IdentiÞcazione e sintesi di reti compatte di feedback ... · Capitolo 2 Problematiche termiche nei...

Universita degli Studi di Napoli Federico II

FACOLTA DI INGEGNERIA

Corso di Laurea Triennale in Ingegneria Elettronica

Tesi di laurea

Identificazione e sintesi di reti compatte di

feedback elettrotermico: confronto di

topologie ed analisi di prestazioni in SPICE

Relatore:

Ch.mo Prof.

Massimiliano de Magistris

Correlatore:

Ing. Alessandro Magnani

Candidato:

Andrea Stefanelli

Matricola 528/1519

Anno Accademico 2011–2012

alla mia famiglia...

Indice

1 Introduzione 1

2 Problematiche termiche nei sistemi elettronici 3

2.1 Resistenze e impedenze termiche. . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.2 Multiporta termici e matrice delle impedenze . . . . . . . . 6

3 Identificazione di modelli equivalenti ridotti 10

3.1 Processi di identificazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.2 Identificazione nel dominio della Frequenza . . . . . . . . 14

3.3 Identificazione nel dominio del tempo . . . . . . . . . . . . 16

3.4 Topologie di reti elettriche per la sintesi di impedenze ter-

miche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.4.1 Foster Standard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.4.2 Foster Generalizzata . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.4.3 Rete compatta di Walkey . . . . . . . . . . . . . . . 30

IV

4 Co-simulazioni elettrotermiche in Spice ed onere computazio-

nale 33

4.1 Ottimizzazione delle topologie per sostituzione . . . . . . . 37

4.2 Casi di studio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.2.1 Sistemi elettronici ad alta integrazione . . . . . . . . 43

4.2.2 Array di transistori bipolari ad eterogiunzione su

substrato di GaAs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4.3 Confronto Complessivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.4 Conclusioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

Bibliografia 55

V

Capitolo 1

Introduzione

In questa tesi vengono analizzate diverse topologie circuitali per la

realizzazione di reti di feedback elettrotermico e ne vengono confronta-

te le prestazioni in SPICE. Nelle attuali tecniche di progettazione elet-

tronica, a causa dell’integrazione sempre più spinta dei componenti, la

dissipazione di potenza ha raggiunto e superato le capacità dei moderni

dissipatori di calore di limitare la temperatura dei chip. Di conseguenza,

i problemi termici sono passati in primo piano e le tecniche di progetta-

zione sono sempre più orientate al minor consumo di energia. “Smaller

and faster” è questo che il mercato chiede per i prodotti elettronici e ciò

come detto si traduce in alte dissipazioni di potenza, temperature di fun-

zionamento più elevate e riduzione dell’affidabilità. Se il calore non viene

adeguatamente smaltito, le temperature crescono riducendo l’affidabilità

dei dispositivi elettronici. Nasce quindi la necessità di capire l’effetto che

1

1 – Introduzione

la temperatura ha sull’affidabilità e sulle prestazioni, studiarne i metodi

di gestione, di trasferimento, e mettere a punto tecniche per modellare e

analizzare tali trasferimenti di calore. È infatti ben noto che il surriscal-

damento influisce negativamente sia sulle prestazioni che sulla affidabi-

lità dei sistemi elettronici. Vari metodi sono stati proposti per derivare

efficienti modelli termici dinamici di dispositivi e sistemi. Al fine di de-

scrivere correttamente il comportamento dei sistemi elettronici è richiesta

una soluzione del problema elettrico accoppiata con il problema termico:

il problema congiunto è detto elettrotermico. Le analisi elettrotermiche

possono essere eseguite con una molteplicità di tecniche caratterizzate

da un diverso trade-off tra complessità ed accuratezza. L’elaborato è così

strutturato: nel Capitolo 2 sono introdotte le problematiche termiche dei

sistemi elettronici. Nel Capitolo 3 viene affrontato il problema della iden-

tificazione dei modelli, sia nel dominio del tempo che della frequenza e

vengono introdotte alcune topologie circuitali per la sintesi delle reti di

feedback elettrotermico. Nel Capitolo 4 si applicano alcune tecniche di

ottimizzazione delle topologie introdotte nel Capitolo 3 e si procede al-

la simulazione di due casi di studio, infine viene riportato un confronto

finale tra le topologie.

2

Capitolo 2

Problematiche termiche nei

sistemi elettronici

Nelle moderne tecniche di progettazione l’aumento del grado di in-

tegrazione e dei particolari materiali usati, il meccanismo di conduzione

del calore sta assumendo un ruolo sempre più importante, mentre la con-

vezione ha un ruolo sempre più piccolo, l’onere della della gestione del

calore sta passando quindi dal progettista di package al progettista dei

chip stessi. In oltre l’avvento di nuove tecniche di integrazione, per esem-

pio quella tridimensionale ha reso i circuiti integrati ancora più sensibili

agli effetti termici. L’architettura 3-D se da un lato offre vantaggi unici

in termini di dimensioni e performance, dall’altro assorbe maggiore den-

sità di potenza raggiungendo temperature che possono essere parecchio

3

2 – Problematiche termiche nei sistemi elettronici

elevate. La gestione della temperatura in queste strutture assume quin-

di un ruolo fondamentale. Infatti molti dei guasti che si manifestano nei

circuiti elettronici sono causati o legati alle temperature elevate, alle im-

provvise variazioni di temperatura spaziali o temporali e alla presenza di

hot spot. Le variazioni di temperatura in un circuito VLSI possono cau-

sare significative incertezze sul timing, aumento dei margini di rumore e

quindi degradare le prestazioni dei circuiti.

2.1 Resistenze e impedenze termiche.

Per modellare il legame tra dissipazione di potenza e il relativo au-

mento di temperatura del dispositivo è stato introdotto il concetto di resi-

stenza termica e impedenza termica. Si parla di resistenza termica se siamo

in regime stazionario, essa quantifica l’attitudine di un percorso termico

di trasferire calore. La definizione generale della resistenza di un per-

corso termico, che comprende i tre differenti metodi di trasferimento del

calore (conduzione, convezione, irraggiamento), è il rapporto tra l’incre-

mento di temperatura misurato in un punto di riferimento e la potenza

dissipata.

RTH =

�T

P

(2.1)

la cui unità di misura è [K/W]. È quindi possibile sfruttare un equivalente

elettrico per il trasferimento del calore in regime stazionario, alle correnti

si fa corrispondere la potenza P e alla tensione il relativo incremento di

4


temperatura e ovviamente alla resistenza elettrica si fa corrispondere la

resistenza termica. Quindi la legge di Ohm V = RI si traduce, per il

modello elettrico equivalente del problema termico, in:

�T = T � T0 = RTHPD (2.2)

Per descrivere gli effetti del riscaldamento in transitorio si introduce

il concetto di impedenza termica. Supponiamo di applicare ad un siste-

ma un gradino di potenza unitario all’istante t = 0, l’impedenza termica

ZTH è l’incremento di temperatura dinamico, rispetto alla temperatura

ambiente, normalizzato all’ampiezza del gradino applicato.

