I PARADOSSI DI ZENONE E LA SCIENZA MODERNAVincenzo Fano

IL PARADOSSO DI ZENONE DELLA DICOTOMIA

Ci sono due versioni diverse del paradosso di Zenone detto della dicotomia: una riportata da Aristotele nella Fisica e una da Platone nel Parmenide. Il primo argomento sembra essere soprattutto contro la possibilità del moto il secondo contro la pluralità degli enti. Mi occuperò della prima formulazione. Non terrò conto più di tanto della sua formulazione storicamente esatta, per cui analizzerò un argomento che, pur essendo simile a quello riportato da Aristotele1, ci consente di affrontare delicati e importanti problemi sul rapporto fra fisica, matematica, spazio, tempo, materia e infinito.Carlo è in casa con la sorella Gianna e la ha vista poco prima in camera sua che studiava i paradossi di Zenone. Dalla sua camera, dove sta giocando con la play station, Carlo si reca in cucina, per bere una coca cola. Trova lì la sorella che si sta preparando il caffè. Dato che Gianna prima era in camera sua e adesso è in cucina, deduce prontamente che “Gianna è andata dalla sua camera in cucina”. Dove il verbo “andare” indica un moto. Immaginiamo a questo punto il seguente dialogo:

Zenone – Gianna, per andare da camera sua alla cucina, ha dovuto percorrere la metà del tragitto, giusto?Carlo – Certamente.Z – Prima di arrivare alla metà del tragitto, ha però dovuto percorrere la metà della metà, cioè un quarto, del percorso. Non ti pare?C – E’ ovvio.Z – E prima di raggiungere un quarto del percorso ha dovuto camminare per la metà di un quarto, cioè un ottavo, del percorso. Corretto?C – Senz’altro.Z – E questa divisione può essere reiterata all’infinito, o sbaglio?C – Non sbagli.Z. Dunque Gianna, per andare dalla sua camera alla cucina, avrebbe dovuto attraversare una quantità infinita di tratti di percorso, per cui ci avrebbe impiegato una quantità infinita di tempo. Siccome il tempo trascorso da quando l’hai vista l’ultima volta in camera sua è senz’altro finito, Gianna non si è mai mossa.

1 L’argomento viene formulato da Aristotele in Phys. VI, 9 239b 11ss., luogo in cui si elencano i paradossi di Zenone. Viene però risolto in Phys. VI, 2 233° 20ss e in Phys. VIII, 8 263° 5ss.

1

Carlo resta un po’ perplesso.

Questa è una presentazione informale dell’argomento della dicotomia. Adesso dobbiamo esaminarlo in modo più preciso.

1. Supponiamo che un corpo c si muova da A a B, due differenti luoghi spaziali, con velocità costante. Supponiamo inoltre, per semplicità, che la distanza fra A e B sia uguale a 1 in una qualche unità di misura che non ci interessa e che ci impieghi un tempo unitario in qualche unità di misura. In questo modo, secondo la cinematica classica, c impiega esattamente 1/M unità di tempo per percorrere un qualsiasi tratto di lunghezza 1/M contenuto in AB.2. Supponiamo poi che lo spazio compreso fra A e B sia infinitamente divisibile, nel senso dell’infinito numerabile.3. Allora possiamo dire che c, per andare da A a B, deve percorrere una serie infinita di intervalli di spazio adiacenti l’ultimo dei quali è lungo ½, il penultimo ¼, il terzultimo 1/8 ecc., che possiamo così indicare:

(1)

Oppure così rappresentare graficamente:

Dove i puntini stanno a indicare che la serie di intervalli è regressivamente infinita. 4. E’ ragionevole supporre che c per attraversare ognuno degli intervalli della serie (1) adoperi una quantità finita di tempo.5. Quindi c impiega una quantità infinita di tempo per andare da A a B, dato che un qualsiasi numero finito moltiplicato per infinito dà comunque infinito.

A B

1/21/4

1/8

2

Il ragionamento così costruito prende le mosse dalle assunzioni difficilmente contestabili 2. (infinita divisibilità dello spazio) e 4. (necessità di un tempo finito per percorrere uno spazio finito) e porta all’assurdo l’ipotesi 1., cioè che c si sia mosso da A a B. Assurdo perché sarebbe un moto che durerebbe un tempo infinito. La soluzione del dilemma viene in mente in modo abbastanza naturale, e infatti è quella proposta dallo stesso Aristotele: è vero che gli spazi che c deve percorrere sono infiniti, ma sono sempre più piccoli, per cui anche i tempi impiegati sono sempre più piccoli, poiché il tempo pure è infinitamente divisibile. Dunque non ci vuole un tempo infinito2.Più o meno la risposta andrebbe bene, senonché essa utilizza due premesse tutt’altro che scontate:

I. Il tempo è infinitamente divisibile;II. La somma della serie infinita degli elementi della (1) è minore o uguale a 1.

Discutiamo innanzitutto II., che è più facile, se ci avvaliamo delle moderne tecniche matematiche introdotte a partire dall’opera di Eulero, matematico tedesco del Settecento.Poniamo:

(2)

Dividiamo la (2) per 2 da entrambe le parti:

(3)

Sottraiamo la (3) dalla (2) membro a membro:

2 Il discorso aristotelico, come nota N. Huggett, Space from Zeno to Einstein, MIT Press, Cambrudge Mass., 1999. pp. 39-40, è articolato. Egli nota che non è detto che sia necessario un tempo infinito per attraversare un numero infinito di parti contenute in un segmento finito, Phys., 233° 14-21, poi però nota che questo non è sufficiente in Phys., 263° 15-22, in un passo per me alquanto oscuro, che Huggett interpreta come l’affermazione che non è detto che una somma infinita di numeri dia un numero finito. L’interpretazione non sembra del tutto convincente. Nelle righe successive Aristotele osserva che in una grandezza finita infinitamente divisibile, l’infinito è solo in potenza e per questo la somma infinita di un numero infinito di parti in potenza può essere finita.

3

Cioè:

(4)

Dalla (4) si vede che n può diventare grande quanto si vuole ma Sn non sarà mai maggiore di 13.Con questo abbiamo dimostrato la veridicità della II. Dobbiamo ora affrontare il problema della correttezza della I., che è assai più complesso. Per fare questo, prendiamo prima in considerazione la premessa 2., cioè che lo spazio sia infinitamente divisibile. Notiamo innanzitutto che finora, per quel che ne so, non esiste una definizione rigorosa del predicato “infinitamente divisibile”4. Questo probabilmente per il carattere modale di tale locuzione (divisibile). Dunque per formulare con esattezza la 2., dobbiamo dire che lo spazio è “denso”, cioè che fra due punti spaziali ce ne è sempre almeno un altro. Questo non significa ancora che lo spazio sia continuo, cioè che sia isomorfo ai numeri reali. Vuol dire però che non è come i numeri naturali, che sono discreti, bensì come i numeri razionali, cioè le frazioni. Infatti prese due frazioni quanto si vuole vicine fra loro, come ad esempio 99/100 e 98/100 ne troviamo facilmente un’altra che è più piccola della prima e più grande della seconda come 985/1000. Teniamo anche conto che il fatto che lo spazio sia un insieme denso di punti non significa che non sia continuo, ma solo che per il nostro ragionamento è sufficiente che sia denso. Infatti ogni insieme continuo è a fortiori denso.Quando si propone un’ipotesi matematicamente esatta sulla natura di un oggetto reale, credo che la prima cosa sia confrontarla con la percezione5. Un continuo spaziale percepito, come ad esempio un tratto di matita nera sul foglio bianco, non viene colto come un insieme denso di punti. Certo possiamo definire in esso dei minimi percepibili, considerando che la percezione visiva spaziale possiede una soglia. Possiamo anche dire che esso è in potenza formato da un insieme finito e

3 Huggett, op. cit., pp. 42-43, e nella voce “Zeno’s paradoxes” della Stanford Enciclopedia of Philosophy, http://plato.stanford.edu/entries/paradox-zeno/ § 3.3, sostiene che per risolvere matematicamente la dicotomia di Zenone è necessario il concetto di somma infinita di Cauchy, ma sembra invece che la questione sia più semplice, come mostrato nel testo.4 Forse il più importante tentativo in questo senso è il metodo dell’astrazione estensiva proposto da Whitehead, criticato però da A. Grünbaum, “Whitehead’s method of extensive abstraction”, The British Journal for the Philosophy of Science, 4, 1953, pp. 215-226.5 Come fa A. Grünbaum, Modern science and Zeno’s paradoxes, Allen and Unwin, London, 1968, p. 44.

