IL CAMPIONE

Due tecniche principali per estrarre n unità da una popolazione U= {1,2,3,....,N}:

1. con ripetizione2. senza ripetizione

→ In ambo i casi le unità successivamente selezionate costituiscono un campione

In base all'ordine di estrazione un campione può essere:

ordinato non ordinato

In entrambi i casi si utilizza la notazione: c={i

1,i

2,i

3,....,i

n}

Il campione delle osservazioni è indicato con il vettore di v.c. (Y

1,Y

2,....,Y

n). In particolare nel caso di

estrazione con ripetizione gli n risultati che ne derivano costituiscono un campione casuale e le v.c. sono i.i.d.

I dati campionari sono costituiti dalle coppie (i

j,Y

ij) indicate da:

d=((i1,Y

i1);(i

2,Y

i2);...

;(i

n,Y

in))

È indicato con Ω ed è l'insieme di tutti i possibili campioni che si possono formare da una popolazione finita di N unità in base a una tecnica predefinita, basata sull'ordinamento e sulla ripetizione delle unità.

LO SPAZIO CAMPIONARIO

1. Campioni ordinati con ripetizioneLo spazio campionario è dato da Nn e corrisponde alle disposizioni con ripetizione, cioè al numero dei raggruppamenti ordinati di n elementi tra N dati, raggruppamenti che si intendono differenti per almeno un elemento o per l'ordine degli elementi o per il numero di volte in cui compare lo stesso elemento.

ESEMPIO:Se in una popolazione di N=5 unità si estraggono campioni di ampiezza n=2, lo spazio campionario è: Ω=52=25 punti campione

2. Campioni ordinati senza ripetizione

Lo spazio campionario è dato da (N)n=N(N-1)...

(N-n+1) che corrisponde alle disposizioni semplici, cioè ai raggruppamenti ordinati di n elementi scelti tra N dati, raggruppamenti che si intendono differenti per almeno un elemento o per l'ordine degli elementi.

ESEMPIO:Se in una popolazione di N=6 unità si estraggono campioni di ampiezza n=3, lo spazio campionario è:Ω=6(6-1)(6-2)=120

3. Campioni non ordinati con ripetizione

In questo caso il numero dei possibili campioni è pari a e corrisponde alle combinazioni con ripetizione, cioè a quei raggruppamenti non ordinati di n elementi scelti tra N dati, raggruppamenti che si intendono differenti per almeno un elemento o per il numero di volte in cui compare lo stesso elemento.

ESEMPIO:Se in una popolazione di N=8 unità si estraggono campioni di ampiezza n=4, lo spazio campionario è: Ω= = = =330

4. Campioni non ordinati senza ripetizione

Il numero dei possibili campioni è pari alle combinazioni semplici, cioè ai raggruppamenti non ordinati di n elementi scelti tra N dati in modo tale che ogni raggruppamento si intende differente per almeno un elemento.

ESEMPIO:Se in una popolazione di N=5 unità si estraggono campioni di ampiezza n=2, lo spazio campionario è:Ω= = = =10

Infine si possono considerare anche spazi campionari che contengono campioni con ampiezza variabile, indicata con il simbolo n(c).

Ad esempio Ω* riferito ai campioni non ordinati senza ripetizione che derivano da una popolazione di N=5 sarà pari alla somma dei possibili campioni con ampiezza 1,2,3,4.

Indici più usati per descrivere le caratteristiche del campione sono:

Media campionaria:

Varianza campionaria:

Covarianza campionaria:

Coefficiente di regressione campionario:

Coefficiente di correlazione campionario:

Analisi del campione

Piano di campionamentoSi definisce piano di campionamento l’associazione tra i

campioni c∈Ω e la corrispondente misura di probabilità p(c) quando valgono le condizioni:

;

Per gli spazi campionari precedentemente descritti si hanno i seguenti piani di campionamento:

1.

2.

3.

4.

Piano di campionamento Schema di campionamento

Probabilità di inclusione

La probabilità che l’unità i-esima della popolazione appartenga al campione estratto è detta probabilità di inclusione del primo ordine ed è indicata con πi.

