Il teorema di rappresentazione di Savage -...

Problemi di decisioneTeorema di rappresentazione

I postulatiSmall worldsPer discutere

Il teorema di rappresentazione di Savage

andrea

10 febbraio 2010

andrea Il teorema di rappresentazione di Savage



1 Problemi di decisione

2 Teorema di rappresentazione

3 I postulati

4 Small worlds

5 Per discutere




Idea

Savage sviluppa una teoria della decisione in cui convergono:

la teoria della probabilita soggettiva di de Finetti

la teoria dell’utilita prevista di Morgenstern - von Neumann.




Idea

Savage sviluppa una teoria della decisione in cui convergono:

la teoria della probabilita soggettiva di de Finetti

la teoria dell’utilita prevista di Morgenstern - von Neumann.

Ricordate la volta scorsa?

The plan which appeals to me is to develop the theoryof probability without much reference to utilities, andthen adjoin the principle of rational behaviour in order toobtain a theory of rational behaviour. [Goo52]




Modellare un problema di decisione

Cominciamo da un esempio. . .

Anna vuole prendere il treno delle 7.05, ma e in ritardo. Se escesubito di casa a piedi, dovra correre con la valigia e sudare, e nonsa se arrivera in tempo. Puo scendere nel garage a vedere se c’e lamacchina di sua sorella: se c’e, arrivera sicuramente in tempo allastazione e non sudera, se invece non c’e, ormai sara tardi ancheper la corsa e Anna perdera il treno.




Il problema e stilizzato! Le eventualita che l’agente (Anna)considera sono solo quattro:

Chiamiamo s1, s2, s3, s4 stati del mondo. L’insieme degli statie S = {s1, s2, s3, s4}.Gli stati s1, s2, s3, s4 si escludono a vicenda.

Gli stati s1, s2, s3, s4 esauriscono tutte le possibilita.





Anna correndo Anna correndoprendera il treno perdera il treno

la macchinac’e

s1 s2

la macchinanon c’e

s3 s4








la macchinac’e

s1 s2


s3 s4

Chiamiamo s1, s2, s3, s4 stati del mondo. L’insieme degli statie S = {s1, s2, s3, s4}.

Gli stati s1, s2, s3, s4 si escludono a vicenda.







la macchinac’e

s1 s2


s3 s4






Lo stato vero e uno e uno solo tra s1, s2, s3, s4.

Anna non sa quale sia lo stato vero! Anna e incerta.

Gli eventi sono certi insiemi E di stati.

Ad esempio, E = {s1, s2} e l’evento la macchina e nel garage:


la macchinac’e

s1 s2


s3 s4

Chiamiamo E l’insieme degli eventi.




A seconda della decisione che prende, ad Anna possonosuccedere diverse cose:

puo prendere il treno senza sudare e correre f1puo prendere il treno sudando e correndo f2puo perdere il treno f3

f1, f2, f3 sono conseguenze. Una conseguenza e “qualsiasicosa possa accadere all’agente”.

Chiamiamo F l’insieme delle conseguenze.





puo prendere il treno senza sudare e correre f1

puo prendere il treno sudando e correndo f2puo perdere il treno f3







puo prendere il treno senza sudare e correre f1puo prendere il treno sudando e correndo f2

puo perdere il treno f3







puo prendere il treno senza sudare e correre f1puo prendere il treno sudando e correndo f2puo perdere il treno f3






Un’azione associa ad uno stato una conseguenza.

Percio pensiamo un’azione come una funzione α : S→ F, dastati in conseguenze.

Ad esempio

α := scendere in garage a cercare la macchina

e un’azione che fa prendere il treno se la macchina c’e, faperdere il treno se la macchina non c’e:

Chiamiamo A l’insieme delle azioni.




Un’azione associa ad uno stato una conseguenza.

Percio pensiamo un’azione come una funzione α : S→ F, dastati in conseguenze.

Ad esempio

α := scendere in garage a cercare la macchina

e un’azione che fa prendere il treno se la macchina c’e, faperdere il treno se la macchina non c’e:

α(s1) = α(s2) = f1

α(s3) = α(s4) = f3

Chiamiamo A l’insieme delle azioni.




Anna preferisce certe azioni a certe altre.

Scriviamo α � β per dire che, per l’agente, α non e meglio diβ (= l’agente non preferisce α a β).