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discreto di minimi percepibili. Ma tali minimi non risultano evidenti attualmente. Possiamo quindi dire, con Grünbaum che la percezione non testimonia contro l’affermazione che lo spazio sia composto da un insieme denso di punti. Anche se non testimonia neanche a favore di questa tesi. L’argomento più forte a favore del fatto che lo spazio fisico sia composto da un insieme denso di punti è il successo delle attuali teorie fisiche: meccanica classica, meccanica quantistica, relatività ristretta e generale, elettromagnetismo, elettrodinamica quantistica e modello standard. Tutte queste presuppongono uno spazio fisico denso (in realtà continuo), per cui, se abbracciamo una forma di realismo scientifico, anche moderato, arriviamo alla conclusione che, per quanto ne sappiamo, lo spazio fisico è denso. Il realismo scientifico moderato infatti afferma che le migliori spiegazioni di un dato dominio di oggetti sono almeno in parte vere anche riguardo a ciò che non è osservabile. Dove il termine “vere” va inteso nel senso della verità come corrispondenza. Dunque è ragionevole supporre che lo spazio fisico sia effettivamente denso6. Detto questo, dobbiamo occuparci del caso del tempo. Notiamo innanzitutto che il tempo percepito, a differenza dello spazio, è discontinuo (James Whitehead, Grünbaum7). La temporalità vissuta infatti è scandita dal farsi presente di situazioni successive. In effetti, se non proiettiamo sul tempo percepito la sua geometrizzazione tipica delle teorie fisiche, possiamo dire, ad esempio, che fra il momento in cui è squillato il telefono e quello in cui mi è caduto sul piede un martello non ci sono istanti intermedi. Tuttavia, il fatto che il tempo percepito sia discreto non implica necessariamente che il tempo fisico sia discreto. Quante volte è capitato, a partire dalla rivoluzione copernicana, che ci siamo resi conto che i nostri sensi ci ingannano? Tuttavia il caso del tempo è più complesso rispetto a quello dello spazio, perché mentre là i sensi non testimoniavano contro la densità dello spazio, ma restavano, per così dire, neutrali, qui la percezione, invece, si contrappone alla densità del tempo. Dunque in questa situazione, affermare, come abbiamo fatto per lo spazio, che le migliori teorie fisiche presuppongono che il tempo sia denso, non sembra sufficiente. Già Aristotele afferma che (Phys. 233a 15ss.) a causa del moto8, che lega lo spazio (che egli chiama la “grandezza”) con il tempo, se uno è infinitamente divisibile anche l’altro lo sarà. L’argomento aristotelico è stato così riformulato da Adolf Grünbaum (che però non cita Aristotele, op. cit. pp. 56ss.). Chiamiamo “fatto” che una certa 6 Si tenga conto, però, che nei più recenti tentativi di unificazione di gravità e teorie quantistiche non sempre lo spazio alle dimensioni di Planck resta denso, ma possiederebbe delle discontinuità. Si tratta però di ipotesi ancora in discussione.7 Op. cit., pp. 45ss.8 Giustamente Elena Piatti (studente di filologia classica a Urbino, ha notato che l’argomento aristotelico non avrebbe convinto Zenone, in quanto presuppone l’esistenza del moto. Nella riformulazione di Grünbaum, che discuteremo fra poco, questo problema sembra essere superato, perché non si assume l’esistenza del moto.

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entità fisica c minimamente individuata si trovi a un certo istante in un certo luogo. Se una stessa entità fisica minimamente individuata si trova nel punto spaziale A al tempo tA e nel punto spaziale B al tempo tB, diciamo che i due fatti FA e FB sono “genidentitci”. Prendiamo ora le mosse da questo primo principio:

i. In tutte le teorie fisiche attuali, presi due qualsiasi fatti genidentici FA e FB, se A è diverso da B allora tA è diverso da tB

9.

Ora viene il punto ontologico fondamentale che rende possibile il trasferimento della densità dello spazio al tempo.

ii. Se FA e FB sono due fatti genidentici, con A diverso da B, allora esiste un insieme lineare e denso di fatti genidentici rispetto a FA e FB che ha FA e FB come estremi, ovvero la traiettoria del corpo c da A a B. Anche questo è vero in tutte le teorie fisiche contemporanee10.

A questo punto prendiamo una qualsiasi coppia di fatti genidentici FA e FB riguardanti il corpo c, essi, per i., non saranno simultanei. Ma, per ii., esisterà un insieme denso e lineare di fatti (tutti genidentici con FA e FB) che ha come estremi FA e FB, chiamiamolo FAB. Tutti gli elementi di FAB sono genidentici fra loro, dunque per i., nessun membro di FAB sarà simultaneo a un altro membro di FAB. Questo significa che esiste un insieme denso di istanti temporali. Lo stesso Zenone non può negare l’esistenza di due fatti genidentici a partire dai suoi argomenti contro il moto, poiché in questo ragionamento non abbiamo mai utilizzato l’esistenza di un moto di c, ma solo i principi i. e ii. rispettati dalle migliori teorie fisiche attuali.Resta da spiegare come mai, se il tempo è denso, noi lo percepiamo discontinuo. Occorre notare, al riguardo, che l’argomento proposto da Grünbaum mostra il carattere denso del tempo in connessione con il moto. Il tempo psicologico ha però una struttura assai complessa. Se tuttavia ci limitiamo a esaminare la percezione del tempo che accompagna la sensazione di un moto continuo, ci accorgiamo subito che

9 Qui dovremmo prendere in considerazione la non località quantistica, in accordo con la quale sembrerebbe che una particella possa stare in due luoghi diversi simultaneamente, anche se in modo probabilistico. In realtà la meccanica quantistica è una teoria che non può essere interpretata realisticamente, per cui questa non località è più un fatto matematico che una caratteristica del mondo. Inoltre, più che non località, si tratta di non separabilità, per cui l’oggetto fisico unico si trova in un unico ampio luogo che comprende A e B. Si veda al riguardo V. Fano, “Non materialità of non località”, Foundations of Physics, 34, 2004, pp. 2005-2013.10 Di nuovo occorre prendere in considerazione il caso della meccanica quantistica, che sembra violare tale principio, in quanto, come è noto, in generale non è possibile ricostruire la traiettoria delle particelle. Tuttavia, come dicevamo nella nota precedente, la non località è in realtà una non separabilità. Per cui la traiettoria sarà non unidimensionale.

