Il naviglio di galileo 1.0

E =

mc2Un viaggio alla scoperta della Teoria della Relatività

Il Naviglio di Galileo

E =

mc2

Tracciamo la rotta!La storia della fisica, fin dal principio, è attraversata da una sottile linea

dorata, un filo che congiunge elementi distanti e fenomeni di natura in apparenza diversi. Non si tratta di un principio ben stabilito; è piuttosto un’intuizione o un’istanza metafisica, ma non per questo è meno suggestiva e potente: si tratta dell’idea dell’unificazione, ossia della credenza che dietro la multiforme varietà di fenomeni e di leggi naturali, si nascondano in realtà dei principi unitari, delle regole semplici, eleganti, che permettano di ricondurre tale varietà ad una descrizione sostanzialmente unitaria. Secondo questo punto di vista, il fisico conduce un gioco contro madre natura, la quale si diverte a dissimulare tale unità dietro un gioco di specchi che ne moltiplica in maniera illusoria la propria, unica, immagine.

Le pagine del Dialogo sui Massimi Sistemi in cui Galileo descrive l’esperienza immaginaria del Naviglio che faranno da sfondo al nostro viaggio, sono in sostanza nient’altro che la descrizione qualitativa ed ancora imprecisa della prima grande unificazione: quella fra movimento e quiete …

Giovanni Della Lunga, Emiliano Ricci “Il Naviglio di Galileo”

E =

mc2

Spazio, tempo, movimento

E =

mc2

Nella visione aristotelica la Terra è al centro dell’universo e questo ha enormi conseguenze per la nostra comprensione del movimento

Nel cielo i pianeti cambiano direzione perché sono attaccati a delle sfere che per loro natura sono eternamente in rotazione

Questo non capita mai agli oggetti sulla Terra: qualsiasi cosa spingiamo o lanciamo di li a poco si ferma

Questo è lo stato naturale degli oggetti che sono attaccati alle sfere celesti

Quindi nell’universo di Aristotele e Tolomeo vi è una grande distinzione fra movimento e quiete!

Movimento

E =

mc2

La proposta di Copernico che trasformava la Terra in un pianeta come gli altri era sconvolgente!

Movimento

Se la Terra è un pianeta allora è in continuo movimento con gli altri pianeti. Ma com’è possibile??

Infatti se la Terra è in movimento com’è che non ce ne accorgiamo??

E =

mc2

La soluzione dell’enigma fu la prima grande unificazione della scienza

L’unificazione del movimento con la quiete

Com’è possibile che non vi sia differenza fra movimento e quiete?

Per capirlo occorre rendersi conto che il fatto che un corpo sia in movimento o in quiete deve avere senso solo relativamente ad un osservatore che può essere a sua volta in movimento o in quiete…

Movimento

E =

mc2

Alice e Bruno stanno viaggiando nello stesso pulman. Alice vede Bruno fermo rispetto a se stessa e rispetto al pulman e lo stesso è per Bruno.

Moto traslazionaleIl caso unidimensionale

E =

mc2


Carla che vede passare il pulman attribuisce ad Alice e Bruno la stessa velocità del pulman (50 Km/H)


E =

mc2


Carla che vede passare il pulman attribuisce ad Alice e Bruno la stessa velocità del pulman (50 Km/H)

Si noti che è importante disporre di due sistemi di riferimento in moto rettilineo uniforme l’uno rispetto all’altro, per fare ragionamenti sul fatto che il moto è relazione


E =

mc2

Riserratevi con qualche amico nella maggiore stanza che sia sotto coverta di alcun gran navilio, e quivi fate d'aver mosche, farfalle e simili animaletti volanti; siavi anco un gran vaso d'acqua, e dentrovi de' pescetti; sospendasi anco in alto qualche secchiello, che a goccia a goccia vadia versando dell'acqua in un altro vaso di angusta bocca, che sia posto a basso: e stando ferma la nave, osservate diligentemente come quelli animaletti volanti con pari velocità vanno verso le parti della stanza; i pesci si vedranno andar notando indifferentemente per tutti i versi; le stille cadenti entreranno tutte nel vaso sottoposto; e voi, gettando all'amico alcuna cosa, non più gagliardamente la dovrete gettare verso quella parte che verso questa, quando le lontananze sieno eguali; e saltando voi, come si dice, a piè giunti, eguali spazii passerete verso tutte le parti. Osservate che avrete diligentemente tutte queste cose, benché niun dubbio ci sia che mentre il vassello sta fermo non debbano succeder così, fate muover la nave con quanta si voglia velocità ché (pur che il moto sia uniforme e non fluttuante in qua e in là) voi non riconoscerete una minima mutazione in tutti li nominati effetti, nè da alcuno di quelli potrete comprender se la nave cammina o pure sta ferma

E =

mc2

In questo passo Galileo afferma in sostanza che le leggi fisiche risultano le stesse per chi le sperimenta in un laboratorio fisso e per chi le sperimenta in un laboratorio che si muove uniformemente (e non fluttuante in qua e là)

Nel pensiero di Galileo non è ancora perfettamente chiaro che cosa si intende con moto uniforme, sicuramente egli intendeva che la velocità doveva essere costante come valore ma non è del tutto chiaro se aveva compreso che essa doveva essere costante anche in direzione

In alcune pagine del Dialogo, ad esempio, sembra intendere che i moti uniformi sono quelli circolari, dimostrando così di non essersi liberato del tutto dall’influenza di Aristotele

… ma non possiamo certo biasimarlo per questo!

