IL MODELLO DI MALTHUS NEL CASO CONTINUO Il modello discreto si basa sullipotesi cha la riproduzione...
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IL MODELLO DI MALTHUS NEL CASO CONTINUO Il modello discreto si basa sull’ipotesi cha la riproduzione sia concentrata in una stagione dell’anno. Il passaggio da una generazione all’altra è descritto dalla variabile tempo che assume valori interi: In molte popolazione questa approssimazione non è corretta, gli individui si riproducono con continuità . Occorre formulare un modello in cui il tempo è una variabile che assume valori reali 1 t t Invece di studiare il passaggio dalla generazione alla generazione si considera un breve intervallo di tempo t 1 t dt ) , ( ) , ( ) ( dt t t morti dt t t nascite t Y ) ( dt t Y
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IL MODELLO DI MALTHUS
NEL CASO CONTINUO
Il modello discreto si basa sull’ipotesi cha la riproduzione sia concentrata in una stagione dell’anno. Il passaggio da una generazione all’altra è descritto dalla variabile tempo che assume valori interi: In molte popolazione questa approssimazione non è corretta, gli individui si riproducono con continuità . Occorre formulare un modello in cui il tempo è una variabile che assume valori reali
1 tt
Invece di studiare il passaggio dalla generazione alla generazione si considera un breve intervallo di tempo
t1t dt
),(),()( dtttmortidtttnascitetY )( dttY
IPOTESI(Analoghe al caso discreto)
)(tY
dt
Il numero di nati è proporzionale a:
• Numero di individui presenti al tempo t :
• Tasso medio di natalità nell’unita di tempo
• Durata dell’intervallo di tempo considerata
dttYdttnascite )()(
Il numero di morti è proporzionale a:
• Numero di individui presenti al tempo t :
• Tasso medio di mortalità nell’unita di tempo
• Durata dell’intervallo di tempo considerata
)(tY
dt
dttYdtttmorti )(),(
L’equazione di bilancio diventa:
dttYdttYtYdttY )()()()(
)()()()(
tYdt
tYdttY
)0( dtPer intervalli di tempo molto piccoli si ottiene:
rYYdt
dY )( Equazione
differenziale
),()(' yxfxy
)(xy
)(xy
)(xy
)(xy
)( 00 yx*
),()(' yxfxy
00 )( yxy
*)( 00 yx
'
0
'
0
t
t
Y
Y
rdtY
dY00 )ln()ln( rtrtYY
00
)ln( rtrtY
Y
)exp( 00
rtrtY
Y
)0( 0 t)exp(0 rtYY
)exp(0 rtYY
Il caso continuo risulta equivalente al caso discreto
)exp(rtYY 0
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 202
4
6
8
10
12
14
16
Accrescimento Malthusiano continuo
Nu
me
ro d
i in
div
idu
i
tempo
Y0r = 0.02 >0
r = -0.06 <0
Andamento qualitativo dell’abbondanza della popolazione malthusiana continua al variare del parametro r
r>0 crescita esponenziale
r<0 declina all’estinzione
ALTRE APPLICAZIONI
DELLA CRESCITA ESPONENZIALE
• Datazione di materiale biologico (decadimento radioattivo)
• Livello di glucosio nel sangue
• Modello di diffusione dell’AIDS (Modello di Ho)
Gli stessi modelli possono descrivere fenomeni che appaiono in ambiti molto diversi
E’ noto che gli elementi radioattivi sono instabili, nel senso che decadonoin isotopi di altri elementi mediante l’emissione di particelle alpha (nuclei di elio),particelle beta (elettroni) o fotoni.
Si può descrivere il processo di decadimento di un numero elevato di nuclei
radioattivi basandosi sulla seguente legge sperimentale:
La diminuizione del numero di nuclei radioattivi durante un intervallo di tempo è direttamente proporzionale alla lunghezza dell’intervallo e al numero di nuclei presenti all’inizio dell’intervallo.
DATAZIONE AL CARBONIO C14
ttkNtNttN )()()(
Numero di nuclei radioattivi al tempo t
Intervallo di tempo
)(tN
t
K costante di proporzionalità
è un numero intero (numero di nuclei))(tNvaria con continuità.t
È necessario idealizzare il fenomeno interpretando come misura continua anziché discreta (per es. misura di massa).