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per la percezione di questo particolare aspetto del tempo vale una situazione simile a quella precedente dello spazio. Cioè in questo caso la percezione non testimonia né contro né a favore della densità del tempo, poiché la percezione di un moto continuo tende a nascondere il carattere discontinuo della percezione temporale sovrapponendo a esso la continuità del moto11.Ci stiamo dunque avvicinando a una riformulazione contemporanea della soluzione aristotelica del paradosso della dicotomia. Abbiamo infatti appena dimostrato la correttezza di II. Ci rimane un ultimo tassello. Siamo sicuri che possiamo sommare la lunghezza degli intervalli temporali esattamente come sommiamo i numeri? Ovvero, come si misura la lunghezza di un intervallo temporale e tali lunghezze sono additive?In effetti se il tempo fisico è rappresentabile come un insieme lineare12 e denso di istanti, lo possiamo mettere in corrispondenza biunivoca con i numeri razionali. Tale corrispondenza la possiamo costruire in modo che se un istante è prima di un altro, allora il numero corrispondente è minore e se è dopo allora è maggiore. Dopo di che possiamo facilmente definire la “distanza temporale” o “lunghezza di un intervallo temporale” fra due istanti come la differenza fra i due corrispondenti numeri razionali. In questo modo otteniamo una misura delle distanze temporali. Ci chiediamo ora se tali distanze sono additive, cioè se esiste una operazione fisica, chiamiamola “□” tale che presi due qualsiasi intervalli temporali Ta e Tb, se vale Ta□Tb=Tc allora la lunghezza di Tc è uguale alla somma della lunghezza di Ta e di quella di Tb. E’ chiaro che gli intervalli temporali non si possono spostare facilmente come quelli spaziali, però possiamo immaginare di formare l’intervallo Tc somma a partire dagli intervalli Ta e Tb facendo iniziare Tb esattamente quando finisce Ta. Dunque l’operazione “□” esiste, per cui la misura delle lunghezze temporali è additiva. Ne segue che possiamo applicare il semplice calcolo (1)-(4) per mostrare che la somma degli intervalli temporali non eccede mai l’unità. Di modo che il paradosso 11 Al riguardo vedi V. Fano, “A Meinongian solution of McTaggart’s paradox”, http://philsci-archive.pitt.edu/archive/00003041/. M. Dummett, “Is time a continuum of instants?”, Philosophy, 75, 2000, pp. 497-515, e “How should we conceive of time?”, Philosophy, 77, 2002, pp. 193-209, propone argomenti significativi contro la densità del tempo. Per contro, A.A. Fingelkurts e A.A. Fingelkurts, “Time in cognition and EEG dynamics: Discreteness versus continuity”, Cognitive Processing, 2007, 7, pp. 135-162, discutono la questione anche da un punto di vista neurologico, cercando di trovare una mediazione. Infine R. Patterson, “Perceptual moment models”, in Cognitive model of psychological time, a cura di R.A. Block, Erlbaum, 1990, pp. 86-101, nota che il carattere discreto dell’esperienza temporale meglio si attaglia a un’interpretazione in termini computazionali della percezione.12 “lineare” significa che presi due qualsiasi istanti tA e tB esiste una relazione R tale che o tARtB o tBRtA; se tARtB allora non tBRtA e viceversa se tBRtA non tARtB; se tARtB e tBRtC, allora tARtC. Cioè R è totale, antisimmetrica e transitiva. Per gli istanti del tempo fisico (se non prendiamo in considerazione le curve di tipo tempo chiuse della relatività generale) R esiste, cioè “prima di” o “dopo di”.

7

della dicotomia di Zenone, già risolto da Aristotele, anche rispetto alla fisica e alla matematica contemporanea risulta superato. Ricordiamoci però, che nella nostra analisi ci siamo spesso avvalsi di istanze fondate empiricamente, cioè la nostra argomentazione non è stata meramente concettuale, per cui il futuro della ricerca empirica potrà modificare queste conclusioni.

ACHILLE E LA TARTARUGA

Risolto il paradosso della dicotomia diventa relativamente facile affrontare il più famoso degli argomenti di Zenone, cioè quello della corsa fra Achille e la tartaruga. Lo scrittore sudamericano Augusto Monterroso racconta che Achille arrivò al traguardo un decimiliardesimo di secondo dopo la tartaruga bestemmiando contro un certo Zenone! L’argomento può essere così formulato:

1. Lo spazio è un insieme denso di punti.2. Achille parte con una velocità costante V dal punto A e si muove in linea retta verso il punto B, che è situato a una distanza d da A, dal quale parte la tartaruga con una velocità costante v minore di V, muovendosi anch’essa in linea retta.3. Dopo un tempo t1=d/V Achille arriva nel punto B. Ma nello stesso tempo la tartaruga è arrivata nel punto C la cui distanza da B è d1=t1v=dv/V. Dopo un ulteriore tempo t2=dv/V2 Achille è arrivato nel punto C, ma la tartaruga sarà nel punto D la cui distanza da C è dv2/V2. In pratica il distacco fra Achille e la tartaruga diminuisce progressivamente seguendo la seguente successione13:

(5)

4. Dunque per raggiungere la tartaruga Achille deve attraversare un insieme infinito di tratti spaziali.5. Ma per attraversare un insieme infinito di tratti spaziali occorre un tempo infinito, quindi Achille non raggiungerà mai la tartaruga.

La soluzione del paradosso è molto simile alla precedente14. Bisogna prima di tutto argomentare a favore della densità del tempo. Occorre quindi introdurre una metrica

13 Per capire questi semplici calcoli basta ricordare che la velocità media di un corpo è uguale allo spazio percorso diviso il tempo trascorso, per cui lo spazio percorso a una certa velocità costante è uguale al tempo trascorso per la velocità.14 Si veda Grünbaum, op. cit., pp. 105-109. Anche Aristotele ne è consapevole, quando afferma “Questo ragionamento [l’Achille] è appunto quello della dicotomia […]”, Phys. 239b 17.

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per il tempo. Bisogna poi mostrare che gli intervalli di tempo sono sommabili come i numeri che corrispondono alle loro lunghezze. Infine è necessario mostrare che la somma degli intervalli temporali:

(6)

non supera mai un certo limite finito. Le prima tre fasi della soluzione sono uguali a quelle già proposte per la dicotomia, mentre per la quarta si procede con un metodo simile, che ora presenteremo.Sostituendo i valori dei tempi abbiamo:

(7)

Definiamo le somme parziali finite:

(8)

Usando la stessa procedura utilizzata per la dicotomia avremo che:

(9)

Sottraendo la (9) dalla (8) otteniamo:

(10)

Facendo un po’ di conti dalla (10) si ottiene:

Da cui si vede facilmente che Tn non diventerà mai maggiore di d/V-v. E in effetti d/V-v è esattamente il tempo che Achille ci impiega per raggiungere la tartaruga.

9

Questo significa che il ragionamento di Zenone dimostra solamente che Achille non raggiungerà mai la tartaruga nell’intervallo temporale d/V-v il che è assolutamente ovvio15.

LO STADIO

La fonte principale per questo argomento è la Fisica di Aristotele che recita così:

Stian ferme le masse uguali AA; invece le masse BB, uguali alle prime per numero e per grandezza, comincino a muoversi dalla metà; e, ancora, le masse ΓΓ, uguali alle precedenti per numero e per grandezza, comincino a muoversi dalle estremità, e si muovano con la stessa velocità di B. (Phys. 240a 4-9)

Direi che le tre masse in questione possono essere rappresentate come tre regoli di lunghezza uguale e divisi in due parti contigue16. Però, contrariamente a quanto si suppone, appare che i tre regoli alla partenza sono così disposti:

Sembra, infatti, che BB parta perfettamente allineato con AA, così come Aristotele dice anche in Phys. 239b 35, dove le masse si muovono da in mezzo allo stadio (indicato con la linea verticale tratteggiata). Per contro le ΓΓ si muovono dalle estremità, nel senso che vengono collocate o alla estrema sinistra o all’estrema destra di AA. Infatti in questa versione il regolo AA fa le funzioni che nella prima esemplificazione di Aristotele faceva lo stadio, cioè il sistema fermo. Inoltre

15 Che Aristotele fosse consapevole della logica sottostante alla soluzione del paradosso di Achille, anche se forse non di tutti i dettagli matematici, è desumibile dalla sua conclusione dell’analisi dell’argomento di Achille: “Ma in realtà è falso ritenere che ciò che precede non venga raggiunto: infatti, solo fin quando precede, non viene raggiunto.” Phys., 239b 26 (ovviamente il corsivo è nostro).16 Come fa K. Davey, “Aristotle, Zeno and the stadium paradox”, History of Philosophy Quarterly, 24, 2007, pp. 127-148, articolo al quale faremo riferimento e che è una svolta negli studi sull’argomento.

