CEMENTO ARMATO PRECOMPRESSO Lezione 6 · In particolare detto R il raggio di curvatura locale del...

Università degli Studi di Roma Tre - Facoltà di IngegneriaLaurea magistrale in Ingegneria Civile in Protezione…Corso di Complementi di Tecnica delle Costruzioni – A/A 2008-09

CEMENTO ARMATO PRECOMPRESSO

Corso di Complementi di Tecnica delle Costruzioni A/A 2008 09

CEMENTO ARMATO PRECOMPRESSOLezione 6

IL SISTEMA EQUIVALENTE ALLA PRECOMPRESSIONEIL SISTEMA EQUIVALENTE ALLA PRECOMPRESSIONE

GeneralitàIl sistema equivalente per travi isostatiche Il sistema equivalente per travi iperstaticheEsempiLinea delle pressioni e cavo concordante


SISTEMA EQUIVALENTE ALLA PRECOMPRESSIONE(G lità)


(Generalità)

La valutazione delle caratteristiche della sollecitazione nelle travi in c.a.p. può esserecondotta in alternativa all’applicazione diretta della formula di Navier per lacondotta, in alternativa all applicazione diretta della formula di Navier per lapressoflessione, utilizzando il concetto di sistema equivalente alla precompressione.Quest’ultimo costituisce un sistema di forze autoequilibrato, staticamente equivalente allaprecompressione che dipende solamente dalla geometria del cavo e dallo sforzo normaleprecompressione che dipende solamente dalla geometria del cavo e dallo sforzo normaleN. In particolare detto R il raggio di curvatura locale del cavo, la presenza di una trazione Nin esso genera come noto una pressione pn e una componente tangenziale pt

RNpn =

N1 αRNfp ct = dove fc è il coefficiente d’attrito

cavo-guaina.

N2dα

ds

p

p

A BNN

ds ptForze agenti sul cavo


SISTEMA EQUIVALENTE ALLA PRECOMPRESSIONE(Generalità)


Di conseguenza le reazioni che il cavo scarica sulla trave in calcestruzzo sono costituite da una coppiadi forze orizzontali Nn e verticali V nelle testate e un sistema di forze distribuite verticali py orientateverso l’alto e orizzontali p agenti lungo l’asse della trave Questo sistema non dipende dai vincoli dellaverso l alto e orizzontali px agenti lungo l asse della trave. Questo sistema non dipende dai vincoli dellatrave

cosNN αIn testata

ααα sinpcosp)(p +=Forze distribuite

Normalmente si trascurano le

0

0n

sinNVcosNNαα

==

ααα

ααα

sinpcosp)(p

sinpcosp)(p

ntx

tny

−=

+componenti orizzontali delle forzedistribuite e l’angolo α0 è consideratopiccolo, sicché il sistema di forzeequivalenti diviene :

NV

NVNNn

==α

py

px≅0α0

pn

p

Nn

RNp

NV

y

0

=

= α

pt 0px =


SISTEMA EQUIVALENTE ALLA PRECOMPRESSIONE


Q(Generalità)

La legge di variazione di py dipende dalla legge di variazione del raggio di curvatura locale Re dall’andamento dello sforzo normale N. Se si trascurano le perdite d’attrito lungo il cavop gN=cost e il calcolo delle forze dipende unicamente dalla forma del cavo. Considerando invecel’attrito, N varia con la seguente legge, dove fc è il coefficiente d’attrito guaina-cavo :

( ) ( ) αf( ) ( ) ααα cfeNN −= 0

L’andamento del cavo viene in genere considerato di forma quadratica, sicché si ottiene unacurvatura R costante e di conseguenza un py che dipende da N.

f8f81f4L y

NLf8p

Lf8''y

R1x

Lf4y 2y2

22 =⇒=≅⇒= f x

Nella precedente f è la freccia della parabola mentre L è la lunghezza totale della trave




Q(Generalità)

Se si trascurano le perdite d’attrito il carico distribuito avrà ovviamente un andamentocostante e il sistema equivalente darà costituito da forze di estremità e un carico verticale

N

Nα0

qverso l’alto uniformemente ripartito.

fN

VN

VSistema equivalenteNn

Nn

NLf8p 2=




Q(Generalità)

Nel caso generale di cavo con punti di ancoraggio a quote differenti il carico distribuitoequivalente dipende solamente dalla freccia del cavi. Ciò è dovuto all’ipotesi di componenti

N

q p p porizzontali delle forze di contatto trascurabili. Trasformazioni del cavo che coinvolgonosemplici rotazioni del cavo vanno sotto il nome di trasformazioni lineari.

fN

V1

NV2Sistema equivalente

Nn1Nn2

NLf8p 2=




Q(Generalità)

Se il cavo subisce una brusca variazione della tangente in un punto (cuspide) detto α l’angoloche le tangenti alla cuspide formano tra loro, per l’equilibrio il conglomerato dovrà esercitareg p , p q gsul cavo una forza concentrata F.