Il Principio di Relatività Galileiano

E =

mc2

La velocità è un vettore e quindi oltre ad un valore che ne rappresenta l’intensità (es. 50 Km/h) necessita anche la specifica di una direzione (50 Km/h in direzione Nord)

La velocità può quindi variare sia in intensità (o modulo) che in direzione

Il concetto sarà precisato più tardi da Newton

Velocità e Accelerazione

E =

mc2

Newton chiarisce l’intuizione di Galileo ed enuncia i tre principi della dinamica

Per moto uniforme Newton intendeva un movimento a velocità costante lungo una linea retta

Lo stato di quiete diventa semplicemente un caso particolare di moto uniforme: è il movimento a velocità nulla!

Newton

E =

mc2

Tutti gli osservatori in moto rettilineo uniforme l’uno rispetto agli altri rappresentano quindi una classe particolare di osservatori per i quali la descrizione delle leggi della meccanica è la stessa

Questa classe di osservatori prende il nome di osservatori inerziali

Osservatori Inerziali

E =

mc2

Quando cambiamo la velocità o la direzione del nostro movimento ce ne accorgiamo.

Questi mutamenti sono ciò che si chiama accelerazione

In sostanza non ci accorgiamo di un moto a velocità costante lungo una traiettoria diritta e fissata, o moto rettilineo uniforme, come viene chiamato ma avvertiamo le variazioni di velocità cioè quando il moto diventa accelerato.

… e l’accelerazione?

E =

mc2

Perché le variazioni di velocità sono così speciali?

Se la velocità ha senso solo per confronto, se possiamo solo dire che la tal cosa si muove rispetto alla tal altra, perché le sue variazioni sono in un certo qual modo indipendenti e non richiedono confronti per poter essere definite?

Accelerazione

E =

mc2

Perché la superficie dell’acqua assume una forma concava?

Perché l’acqua ruota!

Ma rispetto a cosa?

Quando il secchio inizia a girare esiste un moto relativo fra il secchio e l’acqua perché quest’ultima ritarda un po’ a mettersi in rotazione. Ciò nonostante la sua superficie resta piana. Poco dopo quando l’acqua gira alla stessa velocità del secchio e dunque secchio e acqua sono relativamente fermi uno rispetto all’altra, la superficie dell’acqua diventa concava.

Il secchio di Newton

E =

mc2

Se prendiamo il secchio quale riferimento, dunque, si verifica esattamente il contrario di ciò che ci aspettavamo: quando esiste un moto relativo fra acqua e secchio, la superficie dell’acqua è piana; quando non esiste un moto relativo è concava!

Le cose si fanno ancora ancora più complicate se proseguiamo nell’osservazione. Mentre il secchio continua a girare la corda si arrotola di nuovo rallentando il secchio fino a fermarlo mentre l’acqua all’interno continua a ruotare

A questo punto il moto relativo fra l’acqua e il secchio è identico a quello esistente all’inizio dell’esperimento ma la forma della superficie dell’acqua è diversa (prima era piana adesso è concava)

Quindi l’esistenza di un moto relativo fra acqua e secchio non è in grado di spiegare la forma della superficie!

Il secchio di Newton

E =

mc2

Secondo Newton il palcoscenico vuoto e trasparente in cui tutti ci troviamo e in cui ogni moto si verifica era un’entità fisica reale, che egli definì spazio assoluto

Un corpo è realmente in stato di quiete quando lo è in relazione allo spazio assoluto e soprattutto un oggetto accelera veramente quando accelera rispetto allo spazio assoluto

La superficie dell’acqua è concava quando questa ruota rispetto allo spazio assoluto

Ma cos’è veramente lo spazio assoluto?

Spazio e tempo assoluti

E =

mc2

Non definisco, invece, tempo, spazio, luogo e moto, in quanto notissimi a tutti. Va notato tuttavia, come comunemente non si concepiscano queste quantità che in relazione a cose sensibili. Di qui nascono i vari pregiudizi, per eliminare i quali conviene distinguere le medesime cose in assolute e relative, vere e apparenti, matematiche e volgari.

I. Il tempo assoluto, vero, matematico, in sé e per sua natura senza relazione ad alcunché di esterno, scorre uniformemente, e con altro nome è chiamato durata; quello relativo, apparente e volgare, è una misura (accurata oppure approssimativa) sensibile ed esterna della durata per mezzo del moto, che comunemente viene impiegata al posto del vero tempo: tali sono l’ora, il giorno, il mese, l’anno.

II. Lo spazio assoluto, per sua natura senza relazione ad alcunché di esterno, rimane sempre uguale ed immobile; lo spazio relativo è una dimensione mobile o misura dello spazio assoluto, che i nostri sensi definiscono in relazione alla sua posizione rispetto ai corpi, ed è comunemente preso come lo spazio immobile.

E =

mc2

Non definisco, invece, tempo, spazio, luogo e moto, in quanto notissimi a tutti. Va notato tuttavia, come comunemente non si concepiscano queste quantità che in relazione a cose sensibili. Di qui nascono i vari pregiudizi, per eliminare i quali conviene distinguere le medesime cose in assolute e relative, vere e apparenti, matematiche e volgari.

I. Il tempo assoluto, vero, matematico, in sé e per sua natura senza relazione ad alcunché di esterno, scorre uniformemente, e con altro nome è chiamato durata; quello relativo, apparente e volgare, è una misura (accurata oppure approssimativa) sensibile ed esterna della durata per mezzo del moto, che comunemente viene impiegata al posto del vero tempo: tali sono l’ora, il giorno, il mese, l’anno.

II. Lo spazio assoluto, per sua natura senza relazione ad alcunché di esterno, rimane sempre uguale ed immobile; lo spazio relativo è una dimensione mobile o misura dello spazio assoluto, che i nostri sensi definiscono in relazione alla sua posizione rispetto ai corpi, ed è comunemente preso come lo spazio immobile.

