I Sistemi di riferimento

Un Sistema di Riferimento (SR) è un insieme di regole e misure che ci permettono di rispondere ai quesiti

dove si trova un punto? quando è avvenuto un evento?

Un sistema di riferimento deve permettere di vincolare tutti i gradi di libertà del quesito.

Esigenze storiche e strumentali,

nonché differenti applicazioni hanno portato alla definizione di differenti SR per georeferenziare punti e per temporeferenziare eventi.

I SR tridimensionali

Per definire un SR nello spazio tridimensionale ricorriamo a tre versori ZYX eee ,, con origine comune, ortogonali e tali da formare una terna destrogira, ovvero tali che

ZYXYXYYXX eeeeeeeee =×=⋅=⋅=⋅ ,0,1 ,

Le coordinate di un punto e il vettore fra due punti

Dato un punto P si tracciano le sue proiezioni ortogonali sugli assi ZYX ,, identificati dai versori ZYX eee ,, ; data

un opportuna unità di misura lineare u, definite PPP ZYX , le lunghezze delle tre proiezioni,

,

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎡X

P è identificato dalla terna

⎣

=

P

P

P

ZYP

⎢⎢⎢

⎣ −−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

∆∆=

PQ

PQ

PQ

QP ZZYY

ZY

,

PQ

Il vettore (base) congiungente due punti P e Q è dato da ⎤⎡ −∆ XXX

⎥⎥⎥

⎦

La trasformazione fra SR

Analogamente a un corpo rigido i gradi di libertà di un SR 3D sono 6: tre componenti di traslazione e tre angoli

Per definire compiutamente un SR tipicamente si impone la posizione dell’origine, due angoli di direzione per l’asse Z,

un angolo di direzione per l’asse X.

La trasformazione fra SR

Si considerino due SR IZYX ][ eee e IIZYX ][ eee con uguale origine ma diverso orientamento degli assi. Per portare gli assi di uno dei due a coincidere con gli assi dell’altro

si deve operare una rotazione. Questa viene in genere (non è l’unico modo possibile!) realizzata mediante la composizione di tre rotazioni piane rispetto ai tre assi.

Rotazione piana

Rimane fisso uno dei tre assi (asse di rotazione); gli

altri due ruotano in senso antiorario rispetto all’asse di rotazione; ad esempio per una rotazione pari a un

angolo θ di X e Y intorno a Z si ha

E’ immediato verificare che la relazione fra coordinate nel primo e nel secondo SR è data dalla

I

IPIIP

IIZYX

ZYX

PZZP XRRX )()(

,,

θ=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡θ=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

ove RZ, matrice di rotazione intorno all’asse Z, è

I⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡θθ−θθ

=θ1000cossin0sincos

)(ZR

Nota

La trasformazione fra i versori che definiscono i 2 SR è data invece dalla

[ ] [ ] )(θ= T

ZYXIIZYX ZReeeeee

In generale indichiamo con ZYX R,R,R le tre matrici di rotazione piana rispetto agli assi X, Y e Z rispettivamente; siano RX, RY, RZ i relativi angoli di rotazione. Si ha

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=

xx

xxXRRRRR

cossin0sincos0

001)(XR

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −=

YY

YY

YRR

RRR

cos0sin010

sin0cos)(YR

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=

1000cossin0sincos

)( zz

zz

ZZ RRRR

RR

La composizione di tre rotazioni piane consecutive è formalizzata mediante il prodotto delle

tre matrici di rotazione in ordine inverso rispetto all’ordine delle rotazioni stesse.

La rotazione completa mediante composizione di RX, RY, RZ

Si ricorda che l’ordine della composizione di tre rotazioni piane consecutive non è

indifferente: nella rotazione da IZYX ][ eee a IIZYX ][ eee tipicamente si adotta la sequenza RX, RY, RZ che porta al risultato

)()()(),,(

),,(

XYZZYX

I

ZYX

IIRRRRRR

ZYX

RRRZYX

XYZ RRRR

R

=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

1. Rotazione intorno all’asse X

I

X

RX ZYX

RZYX

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡)(XR

L’angolo di rotazione viene scelto in modo tale che il nuovo piano RXZX ],[ ee contenga il futuro versore IIZe ;

il versore RXYe giace sul futuro piano IIYX ],[ ee .