AA

BB

ΓΓ

10

sappiamo da 239b 34 che le velocità sono in senso opposto, come segnato nella figura con le frecce.Aristotele prosegue:

Accade che il primo B e il primo Γ sono simultaneamente alle estremità, muovendosi l’uno accanto all’altro. (Phys. 240a 10)

Questa frase sembra che voglia dire che avviene il seguente movimento:

Ovvero la testa di BB e la testa di ΓΓ, indicate con la punta della freccia, che erano allineate all’inizio, adesso sono allineate con l’altra estremità di ΓΓ e di BB rispettivamente.Aristotele continua:

Accade pure che Γ abbia compiuto il percorso lungo tutti i [B] nella loro interezza, mentre B avrà compiuto il percorso lungo la metà degli [A]. (Phys. 240a 11-12)17

Con il Γ che compare nella citazione Aristotele intende probabilmente la testa di ΓΓ e con il B non espunto, invece, intende BB. Allora in effetti nel moto la testa di Γ ha percorso l’intero BB fino alla coda. Con il B espunto, invece, Aristotele si riferisce al centro di BB, che ha effettivamente costeggiato la metà di AA.Potrebbe anche essere che Aristotele pensi a una situazione di partenza di questo tipo:

17 Il B fra parentesi quadre compare nella tradizione del testo pur essendo stato espunto, mentre l’A è un’aggiunta molto ragionevole di Russo.

AA

BB

ΓΓ

11

E di arrivo così sistemata:

Ma allora non si comprende bene che cosa significhi che BB parte dalla metà e ΓΓ dalle estremità, dato che i due corpi sarebbero perfettamente simmetrici rispetto ad AA18. Comunque la questione non è molto importante ai fini dell’argomento. A questo punto viene il passaggio di difficile interpretazione:

Sicché anche il tempo è dimezzato, perché ciascuna [sua] parte è uguale in relazione a ciascuna [massa]. (Phys. 240a 13)19

Molti interpretano questo passo come la conclusione che il moto di BB rispetto ad AA è la metà che rispetto a ΓΓ. Da cui deriverebbe un’impossibilità del moto, in quanto indeterminato. Sembra confermare questa lettura la soluzione proposta da Aristotele:

Il paralogismo sta nel supporre che una uguale grandezza venga spostata con uguale velocità in un tempo uguale sia lungo ciò che è mosso sia lungo ciò che è in quiete. (Phys. 240a 1-4)

18 Così la intende Davey, op. cit.19 La traduzione letterale sarebbe “Infatti ciascuno dei due è uguale accanto a ciascuna.” Il primo “ciascuno si riferisce a due, e quindi non possono che essere le due masse B e Γ; il secondo sembra riferirsi a ciascuna parte di tempo, come interpretato da Russo.

AA

BB

ΓΓ

X

Y

AA

BB

ΓΓ

XY

12

Se così fosse, però, Zenone avrebbe commesso una fallacia indegna della sua acutezza. Inoltre Aristotele non confronta BB con AA e con ΓΓ, ma ΓΓ con BB BB con AA. Solo dopo dirà che BB percorre tutto ΓΓ; adesso ha detto esclusivamente che ΓΓ ha percorso tutto BB. Certo è un’ovvia conseguenza, ma lo stagirita ha esplicitato la reciproca. Per contro, altri20 hanno interpretato l’argomento come una dimostrazione dell’impossibilità del moto in una concezione atomista del tempo e dello spazio. Vediamo come funziona.Le masse devono essere almeno tre e ognuna collocata in una celletta spaziale indivisibile. La situazione di partenza potrebbe essere questa:

A1 A2 A3 A4

B1 B2 B3 B4

Γ1 Γ2 Γ3 Γ4

Il tempo è diviso in istanti. Dopo un istante di moto ogni massa si sposterebbe di una casella, di modo che si raggiungerebbe la seguente disposizione:

A1 A2 A3 A4

B1 B2 B3 B4

Γ1 Γ2 Γ3 Γ4

Da cui risulta che la massa B4 è prima allineata con A2 e poi con A3, il che è del tutto regolare. Tuttavia la massa Γ1, ad esempio, all’inizio non è allineata con nessun B, mentre dopo un istante sarebbe allineata direttamente con B3, avendo saltato B4. Questo salto sarebbe paradossale rispetto al fatto che le masse Γ e B scorrono una a fianco dell’altra.Di tale interpretazione non vi è traccia nel testo aristotelico, per cui, per renderla coerente con le fonti, bisognerebbe ipotizzare o che Aristotele non avesse capito l’argomento di Zenone, oppure che non avesse una fonte affidabile riguardo a questo paradosso. Entrambe le ipotesi sono fortemente congetturali.

20 G. Owen, “Zeno and the mathematicians”, Proceedings of the Aristotelian Society, 58, 1957, pp. 199-222.

13

Vale la pena riflettere brevemente sulla soluzione del paradosso appena presentato21. Alcuni sostengono che l’errore nell’argomento pseudo-zenoniano starebbe nel fatto che solo in un tempo denso ci dovrebbe essere necessariamente un istante in cui Γ1 e B4 sono allineati. In un tempo discreto, invece, possono esserci dei salti del genere nel moto. In realtà questa analisi non è convincente, perché in una configurazione del moto diversa può accadere che Γ1 e B4 siano allineati. Di fatto l’evento Γ1 e B4

allineati non si verifica perché la velocità relativa di B e Γ è di due celle spaziali per ogni istante. Per cui anche in questo caso si giunge infine al solito problema della velocità. Seguendo una linea simile a quella di Davey (op. cit.), proporrei questa riformulazione del paradosso dello stadio, che ha molteplici vantaggi:

1. Il tempo, lo spazio e la materia sono divisibili in parti piccole a piacere22. 2. Data una qualsiasi lunghezza piccola a piacere d il numero di parti lunghe d contenute in un regolo è uguale alla sua lunghezza diviso d.3. Il numero di parti uguali di tempo T del moto di un regolo può essere misurato mediante il numero di parti uguali di materia del regolo che transitano in un luogo dato durante quel moto.

Nell’esempio della figura un regolo composto da 7 parti di lunghezza d transita per un luogo dato – il trattino – si vede allora che il moto è durato 7 parti di tempo uguali a T.4. Consideriamo l’ultima sistemazione che abbiamo presentato. Dividiamo AA, BB e ΓΓ in N parti uguali di lunghezza d.

21 Seguendo le osservazioni di Grünbaum, op. cit. pp. 117ss.22 Sappiamo che una riformulazione rigorosa di questa affermazione richiederebbe il concetto di insieme denso. Tuttavia in questa parte del lavoro non ci stiamo occupando solo della soluzione del paradosso, ma anche della sua storicità, per cui è meglio utilizzare delle nozioni più vicine alla concettualizzazione di quel tempo.

