I modelli per la stima della volatilità - lumsa.it 07.pdf · Slides tratte da: Andrea Resti Andrea...

Slides tratte da:

Andrea Resti

Andrea Sironi

Rischio e valore nelle banche

Misura, regolamentazione, gestione

Egea, 2008

I modelli per la stima della volatilità

Rischio e valore nelle banche I modelli per la stima della volatilità

2

AGENDA

• La stima delle volatilità e delle correlazioni

• Le medie mobili semplici

• Le medie mobili esponenziali

• I modelli GARCH

• La stima di covarianze e correlazioni

• Esercizi

© Resti e Sironi, 2008

Rischio e valore nelle banche I modelli per la stima di volatilità e correlazioni

3

• L’approccio varianze-covarianze si basa sull’assunto che sia possibile stimare in

modo soddisfacente le volatilità e le correlazioni dei rendimenti dei fattori di mercato

• I metodi utilizzabili a tale scopo sono raggruppabili in due principali categorie:

La stima delle volatilità e delle correlazioni

I modelli che utilizzano dati di volatilità e correlazioni storici

per previsioni di volatilità e correlazioni future.

•Modelli che considerano volatilità e correlazioni costanti.

•Modelli che consentono a volatilità e correlazioni di variare nel tempo (medie mobili, GARCH)

I modelli legati all'utilizzo delle

previsioni implicite nei prezzi delle

opzioni. Il ricorso ai valori

storici è solo indiretto (la volatilità implicita è figlia della volatilità

storica)


Rischio e valore nelle banche I modelli per la stima di volatilità e correlazione

4

• È il criterio più utilizzato per la valutazione dei contratti di opzione, per l’asset-allocation basata sul criterio media-varianza, e per la determinazione del value-at-risk.

• Indicando con rt il rendimento di un fattore di mercato la volatilità può essere stimata, utilizzando come campione una serie storica di n osservazioni, come radice quadrata della varianza

• La volatilità al tempo t può essere calcolata utilizzando le n osservazioni dal tempo t-n al tempo t-1.

• Al periodo successivo (t+1) la volatilità verrà stimata sulla base dei dati da (t-n+1) a t, spostando in avanti di un periodo la finestra temporale.

Medie mobili semplici


1

2

1

t

i t

i t n

t

r r

n

1

2

1

t

i

i t n

t

r

n

Con rendimento medio nullo

media campionaria calcolata al tempo t

0,0%

0,5%

1,0%

1,5%

2,0%

2,5%

3,0%

3,5%

02

/20

01

05

/20

01

08

/20

01

11

/20

01

02

/20

02

05

/20

02

08

/20

02

11

/20

02

02

/20

03

05

/20

03

08

/20

03

11

/20

03

02

/20

04

05

/20

04

08

/20

04

11

/20

04

Rendimenti giornalieri dell'indice S&P 500 equiponderato deviazione standard mobile a 23 giorni


5

• La Figura riporta l’andamento della volatilità del rendimento logaritmico giornaliero dell’indice di borsa S&P500, stimata utilizzando n=23 giorni lavorativi nel periodo 2 gennaio 2001 - 31 dicembre 2004.

Medie mobili semplici


0,5%

1,0%

1,5%

2,0%

2,5%

3,0%

02/2

001

06/2

001

10/2

001

02/2

002

06/2

002

10/2

002

02/2

003

06/2

003

10/2

003

02/2

004

06/2

004

10/2

004

Rendimenti giornalieri dell'indice S&P 500

Deviazioni standard mobili (campioni di diversa lunghezza)

Deviazione standard mobile a 23 giorni




6

Medie mobili semplici - scelta dell’arco temporale


• Un numero di osservazioni (n) più elevato offre un elevato contenuto informativo e conduce a una stima di volatilità più stabile. La stima è però “poco aggiornata” e risponde in modo lento a variazioni improvvise delle condizioni di mercato