2. Rotazione intorno all’asse YRX

RX

Y

RYRX ZYX

RZYX

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡)(

,

YR

Si ottiene il versore IIZe definitivo; il nuovo versore giace sul futuro piano RYRXX ,e

IIYX ],[ ee

3. Rotazione intorno all’asse ZRX,RY

RYRX

Z

II ZYX

RZYX

,

)(⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

ZR

Rotazione completata!

La matrice di rotazione complessiva per le coordinate è data dal prodotto delle 3 matrici precedenti

XYZ RRRR =

Nota 1 La trasformazione fra i versori che definiscono i 2 SR in questo caso è data dalla

[ ] [ ] [ ] T

ZTY

TXIZYX

TIZYXIIZYX RRReeeReeeeee ==

Nota 2

Si nota da ultimo che , IRRRR IIII == TT

indipendentemente dall’asse (I) e dall’angolo di rotazione; ne segue che

TTTT

TT

RRIRRRRRR

RRRRRRRR

IJKKJI

IJKIJK

===

= )(

indipendentemente dall’ordine e dagli angoli delle rotazioni piane: l’inversa di una rotazione qualunque può essere realizzata applicando alle coordinate ruotate la trasposta della matrice

di rotazione originaria.

La trasformazione completa con fattore di scala

Siano IZYX ][ eee e IIZYX ][ eee due SR con diverso orientamento, diversa origine e diversa unità di misura delle lunghezze ( Iu e IIu ). Si ha:

TYYX ][ 0000 =X : coordinate dell’origine di IZYX ][ eee nel SR IIZYX ][ eee

R: matrice di rotazione per

portare IZYX ][ eee paralleli a IIZYX ][ eee

2

1uu

=λ : fattore di scala, ovvero il rapporto fra le unità di misura di lunghezza nei due SR.

Sia P un punto di coordinate [ ]T IPZYX , nel sistema di riferimento IZYX ][ eee e sia R

la matrice di rotazione da IZYX ][ eee a IIZYX ][ eee . Le coordinate di P nel secondo sistema di riferimento possono essere ottenute applicando nell’ordine la rotazione, il cambio

di scala e la traslazione di origine alle coordinate originali, ovvero

IPIIP ZYX

ZYX

ZYX

,0

0

0

, ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡λ+

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡R

Poiché R dipende dai tre angoli RX, RY, RZ

la trasformazione dipende in totale da 7 parametri.

Alcuni cenni di dinamica terrestre

Per la successiva discussione dei SR adottati in geodesia è necessario introdurre alcuni cenni di dinamica e fisica terrestre.

Il nostro pianeta compie ciclicamente un’orbita ellittica intorno al Sole (moto di

rivoluzione): il periodo di rivoluzione è di 365.25 giorni solari; il piano contenente l’orbita terrestre è detto piano dell’eclittica;

Il pianeta inoltre ruota intorno al proprio asse (moto di rotazione): il periodo di rotazione è di 1 giorno solare; asse di rotazione terrestre e asse ortogonale al piano dell’eclittica formano

un angolo di circa 23° 27’.

I moti dell’asse di rotazione terrestre

L’asse di rotazione terrestre compie due moti conici nello spazio:

Moto di precessione: un moto con angolo al centro di 23°27’ e con periodo di 25800 anni;

Moto di nutazione:

un moto oscillatorio intorno al moto di precessione: con ampiezza angolare di 9.2” e con periodo di 18.6 anni.

Inoltre il pianeta “oscilla” rispetto al proprio asse di rotazione; ovvero, per un osservatore solidale al pianeta, la posizione del polo rispetto alla superficie terrestre cambia nel tempo: il

moto è solo approssimatamente conico, ha periodo di circa 435 giorni e ampiezza di circa 0.1”-0.2”. Tale fenomeno prende nome di

fenomeno di polar motion o Chandler Wobble:

(© 1997 Dr. Sten Odenwald)

Alcune definizioni

Sfera celeste: sfera di raggio unitario centrata sulla Terra (considerata puntiforme) sulla quale vengono proiettati gli astri; per un osservatore solidale alla Terra la sfera appare ruotare da est a ovest intorno all’asse di rotazione terrestre.