)(tN
)()()(
lim 0 tkNt
tNttNt
Si ottiene cioè l’equazione differenziale lineare:
)(tkNdt
dN
che risolta (separando le variabili ed integrando, vedi Malthus continuo) forniscela soluzione:
))(exp()( 00 ttkNtN
0N valore iniziale )( 0tN
Legge di decadimento radioattivo
Half-time (o tempo di dimezzamento) : )(2
1)(
2
1 tNttN
))(exp(2
1))(exp( 00
2
100 ttkNtttkN
2
1)exp(
2
1 kt
2
1
))(exp(
))(exp(
00
2
100
ttkN
tttkN
)2
1ln(
2
1 kt
2
1
)2ln(
tk
Con tale valore di k il modello può essere utilizzato per avere predizioni di )(tN
per tempi 0tt
DETERMINAZIONE DELL’ETA’
DI REPERTI ARCHEOLOGICI
Una delle prime strumentazioni utilizzate al British Museum per la datazione al C14
E’ noto che una piccola percentuale del carbonio presente in atmosfera si presenta nella forma radioattiva C14.Questa si fissa nei viventi con una concentrazione iniziale di una parte su 750 miliardi, cioè
I nuclei C14 decadono in atomi di azoto emettendo particelle beta.Quindi gli esseri viventi (o che sono vissuti ) contengono una certa quantità di nuclei radioattivi C14.
ed è noto che il tempo di dimezzamento del C14 è dato da (in anni):
939 10*)10*33.1(10)750
1(
La concentrazione di C14 in un determinato reperto biologico segue la legge:
))(exp()( 00 ttkNtN
55702
1 t
0N 1210*33.1
Utilizzando questa informazione, si calcola la costante k per il carbonio C14:
2
1
)2ln(
tk
5570
693.0
Conoscendo la concentrazione attuale (tempo t) di C14 in un tessutosi ha allora :
N
))(exp( 00 ttkNN
k
NNtt
)/ln( 00
Se ad esempio fosse: 1210 N
k
tt)33.1ln(
0anni410
24.1
285.0anni2300
410*24.1
)33.1ln()ln()/ln( 12
12
1010*33.1
0
NN
LIVELLO DI GLUCOSIO NEL SANGUE
Situazione : ad un paziente viene somministrato del glucosio attraverso fleboclisi (R mg per secondo per litro di sangue) Il glucosio viene quindi metabolizzato con una velocità proporzionale alla sua concentrazione.
)(tx concentrazione di glucosio al tempo t
)(tKxRdt
dx
L’andamento di x al variare del tempo seguirà allora una legge del tipo:
K
RttKxttK
K
Rtx ))(exp())(exp()( 000
)( 00 txx
t
t
x
xdt
KxR
dx
00
)(tKxRdt
dx
00 )log(1
)log(1
ttKxRK
KxRK
)()log( 00 ttK
KxR
KxR
00 )log()log(1
ttKxRKxRK
))(exp( 00 ttk
KxR
KxR
))(exp( 0
0
ttkKxR
KxR
))(exp()( 00 ttkkxRKxR
RttkkxRKx ))(exp()( 00
K
RttKxttK
K
Rtx ))(exp())(exp()( 000
Ponendo t0=0
))exp(1()exp()( 0 KtK
RKtxtx
e dunque al tendere di tK
Rtx )(
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200
2
4
6
8
10
12x0*exp(-K*t)+(R/K)*(1-exp(-K*t))
tempo
gluc
osio
mg/
l
R/K = 10.7143
Problema:
Il paziente ha un livello iniziale di glucosio
Il medico vuole innalzare questo livello a
Per quanto tempo è necessario tenere il paziente sotto flebo?
0xxm 0x
))exp(1()exp()( 0 KtK
RKtxtx
Possiamo utilizzare la precedente formula :
cercando il valore tale che: *t mxtx )( *
K
Rx
K
RxKt mo )exp(
KRx
KRxKt m
/
/)exp(
0
)/log()/log( 0 KRxKRxKt m
K
KRxKRxt m )/log()/log( 0*
Se il paziente viene sottoposto a infusione per un tempo T, quanto tempo occorre per tornare al livello iniziale?
Problema:
Al tempo T si avrà:
))exp(1()exp()( 0 KTK
RKTxTx
Successivamente cessa la somministrazione di glucosio e quindi la variazione di concentrazione seguirà la legge :
)(tKxdt
dx
))(exp()( TtKctx
)(Txc
(si è posto R=0)
con valore iniziale al tempo T
Riassumendo:
)(tx
))exp(1()exp(0 KTK
RKTx Tt 0
))(exp()( TtKTx Tt
Occorre ora trovare Tt tale che: 0)( xtx
0))(exp()( xTtKTx cioè:
è il valore misurato al tempo T , quindi è un valore noto)(Tx
)())(exp( 0
Tx
xTtk ))(log()log()( 0 TxxTtk
)log()(log1
0xTxK
Tt
Volendo una formula che dipende solo da 0,, xRK
e non da x(T), basta sostituire il valore già calcolato
))exp(1()exp()( 0 KTK
RKTxTx
)1)log(exp()1log(
1
0
KTKx
R
Kt
ottenendo: (esercizio)