-8,0%

-4,0%

0,0%

4,0%

8,0%

12,0%

0,0%

0,4%

0,8%

1,2%

1,6%

2,0%

7/02

/200

1

7/16

/200

1

7/30

/200

1

8/13

/200

1

8/27

/200

1

9/10

/200

1

9/24

/200

1

10/0

8/20

01

10/2

2/20

01

11/0

5/20

01

11/1

9/20

01

12/0

3/20

01

12/1

7/20

01

12/3

1/20

01

Rendimenti giornalieri (scala dx)

Dev. Standard mobile a 23 giorni (scala sx)


7

Medie mobili semplici - scelta dell’arco temporale


Echo effect o ghost features

La stima della volatilità subisce uno shock sia quando il fattore di mercato subisce una forte variazione, che quando il dato relativo a questo shock esce dal campione e viene sostituito da un dato più recente

Mentre la prima variazione è giustificata,

la seconda non lo è.

Volatilità S&P500 settembre-ottobre 2001.

La variazione verso l’alto a metà settembre (eventi

terroristici) è seguita dalla riduzione di metà ottobre,

pur in presenza di rendimenti giornalieri

“normali”


8

Medie mobili esponenziali


• Per superare il trade-off fra contenuto informativo e reattività alle condizioni recenti e l’echo effect, è stato sviluppato il metodo delle medie mobili esponenziali

• Utilizzando un numero relativamente elevato di osservazioni passate, ma attribuendo un peso maggiore a quelle più recenti, si ottiene una stima della volatilità con elevato contenuto informativo e più sensibile agli shock recenti

• La stima reagisce più rapidamente a shock del fattore di mercato, e lo shock pronunciato del fattore di mercato “esce” in modo graduale dalla stima:

1

0

2

11

0

1

0

2

1

12

212

3

22

2

2

12

1

1

...1

...ˆ

n

i

it

i

nn

i

i

n

i

it

i

n

nt

n

tttt r

rrrrr

1

1

1

11 12

1

0

nn

n

i

i

1

0

2

11

1ˆ

n

i

it

i

nt r

La stima della volatilità


9



• La costante , decay factor, indica il “grado di persistenza” delle osservazioni campionarie passate

• Se la costante è più vicina a uno, le sue potenze successive si avvicinano a zero più lentamente

• Per valori di molto vicini a 1, la media esponenziale tende alla media semplice

• Se è sufficientemente piccolo e/o n è sufficientemente elevato

La varianza:

1

0

2

1)1(ˆn

i

it

i

t r

2

1

2

1

1

2

1

12

1

1

2

1

2

1

0

2

1

2

ˆ)1()1()1(

)1()1(ˆ

tt

i

it

i

t

i

it

i

t

i

it

i

t

rrr

rrr

Meccanismo

“adattivo”: la stima è aggiornata in

base al quadrato del rendimento

del giorno prima

La media si adegua meno rapidamente alle condizioni più recenti

n 0

-8,0%

-4,0%

0,0%

4,0%

8,0%

12,0%

0,0%

0,4%

0,8%

1,2%

1,6%

2,0%

2,4%

2-l

ug

-01

16

-lug

-01

30

-lug

-01

13

-ag

o-0

1

27

-ago

-01

10

-set-

01

24

-set-

01

8-o

tt-0

1

22

-ott-0

1

5-n

ov

-01

19

-no

v-0

1

3-d

ic-0

1

17

-dic

-01

31

-dic

-01



Dev. Standard mobile esponenziale a 23 giorni con lambda = 0,94


10



La figura mostra il confronto tra la media

mobile semplice con n=23 e la media

mobile esponenziale con l =0,94. Nel caso

delle medie mobili esponenziali lo shock del 11 settembre 2001 genera un immediato

aumento nella volatilità a cui non

corrisponde nessuna repentina

diminuzione della volatilità quando il

dato esce dal campione


11



• Attraverso l’impiego di volatilità che variano nel tempo (medie mobili esponenziali) è possibile dare conto della forma leptocurtica della distribuzione dei rendimenti

• Utilizziamo i primi dati del nostro campione (dal 2 gennaio al 5 febbraio 2001) per produrre una stima della volatilità basata sull’approccio EWMA, usando 23 osservazioni ed un valore di λ pari a 0,94

