12 2 4 esercizi svolti - SEI Editrice · PDF fileLa trave è 1 volta iperstatica e...

112 Travi iperstatiche 12.2 Travi continue

© SEI - 2012

Studiare la trave continua omogenea e a sezione costante rappresentata in figura, soggetta ai carichi ripartiti uniformiq1 = 20 kN/m, q2 = 15 kN/m e al carico concentrato P = 35 kN, e tracciare i diagrammi delle sollecitazioni.

1ESERCIZ I SVOLT IESERCIZ I SVOLT I

A CB

P

C’A’

q2

q1

l3 = 6,00 l4 = 1,50l2 = 5,00l1 = 2,00

0 0

37,47 42,95

- 40,00 - 37,53

- 47,05

35,00

X2X1

Y’1 Y’2Y”1 Y”2

V

00

- 40,00 - 40,17

- 52,50

6,80

21,32

M

2,50 2,86

1,55

3,45 4,55

1,18

La trave è 1 volta iperstatica e l’incognita iperstatica è rappresentata dal momento MB.

1. Calcolo dei momenti flettenti sugli appoggiSi devono calcolare prima i momenti flettenti sugli appoggi A e C:

MA = − = − = − 40,00 kN m

MC = − P ⋅ l4 = − 35 × 1,50 = − 52,50 kN m

Si applica ora l’equazione dei tre momenti per calcolare il momento sull’appoggio B.

MA ⋅ l2 + 2 ⋅ MB ⋅ (l2 + l3) + MC ⋅ l3 = − 6 ⋅ (B1* + B2*)

B1* = = ≈ 78,13 kN m2

B2* = = = 135,00 kN m215 × 6,003

24q2 ⋅ l 3

3

24

15 × 6,003

24q2 ⋅ l 3

2

24

20 × 2,002

2q1 ⋅ l 2

1

2

12.2.4 Travi continue con sbalzi e con incastri

Sostituendo si ha:

− 40,00 × 2,00 + 22,00 ⋅ MB − 52,50 × 6,00 = − 6 × (78,13 + 135,00)

e risolvendo si ottiene:

MB ≈ − 40,17 kN m

2. Calcolo delle sollecitazioni di sforzo di taglio

Sbalzo AA�

VA� = 0 VsA = − q1 ⋅ l1 = 20 × 2,00 = − 40 kN

Campata AB

VdA = + = + ≈ + 37,47 kN

VsB = Vd

A − q2 ⋅ l2 = + 37,47 − 15 × 5,00 = − 37,53 kN

V = 0 per xA = = ≈ 2,50 m

Campata BC

VdB = + = + ≈ + 42,95 kN

VsC = Vd

B − q2 ⋅ l3 = + 42,95 − 15 × 6,00 = − 47,05 kN

V = 0 per xB = = ≈ 2,86 m

Sbalzo CC�

VdC = + P = + 35 kN VC� = + 35 kN V�C� = 0

3. Calcolo dei momenti flettenti in campataCampata AB

MX1= MA + Vd

A ⋅ xA − = − 40,00 + 37,47 × 2,50 − = + 6,80 kN m

Si ha M = 0 in due sezioni che si ottengono con l’equazione:

MY1= MA + Vd

A ⋅ y1 − = − 40,00 + 37,47 ⋅ y1 − 7,50 ⋅ y 21 = 0

7,50 ⋅ y 21 − 37,47 ⋅ y1 + 40 = 0

e risolvendo si ha:

y �1 ≈ 1,55 m y �1 ≈ 3,45 m

Campata BC

MX2= MB + Vd

B ⋅ xB − = − 40,17 + 42,95 × 2,86 − = + 21,32 kN m

Si ha M = 0 in due sezioni:

MY2= MB + Vd

B ⋅ y2 − = − 40,17 + 42,95 ⋅ y2 − 7,50 ⋅ y 22 = 0

E risolvendo si ottiene:

y �2 ≈ 1,18 m y �2 ≈ 4,55 m

q2 ⋅ y 22

2

15 × 2,862

2q2 ⋅ l 2

3

2

q2 ⋅ y 21

2

15 × 2,502

2q2 ⋅ x2

A

2

42,9515

VdB

q2

15 × 6,002

− 52,50 + 40,176,00

q2 ⋅ l3

2MC − MB

l3

37,4715

VdA

q2

15 × 5,002

− 40,17 + 40,005,00

q2 ⋅ l2

2MB − MA

l2


© SEI - 2012


4. Calcolo delle reazioni vincolari

RA = VdA − Vs

A = 37,47 + 40,00 = 77,47 kN

RB = VdB − Vs

B = 42,95 + 37,53 = 80,48 kN

RC = VdC − Vs

C = 35,00 + 47,05 = 82,05 kN


© SEI - 2012


Studiare la trave continua e a sezione costante rappresentata nella figura a pagina seguente, soggetta ai carichi ripartitiuniformi q1 = 20 kN/m, q2 = 10 kN/m, q3 = 15 kN/m, tracciare i diagrammi delle sollecitazioni e determinare la frecciain mezzeria della campata BC nell’ipotesi che la trave venga realizzata con il profilato HE 100 M.