E’ difficilissimo in verità conoscere i veri moti dei singoli corpi e

distinguerli di fatto dagli apparenti: e ciò perché le parti di quello spazio

immobile in cui i corpi veramente si muovono non cadono sotto i nostri

sensi…

E =

mc2

Newton ci lascia, dunque, in una posizione scomoda: conferisce allo spazio assoluto un ruolo primario rispetto all’elemento basilare della fisica, il moto, ma ne fornisce una definizione vaga e sembra quasi mettere le mani avanti, sentendosi a disagio lui per primo di fronte a questa situazione …

Ma adesso facciamo un salto avanti di un centinaio d’anni …

… e quindi?

E =

mc2

Elettricita’ e Magnetismo

E =

mc2

Il concetto intuitivo della forza come causa immediata del moto sembra implicare che l’azione della forza stessa si esplichi per diretto contatto o che esiga comunque l’intermediario di un agente materiale

Stranamente toccò proprio a Newton scoprire che le cose non stanno necessariamente così. Infatti Newton, enunciando la legge della Gravitazione Universale, dette il primo esempio di azione a distanza

Fra le azioni a distanza un’importanza grandissima era rivestita dalla forza elettrica …

221

r

qqkF

Azione a distanza

E =

mc2

E’ noto a tutti il fenomeno della limatura di ferro che, disposta su un cartone in presenza di un magnete e scossa leggermente si dispone in caratteristiche figure

Ciascun frammento di ferro si magnetizza e si orienta formando delle specie di catene

Poiché in questo modo l’estremo negativo di un frammento viene a trovarsi affacciato all’estremo positivo del frammento che lo segue, essi si attraggono e la catena diviene quindi adatta a trasmettere una forza

Il concetto di campo L’idea della pura e semplice azione a distanza non ha mai soddisfatto a pieno

la mente di molti scienziati. Si suole attribuire a M. Faraday il merito di aver compiuto i primi passi

decisivi nella direzione che oggi riteniamo giusta

E =

mc2 Un CAMPO è una regione di spazio in cui si manifestano fenomeni fisici, in

particolare dove si manifesta l’azione di forze. Caratteristiche di un campo vettoriale sono le linee di forza, cioè le linee

aventi in ogni punto per tangente il vettore del campo in quel punto. Queste linee forniscono un’immagine geometrica delle direzioni dei vettori

del campo: nel caso di un campo di forze sono linee di forza.

Faraday ammise che questo fenomeno di polarizzazione avvenisse anche nello spazio vuoto, quando si manifestano fenomeni magnetici e che un fatto analogo avvenisse per i fenomeni elettrici

Il concetto di campo

E =

mc2

Il valore del campo può cambiare da un punto all’altro dello spazio in modo continuo e si evolve anche nel tempo

Il valore del campo in un punto è influenzato dal valore del campo nei punti vicini o anche da un corpo materiale o da una carica posta in quello stesso punto

In tal modo un campo può trasmettere una forza da un corpo attraverso lo spazio

Il concetto di campo

E =

mc2

Il campo elettrico e il campo magnetico sono profondamente interconnessi

Si scoprì infatti che le variazioni di un campo elettrico alterano un campo magnetico vicino, il quale a sua volta può modificare il campo elettrico e così via…

Il campo elettromagnetico

E =

mc2

Maxwell diede un fondamento matematico a tali interrelazioni dimostrando in modo rigoroso che campi elettrici e campi magnetici sono strettamente intrecciati l’uno con l’altro

Tutto l’elettromagnetismo viene condensato in quattro formule, da allora note come equazioni di Maxwell

Il campo elettromagnetico

E =

mc2

Una conseguenza delle equazioni di Maxwell è un’altra equazione, che era già da tempo nota nella fisica come equazione di D’Alembert

E’ questa un’equazione che governa tutti i fenomeni di propagazione; In questa equazione ciò che varia da caso a caso è ovviamente la natura di

quello che si propaga e la sua velocità di propagazione Il valore di questa velocità è determinato tramite una precisa formula dal

valore delle costanti che compaiono nell’equazione di D’Alembert

Onde elettromagnetiche

E =

mc2

Nel caso della teoria di Maxwell l’equazione di D’Alembert riguarda la propagazione del campo elettromagnetico

La velocità di propagazione del campo elettromagnetico è funzione di due costanti che compaiono nelle equazioni di Maxwell, la costante dielettrica del vuoto e la permeabilità magnetica del vuoto

I valori di queste costanti dipendono dal sistema di unità di misura scelto ma non dipendono in alcun modo dal sistema di riferimento


E =

mc2

Calcolando la velocità si ottiene un valore pari a v = 299792458 m/sec Questo è il valore, già noto ai tempi di Maxwell, della velocità della luce nel

vuoto che d’ora in avanti indicheremo sempre con c Da questa osservazione Maxwell concluse che la luce consistesse in una

propagazione di grandezze elettromagnetiche quali il campo elettrico e il campo magnetico


E =

mc2

Questo produce un guaio! Una velocità con un valore numerico particolare riveste un ruolo

privilegiato e questo risulta inconcepibile nella fisica classica in quanto il valore numerico di qualsiasi velocità dipende dal sistema di riferimento inerziale nel quale è valutata.

Com’è possibile che le equazioni di Maxwell prevedano una velocità precisa senza alcun riferimento ad un osservatore particolare?

Forse la velocità si riferisce ad un osservatore in quiete rispetto al mezzo in cui si trasmettono le onde?

Ma, a proposito, in cosa si trasmettono le onde elettromagnetiche?


