 -0,055 0,4000,65 -0,033 0,4310,70 -0,011 0,4510,75 0,012 0,4650,80 0,036 0,4630,85 0,055 0,4780,90 0,089 0,3790,95 0,097 0,1981,00 0,103 0,1041,05 0,107 0,069

1,10 0,110 0,1921,15 0,109 0,0551,20 0,106 -0,1661,25 0,093 -0,2791,30 0,076 -0,0351,35 0,057 -0,3881,40 0,037 -0,4181,45 0,015 -0,4301,50 -0,007 -0,4251,55 -0,026 -0,4321,60 -0,051 -0,4231,65 -0,070 -0,3711,70 -0,088 -0,2941,75 -0,100 -0,2061,80 -0,108 -0,1161,85 -0,112 -0,0311,90 -0,111 0,0541,95 -0,106 0,1452,00 -0,097 0,2392,05 -0,082 0,3162,10 -0,064 0,3702,15 -0,045 0,4052,20 -0,024 0,4342,25 0,002 0,4522,30 0,023 0,4342,35 0,043 0,4002,40 0,062 0,3782,45 0,082 0,3222,50 0,096 0,2332,55 0,106 0,1132,60 0,106 0,0232,65 0,107 -0,0142,70 0,103 -0,1162,75 0,096 -0,2032,80 0,082 -0,2812,85 0,067 -0,3312,90 0,048 -0,3662,95 0,032 -0,4193,00 0,006 -0,443

o

θφ

x = Acos(φ+θ)

A

▄ periodo▄ spostamento massimo▄ velocità massima

È possibile calcolare analogamente l’equazione v=f(t), sostituendo nell’equazione generica ,

i valori A = 0,11m, T = 1,55s e φ = - 4,46rad precedentemente ricavati. Il risultato è

Il grafico sperimentale elaborato dal programma sovrapposto a quello dell’equazione appena espressa è

v=f(t)

-0,60

-0,40

-0,20

0,00

0,20

0,40

0,60

0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00

t

v grafico sperimentale interpolazione

Procedendo in modo analogo si ricava l’equazione a=f(t) ovvero

Il programma non è impostato per il calcolo dell’accelerazione né di conseguenza per l’elaborazione del suo grafico. Tuttavia

l’accelerazione in un determinato istante può essere calcolata sulla base di tempo e velocità considerando che .

Quindi, Prendendo in considerazione più intervalli di tempo è possibile costruire il grafico sperimentale a=f(t) che sovrapposto all’interpolazione che esprime la precedente equazione è

ConclusioniIl confronto i tra grafici dei dati sperimentali e quelli ottenuti dalle equazioni conferma che il moto del pendolo è un moto armonico semplice. Sovrapponendo i grafici di spostamento e velocità è evidente inoltre come allo spostamento massimo la velocità sia approssimativamente zero e come a spostamento zero la velocità sia all’incirca quella massima in valore assoluto. Sovrapponendo invece il grafico dell’accelerazione e quello della spostamento, nei limiti degli errori di misurazione, si verificache allo spostamento massimo corrisponde un’accelerazione massima, mentre se lo spostamento è nullo anche l’accelerazione è tale.

-0,60

-0,40

-0,20

0,00

0,20

0,40

0,60

0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00

t

x v spostamento velocità

-8,00

-6,00

-4,00

-2,00

0,00

2,00

4,00

6,00

0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00

t

x a spostamento accelerazione