2

La trave è 2 volte iperstatica.

1. Calcolo del momento di incastro e del momento sugli appoggi

MC = − = − ≈ − 16,88 kN m

2 ⋅ MA ⋅ l1 + MB ⋅ l1 = − 6 ⋅ A2*

MA ⋅ l1 + 2 ⋅ MB ⋅ (l1 + l2) + MC ⋅ l2 = − 6 ⋅ (B1* + B2*)

ed essendo:

A2* = B1* = = ≈ 53,33 kN m2

B2* = = ≈ 52,08 kN m2

sostituendo si ha:

8,00 ⋅ MA + 4,00 ⋅ MB = − 6 × 53,33

4,00 ⋅ MA + 18,00 ⋅ MB − 5,00 × 16,88 = − 6 × (53,33 + 52,08)

8,00 ⋅ MA + 4,00 ⋅ MB = − 319,98

4,00 ⋅ MA + 18,00 ⋅ MB = − 548,06

e risolvendo si ottiene:

MA ≈ − 27,87 kN m MB ≈ − 24,25 kN m

2. Calcolo della sollecitazione di sforzo di taglioCampata AB

VdA = + = + ≈ + 40,91 kN

VsB = Vd

A − q1 ⋅ l1 = 40,91 − 20 × 4,00 = − 39,09 kN

Si ha V = 0 per xA = = ≈ 2,05 m

Campata BC

VdB = + = + ≈ + 26,47 kN

VsC = Vd

B − q2 ⋅ l2 = 26,47 − 10 × 5,00 = − 23,53 kN

Si ha V = 0 per xB = = ≈ 2,65 m26,4710

VdB

q2

10 × 5,002

− 16,88 + 24,255,00

q2 ⋅ l2

2MC − MD

l2

40,9120

VdA

q1

20 × 4,002

− 24,25 + 27,874,00

q1 ⋅ l1

2MB − MA

l1

10 × 5,003

24q2 ⋅ l 3

2

24

20 × 4,003

24q1 ⋅ l 3

1

24

15 × 1,502

2q3 ⋅ l 2

3

2

⎧⎨⎩

⎧⎨⎩

⎧⎨⎩


© SEI - 2012

A CB

l2 = 5,00 l3 = 1,50l1 = 4,00

q1q2

q3

0 0

2,05

26,47 22,50

40,91

- 39,09

- 23,53

V

X1

Y’1 Y’2Y”1 Y”2

X2

2,65

- 27,87- 24,25

- 16,88

00

13,9710,78

3,23

0,86 1,00

4,12

M


Sbalzo

VdC = q3 ⋅ l3 = 15 × 1,50 = 22,50 kN

3. Reazioni vincolari

RA = 40,91 kN

RB = 26,47 + 39,09 = 65,56 kN

RC = 22,50 + 23,53 = 46,03 kN

4. Calcolo dei momenti flettenti in campataCampata AB

MX1= MA + Vd

A ⋅ xA − = − 27,87 + 40,91 × 2,05 − × 2,052 ≈ 13,97 kN m

Uguagliando a zero l’equazione del momento si ottengono le distanze y�1 ≈ 0,86 m e y�1 ≈ 3,23 m delle sezioni dove si verifica M = 0.

Campata BC

MX2= MB + Vd

B ⋅ xB − = − 24,25 + 26,47 × 2,65 − × 2,652 ≈ 10,78 kN m

Uguagliando a zero l’equazione del momento si ottengono le distanze y�2 ≈ 1,00 m e y�2 ≈ 4,12 m delle sezioni dove si verifica M = 0.

102

q2 ⋅ x2B

2

202

q1 ⋅ x2A

2

5. Calcolo della freccia in mezzeria della campata BCDal sagomario si ricava il momento d’inerzia Ix = 1143 cm4 del profilato.

f = f + ⋅ (MB + MC) = ⋅ + ⋅ (MB + MC) =

= × + × (− 24,25 − 16,88) × 105 ≈ 0,713 cm5002

16 × 21 × 106 × 1143100 × 5004

21 × 106 × 11435

384

l2

16 ⋅ E ⋅ Iq2⋅ l4

2

E ⋅ I5

384l2

16 ⋅ E ⋅ I⎞⎠

l2

⎛⎝

l2


© SEI - 2012


Studiare la trave continua omogenea e a sezione costante su quattro appoggi e incastrata a un estremo riportata in figura,gravata di un carico concentrato P = 120 kN applicato in posizione asimmetrica nella campata CD; calcolare inoltre lafreccia nella sezione di mezzeria della campata CD ponendo che la trave venga realizzata con il profilato IPE 330.