ZTH(t) =

T (t)� T0

PD! �T (t) = ZTH(t)PD (2.3)

Figura 2.1: Illustrazione schematica della definizione diimpedenza termica

Le definizioni viste valgono se si considera un solo dispositivo, ovvero

5


se si misura l’incremento di temperatura del dispositivo dovuto all’atti-

vazione del dispositivo stesso; in questo caso si parla di resistenza/impe-

denza di auto-riscaldamento.

Quando uno dei dispositivi è attivo, dissipa potenza, ciò causa un au-

mento della sua temperatura e di quella dei dispositivi che lo circondano,

si instaura quindi un accoppiamento termico e tali interazioni termiche

sono descritte dall’impedenza termica mutua Zij (t) definita come l’incre-

mento di temperatura dell’i-esimo dispositivo dovuto all’applicazione di

un gradino di potenza al j-esimo dispositivo, normalizzato alla potenza

dissipata.

Zij (t) =Ti(t)� TAMB

Pj(2.4)

2.2 Multiporta termici e matrice delle impedenze

La diretta generalizzazione delle resistenze e impedenze termiche è

la matrice delle resistenze/impedenze termiche, che descrive completa-

mente i dispositivi con più sorgenti di calore. Per esempio un dispositivo

con due fonti di calore in regime stazionario è descritto dalle seguenti

relazioni:�T = R11PD1 +R12PD2

�T = R21PD1 +R22PD2

(2.5)

6


da cui si ricava la matrice

RTH =

0

B@R11 R12

R21 R22

1

CA (2.6)

In transitorio invece abbiamo:

�T1(s) = Z11(s)PD1(s) + Z12(s)PD2(s)

�T2(s) = Z21(s)PD1(s) + Z22(s)PD2(s)

(2.7)

da cui

ZTH =

0

B@Z11 Z12

Z21 Z22

1

CA (2.8)

Z11, Z22 self-heating impedances

Z12, Z21 muthual-heating impedances

L’impedenza termica può essere caratterizzata nel dominio della fre-

quenza dalla frequenza di cutoff termico e nel dominio del tempo dal riseti-

me termico:

• La frequenza di cutoff termico fTH è definita dalla frequenza a 3db di

|ZTH(f)|, ovvero è la frequenza alla quale lo spettro dell’impedenza

termica si è ridotto rispetto al valore di regime di un fattorep2

|ZTH(f)| = RTHp2

(2.9)

7


• Il risetime termico tR è definito come la differenza tra l’istante di tem-

po in cui l’impedenza termica raggiunge il 90% del suo valore di

regime e l’istante di tempo in cui raggiunge il 10%.

tR = t90% � t10% (2.10)

Attraverso opportune misurazioni o simulazioni è possibile ottenente

l’andamento dell’impedenza termica nel tempo o in frequenza. Median-

te opportune tecniche di identificazione e sintesi è possibile ricavare una

rete di feedback termico che consente, date le potenze in ingresso, di otte-

nere in uscita i relativi incrementi di temperatura. Questa rete accoppiata

opportunamente a macromodelli elettrici del sistema da analizzare, dota-

ti di terminali di temperatura e di potenza, consente di effettuare una si-

mulazione elettrotermica completa all’interno di un simulatore circuitale

standard.

Nel corso di questo lavoro di tesi verranno considerate alcune topolo-

gie di rete per la sintesi impedenze termiche, con l’obiettivo di valutare

comparativamente rispetto alla loro identificazione ed all’utilizzo finale.

In particolare il lavoro sarà strutturato come segue:

• Analizzare le diverse topologie di reti termiche dal punto di vista

della struttura e delle proprietà.

• Descrivere gli specifici algoritmi di estrazione per l’identificazione

8


(a)

(b)

Figura 2.2: (a) frequenza di cutoff termico e (b) risetimetermico

di parametri termici Ri e Ci, ottimizzati per ogni topologia di rete

termica.

• Analizzare e confrontare le differenti topologie in termini di accu-

ratezza, efficienza e numero di parametri estratti.

9

Capitolo 3

Identificazione di modelli

equivalenti ridotti

Per una progettazione orientata a minimizzare le riduzioni di presta-

zioni e affidabilità dovute agli effetti termici, l’analisi elettrotermica dei

dispositivi sta assumendo un ruolo chiave nelle moderne tecniche di pro-

gettazione. Gli effetti termici infatti assumono grande importanza nelle

tecnologie allo stato dell’arte a causa della spinta scala di integrazione e

della crescita delle potenze in gioco. In letteratura sono stati introdotti di-

versi metodi per eseguire co-simulazioni elettrotermiche, ovvero per po-

ter simulare l’effetto termico che un dispositivo produce su se stesso o su

altri dispositivi vicini. Tali metodi possono essere suddivisi in diverse ca-

tegorie caratterizzate da gradi di precisione e complessità differenti. Per

10

3 – Identificazione di modelli equivalenti ridotti

strutture semplici le co-simulazioni elettrotermiche possono essere realiz-

zate attraverso software che sfruttando algoritmi quali il Finite Element

Method (FEM), calcolano il campo di temperatura dell’intero sistema per

ogni step di simulazione. Tali risultati abbinati poi ad una simulazione

elettrica del circuito realizzano una simulazione elettrotermica comple-

ta. Tale procedura è eseguita per ogni step di simulazione ed è evidente

che se la complessità del sistema aumenta risolvere le equazioni del ca-

lore ad ogni step diventa estremamente dispendioso dal punto di vista

dell’onere computazionale.

Fintanto che la struttura è semplice calcolare il campo di temperatura

in ogni punto è fattibile ed utile in termini di accuratezza di simulazione,

ma se la struttura si complica diventa necessario cambiare approccio. Di

solito infatti si è interessati a simulare l’effetto che un dispositivo attivo

ha su se stesso e sui dispositivi ad esso adiacenti, quindi si è interessati

a calcolare il campo di temperatura esclusivamente in determinati pun-

ti della struttura, si è inoltre interessati a calcolare in maniera veloce e

rapida l’aumento della temperatura in un punto per effetto dell’applica-

zione di potenza in un altro. La struttura quindi può essere considerata

come un sistema multiporta che attraverso equivalenti elettrici modella il

sistema dal punto di vista termico, essendo i problemi termici a parame-

tri distribuiti il sistema equivalente sarà caratterizzato da infiniti poli. È

evidente l’impossibilità di simulare un sistema del genere se non si ridu-

ce il suo ordine. Si adottano quindi tecniche dette di riduzione d’ordine,

11


si identifica cioè il sistema multiporta con un set di poli limitato. È ben

noto infatti che i problemi di diffusione del calore, una volta discretiz-

zati, possono essere interpretati mediante delle reti elettriche equivalenti

passive, caratterizzate da un numero limitato di poli. Nei casi più sem-

plici si può modellare l’effetto dovuto all’autoriscaldamento attraverso

una semplice cella RC (e.g. reti RC) [2], mentre nei casi più complessi si

adoperano sistemi multiporta caratterizzati da una matrice di impedenze

termiche. Le impedenze saranno identificate sfruttando alternativamen-

te due diverse tecniche di identificazione (una nel domino del tempo e

una in quello della frequenza) e tre diverse topologie per la sintesi circui-

tale. A valle dei processi di identificazione si passa ad una fase di sintesi

circuitale, ovvero la realizzazione pratica del circuito implementato in un

blocchetto SPICE che accoppiato al macromodello del circuito consente di

effettuare una simulazione elettrotermica completa della struttura senza

fare ricorso a tecniche complesse come il precedentemente citato FEM.