INIZIO MOTO

FINE MOTO

14

Chiamiamo X la parte più a destra di BB e Y la parte più sinistra di ΓΓ. Dunque, per ipotesi X è lunga come Y. Allora vale: ogni parte lunga d nella metà destra di AA transita per X durante il moto.5. Dunque, per 3., il numero di parti di tempo T di moto è uguale al numero di d contenuti nella metà destra di AA, cioè, per 2., N/2.6. In analogia con 4. vale: ogni parte lunga d di BB transita per Y durante il moto.7. Dunque, per 3., il numero di parti di tempo T del moto è uguale al numero di parti di BB lunghe d, cioè, per 2., N.8. Dunque il numero di parti di tempo T che dura il moto è sia N che N/2. E questo vale per qualsiasi N.

Si spiega così l’affermazione di Aristotele secondo cui: “E con questo ragionamento egli crede nel risultato che la metà del tempo sia uguale al doppio.” (Phys. 239b 36) Un modo un po’ impreciso per dire che la metà è uguale all’intero23. Così diventa anche più chiara l’affermazione in 240a 13, secondo cui il tempo è dimezzato perché sussiste una corrispondenza fra le parti del tempo e quelle delle masse. Inoltre si capisce perché Aristotele fa scorrere la testa di Γ su tutti i B e la testa di B su metà degli A. Se questa interpretazione è corretta, allora la soluzione aristotelica presentata in 240a 1-4 non è una semplice critica a Zenone che si sarebbe dimenticato della relatività del moto, ma una messa in discussione del punto 3. del precedente ragionamento. Cioè non è vero che si può misurare il tempo mediante lo spazio percorso, perché la misura dipende anche dalla velocità del moto. In questo modo l’argomento di Zenone è tutt’altro che banale, le poche righe di Aristotele diventano ancora più chiare e non bisogna ipotizzare che la presentazione di Aristotele sia per qualche ragione falsa. Dunque questa di Davey sembra la lettura migliore del ragionamento dello stadio. Passiamo ora brevemente alla soluzione del paradosso.

23 Angelo sostiene che così gli antichi dicono, anche se a noi sembra che se la metà è uguale al doppio, risulterebbe che è un quarto.

AA

BB

ΓΓ

X

15

Y

Secondo Davey (op. cit., p. 141), per risolvere del tutto il problema, bisogna utilizzare la matematica dell’infinito. Infatti, se la materia è infinitamente divisibile, occorre dire che essa è composta da un’infinità densa di punti materiali e il tempo sarà composto da un’infinità densa di istanti. Ma, se è così, per superare il paradosso, basta dividere il regolo e quindi il tempo in infiniti punti, in modo che la conclusione 8. non sarà più paradossale, dato che se N è infinito N=2N.Direi che questo non è necessario. Basta l’osservazione di Aristotele secondo cui non si possono contare le parti del tempo utilizzando il principio 3., perché bisogna tenere conto della velocità del moto.

IL PARADOSSO DELL’ESTENSIONE

Torniamo a una considerazione meramente analitica dei paradossi di Zenone e prendiamo in considerazione l’argomento sulla divisibilità infinita dello spazio (De generatione et corruptione 316a 19). L’argomento può essere così riformulato:

1. Lo spazio è infinitamente divisibile.2. Consideriamo un segmento di lunghezza data L. Il risultato finale di questa infinita divisione o avrà estensione nulla oppure una quantità finita.3. Non può essere una quantità finita, perché altrimenti sarebbe ancora divisibile.4. Dunque ha estensione nulla.5. Ma sommando anche infinite volte “0” si ottiene sempre “0”, quindi il segmento avrà lunghezza “0”, contro l’ipotesi che fosse lungo L.

Il paradosso così formulato ha una fallacia abbastanza lampante, che comunque è stata commessa anche da autori del calibro di Bernoulli e Peirce (Grünbaum, p. 130-31). E’ chiaro che non esiste “il risultato finale di una divisione infinita”, altrimenti non sarebbe infinita. In effetti la soluzione aristotelica del paradosso è proprio che la divisibilità infinita di un segmento è solo in potenza. Si può però riformulare il paradosso provando a proporre una definizione più precisa della nozione di infinita divisibilità24. Per fare questo non possiamo non considerare il segmento come composto da infiniti punti. Allora possiamo dire che un insieme di punti è infinitamente divisibile quando è possibile trovare in esso un’infinità di

24 Si tenga presente che dal punto di vista percettivo ogni segmento non è infinitamente divisibile, perché vi è una soglia della percezione.

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sottoinsiemi propri a intersezione nulla. Allora, se prendiamo le mosse dal presupposto che un segmento è composto da un insieme infinito di punti (o meglio di sottoinsiemi contenenti un solo punto), possiamo dire che il segmento è infinitamente divisibile e che in un certo senso il risultato finale di tale infinita divisione sarebbero questi punti. Possiamo allora procedere in questo modo:

1. Un segmento di lunghezza L è composto da infiniti punti.2. Ogni punto del segmento ha lunghezza nulla25.3. Sommando un’infinità di “0” si ottiene sempre “0”.4. Quindi il segmento avrebbe lunghezza “0” contro l’ipotesi.

Prima di procedere dobbiamo esaminare con una certa cura il punto 2. Dobbiamo cioè chiederci come si determina la lunghezza di un segmento. La procedura l’abbiamo già vista in precedenza a grandi linee. Dobbiamo costruire una corrispondenza biunivoca fra i numeri reali e i punti della retta su cui giace il segmento e fra l’ordine “<” o “>” fra numeri e l’ordine dei punti sulla retta. Dopo di che stabiliamo che la lunghezza del segmento è data dalla differenza fra i numeri associati ai suoi due estremi, cioè se a un estremo del segmento corrisponde il numero a e all’altro il numero b e b>a allora la lunghezza sarà data dal numero b-a. Da questa definizione deriva che la lunghezza di un punto è “0”, dato che in esso a coincide con b. Un punto è una specie di segmento degenerato. Detto questo, dobbiamo esaminare ora il punto 3. E’ abbastanza facile sommare le lunghezze di un insieme infinito di segmenti associando, come abbiamo già visto, alla somma di due o più lunghezze la somma dei corrispettivi numeri determinati con il metodo appena delineato. Per esaminare meglio, il nostro caso, dobbiamo però chiederci che cosa significhi sommare un insieme infinito di segmenti. E’ possibile definire una somma infinita di numeri quando abbiamo a che fare con l’infinto numerabile. Ma, come ha dimostrato Cantor, non esiste solo l’infinito numerabile, ma anche quello non numerabile.Fin dai tempi di Galileo26 e ancora nell’opera di Leibniz e Bolzano, l’infinito attuale veniva considerato un’entità paradossale. Già Aristotele aveva distinto fra l’infinito in potenza, che di fatto è una sorta di ecceterazione o di indefinitezza, cioè, ad esempio, che dato un numero naturale grande a piacere è sempre possibile trovarne uno più grande, e l’infinito in atto che consisterebbe in una effettiva infinità di elementi. E’ quest’ultimo la fonte dei paradossi, non il primo che ha sempre avuto diritto di cittadinanza in matematica e filosofia. In particolare, l’infinito attuale ha la spiacevole caratteristica di violare uno degli assiomi fondamentali del pensiero

25 Se avesse lunghezza finita, allora risulterebbe che il segmento L è infinitamente lungo.26 G. Galilei, Discorsi e dimostrazioni su due nuove scienze, Giornata prima.

