Il fenomeno aeroacustico negli endoreattori a propellente ... Tesi Gizzi.pdf · La presente tesi si...

Universita degli studi di Roma La Sapienza

Facolta di Ingegneria

Tesi di Laurea in

Ingegneria Spaziale

Il fenomeno aeroacustico

negli endoreattori a propellente solido

Relatore Candidato

Prof. Bernardo Favini Emanuela Gizzi

Anno Accademico 2008/2009

Ai Miei Genitori

Indice

Introduzione 1

1 Il fenomeno aeroacustico 31.1 Modello del fenomeno del vortex shedding . . . . . . . . . . . 41.2 Fluidodinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2.1 Equazioni di conservazione . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.2 Equazione fondamentale della termodinamica . . . . . 81.2.3 Forme alternative delle equazioni di base . . . . . . . 11

1.3 Equazioni di Eulero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.3.1 Direzioni caratteristiche ed equazioni di compatibilita 14

2 Aeroacustica 212.1 Spazio acustico libero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.1.1 Ordini di grandezza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.1.2 Equazione dell’onda e sorgenti di suono . . . . . . . . 232.1.3 Funzione di Green e formulazione integrale . . . . . . 242.1.4 Problema inverso e unicita della sorgente . . . . . . . 252.1.5 Soluzioni elemetari dell’equazione dell’onda . . . . . . 262.1.6 Energia acustica e impedenza . . . . . . . . . . . . . . 312.1.7 La funzione di Green nello spazio libero . . . . . . . . 342.1.8 Espansione di multipolo . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.1.9 Effetto Doppler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.2 Le analogie dell’aeroacustica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.2.1 L’analogia di Lighthill . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.2.2 La formulazione di Curle . . . . . . . . . . . . . . . . 422.2.3 La formulazione di Ffowcs Williams-Hawkings . . . . 432.2.4 Scelta della variabile aeroacustica . . . . . . . . . . . . 452.2.5 Teoria del Vortex Sound . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.3 Flussi confinati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.3.1 Propagazione delle onde in un condotto . . . . . . . . 482.3.2 La funzione di Green alle basse frequenze . . . . . . . 502.3.3 La funzione di Green alle basse frequenze . . . . . . . 52

i

ii INDICE

3 I modi di un flusso turbolento 553.1 Modo acustico, di vorticita e di entropia . . . . . . . . . . . . 56

4 Modello 654.1 Equazione di trasporto della vorticita . . . . . . . . . . . . . . 654.2 Equazioni della pressione e dell’entropia . . . . . . . . . . . . 674.3 Equazione della divergenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694.4 Applicazione del modello . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4.4.1 Andamenti delle derivate temporali . . . . . . . . . . . 784.4.2 Campo di pressione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 784.4.3 Campo di vorticita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 874.4.4 Campo di entropia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 964.4.5 Onde acustiche, di scorrimento e di entropia . . . . . . 98

Conclusioni 107

Bibliografia 110

Introduzione

La presente tesi si propone di analizzare i campi di vorticita, di pressione, dientropia e le onde di scorrimento, di entropia ed acustiche che caratterizzanoil flusso all’interno di un endoreattore a propellente solido.Tale analisi e motivata dall’importanza che i fenomeni di tipo fluidodinamicoed acustico hanno per la dinamica del processo di combustione, la stabilitae le prestazioni del motore.L’elaborato si suddivide in quattro capitoli.Nel primo si esamina il fenomeno del vortex shedding e del feedback acusti-co negli endoreattori a propellente solido e si presentano le equazioni dellafluidodinamica che verranno utilizzate successivamente.Nel secondo si espongono le formulazioni e le ipotesi su cui si basa l’aeroa-custica computazionale.Nel terzo si pone attenzione sui modi acustici, di entropia e di vorticita checaratterizzano i processi di combustione e si espone l’analisi condotta daKovasnay.Nel quarto, infine, si propone un modello costituito da un set di equazioni(pressione, vorticita, entropia e divergenza) per analizzare il flusso in esame;si effettuano confronti tra i vari termini che costituiscono tali equazioni esi studiano le onde acustiche, di scorrimento e di entropia ricavate dalleequazioni di compatibilita.

1

Capitolo 1

Il fenomeno aeroacusticonegli endoreattori apropellente solido

Gli endoreattori a propellente solido presentano una predisposizione ai fenomenidi tipo aeroacustico; alcuni meccanismi fluidodinamici interni, infatti, pos-sono determinare l’eccitazione dei modi naturali della camera di combus-tione.Lo studio e la comprensione dell’accoppiamento flusso-acustica e di primariaimportanza per evitare il rischio di instabilita del motore. L’eccitazionedei modi fondamentali causa, infatti, una combustione non controllata, o-scillazioni di pressione e problemi di vibrazione riducendo l’affidabilita e leprestazioni.Il fenomeno del vortex shedding negli SMR (Solid Rocket Motor) e statostudiato, negli ultimi decenni, come sorgente di energia acustica.Si e osservato, infatti, che diversi motori, considerati stabili da un’analisicondotta con metodi convenzionali di stabilita lineare, presentavano com-portamenti oscillatori.Si e ipotizzato, e successivamente verificato, che tali oscillazioni di pres-sione fossero causate dal vortex shedding e dal feedback acustico risultantedall’impatto dei vortici sull’ugello o su altre pareti.L’accoppiamento flusso-acustica puo quindi essere descritto come un feed-back loop costituito da 4 elementi:

1. instabilita idrodinamica,

2. sorgente acustica dovuta all’interazione dei vortici con l’ugello o altrepareti,

3. la propagazione acustica con effetti di risonanza,

4. la ricettivita acustica del campo idrodinamico [1].

3

4 CAPITOLO 1. IL FENOMENO AEROACUSTICO

In presenza di geometrie complesse ed elevati rapporti L/D, il distacco deivortici puo verificarsi, ad esempio, in corrispondenza delle cavita tra i diversisegmenti del grano. Quando la frequenza del vortex shedding e vicina aquella naturale della camera, le oscillazioni di pressione, nate nella cameradi spinta dopo che la maggior parte del combustibile e bruciato e dopo che sisono sviluppati vortici nei prodotti di combustione, crescono e raggiungonoun massimo [15]. Lo studio della dinamica di tali processi e molto complessosia per l’impossibilita di predire con esattezza e controllare il comportamentodel motore, sia perche richiede un approccio interdisciplinare di combustione,meccanica del fluido ed acustica.

1.1 Modello del fenomeno del vortex shedding negliendoreattori a propellente solido

Il distacco periodico dei vortici causato da ostruzioni in condotti e camere fuosservato come sorgente potenziale di energia acustica per la prima volta daJacobs e Flandro. Numerosi esperimenti, come quelli realizzati ad esempioda Culick, dimostrarono l’accoppiamento delle frequenze del vortex sheddingperiodico con quelle dei modi acustici della camera.Gli steps fondamentali del modello del feedback acustico sono i seguenti:

1. uno shear layer e generato in un punto a monte e si arrotola in unvortice che viaggia a valle.

2. Il vortice impatta su una superficie.

3. Un impulso acustico e generato dall’impatto del vortice e viaggia versomonte.

4. L’impulso acustico raggiunge lo shear layer nel punto iniziale e pertur-ba lo strato contribuendo alla formazione di un secondo vortice.

5. Un nuovo vortice si forma, chiudendo il feedback loop.

E’ implicito nella precedente descrizione che un numero intero di vorticie presente tra il punto iniziale dello shear layer e il punto di impatto. Ilfeedback loop puo essere espresso matematicamente come:

mT =L

kU+

L

c− U+4t (1.1)

dove T e il periodo del vortex shedding, L e la distanza tra il punto inizialedello shear layer e il punto di impatto, U e la velocita del flusso indisturbato,c e la velocita del suono, m e il numero dei vortici tra l’inizio dello shear layere i punti di impatto, k e il rapporto della velocita di convezione dei vortici ela velocita del flusso indisturbato, ∆t e un piccolo incremento di tempo. Il

1.1. MODELLO DEL FENOMENO DEL VORTEX SHEDDING 5

valore k e una costante empirica adimensionale. Il primo e il secondo terminedel membro a destra dell’equazione (1.1) rappresentano rispettivamente iltempo che trascorre tra gli steps 1 − 2 e 3 − 4 del modello del feedbackacustico; il terzo termine, ∆t, tiene conto del ritardo tra l’impatto di unvortice e la generazione di un impulso acustico, che e il tempo che trascorretra gli steps 2 − 3. Questo fattore di correzione e comunemente espressocome αT , nel quale α e una costante empirica adimensionale.Risolvendo l’equazione (1.1) per la frequenza del vortex shedding f risulta

f =U

L

m− α

[M/(1−M)] + 1/k

(1.2)

dove M e il numero di Mach. Espandendo il primo termine al denominatoredell’equazione (1.2) in una serie binomiale e troncando gli ordini superiorial primo si ha:

f =U

L

(m− α

M + 1/k

)(1.3)

Il numero di Stroual per il feedback loop e definito da:

Sr =fL

U=

(m− α

M + 1/k

)(1.4)

Il numero di Mach per il flusso interno in un SMR di grandi dimensioni epiccolo e puo essere trascurato.L’equazione (1.3) fu proposta da Rossiter per un flusso sopra cavita. Inquesto caso uno strato limite si separa a monte della cavita, generandovortici che impattano a valle della stessa; il numero m si riferisce al numerodi vortici nella cavita.Il flusso interno ad un SRM e costituito da strati di scorrimento generatidalla superficie del propellente (durante la sua combustione) che si muovonoparallelamente all’asse del motore.In presenza di una struttura del grano segmentata si puo proporre comemodello del fenomeno aeroacustico quello elaborato da Rossiter per un flussosopra le cavita.Se il motore ha piu inibitori, uno shear layer puo formarsi in corrispondenzadi un inibitore e arrotolarsi in vortici che viaggiano a valle e impattano o suun inibitore a valle o sull’ugello. In questo caso il numero m del modello delfeedback acustico si riferisce al numero di vortici tra l’ inibitore a monte ela superficie di impatto.

In entrambi i casi si e in condizione di risonanza rispettivamente nellecavita o tra gli inibitori (Loop1). In generale pero l’eccitazione coinvolge imodi acustici del motore (Loop2) e si presentano cosı i problemi connessi allarisonanza: oscillazioni di pressione, quindi di spinta, vibrazioni e instabilitadi combustione.


L’accoppiamento tra i modi acustici fondamentali e il vortex shedding fası che quando la frequenza del vortex shedding diminuisce (a causa dellariduzione della velocita U) essa risulta disaccoppiata da quella del modoacustico; si osserva inoltre che la frequenza del vortex shedding aumentacon l’aggiunta di vortici (aumento dell’intero m) nella distanza L.I valori kU e c nell’Eq. (1.1) rappresentano rispettivamente la velocita me-dia dei vortici e del suono lungo L.Le variazioni di c sono piccole per un SMR e, poiche influiscono solo sulnumero di Mach, hanno un impatto minore sulle frequenze del vortex shed-ding.La velocita di convezione dei vortici e stata definita come una frazione diquella del flusso indisturbato alla presunta origine del vortex shedding e lesue variazioni tra la zona di distacco e i punti di impatto sono considerati ink. Modifiche di k sono utilizzate per tenere in considerazione le decelerazionidei vortici verso i punti di impatto.La velocita del flusso indisturbato non e costante lungo il motore ma aumentaverso l’ugello, quindi i vortici accelereranno dopo il distacco [3].

1.2 Fluidodinamica

1.2.1 Equazioni di conservazione della massa, quantita dimoto ed energia

Si adotta l’ipotesi di continuo: cio implica che quantita come la velocita ela densita siano funzioni continue dello spazio e del tempo. Consideriamole equazioni fondamentali di conservazione della massa, quantita di motoed energia applicate ad una particella infinitesima di fluido di volume V ,che chiameremo elemento materiale. Si definisce la densita di un elementomateriale uguale a ρ mentre la massa semplicemente ρV . Quando la massasi conserva risulta che:

d(ρV ) = ρdV + V dρ = 0 (1.5)

Il rateo di variazione della densita, osservato muovendosi con la velocitadel fluido v, e uguale all’ opposto della velocita di dilatazione:

1ρ

Dρ

Dt= − 1

V

DV

Dt= −∇ · v (1.6)

dove la derivata nel tempo Lagrangiana DρDt e legata alla derivata nel

tempo Euleriana ∂ρ∂t dalla seguente relazione:

Dρ

Dt=

∂ρ

∂t+ (v · ∇)ρ (1.7)

1.2. FLUIDODINAMICA 7

Per un sistema di coordinate cartesiane x = (x1, x2, x3) si puo scrivere:

Dρ

Dt=

∂ρ

∂t+ vi

∂ρ

∂xidove vi

∂ρ

∂xi= v1

∂ρ

∂x1+ v2

∂ρ

∂x2+ v3

∂ρ

∂x3(1.8)

Sostituendo la definizione (1.8) nella (1.7) si ottiene l’equazione di con-servazione della massa applicata ad un elemento di volume infinitesimo:

∂ρ

∂t+∇ · (ρv) = 0, oppure

∂ρ

∂t+

∂ρvi

∂xi= 0 (1.9)

Questa e la forma conservativa dell’equazione della massa.Si puo introdurre un termine di sorgente Qm :

∂ρ

∂t+

∂ρvi

∂xi= Qm (1.10)

In un’approssimazione non relativistica il termine di sorgente e sicuramentenullo ed e introdotto solamente per rappresentare l’influenza sul flusso diun fenomeno complesso (come ad esempio la combustione) in un modelloche ignora i dettagli di tale processo. Si deve specificare quando la massainiettata ha un momento e quando ha uno stato termodinamico differenterispetto il fluido circostante.

In accordo con un’approssimazione non relativistica si applica la secondalegge di Newton ad una particella di fluido:

ρDvDt

= −∇ ·P + f (1.11)

dove f e la densita del campo di forze che agisce sul volume di fluido, mentre−∇ · P e la forza che agisce sulla superficie di un elemento infinitesimo divolume. Questa forza e espressa in termini di tensore degli sforzi P. Usandola conservazione della massa (1.9) senza il termine di sorgente otteniamol’equazione di conservazione del momento della quantita di moto:

∂ρv∂t

+∇ · (P + ρvv) = f, oppure∂ρvi

∂t+

∂ρvivj

∂xj= −∂Pij

∂xj+ fi (1.12)

La parte isentropica pδij di questo tensore corrisponde all’effetto idrodi-namico della pressione p = Pii/3

Pij = pδij − σij (1.13)

dove pδij = 0 per i 6= j epδij = 0 per i = j. La deviazione σij dal compor-tamento idrostatico e dovuto all’effetto della viscosita.Si considera un fluido per il quale σij e simmetrico.

L’equazione di conservazione dell’energia per un elemento materiale e:

ρD

Dt(e +

12v2) = −∇ · q−∇ · (P · v) + f · v + Qw (1.14)


oppure nella notazione indiciale

ρD

Dt(e +

12v2) = − ∂q

∂xi− ∂Pijvj

∂xi+ fivi + Qw (1.15)

Le leggi di conservazione della massa, della quantita di moto e dell’ener-gia nella forma differenziale sono valide quando le derivate delle variabili diflusso sono definite. Quando tali leggi sono applicate ad un volume finito V ,si ottiene la formulazione integrale che puo essere usata anche in presenza didiscontinuita come un’onda d’urto. Per un volume arbitrario V delimitatoda una superficie S con normale esterna n, si ottiene:

d

dt

∫

VρdV +

∫

Sρ(v− b) · ndS = 0 (1.16)

d

dt

∫

vρvdV +

∫

Sρv(v− b) · ndS = −

∫

SP · ndS +

∫

VfdV (1.17)

d

dt

∫

Vρ(e +

12v2) +

∫

Sρ(e +

12v2)(v− b) · ndS

= −∫

Sq · ndS +

∫

S(P · v) · n +

∫

Vf · vdV

(1.18)

dove b e la velocita della superficie di controllo S. Per un volume di controllomateriale si ha che v · b = b · n. Per un volume di controllo fisso si hab = 0 [6].

1.2.2 Equazione fondamentale della termodinamica

Nelle equazioni di conservazione della massa, della quantita di moto e del-l’energia (1.9), (1.12) e (1.14) troviamo un numero di incognite maggioredel numero di equazioni. Ricaviamo le informazioni necessarie per ottenereun set completo dalle equazioni della termodinamica. Si fa un’eccellenteapprossimazione considerando il fluido in equilibrio termodinamico locale,ad esempio riferendosi ad un elemento di volume. Tale ipotesi per un fluidoomogeneo implica che due variabili termodinamiche identificano lo stato delfluido. Per l’acustica risulta conveniente scegliere la densita ρ e l’entropias come variabili, mentre tutte le altre risultano funzioni di ρ e s. L’energiainterna specifica e definita dalla relazione:

e = e(ρ, s) (1.19)

Tale equazione e determinata empiricamente. Variazioni di e possono esserescritte come:

de =(

∂e

∂ρ

)

s

dρ +(

∂e

∂s

)

ρ

ds (1.20)


confrontata con l’equazione fondamentale della termodinamica,

de = Tds− pdρ−1 (1.21)

fornisce le equazioni termodinamiche per la temperatura T e la pressione p

T =(

∂e

∂ρ

)

s

(1.22)

e

p = ρ2

(∂e

∂s

)

ρ

(1.23)

Anche p e una funzione di ρ e s:

dp =(

∂p

∂ρ

)

s

dρ +(

∂e

∂s

)

s

ds (1.24)

Il suono viene definito come una pertubazione isentropica della pressione-densita, la velocita del suono come:

c =

√(∂p

∂ρ

)

s

(1.25)

In molte applicazioni il fluido considerato e aria alla pressione e tempe-ratura ambiente. Sotto tali condizioni si puo considerare valida la legge delgas ideale.

p = ρRT (1.26)

dove R e la costante specifica dei gas. Per definizione la densita di energiadipende solo dalla temperatura T , e = e(T ) e si ha:

c =√

γp

ρ=

√γRT (1.27)

dove γ = cp/cv e il rapporto di Poisson dei calori specifici a volumecostante:

cv =(

∂e

∂T

)

ρ

(1.28)

e a pressione costante:

cp =(

∂i

∂T

)

p

(1.29)


dove i e l’entalpia per unita di massa definita come:

i = e +p

ρ(1.30)

Per un gas ideale si ha cp − cv = R. Un gas ideale con calori specificicostanti e chiamato gas perfetto.

Considerando la condizione di equilibrio termodinamico, e ragionevoleassumere che i processi di trasporto avvengano secondo una legge lineare deigradienti delle variabili di stato del flusso. Cio descrive il comportamento diun fluido newtoniano;

σij = 2η(Dij − 13Dkkδij) + µvDkkδij (1.31)

dove il tensore di stress Dij e definito da:

Dij =12

(∂vi

∂xj+ ∂vj∂xi

)(1.32)

Il termine Dkk = ∇ · v tiene conto dell’effetto della dilatazione. In con-dizione di equilibrio termodinamico, in accordo con le ipotesi di Stokes, siassume che la viscosita µv sia trascurabile. La viscosita dinamica η e una fun-zione dello stato termodinamico del fluido. Per un gas ideale η e solo funzionedella temperatura. L’ipotesi sulla viscosita µv e inizialmente un’eccellenteapprossimazione, si possono pero osservare effetti significativi nelle appli-cazioni acustiche nella propagazione sulle lunghe distanze. Questo allon-tanamento dall’equilibrio termodinamico e dovuto al tempo di rilassamentofinito dei gradi di liberta delle molecole. La corrispondente approssimazioneper il flusso di calore q e la legge di Fourier:

qi = −K∂T

∂xi(1.33)

dove K e il coefficiente di conduzione del calore che per un gas idealee solo funzione della temperatura. E’ conveniente introdurre la viscositacinematica ν e la diffusivita a:

ν =η

ρ(1.34)

e

a =K

ρcp(1.35)

La viscosita cinematica e la diffusivita sono i coefficienti per la quantitadi moto e il calore rispettivamente. Per un gas ideale entrambi i processisono caratterizzati dalla stessa velocita molecolare e da simili traiettoriemolecolari. Cio spiega perche il numero di Prandtl Pr = ν

a e dell’ordinedell’unita. Per l’aria in condizioni ambiente di temperatura e pressione Pr =0.73 [6].