Tali tecniche in oltre devono garantire la conservazione delle proprietà

del sistema: stabilità, passività, fisica realizzabilità ecc. . .

3.1 Processi di identificazione

Il processo di identificazione per sistemi lineari consiste nel determi-

nare una forma approssimata per la matrice o funzione di trasferimento

del sistema. L’espressione trovata analiticamente è in termini di rapporto

12


tra polinomi o in termini di poli e residui e deve approssimare in maniera

accurata la risposta del sistema conservandone le caratteristiche fisiche.

Tra gli algoritmi proposti in letteratura per la procedura di identificazione

troviamo il Vector Fitting [], algoritmo iterativo basato sulla ricollocazio-

ne dei poli; ad ogni iterazione viene risolto un problema lineare, fino a

quando non si raggiunge la migliore accuratezza possibile. Questo algo-

ritmo suddivide il problema di partenza non lineare in due stadi, ognuno

dei quali risolve un problema lineare. Riferendoci all’algoritmo del Vec-

tor Fitting per l’espansione approssimata di una funzione, si giunge a

questo tipo di approssimazione per la f(s)

f(s) =

NX

m=1

cm

s� pm+ d+ sh (3.1)

Le incognite da determinare sono cm, pm, d, h e la non linearità del

problema sta nella presenza delle incognite pm al denominatore. Il pro-

blema però è suddivisibile in due problemi lineari: in un primo stadio si

determinano i poli della f(s), mentre in un secondo di calcolano i residui

della f(s) con i poli fissati calcolati nel primo stadio. Questa procedu-

ra porta ad una funzione con poli stabili ma non assicura la passività,

proprietà indispensabile al successo di una simulazione di una rete di

grandi dimensioni, poiché anche se un circuito è stabile ma non passivo,

inserito in un macro-modello può generare un comportamento instabile.

13


Per tanto si ricorre alle metodologie di forzamento della passività. Esi-

stono due tipologie di approcci nell’identificazione passiva: un approc-

cio a-posteriori che consiste nel correggere le violazioni di passività del

modello identificato con tecniche perturbative [1] [9], e un approccio a-

priori nel quale si giunge ad un modello passivo imponendo dei vincoli

durante la fase di identificazione [3]. Un approccio a-priori è il Positi-

ve Fraction Vector Fitting (PFVF) [12] [13]. Per questa procedura, i poli

sono identificati mediante il Vector Fitting [5], formulando il calcolo dei

residui come un problema di ottimizzazione convessa, e la matrice che si

ottiene è un’espansione in frazione positiva.

3.2 Identificazione nel dominio della Frequenza

Supponiamo di avere a disposizione le caratteristiche ai terminali di

un generico sistema multi-porta lineare, da tali caratteristiche come det-

to si vuole ricavare la matrice di trasferimento del sistema attraverso la

procedura del PFVF. Nel dominio della frequenza a valle del PFVF la

generica matrice H(s) (matrice delle impedenze, ammettenze o al più

matrice ibrida) di un sistema ad M porte è rappresentata dalla seguente

espansione [13]:

H(s) = R0 +

NcpX

n=1

rn

s� pn+

r

⇤n

s� p

⇤n

�An +

NrpX

n=1

rn

s� pnAn (3.2)

14


dove s è la frequenza complessa, Ncp è il numero di poli complessi co-

niugati, Nrp è il numero di quelli reali, R0 e An sono matrici M ⇥ M

con M numero di porte del sistema. L’espressione (3.2) può essere ri-

scritta considerando solo i poli reali, nei problemi termici infatti non si

hanno picchi di risonanza, quindi non sono mai presenti poli comples-

si coniugati. Si giunge quindi alla rappresentazione della matrice delle

impedenze secondo la seguente espansione:

Zn(s) =

NpX

n=1

Rn

s� pn(3.3)

dove Np è il numero di poli reali e Rn = rnAn sono le corrispondenti

matrici di residui. Tali matrici per le proprietà del sistema devono essere

reali simmetriche e definite positive con il termine a11 = (An)11 che può

essere fissato ad 1 nella fattorizzazione di rn. L’equivalente elettrico per

il problema termico è una rete di celle RC, in quanto tutti i poli sono

reali. Empiricamente si è dimostrato che l’assunzione di un unico, ma

limitato, set di poli per tutte le impedenze termiche associate al sistema,

è ragionevole in quanto, quando si lavora con problemi di propagazione

termica si manifesta sempre una collezione di poli dominanti. Se tutte

le condizioni sono rispettate, la passività è garantita con un criterio a-

priori su tutto lo spettro di frequenze determinando le matrici di residui

15


attraverso un processo di ottimizzazione convessa

{Rn} = argmin

��Zn(j!k)� ˜Zn(j!k)

��2

Rn � 0

(3.4)

dove ˜Z sono i dati dell’impedenza termica e Rn � 0 è il vincolo di passi-

vità. Quindi per problemi termici che coinvolgono un numero limitato di

porte e un numero relativamente basso di poli, l’onere computazionale

richiesto dal problema di identificazione è piuttosto basso, anche se va

osservato, che deve essere eseguita una serie di misurazioni o una pre-

liminare simulazione termica 3-D che può essere onerosa. Una volta ot-

tenuta la matrice delle impedenze nella forma (3.3) deve essere eseguito

un processo di diagonalizzazione alle matrici An in modo da poter espri-

mere ogni termine di (3.3) come la somma di matrici di rango unitario.

Tale rappresentazione corrisponde a celle elementari RC opportunamen-

te collegate a trasformatori ideali, come mostrato nella Figura 3.1, dove

N = Np⇥M è il numero delle celle RC utilizzate [6], a causa del processo

di diagonalizzazione.