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matematico fin dai tempi di Euclide (Libro I, Nozioni comuni, 8), cioè che il tutto è maggiore della parte. Vediamo come. Si dice che due insiemi sono equinumerosi se è possibile costruire una corrispondenza biunivoca fra loro. Ad esempio {Gigi, Marina, Filippo} e {1,2,3} sono equinumerosi. Il numero di elementi che compongono un insieme viene chiamato la sua cardinalità.Ora consideriamo i seguenti tre insiemi: i numeri naturali N, i numeri naturali N senza i primi 1000 elementi e i numeri naturali pari. Fra essi è possibile costruire una corrispondenza biunivoca nella maniera seguente:

N 1 2 3 4 5 6 7 . .N:n>1000 1.001 1.002 1.003 1.004 1.005 1.006 1.007 . .N: n pari 2 4 6 8 10 12 14 . .

Questo significa che i tre insiemi sono equinumerosi, cioè hanno la stessa cardinalità. Ma ciò è paradossale, perché i numeri pari e i numeri naturali maggiori di 1000 sono sottoinsiemi propri di N. Cioè sembra che il tutto e la parte siano uguali! Sarà Georg Cantor a far diventare una risorsa quello che sembrava un paradosso. Egli infatti definirà un insieme infinito proprio quando ha la proprietà di poter essere messo in corrispondenza biunivoca con un suo sottoinsieme proprio. Si dice che un insieme A è numerabile se e solo se può essere posto in corrispondenza biunivoca con i numeri naturali N (cardinalità 0ּא ). A questo punto ci poniamo la domanda: tutti gli insiemi infiniti hanno la stessa cardinalità? Consideriamo l’insieme G costituito da tutte le successioni infinite di 0 e 1.

Teorema della diagonale di Cantor: G è più che numerabile.Dimostrazione: Procediamo per assurdo27, ipotizzando che esista un elenco dei membri di G del tipo:

s0, s1, s2, s3........

Indichiamo con sij il j-esimo elemento della successione si. Consideriamo allora la seguente tabella infinita, che elenca tutte le successioni e i loro membri:

s0 s00 s01 s02 s03 ...s1 s10 s11 s12 s13 ...s2 s20 s21 s22 s23 ...27 Nelle dimostrazioni per assurdo si procede nella maniera seguente: poniamo che si voglia dimostrare A, allora si ipotizza che valga non A, dal che si deduce una contraddizione, allora, se vale il terzo escluso, si può dedurre A. Non tutti i matematici accettano questo tipo di dimostrazioni.

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s3 s30 s31 s32 s33 ...... ... ... ... ... ...

Consideriamo la successione formata con gli elementi della diagonale principale:

s00, s11, s22, s33.......

Definiamo ora una successione d=d1, d2, d3, d4.......in modo che se sii=0, allora di=1 e se sii=1 allora di=0. E’ chiaro che la successione d non compare nella tabella, perché è diversa da s0 nell’elemento s00, è diversa da s1 nell’elemento s11 ecc. Il che è contro l’ipotesi. Quindi non esiste una corrispondenza biunivoca fra G e i numeri naturali. Da questo straordinario ragionamento nasce quasi tutta la riflessione di cui qui discutiamo.Cantor dimostrò una prima volta questo teorema mediante altri metodi più complessi; tuttavia nel 1894, quando ormai era attanagliato da una grave crisi depressiva pubblicò questo metodo semplice ed elegante per dimostrare la più che numerabilità dei numeri reali.La cardinalità di un insieme è sostanzialmente il numero dei suoi elementi. Il teorema precedente ha mostrato che esistono diverse cardinalità infinite, cioè quella numerabile dei numeri naturali e quella più che numerabile delle successioni infinite di 0 e 1. Si può dimostrare che la cardinalità di G è uguale a quella dei numeri reali, che, a sua volta, è uguale a quella dei punti di un segmento28. Per cui tale cardinalità viene chiamata del continuo (C)29. In realtà non esistono solo due cardinalità infinite (transfinite), ma se ne possono costruire quante se ne vuole. Una somma infinita nel senso numerabile di zeri dà senz’altro “0”, ma, dobbiamo chiederci, vale lo stesso per una somma infinita più che numerabile di punti? Notiamo innanzitutto che il segmento non contiene una quantità numerabile di punti, perché, come era già noto agli antichi, ci sono segmenti lunghi , che certo non è un numero razionale. Vale la pena presentare brevemente la dimostrazione, già nota ad Aristotele (An. Pr.¸41° 27), come spiegato dal suo commentatore Alessandro di Afrodisia, (An 260, 9-261, 28). Consideriamo un quadrato di lato L:

28 Il teorema della diagonale si può utilizzare anche per dimostrare la non numerabilità, ad esempio, di tutti i numeri compresi fra 0 e1; abbiamo però scelto le serie infinite di 0 e 1, perché così risalta meglio l’analogia con il teorema della fermata di Turing.29 Resta ancora aperto il problema della cosiddetta “ipotesi del continuo”, cioè l’ipotesi che fra 0ּא e C non ci siano altri numeri transfiniti. Cohen ha dimostrato che con i metodi matematici

attuali la questione è indecidibile.19

Chiamiamo la sua diagonale D. Ipotizziamo per assurdo che la lunghezza della diagonale sia commensurabile rispetto al lato, cioè che esistano due numeri fra loro primi n e p tali che D:L=n:p. Si può dimostrare che se n e p sono primi fra loro, anche n2 e p2 sono primi fra loro. Ma, per il teorema di Pitagora, n2=2p2. Quindi n2 deve essere un numero pari. Il quadrato di un numero dispari è sempre dispari, per cui anche n sarà pari. Poniamolo quindi uguale a 2s. Dunque 2p2=(2s)2. Da cui p2=2s2. Dunque anche p2 è pari. Ma per ipotesi p2 e n2 sono primi fra loro, perciò n2 deve essere dispari e avevamo appena dimostrato che doveva essere pari. Quindi n e p non esistono. Ovvero la diagonale di un quadrato non è commensurabile al suo lato.Questo significa che in un segmento ci sono punti che non corrispondono a un numero razionale; dunque, se vogliamo conoscere la lunghezza del segmento, dobbiamo sommare un numero infinito più che numerabile di punti. Questo è aritmeticamente impossibile. Lo si vede bene dalla seguente figura:

O

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Dove risulta che non esiste una retta che passi per il segmento più lungo ma non per quello più corto e abbia l’origine nel punto O. Questo vuol dire che abbiamo costruito una corrispondenza biunivoca fra i punti dei due segmenti. Ovvero che segmenti di lunghezza diversa sono equinumerosi. Per cui la lunghezza di un segmento non dipende dal numero dei suoi elementi. Arriviamo quindi alla conclusione che il passaggio 3. del precedente argomento non è valido e così abbiamo eliminato il paradosso.Teniamo anche presente, che per fare della fisica matematizzata, che si basa sulla rappresentazione di un segmento mediante infiniti punti, dobbiamo assumere che lo spazio, e qualsiasi altra grandezza fisica, sia divisibile in un insieme più che numerabile di punti, proprio per evitare il paradosso di Zenone. Per cui, benché i risultati della misurazione siano sempre dei numeri razionali, per questa ragione la fisica deve presupporre l’esistenza del continuo.

IL PARADOSSO DELLA FRECCIA

Platone racconta che Zenone di Elea fosse amante di Parmenide, oltre che suo allievo. Di certo egli introdusse i suoi celebri paradossi per portare all’assurdo le opinioni diverse da quelle del suo maestro, il quale sosteneva la completa illusorietà della pluralità degli enti e del divenire30

. Fra i più noti è senz’altro il paradosso della freccia, secondo il quale una freccia che vola, in ogni istante occupa un singolo luogo; ma se qualcosa occupa un singolo luogo, allora è immobile, dunque la freccia che vola è immobile31

. Per discutere meglio la questione, possiamo riformulare l’argomento di Zenone seguendo in parte lo schema proposto recentemente da Sheldon Smith32:

1. Ogni intervallo di tempo è divisibile in un numero infinito più che numerabile di istanti indivisibili.2. Una freccia in movimento in ogni istante occupa una porzione definita di spazio.3. Se un oggetto occupa una porzione definita di spazio, allora è immobile.4. Se la freccia in ogni istante è immobile, allora è immobile in tutto il percorso.5. Dunque la freccia in movimento è immobile.

