7 IL PROGETTO DI TRAVI IN C.A.P. IPERSTATICHE

7.1 Il sistema equivalente alla precompressione La valutazione delle caratteristiche della sollecitazione nelle travi in c.a.p. può essere condotta, in alternativa all’applicazione diretta della formula di Navier per la pressoflessione, utilizzando il concetto di sistema equivalente alla precompressione. Quest’ultimo costituisce un sistema di forze staticamente equivalenti alla precompressione che dipende solamente dalla geometria del cavo e dallo sforzo normale N. In particolare detto R il raggio di curvatura locale del cavo, la presenza di una trazione N in esso genera come noto una pressione pn e una componente tangenziale pt:

R

Nfp ct =

R

Npn =

dove fc è il coefficiente d’attrito cavo-guaina.

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Figura 7.1 – Forze agenti sul

cavo

Figura 7.2 – Sistema di forze sulla

trave in c.a.p. Di conseguenza le reazioni che il cavo applica sulla trave in calcestruzzo sono costituite da una coppia di forze orizzontali Nn e verticali V nelle testate e un sistema di forze distribuite verticali py orientate verso l’alto e orizzontali px agenti lungo l’asse della trave. Esse hanno l’espressione seguente: Forze in testata Forze distribuite

0

0

αα

sinNV

cosNNn

==

αααααα

sinpcosp)(p

sinpcosp)(p

ntx

tny

−=

+=

Normalmente si trascurano le componenti verticali delle forze distribuite in quanto l’angolo α0 è considerato piccolo, sicché il sistema di forze equivalenti diviene : Forze in testata Forze distribuite

0αNV

NNn

==

0=

=

x

y

p

R

Np

La legge di variazione di py dipende dalla legge di variazione del raggio di curvatura locale R e dall’andamento dello sforzo normale N. Trascurando le perdite d’attrito lungo il cavo si ha che N=cost. In caso contrario, N varierebbe con la seguente legge, dove fc è il coefficiente d’attrito guaina-cavo :

3

( ) ( ) ααα cfeNN −= 0

La precedente espressione di N si può approssimare in genere con una curva del secondo ordine. Normalmente però è l’andamento del cavo ad essere considerato di forma quadratica, sicché si ottiene una curvatura R costante e di conseguenza un py che dipende dall’andamento di N.

NL

fp

L

f''y

Rx

L

fy y 22

2

2

8814 =⇒=≅⇒=

Nella precedente f è la freccia della parabola mentre L è la lunghezza totale della trave. Se si trascurano le perdite d’attrito il carico distribuito avrà ovviamente un andamento costante e il sistema equivalente sarà quindi costituito da forze di estremità e un carico verticale diretto verso l’alto e uniformemente ripartito, secondo quanto illustrato nella seguente figura.

Figura 7.3 – Sistema equivalente alla precompression e (SEP)

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NN 2Nsinα/2

Nel caso generale l’andamento di py dipende quindi dall’andamento geometrico del cavo e da N. Nel caso in cui il cavo subisca anche una brusca variazione della tangente in un punto (cuspide), detto α l’angolo che le tangenti alla cuspide formano tra loro, per l’equilibrio il conglomerato dovrà esercitare sul cavo una forza concentrata F pari a 2N sin (α/2). Ciò si ottiene isolando la porzione di cavo nell’intorno della cuspide e applicano l’equilibrio lungo l’asse verticale dove agiscono le componenti verticali dello sforzo normale pari a ognuna a N sin(α/2). La figura seguente mostra il sistema equivalente alla precompressione in presenza discontinuità del cavo.

Figura 7.4 – Sistema equivalente alla precompression e di una trave

appoggiata con cavo rettilineo inclinato

Esempio 7.1: Si consideri la trave semplicemente appoggiata di figura. Il cavo è disposto linearmente e con eccentricità costante e. Si calcoli la tensione nella fibra inferiore della sezione di mezzeria della trave. Si consideri un’area della sezione A e un modulo di resistenza a flessione relativo alla fibra inferiore Wi. A tale scopo si utilizzi la formula di Navier e in alternativa il metodo del sistema equivalente.