Equatore celeste: proiezione del piano equatoriale sulla sfera celeste. Eclittica: proiezione dell’orbita apparente del Sole sulla sfera celeste. Punti equinoziali: intersezione dell’eclittica con l’equatore celeste; γ: equinozio di primavera, γ’ equinozio d’autunno.

Per i moti di precessione e nutazione equatore celeste e punti equinoziali variano nel tempo; data un’epoca, sottraendo all’equatore celeste e ai punti equinoziali effettivi gli effetti della

nutazione si ottengono Equatore Celeste Medio e Punti Equinoziali Medi per quell’epoca. In particolare si definiscono:

Equatore Celeste e Punto Equinoziale γ di riferimento.

Equatore e punto equinoziale di primavera medi per le ore 12 del 01.01.2000 (epoca J2000).

Posizione convenzionale del polo per un certo intervallo La media delle posizioni del polo rispetto alla superficie del pianeta (ovvero la media

rispetto al Chandler Wobble) in un determinato intervallo di tempo.

In particolare:

Origine Convenzionale Internazionale (CIO): media sugli anni 1900-1905;

Polo Convenzionale Terrestre (CTP): ridefinizione del 1984 del Bureau International dell’Heure (BIH).

Altri moti della massa costituente il pianeta

Fenomeni periodici maree oceaniche; oscillazioni della distribuzione delle acque dovute

all’attrazione gravitazionale di Sole e Luna: da pochi decimetri a diversi metri

maree terrestri; oscillazioni della distribuzione delle masse solide dovute all’attrazione gravitazionale di Sole e Luna: alcuni decimetri!

carico oceanico e atmosferico; deformazioni della crosta terrestre, dovute alle oscillazioni di

massa oceanica e atmosferica: alcuni centimetri!

Periodi fondamentali dei precedenti fenomeni: sottomultipli dei periodi di orbita relativa di sole e luna rispetto a un osservatore solidale alla terra

Fenomeni non periodici

La crosta del pianeta è interessata da fenomeni di: moto orizzontale (tettonica delle placche, 2-3 cm/anno), moto verticale (teoria dell’isostasia, fino a 40 cm/anno).

Quindi:

i SR per il posizionamento terrestre devono descrivere una realtà fisica variabile nel tempo, realizzare un SR implica la stima o la conoscenza esatta a priori di tutti questi fenomeni.

Sistemi di Riferimento in Geodesia

Viene data una definizione formale, cui segue la realizzazione del SR,

mediante osservazioni fisiche e geometriche (campo di gravità, distanze, angoli), al suolo e dallo spazio (livellazioni, osservazioni a stelle fisse).

Per realizzare un SR si deve fornire

un catalogo di punti fondamentali di coordinate stimate coerenti con la definizione del SR,

rispetto ai quali determinare la posizione di nuovi punti.

Poiché ogni realizzazione di un SR dipende dalle osservazioni utilizzate, realizzazioni diverse della stessa definizione di SR possono differire fra loro.

Sistemi di riferimento astronomici (inerziali o quasi inerziali)

Origine nel centro di massa dei corpi celesti, direzioni degli assi definite da direzioni astronomiche fisse; vengono utilizzati per lo studio del moto degli astri e dei satelliti.

Sistema di Riferimento Convenzionale Celeste (SRCC)

E’ definito da:

origine nel baricentro terrestre; asse Z ortogonale all’Equatore Celeste di Riferimento; asse X definito dal Punto Equinoziale γ di riferimento, asse Y tale da completare una terna destrorsa. Il SRCC viene utilizzato per il calcolo e la descrizione delle orbite dei satelliti terrestri, come quelli GPS. Il SRCC non è solidale alla rotazione della Terra,

quindi non è adatto per rappresentare la posizione di punti materializzati sulla sua superficie.

I Sistemi di Riferimento Terrestri Servono per la georeferenziazione di punti solidali con i moti della Terra. Si distinguono in

SR globali

Definiti e coerenti su scala planetaria, realizzati mediante reti globali di stazioni permanenti che utilizzano metodi della geodesia satellitare (VLBI, SLR e, di recente, GPS) per stimare

la propria posizione e il proprio spostamento nel tempo.