3.3 Identificazione nel dominio del tempo

Da un punto di vista teorico è possibile, forzando il sistema con un

gradino di potenza unitario, esprimere nel dominio del tempo, la solu-

zione dell’equazione del calore sotto particolari condizioni iniziali e al

16


Figura 3.1: Sintesi della matrice delle impedenze termichenel caso di poli reali (impedenze RC)

contorno, mediante una serie infinita di esponenziali

Zij(t) =

1X

k=1

R

ijk

1� exp

✓� t

⌧k

◆�⌧k = RkCk (3.5)

Da un punto di vista circuitale la (3.5) corrisponde ad una serie infinita

di cappi RC [7]. A livello pratico però non è possibile simulare un’im-

pedenza di questo tipo per questo la serie viene troncata a Np cappi:

17


Zij(t) =

1X

k=1

R

ijk

1� exp

✓� t

⌧k

◆�! Zij(t) =

NpX

k=1

R

ijk

"1� exp

� t

⌧

ijk

!#

(3.6)

Il processo di identificazione consiste nel determinare la rete di feed-

back termico necessaria per le simulazioni, si vogliono quindi determina-

re i vettori delle resistenze e delle costanti di tempo. L’identificazione par-

te dalla misurazione o più in generale dalla simulazione degli andamenti

delle impedenze termiche. Supponiamo di avere a disposizione l’anda-

mento di un’impedenza termica, il processo di identificazione è costituito

da due step:

1. Fissare opportunamente un set di costanti di tempo ⌧k e ricava-

re il corrispondente vettore R attraverso un problema ai minimi

quadrati a costanti di tempo fissate.

2. selezionare il vettore delle costanti di tempo che minimizza lo scar-

to con la Zthin vedi (3.15)

nel primo step si ricava il vettore delle resistenze termiche R, per le fis-

sate costanti di tempo ⌧k, conoscendo R e ⌧k si può ricavare il vettore

delle capacità C. Dai tre vettori calcolati è possibile ricavare l’impedenza

termica identificata Zthid.

Il primo step si ripete per un numero elevato di volte (N), ottenendo

quindi N Zthid, di queste si sceglie quella avente costanti di tempo tali da

18


minimizzare lo scarto con la Zthin .

Si riporta per il primo step la procedura analitica:

Abbiamo visto che la risposta in transitorio ad un gradino unitario di

potenza è data dall’equazione (3.6). Le costanti ti tempo vengono scel-

te con probabilità logaritmica uniforme nell’intervallo tR Figura 4.10(b).

Fissate le costanti di tempo si procede con il calcolo del vettore R. Si im-

posta quindi un problema lineare ai minimi quadrati a costanti di tempo

fissate: la distanza quadratica da Zthin è data da

S =

NtX

i=1

(Zthin(ti)�

ncX

k=1

Rk

1� exp

✓� ti

⌧k

◆�)2

=

NtX

i=1

(Zthin(ti)�

ncX

k=1

Rkc (k, ti)

)2(3.7)

dove Zthin(ti) sono i campioni (noti) agli istanti ti dell’andamento nel

tempo di Zthin , Nt è il numero di campioni e c (k, ti) sono dei coefficienti

noti dall’equazione:

c (k, ti) =

1� exp

✓� ti

⌧k

◆�(3.8)

Si ricordi che in ingresso è stato applicato un gradino di potenza quin-

di a regime tutte le capacità diventano dei circuiti aperti, si fa notare con

riferimento alla Figura 3.2 che la somma delle Rk è esattamente pari al

valore di regime Rth della Zthin .

19


A questo punto si minimizza la (3.7) annullando le derivate rispetto ai

singoli valori di R

@S

@R

⇤k

=

NtX

i=1

("�Zth(ti) +

ncX

k=1

Rkc (k⇤, ti)

#2c (k

⇤, ti)

)= 0 (3.9)

dove con R

⇤k indica un Rk fissato.

Dall’equazione (3.9) si ricava

NtX

i=1

c (k

⇤, ti)Zth(ti) =

ncX

k=1

Rk

NtX

i=1

c (k, ti) c (k⇤, ti) (3.10)

che può essere visto come un problema lineare sovradimensionato del

tipo

A · x = b

@S

@R

⇤k

= 0 !

2

66664

ak⇤k · · · · · ·... . . . ...

1 · · · 1

3

77775R =

2

66664

bk⇤

...

Rth

3

77775(3.11)

con

ak⇤k =

NtX

i=1

c (k, ti) c (k⇤, ti) (3.12)

bk⇤ =

NtX

i=1

Zth(ti)c (k⇤, ti) (3.13)

20


unito alla condizionencX

k1

Rk = Rth (3.14)

risolto il problema per R si ripete lo step 1 per un numero ragionevolmen-

te elevato di volte. Si passa quindi allo step finale valutando le quantità

err =

vuutNtX

i=1

[Zthin(ti)� Zthid(ti)] (3.15)

si seleziona quindi il vettore di costanti di tempo a cui corrisponde una

Zthidcon il più basso scarto (errore) rispetto alla Zthin .

3.4 Topologie di reti elettriche per la sintesi di

impedenze termiche

Nei paragrafi precedenti si è visto come è possibile identificare nel

dominio del tempo o della frequenza le impedenze termiche. Nel se-

guente paragrafo invece, sono presentate diverse topologie di sintesi: Tali

topologie sono caratterizzate da differenti:

• Ipotesi sulle costanti di tempo

• Metodi di identificazione

• Numero di componenti e di parametri da estrarre

• Tempi di simulazione

21


Di seguito viene riportata la descrizione delle diverse topologie:

3.4.1 Foster Standard

La rete di Foster Standard implementa una singola impedenza attra-

verso una serie di Np cappi RC come mostrato in Figura 3.2. Le mutue

interazioni tra diverse fonti di calore sono modellate estendendo la rete

di Figura 3.2 come mostrato in Figura 3.3 per una matrice di impedenze

2⇥ 2.

Figura 3.2: Rete di Foster per una singola impedenzatermica

Ogni Zij è realizzata con Npij cappi RC, ogni serie di cappi poi, at-

traverso il proprio incremento di temperatura �T11, �T12 ecc., pilota un

generatore di tensione controllato.

Generalizzando per una matrice M ⇥M otteniamo la seguente rete

Nella topologia standard non si fanno ipotesi sulle costanti di tem-

po: ogni elemento della matrice delle impedenze termiche è identificato

22


Figura 3.3: Rete di Foster per due dispositivi

separatamente e con costanti di tempo in partenza diverse. Nei casi con-

siderati l’identificazione è stata realizzata nel dominio del tempo attra-

verso una procedura che consente di: trovare il minimo numero di poli

per un’assegnata accuratezza oppure ottenere la massima accuratezza da

un assegnato numero dipoli.