5

ii

W

eN

A

N ×+=σ

In alternativa è possibile applicare il metodo del sistema equivalente alla precompressione. Si valuta quindi il sistema di forze equivalenti alla precompressione e le relative caratteristiche della sollecitazione per ogni sezione. Successivamente si può determinare la tensione utilizzando ancora una volta la formula di Navier. Nella generica sezione si un sistema di forze esterno costituito dallo sforzo di precompressione N e dal momento di trasporto M=N×e. Sicché la tensione al lembo inferiore può essere così calcolata:

iii

W

eN

A

N

W

M

A

N ×+=+=σ

Il risultato qui ottenuto è del tutto equivalente a quello ottenuto con l’applicazione diretta dell’equazione di Navier, dimostrando che i due approcci sono alternativi.

Figura 7.5 – Confronto tra le soluzioni ottenute c on la formula di Navier e con il SEP per una trave appoggiata con cavo orizzontale

eccentrico

Esempio 7.2: Si consideri ora una trave con area A e modulo di resistenza inferiore Wi, con lunghezza L=25m e altezza della

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sezione h=1.30m. Il cavo è disposto con eccentricità variabile parabolicamente con freccia massima f pari a 1m e con copriferro d=10 cm. Si calcoli la tensione nella fibra inferiore della sezione di mezzeria della trave. Si utilizzi di nuovo la formula di Navier e in alternativa il metodo del sistema equivalente. L’utilizzo della formula di Navier per il calcolo dello stato tensionale nella fibra inferiore della sezione di mezzeria presuppone la conoscenza, oltre che dello sforzo normale N, anche del momento in mezzeria. Quest’ultimo si calcola una volta nota l’eccentricità del cavo nella sezione stessa. Essendo il copriferro d=10 cm e l’altezza della sezioneh=1.30 m, l’eccentricità risulta: e=1.3/2 – 0.1 = 0.55 cm La tensione nella fibra inferiore assume quindi il seguente valore:

ii

W

N.

A

N 550+=σ

Il sistema equivalente alla precompressione relativo alla trave analizzata è costituito da un carico uniformemente ripartito di intensità:

N.NNL

fp y 01280

25

18822

=⋅==

e da due forze orizzontali di intensità N applicate alle estremità della trave con eccentricità e=0.45 m. Di conseguenza le sollecitazioni in mezzeria dovute al sistema equivalente alla precompressione sono :

N.N.N.

N.Lp

M

NN

y550450

8

2501280450

8

22

=−⋅=−=

=

7

Di conseguenza lo stato tensionale risulta, ovviamente, quello già valutato mediante l’applicazione diretta della formula di Navier.

Figura 7.6 – Confronto tra le soluzioni ottenute c on la formula di Navier e con il SEP per una trave appoggiata con cavo parabolico

7.2 Il calcolo delle reazioni iperstatiche dovute alla

precompressione Nel caso di strutture iperstatiche il sistema equivalente alla precompressione mostra tutte le sue potenzialità. Una volta individuato, esso permette di trattare la precompressione come una serie di carichi distribuiti e concentrati al pari dei carichi esterni, potendo così applicare i classici metodi della scienza delle costruzioni per risolvere il sistema. Occorre però osservare che in un sistema iperstatico la presenza di uno stato di coazione (sistema a risultante nulla), come ad esempio la precompressione, da luogo, in generale, a reazioni iperstatiche. Ciò significa che il momento in ogni sezione dovuto alla precompressione non è semplicemente dato, al contrario delle travi isostatiche, dal prodotto tra lo sforzo di precompressione e l’eccentricità del cavo risultante (M1=N×e), ma al contrario occorre determinare il momento flettente dovuto all’iperstaticità che indicheremo in seguito con il termine M2, da sommare al

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termine (N×e), per trovare il momento flettente globale M3=M1 + M2

yJ

M

A

Ny

J

MM

A

Ny

J

My

J

eN

A

N 3212 +=++=−×+=σ

Esempio 7.3: Con riferimento alla trave incastro-appoggio dotata di cavo di precompressione rettilineo con eccentricità e costante, si calcoli la reazione nell’appoggio.. Il diagramma dei momenti dovuto alla precompressione è variabile linearmente, al contrario della mensola incastrata che per lo stesso andamento del cavo presenterebbe un momento costante. Ciò è dovuto alla presenza della reazione iperstatica indicata in figura con la lettera Ys

Figura 7.7 – Sistema equivalente alla precompression e in una trave incastro-appoggio in presenza di cavo ad andamento rettilineo