E =

mc2

La Teoria della Relativita’ Speciale

E =

mc2

Einstein aveva cercato di immaginare che aspetto avrebbe avuto un’onda luminosa se si fosse riusciti a viaggiare alla sua stessa velocità, procedendo nell’etere di pari passo

Dal nostro punto di vista la luce apparirebbe come se fosse ferma Ma qui sorge il problema: le equazioni di Maxwell proibiscono alla luce

di avere velocità nulla, cioè di stare ferma

Inoltre tutti gli esperimenti per determinare gli effetti dovuti all’esistenza dell’etere avevano dato risultato negativo!

Il problema della luce …

E =

mc2

Se non esiste un etere che funga da riferimento privilegiato di quiete, rispetto a cosa si può valutare tale velocità?

Einstein abbandonò le idee convenzionali e rispose con grande semplicità:

Se la teoria di Maxwell non si avvale di un riferimento specifico in quiete, questo non serve affatto.

La velocità della luce è di 300.000 km al secondo sempre e comunque per tutti gli osservatori in moto rettilineo uniforme !

… non è un problema!

E =

mc2

La teoria di Maxwell impedisce alla luce di stare ferma perché la luce non è mai ferma

Qualunque sia il nostro stato di moto la luce conserva la sua velocità fissa e immutabile di 300.000 km/sec

Dato che la velocità non è altro che il rapporto fra distanza e tempo, le idee newtoniane di spazio e tempo assoluti devono essere errate

Osservatori in movimento relativo percepiscono lo spazio e il tempo in modo differente!

Einstein si pose quindi il problema di definire in maniera precisa e priva di ogni riferimento metafisico i concetti di spazio e tempo: Tutte le grandezze della fisica devono essere definite a partire da una

procedura operativa che ne determini in modo univoco la misura Il tempo è ciò che misuriamo con un orologio Lo spazio è ciò che misuriamo con un sistema di determinazione delle

distanze (es. raggi di luce)

La velocità della luce è una costante!

E =

mc2

Il primo postulato di Einstein appare difficile da accettare perché delude le nostre aspettative basate sulle esperienze della vita ordinaria.

Se in un treno in corsa, per esempio, lanciamo un sasso nel senso del moto, la sua velocità rispetto al suolo è la somma della velocità da noi impressa nel lancio e di quella del treno.

Se invece il sasso viene lanciato in senso contrario al moto, la sua velocità sarà uguale alla differenza delle due velocità.

Se dovessimo considerare la luce alla stessa stregua del sasso, dovremmo aspettarci che la luce emessa da una sorgente che si muove verso di noi dovrebbe apparirci più veloce di quella emessa da una sorgente che si allontana.

Dal'osservazione delle stelle doppie sappiamo invece che ciò non avviene.

La velocità della luce è una costante!

E =

mc2

Critica del concetto di Simultaneità

E =

mc2

La conclusione cui siamo indotti è piuttosto sorprendente: due eventi, contemporanei per un osservatore, possono non essere tali per un altro.

Finora avevamo usato l'avverbio simultaneamente attribuendo ad esso un significato assoluto; sembrava ovvio, infatti, che avvenimenti contemporanei per un particolare osservatore dovessero essere pure contemporanei per qualsiasi altro osservatore.

Se ora accettiamo i postulati della relatività, non c'è alcun motivo di prendere per vera l'affermazione dell'osservatore a bordo del treno e per falsa l'altra.

È necessario invece rinunciare a nozioni come simultaneamente, prima, dopo, nella forma in cui le avevamo intese fino ad ora, anche se ci sono sempre sembrate, al di là di ogni incertezza, precise ed inequivocabili.

Possiamo quindi dare un'espressione più rigorosa al risultato precedente dicendo: “Eventi che accadono nello stesso tempo, ma In luoghi diversi, in un riferimento mobile, da un osservatore esterno sono giudicati accadere in tempi diversi”.

Critica del concetto di Simultaneità

E =

mc2

La definizione di ogni grandezza fisica deve essere accompagnata dalla descrizione univoca di una procedura operativa che ne determini la misura;

In fisica non possono esistere grandezze prive di un processo di misura;

Il tempo non è più un concetto astratto, in fisica il tempo è ciò che misura un orologio (naturalmente con qualche precisazione …)

Definizioni Operative

E =

mc2

Realizziamo un semplice ‘orologio’

Una sorgente di luce emette un fotone che rimbalza in uno specchio posto sul tetto di un vagone in movimento

Per un osservatore in quiete rispetto alla sorgente il tempo impiegato dalla luce per percorrere il tragitto di andata e ritorno è pari a 2d/c

La dilatazione del tempo

E =

mc2tv

22

2

2

1dtvl

Che cosa misura un osservatore solidale con la banchina?

Per il lui il vagone si muove verso destra con velocità v

La luce percorre una traiettoria diversa ma anche per lui essa viaggia alla stessa velocità c misurata dall’osservatore sul treno!


E =

mc2

22

2

2

1dtvl

2

2

020

22

22

20

22

22

1

42

1422

cv

tttt

c

vt

tc

tvc

tc

lt

t

lc

Per il secondo osservatore la luce, nell’intervallo di tempo t, percorre una distanza pari a 2l


E =

mc2


2

2

0

1cv

tt

L’espressione a denominatore di questa formula percorre tutte le formule che riguardano la relatività, e il suo inverso viene abitualmente indicato con la lettera greca .

È opportuno guardarla bene in faccia per capire che caratteristiche ha.

La prima cosa che va tenuta presente è che il valore (v/c)2 è, per tutti i valori delle velocità che siamo abituati a considerare normalmente, straordinariamente piccolo, così che il valore di è, in tutti i casi in cui la velocità relativa dei due osservatori non sia estremamente alta, molto prossimo a 1.

