I sistemi lineari Definizione e caratteristiche

1

Un’equazione del tipo 3x − y = 6 ha come soluzioni tutte le coppie (x, y) che la verificano.

Per esempio (0,−6) è soluzione: 3 0 −(−6) = 6 ma (1, 5) non è soluzione: 3 1 − 5 ≠ 6

In generale le soluzioni di un’equazione in due o più variabili sono infinite.

Se si vogliono trovare le soluzioni comuni a due o più equazioni nelle stesse incognite si scrivono tali equazioni all’interno di una parentesi graffa aperta e si dice che formano un sistema.

ESEMPIO

02

63

yx

yx

I sistemi lineari Definizione e caratteristiche

2

L’insieme delle soluzioni di un sistema è rappresentato dall’intersezione degli insiemi soluzione di ciascuna equazione; soluzione è la coppia (x, y) che verifica entrambe le equazioni.

ESEMPIO

02646643

infatti:

(4, 6) è soluzione del precedente sistema

Le equazioni del sistema sono verificate per gli stessi valori delle variabili.

I sistemi lineari Caratteristiche

3

Il grado di un sistema è il prodotto dei gradi delle singole equazioni.

ESEMPIO

04243

3

22

yxyxx

Il sistema

IL GRADO DI UN SISTEMA

è di grado 6 perché la prima equazione ha grado 2 e la seconda ha grado 3.

I sistemi lineari Caratteristiche

4

SISTEMI INTERI E FRAZIONARI

Un sistema può essere:

02332

yxyx intero se tutte le equazioni

sono intere

31

23

143

21 2

yx

xyyxoppure

xyxyxx

yx

1

11

2

frazionario se almeno una delle equazioni è frazionaria

01

21

33

22

1

yx

yxoppure

Con x ≠ 0 ∧ x ≠ y (C. d. E.) Con x ≠ 2 ∧ x ≠ 0 ∧ y ≠ 3 (C. d. E.)

I sistemi lineari Caratteristiche

5

Analogamente a quanto fatto per le equazioni possiamo affermare che un sistema è:

determinato se ha un numero finito di soluzioni

impossibile se non ha soluzioni

indeterminato se ha infinite soluzioni.

SISTEMI DETERMINATI, INDETERMINATI, IMPOSSIBILI

I sistemi lineari Sistemi equivalenti

6

• Due sistemi equivalenti hanno le stesse soluzioni.

• Per risolvere un sistema si passa ad un altro ad esso equivalente ma di forma più semplice.

• Il passaggio da una forma ad un’altra ad essa equivalente avviene mediante l’applicazione di due principi di equivalenza.

I sistemi lineari Principi di equivalenza

7

ESEMPIO

Principio di sostituzione. Se in un sistema si sostituisce ad un’incognita la sua espressione ricavata da un’altra equazione, si ottiene un sistema equivalente a quello dato.

05321yx

yxIl sistema

Il secondo sistema è stato ottenuto ricavando la y dalla prima equazione e sostituendola nella seconda.

05132

1xx

xyè equivalente a

I sistemi lineari

8

ESEMPIO

Principio di riduzione. Se in un sistema si sommano membro a membro le sue equazioni (alcune o tutte) e si sostituisce ad una di esse l’equazione ottenuta, si ottiene un sistema equivalente a quello dato.

0350132

yxyx

Il sistema

0132

035132

yx

yxyxè equivalente a

Il secondo sistema è stato ottenuto sommando membro a membro le equazioni del primo sistema e associando all’equazione ottenuta una qualunque delle due del sistema (nell’esempio, la prima).

Principi di equivalenza

I sistemi lineari Risoluzione

9

• Un sistema di primo grado è detto lineare.

• Forma normale:

ax by c

dx ey f

• Un sistema lineare determinato ammette una sola soluzione:

x k

y h

La coppia soluzione è (k, h)

I metodi per la risoluzione di un sistema si basano sui principi di equivalenza e sono i seguenti:

• il metodo di sostituzione, che consiste nel ricavare l’espressione di una variabile da una delle equazioni e sostituire tale espressione nelle altre

• il metodo di riduzione, che consiste nel sostituire ad una delle equazioni quella che si ottiene sommando membro a membro l’equazione stessa con un’altra (dopo averle eventualmente moltiplicate per un opportuno fattore non nullo), in modo da eliminare una delle variabili

• il metodo del confronto, che consiste nel ricavare l’espressione della stessa variabile da due equazioni e nel confrontare le espressioni ottenute.

I sistemi lineari Risoluzione

10

• Metodo di sostituzione.

ESEMPIO

024132

yxyx

24132

yxyx

Ricava x dalla seconda equazione

Principio di sostituzione Calcola

241348

yxyy

continua

24

13242

yx

yy

I sistemi lineari Risoluzione

11

2435yx

y

Calcola Principio di sostituzione

5253

x

y

53 ;

52S

2534

53

x

y

I sistemi lineari Risoluzione

12

• Metodo di riduzione.

ESEMPIO

5375

yxyx

5321153

yxyx

Moltiplica per −3 la prima equazione

Principio di riduzione

75

5213153

yx

yxyx

Calcola

continua

I sistemi lineari Risoluzione

13

751616

yxy

Calcola

751yx

y

Calcola

7151

xy

Sostituisci Calcola

21

xy 1 ; 2

S

I sistemi lineari Risoluzione

14

• Metodo del confronto.