1.2.3 Forme alternative delle equazioni di base

Partendo dall’equazione (1.14) e usando la (1.20) si puo ricavare un’equazioneper l’entropia:

ρTDs

Dt= −∇ · q + σ : ∇v + Qw (1.36)

Se il trasferimento di calore e la dissipazione viscosa sono trascurabili enon sono presenti sorgenti di calore, l’equazione dell’entropia si riduce a:

Ds

Dt= 0 (1.37)

Tale equazione implica che l’entropia di un elemento materiale e costantee il flusso e isentropico. Quando l’entropia e uniforme chiamiamo il flussoomentropico, cioe ∇s = 0.

Quando non ci sono sorgenti di entropia, la generazione di suono e do-minata dalle fluttuazioni degli stress di Reynolds ρvivj e corrisponde allacondizione per la quale il termine |∂ρvivj

∂xj| nella equazione di conservazione

della quantita di moto (1.12) e piu grande se comparato con il termine |∂σij

∂xj|.

Assumendo che entrambe le scale dei gradienti abbiamo la stessa lunghezzaD e che la velocita di riferimento e U0 (una velocita del flusso medio) sitrova: Re = U0D/ν >> 1, dove Re e il numero di Reynolds. In questocaso si puo anche notare che la dissipazione e limitata nel sottile strato li-mite in prossimita della parete e per scale di tempo dell’ordine di U0/D ilflusso puo essere considerato isentropico. Un flusso turbolento in realta edissipativo, ma sulle scale di tempo rilevanti per la produzione del suono ladissipazione e trascurabile fuori dello strato limite alla parete. Si assumeche il trasferimento di calore sia limitato allo strato limite e il volume difluido sia sostanzialmente isotermo. Quando l’entropia non e uniforme, laconvezione di queste disomogeneita e un’importante sorgente di suono. Inun flusso senza attrito l’equazione della quantita di moto (1.10) si riduceall’equazione di Eulero:

ρDvDt

= −∇p + f (1.38)

usando la definizione di entalpia (1.30) combinata con l’equazione fon-damentale (1.20) si trova che:

DvDt

= −∇i + T∇s +fρ

(1.39)

L’accelerazione DvDt puo essere scomposta in una parte dipendente dal

tempo ∂f∂t , un’accelerazione nella direzione delle linee di corrente ∇(1

2v2) eun’ accelerazione di Coriolis dovuta alla rotazione ω = ∇× v come segue:


DvDt

=∂v∂t

+∇(

12v2

)+ ω × v (1.40)

Sostituendo l’equazione (1.40) e la (1.39) nella (1.38) si ottiene:

∂v∂t

+∇B = −ω × v + T∇s +fρ

(1.41)

dove l’entalpia totale o costante di Bernoulli B e definita da:

B = i +12v2 (1.42)

In generale la velocita del flusso v puo essere espressa in termini di unpotenziale scalare φ e una funzione di corrente ψ:

v = ∇φ +∇× ψ (1.43)

In questa definizione c’e ambiguita che puo essere rimossa con alcunecondizioni addizionali. Si puo ad esempio imporre ∇ · v = 0. In moltiproblemi si elimina l’ambiguita imponendo condizioni al contorno su φ e ψ.Il potenziale scalare φ e legato al rateo di dilatazione:

∇ · v = ∇2φ (1.44)

poiche ∇ · (∇× ψ) = 0, il vettore ψ e relativo alla vorticita:

ω = ∇× v = ∇× (∇× ψ) (1.45)

poiche ∇ × ∇φ = 0. Per un flusso omentropico (∇s = 0) e potenziale(v = ∇φ) senza forze esterne (f = 0), l’equazione della quantita di moto(1.38) puo essere integrata per ottenere l’equazione di Bernulli:

∂φ

∂t+ B = g(t) (1.46)

dove la funzione g(t) puo essere assorbita nella definizione del potenzialeφ senza nessuna perdita di generalita.

Nella Vortex Sound Theory, dove il campo di riferimento (campo acusti-co) corrisponde alla componente non stazionaria del flusso potenziale ∇φ, lasorgente e la differenza tra il flusso potenziale e il flusso reale. In un flussoomentropico la densita ρ(p) e funzione della pressione p (flusso barotropi-co). In questo caso si puo eliminare il termine di pressione dall’equazione di

1.3. EQUAZIONI DI EULERO 13

Eulero e facendo il rotore di questa equazione(1.38), si ottiene l’equazionedella vorticita:

Dω

Dt= ω · ∇v− ω∇ · v +∇×

(fρ

)(1.47)

In assenza di forze esterne, l’equazione si riduce ad una relazione cinema-tica e risolvendola ci fornisce il campo di velocita. Questo approccio e efficacenel caso bidimensionale dove Dω3

Dt = 0. Assumendo la viscosita trascurabile,il set di equazioni e le condizioni al contorno hanno una soluzione unica.Con l’osservazione empirica che la vorticita non e presente ovunque, si haancora un’unica soluzione.

Quando il flusso e incomprimibile (come le onde acustiche),l’entalpia sipuo approssimare nel seguente modo:

i =∫

dp

ρ' p

ρ0(1.48)

Sotto queste condizioni l’equazione di Bernoulli(1.46) si riduce a:

∂φ

∂t+

12v2 +

p

ρ0= 0 (1.49)

Quando si considera la propagazione delle onde acustiche in un flussouniforme con velocita media nulla il termine 1

2v2 e piccolo, risulta dunque [6]:

∂φ

∂t+

p

ρ0= 0 (1.50)

1.3 Equazioni di Eulero

Le equazioni di Eulero rappresentano una particolare forma semplificatadelle equazioni di Navier-Stokes, ottenute nel caso sussista l’ipotesi sempli-ficativa di flusso non viscoso.

Equazione di conservazione della massa

∂ρ

∂t+∇ · (ρv) = 0 (1.51)

dalla quale:

∂ρ

∂t+ ρ∇ · v +∇ρ · v = 0

infine utilizzando le coordinate cilindriche e considerando il caso assial-simmetrico si ha:


∂ρ

∂t+ ρ

[∂Ur

∂r+

Ur

r+

∂Ux

∂x

]+

[Ur

∂P

∂r+ Ux

∂ρ

∂x

]= 0 (1.52)

Equazione di conservazione della quantita di moto

∂ρv∂t

+∇ · (ρvv) +∇ · (PI) = 0 (1.53)

dalla quale:

∂ρv∂t

+ v∇ · (ρv) + ρv · ∇v

= ρ∂v∂t

+ v[∂ρ

∂t+∇ · (ρv)

]+ ρv · ∇v +∇ · (PI)

= ρ

(∂v∂t

)+ (v · ∇)v +∇ · (PI) = 0

la componente di questa equazione lungo la direzione x e:

∂Ux

∂t+ Ux

∂Ux

∂x+ Ur

∂Ux

∂r+

1ρ

∂p

∂x= 0 (1.54)

quella lungo r e:

∂Ur

∂t+ Ux

∂Ur

∂x+ Ur

∂Ur

∂r+

1ρ

∂p

∂r= 0 (1.55)

Equazione di conservazione dell’energia

∂p

∂t+ Ux

∂P

∂x+ Ur

∂p

∂r+ γp

(∂Ur

∂r+

Ur

r+

∂Ux

∂x

)= 0 (1.56)

1.3.1 Direzioni caratteristiche ed equazioni di compatibilita

Le equazioni (1.52), (1.54), (1.55) e (1.56) costituiscono un sistema che puoessere scritto in forma matriciale nel seguente modo:

ρt

ut

vt

pt

+

u ρ 0 00 u 0 1

ρ

0 u 0 1ρ

0 γp 0 u

ρx

ux

vx

px

+

v ρ 0 00 v 0 1

ρ

0 0 v 1ρ

0 γp 0 v

ρr

ur

vr

pr

=

−ρvr

00

−pγ vr


Nella precedente formulazione le equazioni continuano ad essere scrittein coordinate cilindriche ma si e indicata la Ux con la u e la Ur con la v.

Si possono calcolare, per tale sistema, le direzioni caratteristiche e leequazioni di compatibilita.Si indica con q il vettore [u, v] e con ν il vettore [ν1, ν2].

Si risolve, dunque, il seguente problema degli autovalori:

| − λI +∑

i

Aiνi| = 0 (1.57)

∣∣∣∣∣∣∣∣

q · ν ρν1 ρν2 00 q · ν 0 ν1

ρ

0 q · ν 0 ν2ρ

0 γpν1 γpν2 q · ν

∣∣∣∣∣∣∣∣= 0

dalla quale si ottengono gli autovalori:

λ = q · νe

λ = q · ν ∓ a

Si considera λ = q · ν e si determinano gli autovettori destri:

0 ρ 0 00 0 0 ν1

ρ

0 0 0 ν2ρ

0 γpν1 γpν2 0

r1

r2

r3

r4

= 0

da cui si ottiene r4 ≡ 0, ∀r1, ρν1r2 + ρν2r3 = 0.Si ottengono, dunque, due autovettori linearmente indipendenti:

r2 = (1a2

, 0, 0, 0)

r3 =12(0, ν2,−ν1, 0)

Dal secondo autovettore si ricavano le relazioni di salto:

[pξ] = 0


[uξ] = αν2

2→ α = 2

[uξ]ν2

[vξ] = −αν2

2→ [vξ] = −ν1

ν2[uξ] → ν1[uξ] + ν2[vξ] = 0

Si osserva che risulta verificata la relazione ∇uλ · r = 0, quindi lungoquesta direzione non possono nascere discontinuita. La verifica e evidentepoiche:

λ = q · ν = uν1 + vν2

∇uλ = (0, ν1, ν2, 0).

Si considera λ = q · ν − a e procedendo analogamente a quanto fattoprecedentemente si risolve il seguente sistema:

a ρ 0 00 a 0 ν1

ρ

0 0 a ν2ρ

0 γpν1 γpν2 a

r1

r2

r3

r4

= 0

e si ottiene rT =(ρ

a ,−ν1,−ν2,γpa

).

Le relazioni di salto sono:

[ρξ] = αρ

a

[uξ] = −αν1

[vξ] = −αν2

[pξ] = αγp

a

dalle quali si ricavano le seguenti relazioni:

[(q · ν)ξ] = −α

α =a

γp[pξ]

quindi:[(q · ν)ξ] +

a

γp[pξ] = 0

[ρξ]− ρ

a

a

γp[pξ] = 0 → [sξ] = 0

infine dalla relazione tra entropia, densita e pressione si trova che:

[pξ] =ρa

γ[aξ]− ρa2

γ[sξ]


quindi:a

γp[pξ] =

ρa2

γp

1ρ[aξ]

ed infine:γ[(q · ν)ξ] + [aξ] = 0

Si considera λ = q · ν + a e si risolve il seguente sistema:

−a ρ 0 00 −a 0 ν1

ρ

0 0 −a ν2ρ

0 γpν1 γpν2 −a

r1

r2

r3

r4

= 0

e si ottiene rT =(ρ

a , ν1, ν2,γpa

).

Le relazioni di salto sono:

[ρξ] = αρ

a

[uξ] = αν1

[vξ] = αν2

[pξ] = αγp

a

dalle quali si ricavano le seguenti relazioni:

[(q · ν)ξ] = α

α =a

γp[pξ]

quindi:[(q · ν)ξ] +

a

γp[pξ] = 0

[ρξ]− ρ

a

a

γp[pξ] = 0 → [sξ] = 0

Per gli ultimi due casi presi in considerazione (λ = q·ν+a e λ = q·ν+a)non risulta verificata la condizione ∇uλ · r = 0: tali direzioni non sono li-nearmente degeneri, lungo di esse possono dunque nascere discontinuita.

Nello spazio (x, y, t) si ha Q = (1, u, v) e ν = (−λ, ν1, ν2) tali che Q · ν = 0relazione che definisce il piano corrente.Si possono cosı calcolare per Q · ν = 0 i coefficienti dell’equazioni di com-patibilita αjdjk · ∇φk + αbj = 0:


(α1, α2, α3, α4

)

0 ρν2 ρν3 00 0 0 ν2

ρ

0 0 0 ν3ρ

0 γpν2 γpν3 0

= 0

si ricavano le seguenti relazioni:

ρν2α1 + γpν2α4 = 0

ρν3α1 + γpν3α4 = 0

α2ν2

ρ+ α3

ν3

ρ= 0

Ponendo α4 = −1 si ottiene:

α(1) = (a2, 0, 0,−1)

Si ricavano i vettori dij e si riportano quelli che moltiplicati successiva-mente per i coefficienti αj daranno un valore diverso da zero, cioe quelli checompariranno nell’equazione di compatibilita:

d11 = (1, Ux, Ur)

d12 = (1, ρ, ρ)

d34 = (1, Ux, Ur)

mentre αjbj = −a2ρUrr + γpUr

r = 0.

L’equazione di compatibilita risulta:

(a2 ∂ρ

∂t− ∂p

∂t

)+ Ux

(a2 ∂ρ

∂x− ∂p

∂x

)+ Ur

(a2 ∂ρ

∂r− ∂p

∂r

)= 0 (1.58)

Tale equazione rappresenta l’onda di entropia.Ponendo invece α4 = 0 si ottiene:

α(1) = (0,−ν3, ν2, 0)

I vettori dij che compariranno nella equazione di compatibilita sono iseguenti:

d22 = (1, Ux, Ur)

d24 = (0,1ρ, 0)

d33 = (1, Ux, Ur)


d34 = (0, 0,1ρ)

mentre e nullo il prodotto αjbj .

L’equazione di compatibilita e:

(−ν3

∂Ux

∂t+ ν2

∂Ur

∂t

)+ Ux

(−ν3

∂Ux

∂x+ ν2

∂Ur

∂x

)

+Ur

(−ν3

∂Ux

∂r+ ν2

∂Ur

∂r

)+

1ρ

(−ν3

∂p

∂x+ ν2

∂p

∂r

)= 0

(1.59)

Da questa equazione si possono ricavare due onde di scorrimento chesono le due componenti della conservazione della quantita di moto.

Si considera ora il piano acustico Q · ν = −a. Procedendo analogamente aquanto fatto precedentemente si ha:

(α1, α2, α3, α4

)

a ρν2 ρν3 00 a 0 ν2

ρ

0 0 a ν3ρ

0 γpν2 γpν3 a

= 0

si ottiene:

α(1) = (0,−ν2,−ν3,a

γp)

I vettori dij che compariranno nella equazione di compatibilita sono iseguenti:

d22 = (1, Ux, Ur)

d24 = (0,1ρ, 0)

d33 = (1, Ux, Ur)

d34 = (0, 0,1ρ)

d42 = (0, γp, 0)

d43 = (0, 0, γp)

d44 = (1, Ux, Ur)

mentre il prodotto αjbj = −aUrr .

L’equazione di compatibilita e data da:


(a

γp

∂p

∂t− ν2

∂Ux

∂t− ν3

∂Ur

∂t

)+ Ux

(a

γp

∂p

∂x− ν2

∂Ux

∂x− ν3

∂Ur

∂x

)

+Ur

(a

γp

∂p

∂r− ν2

∂Ux

∂r− ν3

∂Ur

∂r

)+ a

(∂Ux

∂x+

∂Ur

∂r

)− a

Ur

r= 0

(1.60)

Dalla proiezione di questa equazione si ottengono quattro onde acustiche.Se si pone ν = (1, 0) si ottiene:

(a

γp

∂p

∂t− ∂Ux

∂t

)+ (Ux − a)

(a

γp

∂p

∂x− ∂Ux

∂x

)

+Ur

(a

γp

∂p

∂r− ∂Ux

∂r

)+ a

∂Ur

∂r− a

Ur

r= 0

(1.61)

per ν = (0, 1) si ha:(

a

γp

∂p

∂t− ∂Ur

∂t

)+ (Ur − a)

(a

γp

∂p

∂r− ∂Ur

∂r

)

+Ux

(a

γp

∂p

∂x− ∂Ur

∂x

)+ a

∂Ux

∂x− a

Ur

r= 0

(1.62)

per ν = (−1, 0) si ha:(

a

γp

∂p

∂t+

∂Ux

∂t

)+ (Ux + a)

(a

γp

∂p

∂x+

∂Ux

∂x

)

+Ur

(a

γp

∂p

∂r+

∂Ux

∂r

)+ a

∂Ur

∂r− a

Ur

r= 0

(1.63)

infine perper ν = (0,−1) si ha:

(a

γp

∂p

∂t+

∂Ur

∂t

)+ (Ur + a)

(a

γp

∂p

∂r+

∂Ur

∂r

)

+Ux

(a

γp

∂p

∂x+

∂Ur

∂x

)+ a

∂Ux

∂x− a

Ur

r= 0

(1.64)

I piani Q ·ν = ±a sono i piani il cui inviluppo forma un cono detto conodi Mach.

Capitolo 2

Aeroacustica

L’aeroacustica nasce intorno al 1960 in campo aeronautico. E’ la materia chestudia la generazione del suono di origine aerodinamica e la sua propagazionein un fluido aeriforme [12].La produzione del suono in un flusso e difficile da determinare data la nonlinearita delle equazioni. Essa avviene tipicamente alle alte velocita, in cor-rispondenza delle quali i termini viscosi delle equazioni sono trascurabilirispetto a quelli inerziali non lineari (numeri di Reynolds molto elevati). Ladeterminazione diretta e complicata poiche l’energia acustica rappresentasolo una frazione molto piccola di quella totale. Le difficolta aumentanonello spazio libero e nel basso subsonico.Il campo di suono e in un certo senso una piccola perturbazione del flusso equesta considerazione puo essere usata per ottenere una soluzione approssi-mata.L’aeroacustica utilizza tale approssimazione e allo stesso tempo fa propriauna definizione del campo acustico come estrapolazione di un flusso ideale diriferimento: la differenza tra quello reale e quello di riferimento e identificatacome una sorgente di suono.Questa idea fu proposta da Lighthill che la chiamo analogia, il quale intro-dusse anche l’uso delle equazioni integrali. Il campo di suono e ottenutocome convoluzione della funzione di Green e la sorgente di suono. Un im-portante vantaggio di questa formulazione e che gli errori di tipo randomnella sorgente di suono sono mediati dall’integrazione. Dato che la sorgentestessa dipende dal campo di suono, questa espressione non e ancora unasoluzione del problema. Tuttavia sotto le condizioni di flusso libero spessosi puo trascurare questo feedback dal campo acustico al flusso. In questocaso la formulazione integrale fornisce una soluzione.L’energia acustica puo accumularsi in modi di risonanza quando il flusso econfinato. Se la velocita di spostamento della particella acustica diventa del-lo stesso ordine della velocita del flusso, il feedback dal campo acustico allesorgenti di suono puo diventare significativo, determinando delle oscillazioni

21

22 CAPITOLO 2. AEROACUSTICA

self-sustained. Nonostante il verificarsi di una tale situazione l’analogia eancora applicabile. Essa e utile per calcolare l’ordine di grandezza, risultameno conveniente per determinare la produzione di suono nella simulazionenumerica. Uno dei problemi e che la sorgente dedotta attraverso tale analo-gia e piuttosto estesa spazialmente, determinando degli integrali che conver-gono lentamente.Per un flusso isotermo a bassi numeri di Mach la produzione di suono saradovuta alle fluttuazioni di velocita del flusso medio, che puo essere espressain termini di dinamica dei vortici. Cio e ancora piu conveniente perche lavorticita e in generale limitata ad una piccola regione. Questo suggeriscedi utilizzare un flusso di riferimento irrotazionale. Con tali ipotesi si ha laVortex Sound Theory che e numericamente efficiente e permette di tradurrela dinamica dei vortici in termini di proprieta della produzione del suono delflusso [6].