Quando v è pari a 350 km/h, = 0,999999999999947.

Gli esperimenti con un treno anche molto veloce non hanno nessuna speranza di dare alcun risultato apprezzabile.

E =

mc2

La contrazione delle lunghezze

2m

m

tcl

qltvtc 11

22 tvltc q

E =

mc2


2m

m

tcl

qltvtc 11 22 tvltc q

2221

2

vc

cl

vc

l

vc

lttt qqq

q

2

2

2

2

2

22

22

2

2

22

2

2

22

2

211

112

1

2

21

c

vl

c

v

cv

l

c

vc

cv

l

c

vc

cvc

l

c

vc

cv

tl m

mm

m

mq

2

2

1cv

tt mq

c

vctl qq 2

22

E =

mc2

2

2

1c

vll mq


Anche in questo caso è opportuno fare qualche riflessione sul valore del fattore .

Ipotizzando sempre di muoverci ad una velocità di 350 Km/h, la differenza di lunghezza di un regolo lungo un metro sarebbe dell'ordine di 10-14 m, un centesimo di miliardesimo di millimetro, meno di un millesimo della dimensione di un atomo di idrogeno, differenza in ogni caso non rilevabile.

E =

mc2

Prove Sperimentali I raggi cosmici sono radiazioni provenienti

dallo spazio esterno che penetrano nella nostra atmosfera a grande velocità.

Nelle loro collisioni con nuclei di idrogeno e di ossigeno presenti nell'alta atmosfera, si generano vari tipi di radiazioni.

Tra queste i cosiddetti leptoni o muoni. I muoni sono particelle instabili, in quanto

tendono a disintegrarsi subito dopo la loro produzione, dando origine ad altre particelle.

Il tempo medio necessario di questo processo di decadimento per un muone a riposo è dell' ordine del milionesimo di secondo (10-6 sec).

Mediante ricerche accurate, la presenza dei muoni è stata accertata anche nelle immediate vicinanze della superficie terrestre.

E =

mc2

Prove Sperimentali Ci si pone allora la domanda: come è possibile che i muoni, data la brevità della loro

esistenza, riescano ad attraversare tutta l'atmosfera e a raggiungere la superficie dalla Terra?

Quand'anche viaggiassero alla velocità della luce, cioè a circa 3x105 km/sec, per scendere da una quota, poniamo, di 300 km fino a terra avrebbero bisogno di un tempo pari a 1 millesimo di secondo (10-3 sec).

Né si può pensare che essi viaggino ad una velocità superiore a quella della luce, poiché questa velocità è considerata il limite delle velocità possibili in natura e nessun corpo (neanche un neutrino!) può averne una più grande.

La risposta alla domanda può essere formulata nel modo seguente:Poiché il muone viaggia ad una velocità molto vicina a quella della luce, l'intervallo di tempo che un osservatore terrestre valuterebbe 1 millesimo di secondo (a causa della dilatazione dei tempi), per la particella in moto rappresenta un intervallo inferiore alla sua vita media: il muone ha quindi tutto il tempo di attraversare l'intera atmosfera prima di disintegrarsi.

Infatti, per quanto si è detto in precedenza, l'osservatore vedrebbe un orologio, idealmente associato alla particella, marciate più lentamente del proprio.

Dal punto di vista del muone (cioè in un riferimento solidale con esso) l'orologio sembrerebbe funzionare a ritmo normale però le lunghezze apparirebbero talmente accorciate nel senso del moto che la distanza, dall'alta atmosfera alla superficie terrestre si ridurrebbe a qualche centinaio di metri solamente.

E =

mc2

L'accettazione del principio della costanza della velocità della luce ci ha condotto a riconoscere il valore relativo della contemporaneità e a comprendere come la distanza spaziale tra due eventi possa dar luogo ad una separazione temporale tra gli eventi stessi.

Successivamente abbiamo visto come da questi concetti discenda la diversa valutazione delle distanze e dei tempi da parte di due osservatori in moto relativo.

Tutto questo è suscettibile di una semplice interpretazione geometrica dovuta al matematico tedesco Hermann Minkowski.

Lo spaziotempo

E =

mc2

Osserviamo che studiare il moto di un corpo significa trovare il legame tra le varie posizioni assunte dal corpo nello spazio e gli istanti di tempo corrispondenti.

Soltanto la loro unione ha un significato effettivo nella rappresentazione del fenomeno.

D'altra parte, quello che stiamo dicendo vale per qualunque altro fatto fisico, nel senso che esso si offre alla nostra percezione come evento collocato nello spazio e nel tempo.

La fisica classica aveva scisso la realtà dello spazio-tempo in due entità separate, lo spazio e il tempo.

Ciò è comprensibile perché, per il fisico classico, due osservatori valutano alla stessa maniera la durata di un fenomeno, indipendentemente dal luogo e dallo stato in cui si trovano l'uno rispetto all'altro.

Il tempo per loro è assoluto.

Lo spaziotempo

E =

mc2

La relatività afferma invece che la valutazione delle durate è diversa per due osservatori in moto relativo, in quanto essi attribuiscono un ritmo diverso allo scorrere del tempo; e la diversità è determinata in ogni caso dalla velocità.

Perché non assegnare allora ad ogni osservatore, oltre che un sistema di coordinate spaziali, anche una sua propria coordinata temporale?

In tal modo egli può assegnare ad ogni evento una posizione nel suo riferimento ed un istante nel «suo» tempo.

Questo è in sostanza quello che propose Minkowski: ad ogni riferimento va associato un sistema di quattro coordinate, tre per lo spazio e una per il tempo.