Essa può essere calcolata. Si individua il sistema equivalente alla precompressione, identificato in tal caso da uno sforzo normale centrato N e da un momento N × e. Utilizzando ad esempio il metodo delle forze si può calcolare la reazione iperstatica utilizzando come sistema principale la mensola incastrata. Con riferimento all’asse x indicato in figura con origine nell’appoggio il momento dovuto al sistema equivalente alla precompressione ha l’espressione seguente: Mp(x) = N×e

9

Il momento dovuto alla reazione iperstatica considerata ad intensità unitaria vale: M’(x) = x Imponendo la congruenza nell’appoggio, ossia imponendo che lo spostamento dovuto ai due momenti prima calcolati sia nullo si ha:

000

=+= ∫∫L

s

L pdx)x('M

EJ

)x('MYdx)x('M

EJ

)x(Mδ

032

32

00=+×=+×= ∫∫ EJ

LY

L

EJ

eNxdx

EJ

xYxdx

EJ

eNs

L

s

Lδ

Dalla precedente è possibile infine calcolare la reazione iperstatica Ys , e il momento flettente

L

eNYs

×=2

3

+×=×+×=L

xeNx

L

eNeN)x(M

2

31

2

3

Esempio 7.4: Un caso diffuso di strutture precompresse è quello di travi continue con cavo ad andamento parabolico. Si consideri ad esempio la trave di figura 7.8 dove il cavo presenta eccentricità e1 in campata ed eccentricità e2 in appoggio

Figura 7.8 – trave continua con cavo ad andamento p arabolico

e1

e2

e1

Lt Lt

N

N e

N

N e

L1 L2 L1

8f1 N/L2 8f1 N/L2

8f1 N/L2

A B C

D

8f2 N/L2

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Il sistema equivalente alla precompressione alla precompressione è costituito da carichi distribuiti, due in campata diretti verso il basso e uno diretto verso l’alto in appoggio, oltre lo sforzo normale centrato e il momento N×e applicati ad entrambi gli appoggi terminali della trave. I carichi distribuiti prima richiamati sono funzione delle frecce dei singoli tratti di cavo ricavabili come segue. Ad esempio dette eA e1 eD rispettivamente le eccentricità del cavo nella campata di sinistra, in corrispondenza dell’appoggio A, del punto di flesso del cavo (1) e della mezzeria (punto D), la freccia nel punto D ha l’espressione seguente:

2

11

eeef AD

++=

Analogamente la freccia del tratto di cavo a cavallo dell’appoggio vale:

12 eef B −=

I carichi equivalenti distribuiti assumeranno quindi i valori

21

11

8

L

Nfq =

22

22

8

L

Nfq =

dove L1 ed L2 sono le lunghezze dei tratti di cavo considerati. Considerando per semplicità di soluzione le seguenti condizioni di carico distribuito, del tutto equivalenti ai carichi distribuiti indicati in figura 7.8, la soluzione è immediata, note le soluzioni in forma chiusa dei singoli casi analizzati:

11

Figura 7.9 – sistema equivalente alla precompressio ne della trave continua

Considerando lo schema di carico (1), poiché il sistema è simmetrico, il momento nell’appoggio centrale B e la reazione nell’appoggio A valgono, come noto (la trave può essere considerata come incastrata nell’appoggio B):

21

8

1LpM B = LpR A 1

8

3=

Sicché l’espressione del momento è semplicemente:

211

2

1

8

3xpxLpM B −=

Figura 7.10 – Momento flettente dovuto al carico un iformemente

distribuito diretto verso l’alto

MB

MD

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La condizione di carico (2) produce invece un momento nell’appoggio centrale e una reazione nell’appoggio A che valgono:

+−=

4

4

2

22

1 218

1

L

a

L

aLpMB

L

M

L

aLpR BA −−=

2

)( 21

dove a è il tratto della trave scarico. In definitiva, il momento totale nell’appoggio B e la reazione nell’appoggio A, dovuti alle due condizioni di carico valgono:

+−=

4

4

2

22

1 228

1

L

a

L

aLpMB

L

M

L

aLppLR B

A −−+=2

)(

8

3 21

1

Date le espressione precedenti, il momento nell’ascissa generica x varrà:

21

2

1)( xpxRxM A −=

Per come disposto il cavo, il diagramma dei momenti assume la forma seguente, la quale presenta una discontinuità nella derivata nel punto di flesso del cavo di precompressione:

13

Figura 7.10 – Momento flettente dovuto alla somma d elle tre

condizioni di carico

Per il calcolo delle strutture precompresse è ovviamente possibile utilizzare programmi agli elementi finiti come SAP2000 od altri che trattano generalmente il cavo come parabolico e calcolano le sollecitazioni dovute alla precompressione con l’ausilio del sistema equivalente alla precompressione. Infatti una volta definita la geometria del cavo, ogni elemento finito ha possiede un sistema di forze esterno equivalente alla precompressione che tratta al pari degli altri carichi. I carichi concentrati alle estremità vengono ovviamente trattati come carichi di elemento e non come carichi nodali.