2.1 Spazio acustico libero

2.1.1 Ordini di grandezza

In acustica si considerano piccole pertubazioni del flusso; cio consente lalinearizzazione delle leggi di conservazione e delle equazioni fondamentali. Sipone attenzione alle pertubazioni di pressione p′ che propagano come onde eche possono essere ascoltate dall’orecchio umano. Il range di frequenza dellefluttuazioni armoniche udibili e:

20Hz ≤ f ≤ 20kHz (2.1)

Il SPL (Sound Pressure Level) misurato in (dB) e definito da:

SPL = 20log10

(p′rms

pref

)(2.2)

dove pref = 2×10−5Pa per il suono che propaga nei gas e pref = 10−6 perla propagazione in altri mezzi. L’intesita del suono 〈I〉 = 〈I · n〉 e definitacome l’energia media nel tempo del flusso associato all’onda acustica chepropaga in direzione n. Il livello di intensita (IL) misurato in decibel (dB)e dato da:

IL = 10log10

( 〈I〉Iref

)(2.3)

dove nell’aria Iref = 10−12Wm−2. Il livello di intensita Iref e legatoalla pressione di riferimento pref dalla seguente relazione valida per le ondepiane:

2.1. SPAZIO ACUSTICO LIBERO 23

〈I〉 =p′2

ρ0c0(2.4)

in aria alle condizioni ambiente ρ0c0 ' 400Kgm−2s−1. La potenza medianel tempo 〈P 〉 generata da una sorgente di suono e l’integrale della intensita〈I〉 sulla superficie che racchiude la sorgente. Il 〈PWL〉 misurato in (dB) edefinito da:

PWL = 10log10

( 〈P 〉Pref

)(2.5)

Si deve considerare che quando un’onda propaga su larghe distanze glieffetti non lineari giocano un ruolo importante. In un condotto, ad esempio,determinano la formazione di onde d’urto. Cio spiega il verificarsi del suonodegli ottoni al livello fortissimo. Le distorsioni non lineari contribuiscononotevolmente sul suono prodotto da un aircraft.

Per un’onda acustica piana le fluttuazioni di pressione p′ sono associatealle velocita u′ delle particelle fluide nella direzione di propagazione.

u′ =p′

ρ0c0(2.6)

L’ampiezza δ dello spostamento della particella fluida per un’onda ar-monica con frequenza ω e data da δ = |u′|/ω. Alla frequenza di 1kHz sitrova che δ = 10−11. Quando tale piccolo spostamento diventa dello stessoordine di grandezza del raggio di curvatura della parete, si puo osservare laseparazione del flusso acustico e formazione di vortici [6].

2.1.2 Equazione dell’onda e sorgenti di suono

Si considera la propagazione della perturbazione di pressione p′ in un fluidoin quiete. Le perturbazioni di uno stato uniforme e costante di riferimento(p0, ρ0, s0,v0) sono definite da:

p′ = p− p0, ρ′ = ρ− ρ0, s′ = s− s0, v’ = v− v0 (2.7)

dove per un fluido in quiete si ha v0 = 0. Si assume che f, Qw e leperturbazioni p′/p0, ρ′/ρ0,... siano piccole, cio consente di linearizzare leequazioni di base. Si trascurano, inoltre, il trasferimento di calore e glieffetti viscosi poiche giocano un ruolo importante solo sulle grandi distanze.Le equazioni del moto (1.9), (1.12), (1.36) si riducono a:

∂ρ′

∂t+ ρ0∇ · v′ = 0, ρ0

∂v′

∂t+∇p′ = f, ρ0T0

∂s′

∂t= Qw (2.8)


e l’equazione (1.25) diventa:

p′ = c20ρ′ +

(∂p

∂t

)

ρ

s′ (2.9)

Sottraendo la divergenza della equazione linearizzata della quantita dimoto dalla derivata nel tempo della conservazione della massa si ottiene:

∂2p′

∂2t−∇2p′ = −∇ · f (2.10)

combinando l’equazione dell’entropia con l’equazione (2.9) si ha :

∂2p′

∂2t= c2

0

∂2ρ′

∂2t+

(∂p/∂s)ρ

ρ0T0

∂Qw

∂t(2.11)

L’eliminazione delle fluttuazioni di densita dalle equazioni (2.10) (2.11)fornisce un’equazione dell’onda non omogenea:

1c20

∂2p′

∂2t−∇2p′ = q (2.12)

q =(∂p/∂s)ρ

ρ0c20T0

∂Qw

∂t−∇ · f (2.13)

Il primo termine di sorgente corrisponde alla dilatazione del fluido dovutoad un trasferimento di calore presente in processi come la combustione nonstazionaria. Il secondo termine descrive la produzione di suono dovuto a uncampo di forze esterne non stazionario. In assenza del termine di sorgente,q = 0, il campo di suono e dovuto alle perturbazioni iniziali o condizioni alcontorno [6].

2.1.3 Funzione di Green e formulazione integrale

Si puo ottenere, usando il teorema di Green, un’equazione integrale cheinclude gli effetti delle sorgenti, delle condizioni iniziali e al contorno sulcampo acustico. La funzione di Green G(x, t|y, τ) e definita come la rispostadel flusso ad una sorgente puntuale impulsiva rappresentata dalla funzionedelta di Dirac dello spazio e del tempo:

1c20

∂2G

∂2t−∇2G′ = δ(x− y)δ(t− τ) (2.14)


dove δ(x− y) = δ(x1 − y1)δ(x2 − y2)δ(x3 − y3).La definizione della funzione di Green G e completata specificando le

condizioni al contorno sulla superficie S con normale esterna n che racchiudela sorgente posizionata in y e l’osservatore (ascoltatore) posizionato in x.Una condizione al contorno abbstanza generale e la relazione lineare tra ilvalore della funzione di Green G alla superficie S e quello di n ·∇G calcolatonello stesso punto. Se tale relazione e una proprieta della superficie edindipendente da G, la superficie e localmente reagente.

Si considera una funzione di Green che non soddisfa necessariamente lereali condizioni al contorno e una sorgente che non necessariamente scompareprima dell’istante t0. La soluzione per l’equazione dell’onda (2.12) e:

p′(x′, t) =∫ t

t0

∫

Vq(y, t)G(x, t|y, τ) dVydτ

+∫ t

t0

∫

S(G(x, t|y, τ)∇yp

′ − p′(y, t)∇yG) · n dSydτ

+1c20

∫

V

[G(x, t|y, τ)

∂p′

∂τ− p′(y, t)

∂G

∂τ

]

τ=t0

dVy

(2.15)

dove dVy = dy1dy2dy3. Il primo integrale e la convoluzione del terminedi sorgente q con la funzione di Green. Il secondo integrale rappresental’effetto della differenza tra le condizioni al contorno reali sulla superficie Se la condizione applicata sulla funzione di Green. Quando la funzione diGreen soddisfa le stesse condizioni lineari del campo, tale integrale svanisce.In questo caso si dice che la funzione di Green e tailored. L’ultimo integralerappresenta il contributo delle condizioni iniziali all’istante iniziale t0 sulcampo acustico. Se q = 0 e p′ = 0 prima di un certo tempo, si puo sceglieret0 = −∞ e si trascura quest’ultimo termine.Si fa presente che nell’ equazione (2.15) si e fatto uso della proprieta direciprocita della funzione di Green:

G(x, t|y, τ) = G(y,−τ |x,−t) (2.16)

Per la simmetria dell’operatore d’onda considerato, la risposta acusticamisurata in x al tempo t della sorgente posizionata al tempo τ e uguale allarisposta in y al tempo −τ di una sorgente posta in x al tempo −t. Il cambiodi segno del tempo t → −τ e di τ → −t e necessariamente nel rispetto dellacausalita [6].

2.1.4 Problema inverso e unicita della sorgente

Si puo dimostrare che per assegnate condizioni al contorno e per una datasorgente q(x, t) l’equazione dell’onda ha una soluzione unica. Allo stesso


tempo sorgenti differenti possono creare lo stesso campo acustico. La nonunicita della sorgente e dimostrata matematicamente dal seguente esempiodi Ffowcs Williams. Si assume che p′(x, t) sia una soluzione dell’equazionedell’onda non omogenea:

1c20

∂2p′

∂2t−∇2p′ = q(x, t) (2.17)

nella quale q(x, t) 6= 0 in un volume limitato V , al di fuori del quale lasorgente scompare (q(x, t) = 0). Come conseguenza si ha che p′+ q = p′ perogni x non appartenente V . In ogni caso, p′ + q soddisfa l’equazione:

1c20

∂2(p′ + q)∂2t

−∇2(p′ + q) = q(x, t) +1c20

∂2q

∂2t−∇2q (2.18)

che ha in generale un termine di sorgente diverso dalla (2.17).E’ necessario un modello fisico della sorgente per poterla determinare da

un qualsiasi campo acustico misurato al di fuori della regione di sorgente.Cio e tipico per ogni problema inverso in cui la soluzione non e unica [6].

2.1.5 Soluzioni elemetari dell’equazione dell’onda

Si considerano l’equazione dell’onda omogenea (q = 0):

1c20

∂2p′

∂2t−∇2p′ = 0 (2.19)

e due soluzioni elementari ad essa associate:

• onda piana

• onda sferica simmetrica

Per entrambi i casi si assume che queste onde siano state generate da al-cune condizioni iniziali e finali. Si considera che la loro propagazione avvengaattraverso un fluido in quiete esteso all’infinito, detto spazio libero.Le onde piane sono uniformi in ogni piano normale alla direzione di propagazione.Si assume che le onde propaghino nella direzione x1, nella quale p′ = p′(x1, t)e l’equazione dell’onda si riduce a:

1c20

∂2p′

∂2t− ∂2p′

∂x21

= 0 (2.20)

Questa equazione dell’onda 1D ha la soluzione di d’Alambert:


p′ = F(

t− x1

c0

)+ G

(t +

x1

c0

)(2.21)

dove F rappresenta un’onda che viaggia nel verso positivo di x1 e Gun’onda che viaggia nel verso opposto. Tali funzioni sono determinate dallecondizioni iniziali e al contorno. Si considera ad esempio il campo acusticogenerato da un piano infinito che oscilla intorno a x1 = 0 con una velocitau0(t) nella direzione x1. Nell’approssimazione lineare v′1(0, t) = u0(t), cioela velocita acustica a x1 = 0 e uguale alla velocita della parete. E’ inoltreimplicito nella definizione di spazio libero che non vengono generate ondeall’infinito. Si ha per x1 > 0 che G = 0. Usando le equazioni del motolinearizzate (2.8) in assenza di un campo di forze esterne f = 0:

ρ0∂v1

∂t= − ∂p′

∂x1(2.22)

troviamo

p′ = ρ0c0v′1 (2.23)

La quantita ρ0c0 e detta impedenza acustica del fluido. Usando la con-dizione al contorno v′1(0, t) = u0(t) e p′(x1, t) = F(t − x1/c0) troviamo lasoluzione:

p′ = ρ0c0u0(t− x1/c0) (2.24)

per x1 > 0. Questa equazione stabilisce che le perturbazioni osservateal tempo t alla posizione x1, sono generate alla parete x1 = 0 al tempot − x1/c0. Il tempo te = t − x1/c0 e chiamato tempo di emissione o tempodi ritardo. In modo simile si trova:

p′ = −ρ0c0u0(t + x1/c0) (2.25)

per x1 < 0 se la parete ha spessore nullo e perturba il fluido su entrambii lati. In analogia con la (2.21), si trova la soluzione dell’onda piana chepropaga nella direzione data dal versore n:

p′ = F(

t− n · xc0

)(2.26)

Per il particolare caso di onde armoniche la soluzione di onda piana escritta nella notazione complessa nel seguente modo:


p′ = Re(pe(iωt−ik·x)

)

= Re(p) cos(ωt− k · x)− Im(p) cos(ωt− k · x)(2.27)

dove k = kn e il vettore d’onda, k = ω/c0 e il numero d’onda e p el’ampiezza.

Con un’analisi alla Fourier nel tempo, un’arbitraria dipendenza dal tem-po puo essere espressa come sommatoria o integrale di funzioni armoniche.In modo analogo la distribuzione spaziale puo essere sviluppata in terminidi onde piane.Un’altra importante soluzione elementare dell’equazione dell’onda omogenea(2.19) e l’onda a simmetria sferica. In questo caso la pressione e unicamentefunzione del tempo e della distanza r dall’origine, p′(r, t). Identificando∇2F (r) = 1

r2∂∂r

(r2 ∂F

∂r

)= 1

r2∂2rF∂r2 , l’equazione dell’onda (2.19) si riduce per

r > 0 a:

1c20

∂2p′r∂2t

− ∂2p′r∂2r

= 0 (2.28)

Si nota che per r = 0 l’equazione e singolare: cio corrisponde allapresenza di una sorgente puntiforme. L’equazione (2.28) implica che ilprodotto p′r della pressione p′ e del raggio r, soddisfa l’equazione dell’ondaunidimensionale, e puo essere espressa come una soluzione di D’Alambert:

p′ =1r

[F

(t− r

c0

)+ G

(t +

r

c0

)](2.29)

nella quale F rappresenta le onde outgoing e G rappresenta le ondeincoming. In molte applicazioni si assume che G = 0, tale condizioneviene chiamata free-field. Si pone l’attenzione sul comportamento delle ondearmoniche outgoing :

p′ =A

reiωt−ikr (2.30)

dove A e l’ampiezza e k = ω/c0 e il numero d’onda. La velocita ra-diale della particella fluida v′r associata all’onda puo essere calcolata con lacomponente radiale della quantita di moto (2.8):

ρ0∂v′r∂t

= −∂p′

∂r(2.31)


si trova:

v′r =p′

ρ0c0

(1− i

kr

)(2.32)

Ad una distanza r grande rispetto la lunghezza d’onda λ = 2π/k(kr =2πr/λ À 1) si trova lo stesso comportamento dell’onda piana. La variazionespaziale dovuta all’onda armonica domina sull’espansione radiale. Questoviene detto comportamento far-field. In contrasto con questo, per kr ¿ 1si ha il comportamento near field dove la velocita v′r e inversamente pro-porzionale al quadrato della distanza r. Questo rappresenta il comportamen-to di una flusso incomprimibile. Sulle piccole distanze la velocita del suonoe effettivamente infinita perche ogni pertubazione arriva senza alcun ritardonel tempo. Come risultato, il flusso di massa e conservato e la quantita v′rr2 ecostante. Cio puo essere capito dall’osservazione che

[1c20

∂2p′∂2t

− ∂2p′∂2r

]∼ (kr)2

e cosı l’equazione dell’onda si riduce all’equazione di Laplace ∇2p′ = 0 perkr → 0.Le onde sferiche outgoing corrispondono a un campo di suono di monopolo.Tale campo e generato da una sfera di raggio a che pulsa armonicamente:

a = a0 + aeiωt (2.33)

nell’approssimazione lineare (in a/a0) si ha:

vr(a0) = iωa (2.34)

combinando queste condizioni al contorno con le equazioni (2.30) e (2.32)si ottiene l’ampiezza A dell’onda:

p′ = −ρ0ω2a0a

1 + ika0

a0

re[iωt−ik(r−a0)] (2.35)

Nel limite delle basse frequenze ka0 ¿ 1 si osserva che l’ampiezza delcampo di suono diminuisce con la frequenza. Se il flusso di massa ΦV =4πa2

0v′r(a0) = 4πia2

0ωa, generato alla superficie della sfera, e mantenutocostante la pressione del suono p′ decresce linearmente al diminuire dellafrequenza:

p′ =iρ0ωΦV

4πreiωt−ik(r−a0) (2.36)

Un campo di monopolo puo ad esempio essere generato da una combus-tione non stazionaria, che corrisponde al termine della sorgente di entropia


nell’equazione dell’onda. Cio avviene in particolare per una combustionea simmetria sferica. In generale un campo di monopolo dominera quandola regione di sorgente sara piccola se comparata con la lunghezza dell’ondaacustica ka0 ¿ 1. Una regione piccola rispetto la lungezza d’onda e dettaregione compatta. Si e visto che una sfera compatta pulsante e una sorgentedi suono piuttosto inefficiente in condizioni di flusso indisturbato. Formal-mente, un monopolo corrisponde ad una sorgente di volume localizzato o aduna sorgente puntuale alla posizione y:

q(x, t) =∂ΦV

∂tδ(x− y) (2.37)

La derivata nel tempo nel termine di sorgente dell’equazione (2.37) ri-flette il fatto che un flusso stazionario non produce suono.

Usando la soluzione del monopolo (2.30) si possono costruire soluzionipiu complesse. Se p′ e una soluzione dell’equazione dell’onda (2.19), ancheciascuna derivata spaziale ∂p′0

∂xie soluzione perche l’equazione dell’onda ha

coefficienti costanti e le derivate possono essere scambiate. Una derivataspaziale del primo ordine di un monopolo e un dipolo, le derivate secondesono quadrupoli.

Un esempio di dipolo e il campo acustico generato da una sfera rigidache trasla armonicamente in una certa direzione x1 con una velocita vse

iωt.La velocita radiale v′r(a0, θ) sulla superficie della sfera e data da:

v′r(a0, θ) = vscosθ (2.38)

dove θ e l’angolo formato dalla direzione del vettore posizione sulla sferae la direzione di traslazione x1. Si ha dunque la seguente identita:

∂r

∂x1=

∂

∂x1

√x2

1 + x22 + x2

3 =x1

r= cosθ (2.39)

si puo scrivere per un campo di dipolo:

p′ = A∂

∂x1

(e−ikr

r

)= Acosθ

∂

∂r

(e−ikr

r

)(2.40)

Sostituendo l’equazione (2.40) nell’equazione della quantita di moto (2.31)si ottiene:

iωρ0vr = −Acosθ∂2

∂r2

(e−ikr

r

)(2.41)

Si applica questa equazione a r = a0. Confrontando con l’equazione(2.39) si ha:


p′ =iωρ0vsa0cosθ

2 + 2ika0 − (ka0)2(1 + ikr)

(a0

r

)2e−ik(r−a0) (2.42)

Un altro esempio e il campo p′ generato da un campo di forze nonstazionario e non uniforme f = (f1, f2, f3). Seguendo l’equazione (2.12)si ha:

1c20

∂2p′

∂2t−∇2p′ = −∇ · f (2.43)

Si assume che si e ottenuta la soluzione F1 dell’equazione dell’onda nellospazio libero la quale soddisfa:

1c20

∂2F1

∂2t−∇2F1 = −f1 (2.44)

si trova poi la soluzione dell’equazione (2.43) facendo la derivata nellospazio di F1

p′ =∂F1

∂x1(2.45)

cio indica che il campo di dipolo e legato alle forze esercitate sul flusso.Un altro modo per dedurre la relazione tra le forze e i campi di dipolo e

di considerare il dipolo come un campo ottenuto posizionando due monopoliopposti di ampiezza Φv alla distanza ∆y1 l’uno dall’altro. Facendo il limite∆y1 → 0 mentre si mantiene costante il prodotto Φv∆y1 si ha un campo didipolo. Come nello spazio libero la variazione della posizione della sorgentey e equivalente al cambiamento della posizione dell’ascoltatore x, e ovvio chequesto limite si riferisce alle derivate spaziali del campo di monopolo. Se siconsiderano le due sorgenti che costituiscono il dipolo oscillanti , ci sara unflusso di massa Φv da una sorgente all’altra. Tale flusso non stazionario eassociato ad uno scambio di quantita di moto non stazionario che, seguendola legge di Newton, deve essere prodotto da forze esterne sul flusso [6].