30 Huggett, 2004.31 Si veda Aristotele, Fisica. 239b 30). 32 Smith, 2003.

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Al fine di evitare la conclusione contraddittoria in 5, si possono negare una o più delle quattro premesse del ragionamento. La premessa 1 è implicita in tutta la tradizione moderna della fisica matematizzata, che discute liberamente di stati di un sistema fisico in un determinato istante. Non è impossibile costruire una fisica senza questa premessa, come ha mostrato il grande Caratheodory33, ma non ci occuperemo in questa sede di tale prospettiva34 che di certo di primo acchito è piuttosto contro-intuitiva. Anche la premessa 2 può essere messa in discussione: in effetti qualcosa del genere accade nei tentativi di risolvere il paradosso basati sulla concezione degli infinitesimi di Lawvere, in cui però non vale il principio del terzo escluso. Anche su ciò non parleremo35

.

Anche la premessa 4 può essere negata, poiché, in accordo con quella che a volte viene chiamata la teoria at-at, che risale almeno a Occam e viene ripresa da Russell, il movimento non è tanto qualcosa che accade nell’istante, quanto l’essere in luoghi diversi in istanti diversi del tempo, per cui, anche se in ogni istante la freccia è immobile, essa globalmente può essersi mossa. Come ha notato Arntzenius36, questa teoria è molto contro-intuitiva, in quanto impedisce qualsiasi nozione di causalità. Infatti, se in un certo istante la freccia è immobile, non si comprende per quale ragione in un istante successivo dovrebbe trovarsi da un’altra parte e perché proprio in quel luogo in cui la troviamo effettivamente.Fra tutte, la strada più praticabile sembra essere quella di negare 3, tanto più che la meccanica newtoniana consente di definire la velocità istantanea, ovvero la derivata rispetto al tempo della funzione che descrive il moto della freccia calcolata in un punto. Se, infatti, la freccia, in accordo con la sua descrizione meccanica, in ogni istante, pur occupando una precisa regione dello spazio, ha una velocità determinata, allora essa si sta muovendo, contro la 3.Il concetto di velocità istantanea non è, tuttavia, così scevro da problemi come sembrerebbe. Cerchiamo, dunque, di discutere criticamente tale nozione nel contesto della fisica classica.

Velocità istantanea e calcolo infinitesimale

Proviamo a considerare un'equazione meccanica molto semplice, che descrive un fenomeno elementare, cioè la formula galileiana della caduta dei gravi:

33 Caratheodory, 1963.34 Al riguardo si veda Arntzenius, 2000.35 Al riguardo vedi però Smith, 2003.36 Rimandiamo ad Arntzenius 2000 anche per i riferimenti storici. Grünbaum, 1967, p. 39 concorda con Russell.

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(1) ,

dove s è lo spazio percorso, g la costante di gravità e t il tempo trascorso.La (1) è soluzione dell'equazione:

,

che integrata da ambo le parti rispetto al tempo dà:

trascurando una costante di integrazione. Ora, in questa ultima equazione la parte sinistra esprime la velocità del grave in caduta libera. Questo concetto di velocità è una delle grandi novità teoriche della meccanica classica, dato che esso è inconcepibile all'interno della fisica aristotelica. In quel sistema concettuale, infatti, non ha senso parlare di velocità istantanea, dato che la velocità è la quantificazione del movimento e il movimento è strettamente legato al tempo. Non c'è dunque movimento senza che sia trascorso del tempo e quindi non è possibile considerare la velocità in un istante.37 Nella fisica aristotelica, perciò, avrebbe senso parlare solo di quella che noi chiamiamo velocità media, mentre nella fisica newtoniana si può definire la velocità in ogni istante. Generalmente si afferma che l'impossibilità di concepire la velocità istantanea è uno dei grandi difetti della fisica antica, ovvero è una delle ragioni che ha contribuito all'affermarsi della fisica newtoniana a discapito di quella aristotelica. E' senz'altro vero che la possibilità di calcolare la quantità di movimento in ogni istante è uno dei maggiori meriti della fisica classica, bisogna, tuttavia, considerare con attenzione come il formalismo della meccanica consenta di realizzare questo calcolo. Osserviamo innanzitutto che, dal punto di vista sperimentale, noi misuriamo sempre una velocità media, magari calcolata sulla base di una distanza brevissima, ma non certo infinitesima; per tale ragione dobbiamo dire che la velocità istantanea è comunque un termine teorico, cioè non si riferisce a un’entità osservabile. La nostra percezione del movimento, infatti, come ben aveva intuito Aristotele, è legata necessariamente a un certo lasso di tempo. D'altra parte, è abbastanza naturale ipotizzare che un corpo, il quale si muove lungo un certo percorso, in ogni istante del 37Aristotele, Fisica, 234a 24ss. Aristotele conclude dicendo che "necessariamente, dunque, solo nel tempo il mosso si muove e il quieto riposa".

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suo tragitto sia in movimento. Si può quindi pensare di elaborare teoricamente il concetto di particella di movimento che corrisponda effettivamente allo stato di moto del corpo in un certo istante. Consideriamo allora la velocità media lungo un certo percorso calcolata nel modo seguente:

.

Si può allora provare a diminuire infinitamente il denominatore, calcolando così quello che è il limite della velocità media, ovvero la velocità istantanea:

(2) .

Questa maniera di ragionare va incontro a una critica assai semplice, messa in luce da Geoge Berkeley nel suo The Analyst.38 Il rapporto incrementale espresso dalla (2) si avvale dell'idea che trascorra un tempo infinitesimo. Ora, è questo concetto di infinitesimo che incorre in una contraddizione. Se, infatti, vogliamo calcolare un rapporto incrementale, dobbiamo condurre il nostro conto ammettendo che l'infinitesimo, pur piccolo, sia diverso da zero, poiché, se fosse zero, la (2) perderebbe il suo senso matematico. D'altronde alla fine questo infinitesimo, se veramente vogliamo calcolare la velocità istantanea, deve essere uguale a zero. Per cui il calcolo infinitesimale è avviluppato in una semplice contraddizione, in quanto si avvale di una grandezza - l'infinitesimo - che è sia uguale a zero sia diversa da zero39

.

Questa semplice osservazione, che ispira le sottili analisi di Berkeley, rimane una spina nel fianco dell'analisi infinitesimale fino a quando la nozione di limite guadagna una definizione chiara ed esente da contraddizioni con Cauchy. In questa diversa prospettiva, il senso della (2) assume un esplicito connotato relazionale. Il limite per Dt che tende a 0 di Ds/Dt è quel numero l tale che:

(3) .

Una definizione il cui senso è che l è il limite del rapporto incrementale per Dt che tende a 0 quando, preso un numero piccolo quanto si vuole , si riesce sempre a trovare un valore di Dt tale che, per qualsiasi incremento più piccolo di Dt, la 38 Berkeley, 2004. Si veda a tal proposito la nitida esposizione di Neri, 1991, pp. 184ss.39 Alcuni, come Bodei, 1975, sostengono addirittura che questa contraddittorietà, messa in luce da Carnot, 1797, sia alla radice della dialettica hegeliana.