NNNα

sinN2F α=

VNn

V

N

Sistema equivalente

2sinN2F =

Nn

2sinN2F α

=




Q(Generalità)

Se il cavo subisce una brusca variazione della tangente in un punto (cuspide) detto α l’angoloche le tangenti alla cuspide formano tra loro, per l’equilibrio il conglomerato dovrà esercitareg p , p q gsul cavo una forza concentrata F.

NNN α2

sinN2F α=

α1

VN1

V

N

Sistema equivalente

2sinN2F =

N2

1α2

sin2 11

αNF =

2sin2 2

2αNF =




Q(Sistemi isostatici)

ESEMPIO: Si consideri la trave semplicemente appoggiata di figura. Il cavo è dispostolinearmente e con eccentricità costante e. Si calcoli la tensione nella fibra inferiore dellasezione di mezzeria della trave. Si consideri un’area della sezione A e un modulo diresistenza a flessione relativo alla fibra inferiore Wi. A tale scopo si utilizzi la formula diNavier e in alternativa il metodo del sistema equivalente.

ei

i WNe

AN+=σ

N

Sistema equivalente alla prec.

Si ottengono gli stessirisultati

N

q p

M=Neii

i WNe

AN

WM

AN

+=+=σ

M Ne




Q(Sistemi isostatici)

ESEMPIO: Si consideri ora la stessa trave ma con il cavo ora disposto con eccentricità evariabile parabolicamente e con freccia massima f=1m. Si calcoli la tensione nella fibrapinferiore della sezione di mezzeria della trave. Si consideri un’area della sezione A e unmodulo di resistenza a flessione relativo alla fibra inferiore Wi. Si utilizzi di nuovo la formuladi Navier e in alternativa il metodo del sistema equivalente.

N

e=0.55m ii W

N55.0AN+=σ

N

f=1m

25

1.3m

N


Si ottengono gli stessirisultati

VV

N

q p

i

2y

ii W

N55.0AN

Wi8Lp

WN45.0

AN

+=+−=σN

N0128.0N25

18p 2y =⋅

=N.B. V viene assorbitadai vincoli in appoggio




Q(Sistemi iperstatici)

Nel caso di strutture iperstatiche il sistema equivalente alla precompressione mostra tutte lesue potenzialità. Invece di utilizzare i metodi classici per valutare le reazioni iperstatichep p pdovute alla precompressione si può infatti adottare il sistema equivalente allaprecompressione che permette di trattare la precompressione come una serie di carichidistribuiti e concentrati trattabili al pari dei carichi esterni. Essa però darà in generale luogo areazioni iperstatiche che compaiono anche in assenza di forze esterne (stato di coazione). Sip p ( )consideri ad esempio la trave incastro-appoggio con cavo di precompressione rettilineo adeccentricità e. In tal caso il diagramma dei momenti dovuto alla precompressione è variabilelinearmente, al contrario della mensola incastrata che presenta un momento costante. Lareazione iperstatica è indicata in figura con la lettera Ysp g s

e N


M NN M=Ne

M

YsLa reazione iperstatica Ys vale, come facilmente ricavabile

N3

N

Ys

M

M/2L/3

L2Ne3Ys =




Q(Cavo concordante e linea delle pressioni - cenni)

In generale si cerca di progettare un tracciato del cavo che eviti la formazione direazioni iperstatiche senza però alterare il sistema equivalente Una talereazioni iperstatiche senza però alterare il sistema equivalente. Una taledisposizione del cavo viene chiamata “Cavo Concordante”. Riprendendol’esempio precedente se il cavo viene ruotato rispetto all’estremo appoggiato diuna quantità 3e/2L la reazione iperstatica si annulla senza per altro modificare ilsistema equivalente in quanto la forza verticale V viene assorbita direttamentedall’appoggio.

La reazione iperstatica Y -V è ora nullaV=Y La reazione iperstatica Ys V è ora nullamentre il sistema equivalente è costituitoancora da una forza di compressione N e unmomento M=Ne.

eN

V=Ys

3e/2LM

Ys

Si noti inoltre che una tale disposizione del cavo coincide con il diagramma dei momentiindotto dal sistema equivalente cambiato di segno diviso N. Questo diagramma è detto

3e/2L

q g Q ganche linea delle pressioni. Trasformazioni della geometria del cavo che non alterino ilsistema equivalente sono dette trasformazioni lineari

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SISTEMA EQUIVALENTE ALLA PRECOMPRESSIONEQ(Sistemi iperstatici precompressi)