Quindi essendo Ωi un sottospazio di Ω:

Nel caso di campioni con ripetizione indicando con γi(c) il numero di volte che l’unità i-esima è presente nel campione c (0≤γi≤n) si considera la frequenza attesa di inclusione:

Si possono definire anche le probabilità di inclusione del secondo ordine.

è la probabilità che il campione comprenda le unità i e j della popolazione e si ricava:

StimatoriNel campionamento da popolazioni infinite gli stimatori sono v.c.

generate dalle stime campionarie, cioè da determinate funzioni dei dati campionari.

Nel campionamento da popolazioni finite lo stimatore può dipendere dalle sole manifestazioni del carattere ϒ.

La struttura dello stimatore della media o del totale della popolazione è lineare omogenea del tipo:

In generale quando si considera un campionamento con probabilità variabili gli stimatori sono funzioni lineari con coefficienti che dipendono dalle etichette.

θ è il parametro della popolazione e lo stimatore è la funzione dei dati campionari

Proprietà stimatori

Per valutare le qualità di uno stimatore è necessario considerare la sua distribuzione di probabilità in quanto esso è considerato tanto più valido quanto più tale distribuzione è addensata attorno al valore vero del parametro.

Proprietà:

• Correttezza

• Consistenza

• Efficienza

Correttezza Uno stimatore di θ si definisce corretto o non distorto se il suo

valore atteso è uguale a θ

Se questo non vale, la sua distorsione (B) è definita da:

lo stimatore media campionaria gode della proprietà della correttezza per un fissato piano p(c)

per ottenere uno stimatore corretto della varianza S2 si utilizza lo stimatore varianza campionaria corretta

ConsistenzaUno stimatore di θ si definisce consistente se:

Stimatore consistente se per n→∞ la sua efficienza cresce cioè che converge in θ.

Inoltre si può definire asintoticamente corretto se vale:

Quindi la condizione sufficiente perché sia consistente è che:

Efficienza Per valutare l’efficienza si introduce l’errore quadratico

medio (MSE) cioè la media dei quadrati delle distanze tra lo stimatore e il parametro oggetto di stima.

Quindi se lo stimatore è corretto l’MSE coincide con la varianza.

!Nella pratica si possono usare anche stimatori distorti purché asintoticamente corretti e quindi, in questi casi, la varianza è la misura più usata rispetto all’MSE

Intervalli di confidenza

Pቈ𝜃 − 𝑧𝛼2ට𝑉൫𝜃൯< 𝜃 < 𝜃 + 𝑧𝛼/2ට𝑉൫𝜃൯ = 1− 𝛼

Definiremo 1-α livello di confidenza dell’intervallo ed indica il livello di affidabilità della stima effettuata.Alcuni campioni conterranno θ e altri non lo conterranno.

Strategie campionarie

𝐷𝑒𝑓𝑓= 𝑉൫𝜃൯𝑉0൫𝜃൯

Inferenza su popolazioni finite

Esistono forti differenze tra il campionamento di popolazioni finite e la teoria generale dell’inferenza statistica. La contrapposizione nasce dal fatto che una popolazione finita contiene unità definite, identificate ed etichettabili. Per questo motivo si sono formate due correnti di pensiero contrapposte:Approccio classico o a popolazione fissaApproccio di superpopolazione o predittivo

Impostazione classicaConsidera la popolazione come fissa perciò i valori assunti da un carattere, costituiscono un parametro identificabile con un vettore di quantità fisse. In questo approccio risulta fondamentale il piano di campionamento, poiché da esso dipende il campione estratto e quindi lo stimatore con cui sin farà inferenza.

Impostazione di superpopolazioneConsidera il campione come ottenuto da una popolazione più grande detta superpopolazione che è costituita da infinite popolazioni, che sono i campioni stessi.In questa impostazione il parametro non è più fisso, ma è una variabile casuale ignota.I legami esistenti tra il campione e la superpopolazione costituiscono un modello detto di superpopolazione che permette di fare inferenza sul modello stesso.Le stime e le variabili casuali, che si generano al variare della popolazione estratta dalla superpopolazione sono dette predittori.