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differenza fra il rapporto incrementale e l sia più piccola del numero piccolo che abbiamo scelto. In questo modo il concetto di infinitesimo viene sostanzialmente bandito dall'analisi e sostituito da quello di limite inteso come una relazione. Una definizione di velocità istantanea che si avvale di questo concetto non incappa più nella critica formulata da Berkeley. D'altra parte, qualcosa che le prime formulazioni del calcolo infinitesimale avevano cercato di esprimere mediante il formalismo matematico è andato perso, in quanto non si può più dire che la velocità istantanea così definita sia ancora veramente istantanea.40

In altre parole, se definiamo la velocità istantanea mediante il concetto di derivata, basando questa ultima nozione su quella di limite nel senso di Cauchy41, allora essa non è una vera e propria velocità istantanea, in quanto descrive qualcosa che è comunque una velocità media. Sul piano dell'esperienza, dunque, il movimento e la velocità sono necessariamente legati al trascorrere del tempo, come voleva Aristotele; e nella teoria possiamo utilizzare convenientemente il termine teorico velocità istantanea, ma esso non sembra avere una corrispondente entità.

Il futuro del paradosso

Se così stanno le cose, allora anche il tentativo di risolvere il paradosso di Zenone della freccia mediante la nozione di velocità istantanea, nozione che falsificherebbe la premessa 3 dell’argomento, va incontro a notevoli difficoltà. Dunque, l’argomento di Zenone sembra resistere inossidabile al trascorrere dei millenni. Simplicio42

racconta che Diogene il cinico, quando gli illustrarono i paradossi zenoniani contro il movimento, si alzò e si mise a camminare avanti e in dietro, come a smentire empiricamente la conclusione43. Giustamente Huggett44

sostiene che la risposta di Diogene non avrebbe soddisfatto Zenone, il quale sosteneva che molte cose appaiono diverse da come sono e noi figli della rivoluzione copernicana sappiamo bene che spesso questo accade.

40Si veda ancora Neri, 1991, pp. 175-6. Qualcosa di analogo dice anche Russell, 1903, par. 447 e Russell, 1929, nonché Courant, Robbins, 1941, p. 453. La questione è stata affrontata con grande acume da Arntzenius, 2000, contro il quale è intervenuto Smith, 2003, con argomenti che vanno ulteriormente esaminati, ma a una prima indagine non sembrano convincenti.41 Bisogna tenere presente che Mclaughlin, Miller, 1992, propongono una soluzione del paradosso della freccia basato sull’analisi non standard di Robinson, che andrebbe discusso adeguatamente.42 Simplicio, 1895, 1012, 22.43 E’ questo quello che viene chiamato “solvitur ambulando”, cioè si risolve passeggiando.44 Huggett, 2004.

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Ammesso che non ci siano altre soluzioni al paradosso, si potrebbe sostenere con Parmenide che il movimento non esiste. Tuttavia è possibile presentare la questione anche in un altro modo. Con un esempio forse riusciamo a chiarire il punto.Nella storia della cosmologia si è spesso criticata la tesi aristotelica secondo cui l’universo sarebbe finito, basandosi sull’argomento di Archita45 il pitagorico secondo cui è assurdo pensare lo spazio come finito perché, se fosse tale, arrivati al suo limite, si potrebbe stendere la mano. Questo argomento sarà ripreso da Kant46, in una forma molto più astratta, proprio per dimostrare l’antitesi della prima antinomia delle idee cosmologiche. Per millenni dunque la tesi secondo cui l’universo sia finito è sembrata a molti contraddittoria, esattamente come il movimento della freccia di Zenone. Ma nel 1917 Albert Einstein, subito dopo aver formulato la teoria della relatività generale, nota che è possibile che l’universo sia finito e illimitato, nel caso in cui lo spazio abbia curvatura positiva media, risolvendo così il paradosso di Archita. Riflettendo su questa analogia, abbiamo la sensazione che il paradosso della freccia derivi non tanto da un’improbabile irrealtà del movimento, quanto da un’incapacità delle teorie finora formulate di cogliere adeguatamente questo fenomeno onnipervasivo.

La freccia e il principio di indeterminazione

Alla fine di un articolo su questa tematica, Arntzenius47 nota che occorre ancora indagare il significato della meccanica quantistica in relazione al paradosso della freccia. Diamo un breve cenno al riguardo.Il fatto che la velocità istantanea sia un termine strumentale privo di realtà potrebbe suggerire un'interpretazione del paradosso di Zenone sulla freccia che vada a giustificare filosoficamente il principio di indeterminazione, come ha sostenuto de Broglie:

Il vero significato del quanto d'azione ci è divenuto accessibile soprattutto da quando Heisenberg scoprì le sue indeterminazioni quantistiche, su cui torneremo. Oggi sembra certo che l'esistenza del quanto d'azione esprima un rapporto affatto nuovo tra il quadro dello spazio e del tempo e i fenomeni dinamici che vi si svolgono. Il quadro dello spazio e del tempo è essenzialmente statico: un corpo, un'entità fisica, che sia esattamente localizzata nello spazio e nel tempo, è per ciò stesso privata di qualsiasi proprietà evolutiva; viceversa, un corpo in evoluzione che sia dotato di proprietà dinamiche non può essere collegato a nessun punto dello spazio e del tempo. Sono 45 Diels e Kranz, 1952, 24A.46 Vedi Critica della Ragion Pura, A427, B455.47 Arntzenius, 2000.

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osservazioni filosofiche che risalgono a Zenone di Elea e ai suoi discepoli. Le relazioni di indeterminazione di Heisenberg sembrano imparentate a quelle osservazioni. Esse ci insegnano, infatti, che è impossibile attribuire simultaneamente a un corpo un movimento ben definito e un posto ben determinato nello spazio e nel tempo.48

In pratica, de Broglie, inquadrato nel nostro schema del paradosso della freccia, sembra affermare che il principio di indeterminazione fra la posizione e il momento di una particella implichi la negazione della premessa 2, cioè che una particella in movimento occupi una posizione precisa nello spazio. Però il fatto che la particella sia in movimento non implica che abbia una velocità determinata, per cui in questo senso il principio di Heisenberg non può aiutare a risolvere il paradosso. Si potrebbe sostenere allora che in conseguenza del principio di indeterminazione neanche la premessa 3 sarebbe valida, perché non si può attribuire una velocità determinata, cioè “0”, a una particella che occupa una posizione precisa nello spazio. Questo però non vuol dire che la sua velocità sia diversa da zero, ma semplicemente che è indeterminata. In pratica ne seguirebbe che la premessa 3. sarebbe un non sequitur. Questo tipo di argomento è riconducibile alla teoria at-at, secondo cui non avrebbe senso parlare di movimento istantaneo e non per questo la particella sarebbe immobile.

1. Ogni intervallo di tempo è divisibile in un numero infinito più che numerabile di istanti indivisibili.2. Una freccia in movimento in ogni istante occupa una porzione definita di spazio.3. Se un oggetto occupa una porzione definita di spazio, non è determinato se sia in movimento o meno.4. Tuttavia la freccia è in luoghi diversi in tempi diversi, per cui globalmente è comunque in movimento.

Abbiamo già visto che questo modo di affrontare il problema ha come conseguenza l’impossibilità di una spiegazione causale del moto. Inoltre tale prospettiva è poco ragionevole anche in considerazione del fatto che, secondo la meccanica quantistica, la particella con posizione determinata, prima di essere misurata, ha comunque uno stato che può essere descritto anche nello spazio dei momenti, per cui in generale non è priva di uno stato dinamico.Dunque, in prima istanza, sembra che la descrizione quantistica del mondo non risolva il paradosso della freccia che ancora oggi come nell’antichità offre agli studiosi un problema con cui confrontarsi.

48De Broglie, 1947, p. 134.27

Riferimenti

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Smith S.R., 2003, “Are instantaneous velocities real and really instantaneous? An argument for the affirmative”, Studies in History and Philosophy of Physics, 34, pp. 261-280.

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