In presenza di elementi iperstatici precompressi il momento dovuto alla precompressione inogni sezione non è purtroppo, come per i sistemi isostatici, coincidente con il prodotto dellog p pp , p , psforzo normale N per l’eccentricità e (M1=N×e). L’iperstaticità del sistema introduce unmomento secondario (M2) che sposta il centro (linea) delle pressioni(CP).Si consideri ad esempio al trave continua illustrata nella figura seguente. Scegliendo comesistema principale la trave appoggiata e quindi come reazione iperstatica la reazione R ilsistema principale la trave appoggiata e quindi come reazione iperstatica la reazione R, ilmomento secondario ha un andamento lineare, e il CP si sposta verso l’alto (lineatratteggiata) di e’=M2/N

e e’NN

NN

RM1 = N × e

M2



Un metodo utile per determinare la linea delle pressioni è far ricorso al sistema equivalentealla precompressione.p p

fNN

αα

R

NNα

M1 = N × e

M2


SISTEMA EQUIVALENTE ALLA PRECOMPRESSIONE(Uso del SEP per travi continue)( p )

Considerando la trave continua dell’esempio, il sistema equivalente alla precompressione è ilseguente. Il momento flettente risultante è la somma dei momenti M1 ed M2. Il momento M2si può ricavare come differenza tra M3 ed M1. Le reazioni verticali agli appoggi di estremità ep g pp ggintermedi sono assorbite dagli appoggi stessi e non provocano sollecitazioni nella trave. Lereazioni nell’appoggio intermedio contrastano però la reazione iperstatica. Infine il caricodistribuito equivalente alla prec. è l’unico in grado di contrastare i carichi esterni

N

2

8LNf

2NαN

N

RL L

2Nα

R

M3 = M1+M2

M2 = M3 M1M2 = M3 – M1



E’ interessante notare che per trasformazioni lineari il centro delle pressioni dovuto alla solaprecompressione non subisce variazioni. Ciò è dovuto al fatto che in presenza di angoli piccolip p p g pil carico distribuito dipende esclusivamente dalla freccia del cavo e che per trasformazionilineari essa rimane inalterata.Ne discende che per strutture iperstatiche un metodo per progettare l’andamento del cavopotrebbe essere quello di scegliere l’andamento dei centri di pressione in maniera tale dap q g pcontrastare il carico esterno e trovare successivamente la posizione del cavo corrispondente.In particolare, anche se non sempre, può essere utile ricercare la posizione del cavoconcordante cioè quel cavo che annulla la reazione iperstatica.Ad esempio, nel caso della trave continua illustrata precedentemente, scelto un valore delp , p ,carico esterno distribuito p pari a quello esterno p0, la posizione dei centri di pressione sipuò scegliere come segue. Noto il carico distribuito risulta noto il momento M3 e quindi illuogo dei centri di pressione. Si fissa poi la posizione del cavo alle estremità e si sposta ilcavo nell’appoggio intermedio in maniera da annullare la reazione R. A tale scopo la forzapp gg pconcentrata che nasce nell’appoggio intermedio per effetto dell’inclinazione del cavo 2 N αdeve uguagliare la reazione iperstatica.

8Nf Lp 20

02

8 pLNf

=NLpf

80=


SISTEMA EQUIVALENTE ALLA PRECOMPRESSIONE(Sistemi iperstatici precompressi)(Sistemi iperstatici precompressi)

ESEMPIO: DETERMINAZIONE DEL CAVO CONCORDANTE

NN

N=1334 kNNα

α

f=34.2 cm27.4 m 27.4 m

NN 125.02 =α

La reazione (iperstatica) R nell’appoggio centrale per un carico uniformemente distribuito pvale R=1.25pL. Tenendo conto dell’espressione del carico distribuito equivalente allaprecompressione e che nell’appoggio intermedio la reazione equivalente allaprecompressione vale 2 N α si ha che per annullare R utilizzando della precompressione siprecompressione vale 2 N α, si ha che per annullare R utilizzando della precompressione sideve rispettare la relazione seguente:

NfLNfpLR 108

251251 === 062502.3455

102 =×

==⇒=fNfN αα

LL

LpLR 1025.125.1 2 === 0625.0

2740102 ===⇒=

LLN αα




NN

N=1334 kNN

NNααy

x

f=34.2 cm27.4 m 27.4 m

x

Utilizzando per la geometria del cavo il sistema di riferimento x,y indicato in figura, risulta chepartendo da una posizione del cavo orizzontale, per annullare R esso dovrà essere inclinatodell’angolo β

β

Lf4

−=αββ

f

Nel caso dell’esempio β = 0.0125 e quindi l’eccentricità del cavo nell’appoggio varrà

cmcmLe 2.3427400125.0' =×== β




N

La disposizione del cavo concordante è in definitiva quella indicata nella seguente figura

N

N=1334 kNN

N

αα

e=34.2 cm

e=17.1 cm27.4 m 27.4 m

e 17.1 cm

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