SR locali Orientati e definiti su scala locale mediante reti locali, regionali, nazionali

(per l’Italia Roma40), continentali (per l’Europa: ED50) di punti fondamentali planimetrici e altimetrici, la cui posizione relativa viene stimata mediante misure di angoli, distanze e

dislivelli.

Nota I SR globali costituiscono, per le metodologie di misura e la precisione delle stime, lo stato

dell’arte. I SR locali hanno valenza storica poiché vennero realizzati prima dell’avvento della geodesia da satellite, ricorrendo a metodologie di misura e di stima meno precise di quelle

oggi disponibili. Hanno però importanza fondamentale poiché spesso costituiscono il riferimento ufficiale cartografico per il territorio cui si riferiscono.

Il SR di Riferimento Convenzionale Terrestre (International Terrestrial Reference System)

L’ITRS è definito da:

origine nel centro di massa convenzionale della Terra; asse Z passante per il Polo Convenzionale Terrestre (BIH 1984); asse X definito dall’intersezione fra piano meridiano di riferimento (piano meridiano passante per il punto fondamentale di Greenwich, BIH 1984) e piano equatoriale terrestre (BIH 1984); asse Y tale da completare la terna destrorsa.

Le reti di stazioni permanenti per la realizzazione dell’ITRS

Sostanzialmente 3 metodi affini (ma non uguali) di osservazione:

VLBI: Very Long Baseline Interferometry

SLR: Satellite Laser Ranging

GPS: Global Positioning System

realizzati da stazioni di osservazione monumentate in modo stabile, che operano continuativamente nel tempo.

La rete globale VLBI (International VLBI Service)

http://ivscc.gsfc.nasa.gov/ivs.html

Circa 30 stazioni, realizzate mediante appositi radiotelescopi Le stazioni effettuano contemporaneamente misure a quasar:

sostanzialmente le osservazioni derivate sono: angoli di osservazione dalle singole stazioni, differenze di distanza dai quasar alle stazioni.

La rete globale SLR (International SLR Service)

http://ilrs.gsfc.nasa.gov/

Circa 90 stazioni attive nel pianeta, realizzate mediante cannoni laser orientabili

Le singole stazioni effettuano misure sui tempi di andata e ritorno del fascio laser dal cannone a satelliti artificiali in orbita geocentrica

Nuovamente un’osservazione derivata di distanza

La rete globale GPS (International GPS Service)

http://igscb.jpl.nasa.gov/

365 stazioni realizzate mediante ricevitori GPS operanti 24 ore su 24 che effettuano osservazioni di pseudo-distanza ai satelliti della costellazione GPS.

Gli scopi geodetici delle reti globali

Dal 1988 i risultati forniti dalle singole metodologie vengono analizzati congiuntamente presso lo IERS (International Earth Rotation Service),

http://hpiers.obspm.fr/

sottocommissione di IAG e IAU, i cui scopi sono di determinare

i parametri di orientamento e di rotazione terrestre (EOP)

il Sistema di Riferimento Internazionale Celeste il Sistema di Riferimento Internazionale Terrestre

le deformazioni in atto sulla crosta terrestre

La realizzazione dell’ITRS: l’ITRF (ITR Frame)

http://lareg.ensg.ign.fr/

Il numero di SP (VLBI, SLR, GPS) aumenta; gli algoritmi di stima si raffinano. Quindi le stime di ITRF (ovvero i cataloghi) si evolvono; si sono avuti:

ITRF89, …, ITRF97, ITRF2000.

Una realizzazione di ITRS (ITRF) consiste nel catalogo delle coordinate delle Stazioni Permanenti che hanno contribuito alla soluzione Nell’immagine, le SP utilizzate nella soluzione ITRF2000

Per ogni stazione del catalogo vengono stimate e fornite: posizione cartesiana geocentrica (e ), velocità annuale (e ) 0X 0σ 0X& 0σ&all’epoca di riferimento per la soluzione 0t .