2.1.6 Energia acustica e impedenza

La definizione dell’ energia acustica non e cosı ovvia quando si considerail campo acustico sulla base delle equazioni linearizzate. L’energia e essen-zialmente quadratica nelle perturbazioni. Il problema e stato oggetto dinumerose discussioni in letteratura. In particolare, nel caso dell’acustica diun fluido in quiete, l’approccio fornito da Kirchhoff basato sulle equazioni


linearizzate (2.8), risulta equivalente al risultato ottenuto dall’espansione fi-no al secondo ordine dell’equazione dell’energia (1.14). Dopo l’eliminazionedella densita usando l’equazione costitutiva si puo scrivere la conservazionedella massa linearizzata nella forma:

1c20

∂p′

∂t+ ρ0∇ · v =

1c20

(∂p

∂s

)

ρ

∂s′

∂t(2.46)

e l’equazione della quantita di moto nella forma:

ρ0∂v′

∂t+∇p′ = f. (2.47)

Moltiplicando l’equazione (2.46) per p′/ρ0 e sommando il risultato alladivergenza dell’equazione (2.47) si ottiene l’equazione dell’energia acustica

∂E

∂t+∇ · I = −D (2.48)

dove si e definita l’energia acustica E nel seguente modo:

E =12ρ0v

′2 +12

p′2

ρ0c20

. (2.49)

L’intesita I e definita come:

I = p′v′ (2.50)

e identificata come la densita dell’energia acustica. La dissipazione D ela potenza per unita di volume fornita dal campo acustico alle sorgenti:

D = − 1ρ0c2

0

(∂p

∂s

)

ρ

p′∂s′

∂t− f · v′ (2.51)

Dalla conservazione della massa (2.46) vediamo che il termine di sorgente1

ρ0c20

(∂p∂s

)ρ

∂s′∂t e legato al rateo di dilatazione indotto dalla sorgente. Cio

implica che il primo termine nella dissipazione e legato al lavoro del campoacustico dovuto alle variazioni di volume (dW = p′dV ).Per campi che oscillano armonicamente p′ = peiωt, v′ = veiωt la media neltempo 〈E〉 dell’energia acustica e, ovviamente, indipendente dal tempo

〈E〉 =ω

2π

∫ 2π/ω

0E dt (2.52)


cosı l’equazione dell’energia (2.48) si riduce a:

∇ · 〈I〉 = −〈D〉. (2.53)

Dall’integrazione di questa equazione su un volume che racchiude lesorgenti, si trova la potenza di sorgente

〈P 〉 = −∫

V〈D〉 dV =

∫

S〈I〉 · n dS (2.54)

dove n e la normale esterna sulla superficie di controllo S. Se si assumeuna impedenza come condizione al contorno sulla superficie S:

Z(ω) =p

v · n (2.55)

si ha:

〈I〉 · n =12Re(Z)|v · n|2. (2.56)

La parte reale della impedenza Re(Z) e associata al trasporto di energiaacustica attraverso la superficie S. La parte immaginaria e associata alledifferenze di pressione indotte dall’inerzia del flusso.

Si puo facilmente verificare usando l’equazione (2.54) che la soluzionedell’onda a simmetria sferica (2.30) soddisfa la legge di conservazione del-l’energia acustica. La dipendenza della pressione da r−1 (2.29) risulta, inun’onda outgoing, in un valore costante di 4πr2〈I〉 · n.

Per illustrare cio si considera l’impedenza di una sfera pulsante di raggioa0. Dall’equazione (2.35) si trova che l’impedenza Z sulla superficie dellasfera e:

Z =p

vr=

ρ0c0

1 + 1(ka0)2

(1 +

i

ka0

)(2.57)

La parte reale e data da

Re(Z) = ρ0c0(ka0)2

1 + (ka0)2. (2.58)

Si osserva che per una sfera larga ka0 À 1 l’impedenza e uguale a ρ0c0.Per una sfera compatta ka0 ¿ 1 si osserva che Re(Z) ' ρ0c0(ka0)2 cheimplica un trasferimento di energia molto piccolo e quindi una sorgente di


suono inefficiente. La parte immaginaria Im(Z) dell’impedenza della sferadata da:

Im(Z) = ρ0c0ka0

1 + (ka0)2, (2.59)

scompare per ka0 → ∞. Per una sfera compatta, ka0 ¿ 1 cio cor-risponde alla pressione calcolata attraverso l’ equazione linearizzata di Bernoul-li (1.50) se si assume l’ipotesi di flusso imcoprimibile vr = iωa(a0/r) intornola sfera.

Si nota che affinche una sorgente con volume non nullo fornisca energiaacustica e necessario che sia circondata da un campo ad elevata pressione.Cio si verifica quando e circondata da una superficie con la parte reale del-l’impedenza grande.Un campo di forze necessita di una elevata fluttuazione di velocita per pro-durre in modo efficiente energia. Cio corrisponde ad avere un valore altodella parte reale dell’ammetenza Y = 1/Z [6].

2.1.7 La funzione di Green nello spazio libero

La funzione di Green nello spazio libero G0 e il campo acustico in x al tempot generato da un impulso δ(x−y)δ(t− τ) in y al tempo τ . Per calcolare G0

si fara uso della traformata di Fourier:

G(x, ω|y, τ) =12π

∫ ∞

−∞G(x, ω|y, τ)e−iωtdt (2.60)

G(x, ω|y, τ) =12π

∫ ∞

−∞G(x, ω|y, τ)eiωtdω (2.61)

Si considera la soluzione dell’onda a simmetria sferica (2.30)

G0 =A

re−ikr dove r =‖ x− y‖ (2.62)

Per determinare l’ampiezza A si integra l’equazione (2.13) su una sferacompatta di raggio a0 in y. Utilizzando le proprieta della funzione delta siha:

− eiωt

2π=

∫

V(k2G0 +∇2G0) dV '

∫

V∇2G0 dV =

∫

S

∂G0

∂rdS = 4πa2

0

(∂G0

∂r

)

r=a0

(2.63)


utilizzando l’approssimazione (∂G0∂r )r=a0 ' −A/a2

0 si puo calcolare l’ampiez-za A e si trova

G0 =1

8π2re−iωτ−ir/c0 (2.64)

quindi

G0 =1

4πrδ(t− τ − r/c0) (2.65)

si osserva al tempo t alla distanza r dalla sorgente un impulso checorrisponde all’emissione avvenuta al tempo di emissione:

te = t− r

c0(2.66)

Dato che G0 dipende dalla distanza r =‖ x-y‖ piuttosto che dai singolivalori di x e y, essa non solo soddisfa la relazione di reciprocita (2.16) maanche quella di simmetria:

∂G0

∂xi=

∂G0

∂r

∂r

∂xi= −∂G0

∂r

∂r

∂yi= −∂G0

∂yi(2.67)

avvicinare la sorgente all’ascoltatore ha lo stesso effetto che avvicinarel’ascoltatore alla sorgente ∂r

∂xi= − ∂r

∂yi[6].

2.1.8 Espansione di multipolo

Si puo usare la funzione di Green nello spazio libero G0 per ottenere unadefinizione formale di monopolo, dipolo etc. attraveso la sua espansionein serie di Taylor. Si considera il far field p’ nello spazio libero di unadistribuzione di sorgente compatta q(x, t). Per derivare l’espansione generaledi multipolo si considera il campo ad una unica frequenza. Usando:

G0(x|y) =e−ikr

4πr(2.68)

si trova che il campo acustico per una distribuzione di sorgente armonicanel tempo q(x)eiωt in un volume finito V e dato da:

p′ =∫

Vq(y)G0(x|y) dVy =

∫

Vq(y)

e−ikr

4πrdVy (2.69)

Si assume che l’origine sia in V . Si e interessati al far field, quindi ‖x‖ egrande, la sorgente compatta, cioe kL e piccola dove L e il diametro di V Si


e interessati alle proprieta di irraggiamento della sorgente, che corrispondealla condizione k‖x‖ ≥ O(1), si mantiene, dunque, il prodotto kx costante.In questo caso il limite di avere un k piccolo e lo stesso di avere y piccolo, esi esprime in serie di Taylor intorno a y=0

r = (‖x‖2 − 2(x · y) + ‖y‖2)1/2 = ‖x‖2

(1− x · y

‖x‖2+‖y2‖2‖x‖2

− (x · y)2

2‖x‖4+ ...

)

= ‖x‖2

(1− y

xcosθ +

12

||y2||||x2||sin

2θ + ...

)(2.70)

dove θ e l’angolo tra x e y e :

e−ikr

r=

e−ik‖x‖

‖x‖

1 + (1 + ik‖x‖) 1

|x‖2

3∑

j=1

xjyj + ...

=∞∑

l,m,n=0

yl1y

m2 yn

3

l!m!n!

[∂l+m+n

∂yl1∂ym

2 ∂yn3

e−ikr

r

]

y1=y2=y3=0

(2.71)

utilizzando la simmetria di r rispetto a x e y, questo e equivalente a

e−ikr

r=

∞∑

l,m,n=0

(−1)l+m+n yl1y

m2 yn

3

l!m!n!∂l+m+n

∂xl1∂xm

2 ∂xn3

[e−ik‖x‖

|x‖

](2.72)

Il campo acustico e dato da

p′ =14π

∞∑

l,m,n=0

(−1)l+m+n

l!m!n!

∫

Vyl1y

m2 yn

3 q(y) dy∂l+m+n

∂xl1∂xm

2 ∂xn3

[e−ik‖x‖

|x‖

](2.73)

Ciascun termine dell’espansione e esso stesso soluzione dell’equazionedell’onda ridotta, questa serie fornisce una rappresentazione nella quale lasorgente e scritta come somma di sorgenti elementari (monopolo, dipoli,quindi multipoli) posta all’origine y = 0. L’espressione (2.73) e l’ espansionedi multipolo del campo di una sorgente finita nel dominio di Fourier. Da talerisultato si ottiene l’espansione nel dominio del tempo.

Dalla formulazione integrale (2.15) si ha il campo acustico dalla sorgenteq(x, t)

p′ =∫ ∞

−∞

∫

Vq(y, t)

δ(t− τ − r/c0)4πr

dydτ =∫

V

q(y, t− r/c0)4πr

dy (2.74)


Se le frequenze che dominano nello spettro sono basse, tali che ωL/a0

sia piccolo, si ottiene dalla serie di Fourier (2.73) l’espansione di multipolonel dominio del tempo:

p′ =14π

∞∑

l,m,n=0

(−1)l+m+n

l!m!n!∂l+m+n

∂xl1∂xm

2 ∂xn3

[1‖x‖

∫

Vyl1y

m2 yn

3 q(y, te) dy]

=∞∑

l,m,n=0

∂l+m+n

∂xl1∂xm

2 ∂xn3

[(−1)l+m+n

4π‖x‖ µlmn(te)] (2.75)

dove te = t− ‖x‖/c0 e il tempo di emissione e µlmn e definita da:

µlmn =∫

V

yl1y

m2 yn

3

l!m!n!q(y, t) dy. (2.76)

L’(lmn) − imo componente dell’espansione (2.75) e detto multipolo diordine 2l+m+n. Il termine di secondo ordine corrisponde ad un monopolo.

Dato che ciascun termine e solo funzione di ‖x‖, le derivate parzialirispetto a xi possono essere riscritte in espressioni contenenti ‖x‖, piuttostocomplicate. Si ha una semplificazione per grandi ‖x‖ poiche [6]:

∂

∂xl

(1‖x‖µ(te)

)=

(−µ(te)′

c0‖x‖ −µ(te)‖x‖2

)xl

‖x‖' −µ(te)′

c0‖x‖xl

‖x‖ = − xl

c0‖x‖∂

∂tµ(te)

(2.77)

cio porta a:

p′ '∞∑

l,m,n=0

xl1x

m2 xn

3

4π(c0‖x‖)l+m+n‖x‖∂l+m+n

∂tl+m+nµlmn(te), (|x‖ → ∞) (2.78)

2.1.9 Effetto Doppler

Si puo usare il formalismo della funzione di Green per determinare l’effettodel moto della sorgente sul campo di suono generato. Si considera unasorgente puntuale localizzata al punto xs(t):

q(x, t) = Q(t)δ(x− xs(t)) (2.79)

Per condizioni di campo libero, usando l’equazione (2.65), si trova:


p′(x, t) =∫ ∞

−∞

∫

v

Q(τδ

(y− xs(τ)4π‖y− x‖δ(

t− tau− ‖y− x‖c0

)dVydτ(2.80)

Dopo l’integrazione sullo spazio, usando la proprieta della funzione delta,si ottiene:

p′(x, t) =∫ ∞

−∞

Q(τ)4πR

δ

(t− τ − R

c0

)dτ (2.81)

dove

R(τ,x) = x− xs(τ), R = ‖R‖. (2.82)

I contributi dell’integrale sono limitati agli zeri dell’argomento dellafunzione delta. In altre parole, questo e un integrale del tipo

∫ ∞

−∞F (τ)δ(g(τ))dτ

=∑

n

∫ tn+ε

tn−εF (τ)δ((τ − tn)

d

dτg(tn))dτ =

∑n

T (tn)| ddτ g(tn)|

(2.83)

dove τ = tn corrisponde alla radice fi g(τ). Nella presente applicazionedi ha:

g(τ) = t− τ − R(τ,x)c0

(2.84)

e dunque

dg

dτ= −1 +

R · vs

Rc0= −1 + Mr, dove vs =

dxs

dτ(2.85)

e Mr e la componente della velocita vs nella direzione dell’ascoltatorescalata con la velocita del suono c0, detta numero di Mach relativo della sor-gente il quale e positivo per sorgenti che si avvicinano all’osservatore. Si puodimostrare che per velocita della sorgente subsoniche |Mr| < 1, l’equazioneg(te) = 0 o

c0(t− te) = R(te,x) (2.86)

ha un’unica radice, che viene identificata come il tempo di emissione te.Si trova per il campo acustico il potenziale di Lienard-Wiechert

2.2. LE ANALOGIE DELL’AEROACUSTICA 39

p′(x, t) =Q(te)

4πR(1−Mr)(2.87)

Quando la sorgente si muove con velocita supersoniche lungo una curva sipuo avere una soluzione multipla di te. Cio determina una concentrazione disuono in una certa regione dello spazio, determinando il cosiddetto fenomenodel super-bang.L’aumento (se c’e avvicinamento) o la diminuzione (se c’e allontanamento)dell’ampiezza e detto effetto Doppler e il fattore (1−Mr)−1 e detto fattoreDoppler. Per una sorgente di suono che oscilla armonicamente con frequenzaω che e alta se comparata alla variazioni di velocita della sorgente di suono,l’ascoltatore osserva al tempo t una frequenza

d(ωte)dt

=ω

1−Mr. (2.88)

Il membro a destra e ottenuto dalla differenzazione implicita della (2.87).La frequenza osservata e dunque quella emessa moltiplicata per il fattoreDoppler [6].

2.2 Le analogie dell’aeroacustica

2.2.1 L’analogia di Lighthill

Si assume che l’ascoltatore sia circondato da un fluido di riferimento in quiete(p0, ρ0, s0, c0 uniformemente costanti e v0 = 0) nel quale le piccole pertur-bazioni seguono esattamente l’equazione dell’onda (2.19). L’idea chiave diLighthill [9] e quella di ricavare, a partire dall’equazione della massa (1.10)con Qm = 0 e da quella della quantita di moto (1.12), un’equazione d’ondanon omogenea che si riduce a quella omogenea (2.19) nella regione che cir-conda l’ascoltatore.

Facendo la derivata nel tempo dell’equazione di conservazione della mas-sa (1.10) e sottraendo da questa la divergenza dell’equazione della quantitadi moto (1.12) si ottiene:

∂2ρ

∂2t=

∂2

∂xi∂xj(Pij + ρvivj)− ∂fi

∂xi. (2.89)

aggiungendo il termine c−20

∂2p′∂t2

ad entrambi i membri e utilizzando ladefinizione (1.13) si puo scrivere la (2.89) nel seguente modo:


1c20

∂2p′

∂2t− ∂2p′

∂x2i

=∂2

∂xi∂xj(ρvivj − σij)− ∂fi

∂xi+

∂2

∂t2

(p′

c20

− ρ′)

(2.90)

nella quale le perturbazioni p′ e ρ′ sono definite da:

p′ = p− p0 e ρ′ = ρ− ρ0 (2.91)

Questa equazione e chiamata analogia di Lighthill. Si nota che le quan-tita ρ′/ρ e p′/p0 sono piccole nella regione di sorgente. L’equazione (2.90)e esatta ed e valida per qualsiasi valore di c0. Scegliendo come valori di p0

e c0 quelli del fluido di riferimento che circonda l’ascoltatore, si ottiene l’e-quazione (2.19) poiche il membro a destra e trascurabile. Quindi l’equazione(2.90) e una generalizzazione della (2.12).Tale considerazione implica che la (2.90) non introduce nessuna approssi-mazione, ma e esatta. Inoltre tale equazione non aggiunge altre informazionia quelle contenute nelle equazioni di conservazione della massa (1.10) e dellaquantita di moto (1.12). Si e partiti, infatti, da quattro equazioni esatte(1.10) e (1.12) con undici incognite (vi, p, ρ, σij) che con la (2.90) rimangonole stesse. Per ottenere la soluzione del problema sono quindi necessarie delleinformazioni aggiuntive.Nel secondo membro della (2.90) il termine ∂2

∂t2

(∂p′c20− ρ′

)e una generaliz-

zazione del termine di produzione dell’energia nell’equazione (2.12) e includegli effetti dovuti alla convezione delle non uniformita dell’entropia.L’azione delle forze esterne f e la stessa in entrambi le equazioni (2.12) e(2.90). Una forza arbitraria aggiuntiva puo tenere conto degli effetti ad-dizionali degli altri termini presenti nel secondo membro della (2.90).Si osservano gli stress viscosi σij indotti dal trasporto molecolare della quan-tita di moto e gli stress di Reynolds ρvivj che tengono conto della convezionenon lineare della quantita di moto.Una delle idee centrali di Lighthill e che se il termine di entropia e le forzeesterne sono trascurabili il flusso produce suono solo alle alte velocita, incorrispondenza di elevati numeri di Reynolds.Lighthill osserva anche che se gli effetti viscosi non sono importanti la sor-gente di suono e costituita dagli effetti della convezione non lineare

(∂ρvivj

∂xi∂xj

).

Si ipotizza, in molti casi, che il feedback dal campo acustico alla sorgente siatrascurabile. Si puo cosı calcolare il termine di sorgente dalla simulazionenumerica che ignora la propagazione di onde acustiche e successivamentela produzione di suono. Nelle condizioni limite di numeri di Mach bassi,una simulazione di flusso incomprimibile della sorgente puo essere usata perpredirre il campo di suono che e comprimibile.L’equazione (2.90) puo essere risolta nella formulazione integrale (2.15) che


ha il vantaggio di ridurre l’effetto degli errori di tipo random nella deter-minazione del campo acustico. Questa, inoltre, insieme alla analogia diLighthill ci permette di ottenere il massimo delle informazioni sulla pro-duzione del suono per un dato campo di flusso.

Un significativo esempio della validita dell’analogia e la valutazione del-l’energia irradiata nello spazio libero dal flusso isotermo di un getto pro-porzionale a U8

0 .La soluzione e ottenuta da quella formale nelle condizioni di spazio libero:

p′(v, t) =∂2

∂xi∂xj

∫ ∞

−∞

∫

Vρvivj

δ(t− τ − r

c0

)

4πrdVydτ

=∂2

∂xi∂xj

∫

V

[ρvivj

4πr

]t=te

dVy

(2.92)

dove r = ‖x − y‖ e te = t − r/c0. Assumendo che il suono e prodottoprincipalmete dalle stutture turbolente grandi, cioe dell’ordine di grandezzadella dimensione caratteristica del getto D, si stima la frequenza f = U0/D,dove U0 e la velocita nella sezione di uscita dell’ugello. In questo modo ilrapporto tra il diametro del getto e la lunghezza d’onda Df/c0 = U0/c0 =M . Cio implica che a bassi numeri di Mach si trascurano le variazione deltempo di ritardo te se la regione di sorgente e limitata a poche diametri. Datoche la potenza acustica si riduce drasticamente al diminuire della velocita delflusso, si considera una sorgente con un volume dell’ordine di D3. Risultache v ∼ U0 e ρ ∼ ρ0 quindi si puo assumere che ρvivj ∼ ρ0U

20 . Con

l’approssimazione ∂/∂xi = −∂/(c0∂t) ∼ 2πf/c0 si trova:

p′(x, t) ∼ ρ0U20 M2 D

‖x‖ (2.93)

dove si e ignorato l’effetto della convezione sulla produzione di suono [5], la potenza irradiata e:

〈I〉 ' 4π‖x2‖〈p′v′r〉 ∼ ρ0U30 M5D2 ∼ U8

0 (2.94)

Tale legge e accurata per un getto libero subsonico e isotermo ed implicache si ha una drammatica riduzione del suono di un aircraft riducendo ilnumero di Mach del flusso.L’analogia di Lighthill permetteva [13]di determinare un fenomeno fisicoprima che gli esperimenti fossero accurati per verificarlo e cio la rese famosa.Si e fino ad ora trascurato ogni contributo dalle fluttuazioni di entropia odalle forze esterne. Cio implica che se si utilizzano come input i dati ottenuti


da una simulazione numerica che tiene conto di una forte dissipazione e diforze spurie, si vogliono ottenere le stesse leggi di proporzionalita.Dato che l’ampiezza della pressione acustica generata da un monopolo e daun dipolo e rispettivamente proporzionale a M2 e M3, queste forze spurienon influiscono sull’ampiezza del suono.Le simulazioni di produzione del suono di un flusso subsonico in condizionidi campo libero vengono ottenute ad elevati numeri di Mach (/M ' 0.9).In presenza di pareti la produzione di suono cresce notevolmente [6].