Definizione 1 (Problema di decisione)

Un problema di decisione e una quintupla (S,E,F,A,�), dove:

S e un insieme di stati del mondo, congiuntamente esaustivi,mutuamente esclusivi, e fra i quali c’e lo stato vero;

E ⊆ P(S) e un insieme di eventi; in particolare S ∈ E e ∅ ∈ E;

F e un insieme di conseguenze;

A e un insieme di azioni; ogni α ∈ A e una funzioneα : S→ F;

�⊆ A× A e una relazione di preferenza.




A che serve tutto cio?

Lo scopo di questo modello e aiutare l’agente a risolvere ilproblema di decisione: cioe, a trovare un’azione che e razionalescegliere.

La teoria dell’utilita prevista propone questa soluzione:

Teoria dell’utilita prevista

L’agente valuta un’azione sulla base:

dell’utilita U(fi ) di ciascuna conseguenza fi ,

pesata con la sua probabilita P(Ei ).(Ei e l’evento che comporta la conseguenza fi .)




Quindi. . .

Un agente razionale sceglie l’azione per cui e massima l’utilitaprevista

n∑i=1

U(fi )P(Ei ),

cioe si comporta come se massimizzasse l’utilita prevista.(f1, . . . , fn sono le conseguenze dell’azione, associaterispettivamente agli eventi E1, . . . ,En.)

Il Teorema di rappresentazione di Savage ci assicura che lepreferenze dell’agente, se rispettano alcune condizioni, sonodavvero rappresentate dall’utilita prevista delle azioni.




Il teorema di rappresentazione di Savage

Teorema 1 (Savage, 1954)

Sotto alcune assunzioni sulla coerenza delle preferenze dell’agente,esiste un’unica funzione di probabilita P sugli eventi ed unafunzione di utilita U : F→ R, tali che, se valgono le dueseguenti:

{Ei}i=1,...,n e una partizione di S e α e un’azione conconseguenza fi su Ei ;

{E ′j }j=1,...,m e una partizione di S e α′ e un’azione con

conseguenza fj su E ′j ;

allora α � α′ se e solo se

n∑i=1

P(Ei )U(fi ) ≤m∑

j=1

P(E ′j )U(fj).




Si dimostra anche che la funzione di utilita U : F→ R e unica, ameno di trasformazioni lineari crescenti.(Se U,U ′ sono due funzioni di utilita, allora U ′ = κU + λ, conκ, λ ∈ R, κ > 0.)




I sette postulati

Le assunzioni del Teorema di rappresentazione

Quali sono le assunzioni che Savage fa?Sono sette postulati sulle preferenze dell’agente:

alcuni logic-like criteria of consistency [Sav72, 19]

piu alcune assunzioni puramente tecniche (continuita).




Ordine totale delle preferenze

Postulato 1

La relazione � e un ordine totale sull’insieme delle azioni, cioe � etransitiva e connessa.

In un contesto stilizzato, e ragionevole assumere che l’agenteabbia delle preferenze transitive e complete sulle azioni.

Ci riallacciamo ai problemi di scelta: quali requisiti devonosoddisfare le scelte di un agente, per essere razionalizzabilimediante relazioni di preferenza? Quali requisiti sonoragionevoli? E un tema toccato da Sen!




There is some temptation to explore the possibilitiesof analyzing preference among acts as a partial ordering[. . . ] My own conjecture is that it would prove a blindalley losing much in power and advancing little, if at all,in realism; but only an enthusiastic exploration couldshed real light on the question. [Sav72, 21]




Sure-thing, 1

Postulato 2

Siano αi , αj , αn, αm ∈ A e sia E ∈ E. Se valgono tutte le seguenti:

αi�E = αn�E e αj�E = αm�E

αi�(S− E ) = αj�(S− E ) e αn�(S− E ) = αm�(S− E )

αi � αj

allora αn � αm.

E la coerenza della relazione di preferenza � rispetto agli eventi:quando e rilevante solo il comportamento su E , e su E diversecoppie di azioni αm, αn si comportano allo stesso modo, allora larelazione di preferenza e unica per tutte le coppie.




E visto che una relazione di preferenza di quel tipo e unica,possiamo introdurre un simbolo per denotarla:

Definizione 2 (Preferenza condizionale)

Date due azioni αi , αj ∈ A e un evento E ∈ E, scriviamo

αi �E αj

(e diciamo che l’agente non preferisce αi ad αj dato E ) se esolo se, comunque date αn, αm ∈ A tali che valgano tutte leseguenti:

αn�(S− E ) = αm�(S− E )

αn�E = αi�E

αm�E = αj�E ,

vale anche αn � αm. Intuitivamente: l’agente non preferirebbe αi

ad αj , se sapesse che E .