• Simuliamo un valore per il 6 febbraio 2001, estraendolo casualmente da una normale con media nulla e deviazione standard

• Spostiamo poi in avanti di un giorno la finestra di dati utilizzata per la stima della volatilità, e produciamo una seconda stima, , estraiamo poi un valore per il 7 febbraio 2001 e cosi via

• Generiamo 980 valori fino al 31 dicembre 2004

t

1ˆt

0

50

100

150

200

250

Numero effettivo

Normale


12



• Come si vede, i dati simulati risultano leptocurtici . Il loro indice di curtosi in eccesso è infatti pari a 2,1, molto simile a quello del campione empirico di partenza (1,8)


13

Medie mobili esponenziali – alcuni problemi pratici


• Vi sono alcuni problemi pratici

Scelta del decay factor Scelta del numero di osservazioni passate

La scelta di dovrebbe dipendere dalla velocità con la quale si ritiene che la volatilità

vari nel tempo. Se si modifica lentamente è meglio un decay

factor vicino a 1 e viceversa.

La scelta dovrebbe anche dipendere dall’holding period

della posizione. Minore è tale orizzonte,

minore dovrebbe essere .

Una serie storica più ampia minimizza l’errore di campionamento e consente

di ottenere stime più affidabili. Una serie storica più breve riflette

meglio le condizioni di mercato recenti.

Se le stime vengono aggiornate frequentemente è possibile utilizzare

serie storiche più ampie. In questo caso si riduce il problema

della scarsa aderenza alle condizioni più recenti del mercato.

-2,0%

0,0%

2,0%

4,0%

6,0%

8,0%

0,4%

0,6%

0,8%

10

/01

/20

04

10

/08

/20

04

10

/15

/20

04

10

/22

/20

04

10

/29

/20

04

11

/05

/20

04

11

/12

/20

04

11

/19

/20

04

11

/26

/20

04

12

/03

/20

04

12

/10

/20

04

12

/17

/20

04

12

/24

/20

04

12

/31

/20

04

Rendimenti giornalieri dell'indice S&P 500 equipesatoDeviazioni standard mobili basate su diversi decay factor






14

Medie mobili esponenziali – alcuni problemi pratici


• Utilizzare un unico fattore , per diverse variabili su intervalli temporali più o meno prolungati, presenta alcuni problemi:

In alcuni mercati gli aumenti di volatilità sono persistenti

mentre in altri gli aumenti si configurano

solitamente come shock temporanei

Il decay factor ottimale muta significativamente

nel tempo.

È preferibile aggiornare frequentemente

tale fattore


15

I modelli GARCH


• Come è stato mostrato nelle figure precedenti, la volatilità subisce delle fluttuazioni significative (volatility clustering). I fattori di mercato presentano dei periodi di maggiore volatilità che possono anche persistere per periodi prolungati

• Questo problema viene esplicitamente affrontato dai modelli GARCH (generalized autoregressive conditional heteroskedasticity)

• Eteroschedasticità significa varianza che muta nel tempo, cioè presenza di periodi di elevata volatilità interrotti da periodi di relativa tranquillità

• Condizionale sta a indicare che le previsioni ottenute sono basate sulle informazioni disponibili nel periodo precedente

• Autoregressivo si riferisce invece al metodo utilizzato per modellare l’eteroschedasticità condizionale, cioè una regressione della varianza “su sé stessa”

• Generalizzato si riferisce al modello di Tim Bollersev (1986) che rappresentava una generalizzazione del primo modello (ARCH) ideato nel 1982 da Robert Engle


16

I modelli GARCH – media condizionale e non condizionale


• I modelli a eteroschedasticità condizionale autoregressiva consentono di prevedere la volatilità futura utilizzando una regressione basata sui valori passati, generando una stima della volatilità che cambia nel tempo

Stima condizionale e stima non condizionale

Tipicamente ottenuta utilizzando un campione più o meno ampio di dati storici, ad esempio la media di una variabile stimata con la media campionaria

Se la variabile in questione dipende da una o più altre grandezze, è possibile stimare una media condizionale ricorrendo, ad esempio, a una regressione dei minimi quadrati. Per la variabile y che dipende da x:

Oppure se dipende dai suoi valori passati:

txxt xyt

11 tyt yy

t modello autoregressivo del

primo ordine, AR(1)


17

I modelli GARCH – stima condizionale e non condizionale


• La differenza fondamentale fra media non condizionale e media condizionale è che la prima è una costante mentre la seconda necessita di un modello di specificazione

• La stessa logica trova applicazione nel caso della varianza non condizionale e condizionale

• Consideriamo il modello ARCH proposto da Engle:

con ,

Il modello stima la varianza come una media mobile di p errori di previsione passati elevati al quadrato “modello a p ritardi” o ARCH(p)

• Se si verifica uno shock della variabile considerata, si genera un errore di previsione che, se il suo è positivo, provoca un rialzo della previsione della volatilità relativa al periodo successivo

Varianza condizionale – qualsiasi modello , come il GARCH Varianza non condizionale- utilizzo

della varianza campionaria

22

110

2... ptptt 00 0,...,1 p


18

I modelli GARCH


• Il modello è coerente con l’evidenza empirica secondo la quale una variazione significativa dei prezzi tende a essere seguita da altrettante variazioni significative

• Il principale limite del modello ARCH è che le applicazioni empiriche hanno sovente richiesto un numero elevato di ritardi, rendendo il modello poco flessibile e oneroso

• La generalizzazione introdotta da Bollersev (GARCH) rende il modello più flessibile:

con

• La varianza condizionale è modellata inserendo, anche q ritardi relativi ai valori

passati della varianza stessa GARCH(p,q)

• Se la variabile considerata sono i rendimenti di un fattore di mercato che si immagina abbiano media nulla, allora l’errore εt coincide con rt

22

22

2

11

22

110

2...... qtqttptptt

00 0,...,,,..., 11 qp


19

Il GARCH (1,1)


• La maggioranza delle applicazioni del modello GARCH si basa sulla versione GARCH(1,1), che considera un solo errore di previsione (l’ultimo) e il valore della varianza al periodo precedente:

• Nel modello è implicita anche una stima del valore atteso non condizionato

Se σ2 esiste, rappresenta il valore atteso non condizionato di σ2

t, σ2

t-1 e anche di 2t-1.

Sostituendo tali grandezze con σ2 si ottiene:

• La stima condizionata della varianza in un certo periodo è una media ponderata della varianza di lungo periodo, della varianza attesa per il periodo precedente e dello shock relativo all’ultimo periodo

2

11

2

110

2

ttt

2 0

1 11

2

11

2

11

2

11

2)1( ttt


20

Il GARCH (1,1)


• Come già detto, se la variabile considerata è data dai rendimenti di un fattore di mercato che si immagina abbiano media nulla, allora l’errore εt coincide con rt e il modello da stimare è:

• Nelle applicazioni ai mercati finanziari 1 assume generalmente valori superiori a 0,7 mentre 1 assume valori più contenuti

Una variazione della volatilità tende a permanere a lungo

• Anche il modello GARCH riconosce l’esistenza di un “decay factor” per la volatilità. Tale fattore non è determinato arbitrariamente ma sono gli stessi dati a determinarlo

2

11

2

110

2

ttt r

Il coefficiente 1 indica la rapidità con cui la volatilità si adegua ai nuovi shock di mercato, coefficienti più elevati conducono a previsioni più sensibili alle condizioni recenti

0,0%

0,5%

1,0%

1,5%

2,0%

2,5%

3,0%

07

/20

01

10

/20

01

01

/20

02

04

/20

02

07

/20

02

10

/20

02

01

/20

03

04

/20

03

07

/20

03

10

/20

03

01

/20

04

04

/20

04

07

/20

04

10

/20

04

Rendimenti giornalieri dell'indice S&P 500 equipesatoDeviazioni standard basate su EWMA e GARCH

GARCH(1,1)



21

Il GARCH (1,1)


• I coefficienti dell’equazione GARCH (1,1) devono essere stimati con l’ausilio di un software statistico, ad esempio tramite un algoritmo di stima basato sul criterio massima verosimiglianza