Lo spaziotempo

E =

mc2

Lo spaziotempo

E =

mc2

Affinché la traiettoria di un corpo nello spaziotempo sia rettilinea il corpo non solo si deve muovere in linea retta nello spazio ma il suo moto deve essere anche uniforme nel tempo

In altre parole la sua velocità e la sua direzione devono essere immutabili e quindi il corpo si deve muovere a velocità costante

Ora nonostante osservatori diversi discordino sulle misure di spazio e tempo cionondimeno concordano sul fatto che una linea retta è sempre una linea retta.

La traiettoria seguita da un osservatore inerziale nello spaziotempo è una retta ovvero la linea più breve che congiunge due punti (almeno nella geometria euclidea)

Quindi possiamo affermare che gli osservatori inerziali, cioè gli osservatori che non sperimentano l’effetto di alcuna forza, sono quelli le cui traiettorie coincidono con le linee di minore distanza (geodetiche) fra due punti

Registrate quest’informazione perché ci servirà più avanti!

Spaziotempo e osservatori inerziali

E =

mc2

Siamo avvezzi al fatto che i corpi si muovono nello spazio, ma esiste un altro tipo di moto che ha pari importanza: il moto nel tempo!

Qualunque entità nello spazio fisico si muove nel tempo alla velocità della luce In realtà quello che si dimostra nella teoria della relatività ristretta è che la velocità

combinata del moto di un corpo nello spazio e nel tempo è sempre esattamente uguale alla velocità della luce

la velocità massima nello spazio si raggiunge quando il moto attraverso il tempo viene trasferito tutto al moto attraverso lo spazio, il che ci consente di capire perché sia impossibile viaggiare ad una velocità superiore a quella della luce

La luce che viaggia sempre alla stessa velocità massima è speciale perché è l’unica che riesce costantemente ad utilizzare tutto il suo capitale di velocità per il moto attraverso lo spazio

Così come quando si viaggia dritti verso est la velocità verso nord è nulla, quando ci si muove alla velocità della luce nello spazio non ci si muove più nel tempo!

Alla velocità della luce nello spazio il tempo si ferma!

Sulla dilatazione temporale

E =

mc2

Sulla dilatazione temporaletempo

spazio

E =

mc2

La Teoria della Relativita’ Generale

E =

mc2

Nell'ambito della meccanica classica, il principio di relatività di Galileo stabilisce l'equivalenza di tutti i sistemi di riferimento inerziali ai fini della descrizione dei fenomeni meccanici.

Il contenuto di questo principio, come s'è visto, può esprimersi semplicemente dicendo che un osservatore, a bordo di un veicolo in moto Con velocità costante, non ha alcuna possibilità di dire, in base ad esperimenti meccanici, se egli si trovi in uno stato di quiete o di moto.

La relatività speciale estende l'equivalenza dei riferimenti inerziali nei confronti di tutti i fenomeni fisici, e non solo di quelli puramente meccanici.

In altri termini, l'osservatore a bordo di un sistema inerziale non può stabilire e il veicolo è fermo o si muove, qualunque sia il tipo di esperimento che egli escogita per provarlo.

Tuttavia l’unificazione di movimento e quiete scoperta da Galileo secoli prima riguardava soltanto il moto uniforme cioè il movimento lungo una linea retta a velocità costante

Il Principio di Relatività

E =

mc2

Il Principio di Relatività La distinzione fra moto accelerato e non accelerato non si sarebbe potuta

cancellare qualche modo? Einstein intraprese una via verso la soluzione di questo problema che lo

riportò al fondamento stesso del principio di relatività e che, nello stesso tempo, lo portò ad una comprensione più profonda della gravitazione universale.

Prima di tutto chiediamoci se esiste un modo univoco per distinguere un moto accelerato da un moto non accelerato

In altre parole quello di cui abbiamo bisogno è un criterio assoluto sulla base del quale tutti gli osservatori che si muovono gli uni rispetto agli altri di moto rettilineo uniforme concordano per poter stabilire se un corpo acceleri o no

La soluzione a questo problema richiede ancora una volta il concetto di spaziotempo …

E =

mc2

Moto uniformemente accelerato

E =

mc2

Sfruttando quest’idea arriviamo ad enunciare un criterio assoluto sulla base del quale tutti gli osservatori che si muovono gli uni rispetto agli altri di moto rettilineo uniforme concordano per poter stabilire se un corpo acceleri o no

Se la traiettoria seguita da un corpo nello spazio tempo è una linea retta allora non c’è accelerazione

Se invece ha una qualsiasi altra forma che non sia una linea retta allora c’è accelerazione

Le forme geometriche delle traiettorie nello spaziotempo sono il criterio assoluto per stabilire se qualcosa sta accelerando o no

Accelerazione e spaziotempo

E =

mc2

Fu a questo punto che Einstein ebbe la sua più straordinaria delle sue intuizioni

Si rese conto che gli effetti dell’accelerazione erano indistinguibili dagli effetti della gravità!

Immaginiamoci per esempio, un osservatore a bordo di un veicolo spaziale, che viaggia in una remota regione dell'uni verso, lontana da qualsiasi corpo capace di esercitare un'attrazione gravitazionale. In queste condizioni la navicella vola attraverso lo spazio in linea retta e con velocità costante. Supponiamo ora che il motore venga acceso e che la navicella acceleri guadagnando velocità.

Il risultato della manovra sarà che tutti gli oggetti e gli stessi astronauti, dopo un po', si troveranno addossati alla parete posteriore e poggeranno su di essa proprio come se stessero sul pavimento di una stanza. I viaggiatori potranno anche alzarsi e camminare, non trovando alcuna sostanziale differenza tra la forza che agisce sui loro corpi e la normale forza di gravità esistente sulla Terra.