Sia NpS il numero medio delle celle RC che compongono la singola Zij

NpS =

1

M

2

MX

i=1

MX

j=1

Npij (3.16)

la rete di Foster Standard richiede:

23


Figura 3.4: Rete di Foster per M dispositivi

• NpSM2 coppie RC

• M

2 generatori controllati

• l’estrazione di NpS

⇣M2+M

2

⌘parametri se Zij = Zji con (i /= j)

altrimenti vanno estratti NpS (M2+M) parametri

24


3.4.2 Foster Generalizzata

Nella topologia Standard ogni impedenza è realizzata con un diverso

numero di cappi RC quindi con un diverso numero di costanti di tempo.

La topologia generalizzata invece implementa le impedenze a partire da

un set comune di costanti di tempo. L’ipotesi che si fa sulle costanti di

tempo è che ogni impedenza condivide lo stesso set di ⌧k.

A differenza della topologia Standard per l’identificazione e la sintesi

nella topologia Generalizzata si opera nel domino della frequenza. A val-

le del processo di sintesi circuitale, si perviene alla rete mostrata in Figura

3.5. Il processo di identificazione è stato effettuato nel dominio della fre-

quenza, si basa sulle tecniche del Vector Fitting e sull’imposizione a priori

della passività attraverso processi di ottimizzazione convessa. La sintesi

circuitale, che analizzeremo in seguito, viene realizzata solo dopo aver

trasformato ogni polo della matrice identificata in M celle RC. Si può

immediatamente notare la differenza con la topologia Standard, le NpG

celle RC in questo caso sono comuni a tutte le impedenze (stesse costanti

di tempo). Come sarà più chiaro in seguito i GCCC e i GTCT apparte-

nenti alla stessa riga sono l’implementazione circuitale del trasformatore

ideale che realizza le impedenze viste dalle altre porte.

Come per la topologia Standard analizziamo il numero di componen-

ti e parametri richiesti per implementare la rete di Foster Generalizzata.

25


Assumiamo che sia già avvenuta la fase di identificazione per una ma-

trice con M fonti di calore realizzata con un set di NpG poli comuni, il

circuito teorico comprende:

• NpGM celle RC

• 2NpG

�M

2 �M

�generatori controllati

26


Figura 3.5: Rete di Foster Generalizzata

27


Procedura di Sintesi

Data la matrice delle impedenze termiche nella forma (3.3), la sintesi

richiede la diagonalizzazione delle matrici Rn in modo da poter espri-

mere ogni termine della (3.3) come somma di matrici di rango unitario.

Supponiamo che Rn sia diagonalizzabile attraverso la matrice colonna

degli autovettori Tn

R⇤n = T�1

n RnTn (3.17)

dove R⇤n è una matrice diagonale

R⇤n =

0

BBBB@

r

⇤n,1 · · · 0

... . . . ...

0 · · · r

⇤n,M

1

CCCCA(3.18)

i cui coefficienti non nulli sono gli autovalori della matrice R⇤n

�Rn � a

⇤n,mI

�un,m = 0 (3.19)

Ogni Rn può essere espressa come somma di M matrici di rango 1 con

un solo elemento non nullo lungo la diagonale

Rn =

MX

m=1

Rn,m Rn = T�1n R⇤

n,mTn (3.20)

28


La singola impedenza della matrice (3.3) ha una forma del tipo

Zn =

rn

s� pn(3.21)

può essere sintetizzata con una singola cella RC con il polo pn e il resi-

duo rn legati rispettivamente alla resistenza e alla capacità dalle seguenti

equazioni

Zn =

1/C

1/(RC) + s

=

rn

s� pnC =

1

rnR = � rn

pn(3.22)

Tutte le celle RC nella parte sinistra della Figura 3.1 sono realizzate in

questo modo e a causa del processo di diagonalizzazione, ad ogni polo

corrispondono M coppie RC, dato che la matrice Rn è stata espressa co-

me somma di M elementi (matrici a rango unitario). Si spiega in questo

modo perchè il numero delle celle RC utilizzate per questa topologia è

pari a NpGM . I rapporti di trasformazione dei trasformatori ideali si ot-

tengono dalla prima colonna della matrice Rn raccogliendo l’elemento

(1,1) 0

BBBBBBB@

1 kn,1,1 · · · kn,1,M�1

kn,1,1 k

2n,1,1 · · · kn,1,1kn,1,M�1

...... . . . ...

kn,1,M�1 kn,1,1kn,1,M�1 · · · k

2n,1,M�1

1

CCCCCCCA

m

(3.23)

Le librerie SPICE non contengono il componente trasformatore ideale.

29


Ma un trasformatore ideale di rapporto k può essere implementato con

un generatore di corrente controllato in corrente (GCCC) alla porta 1 e un

generatore di tensione controllato in tensione (GTCT) alla porta 2 come

mostrato in Figura

8><

>:

V1 = kV2

i2 = �ki1

!

8><

>:

V2 =1

k

V1

i1 = �1

k

i2

(3.24)

Figura 3.6: Implementazione in SPICE del componentetrasformatore ideale

Questo conferma perchè il numero di generatori controllati è pari a

2NpG(M2 � M) in quanto il numero di celle RC è pari a NpGM ad ogni

cella sono collegati M �1 trasformatori, ad ogni trasformatore corrispon-

dono due generatori controllati e quindi NpGM · 2(M � 1) = 2NpG(M2 �

M).

3.4.3 Rete compatta di Walkey

L’ultima topologia analizzata è quella Compatta di Walkey [8] [14] nel-

la quale le impedenze termiche mutue Zij sono descritte con le stesse con-

stanti di tempo delle impedente di auto-riscaldamento Zii, i /= j, tale rete

30


può essere estesa anche al caso dinamico come mostrato in Figura 3.7.

Ogni impedenza di auto-risaldamento Zii definisce le costanti di tempo

da identificare per le impedenze mutue appartenenti alla stessa colonna.

Figura 3.7: Rete compatta di Walkey

Per quanto riguarda i processi di identificazione questi avvengono co-

me descritto per la Topologia Foster Standard. Vale la pena notare che

nella topologia Walkey il numero medio dei poli NpC utilizzato per le

impedenze di auto-riscaldamento Zii è leggermente superiore rispetto a

quello utilizzato, a parità di accuratezza, nella topologia Standard per le

31


auto-impedenze.

Al solito assumiamo che sia già avvenuta l’identificazione della matri-

ce delle impedenze termiche per un sistema con M fonti di calore, realiz-

zata con una media NpC poli per ogni impedenza di auto-riscaldamento.