Tale algoritmo è stato utilizzato per stimare un

modello GARCH(1,1) sui rendimenti giornalieri dell’indice S&P500 nel

periodo 2 gennaio 2001 - 31 dicembre 2004, ottenendo 0=0,000002, 1=0,085 e

1=0,905. Il modello GARCH è poi

confrontato con un EWMA con lambda pari a 0,94


22

Il GARCH (1,1)


• Il modello GARCH(1,1) è caratterizzato da una “memoria infinita”. Per qualsiasi t vale che:

• Sostituendo in maniera ricorsiva il termine σ2t-i si ottiene:

• Un modello GARCH(1,1) può essere considerato equivalente ad un modello ARCH con infiniti ritardi, i cui coefficienti βi sono vincolati a decrescere in progressione geometrica man mano che si considerano shock più lontani nel tempo

)( 2

21

2

2101

2

110

2

tttt

)( 2

31

2

2101

2

2101

2

110

2

ttttt

1

21

11

1

0

1 1

21

1110

2

1 i

it

i

i i

it

i

t

0

50

100

150

200

250

Numero effettivo

Normale


23

Il GARCH (1,1) – pregi e limiti


Pregi del modello GARCH(1,1): riconosce esplicitamente l’esistenza di

un fenomeno di correlazione seriale e lo esplicita attraverso un modello autoregressivo;

attribuisce un’adeguata importanza alle nuove informazioni incorporate negli shock di mercato;

consente, analogamente al modello basato sull’EWMA, di rappresentare la leptocurtosi presente nei dati empirici;

lascia che siano gli stessi dati a determinare il decay factor della volatilità.


24

Il GARCH (1,1) – pregi e limiti


Limiti del modello GARCH(1,1):

può risultare più complesso e oneroso rispetto al semplice utilizzo di una media mobile;

conserva l’ipotesi di normalità (in questo caso degli errori di previsione);

nella sua versione originale considera l’impatto di uno shock sulla previsione della volatilità come indipendente dal suo segno.

Numerose evidenze empiriche mostrano che la volatilità implicita aumenta in seguito a una caduta del mercato, mentre può mantenersi invariata in seguito a un rialzo dei prezzi (“leverage effect”).

Il leverage effect viene spiegato dal

fatto che quando un prezzo azionario

diminuisce, il valore di mercato

del patrimonio diminuisce e

dunque aumenta la leva finanziaria e con essa il ischio

finanziario. Ciò non succede

nel caso di un rialzo del prezzo.


25

Il modello EGARCH


• Nel tentativo di superare alcuni limiti del modello GARCH, sono state proposte numerose versioni alternative:

Exponential GARCH (EGARCH)

Asymmetric GARCH (AGARCH)

Integrated GARCH (IGARCH)

L’EGARCH modella il logaritmo naturale della varianza anziché la varianza: la parte destra dell’equazione può anche divenire negativa. Gli errori di previsione non devono essere elevati al quadrato e viene così adeguatamente considerata la

diversa reazione degli operatori alle “buone” rispetto che alle “cattive notizie”

Modello EGARCH

1

12

11

1

1

10

2log

t

tt

t

t

t


26

Il modello AGARCH e IGARCH


La versione AGARCH considera la risposta asimmetrica della volatilità rispetto a improvvisi shock al rialzo o al ribasso. Un parametro addizionale positivo ()

amplifica l’effetto degli shock negativi e attenua quello degli shock al rialzo

Modello AGARCH

2

11

2

110

2

ttt

Modello IGARCH Questo modello impone che la somma dei coefficienti 1 e 1 sia pari all’unità

Ipotizzando inoltre un valore nullo di 0, si ottiene il modello delle medie esponenziali con infiniti ritardi

2

11

2

110

21 ttt

1

212)1(

i

it

i

t

Tale formula è ottenuta dal GARCH (1,1) annullando 0 e sostituendo a 1 il

simbolo e ad 1 1- . Tale modello coincide con l’EWMA


27

I modelli GARCH – capacità di previsione


• I modelli GARCH sono stati prevalentemente utilizzati per spiegare il comportamento della varianza delle variabili finanziarie, più che per prevederne l’evoluzione.