2.2.2 La formulazione di Curle

Si considera la funzione di Green nello spazio libero G0 (2.65) e come va-riabile aeroacustica la densita ρ′ al posto della pressione p′. Sottraendo daentrambi i membri dell’equazione (2.89) il termine c2

0(/∂2ρ′/∂x2i ) si ottiene

l’analogia di Lighthill per la densita:

∂2ρ

∂2t− c2

0

∂2ρ′

∂x2i

=∂2Tij

∂xi∂xj− ∂fi

∂xi. (2.95)

dove il tensore di Lighthill e definito da:

Tij = Pij + ρvivj − c20ρδij (2.96)

Si assume che f = 0 e si pone l’attenzione su altre sorgenti di suono. Sie scelta la densita come variabile dipendente come aveva inizialmente fattoLighthill.

Si considera una superificie S con normale esterna n e si applica il teo-rema di Green (2.15) al volume V al di fuori di S. La normale n e direttaverso l’interno del volume V , cosı la convenzione del segno e opposta rispet-to a quella della (2.15). Attraverso l’integrazione e utilizzando le proprietadi simmetria ∂G0/∂xi = ∂G0/∂yi e ∂G0/∂τ = −∂G0/∂t della funzione diGreen G0 si ottiene:

p′(x, t) = c20ρ′(x, t) =

∂2

∂xi∂xj

∫

V

[Tij

4πr

]

τ=te

dVy

+∂

∂t

∫

S

[ ρvi

4πr

]τ=te

ni dS

− ∂

∂xj

∫

S

[Pij + ρvivj

4πr

]

t=te

ni dS

(2.97)

In questa equazione e presente l’assunzione che nella posizione dell’ascol-tatore p′ = c2

0ρ′.

Nell’approssimazione di far-field si trova (2.76):


p′(x, t) ' xixj

4π‖x‖3c20

∂2

∂t2

∫

V

[Tij

r

]

τ=te

dVy

+14π

∂

∂t

∫

S

[ρvi

r

]τ=te

ni dS

+xj

4π‖x‖2

∂

∂t

∫

S

[Pij + ρvivj

4πr

]

τ=te

ni dS

(2.98)

con te = t − ‖x‖/c0. Il secondo integrale e legato al campo di suono dimonopolo generato dal flusso di massa attraverso la superficie S. Il terzo edovuto al campo di suono di dipolo generato dalla forza istantanea −Fj disuperficie che circonda il fluido che e di fatto la reazione della superficie allaforza Fj = − ∫

S(Pij + ρvivj)ni dS esercitata dal flusso sulla superficie stessa[6].

2.2.3 La formulazione di Ffowcs Williams-Hawkings

La formulazione di Ffowcs Williams-Hawkings prevede la presenza di unasuperficie di controllo S(t), che non risulta piu dunque fissa come nella for-mulazione di Curle. L’idea e quella di introdurre gli effetti della superficienella equazione differenziale (2.95).

Si considera che il volume B(t) racchiuso nella superficie S(t) e la super-ficie stessa siano tali da consentire la definizione di una funzione continuah(x, t) tale che:

h(x, t) < 0 se x ∈ B(t)h(x, t) = 0 se x ∈ S(t)h(x, t) > 0 se al di fuori di B(t)

(2.99)

Tutte le proprieta fisiche, come ρ′, sono definite al di fuori di B(t). Siestende ora la loro definizione a tutto lo spazio dando il valore zero all’internodi B(t), cio e possibile considerando ρ′ definita con continuita ovunque.Moltiplicando per la funzione H(h) si crea una nuova variabile ρ′H(h) chee nulla nel volume B(t) (dove H(h) ≡ 0) ed e uguale a ρ′ al di fuori di B(t)(dove H(h) ≡ 1). Il successivo passaggio e di estendere le equazioni a tuttolo spazio. Per raggiungere questo obiettivo si ha bisogno della normale nalla superficie S(t), data da:

n =[ ∇h

‖∇h‖]

h=0

(2.100)


si assume che la superficie S(t) sia parametrizzata nel tempo e nellospazio dalle coordinate (t; λ, µ). Un punto xs(t) appartiene alla superficieS(t), con i parametri λ e µ fissati, se si muove con la velocita b.Si ha che h(xs, t) = 0 e

∂h

∂t= −b · ∇h = −(b · n)‖∇h‖. (2.101)

Dopo aver moltiplicato la conservazione della massa (1.10) e l’equazionedella quantita di moto (1.12) per H(h) si ottengono le seguenti equazioniche sono valide ovunque:

∂

∂t[ρ′H] +∇ · [ρvH] = [ρ0b + ρ(v− b)] · ∇H (2.102)

∂

∂t[ρvH] +∇ · [(P + vv)H] = [P + ρv(v− b] · ∇H (2.103)

Dato che ∇H = δ(h)∇h, le equazioni possono essere interpretate comeuna generalizzazione delle equazioni della massa e della quantita di motocon sorgenti di superficie su S. Usando le precedenti relazioni e seguendo laprocedura di Lighthill per la variabile acustica p′ = p− p0 si trova:

1c20

∂2

∂t2[p′H]−∇2[p′H] = ∇ · [∇ · [(ρvv− σ)H]

−∇ · [fH] +∂2

∂t2

[(p′

c20

− ρ′)

H

]

+∂

∂t[(ρ0b + ρ(v− b)) · ∇H]

∇ · [(p′I − σ + ρv(v− b)) · ∇H].

(2.104)

dove (Iij) = δij e p0 e il valore di rifermento della pressione. Si nota che∇·(∇·(p0IH)) = ∇·((p0I ·∇H)) e che per una superficie solida v ·n = b ·n.In questo caso applicando il teorema di Green e usando la funzione di Greennello spazio libero si tova:

p′(x, t) =∂2

∂xi∂xj

∫

<3

[(ρvivj − σij)H

4πr

]

τ=te

dVy − ∂

∂xi

∫

<3

[fH4πr

]

τ=te

dVy

+∂2

∂t2

∫

<3

[(p′/c2

0 − ρ′)H4πr

]

τ=te

dVy +∂

∂t

∫

S(te)

[ρ0b · n

4πr(1−Mr)

]

τ=te

dS

− ∂

∂xi

∫

S(te)

[p′ni − σijnj

4πr(1−Mr)

]

τ=te

dS

(2.105)


dove r = ‖x − y‖ e Mr = b · (x − y)/rc0 e si e usata la seguentegeneralizzazione dell’equazione (2.83)

∫

<g(x)δ(h(x)) dx =

∫

S

g(x)|∇h| dS. (2.106)

∫

<g · ∇H(h(x)) dx =

∫ 3

<(g · ∇h)δ(h) dx

=∫

S

g · ∇h

|∇h| dS =∫

Sg · n(x) dS

(2.107)

I primi tre integrali rappresentano i contributi nel flusso intorno la super-ficie S(t) mentre gli ultimi due integrali rappresentano una generalizzazionedel rumore e del suono prodotto dalle forze di superficie [6].

2.2.4 Scelta della variabile aeroacustica

Nella analogia di Lighthill e in quella di Ffowcs Williams-Hawkings si e uti-lizzata come variabile aeroacustica dipendente la pressione p′, nella formu-lazione di Curle la ρ′ legata alla precedente attraverso la relazione p′ = c2

0ρ′.

E’ necessario fare un’osservazione a partire dalle seguenti due equazioni:

1c20

∂2p′

∂2t− ∂2p′

∂x2i

=∂2


∂xi+

∂2

∂t2

(p′

c20

− ρ′)

(2.108)

e

∂2ρ′

∂2t− c2

0

∂2ρ′

∂x2i

=∂2


∂xi+

∂2

∂t2(p′ − c2

0ρ′) (2.109)

Queste due equazioni sono equivalenti. Si considerano noti i membri adestra e si ipotizza che agiscano come una data distribuzione di sorgente.In questo caso si osserva che quando p′ e usata come variabile aeroacustical’effetto delle fluttuazioni di entropia ∂2

∂t2

(p′c20− ρ′

)ha il carattere di quello

di una sorgente di un monopolo. Al contrario, quando la scelta ricade sullaρ′ il termine ∂2

∂t2

(p′c20− c2

0ρ′)

produce una distribusione di quadrupolo chee qualitativamente differente. Non ci sono differenze se si considerano leequazioni esatte , ma se non si introduce alcuna approssimazione l’analogiae una semplice riformulazione delle equazioni di base.

Quando si considera la produzione di suono dovuta ad una fiamma sub-sonica si sceglie come variabile aeroacustica la p′ perche la maggior partedel suono e prodotto dalle variazioni di volume dovute alla combustione.


Trascurando i termini di convezione si ha esattamente il termine di sor-gente ∂2

∂t2

(p′c20− ρ′

). Tale termine include i complessi effetti dovuti alla con-

vezione delle non uniformita di entropia. Questi diventano espliciti quandosi considera l’equazione di stato (1.23) applicata ad un elemento materiale:

Dp

Dt= c2 Dρ

Dt+

(∂p

∂s

)

ρ

Ds

Dt(2.110)

che combinata con la (1.20):

TDs

Dt=

De

Dt+ p

D

Dt

(1ρ

)(2.111)

Morfey [10] ottiene il seguente risultato:

− ∂2ρe

∂t2=

∂

∂t

[(c2

c20

− 1 +ρe

ρ

)Dρ′

Dt+

ρ2

c20

(∂T

∂ρ

)

s

Ds′

Dt+∇ · (ρev

](2.112)

dove l’eccesso di densita ρe e definito da ρe = ρ′ − (p′/c20).

Il primo termine in un getto subsonico e libero di un gas ideale con capacitacostante e nullo. Il secondo tiene conto della produzione di entropia ed e cor-retto dagli effetti convettivi. L’ultimo termine e dovuto alla forza esercitatasul flusso da una zona del fluido con differente densita, forza che puo esserericondotta al principio di Archimede: e indotta dalla differenza di densitatra la particella e il fluido circostante, il gradiente di pressione imposto daquest’ultimo sulla prima non ne consente l’accelerazione.

L’analogia di Lighthill non fa distinzione tra propagazione e produzionedi onde di suono in un flusso fortemente non uniforme dove e presenterifrazione. In questo caso la sorgente non e compatta e soluzioni sempli-ci come la (2.97) non sono piu valide. Altre analogie, presenti in letteratura,consentono il superamento di tali problemi [5].

2.2.5 Teoria del Vortex Sound

La Vortex Sound Theory si presenta come una forma speciale dell’analogiadi Lighthill e pone attenzione sul ruolo della vorticita.

Powell [14] osservo, infatti, che la produzione di suono in un flusso omen-tropico e subsonico e associata alla dinamica dei vortici.Contrariamente all’analogia di Lighthill, pero, (2.90) che prevede che il ter-mine di sorgente sia spazialmente distribuito, la vorticita ω = ∇×v apparepoco estesa. La ragione di cio e che intorno ai vortici c’e una regione vastadi flusso potenziale che non produce suono.


Howe [7] generalizzo la teoria di Powell permettendo la sua applicazioneai flussi confinati e in condizioni nelle quali l’ascoltatore e posto in un flussopotenziale piuttosto che in un fluido in quiete. In questa teoria, che puo es-sere applicata in corrispondenza di un qualsiasi numero di Mach, l’entropiaB′ = (p′/ρ0) + v′v0 appare come la naturale variabile aeroacustica.

Moring [11] derivo una analogia simile in base a considerazioni sull’en-ergia acustica.

Si considera ora il caso di flussi nel basso subsonico per il quale Howepropose un corollario sull’energia che spiega il ruolo della vorticita nella pro-duzione del suono. L’idea centrale e che un flusso potenziale e silenzioso.Il campo di velocita puo essere separato in un campo potenziale e in unflusso vorticoso. La parte potenziale ∇φ del flusso e associata al rateo didilatazione ∇ · v = ∇2φ delle particelle fluide. Dato che il campo acus-tico e comprimibile e non stazionario, Howe propose di definirlo come lacomponente non stazionaria del flusso potenziale uac:

uac = ∇φ′ (2.113)

nella quale φ′ = φ−φ0 e la parte dipendente dal tempo del potenziale φ.Per un flusso omentropico si puo scrivere l’equazione di Eulero (1.41) nellaforma:

∂v∂t

+∇B =fcρ

(2.114)

nella quale fc = −ρ(ω × v) e la densita della forza di Coriolis associataalla vorticita del flusso. In corrispondenza di numeri di Mach bassi per flussicompatti si trascurano le variazioni di densita e la fc e la sorgente di suono.Sotto tali condizioni si puo, in prima approssimazione, applicare l’equazionedell’energia (2.54) nella forma:

〈P 〉 =∫

V〈fc · uac〉dV (2.115)

dove 〈P 〉 e la potenza acustica media generata dai vortici e V e il volumenel quale la vorticita ω e confinata.

Il successo di questa equazione e dovuto al fatto che, anche utilizzandomodelli semplici dei vortici, fornisce una buona stima della produzione delsuono.

L’analogia di Howe puo essere scritta in modo piu formale. Per raggiun-gere tale obiettivo si parte dalla divergenza dell’equazione della quantita dimoto (2.114):


∇ · v∂t

+∇2B = −∇ · (ω × v) (2.116)

ed eliminando ∇ · v attraverso l’equazione della massa (1.10):

∇ · v = −1ρ

Dρ

Dt(2.117)

si ottiene il flusso isentropico:

1c2

D20B

′

Dt2−∇2B′ = ∇ · (ω × v) +

1c2

D20B

′

Dt2+

D20B

′

Dt2− ∂

∂t

Di

Dt(2.118)

dove:

D0B′

Dt=

∂B′

∂t+ (∇φ0) · ∇B′ (2.119)

e si fa uso dell’equazione di stato per un flusso isentropico:

1ρ

Dρ

Dt=

1c2ρ

Dp

Dt=

1c2

Di

Dt. (2.120)

Seguendo Howe il primo termine ∇ · (ω × v) nella (2.118) e dominanteper bassi numeri di Mach. L’equazione (2.118) risulta semplice, ma per unarbitrario ∇φ0 questa puo essere risolta solo numericamente [6].

2.3 Flussi confinati

2.3.1 Propagazione delle onde in un condotto

In un condotto stretto possono propagare solo onde della forma data dalla(2.21), che e per un campo di suono armonico in notazione complessa, lacoppia di onde piane

p′(x, t) = Aeiωt−ikx + Beiωt+ikx, (2.121)

dove k = ω/c0 e il mezzo e uniforme e in quiete. Si nota che ciascunaonda piana e self-similar in x a meno di un cambio di fase. Questa soluzionepuo essere generalizzata per condotti di sezione maggiore o per frequenzepiu alte.

Il campo di suono armonico nel tempo, in un condotto a sezione trasver-sale costante con condizioni al contorno lineari che sono indipendenti dalle

2.3. FLUSSI CONFINATI 49

coordinate assiali, potrebbe essere descritto da una serie infinita di soluzionispeciali (modi) che mantengono la loro forma viaggiando lungo il condotto.Essi sono formati da un termine esponenziale moltiplicato per un autofun-zione del problema degli autovalori sulla sezione trasversale di un condotto.

Si considera l’area A bidimensionale nel piano (y, z) con una frontieracontinua ∂A e una normale unitaria diretta esternamente n. Traslando Anella direzione x si ottine il condotto D dato da

D = (x, y, z)|(0, y, z) ∈ A (2.122)

con la sezione trasversale che e una copia di A e la normale n e la stessaper ogni x. Nella notazione complessa, il campo acustico

p′(x, t) ≡ p′(x, ω)eiωt, v′(x, t) ≡ v′(x, ω)eiωt (2.123)

soddisfa nel condotto (x ∈ D) l’equazione

∇2p′ + k2p′ = 0, iωρ0v′ +∇p′ = 0 (2.124)

Alla parete del condotto si assumera

p′ = Z(v′ · n) per x ∈ ∂D (2.125)

La soluzione a questo problema potrebbe essere data:

p′(x, y, z) =∞∑

n=1

Cnψn(y, z)e−iknx (2.126)

dove Ψn sono autofunzioni dell’operatore di Laplace suA, quindi soluzionidi

−(

∂2

∂y2+

∂2

∂z2

)ψ = α2ψ per (y, z) ∈ A,

−iωρ0ψ = (n · ∇ψ)Z per (y, z) ∈ ∂A (2.127)

dove α2 e il corrispondente autovalore. Il numero d’onda assiale kn edato dalla radice quadrata kn = ±

√k2 − α2

n, + per onda che propaga versodestra e − se a sinistra.I modi sono solitamente dati in forma esplicita come segue:


p′(x, y, z) =∞∑

n=1

ψn(y, z)(Ane−iknx + Bneiknx). (2.128)

ciascun termine dell’espansione in serie, quindi ψn(y, z)e−iknx, e dettomodo del condotto. Gli autovalori α2

n sono reali e positivi, eccetto il primoα1 = 0. Si ha l’importante distinzione tra k > αn, dove kn e reale e il modopropaga, e k < αn dove kn e immaginario e il modo e smorzato. I modi chepropagano sono cut on, quelli smorzati sono cut off. La frequenza ω = c0αn

e chiamata frequenza di cut-off del modo. Per le basse frequenze, l’unicomodo cut-on e l’onda piana (con frequenza di cut-off uguale a zero)

ψ1 = 1, α1 = 0, k1 = ±k (2.129)

Se la sezione trasversale del condotto e circolare o rettangolare e la con-dizione al contorno e uniforme ovunque, le soluzioni del problema degliautovalori sono relativamente semplici e possono essere trovate attraversola separazione delle variabili. Queste autosoluzioni consistono di combi-nazioni di funzioni trigonometriche e di Bessel nel caso circolare o di combi-nazioni trigonometriche nel caso rettangolare. In particolare per un condottocilindrico i modi nelle coordinate (r, θ) sono

ψ = Jm(αmµr)e−imθ, m ∈ = (2.130)

dove Jm e la funzione di Bessel di ordine m.Senza flusso medio il problema e simmetrico, e a ciascun autovalore cor-

risponde un modo left-running e uno right-running. I modi formano unabase completa per le soluzioni all’equazione dell’onda. Essi non sono esat-tamente ortogonali tra loro, ma i complessi coniugati (piu precisamente lasoluzione del problema autoaggiunto) sono mutuamente ortogonali con ψn.

In presenza di un flusso medio, il problema non e piu simmetrco. Sihanno autovalori differenti per i modi left-running e right-running e si ha alposto della (2.126) [6]:

p′(x, y, z) =∞∑

n=1

Anψ+n (y, z)e−ik+

n x + Bnψ−n (y, z)e−ik−n x (2.131)

2.3.2 La funzione di Green alle basse frequenze in un con-dotto infinitamente lungo

In corrispondenza delle frequenze al di sotto di quella di cut-off il campoacustico e dominato, ad una certa distanza dalla sorgente, dal modo del-


l’onda piana. La funzione di Green potrebbe non dipendere dalla coordi-nata trasversale della sorgente. Si puo cosı definire una funzione di Greenunidimensionale g definita da:

1c20

∂2g

∂t2− ∂2g

∂x23

= δ(x3 − y3)δ(t− τ) (2.132)

Una soluzione di questa equazione sara non nulla solo per t > τ e dellaforma f(t − x3/c0) per x3 > y3 e g(t + x3/c0) per x3 < y3. Si considera lafunzione ausiliara:

ϕ(x, t) = H(x)f(t− x

c

)+ H(−x)g

(t +

x

c

)(2.133)

dove H e la funzione gradino di Heaviside e dato che

∂2ϕ

∂t2= H(x)f ′′

(t− x

c

)+ H(−x)g′′

(t +

x

c

)(2.134)

∂ϕ

∂x=

δ(x)f(t)− δ(x)g(t)− 1cH(x)f ′

(t− x

c

)+

1cH(−x)g′

(t +

x

c

),

(2.135)

dove si e introdotto δ(x)f(t− x/c) = δ(x)f(t) e analogalmente per g,

∂2ϕ

∂x2= δ′(x)(f(t)− g(t))− 1

cδ(x)(f ′(t) + g′(t))

+1c2

H(x))f ′′(t− x

c

)+

1c2

H(−x)g′′(t +

x

c

) (2.136)

e quindi soddisfa

1c2

∂2ϕ

∂t2− ∂2ϕ

∂x2= −δ′(x)(f(t)− g(t)) +

1cδ(x)(f ′(t) + g′(t)) = δ(t)δ(x).(2.137)

se f(t) = g(t) = 12cH(t). Attraverso un cambiamento di coordinate si

ha:

g(x3, t|y3, τ) =12c0H

(t− τ − |x3 − y3|

c0

). (2.138)

Analogamente si puo trovare che in presenza di un flusso medio uniformeU0 nel condotto la funzione di Green, soddisfacendo [6]


1c20

(∂

∂+ U0

∂

∂x

)2

g − ∂2g

∂x2= δ(x3 − y3)δ(t− τ), (2.139)

e data da

g(x3, t|y3, τ) =12c0H

(t− τ − x3 − y3

c0 + U0

)

+12c0H(y3 − x3)H

(t− τ +

x3 − y3

c0 − U0

).