La rete richiede:

• NpCM celle RC

• NpC

�M

2 �M

�generatori controllati (il numero decresce per deboli

accoppiamenti termici)

• 2NpCM parametri per le Zii e NpC

�M

2 �M

�parametri ’R’ per le

Zij

32

Capitolo 4

Co-simulazioni

elettrotermiche in Spice ed

onere computazionale

In questo capitolo le diverse topologie di sintesi viste precedentemen-

te vengono valutate attraverso co-simulazioni elettrotermiche nell’am-

biente SPICE. Obiettivo preliminare del capitolo è quello di stimare l’o-

nere computazionale delle simulazioni delle topologie nella forma in cui

vengono ricavate dalle procedure di sintesi viste nel Capitolo 3 e si for-

nisce una ottimizzazione a livello di simulazione. Nelle varie topologie

viste si può notare la presenza di generatori controllati, la risoluzione in

33

4 – Co-simulazioni elettrotermiche in Spice ed onere computazionale

SPICE di tali reti necessita dell’introduzione di ulteriori variabili. Infat-

ti nei circuiti contenenti generatori di tensione, siano essi indipendenti o

controllati, SPICE, risolvendo il circuito con il metodo dei potenziali ai

nodi modificato, introduce come incognite le correnti che scorrono nei

generatori di tensione e parallelamente aggiunge al set di equazioni le re-

lazioni costitutive dei generatori per chiudere il sistema. È evidente che

aggiungere altre equazioni influisce sulla velocità di risoluzione del cir-

cuito, quindi le diverse topologie verranno simulate più o meno veloce-

mente a causa dei particolari generatori che ne costituiscono la struttura.

In un precedente lavoro sono state valutate le prestazioni di SPICE nella

simulazione di diversi tipi di generatori controllati, confrontando diffe-

renti topologie regolari di rete a parità di numero di nodi. Il confronto è

stato effettuato rispetto ad una rete di riferimento di soli resistori lineari,

dopodiché sono stati valutati i tempi di simulaizione delle diverse topo-

logie in SPICE, prima nel caso statico e poi in quello dinamico. In Figura

4.1 sono riportati i circuiti oggetto del confronto, per quanto riguarda la

rete di riferimento, quella di soli resistori, il numero di incognite teori-

che e quelle in SPICE coincidono, lo stesso vale per la rete formata dai

GCCT. Le reti formate invece dai GTCT, GCCC e GTCC a causa del me-

todo di risoluzione usato (potenziale ai nodi modificato) presentano un

numero di incognite maggiore. Inoltre SPICE per poter simulare i ge-

neratori controllati in corrente introduce ulteriori generatori di tensione

nulla (generatori di sense) tale procedura aumenta ulteriormente l’ordine

34


del sistema. La simulazione è stata realizzata facendo variare il numero

di nodi da 5000 a 25000 in 6 step in modo da ottenere tempi significativi,

il risultato di tale analisi dimostra che il componente che meglio viene

implementato in SPICE risulta essere il generatore di corrente controllato

in tensione (GCCT). Alla luce di tale risultato nei paragrafi successivi si

mostra come ottimizzare le topologie viste (Foster standard, Foster gene-

ralizzata e Walkey) sostituendo ai vari generatori controllati i GCCT, e at-

traverso due casi di studio verranno simulate reti di feedback termico con

e senza ottimizzazione per verificare se c’è un effettivo miglioramento

nelle prestazioni.

35


Figura 4.1: Tabella dei circuiti di confronto

36


4.1 Ottimizzazione delle topologie per sostituzione

Nel Capitolo 3 sono state introdotte tre diverse topologie per la sin-

tesi circuitale di sistemi multi-porta lineari. Come evidenziato nel pa-

ragrafo precedente effettuiamo delle sostituzioni per equivalenza con i

GCCT, che sono risultati essere i componenti con le migliori prestazioni

in SPICE. Di seguito vengono mostrare le sostituzione per i tre tipi di rete:

• Foster Standard

Alla serie degli M GTCT in uscita, si sostituisce il parallelo di

M GCCT e di una resistenza di valore unitario, pilotati dalle stesse

tensioni che pilotavano i GTCT.

Figura 4.2: sostituzione dei generatori nella topologiaFoster Standard

37


• Foster Generalizzata

Come visto nel paragrafo 3.4.2 Figura 3.6 i trasformatori ideali

in SPICE vengono implementati alla porta 1 del trasformatore come

un GCCC controllato dalla corrente della porta 2, ed un GTCT alla

porta 2 controllato dalla tensione alla porta 1. Sostituiamo i GCCC

con i GCCT e inseriamo una resistenza di valore unitario agli in-

gressi pi per poter prelevare la tensione di pilotaggio. Come fatto

per la topologia Foster Standard alla serie degli M ⇥ Np GTCT so-

stituiamo un parallelo di M ⇥Np GCCT che termina su un resistore

di valore unitario.

Figura 4.3: sostituzione dei generatori nella topologiaFoster Generalizzata

38


• Rete Compatta di Walkey

Come illustrato nel paragrafo 3.4.3 le impedenze di auto-riscaldamento

definiscono il numero delle costanti di tempo da identificare per le

impedenze mutue appartenenti alla stessa colonna, realizzate da

una serie di GTCT. La serie di N GTCT viene sostituita con un

parallelo di N GCCT chiuso su una resistenza di valore unitario.

Figura 4.4: sostituzione dei generatori nella topologiaWalkey

39


Prima di analizzare i casi di studio, viene riportato un riepilogo delle

topologie viste:

• Foster Standard

L’identificazione delle singole impedenze è stata realizzata nel do-

minio del tempo, per come è definita la topologia ogni impedenza

viene identificata separatamente. Per la simulazione e la sintesi la

rete di Foster Standard richiede:

– NpSM2 coppie RC

– M

2 generatori controllati

– l’estrazione di NpS (M2+M) parametri


Nel caso della rete generalizzata, l’identificazione è stata realizzata

nel dominio della frequenza e tutte le impedenze sono identificate

a poli comuni. Per una matrice con M fonti di calore realizzata con

un set di NpG poli comuni, il circuito teorico comprende:

– NpGM celle RC

– 2NpG

�M

2 �M

�generatori controllati

• Rete compatta di Walkey

Anche questo caso l’identificazione è effettuata nel dominio del tem-

po, per un sistema con M fonti di calore l’identificazione è realizzata

40


con una media NpC poli per ogni impedenza di auto-riscaldamento.

La rete richiede:

– NpCM celle RC

– NpC

�M

2 �M

�generatori controllati (il numero decresce per

deboli accoppiamenti termici)

– 2NpCM parametri per le Zii e NpC

�M

2 �M

�parametri ’R’ per

le Zij

La tabella 4.1 riassume per ogni topologia di rete il numero di celle

RC necessarie a sintetizzare la rete di feedback termico, il numero di ge-

neratori controllati per la simulazione, gli elementi totali e i parametri da

estrarre per eseguire le simulazioni in SPICE.

41


celle

RC

gene

rato

ri

cont

rolla

tiel

emen

tipa

ram

etri

da

estr

arre

Fost

erst

anda

rdN

pS⇥M

2M

2(2⇥N

pS+1)⇥M

2N

pS⇥� M

2+M

�

Fost

erge

nera

lizza

taN

pG⇥M

2⇥N

pG⇥� M

2�M

�2⇥N

pG⇥M

2N

pG⇥� M

2+1

�

Wal

key

com

patt

aN

pC⇥M

N

pC⇥� M

2�M

�N

pCS⇥(M

2+

M)

N

pC⇥� M

2+M

�

Tabe

lla4.