Posizione e velocità ITRF2000 di alcune stazioni permanenti GPS italiane

(non si riportano i σ di stima)

ITRF2000 STATION POSITIONS AT EPOCH 1997.0 AND VELOCITIES NOME X

(m) Y

(m) X

(m) Vx

(m/y)Vy

(m/y)Vz

(m/y) LAMPEDUSA LAMP 5073164.888 1134512.425 3683181.032 -.0142 .0185 .0137 BOLOGNA MEDI 4461400.895 919593.423 4449504.682 -.0187 .0200 .0086 GENOVA GENO 4507892.447 707621.329 4441603.426 -.0165 .0194 .0092 TORINO I TORI 4472544.459 601634.192 4492545.112 -.0113 .0193 .0094 CAGLIARI CAGL 4893378.933 772649.625 4004182.063 -.0122 .0195 .0116 MATERA MATE 4641949.707 1393045.271 4133287.343 -.0188 .0191 .0131 PADOVA UPAD 4389531.283 923253.642 4519256.346 -.0174 .0188 .0104 BOLZANO BZRG 4312657.614 864634.517 4603844.341 -.0124 .0189 .0139 PERUGIA UNPG 4555145.782 997822.263 4337432.551 .0163 .0248 .0399

La stima della posizione della stazione a una generica epoca 0tt ≠ , è data dalla

)()( 000 ttt −⋅+= XXX & , 20

20

20

2 )()( ttt iii −⋅σ+σ=σ &

in ITRF97 i σ erano dell’ordine di alcuni mm, in ITRF2000 migliorano,

Rimangono però significativi problemi di coerenza nelle stime,

che implicano la necessità di approfondimenti e miglioramenti dei metodi di stima.

In tabella alcuni confronti fra ITRF97 e ITRF2000 su SP catalogate in ITRF dal 1989.

X [m] 0.0221 0.0194 0.0294Y [m] 0.0035 0.0044 0.0020Z [m] -0.0179 -0.0131 -0.0046

ITRF1997 (t=2003.25)-ITRF2000(t=2003.25) GRASSE MEDICINA ZIMMERWALD

Realizzazioni europea e italiana dell’ITRF: ETRF89 e IGM95

ETRF89 rappresenta la realizzazione europea dell’ITRF89. La nuova rete geodetica fondamentale italiana, monumentata e rilevata dall’Istituto Geografico Militare Italiano (IGMI) e denominata IGM95, si compone di circa 1200 caposaldi sul territorio nazionale le cui coordinate sono calcolate e monografate in ETRF89: quindi ETRF89 è un raffittimento europeo di ITRF89, IGM95 è un raffittimento nazionale di ETRF89.

Nell’immagine, il quadro d’unione per igm95, dal sito http://www.nettuno.it/fiera/igmi/igmit.htm

Un altro SR globale: il WGS84

Il SR globale WGS (World Geodetic System) viene sviluppato dal

Defence Mapping Agency (DMA), ora NIMA (National Imagery and Mapping Agency), a partire dagli anni 60;

E’ formalmente definito come ITRS,

ma è realizzato mediante una rete di stazioni di controllo del NIMA. Negli ultimi 40 anni anche le realizzazioni del WGS84 si sono evolute in funzione dei dati e

delle informazioni disponibili; attualmente siamo alla realizzazione WGS84(G1150).

Il WGS84 è realizzato con minore precisione dell’ITRF: la coerenza fra i 2 SR è di alcuni centimetri.

E’ comunque un SR fondamentale, perché è il SR in cui vengono calcolate e fornite all’utenza le orbite dei satelliti GPS.

Coordinate WGS84(G873) e differenze rispetto alle WGS84(G736) di alcune stazioni di

controllo del NIMA (NIMA, 2003)

Le coordinate geodetiche in un SR 3D: l’ellissoide di riferimento

Nelle applicazioni di posizionamento terrestre occorre una superficie geometrica di riferimento descritta da pochi parametri che ben approssimi la forma della Terra, rispetto alla

quale sia definibile e utilizzabile in pratica un sistema di coordinate:

l’ellissoide di rotazione

L’ellissoide di rotazione è una figura geometrica che coniuga semplicità d’uso e consistenza con la forma del pianeta.

L’ellissoide si presta dunque per descrivere le coordinate planimetriche di punti rispetto alla superficie terrestre.