• La loro applicazione a scopo previsionale presenta tre principali problemi

I modelli GARCH necessitano di un elevato

numero di dati affinché la stima dei coefficienti

possa risultare statisticamente

“robusta”

La capacità di un modello econometrico di descrivere un determinato campione di dati è direttamente proporzionale alla sua complessità (numero di parametri utilizzati). Un modello più complesso tende tuttavia a divenire più facilmente “obsoleto”..


28

I modelli GARCH – capacità di previsione


• I modelli GARCH funzionano bene se si desidera prevedere la volatilità del periodo successivo; diventano invece via via meno informativi per previsioni riguardanti periodi più lontani

Previsione volatilità di t+1

Sarebbe necessario conoscere l’errore di previsione in t, che ancora non conosciamo. È possibile sostituire ε2

t con il suo valore atteso: σ2t

Previsione volatilità di t+k

Non potendo conoscere gli errori di previsione futuri, la previsione

finirà per convergere verso la varianza di lungo periodo

• L’evidenza empirica non chiarisce se il modello GARCH abbia una miglior capacità previsionale rispetto a un più semplice modello EWMA

2

1

2

10

2

1 ttt

2

110

2

1

2

10

2

1 tttt

2

11

1

1

110

2

t

kk

i

i

kt


29

La previsione della volatilità: la volatilità implicita


• È un metodo per la previsione della volatilità basato sui prezzi delle opzioni • Il prezzo di un’opzione è funzione di cinque variabili • Se si conosce il prezzo di mercato dell’opzione è possibile utilizzare il modello di

pricing “a ritroso” per calcolare la volatilità implicita nel prezzo stesso • Spesso le formule di pricing di un’opzione non possono essere invertite

analiticamente

prezzo di esercizio (X)

prezzo di mercato dell’attività sottostante (S)

vita residua dell’opzione (T) tasso di interesse privo di rischio (i)

volatilità dell’attività sottostante ()

il calcolo della volatilità implicita si basa generalmente su un processo iterativo


30



• Tra gli algoritmi più usati per il calcolo della volatilità implicita vi è il metodo di Newton-Raphson o delle tangenti, che si compone di 3 fasi:

1. calcolo del prezzo teorico dell’opzione un valore della volatilità scelto

arbitrariamente ( )

2. confronto del prezzo teorico dell’opzione O ( ) con il prezzo di mercato

Om: se il prezzo di mercato risulta superiore (inferiore) si aumenta

(diminuisce) la volatilità in input di un valore pari a

3. il nuovo dato di volatilità così ottenuto viene inserito nel modello di pricing

e si procede fino a che non si verifica la convergenza fra O ( ) e Om

mOO )ˆ(

derivata parziale della funzione di prezzo dell’opzione rispetto alla volatilità


31



• La volatilità implicita risulta differente a seconda del contratto di opzione utilizzato

• Questo fenomeno, “volatility smile”, dipende dalla maggiore sensibilità delle opzioni ATM a variazioni della volatilità (maggiore vega)

• Le misure precedentemente introdotte sono backward-looking

• La volatilità implicita deriva dalle aspettative del mercato circa l’evoluzione futura della volatilità (forward-looking)

Volatilità implicita delle opzioni at-the-money (ATM) minore rispetto alle opzioni in-the-money (ITM) o out-of-the-money (OTM)

Capacità di previsione della volatilità implicita

il modello di pricing adottato deve essere attendibile e adottato anche dagli

operatori del mercato, altrimenti il valore ottenuto non è rappresentativo

dell’aspettativa del mercato

il mercato nel quale l’opzione è negoziata non deve avere imperfezioni strutturali in grado di generare squilibri temporanei

prezzi non di equilibrio


32



• La volatilità implicita nonostante sia forward looking presenta alcuni svantaggi se usata a fini previsionali per l’attività di risk-management:

• La volatilità implicita si presta male ad essere utilizzata per il risk-management • Essa può però integrare le previsioni offerte da un altro metodo e segnalare

eventuali divergenze

Deve esistere un contratto di opzione con sottostante uguale

all’attività di cui si vuole prevedere la volatilità del

rendimento (il mercato in cui è negoziata deve essere liquido

efficiente ed organizzato)

La vita residua dell’opzione deve coincidere con l’orizzonte temporale prescelto per il sistema di risk-management


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La stima di covarianze e correlazioni


• Possono essere utilizzati gli stessi metodi descritti per la stima della volatilità • Dati i rendimenti di due fattori di rischio rt e qt

• È teoricamente possibile ricavare dai prezzi delle opzioni non solo le volatilità,

ma anche le stime delle correlazioni implicite

1

0

11

2

;,1

1ˆ

n

i

itit

i

ntqr qr

medie mobili esponenziali

2

1;,11110

2

;, tqrtttqr qr GARCH (1,1)

Covarianza

metodi complessi e dati di mercato spesso non disponibili


34

La stima di covarianze e correlazioni


• Per esempio, avendo le volatilità implicite delle opzioni sui tassi di cambio

EUR/USD e EUR/YEN , e sul cross-rate YEN/USD è possibile ottenere la stima della correlazione implicita dei due cambi dell’euro (USD e YEN):

• Un altro metodo è quello che prevede di utilizzare i prezzi delle quanto options, ossia delle opzioni che hanno come underlying asset sia un tasso di cambio che un prezzo/indice azionario

• Una volta che le varianze e covarianze sono state stimate, è necessario verificare

che esse siano coerenti tra loro

È necessario verificare che la matrice di varianze e covarianze sia definita positiva

2 2 2

,2

USD YEN USD YENUSD YEN

USD YEN


35 © Resti e Sironi, 2008

1. Un’azione, dopo essere rimasta stabile per qualche tempo, registra un’improvvisa e ampia variazione di prezzo. Quale, tra le seguenti tecniche di stima della volatilità, conduce a parità di altre condizioni al più ampio incremento nella stima della deviazione standard dei rendimenti giornalieri (e quindi del VaR)?

a)volatilità storica basata su un campione di 100 giorni e stimata attraverso una media mobile esponenziale, con l pari a 0,94;

b)volatilità storica basata su un campione di 250 giorni e stimata attraverso una media mobile semplice;

c) volatilità storica basata su un campione di 100 giorni, stimata attraverso una media mobile esponenziale, con l pari a 0,97;

d)volatilità storica basata su un campione di 250 giorni, stimata attraverso una media mobile esponenziale, con l pari a 0,94.

Esercizi/1



2. Considerate le seguenti affermazioni contrarie all’uso della volatilità implicita per stimare la volatilità dei rendimenti dei fattori di mercato all’interno di un modello VaR. Quale tra esse non è corretta?

a) i prezzi delle opzioni scambiate su un mercato illiquido potrebbero includere un premio per la liquidità;

b) i prezzi delle opzioni scambiate in un mercato non regolamentato (“over the counter”) potrebbero includere un premio per il rischio di controparte, che può non essere facilmente identificabile;

c) la volatilità implicita nei prezzi delle opzioni è la volatilità del prezzo dell’opzione, non quella del prezzo dell’attività sottostante;

d) il modello di pricing usato per calcolare s può essere differente da quello adottato dai partecipanti al mercato per prezzare l’opzione.

Esercizi/2



3. Una banca utilizza medie mobile esponenziali, basate su un decay factor di 0,94 e su un numero molto elevato di osservazioni. Ieri sera, la volatlità delle variazioni percentuali di prezzo era 13% per l’azione Alfa, 8% per l’azione Beta. Oggi, le variazioni di prezzo per Alfa e Beta sono state, rispettivamente, 3% e 10%. Ipotizzando che i rendimenti attesi siano zero, aggiornate le stime di volatilità per Alfa e Beta. Infine, immaginate che il coefficiente di correlazione tra i rendimenti dei due titoli azionari, ieri sera, fosse 50%: è possibile aggiornare anche questo valore?

Esercizi/3

I modelli per la stima della volatilità - lumsa.it 07.pdf · Slides tratte da: Andrea Resti Andrea...

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