1

42


4.2 Casi di studio

Le architetture 3-D nelle quali più die vengono sovrapposti e oppor-

tunamente collegati, sono concepite per aumentare l’integrazione dei cir-

cuiti a semiconduttore, portando quindi alla realizzazione di prodotti più

piccoli, più leggeri e più economici. Tuttavia tali strutture sono partico-

larmente soggette agli effetti termici poiché l’aumento di potenza dissi-

pata non è accompagnato da un corrispondente miglioramento nell’effi-

cienza di raffreddamento.

4.2.1 Sistemi elettronici ad alta integrazione

Gli effetti termici sono ancora più amplificati nei moduli di chip realiz-

zati in tecnologia UTCS (ultra-thin chip stacking) principalmente a causa

dello strato di benzociclobutene (BCB) [4] utilizzato per isolare

Figura 4.5: Sezione trasversale del modulodi 2 chip realizzato in tecnologiaUTCS

elettricamente i chip (delle

dimensioni di 10 µm) in-

tegrati verticalmente. Una

conseguenza ben nota del

riscaldamento di tale mo-

dulo è l’aumento del ritar-

do di propagazione dei se-

gnali che attraversano la

43


linea di interconnessione dei chip, dovuta alla crescita, a causa della tem-

peratura, del valore della resistenza distribuita. La struttura del modulo

UTCS è illustrata in Figura 4.5, dall’alto osserviamo che le interconnessio-

ni tra i chip attivi sono realizzate mediante vias in tugsteno e una linea di

rame dello spessore di 2 µm; il chip sepolto (1st-level) è fissato al substra-

to di silicio attraverso uno strato di BCB a sua volta saldato al package

attraverso uno strato di Piombo (Pb) o Stagno (Sn). La Figura 4.6 mostra

invece una rappresentazione 3D dei due chip e della linea di intercon-

nessione. Il modello termico del modulo è stato realizzato utilizzando la

Figura 4.6: Vista 3D del collegamento tra i due chip

seguente strategia. La linea di rame è stata divisa in sette elementi, identi-

ficati nella Figura 4.5 con le lettere a, b, . . . , g ognuno dei quali è associato

ad una fonte di calore, sono in oltre state considerate due ulteriori fonti

44


di calore per descrivere la circuiteria integrata nei chip. Tutte le impeden-

ze sia auto che mutue definite dalle (2.4) sono state valutate preventiva-

mente attraverso una simulazione termica 3D basata sul Finite-Element

Method (FEM) [?] attivando alternativamente solo una fonte di calore per

volta.

La simulazione ha richiesto circa 1.7 ⇥ 10

6 elementi (tetraedri) per la

mesh della struttura sfruttando 2.4⇥ 10

6 gradi di libertà e la simulazione

finale del transitorio su 64 istanti di tempo spaziati logaritmicamente ha

richiesto 10 ore di lavoro da parte di una workstation equipaggiata con 2

CPU hexacore a 2.43 GHz e 100GB di RAM.

Figura 4.7: Step della simula-zione

Una volta noti gli andamenti delle im-

pedenze termiche è possibile generare la

rete termica equivalente. Attraverso pro-

cedure come la network identification by

deconvolution [10], [11] vengono valutate

tutte le costanti di tempo delle impeden-

ze, in particolare sono state valutate in

questo stadio circa 600 costanti di tempo

RC. Sfruttando le tecniche di riduzione

dell’ordine dei modelli come il Vector Fit-

ting (VF) è possibile identificare un set ri-

dotto di poli, in particolare per questa si-

mulazione, è stato dimostrato che un set

45


di 7 poli è più che sufficiente per raggiungere una buona accuratezza. Ta-

le procedura è stata realizzata senza la necessità di imporre che i poli sia-

no reali, infatti non appaiono mai poli complessi coniugati quando si vo-

gliono rappresentare impedenze termiche ottenute attraverso simulazio-

ni 3D che sfruttano le tecniche FEM. A questo punto è possibile passare

alla fase dell’identificazione passiva della matrice dei residui e come fase

finale la sintesi del circuito equivalente incluso in un blocco di feedback

termico compatibile con il software di simulazione PSPICE. Tale blocco

calcola, per tutte le fonti di calore, l’aumento della temperatura rispetto a

quella ambiente dovuto alla potenza dissipata. Il circuito di sintesi è rea-

lizzato con M = 9 porte, considerando come porte i sette segmenti della

linea di interconnessione e i due chip. In base al tipo di topologia scelta

il numero di poli necessario ad identificare la struttura varia:

• per la topologia Foster standard, dove ogni impedenza è identifica-

ta separatamente, si considera il numero medio di poli necessario

all’identificazione, per questa simulazione è sufficiente considerare

NpS = 1.60

• per la Foster generalizzata sono sufficienti Np = 7 poli

• infine per la topologia compatta di Walkey, dove vanno identificate

solo le impedenze di autoriscaldamento, queste sono state identifi-

cate con NpC = 3

46


All’inizio di questo capitolo è stata effettuata un’analisi per verificare

quale generatore controllato sia effettivamente meglio implementato in

SPICE. Le simulazioni sono state realizzare alla luce di tali dati, si simula

la rete di feedback termico sintetizzata senza sostituzioni e in un secondo

momento si effettuano le sostituzioni. Sono state effettuate in un primo

Figura 4.8: Simulazione termica della linea di interconnes-sione del modello UTCS

momento le simulazioni della rete di feedback sintetizzata con la topo-

logia Foster Generalizzata. La simulazione consiste nel porre in ingresso

un gradino di potenza alla porta 1 e misurare il tempo impiegato affi-

ché le uscite vadano a regime. Si è simulato prima il circuito senza le

47


sostituzioni e il tempo di simulazione, come mostrato in Figura 4.8, è ri-

sultato essere di 78,72s dopo le sostituzioni (sostituzione dei GCCT solo

sulle uscite) il tempo misurato è di 77.99s con un risparmio di meno di

un secondo. Lo stesso è stato fatto per la topologia Standard, in questo

caso il risparmio è leggermente maggiore, ma comunque non considere-

vole. Alla luce dei risultati ottenuti simulazioni si è deciso di simulare la

topologia di Walkey senza effettuare le sostituzioni, perché il risparmio

si è dimostrato essere trascurabile. Il definitiva risultato di tale analisi

ha evidenziato che sostituire i generatori controllati con i GCCT compor-

ta dei piccoli miglioramenti in termini di onere computazione, e che la

topologia standard risulta essere quella con le prestazioni migliori.