MB

MD

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7.3 La linea delle pressioni e il progetto dell’andamento del cavo

Nel paragrafo precedente si è dimostrato che in presenza di elementi iperstatici precompressi il momento dovuto alla precompressione in ogni sezione non è purtroppo, come per i sistemi isostatici, coincidente con il prodotto dello sforzo normale N per l’eccentricità e (M1=N×e). L’iperstaticità del sistema introduce un momento secondario (M2) che sposta il centro (linea) delle pressioni (CP), dando luogo ad momento risultante M3, somma di M1 ed M2. Il rapporto M3/N individua la così detta linea delle pressioni o luogo dei centri di pressione e rappresenta la distanza dei centri di pressione rispetto al baricentro. Si consideri ad esempio al trave continua illustrata nella figura seguente. Scegliendo come sistema principale la trave appoggiata ottenuta dalla trave continua sopprimendo l’appoggio intermedio, e quindi avendo come reazione iperstatica la reazione R, il momento secondario ha un andamento lineare, e il CP si sposta verso l’alto (linea tratteggiata) di e’=M2/N.

Figura 7.11 – Linee delle pressioni e momento prima rio (M 1) e secondario (M 2)

Per la verifica o il progetto di strutture iperstatiche precompresse è quindi necessario risolvere il sistema iperstatico in maniera tale da

15

poter valutare la posizione dei centri di pressione lungo la trave e il conseguente stato tensionale. A tale scopo un metodo utile per determinare la linea delle pressioni è far ricorso al sistema equivalente alla precompressione, come già ampiamente trattato nel paragrafo precedente. Considerando la trave continua dell’esempio xxx, il sistema equivalente alla precompressione è quello indicato in Figura 9.8. Le reazioni verticali agli appoggi di estremità e intermedi sono assorbite dagli appoggi stessi e non provocano sollecitazioni nella trave. Le reazioni nell’appoggio intermedio contrastano invece la reazione iperstatica. Infine il carico distribuito equivalente alla precompressione è l’unico in grado di contrastare i carichi esterni. Noto il momento flettente risultante M3 si conosce la posizione dei centri di pressione lungo la trave e lo stato tensionale corrispondente sezione per sezione.

Figura 7.12 – SEP relativo alla trave continua di figu ra 7.11 E’ interessante notare che per trasformazioni lineari1 il centro delle pressioni dovuto alla sola precompressione non subisce variazioni. Ciò è dovuto al fatto che in presenza di angoli piccoli il carico distribuito equivalente alla precompressione dipende

1 Per trasformazione lineare si intende una rotazione rigida del cavo intorno al punto di ancoraggio del cavo stesso in testata.

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esclusivamente dalla freccia del cavo, la quale appunto per trasformazioni lineari, rimane inalterata assieme alla posizione del centro di pressione. Esempio 7.5: si consideri la trave dell’esempio 7.7, e si calcoli la reazione all’appoggio per il cavo inclinato rispetto all’orizzontale di un angolo α.

Figura 7.13 – SEP di una trave incastro-appoggio con c avo rettilineo

inclinato di un angolo αααα

Essendo ora il cavo ruotato intorno all’estremo appoggiato di una quantità α, nasce ancora una reazione iperstatica Ys che viene però ridotta di una quantità pari alla componente verticale dello sforzo di precompressione V=N×tan(α)≅N×α. Essendo inoltre il cavo rettilineo e quindi a freccia nulla, non sussiste alcun carico verticale distribuito. Osservazione: Applicando trasformazioni lineari risultante è possibile progettare un tracciato del cavo che eviti la formazione di reazioni iperstatiche, senza peraltro alterare il sistema equivalente. Una tale disposizione del cavo viene denominata “Cavo Concordante”.