Definiamo ellissoide di rotazione con centro nell’origine del SR il luogo dei punti X, Y, Z

tali che

12

2

2

22=+

+

b

Z

a

YX

ove a semiasse maggiore o equatoriale; b semiasse minore o polare. In funzione dei parametri a e b si possono definire:

l’eccentricità e ba

= −12

2

e lo schiacciamento f a ba

=−( )

Forma e dimensioni di un ellissoide sono determinate dalla scelta dei suoi parametri: in

applicazioni di posizionamento terrestre l’ellissoide viene scelto in modo da approssimare al meglio il geoide terrestre (vedi oltre); nella storia, con il miglioramento delle stime della

forma del geoide, si sono progressivamente adottati differenti ellissoidi; fra questi

Ellissoide a (m) f

Internazionale (Hayford, 1924)

6378388 1/297

WGS84 6378137 1/298.257223563GRS80 6378137 1/298.257222101

A titolo di esempio si ricorda che, rispetto all’ellissoide GRS80, il geoide presenta

scostamenti a media nulla e con valori massimi di ≅ 100 m.

Geoide e ellissoide: gli scostamenti sono magnificati di un fattore 1000 per permetterne la

percezione visiva.

Le coordinate geodetiche di un punto P

Dato un SR e il relativo ellissoide associato le coordinate geodetiche di P sono definite da

ϕ: (latitudine geodetica): angolo fra la

normale all’ellissoide passante per P e il piano equatoriale [X,Y]; λ: (longitudine geodetica): angolo antiorario fra il piano meridiano per P

e il piano meridiano origine [X,Z]; h: (quota ellissoidica)

distanza lungo la normale all’ellissoide fra l’ellissoide stesso e P.

La relazione fra coordinate cartesiane e geodetiche di P è data da

PPP

PPPP

PPPP

heNZ

hNYhNX

ϕ+−=

λϕ+=λϕ+=

sin])1([

sincos)(coscos)(

2

ove N ae sin P

=−( )1 2 2ϕ

,

N è definito grannormale (da non confondere con l’ondulazione del geoide).

Il passaggio [ϕ, λ, h]P → [X, Y, Z]P è immediato; il passaggio inverso richiede qualche conto, ma è comunque ben definito.

In genere viene svolto in modo iterativo:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=λ

XYarctan

per ϕ e h si considera la seguente uguaglianza:

ϕ+

+−=

+ ϕ

ϕ tan)1( 2

22 hNheN

YX

Z

alla prima iterazione si trascura la quota, ottenendo

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−+=ϕ 2221

1

1arctaneYX

Z , )sin1( 1

221ϕe

aN−

= , 11

221 cos

NYXh −ϕ+

=

quindi si itera, utilizzando per ogni iterazione

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+−

+

+=ϕ

−−

−−

12

1

1122 )1(

arctanii

iii

heN

hN

YX

Z , )sin1( 22

ii

e

aNϕ−

= , ii

i NYXh −ϕ+

=cos

22

il procedimento si arresta allorché stime successive di ϕ e h non differiscono in modo

significativo.

La trasformazione di Molodensky.

Si è visto come trasformare le coordinate cartesiane di un punto da un SR ad un altro mediante una rototraslazione con fattore di scala (R.T.c.f.s.). Esiste anche un metodo per il calcolo diretto della trasformazione delle coordinate geodetiche fra SR (trasformazione di

Molodensky), sempre a 7 parametri, ovvero, anziché la SRISRI ZYXZYX ],,[RTcfs],,[ ⇔⇔

si può usare la

SRISRI hh ],,[Molodensky],,[ λϕ⇔⇔λϕ

Svantaggi Formulazione più complessa e meno intuitiva (non affrontata in questa sede).

Vantaggi

Viene disgiunta la componente planimetrica [ϕ, λ] da quella altimetrica (h). Questa necessità è legata alla trasformazione fra SR con quote ellissoidiche e

SR con quote ortometriche (vedi oltre).

Una nota su Sistemi di riferimento e Sistemi di coordinate

Definiti due SR la trasformazione delle coordinate di un punto da uno all’altro è realizzata mediante una trasformazione fra SR. Tale trasformazione è geometricamente ben definita

qualora si conoscano i parametri di trasformazione, il che, in ambito geodetico, non è sempre vero: spesso i parametri di trasformazione fra SR sono noti solo con approssimazione e quindi qualunque trasformazione di SR implica una perdita di precisione delle stime di

posizione.