4.2.2 Array di transistori bipolari ad eterogiunzione su

substrato di GaAs

Come secondo caso di studio si sono presi in considerazione due array

di transistori bipolari adottati nello stadio di uscita di un amplificatore di

potenza in tecnologia GaAs illustrati schematicamente in Figura 4.9, ca-

ratterizzati da diversi valori di accoppiamento termico, debole nel primo

array e forte nel secondo. Il numero M di transistori (quindi delle fonti

di calore) è fatto variare nelle simulazioni.

L’identificazione è stata eseguita a parità di accuratezza. Le reti di

feedback termico ottenute sono state sottoposte ad una simulazione esclu-

sivamente termica: ponendo in ingresso alla rete un gradino di potenza e

48


Figura 4.9: array di transistori

misurando il tempo impiegato per effettuare la simulazione del transito-

rio di accensione a parità di step di simulazione, per un numero variabile

di sorgenti di calore (HBT) e considerando due diversi valori di accop-

piamento termico, debole (array #1) e forte (array #2). Le simulazioni

sono state eseguite in questo modo: la topologia generalizzata, essendo

la topologia con più generatori controllati, è stata simulata sia nella forma

non ottimizzata sia in quella ottimizzata, procedendo cioè alla sostituzio-

ne dei generatori. Anche in questo caso il guadagno ottenuto dalle sosti-

tuzioni è stato minimo, quindi si è deciso di procedere alle simulazioni

delle altre reti senza ottimizzare i circuiti. In Figura ?? vengono riporta-

ti i tempi di simulazione: le reti sintetizzate con le topologie standard e

compatta, fatta eccezione nel caso di accoppiamento debole, hanno pre-

stazioni comparabili, mentre la generalizzata a causa del forte incremento

di generatori controllati che aumentano l’onere computazionale di SPICE

ha le prestazioni peggiori.

49


(a)

(b)

Figura 4.10: (a) accoppiamento debole e (b) accoppiamentoforte

50


4.3 Confronto Complessivo

In questo paragrafo viene proposto un confronto complessivo sulle

topologie viste. Nel corso di questo lavoro i passi seguiti per analizzare e

confrontare le topologie di sintesi sono sostanzialmente tre:

1. Fase di identificazione: a partire da dati noti nel dominio del tempo

o in frequenza, attraverso tecniche come il Vector Fitting nel domi-

nio della frequenza e il Time Domain Vector Fitting in quello del

tempo, si ricavano i modelli del sistema sotto forma di matrice di

trasferimento.

2. Fase di sintesi: legata alle ipotesi fatte nella fase di identificazione,

si deciderà di sintetizzare il circuito sfruttando una delle tre topo-

logie viste a seconda se le impedenze vengono identificate a poli

distinti (Foster Standard) a poli comuni (Foster Generalizzata) op-

pure come ipotesi intermedia si identificano separatamente le im-

pedenze di autoriscaldamento e si identificano a poli comuni le im-

pedenze appartenenti alla stessa colonna, in numero uguale ai poli

necessari a sintetizzare l’impedenza di autoriscaldamento di quella

colonna (Rete compatta di Walkey).

3. Verifica SPICE della sintesi: si simulano i circuiti sintetizzati e se ne

verifica la convergenza e le prestazioni.

51


A valle dei primi due step otteniamo la rete di feedback termico che se

accoppiata a macromodelli elettrici del sistema consente di eseguire una

simulazione elettrotermica completa in SPICE.

La fase di identificazione può avvenire sia nel dominio del tempo che

della frequenza e come detto in base alle ipotesi assunte nella fase di

identificazione, si sintetizzerà il circuito sfruttando la topologia scelta.

In questo lavoro, per motivi di disponibilità del software la topologia Fo-

ster generalizzata è stata nel dominio della frequenza mentre le topologie

Foster Standard e Walkey sono state identificate nel dominio del tempo.

Nei casi di studio analizzati si sono ottenuti i seguenti risultati elencati

di seguito per le diverse topologie:

• Foster Standard

– Simulazione interconnessione modulo UTCS

Le singole impedenze sono state identificate con una media

di NpS = 1.6. Si osserva che il tempo di simulazione richie-

sto è risultato essere il più piccolo di tutte le prove eseguite

19.66s nel caso senza la sostituzione dei generatori e 17.00s con

le sostituzioni.

– Array di transistori bipolari

Anche nel caso degli array di HBT la rete si è dimostrata es-

sere la più veloce ed è risultata essere particolarmente adat-

ta a descrivere sistemi caratterizzati da debole accoppiamento

52


termico.


– Simulazione interconnessione modulo UTCS

Le impedenze sono state identificate nel con Np = 7 poli co-

muni, si vede che il tempo di simulazione è il più alto (78,72s e

77,99s) e le ottimizzazioni non comportano particolari miglio-

ramenti in termini di velocità di simulazione.

– Array di transistori

Nel caso dell’array sia per il caso di accoppiamento debole

che forte, anche in questo caso i tempi sono i più alti, que-

sto per effetto dell’elevato numero di generatori controllati che

aumentano sensibilmente l’onere computazionale di SPICE.

• Rete compatta di Walkey L’identificazione nel caso UTCS è stata

eseguita sfruttando NpC = 3 poli per ogni impedenza di autoriscal-

damento. Il tempo di simulazione richiesto sia nel caso del modulo

UTCS sia nella simulazione dell’array di HBT è superiore rispetto

alla Foster standard, il numero di generatori controllati è maggiore.

La procedura di identificazione però è più semplice e meno onerosa

rispetto alla Foster Standard.

53


4.4 Conclusioni

In questo lavoro sono state presentate tre diverse topologie circuitali

per la sintesi di reti di feedback termico. Sono stati applicati metodi per

l’ottimizzazione delle reti attraverso opportune sostituzioni dei genera-

tori controllati presenti nelle topologie. È stato eseguito infine un insieme

di simulazioni riguardanti in particolare due casi di studio.

I risultati di tali simulazioni hanno evidenziato che la topologia Foster

Generalizzata è risultata essere quella con i tempi di simulazione più alti,

a causa del numero elevato di generatori controllati. Le topologie Foster

standard e compatta di Walkey invece sono caratterizzate da tempi più

brevi. In particolare la topologia Foster Standard richiede una procedura

di identificazione onerosa, tutte le impedenze sono identificate separata-

mente, ma offre tempi di simulazione più brevi. La topologia compatta

invece è identificata attraverso una procedura più semplice, richiedendo

però dei tempi di simulazione leggermente maggiori. Si mette a questo

punto in evidenza che i risultati ottenuti sono estremamente dipendenti

dalla topologia utilizzata e dal metodo di identificazione, non è possibi-

le quinti trarre conclusioni generali ma solamente conclusioni legate ai

particolari casi di studio considerati.

54

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IdentiÞcazione e sintesi di reti compatte di feedback ... · Capitolo 2 Problematiche termiche nei...

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