Accelerazione e Gravità

E =

mc2


E =

mc2Esaminiamo il caso opposto e supponiamo che l’astronave precipiti liberamente verso la terra in caduta libera. Chi si trova nella cabina si sentirà senza peso, esattamente come si sentono gli astronauti nello spazio vuoto. In altre parole, l'accelerazione dell'astronave che precipita può annullare completamente gli effetti della gravità.


E =

mc2

Accelerazione e Gravità Quindi Einstein riuscì ad unificare tutti i tipi di movimento. Lo stato di quiete è indistinguibile da quello di moto rettilineo uniforme … L’accelerazione non è diversa dalla quiete se non per la presenza di un

campo gravitazionale … Ma si può fare ancora meglio … Consideriamo infatti di nuovo i due osservatori “inerziali”, quello nello

spazio profondo e quello in caduta libera in un campo gravitazionale Ricordate che gli osservatori inerziali sono quelli che si muovono lungo le

linee geodetiche di una geometria ? Che cosa accade adesso ?

E =

mc20

200

400

600

800

1000

1200

0 200 400 600 800 1000 1200

t

s

0

200

400

600

800

1000

1200

0 200 400 600 800 1000 1200

t

s

Geometria e Gravità

E =

mc2

Geometria e Gravità Sarebbe bello se potessimo affermare che essi sono del tutto equivalenti,

ad esempio sarebbe fantastico se potessimo fare un’affermazione del tipo

“Tutti gli osservatori inerziali (cioè tutti gli osservatori che non sperimentano l’effetto di alcun tipo di forza) si muovono lungo le geodetiche dello spaziotempo”

Il primo osservatore però percorre una linea retta nello spaziotempo mentre il secondo percorre una traiettoria curva

Ma la linea più breve fra due punti è sempre una linea retta ??La risposta è NO!

E =

mc2

Geometria e Gravità

E =

mc2

Geometria e Gravità L'idea di Einstein fu di interpretare la presenza del campo gravitazionale

come dovuto non ad un effettivo campo di forza, ma piuttosto a una curvatura o distorsione attribuibile allo spaziotempo stesso.

In altre parole,gli osservatori inerziali si muovono sempre secondo le linee più brevi dello spaziotempo (geodetiche), ma i risultati delle misure si discostano da quelli previsti dalla geometria euclidea a causa di un'intrinseca curvatura dello spaziotempo, provocata dalla presenza di una massa gravitazionale.

In definitiva l'azione gravitazionale, ad esempio, del Sole o della Terra non si esplica attraverso un' azione fisica sui corpi materiali, bensì sotto forma di una modificazione geometrica dello spaziotempo.

Le modificazioni indotte nello spaziotempo dalla presenza delle masse gravitazionali ci consentono di interpretare geometricamente il fenomeno della gravitazione.

E =

mc2

Geometria e Gravità Secondo questo punto di vista, non

c'è bisogno di ricorrere alla nozione di forza per descrivere il moto dei corpi celesti, in particolare quello dei pianeti.

In questo caso, per esempio, basta sostituire all’idea newtoniana della forza, che il Sole esercita sui pianeti facendo loro descrivere delle orbite, un concetto di carattere puramente geometrico.

Si può dire cioè che, in uno spaziotempo incurvato dalla presenza della massa solare, i pianeti (e qualsiasi altro corpo) si muovono obbedendo alla legge d’inerzia e seguendo le linee geodetiche.

TGRgR 82

1

E =

mc2

La deflessione dei raggi luminosi Il Principio di Equivalenza ha una conseguenza assolutamente inaspettata,

ed estranea alla Fisica Classica. Supponiamo di trovarci in un razzo che si muove con accelerazione elevata,

e di avere un fascio di luce che attraversi più schermi fluorescenti, posti a distanza costante d , così da lasciare su di essi una traccia visibile

E =

mc2

La deflessione dei raggi luminosi Si può dimostrare che il moto del raggio di luce, composto di un moto in

progressione aritmetica (con legge lineare) e di un moto in progressione geometrica (con legge quadratica), è parabolico!

Il campo di accelerazioni ha deflesso il raggio di luce lungo la stessa traiettoria di una palla di cannone!

Orbene, per il Principio di Equivalenza, ciò deve essere vero anche in un sistema gravitazionale.

In altre parole, anche la gravità deve essere in grado di deflettere un raggio di luce, altrimenti io avrei trovato un modo per distinguere un campo di gravità da uno di accelerazioni, ed avrei distrutto il Principio di Equivalenza.

La luce dunque cade in un campo gravitazionale! Questo fenomeno è coerente con l’interpretazione geometrica del campo

gravitazionale. La luce percorre sempre il cammino più breve … ma il cammino più breve

non è più una linea retta!

E =

mc2

La deflessione dei raggi luminosi Se il campo gravitazionale

é molto più forte di quello terrestre e le distanze considerate sono grandi, su scala astronomica, il fenomeno può diventare rilevabile.

Per esempio, un raggio di luce che passi accanto al Sole può venire deflesso da esso in maniera sensibile

E =

mc2

La deflessione dei raggi luminosi Il fenomeno della "lente gravitazionale" può facilmente essere compreso

quando si tenga presente il risultato sopra esposto, ovvero che un raggio di luce viene deviato dalla sua traiettoria (altrimenti rettilinea) tanto di più quanto maggiore è la massa che si interpone tra la sorgente luminosa e l'osservatore e tanto più "radente" è il passaggio.

Questa deflessione ricorda molto da vicino la deviazione dei raggi luminosi operata dalle comuni lenti d'ingrandimento, ed è per questo motivo che si parla di "lente" gravitazionale.