(2.140)

Si nota che questa funzione di Green soddisfa il principio di reciproc-ita del reverse-flow. Quando si cambiano le posizioni della sorgente e del-l’ascoltatore, potremmo invertire il flusso per mantenere costante il tempor/(c0 ± U0) impiegato dalle onde tra la sorgente e l’ascoltatore.

2.3.3 La funzione di Green alle basse frequenze in un con-dotto con discontinuita

Si vuole introdurre il concetto della funzione di Green alle basse frequenzeconsiderando l’effetto della discontinuita in un condotto infinitamente lungo.Si usa la relazione di reciprocita (2.16) per determinare tale funzione.Per una sorgente posta lontano dalla discontinuita e con l’ascoltatore postonello stesso lato della sorgente rispetto la discontinuita, la funzione di Greensara cosituita delle onde generate dalla sorgente e da quelle riflesse sulla dis-continuita. Un ascoltatore posto al di la della discontinuita sara raggiuntoesclusivamente dalle onde trasmesse attraverso di essa.Il problema si traduce sostanzialmente nella determinazione delle onde trasmessee riflesse dalla discontinuita.Si considera una regione compatta di transizione xI ≤ x3 ≤ xII della sezionetrasversale S(x3) tra due condotti semi-infiniti di sezione trasversale SI dauna parte e SII dall’altra.Nella zona di transizione si assume per semplicita un flusso monodimen-sionale potenziale v′3(x3, t). Applicando la forma integrale dell’equazionedi conservazione della massa (1.16) attraverso la discontinuita di ha perxI ≤ x3 ≤ xII :

S(x3)v′3(x3, t) = S(xI)v′3(x3, t) = S(xII)v′3(x3, t) (2.141)

L’equazione di Bernoulli (1.50) applicata in xI ≤ x3 ≤ xII tra x1 e x3:

p′I − p′(x3, t) = ρ0∂

∂t[φ(x3, t)− φI ] = ρ0

∂

∂t

[∫ x3

x1

v′3 dx3

]

= ρ0

[∫ x3

x1

SI

S(x3)dx3

]∂v′3(x3, t)

∂t.

(2.142)


Per onde armoniche pI = p+I e−ikx3 + p−I eikx3 e pII = p+

IIe−ikx3 si ha:

SI [p+I e−ikxI + p−I eikxI ] = SIIp

+IIe

−ikxII (2.143)

e

p+I e−ikxI + p−I eikxI − p+

IIe−ikxI = ik0Leff [p+

I e−ikxI + p−I eikxI ] (2.144)

con la lunghezza effettiva Leff definita da:

Leff =∫ x3

x1

SI

S(x3)dx3 (2.145)

si trovano i coefficienti di trasmessione T e di riflessione R:

R =p−I eikxI

p+I e−ikxI

=SI − SII(1− ikLeff )SI + SII(1 + ikLeff )

(2.146)

e

T =p+

IIeikxII

p+I e−ikxI

(2.147)

Tali risultati si riducono a R = [(SI−SII)/(SI+SII)] e T = 2SI(SI+SII)nel limite di kLeff →∞ e la funzione di Green g e per xI > y3:

g =c0

2H

(t− τ +

|x3 − y3|c0

)

+Rc0

2H

(t− τ +

x3 + y3 − 2xI

c0

)per x3 < xI

(2.148)

g =c0

2H

(t− τ − x3 − y3

c0

)per xI < x3 (2.149)

Considerando il caso xI > y3, trascurando gli effetti della riflessione,R = 0 e T = 1, si puo scrivere per kLeff ¿ 1 lunfo xI < x3 < xII

g =c0

2H

(t− τ − xI + xeff − y3

c0

). (2.150)

dove


xeff =∫ x3

x1

SI

S(x3)dx3 (2.151)

La coordinata effettiva xeff corrisponde alla differenza di potenziale in-dotta tra x3 e xI da un flusso che ha una velocita unitaria v′I = 1 in xI

[6].

Capitolo 3

I modi di un flussoturbolento

Il flusso all’interno di un motore e visto generalmente come somma di uncampo medio e di fluttuazioni non stazionarie che sono quelle associate alcampo acustico, alla vorticita e all’entropia.E necessario porre distinzione tra questi tre tipi di disturbi perche pro-pagano nella camera di combustione con velocita diverse. Le proprieta diqueste onde e il loro contributo al comportamento osservato sono di notevoleimportanza per capire la dinamica del flusso nel combustore.Le instabilita di combustione sono state sempre viste come un comportamen-to anomalo del campo di pressione: appaiono come oscillazioni e indicano lapresenza di onde acustiche.In realta nel flusso ci sono variazioni della velocita media, della temperaturae sono presenti regioni di flusso separato.Il flusso dunque risulta turbolento, caratterizzato da fluttuazioni di vorticita.In tale contesto sembrerebbe piu complicato identificare delle onde acusticheben definite. Chu e Kovasnay hanno dimostrato che, nel limite delle piccoleampiezze, ciascun disturbo in un mezzo comprimibile puo essere costituitoda tre tipi di onde: acustiche, di vorticita e di entropia.In un flusso medio uniforme queste onde propagano indipendentemente traloro: quelle acustiche alla velocita del suono mentre quelle di vorticita edentropia (in realta il loro e un moto di convezione) con la velocita del flussomedio. L’entropia puo essere vista come ‘spots’ di temperatura differentedal valore medio.Per capire dunque le instabilita di combustione e necessario considerare lapresenza di onde acustiche anche in presenza di un complicato campo diflusso turbolento.Bisogna inoltre tener presente che:

1. i due tipi di onde (vorticita ed entropia) non determinano fluttuazionidi pressione nel limite delle piccole ampiezze;

55

56 CAPITOLO 3. I MODI DI UN FLUSSO TURBOLENTO

2. anche in un flusso non uniforme le onde acustiche sono poco disturbatedall’interazione con le onde di vorticita ed entropia;

3. piccole variazioni di pressione e in alcune circostanze di velocita inun flusso reagente possono cambiare il rateo dell’energia rilasciatanelle reazioni chimiche; solo una piccola frazione di energia conver-tita in energia meccanica puo produrre significative fluttuazioni localidi pressione [2].

3.1 Modo acustico, di vorticita e di entropia

Una semplice analisi dimostra che un mezzo viscoso comprimibile e condu-cente puo avere tre differenti tipologie di piccole perturbazioni rappresentateda tre differenti equazioni.Si considerano le seguenti assunzioni:

1. il mezzo e un gas perfetto con calori specifici, viscosita e coefficientedi conduzione costanti;

2. il numero di Prandtl uguale a 3/4;

Le equazioni che governano tale fluido sono sei ed hanno quattro variabiliindipendenti x1, x2, x3, t e sei variabili dipendenti p, ρ, T, v1, v2, v3 e sono:

• tre equazioni (o una singola equazione vettoriale) dalla conservazionedella quantita di moto;

• un’equazione dalla conservazione dell’energia;

• una dalla conservazione della massa

• una dall’equazione di stato del mezzo.

Conservazione della quantita di moto:

ρ∂v∂t

= −∇p− ρ

2∇v2 + ρ [v× (∇× v)] + µ

(∇2v +

13∇∇ · v

)(3.1)

Conservazione dell’energia:

ρCp∂T

∂t= k∇2T +

∂p

∂t+ v · ∇p− ρCpv · T + Φ (3.2)

3.1. MODO ACUSTICO, DI VORTICITA E DI ENTROPIA 57

Conservazione della massa:

∂ρ

∂t+∇ · (ρv) = 0 (3.3)

Equazione di stato:

p

ρ=

[(γ − 1)

γ

]CpT (3.4)

Dove Φ e la dissipazione viscosa,

Φ = µ

(∇× v)2 +∇2(v2)− 2

3(∇ · v)2 − 2∇ · [v× (∇× v)]− 2v∇∇ · v

(3.5)

Tale set di equazioni non lineari non rivelano, ad una prima analisi, i ‘modi’dei campi di fluttuazione.Dato che si e interessati alle piccole fluttuazioni del campo, vengono quindiintrodotte le seguenti ulteriori ipotesi:

1. il flusso e descritto in un dominio G che consiste in un volume V nellospazio e in un intervallo di tempo ta − tb;

2. le coordinate sono tali che la velocita media in G e nulla;

3. le fluttuazioni di ρ e T sono piccole rispetto i loro valori medi in G;

4. le velocita sono piccole rispetto la velocita del suono in G;

5. non ci sono confini solidi in G o alla sua frontiera.

Una soluzione del set di equazioni e:

v ≡ 0, p = cost, T = cost, ρ = γp/(γ − 1)Cp (3.6)

che nelle coordinate convenzionali x, y, z, t rappresenta anche il flusso uni-forme e parallelo in una galleria supersonica.Assumiamo l’ipotesi delle piccole perturbazioni. Si introducono i valori medie le fluttuazioni

T = T +4T p = p +4p ρ = ρ +4ρ (3.7)

dove


T =1|G|

∫ ∫ ∫ ∫T (x1 , x2 , x3 , t)dx1dx2 dx3 dt (3.8)

per definizione

4p = 4ρ = 4T = 0

Attraverso la scelta di speciali coordinate, la velocita di fluttuazione coincidecon la velocita stessa.Ora e conveniente definire le fluttuazioni adimensionali di temperatura,pressione e densita

P =4p

γp= 4p/ρa2 (3.9)

s = (4T/T )− (γ − 1)P (3.10)

Dove s rappresenta la ‘fluttuazione di entropia non isentropica’ ed e unafluttuazione di entropia adimensionale. Dall’equazione di stato espressaattraverso la variazione di entropia 4E si ha:

T2

T1=

(p2

p1

)(γ−1)/γ

e4E/Cp (3.11)

la linearizzazione fornisce:

4T

T= (γ − 1)P +

(4E

Cp

)(3.12)

oppure

s = 4E/Cp (3.13)

Le fluttuazioni adimensionali di densita sono dunque:

4ρ

ρ=4p

p− 4T

T= P − s (3.14)

Usando le nuove variabili e trascurando i termini di ordine superiore, leequazioni del moto risultano:

Conservazione della quantita di moto:

ρ∂v∂t

= −∇p− ρ

2∇v2 + ρ [v× (∇× v)] + µ

(∇2v +

13∇∇ · v

)(3.15)


ρ∂v∂t

= −ρa2∇P − ρ

2(P − s)∇v2 +

ρ

2(P − s) (v×∇v) + µ

(∇2v +

13∇∇ · v

)

da cui:

∂v∂t

= −a2∇P + ν

(∇2v +

13∇∇ · v

)(3.16)

Conservazione dell’energia:

ρCp∂T

∂t= k∇2T +

∂p

∂t+ v · ∇p− ρCpv · ∇T + Φ (3.17)

ρCpT∂ [(γ − 1)P + s]

∂t= kT∇2 [(γ − 1)P + s] + γa2 ∂P

∂t

essendo a2 = γRT = γ−1γ CpT e Pr=

µCp

k = 34

si ottiene:

∂s

∂t− 4

3ν∇2s = 4

(γ − 1)3

ν∇2P (3.18)

Conservazione della massa:

∇ · v = −∂P

∂t+

∂s

∂t(3.19)

Definiamo:

q = ∇ · v (3.20)

ω = ∇× v (3.21)


Facendo la divergenza e il rotore del campo dell’equazione (3.16), troviamo:

∂q

∂t− 4ν

3∇2q = −a2∇2P (3.22)

∂ω

∂t− ν∇2ω = 0 (3.23)

L’equazione del campo di vorticita non presenta altre variabili indipendenti,indicando che la vorticita non ha interazioni del primo ordine con i campidi pressione e entropia (temperatura).Ora mostriamo che anche il campo di pressione ha un’equazione separata.Dall’equazione (3.19) si ha:

q = −∂P

∂t+

∂s

∂t(3.24)

Sostituendo q nell’equazione (3.20) e scrivendo attraverso la (3.18) in terminidi s troviamo:

∂

∂t

(−∂P

∂t+

∂s

∂t

)− 4ν

3∇2

(−∂P

∂t+

∂s

∂t

)= −a2∇2P

∂

∂t

(∂s

∂t− 4ν

3∇2s

)− ∂

∂t

(∂P

∂t− 4ν

3∇2P

)= −a2∇2P

4(γ − 1)

3ν∇2P − ∂

∂t

(∂P

∂t− 4ν

3∇2P

)= −a2∇2P

Da cui:

1a2

∂2P

∂t2−∇2P − 4γν

3a2

∂∇2P

∂t= 0 (3.25)

La pressione ha questa equazione, che e sostanzialmente un’equazione d’on-da. I termini in piu tengono conto dell’assorbimento di suono alle alte fre-quenze. Un campo di pressione che segue la (3.25) sara chiamato ondaacustica.Osservando la (3.18) e la (3.22), si nota che sono nella forma dell’equazionedel calore nelle quali la quantita proporzionale al Laplaciano della pressionesvolge il ruolo di ‘sorgente di calore’.La soluzione generale di entrambe le equazioni (3.18) e (3.22) e formatada due parti: una dipendente dalla pressione, l’altra data dalla soluzionedell’equazione omogenea associata,


∂q

∂t− 4ν

3∇2q = 0 (3.26)

∂s

∂t− 4ν

3∇2s = 0 (3.27)

La soluzione generale delle equazioni (3.26) e (3.27) non e indipendente, madeve seguire la conservazione della massa, equazione (3.19).Le soluzioni delle (3.18) e (3.22) dipendenti dalla pressione si possono ot-tenere nel seguente modo: si puo esprimere ∇2P attraverso l’equazione(3.25) ottenendo:

(1 + τ

∂

∂t

)∇2P =

1a

2 ∂

∂t

(∂

∂t− 4ν

3∇2

)P (3.28)

Dove

τ = 4 (γ − 1) ν/3a2 (3.29)

τ puo essere visto con il tempo di rilassamento del mezzo. Sostituendol’equazione (3.25) nelle equazioni (3.18) e (3.22), otteniamo le soluzionidipendenti dalla pressione:

[1 + τ

(∂

∂t

)]q = −∂P

∂t(3.30)

[1 + τ

(∂

∂t

)]s = −τ

∂P

∂t(3.31)

Queste equazioni indicano che il campo sorgente q e il campo di entropia sseguono il campo di pressione non esattamente in fase, ma con un ritardo τ .Esprimendo il campo di flusso potenziale con un potenziale di velocita ϕ alposto di q, troviamo dall’equazione (3.22)

−(

1 + τ∂

∂t

)∂φ

∂t=

(1 +

γτ

γ − 1∂

∂t

)P (3.32)

Se il campo di flusso e stazionario, ∂φ∂t = 0, dall’equazione (3.16) troviamo

P ≡ 0. Questo e un campo di flusso armonico stazionario. Potremmo tirarfuori questo caso speciale dalle ‘onde acustiche’ e aggiungerlo al ‘modo divorticita’ senza contraddire la (3.23).Un altro caso speciale si verifica quando ∇2P ≡ 0. Allora risulta che ∂2P

∂t2=

0. Dall’equazione (3.22) troviamo q ≡ 0; il campo era armonico. In questocaso, dall’equazione (3.16), troviamo che


P = −(

1a2

)(∂φ

∂t

)(3.33)

Possiamo ora definire tre modi ‘indipendenti’.

1. Modo di vorticita. La variabile principale e la vorticita ω. L’equazioneche governa tale modo e la (3.23). Possiamo considerare il campo divelocita come somma di due contributi: uno dato dalla velocita indottadalla vorticita che si trova nel volume, l’altro completamente definitospecificando la velocita media nel tempo sulla frontiera,

v (x) =14π

∫∫∫(x− x′)× ω (x′) dV (x′)

|x− x′| +∇φ1 (3.34)

Con ∂ϕ1

∂t = 0 e ∇2ϕ1 = 0, P = 0, s = 0. Il campo armonico stazionariosi adatta a questo particolare modo. La vorticita fuori dal volume Vinduce, infatti, esattamente tale campo purche la diffusione non siatale che la stessa vorticita possa propagare all’interno.

2. Modo acustico. La variabile principale e la pressione e segue l’e-quazione (3.25). Le altre variabili sono q ed s [equazioni (3.30) e(3.31)]. Il caso particolare e:

∂P

∂t= 0 ,∇2P = 0 , q = 0 (3.35)

Il flusso e armonico, ma poiche il caso ∂φ∂t = 0 non e ammissibile,

l’unica soluzione e

φ = φ′2t, ∇2φ′2 = 0,∂φ′2∂t

= 0 (3.36)

Dove φ, il potenziale, varia proporzionalmente al tempo e φ′2 e unafunzione armonica indipendente dal tempo.

Le piccole variazioni di entropia nel campo acustico normalmente ‘isen-tropico’ sono dovute a fenomeni di assorbimento, ma sono quantitatrascurabili in molte applicazioni di carattere pratico.


3. Modo di entropia. La soluzione delle equazioni (3.26) e (3.27)forniscequesto modo. Le diminuzione di temperatura (entropia) dovuta allaconduzione di calore cambiano la densita e creano un moto che e unflusso potenziale

v =4ν

3∇ s (3.37)

o v = ∇φ3, dove φ3 = 4νas/3. Il moto associato alla diminuzione di entropiae piuttosto piccolo nei casi pratici.Dai risultati ottenuti vediamo che due dei modi seguono l’equazione delcalore anche se hanno differenti coefficienti di diffusione (il rapporto e 3 : 4);il terzo modo segue l’equazione dell’onda con un termine di assorbimentoaggiuntivo. Dato che si sta utilizzando una teoria linearizzata, i modi noninteragiscono nel dominio G. Le interazioni possono avere luogo al di fuoridel dominio sia in corrispondenza di confini solidi sia in regioni dove lefluttuazioni non sono piccole e le interazioni non lineari non sono trascurabili.Un punto sta al di fuori del dominio G se si verifica una delle seguenticondizioni:

• o il punto sta al di fuori del volume V ,

• o e considerato prima dell’istante tA,

• o dopo dell’istante tB.

Se nella sua storia passata il fluido fosse passato attraverso una griglia,la turbolenza di elevata intensita avrebbe prodotto onde acustiche di forteintensita e la dissipazione viscosa spots di entropia.Quando la nostra osservazione inizia (all’istante tA) i modi hanno un’inten-sita sufficientemente bassa che le loro interazioni non lineari sono trascura-bili, anche se la non linearita ha avuto un ruolo decisivo nella creazione diquesti modi.D’altra parte, se questi modi non interagenti passano attraverso una regionead elevato gradiente, come ad esempio un urto, questi interagiranno con ilcampo di elevata intensita e puo verificarsi la trasformazione di un modo inun altro.Se i tre modi non sono tali da consentire la linearizzazione, ma nello stessotempo non sono tali da distruggere la precedente descrizione, puo esseresviluppata una teoria di interazione debole mantenendo solo i termini delprimo e del secondo ordine nelle variabili dipendenti.Se i termini del secondo ordine sono piccoli rispetto a quelli del primo,possono essere considerati come ‘sorgenti’ nelle equazioni che governano imodi.Formalmente si ottengono le seguenti equazioni:


∂ω

∂t− ν∇2ω=Ω (ω , P, s) (3.38)

∂s

∂t− 4ν

3∇2s = S (Ω , P, s) (3.39)

1a2

∂2P

∂t2−∇2P − 4γν

3a2

∂∇2P

∂t= Π (ω , P, s) (3.40)

Dove Ω e il rateo di creazione di vorticita dovuto all’azione di tutti e trei modi, S e il rateo di creazione di spots di entropia dato dall’interazionedei tre modi, Π e il rateo di generazione di suono anch’essa conseguenzadell’interazione dei tre modi.Assumiamo che siano presenti solo interazioni del secondo ordine; possiamocosı decomporre ciascun termine come somma di tre contributi ognuno deiquali coinvolge solo due modi. Per esempio,

Π (ω , P, s) = Π1 (ω, ω)+Π2 (P, P )+Π3 (s, s)+Π12 (ω, P )+Π23 (P, s)+Π31 (s,ω)

(3.41)

Dove:

• Π1 rappresenta la sorgente di onde acustiche dovute alla vorticita,

• Π2 e il termine non lineare nella propagazione del suono,

• Π3 e la sorgente di onde acustiche generate dal decadimento del campodi temperatura non uniforme,

• Π12 e la dispersione delle onde acustiche dovute ai movimenti delmezzo (campo di vorticita),

• Π23 e la dispersione delle onde acustiche sugli spots di entropia,

• Π31 e la sorgente di onde acustiche generate dal campo di vorticitaintorno gli spots di temperatura.