17

Figura 7.14 – Posizione del cavo concordante per la trave di figura 7.13

Nel caso dell’esercizio 7.5, la reazione iperstatica Ys-V può essere annullata a patto di applicare una particolare trasformazione lineare ovvero scegliere l’angolo della d’inclinazione del cavo in maniera che si annulli la reazione iperstatica Ys, e il sistema equivalente sia ancora costituito da una forza di compressione N e un momento M=N×e. Poiché dall’esercizio 7.5 è risultato che Ys=3/2Ne/L, per annullare quest’ultima basta imporre la condizione seguente:

02

3 =−× αNL

eN

Dalla quale si evince che affinché il cavo sia concordante deve avere l’inclinazione seguente:

L

e

2

3=α

Esempio 7.6: determinare il cavo concordante della trave continua a due campate illustrata in figura dove il cavo in entrambe le testate e nell’appoggio centrale passa per il baricentro della sezione e possiede in mezzeria una freccia f=34.2 cm.

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Si procede risolvendo la struttura utilizzando il metodo delle forze. Il sistema principale adottato è una trave semplicemente appoggiata ottenuta dalla trave continua sopprimendo l’appoggio centrale. La reazione (iperstatica) R dovuta ad un carico uniformemente distribuito p vale, come noto, R=1.25pL. Tenendo conto dell’espressione del carico distribuito equivalente alla precompressione e che nell’appoggio intermedio la reazione equivalente alla precompressione vale 2 N α, si ha che per annullare R utilizzando il cavo di precompressione si deve rispettare la relazione seguente:

L

NfL

L

NfpLR 10

825.125.1

2=== →

16

1

2740

2.3455102 ≅×==⇒=

L

f

L

NfN αα

Utilizzando il sistema di riferimento x,y indicato in figura per descrivere la geometria del cavo, ne discende che partendo da una posizione del cavo orizzontale, per annullare R esso dovrà essere inclinato dell’angolo β

0125.02740

2.344

16

14 =×−=−=L

fαβ

Infatti l’angolo d’inclinazione del cavo rispetto alla corda vale 4f/L mentre l’angolo necessario per annullare la reazione iperstatica vale α.

R

19

Nel caso dell’esempio β = 0.0125 e quindi l’eccentricità del cavo nell’appoggio varrà

cm.cm.L'e 234274001250 =×== β

Figura 7.15 – L’angolo di inclinazione ββββ

La disposizione del cavo concordante è in definitiva quella indicata nella seguente figura dove in mezzeria l’eccentricità del cavo, prima pari a 34.2 cm ora si è ridotta di 17.1 cm. Infatti il cavo in mezzeria ad opera della trasformazione lineare si è sollevato di β L/2= 17.1 cm, ed essendo la freccia costante e pari a 34.2 cm, l’eccentricità residua risulta pari a e=34.2-17.1=17.1 cm

Figura 7.16 – Disposizione del cavo concordante

Da quanto esposto in precedenza ne discende che per strutture iperstatiche un metodo per progettare l’andamento del cavo potrebbe essere quello di scegliere l’andamento dei centri di pressione in maniera tale da contrastare opportunamente il carico esterno e trovare successivamente la posizione del cavo concordante, cioè quel cavo che annulla la reazione iperstatica.

4f/L

αβ

f

β

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Ad esempio, nel caso della trave continua illustrata precedentemente, noto N e detto p il valore del carico distribuito equivalente e p0 il carico distribuito esterno, la linea delle pressioni può essere scelta imponendo che il carico esterno sia pari al carico distribuito equivalente alla precompressione:

Nota la freccia f del cavo e fissati i punti di passaggio del cavo nelle testate della trave è possibile calcolare il momento M3 e quindi il luogo dei centri di pressione. Successivamente si può ruotare il cavo affinché nell’appoggio intermedio sia nulla la reazione iperstatica R, seguendo il procedimento prima illustrato. Il metodo appena illustrato prende spunto dal metodo detto “della compensazione dei carichi esterni” che fu proposto da Lin nel 1963 [Lin, 1963] Per travi a geometria più complessa come le travi continua su più appoggi la ricerca del cavo concordante può non essere attuabile in quanto esistono termini di accoppiamento tra le reazioni iperstatiche che le rendono interdipendenti. A meno di casi particolari, ciò impedisce evidentemente l’esistenza di un cavo concordante.