E visto che una relazione di preferenza di quel tipo e unica,possiamo introdurre un simbolo per denotarla:

Definizione 2 (Preferenza condizionale)

Date due azioni αi , αj ∈ A e un evento E ∈ E, scriviamo

αi �E αj

(e diciamo che l’agente non preferisce αi ad αj dato E ) se esolo se, comunque date αn, αm ∈ A tali che valgano tutte leseguenti:

αn�(S− E ) = αm�(S− E )

αn�E = αi�E

αm�E = αj�E ,

vale anche αn � αm. Intuitivamente: l’agente non preferirebbe αi

ad αj , se sapesse che E .andrea Il teorema di rappresentazione di Savage



Sure-thing, 2

Notazione 3

Date αi ∈ A, f ∈ F, scriviamo αi ≡ f (e diciamo che αi eun’azione costante) se e solo se per ogni x ∈ S, αi (x) = f .Date f , g ∈ F, scriviamo f � g (e diciamo che l’agente nonpreferisce f a g) se e solo se, αi ≡ f e αj ≡ g implicano αi � αj .Un evento E si dice nullo se per ogni αi , αj ∈ A, αi �E αj .

Postulato 3

Dati αi , αj ∈ A, f , g ∈ F ed E ∈ E, se αi ≡ f e αj ≡ g e se E none nullo, allora αi �E αj se e solo se f � g.

Cioe: tra due azioni costanti, la relazione di preferenza(condizionale) e unicamente determinata dalla preferenza traconseguenze.




Premi e probabilita

Definizione 4

Dato E ∈ E, chiamiamo premio per E un’azione αE ∈ A tale che

αE (x) =

{f se x ∈ Eg altrimenti,

con f , g ∈ F, g ≺ f .




Il postulato seguente ci assicura che l’agente sceglie su qualeevento accettare un premio indipendentemente dal premio stesso(= trascuriamo la differente “motivazione” per premi grandi opiccoli).




Premi e probabilita

Postulato 4

Dati Ei ,Ej ∈ E, e i premi α′Ei, α′′

Eiper Ei e α′

Ej, α′′

Ejper Ej , se

valgono entrambe le seguenti:

per ogni x ∈ Ei (rispettivamente S− E ) e ogni y ∈ Ej

(rispettivamente S− E ), α′Ei

(x) = α′Ej

(y) e α′′Ei

(x) = α′′Ej

(y)

α′Ei� α′

Ej

allora α′′Ei� α′′

Ej.




Premi e probabilita

Postulato 4

Dati Ei ,Ej ∈ E, e i premi α′Ei, α′′

Eiper Ei e α′

Ej, α′′

Ejper Ej , se

valgono entrambe le seguenti:

per ogni x ∈ Ei (rispettivamente S− E ) e ogni y ∈ Ej

(rispettivamente S− E ), α′Ei

(x) = α′Ej

(y) e α′′Ei

(x) = α′′Ej

(y)

α′Ei� α′

Ej

allora α′′Ei� α′′

Ej.

Ma se l’agente accetta i premi solamente sulla base degli eventi,allora le preferenze tra premi dicono qualcosa sul suo “grado diconvinzione” nel verificarsi degli eventi!




Premi e probabilita

Definizione 5 (Probabilita soggettiva qualitativa)

Dati due eventi Ei ,Ej ∈ E, scriviamo Ei � Ej (e diciamo chel’agente considera Ei non piu probabile di Ej) se e solo se,comunque dati due premi αEi

per Ei ed αEjper Ej , αEi

� αEj.




Premi e probabilita




� αEj.

Importante:

La funzione di probabilita P del Teorema di rappresentazionerappresenta la probabilita soggettiva qualitativa, i.e.

Ei � Ej se e solo se P(Ei ) ≤ P(Ej).




Premi e probabilita




� αEj.

Dalla definizione e dai postulati precedenti segue subito che larelazione � tra eventi e un ordine totale. Contrariamente a Good:

Degrees of belief are assumed (following Keynes) tobe partially ordered only, i.e., some pairs of beliefs maynot be comparable. [Goo52, 108]




Altri postulati

I postulati successivi sono piu “tecnici”:

Postulato 5

Esistono f , g ∈ F tali che f � g ma g � f .

Postulato 6

Siano αi , αj ∈ A tali che αi � αj . Per ogni f ∈ F, esiste unapartizione P di S tale che, se per un Ek ∈ P valgonocontemporaneamente:

αn�(S− Ek) = αi�(S− Ek)

αm�(S− Ek) = αj�(S− Ek)

αn�Ek= αm�Ek

≡ f ,

allora αn � αj o αi � αm.