Allo stesso modo S e Ω possono essere scritti come somma di sei termini.Ω1 (ω, ω) e esattamente il termine non lineare nella teoria dell’incomprimi-bile che tiene conto dello ‘stretching’ dei vortici o del ‘termine di trasferimen-to dell’energia’ nella rappresentazione spettrale. In letteratura sono presentile stime di tali termini, ad esempio Lighthill si occupo del suono generatodalla vorticita (termine Π1) [8] .

Capitolo 4

Modello per i campi dipressione, entropia evorticita

Si considera un mezzo comprimibile, viscoso e conducente. Il mezzo e un gasperfetto con calori specifici, viscosita e coefficienti di conduzione costanti.Le equazioni che governano tale fluido sono quelle di conservazione dellaquantita di moto (3.1), dell’energia (3.2), della massa (3.3) e l’equazione distato (3.4).

La teoria delle perturbazioni del primo ordine indica che le equazionidi Navier-Stokes per un gas comprimibile, viscoso e conducente possonoavere tre differenti campi di disturbo, rappresentati da tre equazioni dif-ferenziali indipedenti. Questi tre modi, che sono vorticita, entropia e modoacustico, sono indipendenti quando l’intensita delle fluttuazioni e piccola,ma interagiscono quando la linearizzazione non e possibile.

Prendendo in considerazione l’analisi di Kovasnay si vuole ricavare unset di equazioni che consenta di calcolare i campi di pressione, vorticita edentropia.

4.1 Equazione di trasporto della vorticita

La vorticita esprime la rotazionalita del flusso dovuta alla presenza di gra-dienti di velocita e quindi definibile dalla relazione:

ω = ∇× v (4.1)

L’equazione di trasporto della vorticita si ricava dunque dal rotore del-l’equazione di trasporto della quantita di moto (3.1):

65

66 CAPITOLO 4. MODELLO

∇×(

∂v∂t

)=

∇×[−1

ρ∇p− 1

2∇v2 + v × (∇× v) + µ

1ρ

(∇2v +

13∇∇ · v

)] (4.2)

sostituendo nella (4.2) la definizione (4.1) si ottiene:

∂ω

∂t=

1ρ2

[∇ρ×∇p]−∇(ω × v)

+µ

[∇×

(1ρ∇2v

)+ +

13∇×

(1ρ∇∇ · v

)] (4.3)

il termine ∇ ×(

1ρ∇2v

)della precedente equazione lo scriviamo come

∇ ×(

1ρ∇ · ∇v

)e passando alla notazione indiciale: εijk∂j

(1ρ∂i∂kvi

)=

εijk∂j

(1ρ

)+ 1

ρεijk∂j (∂i∂kvi) = − 1ρ2 εijk∂j

(1ρ

)∂j (∂i∂kvi) + 1

ρεijk∂j (∂i∂kvi)

otteniamo:

− 1ρ2 (∇ρ×∇2v) + 1

ρ(∇×∇2v)

mentre il termine ∇×(ω×v) scritto in notazione indiciale εijk∂jεklmωlvm =∂j(ωivj)− ∂j(ωjvi) fornisce [(v · ∇)ω + ω(∇ · v)− (ω · ∇)v].

L’equazione di trasporto della vorticita risulta:

∂ω

∂t=

1ρ2

[∇ρ×∇p]

−[(u∇)ω + ω(∇ · u)− (ω · ∇)u]− µ

ρ2(∇ρ×∇2v)

+µ

ρ(∇×∇2v)− 1

3µ

ρ2[∇ρ×∇∇ · v]

(4.4)

quindi

∂ω

∂t+ (v · ∇)ω =

(ω · ∇)v − ω(∇ · v) +1ρ2

[∇ρ×∇p]− µ

ρ2(∇ρ×∇2v)

+µ

ρ(∇×∇2v)− 1

3µ

ρ2[∇ρ×∇∇ · v].

(4.5)

4.2. EQUAZIONI DELLA PRESSIONE E DELL’ENTROPIA 67

Il primo termine a primo membro dell’equazione rappresenta la variazio-ne di vorticita dovuta alla non stazionarieta del campo, mentre il secondorappresenta il trasporto convettivo. Il termine di vortex shedding (ω · ∇)vtiene conto della deformazione di volume per effetto dei gradienti di velocitae non considera la sua rotazione.Il termine ω(∇ · v) e presente perche il flusso e comprimibile: tale termineha l’effetto di concentrare o disperdere la vorticita presente nel campo aseconda che si abbiano compressioni o dilatazioni locali.Il termine baroclinico 1

ρ2∇ρ×∇p indica la creazione di vorticita dovuta allapresenza di gradienti di pressione e densita. La presenza di un campo dipressione e di disomogeneita di densita conferisce un’accelerazione maggiorea zone di densita minore: questo effetto (baroclinco) puo essere sorgente opozzo per la vorticita.Gli altri termini mostrano l’effetto della dissipazione viscosa che e prin-cipalmente quello di dissipare l’energia dei vortici distruggendo le strutturevorticose; si deve pero tener presente che, in alcuni casi, tali termini possonoessere sorgenti di vorticita.

4.2 Equazioni della pressione e dell’entropia

Si considera l’equazione di conservazione dell’energia (3.2) e la si riscrive nelseguente modo

ρCpDT

Dt= k∇2T +

Dp

Dt+ Φ (4.6)

Utilizzando l’equazione di stato

dp

dt=

dT

dt+

dρ

dt(4.7)

la (4.6) puo essere riformulata attraverso i seguenti passaggi

ρCp1ρ

Dp

Dt− ρCp

1ρ

Dρ

Dt= k

∇2T

T+

1T

Dp

Dt+

ΦT

Cp

RT

Dp

Dt− 1

T

Dp

Dt− Cp

Dρ

Dt= k

∇2T

T+

ΦT

Cp

R

Dp

Dt− Dp

Dt= k

∇2T

T+

ΦT

+ CpDρ

Dt


γ

γ − 1Dp

Dt− Dp

Dt= k∇2T + Φ +

γ

γ − 1ρ∇ · v

Nell’ultimo passaggio, in particolare, si e fatto uso dell’equazione diconservazione della massa per la quale

1ρ

Dρ

Dt= ∇ · v

Infine considerando che vale l’uguaglianza

CpTρ∇ · v =Rγ

γ − 1Tρ∇ · v = p

γ

γ − 1T∇ · v

si ottiene

Dp

Dt+ γp∇ · v = (γ − 1)(k∇2T + Φ) (4.8)

Si scrive, ora, l’equazione dell’energia in termini di entalpia

ρDh

Dt=

Dp

Dt+ Φ− k∇2T (4.9)

Utilizzando la relazione termodinamica

Tds = dh− dp

ρ

per la quale risulta che

Dp

Dt= −ρT

Ds

Dt+ ρ

Dh

Dt

si ottiene

ρTDs

Dt= Φ− k∇2T (4.10)

Si e cosı ottenuto un set di tre equazioni (4.5), (4.8), (4.10) rispettiva-mente per i campi di vorticita, pressione ed entropia.

4.3. EQUAZIONE DELLA DIVERGENZA 69

4.3 Equazione della divergenza

Il sistema di equazioni costituito dalle (4.5), (4.8), (4.10) rappresenta unset di equazioni non completo. E’ necessario aggiungere un’equazione perconsentire la chiusura del problema; si ricava cosı l’equazione di trasportodella divergenza applicando la divergenza alla conservazione della quantitadi moto (3.1):

∇ · ∂v∂t

= −∇ · ∇p

ρ−∇ ·

(12∇v

)+∇ · (v × ω)+

µ∇ ·[∇2v +

13∇(∇ · v)

]

quindi:

∂q

∂t=

1ρ2∇ρ · ∇p− 1

ρ∇2p− 1

2∇2v2 +∇ · (v × ω)

+µ

[− 1

ρ2∇ρ∇2v +

1ρ∇ · ∇2v

]

−µ

31ρ2∇ρ∇q +

µ

31ρ∇2q

(4.11)

nella quale si e posto q = ∇ · v.

Si puo ottenere il campo di velocita direttamente dalle equazioni di Poissonottenute facendo il rotore della (4.1). Con tale procedura le equazioni accop-piate di vorticita e velocita possono essere risolte simultaneamente in ciascunpunto della griglia [4]. Un set di tre equazioni di Poisson, per ciascuna com-ponente, puo essere ottenuto dal rotore della vorticita usando l’equazione diconservazione della massa; infatti

∇× ω = ∇× (∇× v)

e valendo la relazione ∇× (∇× v) = ∇(∇ · v)−∇2v si ottiene

∇(

1ρ

∂ρ

∂t

)+∇

(v · ∇ρ

ρ

)= ∇2v +∇× ω (4.12)

dove si e usata la conservazione della massa per esprimere ∇·v = 1ρ

∂ρ∂t +

∇(

v·∇ρρ

).


4.4 Applicazione del modello per i campi di pres-sione, vorticita ed entropia

Si considera il campo di moto di un flusso assialsimmetrico all’interno di unendoreattore ottenuto da una simulazione numerica.La geometria del motore e la seguente

Fig. 4.1:

ed e presente adduzione di massa nel primo tratto a sezione costante.

Il fluido presenta le seguenti caratteristiche:

• Pm = 27.76

• Cp = 2439.04

• µ = 36 ∗ 10−5

• Pr = 0.7

Si prendono in considerazione 4 punti che caratterizzano quattro parti-colari zone del motore:

• Un punto nel primo tratto a sezione costante

• Un punto nel primo tratto a sezione variabile ad un’altezza ugualeall’altezza massima del primo tratto costante

• Un punto che si trova alla stessa altezza del precendente e a meta delsecondo tratto a sezione costante

4.4. APPLICAZIONE DEL MODELLO 71

• Un punto, sempre alla altezza dei precedenti, nel secondo tratto asezione variabile.

La scelta di considerare tre punti a questa particolare altezza consentedi studiare meglio il fenomeno vorticoso. In corrispondenza della variazioned’area si ha infatti la formazione e il distacco dei vortici i quali raggiungono eimpattano sul convergente dell’ugello. Tale meccanismo fluidodinamico puoessere accoppiato con l’acustica del motore creando condizioni di risonanza.

Per i precedenti punti sono stati valutati i campi di pressione, vorticitaed entropia al variare del tempo attraverso la (4.5), la (4.8) e la (4.10).Nelle precedenti equazioni sono stati trascurati i termini viscosi e di con-duzione, infatti date le caratteristiche del flusso ci si aspetta che tali terminisiano trascurabili. A tal proprosito e stato successivamente verificato chetali contributi sono numericamente trascurabili.

Per realizzare una tale analisi, le precendenti equazioni sono state scrittein forma discreta attraverso le differenze finite centrate.Le derivate nel tempo e nello spazio sono state calcolate con un codice scrit-to in Fortran che effettua un’interpolazione lineare per tenere conto dellavariazione d’area e che considera che la griglia si infittisce allontanandosidall’asse del motore.

La validita delle equazioni nel rappresentare i vari campi e stata verificataconfrontando la derivata nel tempo delle grandezze in esame (pressione, en-tropia e vorticita) calcolata come somma dei termini spaziali delle equazioni,con quella data dalla discretizzazione del termine temporale delle equazioniutilizzando, cioe, direttamente i valori di pressione, temperatura, densita evelocita dati dalla simulazione.

Si e passati successivamente all’analisi dei vari termini presenti nelle equazioni,verificando quale di essi rappresenta il meccanismo che influisce maggior-mente nella variazione nel tempo delle grandezze fondamentali.

Il flusso in esame presenta le distribuzioni delle grandezze p, Ux, Ur, ρ,ω, s, ∇ · v graficate nelle figure (Fig. 4.2), (Fig. 4.3), (Fig. 4.4), (Fig. 4.5),(Fig. 4.6), (Fig. 4.7), (Fig. 4.8). Si riporta l’andamento lungo l’asse di questestesse grandezze ad un’altezza fissata nelle figure (Fig. 4.9), (Fig. 4.10),(Fig. 4.11), (Fig. 4.12), (Fig. 4.13), (Fig. 4.14) e lungo l’altezza fissatal’ascissa (Fig. 4.15), (Fig. 4.16), (Fig. 4.17), (Fig. 4.18), (Fig. 4.19).


Fig. 4.2: Distibuzione della pressione.

Fig. 4.3: Distribuzione della componente Ux della velocita.


Fig. 4.4: Distribuzione della componente Ur della velocita.

Fig. 4.5: Distribuzione della densita.


Fig. 4.6: Distribuzione della vorticita.

Fig. 4.7: Distribuzione dell’ entropia.


Fig. 4.8: Distribuzione della divergenza della velocita.

Fig. 4.9: Andamento della pressione lungo l’asse.


Fig. 4.10: Andamento della velocita lungo l’asse. La componente Ux e graficatain nero, la Ur in rosso.

Fig. 4.11: Andamento della densita lungo l’asse.


Fig. 4.12: Andamento della vorticita lungo l’asse.

Fig. 4.13: Andamento dell’entropia lungo l’asse.


Fig. 4.14: Andamento della divergenza della velocita lungo l’asse.

4.4.1 Andamenti delle derivate temporali di pressione, ve-locita, vorticita ed entropia.

Si riporta il confronto grafico delle derivate temporali della pressione, delledue componenti della velocita, della vorticita e dell’entropia tra i quat-tro punti presi in esame (Fig. 4.20), (Fig. 4.21), (Fig. 4.22), (Fig. 4.23),(Fig. 4.24). Lungo il motore la derivata della vorticita, dell’entropia e del-la componente radiale della velocita assume valori piu grandi tanto piu cisi avvicina all’ugello, quella della pressione e della componente assiale del-la velocita diminuisce di intensita confrontando il punto nel primo trattocon quello nella prima zona con variazione d’area, per poi aumentare per irestanti punti considerati.

4.4.2 Campo di pressione

Si riporta l’equazione della pressione (4.8) nella quale vengono trascurati itermini viscosi:

Dp

Dt+ γp∇ · v =

∂p

∂t+ Ux

∂p

∂x+ Ur

∂p

∂r+ γp

(∂Ux

∂x+

Ur

r+

∂Ur

∂r

)(4.13)

la scelta delle coordinate cilindriche e legata all’assialsimmetria del flussoche risulta caratterizato dai vettori di velocita v e di vorticita ω perpendi-colari tra loro. Si hanno due componenti di velocita: la Ux diretta lungo


(a) primotrattosezionecostante (b) primotrattosezionevariabile

(c) secondotrattosezionecostante (d) secondotrattosezionevariabile

Fig. 4.15: Andamento della pressione lungo l’altezza con l’ascissa fissata.




Fig. 4.16: Andamento dellla componente della velocita Ux (curva nera) e della Ur

(curva rossa) lungo l’altezza con l’ascissa fissata.




Fig. 4.17: Andamento della densita lungo l’altezza con l’ascissa fissata.




Fig. 4.18: Andamento della densita lungo l’altezza con l’ascissa fissata.




Fig. 4.19: Andamento dell’entropia lungo l’altezza con l’ascissa fissata.


k

dp

ressi

on

ed

t

20 40 60 80

-1E+08

-8E+07

-6E+07

-4E+07

-2E+07

0

2E+07

4E+07

6E+07

8E+07

1E+08

1.2E+08

Fig. 4.20: Andamento della ∂p∂t per il punto nel primo tratto costante (curva

rossa), per il punto nel primo tratto a sezione variabile (curva verde), per il puntonel secondo tratto costante (curva blu), per il punto nel secondo tratto a sezionevariabile (curva celeste).

k

dve

locita

20 40 60 80

-200000

0

200000

400000

Fig. 4.21: Andamento della ∂Ux

∂t per il punto nel primo tratto costante (curvarossa), per il punto nel primo tratto a sezione variabile (curva verde), per il puntonel secondo tratto costante (curva blu), per il punto nel secondo tratto a sezionevariabile (curva celeste).


k

dve

loci

ta2

20 40 60 80

-200000

0

200000

400000

Fig. 4.22: Andamento della ∂Ur


k

do

md

t

20 40 60 80

-2E+08

0

2E+08

Fig. 4.23: Andamento della ∂ωθ



k

de

ntr

op

iad

t

20 40 60 80

-2E+07

-1E+07

0

1E+07

2E+07

3E+07

Fig. 4.24: Andamento della ∂s∂t per il punto nel primo tratto costante (curva

rossa), per il punto nel primo tratto a sezione variabile (curva verde), per il puntonel secondo tratto costante (curva blu), per il punto nel secondo tratto a sezionevariabile (curva celeste).

l’asse, la Ur in direzione radiale, e una componente della vorticita in direzioneperpendicolare alle precedenti la ωθ.

Si considera il punto nel primo tratto a sezione costante e si mostra infigura (Fig. 4.25) l’andamento dei termini che costituiscono l’equazione dellapressione . Tali termini permettono una stima approssimata della derivatanel tempo della pressione

∂p

∂t= −Ux

∂p

∂x− Ur

∂p

∂r− γp

(∂Ux

∂x+

Ur

r+

∂Ur

∂r

)(4.14)

Il valore stimato e ragionevole, infatti risulta confrontabile con il calco-lo della derivata nel tempo ∂p

∂t ricavato direttamente dai valori di pressione(Fig. 4.26). Dai precedenti grafici si puo dunque affermare che il contributofondamentale alla derivata nel tempo della pressione e dato dal termine lega-to alla divergenza della velocita (γp∇ · v) mentre risulta meno importanteil termine di trasporto (v · ∇)p.

Si puo infine verificare che l’ipotesi di trascurare i termini viscosi e lecita, in-fatti il contributo viscoso Φ (3.5) e trascurabile rispetto all’andamento della∂p∂t come si puo osservare dalla figura (Fig. 4.27).

Si considera ora il punto nel primo tratto a sezione variabile e si osserva(Fig. 4.28) un analogo comportamento della pressione: l’andamento della ∂p

∂t


e dovuto al termine γp∇ · v e anche in questo caso risultano trascurabili itermini viscosi (Fig. 4.29).

Si considera ora il punto nel secondo tratto a sezione costante. Si os-servano analoghi comportamenti dei casi precedentemente analizzati. Inparticolare si puo verificare che e ancora lecito applicare la (4.5), infatti ilconfronto grafico consente di osservare che la stima della ∂p

∂t risulta ragionev-ole (Fig. 4.30). Il termine dominante e γp∇ · v (Fig. 4.31) e la dissipazionegioca un ruolo secondario (Fig. 4.32).

Si valuta infine il campo di pressione nel punto nel secondo tratto asezione variabile e anche in questa zona si possono fare le precedenti valu-tazioni (Fig. 4.33) e (Fig. 4.34):

k

trsp

ort

op

;dp

dt;

terz

op

20 40 60 80

-2E+07

0

2E+07

4E+07

U grad Pgamma P div U

Fig. 4.25: Andamento nel tempo dei termini spaziali dell’equazione della pressioneper un punto nel primo tratto a sezione costante

4.4.3 Campo di vorticita

Si vuole determinare il campo di vorticita analogamente a quanto fatto perquello della pressione.