In realtà le leggi che regolano la deviazione dei raggi luminosi dai campi gravitazionali sono più complesse di quella dell'ottica geometrica, e possono portare alla formazione di immagini multiple, a seconda della posizione relativa tra sorgente luminosa, massa deviante, e posizione dell'osservatore.

Non è difficile immaginare inoltre che anche la forma e la distribuzione della massa all'interno del corpo deviante siano importanti nel determinare le caratteristiche dell'immagine finale.

E =

mc2

La deflessione dei raggi luminosi

E =

mc2

Quando la curvatura diventa infinita (?)La curvatura dello spazio-tempo cambia a seconda della

massa dell'oggetto

Se un oggetto è abbastanza massivo (almeno 3 volte la massa del Sole) può collassare fino a un

punto (singolarità la teoria non è completa?)

E =

mc2

Buchi Neri I buchi neri sono previsti dalla Relatività

Generale (soluzione di Schwarzschild) Sono regioni in cui la curvatura è così forte da

intrappolare anche la luce Nulla che vi si avvicini troppo (orizzonte degli

eventi) ne può fuggire Nel caso di un buco nero, l'orizzonte degli

eventi si crea nel momento in cui, in un corpo autogravitante, la “materia” è così concentrata che la velocità di fuga dovrebbe essere pari o addirittura superiore a quella della luce.

,

2

2

c

GMrS

E =

mc2

Buchi Neri

Osservatore che attraversa l'orizzonte: non si accorge di nulla e procede verso la singolarità in un tempo finito per il suo orologio

Osservatore lontano dal buco nero: vede l'altro osservatore avvicinarsi all'orizzonte ma mai raggiungerlo

Un errore molto comune è quello di immaginare l'orizzonte degli eventi di un buco nero come una superficie statica di forma più o meno sferica. Quello che è invece bene tenere presente è che si tratta di un orizzonte a tutti gli effetti, ovvero di qualcosa di non raggiungibile e che si allontana all'avvicinarsi di un osservatore (esattamente come l'orizzonte terrestre).

E =

mc2

Buchi Neri Secondo una definizione data da Roger Penrose in un buco nero, l'orizzonte

degli eventi è una particolare superficie dello spazio-tempo che separa i posti da cui possono sfuggire segnali da quelli da cui nessun segnale può sfuggire.

In una accezione molto più generale, se per "evento" si intende un fenomeno (particolare stato della realtà fisica osservabile), identificato dalle quattro coordinate spazio-temporali, un "orizzonte degli eventi" può essere definito come una regione dello spazio-tempo oltre la quale cessa di essere possibile osservare il fenomeno.

Nel caso dei buchi neri di Schwarzschild, l'orizzonte degli eventi è una superficie sferica che circonda una singolarità posta al centro della sfera; quest'ultima è un punto nel quale la densità sarebbe infinita e le leggi della fisica, secondo la teoria della relatività generale, perdono significato.

E =

mc2

Buchi Neri o Stelle Nere ? Alcuni scienziati hanno messo in dubbio l'esistenza dei buchi neri e hanno

ipotizzato che i corpi celesti identificati attualmente come buchi neri ma solo osservati indirettamente siano in realtà "stelle nere" prive di orizzonte degli eventi.

Tali scienziati hanno visto come la definizione attuale di buco nero provochi alcuni paradossi: uno di questi è quello della perdita di informazioni.

Questo paradosso consiste nel fatto che un buco nero, che contiene al suo interno un enorme quantità di informazioni, evapori emettendo la radiazione di Hawking, che tuttavia non porta con sé nessuna informazione.

Di conseguenza, durante l'evaporazione del buco nero, le informazioni contenute in esso svaniscono nel nulla. Questa perdita di informazioni contraddice una proprietà fondamentale della meccanica quantistica, l'unitarietà, secondo cui nessuna informazione può essere distrutta.

E =

mc2

La prossima (?) unificazione Lo studio dei buchi neri, così come quello relativo alle condizioni iniziali

dell’universo, pone domande alle quali la Teoria della Relatività Generale da sola non può rispondere

Occorre affrontare il problema di trovare una teoria che descriva i fenomeni gravitazionali in condizioni estreme di densità e a distanze piccolissime

In queste condizioni tuttavia non possiamo prescindere dall’ “altra” grande teoria della fisica moderna: la meccanica quantistica

Purtroppo le due teorie partono da presupposti concettuali completamente incompatibili e sebbene si siano fatti enormi passi avanti nel rendere coerente la meccanica quantistica con la teoria della relatività speciale (Teoria Quantistica dei Campi) non esiste a tutt’oggi una teoria quantistica in grado di descrivere in maniera neanche lontanamente soddisfacente i fenomeni gravitazionali.

E =

mc2

La prossima (?) unificazione L’unificazione di Einstein del campo gravitazionale con la geometria dello

spazio tempo indica una profonda trasformazione del nostro modo di concepire la natura;

Prima di Einstein si credeva che lo spazio e il tempo avessero proprietà eternamente immutabili;

Le cose si muovevano nello spazio e si evolvevano nel tempo ma lo spazio e il tempo non si modificavano mai

La teoria della relatività generale è completamente diversa Non esiste un background fisso. La geometria dello spazio e del tempo

cambia e si evolve come tutte le altre cose Non abbiamo più campi che si propagano in una geometria di sottofondo

fissa. Abbiamo un insieme di campi ognuno dei quali interagisce con tutti gli altri e influenza tutti gli altri, tutti dinamici e uno di questi è la geometria dello spaziotempo

Una tale teoria è detta teoria indipendente dal background

E =

mc2

La prossima (?) unificazione

Candidati possibili Teoria delle superstringhe Loop Quantum Gravity ????

Ma questo è un altro viaggio …

E =

mc2

Grazie!

Il naviglio di galileo 1.0

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