Definito un SR la posizione di un punto P in quel SR può essere espressa mediante diversi Sistemi di Coordinate: abbiamo visto le coordinate cartesiane geocentriche e le coordinate

geodetiche. La scelta su quale sistema di coordinate utilizzare è basata su motivi di comodità interpretativa e computazionale: la trasformazione fra diversi sistemi di coordinate

all’interno di un unico SR è sempre calcolabile esattamente.

Introduzione al geoide: cenni alla struttura e forma della Terra

In prima approssimazione il pianeta può essere considerato composto da diversi strati concentrici.

Nucleo interno solido: raggio ca. 1225 Km costituenti: composti di ferro e nikel, 3/13 cmgr≅ρ

Nucleo esterno liquido: spessore ca. 2270 Km

costituenti: composti di ferro e nikel, 3/11 cmgr≅ρ

Mantello inferiore: spessore ca. 2200 Km

3/5 cmgr≅ρcostituenti: eterogenei,

Mantello superiore: spessore ca. 645 Km costituenti: silicati di magnesio, 3/5.3 cmgr≅ρ

Crosta: spessore ca. 30 Km (variabile da 5 a 60 Km)

3costituenti: stratificato, /8.2 cmgr≅ρ

Al di là di questa categorizzazione elementare la struttura interna di ogni strato presenta significative eterogeneità laterali:

Il campo di gravità terrestre, e le relative superfici equipotenziali non hanno simmetria

semplice nello spazio.

Il geoide

La forza gravitazionale generata da una massa M puntiforme su un corpo di massa unitaria posto a distanza r è data dalla

rF 3rMG−=

ove G è la costante di gravitazione universale, 2139 sec107.66 −−−⋅= gcmG .

Alla forza gravitazionale è possibile associare un potenziale (potenziale gravitazionale)

rMGV =

tale per cui

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

∂∂

∂∂

∂∂

==ZV

YV

XVgradV ,,F

Caso Terrestre: corpo esteso e disomogeneo, in rotazione

Il potenziale gravitazionale che la Terra esercita in un punto P è dato dall’integrale esteso a

tutta la distribuzione di massa del pianeta

∫∫∫=Terra

dmGV )(PPQr

)(Q

Si consideri inoltre il moto di rotazione, supponendo che avvenga intorno all’asse Z con velocità angolare costante ω. Alla forza gravitazionale si aggiunge la forza centrifuga che, in

un punto ],,[ ZYX=P solidale al moto di rotazione, è data da

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ω=

0

2 YX

f

Anche alla forza centrifuga si può associare un potenziale

)(2

),,( 222

YXZYX +ω

=Φ

Si consideri ora la somma delle forze agenti su un punto, dovute alla gravitazione del pianeta

e alla rotazione del SR; si consideri la somma dei potenziali associati a tali forze:

),,(),,(),,( ZYXZYXVZYXW Φ+=

W prende il nome di potenziale di gravità terrestre;

)(Wgrad=g è definito forza di gravità terrestre; il suo gradiente

le unità di misura usualmente adottate in geodesia per g=g sono

il gal, 211scmgal = e il mgal, galmgal 3101 −= .

Le superfici equipotenziali per W e il geoide

Si considera il potenziale di gravità W(X,Y,Z). Dato uno spostamento infinitesimale dX

( TdZdYdX ],,[=dX ) nello spazio si ha sempre

dXgdXdX ⋅=⋅= gradWdW )(

Si consideri ora la generica superficie equipotenziale per W, ovvero la superficie di equazione

cost),,( 0 == WZYXW

per uno spostamento dX sulla superficie 0WW =

0)(si ha 0 =WdW dX ; quindi ovvero 0WdXg ⊥

),,(0 ZYXW⊥g

ovvero una superficie equipotenziale di gravità è ortogonale in ogni suo punto alla forza di gravità stessa.

Evidentemente, considerata la forza di gravità terrestre,

esistono infinite superfici equipotenziali, in funzione della scelta del valore W0. Quella particolare superficie equipotenziale passante per un insieme di

punti definenti il livello medio dei mari è definita geoide.