A tale scopo si considera l’equazione della vorticita (4.5) scritta per unflusso assialsimmetrico (si utilizzano le coordinate cilindriche) e non viscoso:


k

trsp

ort

op

;dp

dt;

terz

op

;dp

ressi

on

ed

t

20 40 60 80

-2E+07

0

2E+07

Fig. 4.26: Derivata nel tempo della pressione calcolata come somma dei terminispaziali dell’equazione della pressione (curva blu) e calcolata direttamente dai valoridella pressione (curva rossa).

k

dp

ress

ion

ed

t;d

qd

t

20 40 60 80

-2E+07

-1E+07

0

1E+07

2E+07dp/dtdissipazione

Fig. 4.27: Termini di dissipazione nell’equazione della pressione per un punto nelprimo tratto a sezione costante.


k

trsp

ort

op

;te

rzo

p;d

pre

ssio

ne

dt

20 40 60 80

-2E+07

-1E+07

0

1E+07

(U grad) pdp/dt

Fig. 4.28: Confronto grafico tra la ∂p∂t e il termine di trasporto per un punto nel

primo tratto a sezione variabile.

k

dp

ress

ion

ed

t;d

qd

t

20 40 60 80

-2E+07

-1E+07

0

1E+07dp/dtdissipazione

Fig. 4.29: Confronto grafico tra la ∂p∂t e il termine viscoso dell’equazione dell’energia

per un punto nel primo tratto a sezione variabile.


k

trsp

ort

op

;dp

dt;

terz

op

;dp

ressi

on

ed

t

20 40 60 80

-2E+07

0

2E+07

Fig. 4.30: Derivata nel tempo della pressione calcolata come somma dei terminispaziali dell’equazione della pressione (curva blu) e calcolata direttamente dai valoridella pressione (curva rossa).

k

trsp

ort

op

;te

rzo

p

20 40 60 80

-6E+07

-4E+07

-2E+07

0

2E+07

4E+07 (U grad) pgamma p div U

Fig. 4.31: Andamento nel tempo dei termini spaziali dell’equazione della pressioneper un punto nel secondo tratto a sezione costante.


k

dq

dt;

dp

ressi

on

ed

t

20 40 60 80

-1E+08

-5E+07

0

5E+07

1E+08 dissipazionedp/dt


per un punto nel secondo tratto a sezione costante.

k

dp

ress

ion

ed

t;d

qd

t

20 40 60 80

-1E+08

-5E+07

0

5E+07

1E+08dp/dt(U grad) p

Fig. 4.33: Confronto grafico tra la ∂p∂t e il termine di trasporto per un punto nel

secondo tratto a sezione variabile.


k

dq

dt;

dp

ressi

on

ed

t

20 40 60 80

-1E+08

-5E+07

0

5E+07

1E+08 dissipazionedp/dt


per un punto nel secondo tratto a sezione variabile.

∂ωθ

∂t+

1ρ2

(∂ρ

∂x

∂p

∂r− ∂ρ

∂r

∂p

∂x

)− ωθUr

r

+ωθ

(∂Ur

∂r+

∂Ux

∂x+

Ur

r

)+ Ur

∂ωθ

∂r+ Ux

∂ωθ

∂x

(4.15)

nella precedente equazione il termine 1ρ2

(∂ρ∂x

∂p∂r − ∂ρ

∂r∂p∂x

)e il termine

baroclinico 1ρ2 [∇ρ×∇p], −ωθUr

r e la componente lungo θ di (ω ·∇)v, mentre

ωθ

(∂Ur∂r + ∂Ux

∂x + ωθUr

r

)e la componente di ω(∇ · v).

Si considera il punto nel primo tratto a sezione costante. L’andamentonel tempo della ∂ωθ

∂t calcolato come somma dei termini spaziali della (4.15)risulta confrontabile con quello ottenuto direttamente dai termini di velocita(Fig. 4.35). Dall’andamento temporale dei termini spaziali si osserva cheil contributo fondamentale e dato dal termine di trasporto della vorticita(v · ∇)ω (Fig. 4.36). Analoghe considerazioni si possono fare per il puntonel primo tratto a sezione variabile per il quale si riporta l’andamento neltempo dei termini spaziali dell’equazione della vorticita (Fig. 4.37).Si considera ora il punto nel secondo tratto a sezione costante, anche inquesto caso si hanno analoghi risultati (Fig. 4.38) e l’equazione utilizzatarappresenta correttamente il campo di vorticita (Fig. 4.39) sia in questazona sia nel secondo tratto a sezione variabile (Fig. 4.40).


k

do

me

ga

dt;

do

md

r

20 40 60 80

-1.5E+07

-1E+07

-5E+06

0

5E+06

1E+07

1.5E+07

Fig. 4.35: Derivata nel tempo della vorticita calcolata come somma dei terminispaziali dell’equazione della vorticita (curva rossa) e ottenuta direttamente dai val-ori della velocita (curva verde). Tali risultati sono stati ottenuti per un punto nelprimo tratto a sezione costante.

k

pri

mo

vo

rtic

ita

;se

co

nd

ovo

rtic

ita

;te

rzo

vo

rtic

ita

;qu

art

avo

rtic

ita

20 40 60 80-2.5E+07

-2E+07

-1.5E+07

-1E+07

-5E+06

0

5E+06

termine baroclinico(omega grad)Uomega(div U)(U grad)omega

Fig. 4.36: Andamento dei termini spaziali dell’equazione di trasporto dellavorticita in un punto nel primo tratto a sezione costante.


k

pri

mo

vo

rtic

ita

;se

co

nd

ovo

rtic

ita

;te

rzo

vo

rtic

ita

;qu

art

avo

rtic

ita

20 40 60 80

0

2E+07

4E+07

6E+07

8E+07

baroclinico(omega grad) Uomega(div U)(U grad) omega

Fig. 4.37: Andamento dei termini spaziali dell’equazione di trasporto dellavorticita in un punto nel primo tratto a sezione variabile.

k

pri

mo

vo

rtic

ita

;se

co

nd

ovo

rtic

ita

;te

rzo

vo

rtic

ita

;qu

art

avo

rtic

ita

20 40 60 80-1E+08

-5E+07

0

5E+07

baroclinico(omega grad) Uomega div U(U grad) omega

Fig. 4.38: Andamento dei termini spaziali dell’equazione di trasporto dellavorticita in un punto nel secondo tratto a sezione costante.


k

do

me

ga

dt;

do

md

r

20 40 60 80

-5E+07

0

5E+07

1E+08

Fig. 4.39: Derivata nel tempo della vorticita calcolata come somma dei terminispaziali dell’equazione della vorticita (curva rossa) e calcolata direttamente daivalori della velocita (curva verde). Tali risultati sono stati ottenuti nel secondotratto a sezione costante.

k

do

md

r;d

om

eg

ad

t

20 40 60 80

-4E+08

-2E+08

0

2E+08

Fig. 4.40: Derivata nel tempo della vorticita calcolata come somma dei terminispaziali dell’equazione della vorticita (curva rossa) e calcolata direttamente daivalori della velocita (curva verde). Tali risultati sono stati ottenuti nel secondotratto a sezione variabile.


4.4.4 Campo di entropia

Si vuole ora rappresentare il campo di entropia. A tale scopo si consideral’equazione dell’energia scritta in termini di entropia cioe la (4.10) trascu-rando i termini viscosi e di conduzione. Si ottiene cosı la seguente equazionein coordinate cilindriche

∂s

∂t+ Ux

∂s

∂x+ Ur

∂s

∂r= 0 (4.16)

dalla quale ricaviamo la ∂s∂t

∂s

∂t= −Ux

∂s

∂x− Ur

∂s

∂r(4.17)

Ai fini di una valutazione numerica di questa equazione si definisce l’en-tropia s = p/ργ .

La stima della ∂s∂t risulta congruente con quella calcolata direttamente dai

valori di p e ρ per i punti presi precedentemente in considerazione (Fig. 4.41),(Fig. 4.42), (Fig. 4.43), (Fig. 4.44).

k

pri

mo

en

tro

pia

;se

con

do

en

tro

pia

;dsd

t;d

en

tro

pia

dt

20 40 60 80

-1.5E+06

-1E+06

-500000

0

500000

1E+06

1.5E+06

Fig. 4.41: Derivata nel tempo dell’entropia calcolata come somma dei terminispaziali dell’equazione dell’entropia (curva blu) e calcolata direttamente dai valoridella pressione e della densita (curva celeste). Tali risultati sono stati ottenuti perun punto nel primo tratto a sezione costante.


k

dsd

t;d

en

tro

pia

dt

20 40 60 80

-2E+07

-1E+07

0

1E+07

2E+07

3E+07

Fig. 4.42: Derivata nel tempo dell’entropia calcolata come somma dei terminispaziali dell’equazione dell’entropia (curva rossa) e calcolata direttamente dai valoridella pressione e della densita (curva verde). Tali risultati sono stati ottenuti perun punto nel secondo tratto a sezione costante.

k

dsd

t;d

en

tro

pia

dt

20 40 60 80

-3E+07

-2E+07

-1E+07

0

1E+07

Fig. 4.43: Derivata nel tempo dell’entropia calcolata come somma dei terminispaziali dell’equazione dell’entropia (curva rossa) e calcolata direttamente dai valoridella pressione e della densita (curva verde). Tali risultati sono stati ottenuti perun punto nel secondo tratto a sezione variabile.


4.4.5 Onde acustiche, di scorrimento e di entropia

Il flusso in esame puo essere rappresentato dalle equazioni di Eulero (1.52),(1.54), (1.55) e (1.56).Cio consente di calcolare le equazioni di compatibilita e ricavare quelle deidiversi tipi di onde che caratterizzano il flusso.Si e interessati, dunque, all’equazione (1.58), cioe all’onda di entropia:

(a2 ∂ρ

∂t− ∂p

∂t

)+ Ux

(a2 ∂ρ

∂x− ∂p

∂x

)+ Ur

(a2 ∂ρ

∂r− ∂p

∂r

)= 0

che corrisponde all’espressione dell’equazione dell’entropia (4.16).Nel precedente paragrafo si e dunque mostrato graficamente, per il flusso inesame, l’andamento nel tempo della derivata temporale della variabile del-l’equazione dell’onda di entropia, la s.

Si vogliono, inoltre, graficare le due onde di scorrimento, quindi le due com-ponenti della quantita di moto (1.54), (1.55).A tale scopo si osserva l’andamento nel tempo della ∂Ux

∂t e della ∂Ur∂t , calco-

late attraverso i termini spaziali delle due componenti dell’equazione dellaquantita di moto cioe:

∂Ux

∂t= −Ux

∂Ux

∂x− Ur

∂Ux

∂r− 1

ρ

∂p

∂x(4.18)

e

∂Ur

∂t= −Ux

∂Ur

∂x− Ur

∂Ur

∂r− 1

ρ

∂p

∂r(4.19)

Si possono osservare per i quattro punti presi precedentemente in con-siderazione gli andamenti nelle figure (Fig. 4.44), (Fig. 4.45), (Fig. 4.46),(Fig. 4.47).

Si vogliono infine graficare le equazioni delle onde acustiche (1.61), (1.62),(1.63), (1.64). A tale scopo si rappresenta l’andamento nel tempo dellederivate temporali delle equazioni, calcolate ancora una volta come sommadei termini spaziali nel seguente modo:

(a

γp

∂p

∂t− ∂Ux

∂t

)= −(Ux − a)

(a

γp

∂p

∂x− ∂Ux

∂x

)

−Ur

(a

γp

∂p

∂r− ∂Ux

∂r

)− a

∂Ur

∂r+ a

Ur

r

(4.20)


(a

γp

∂p

∂t− ∂Ur

∂t

)= −(Ur − a)

(a

γp

∂p

∂r− ∂Ur

∂r

)

−Ux

(a

γp

∂p

∂x− ∂Ur

∂x

)− a

∂Ux

∂x+ a

Ur

r

(4.21)

(a

γp

∂p

∂t+

∂Ux

∂t

)= −(Ux + a)

(a

γp

∂p

∂x+

∂Ux

∂x

)

−Ur

(a

γp

∂p

∂r+

∂Ux

∂r

)− a

∂Ur

∂r+ a

Ur

r

(4.22)

(a

γp

∂p

∂t+

∂Ur

∂t

)= −(Ur + a)

(a

γp

∂p

∂r+

∂Ur

∂r

)

−Ux

(a

γp

∂p

∂x+

∂Ur

∂x

)− a

∂Ux

∂x+ a

Ur

r

(4.23)

Si ottengono cosı i grafici (Fig. 4.48), (Fig. 4.49), (Fig. 4.50) e (Fig. 4.51).Si osserva che quando si considera il punto nel primo tratto a sezione costante(Fig. 4.48), le onde

(∂p∂t − ρa∂Ur

∂t

)e

(∂p∂t + ρa∂Ur

∂t

)coincidono. E’ dunque

possibile affermare che il termine ρa∂Ur∂t risulta trascurabile rispetto a ∂p

∂t ,infatti se confrontati graficamente forniscono il seguente risultato (Fig. 4.52)che e congruente con la figura (Fig. 4.48).

In tutti gli altri punti presi in considerazione tale coincidenza non siverifica ma le due curve sono in opposizione di fase analogamente a quantoavviene per le

(∂p∂t − ρa∂Ux

∂t

)e

(∂p∂t + ρa∂Ux

∂t

)in tutti i casi presi in esame.

Da questa osservazione si puo dedurre che quando le due curve sono inopposizione di fase sono i termini ρa∂Ur

∂t e ρa∂Ux∂t a determinare l’andamento

nel tempo essendo preceduti in un caso dal segno + nell’altro dal segno -.Si vuole dimostrare cio graficamente.A tale scopo si osservano gli andamenti nel tempo della ρa∂Ur

∂t e della ρa∂Ux∂t

confrontati con la ∂p∂t nel punto nel secondo tratto a sezione costante mostrati

nelle figure (Fig. 4.53) e (Fig. 4.54).E’ possibile confermare la congruenza di tali andamenti osservando quelli

della p, della Ur e della Ux lungo l’asse ad una altezza fissata.Risulta evidente che nel primo tratto a sezione costante (nel grafico il

valore dell’ascissa e 0.2) si hanno gradienti della p e della Ux grandi, mentree piccolo quello della Ur e cio si verifica nel tempo per l’intera simulazione.Con la variazione d’area la situazione cambia, si hanno andamenti non li-neari ma oscillanti per tutte e tre le grandezze.E’ inoltre importante osservare gli andamenti della p, della Ur e della Ux adun’ascissa fissata al variare di r.


Si hanno i seguenti comportamenti: la variazione lungo r della Ur e della psono trascurabili mentre e grande quella della Ux.

Tali considerazioni vengono riportate perche le derivate lungo le direzionix ed r della pressione e delle due componenti della velocita determinanosecondo le (1.54) e (1.55) l’andamento nel tempo delle derivate temporali cioedella ∂Ur

∂t e della ∂Ux∂t . Risulta cosı evidente dalla figura (Fig. 4.44) che la ∂Ur

∂te praticamente nulla ed e proprio questo a determinare la coincidenza dellecurve

(∂p∂t − ρa∂Ur

∂t

)e

(∂p∂t + ρa∂Ur

∂t

)nel punto nel primo tratto a sezione

costante (Fig. 4.48). Al contrario negli altri punti le ∂Ur∂t e ∂Ux

∂t risultanoconfrontabili (Fig. 4.45), (Fig. 4.46), (Fig. 4.47), hanno quindi lo stessoruolo nelle equazioni delle onde acustiche e determinano che le curve sianoa due a due in opposizione di fase.

k

pre

ssp

erd

ive

rge

nza

2

20 40 60 80-40000

-20000

0

20000

40000

Fig. 4.44: Onde di scorrimento. Andamento nel tempo della ∂Ux

∂t (curva rossa) edella ∂Ur

∂t (curva verde) per un punto nel primo tratto a sezione costante.


k

pre

ssp

erd

ive

rge

nza

2

20 40 60 80

-15000

-10000

-5000

0

5000

10000



∂t (curva verde) per un punto nel primo tratto a sezione variabile.

k

qm

1;q

m2

20 40 60 80

-100000

-50000

0

50000

100000

150000



∂t (curva verde) per un punto nel secondo tratto a sezione costante.


k

pre

ssp

erd

ive

rge

nza

2

20 40 60 80

-200000

0

200000

400000



∂t (curva verde) per un punto nel secondo tratto a sezione variabile.

k

pre

ssp

erd

ive

rge

nza

2;p

ressp

erd

ive

rge

nza

3

20 40 60 80

-1E+08

-5E+07

0

5E+07

1E+08

Fig. 4.48: Onde acustiche. Andamento nel tempo della(

∂p∂t − ρa∂Ux

∂t

)(curva

rossa), della(

∂p∂t − ρa∂Ur

∂t

)(curva blu), della


∂t

)(curva verde) e della(

∂p∂t + ρa∂Ur

∂t

)(curva celeste) per un punto nel primo tratto a sezione costante.


k

pre

ssp

erd

ive

rge

nza

2;p

ressp

erd

ive

rge

nza

3

20 40 60 80-6E+07

-4E+07

-2E+07

0

2E+07

4E+07



∂t

)(curva

rossa), della(


∂t

)(curva blu), della


∂t


∂p∂t + ρa∂Ur

∂t

)(curva celeste) per un punto nel primo tratto a sezione variabile.


k

pre

ssp

erd

ive

rge

nza

;pre

ssp

erd

ive

rge

nza

2

20 40 60 80

-4E+08

-2E+08

0

2E+08

4E+08



∂t

)(curva

rossa), della(


∂t

)(curva blu), della


∂t


∂p∂t + ρa∂Ur

∂t

)(curva celeste) per un punto nel secondo tratto a sezione costante.


k

pre

ssp

erd

ive

rge

nza

2;p

ressp

erd

ive

rge

nza

3

20 40 60 80

-1E+09

-5E+08

0

5E+08

1E+09



∂t

)(curva

rossa), della(


∂t

)(curva blu), della


∂t


∂p∂t + ρa∂Ur

∂t

)(curva celeste) per un punto nel secondo tratto a sezione variabile.

k

pre

ssp

erd

ive

rge

nza

2;d

pre

ssi

on

ed

t

20 40 60 80

-2E+07

-1E+07

0

1E+07

2E+07 dp/dtrho a dUr/dt

Fig. 4.52: Confronto grafico tra la ∂p∂t e il termine ρa∂Ur

∂t per il punto nel primotratto a sezione costante.


k

pre

ssp

erd

ive

rge

nza

2;d

pre

ssi

on

ed

t

20 40 60 80

-2E+08

0

2E+08

4E+08rho a dUr/dtdp/dt

Fig. 4.53: Confronto grafico tra la ∂p∂t e il termine ρa∂Ur

∂t per il punto nel secondotratto a sezione costante.

k

pre

ssp

erd

ive

rge

nza

2;d

pre

ssi

on

ed

t

20 40 60 80

-2E+08

-1E+08

0

1E+08

2E+08 rho a dUx/dtdp/dt

Fig. 4.54: Confronto grafico tra la ∂p∂t e il termine ρa∂Ux

∂t per il punto nel secondotratto a sezione costante.

Conclusioni

L’analisi condotta ha mostrato che i campi di pressione, vorticita ed en-tropia risultano, al variare della geometria del motore e delle caratteristichedel flusso, dominati da uno specifico termine dell’equazione relativa.In particolare il termine legato alla divergenza della velocita e dominantenell’equazione della pressione, il termine di trasporto in quella della vorti-cita. Sia nel primo tratto a sezione costante caratterizzato dall’adduzionedi massa, sia in corrispondenza delle variazioni di area dove sono presenti ivortici, si osservano analoghi comportamenti nelle equazioni.

L’osservazione dei grafici ricavati dalle equazioni delle onde mostra come nelprimo tratto a sezione costante domini l’effetto della pressione sullo scor-rimento in direzione radiale, mentre e lo scorrimento in direzione radiale adominare nelle regioni con sezione variabile e nel secondo tratto a sezionecostante. In tutto il motore lo scorrimento in direzione assiale domina sullapressione.La diversita dell’andamento delle onde ascustiche e di scorrimento nella pri-ma zona a tratto costante e legata anche al fatto che nel flusso si possonoindividuare due zone: la prima, coincidente con la zona a sezione costantee con adduzione di massa, in cui pressione, velocita e densita hanno anda-menti lineari lungo l’asse; la seconda, caratterizzata dalle variazioni d’area,in cui le grandezze presentano un andamento oscillante.

107

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