3


© SEI - 2012

La trave è quattro volte iperstatica e si assumono come incognite i momenti sugli appoggi B, C, D e il momento di incastro inE, per cui il sistema di equazioni dei tre momenti risulta:

e poiché:

MA = 0

0sostituendo si ottiene:

Risolvendo il sistema si ha:

ME = 28,88 kN mMD = − 57,76 kN mMC = − 45,55 kN mMB = 12,25 kN m

1. Calcolo delle sollecitazioni di sforzo di taglio

Campata AB

Campata BC

Campata CD

VDs = VF

d = − 50,44 kN

VFd = VF

s − P = 69,56 −120 = − 50,44 kN

VFs = VC

d = 69,56 kN

VCd = MD − M C

l3+ P ⋅b

l3= −57,76 + 45,55

5,00+ 120 ×3,00

5,00= 69,56 kN

M D = MC + VCd ⋅ l3 − P ⋅b

VCs = VB

d = − 8,26 kN

VBd = MC − MB

l 2= − 45,55 −12,25

7,00≈ − 8,26 kN

MC = MB + VBd ⋅ l2

VBs = VA

d ≈ 2,04 kN

VAd = MB − MA

l1= 12,256,00

≈ 2,04 kN

M B = M A + VAd ⋅ l1

26,00 ⋅ MB + 7,00 ⋅ MC = 0

7,00 ⋅ MB + 24,00 ⋅ MC + 5,00 ⋅ MD = − 6 × 216

5,00 ⋅ MC +18,00 ⋅ MD + 4,00 ⋅ M E = − 6 ×192

4,00 ⋅ MD + 8,00 ⋅ M E = 0

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪

D*1 = P ⋅a ⋅ b6 ⋅ l3

⋅(l + a) = 120 × 2,00 × 3,006 × 5,00

× (6,00 + 2,00) = 192 kN m2

C*2 = P ⋅a ⋅ b6 ⋅ l3

⋅(l + b) = 120 × 2,00 × 3,006 × 5,00

× (6,00 + 3,00) = 216 kN m2

B*1 = B*2 = C*1 = D*2 = E*1 = 0

M A ⋅ l1 + 2 ⋅ MB ⋅(l1 + l2 ) + MC ⋅ l2 = − 6 ⋅(B1* +B 2*)

MB ⋅ l2 + 2 ⋅ MC ⋅(l2 + l3 ) + MD ⋅ l3 = − 6 ⋅(C1* +C 2*)

MC ⋅ l3 + 2 ⋅ MD ⋅(l3 + l4 ) + M E ⋅ l4 = − 6 ⋅(D1* +D 2*)

MD ⋅ l4 + 2 ⋅ M E ⋅ l4 = − 6 ⋅ E 1*

⎧

⎨⎪⎪

⎩⎪⎪


Campata DE

Data la presenza di un solo carico concentrato in corrispondenza della campata CD, il momento flettente massimo si verifica incorrispondenza della sezione F, ove è applicato il carico P, e il suo valore viene calcolato con l’equazione:

2. Calcolo delle reazioni vincolari

Osservando il diagramma dei momenti, tracciato riportando i valori calcolati dei momenti flettenti, è possibile ricavare che perparticolari situazioni di carico, come quella esaminata, i momenti sugli appoggi possono risultare positivi, contrariamente aquanto avviene in genere quando tutte le campate sono caricate, per cui tali momenti assumono segno negativo; inoltre, si puòancora osservare come le componenti verticali delle reazioni in B e in E risultino negative e quindi siano dirette verso il basso.In funzione del tracciato che presenta il diagramma del momento flettente e dei punti ove si annulla, che corrispondono ai puntidi flesso della linea elastica, si è tracciata quest’ultima, tenendo presente che questa deve sempre risultare tangente agli appoggi.

3. Calcolo della freccia nella campata CDDalle tabelle si ricava per il profilato IPE 330 il momento d’inerzia massimo Ix = 11 770 cm4.

Viene ora calcolato l’abbassamento nel punto di mezzo della campata CD tramite la relazione [40] del paragrafo 12.1.6:

= × (3 × 5002 − 4 × 2002) + = 0,54043 cm = 5,4043 mm(− 45,55 × 105 − 55,76 × 105) × 5002

16 × 21 × 106 × 11 770120 × 103 × 200

48 × 21 × 106 × 11 770

f l2

= f l2

⎛⎝

⎞⎠ + (MC + MD ) ⋅ l3

2

16 ⋅ E ⋅ I= P ⋅a

48 ⋅ E ⋅ I⋅(3 ⋅ l3

2 − 4 ⋅a2 ) + (MC + MD ) ⋅ l32

16 ⋅ E ⋅ I=

RE = − VEs = − 21,66 kN

RD = VDd − VD

s = 21,66 + 50,44 = 72,10 kN

RC = VCd − VC

s = 69,56 + 8,26 = 77,82 kN

RB = VBd − VB

s = − 8,26 − 2,04 = − 10,30 kN

RA = VAd = 2,04 kN

M F = Mmax+ = MC + VC

d ⋅a = − 45,55 + 69,56 × 2,00 = 93,57 kNm

VEs = VD

d = 21,66 kN

VDd = ME − MD

l 4= 28,88+ 57,76

4,00= 21,66 kN

M E = MD + VDd ⋅ l4


© SEI - 2012


12 2 4 esercizi svolti - SEI Editrice · PDF fileLa trave è 1 volta iperstatica e...

Documents

Transcript of 12 2 4 esercizi svolti - SEI Editrice · PDF fileLa trave è 1 volta iperstatica e...