Altri postulati

Postulato 7

Date due azioni αi , αj ∈ A e un evento E ∈ E, se per ogni x ∈ Eαi �E αj(x) (rispettivamente αj(x) �E αi ), allora αi �E αj

(rispettivamente αj �E αi ).




Teorema di rappresentazione, Savage 1954

I postulati 1 - 7 assicurano l’esistenza di un’unica funzione diprobabilita P sugli eventi e di una funzione U : F→ R, unica ameno di trasformazioni lineari crescenti, tali che, se valgono le dueseguenti:

{Ei}i=1,...,n e una partizione di S e α e un’azione conconseguenza fi su Ei ;

{E ′j }j=1,...,m e una partizione di S e α′ e un’azione con

conseguenza fj su E ′j ;

allora α � α′ se e solo se

n∑i=1

P(Ei )U(fi ) ≤m∑

j=1

P(E ′j )U(fj).

(Per la probabilita, bastano i postulati 1 - 6.)




Agenti razionali e contesti adeguati

Il tipo di modello e i postulati assunti caratterizzano:

un tipo di agente

un tipo di contesto






un tipo di agente =⇒ caratterizzazione della razionalita;

un tipo di contesto







un tipo di contesto =⇒ small world.







un tipo di contesto =⇒ small world.

Allusion was made [. . . ] to the practical necessity ofconfining attention to, or isolating, relatively simplesituations in almost all applications of the theory ofdecision developed in this book. As was mentioned there,I find it difficult to say with any completeness how suchisolated situations are actually arrived at and justified.[Sav72, 83]




Small worlds e grand world

Com’e che una situazione reale, di grand world, viene stilizzata inuno small world?

Gli stati dello small world sono eventi del grand world: semi interessa un unico lancio di una moneta, gli stati sono due,testa/croce; se i lanci sono 50, gli stati sono gia 250, e testa alprimo lancio e un evento con 249 stati!

le conseguenze diventano azioni: riuscire a prendere iltreno, per Anna, potrebbe non essere una conseguenza, maun’azione, se consideriamo anche le possibilita che il treno sifermi, sia quello sbagliato, ecc.




Normativo vs. descrittivo

Osservazione

La caratterizzazione del comportamento razionale di Savage esoprattutto normativa.

Pursuing the analogy with logic, the main use I wouldmake of P1 and its successors is normative, to police myown decisions for consistency and, where possible, tomake complicated decisions depend on simpler ones.[Sav72, 20]




Normativo vs. descrittivo

Osservazione

La caratterizzazione del comportamento razionale di Savage esoprattutto normativa.

Pursuing the analogy with logic, the main use I wouldmake of P1 and its successors is normative, to police myown decisions for consistency and, where possible, tomake complicated decisions depend on simpler ones.[Sav72, 20]

Quanto funziona descrittivamente? Piu su fenomeni microscopici,o macroscopici?




Incertezza o rischio?

Nella teoria di Savage, si affrontano problemi di decisione incondizioni di incertezza o di rischio?

Per Luce e Raiffa [LR89], si tratta di incertezza, percheall’agente non sono note le probabilita oggettive degli eventi;

Ma l’agente attribuisce effettivamente delle probabilita(soggettive) agli eventi.




Incertezza o rischio?

Nella teoria di Savage, si affrontano problemi di decisione incondizioni di incertezza o di rischio?

Per Luce e Raiffa [LR89], si tratta di incertezza, percheall’agente non sono note le probabilita oggettive degli eventi;Ma l’agente attribuisce effettivamente delle probabilita(soggettive) agli eventi.

For this reason, I have tended to think of decisionmaking under risk as arising in any context where anagent legitimately assigns numerically definite credalprobabilities to hypotheses about the outcomes offeasible options. In other words, decision making underrisk is any context in which maximizing expectedutility is the appropriate criterion for identifyingadmissible options. [Lev97, 190]




I. J. Good.Rational decisions.Journal of the Royal Statistical Society. Series B(Methodological), 14(1):107–114, 1952.

Isaac Levi.The Covenant of Reason: Rationality and the Commitments ofThought.Cambridge University Press, Cambridge, September 1997.

R. Duncan Luce and Howard Raiffa.Games and Decisions : Introduction and Critical Survey.Dover Publications, April 1989.

Leonard J. Savage.The Foundations of Statistics.Dover Publications, 2nd revised edition, June 1972.


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