ESEMPIO

0102

yxyx

12yxyx

Ricava x nelle due equazioni

Confronta le espressioni ottenute

112

yxyy

Calcola

continua

1

32yxy

I sistemi lineari Risoluzione

15

Calcola e sostituisci

2123

x

y

12323

x

y

23 ;

21S

Calcola

I sistemi lineari

ESEMPIO

Matrici e determinanti

16

Una tabella di numeri della forma si chiama matrice e poiché ha due righe e due colonne

si dice che è una matrice quadrata di ordine due.

a b

c d

Ad ogni matrice di questo tipo si può associare un numero, chiamato determinante, che si calcola in questo modo:

a b

c d= ad − bc

3 6

1 4= 3 4 − 1 6 = 12 − 6 = 6Δ =

Data la matrice3 6

1 4Il suo determinante è

I sistemi lineari Risoluzione

17

• Metodo di Cramer.

feydxcbyax

Dato il sistema si devono calcolare i determinanti:

a b

d e= ae − bdΔ =

c b

f e= ce − bfΔx =

a c

d f= af − cdΔy =

• Se Δ ≠ 0 il sistema è determinato con soluzione

yy

xx

• Se Δ = 0 e Δx = Δy = 0 il sistema è indeterminato.

• Se Δ = 0 e Δx ≠ 0 oppure Δy ≠ 0 il sistema è impossibile.

I sistemi lineari Risoluzione

18

ESEMPIO

34463

yxyx

Dato il sistema calcoliamo i tre determinanti:

−4 6

−3 4= −4 4 − (−3) 6 = −16 + 18 = 2Δx =

3 6

1 4= 3 4 − 1 6 = 12 − 6 = 6Δ = Poché Δ ≠ 0 il sistema è determinato.

3 −4

1 −3= 3 (−3) −1 (−4) = −9 + 4 = −5Δy =

65

31

62

yy

xxIl sistema ha

soluzione

I sistemi lineari Sistemi frazionari

19

Sistema frazionario: sistema in cui almeno una delle equazioni è frazionaria

Procedimento risolutivo:

1. si pongono le condizioni di esistenza delle equazioni imponendo ai denominatori di essere diversi da zero;

2. si riduce ciascuna equazione in forma intera e il sistema in forma normale;

3. si procede alla risoluzione del sistema intero equivalente con il metodo che si ritiene più opportuno;

4. si confrontano le soluzioni trovate con le condizioni di esistenza e si scartano quelle incompatibili.

I sistemi lineari Sistemi frazionari

20

ESEMPIO

0

12

13

125

yx

yx

1. Affinché il sistema abbia significato deve essere x ≠ 1 ∧ y ≠ −1

2. Riduciamo il sistema in forma intera:

011

1213125

yx

xyyx

132125

yxyx

continua

I sistemi lineari Sistemi frazionari

21

3. Scegliamo come metodo risolutivo quello di Cramer

5 −2

2 3= 19Δ =

1 −2

−1 3= 1Δx =

5 1

2 −1= −7Δy =

Dunque:

197

191

y

x4. La soluzione trovata non contrasta con le condizioni

iniziali, quindi:

197 ;

191S

I sistemi lineari Sistemi letterali

22

Sistema letterale: sistema in cui almeno una delle equazioni è letterale; per risolverlo è spesso conveniente applicare il metodo di Cramer.

Consideriamo per esempio il sistema:

2

232

ayax

aayxa

Calcoliamo il determinante della matrice dei coefficienti e scomponiamo il polinomio ottenuto:

a + 2 a

a 1= 1(a + 2) − a a = a + 2 − a2 = −(a − 2)(a + 1)Δ =

I sistemi lineari Sistemi letterali

23

Calcoliamo ora Δx e Δy scomponendo poi i polinomi ottenuti:

3a + 2 a

a2 1= 1(3a + 2) − a2 a = 3a + 2 − a3 = −(a + 1)2(a − 2)Δx =

a + 2 3a + 2

a a2= a2(a + 2) − a(3a + 2) = a3 + 2a2 −3a2 − 2a = a3 − a2 −2a = = a(a2 − a − 2) = a(a − 2)(a + 1)

Δy =

Se Δ ≠ 0, cioè se a ≠ 2 ∧ a ≠ −1, il sistema ha per soluzione:

yy

xx

ayax 1

Se a = 2, allora Δ = 0 e si ha che Δx = 0 e Δy = 0; il sistema è dunque indeterminato.

Se a = −1, allora Δ = 0 e si ha che Δx = 0 e Δy = 0; il sistema è anche in questo caso indeterminato.

I sistemi lineari Sistemi con più di due equazioni

24

I sistemi possono contenere più di due equazioni. Ci occuperemo, in particolare, di sistemi di tre equazioni in tre incognite.

Consideriamo il sistema:

1452

22

zyxzyxzyx

Per risolvere questo tipo di sistemi si usa di solito un metodo misto fra quello di sostituzione e riduzione a seconda della convenienza.

I sistemi lineari Sistemi con più di due equazioni

25

1) Sommiamo la seconda e la terza equazione:

5266

22

zyxx

zyx

2) Sostituiamo il valore di x nelle altre equazioni:

52221

1

zyzy

x

332

1

zyzy

x

x 1

I sistemi lineari Sistemi con più di due equazioni

26

3) Sottraiamo la terza equazione dalla seconda:

363

1

zyyx

2y

4) Completiamo la risoluzione:

12

1

zyx

I sistemi lineari Problemi che si risolvono con i sistemi

27

I problemi con due o più incognite possono essere risolti con i sistemi.

L’importante è trovare un numero di equazioni pari al numero di incognite.

ESEMPIO

La somma di due numeri interi è 35 e si sa che la differenza tra il doppio del primo e il triplo del secondo è 20. Trova i due numeri.

x : 1° numero

y : 2° numero

La soluzione è

1025

yx

I due numeri sono quindi 25 e 10.

Il modello del problema è:

203235yx

yx

con x e y Z .

La somma dei due numeri è 35 x + y = 35

La differenza tra il doppio del 1° e il triplo del 2° è 20 2x − 3y = 20