La Terra è un corpo disomogeneo e di forma solo approssimatamente simmetrica; quindi la superficie del geoide, pur essendo abbastanza liscia, è irregolare e non descrivibile mediante

semplici funzioni analitiche: si ricorre in genere a sviluppi in armoniche sferiche.

Si definisce ondulazione del geoide N(ϕ,λ) rispetto a un ellissoide di riferimento nel punto di coordinate geodetiche (ϕ, λ) lo scostamento del geoide rispetto all’ellissoide.

Dato un ellissoide di rotazione, i cui parametri di forma siano scelti opportunamente, lo scostamento massimo fra geoide e tale ellissoide è di 100 m

Nota

Il geoide non coincide mai con il livello istantaneo degli oceani: su di essi infatti, oltre alla forza di gravità terrestre , agiscono continuamente

altre forze perturbative, periodiche (maree) e non (correnti oceaniche); si può però affermare che, il geoide coincide con la superficie ideale che

assumerebbero gli oceani se su di essi agisse solo la forza di gravità terrestre e se essi potessero prolungarsi sotto le terre emerse.

Ondulazione del geoide secondo il modello globale EGM96, dal sito:

http://cddisa.gsfc.nasa.gov/926/egm96/egm96.html

Le stime di geoide globali e locali

La conoscenza di N (e di altri funzionali del potenziale di gravità) può essere fornita tramite stime (modelli) globali e stime (modelli) locali.

Stime/modelli globali (per l’intero pianeta):

vengono determinate facendo uso di dati derivati da misure a terra e da satellite per l’intero pianeta. Hanno validità globale e sono riferite ad un ellissoide geocentrico (generalmente il

GRS80). Sono tipicamente disponibili liberamente e hanno precisioni circa metriche.

Stime/modelli locali (per una regione limitata): vengono determinate a partire da dati ricoprenti un certo territorio di interesse,

tipicamente a scala continentale o nazionale: hanno ambito limitato, ovvero il territorio cui si riferiscono i dati,

ma sono in genere più accurate delle stime globali.

Un esempio di modello globale

La maschera di calcolo di N secondo il modello globale EGM96, presso il sito WEB del NIMA.

Modelli locali: il modello ITALGEO per l’Italia ITALGEO è il modello locale ufficiale per l’Italia. Viene stimato e periodicamente aggiornato dal DIIAR del Politecnico di Milano, su convenzione per l’IGMI, che ne cura la distribuzione al pubblico. La stima più recente è ITALGEO99. Le ondulazioni N sono stimate e memorizzate per i nodi di una griglia regolare in ϕ e λ (con passo di 2' x 2') e sono riferite all’ellissoide GRS80. Per un generico punto del territorio la stima può essere ricavata (mediante interpolazione non banale) a partire dalle stime nei nodi circostanti il punto. La precisione è decimetrica in assoluto, di circa 1 parte per milione (ppm) in relativo. In figura, ondulazione del geoide secondo il modello ITALGEO95 (Barzaghi et al., 1995)

I SR locali

Tipicamente si vincola il SR vincolando l’ellissoide di riferimento, senza definire assi e coordinate cartesiane: si impone la forma (a, b) per l’ellissoide di riferimento; quindi si impongono 6 condizioni per vincolare l’ellissoide: Orientamento locale si considera un punto fondamentale P e si impone che in tale punto lo scostamento fra normale all’ellissoide e normale al geoide (deviazione della verticale) sia annullato (2 vincoli di traslazione e 2 di rotazione); si impone che la quota ellissoidica sia uguale alla quota ortometrica (1 vincolo di traslazione). l’ultimo vincolo di rotazione viene imposto fissando la rotazione attorno alla normale in P; ad esempio imponendo l’azimut A da P a un secondo punto Q: A(PQ)geodetico= A(PQ)astronomico

SR locale italiano: Roma40

Sistema di Riferimento Nazionale Italiano fondamentale per la cartografia nazionale

Ellissoide: internazionale (Hayford) Orientamento locale,

nel punto fondamentale di Roma M.Mario con imposizione dell’azimut con il punto di M. Soratte.

Realizzazione e disseminazione: rete di triangolazione fondamentale I.G.M.

(compensazione a blocchi 1908-1919) e reti di raffittimento.