i manga delle scienze

i manga delle scienze

MATEMATiCAanalisi

Hiroyuki KojimaShin Togami

Becom Co., Ltd.

SOMMARiO

PrefaZiONE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IX

PrologO:

CHE COS’È UNA FUNZiONE? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

Esercizio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1

DERiViAMO LE FUNZiONi! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Approssimare con le funzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16Calcoliamo l’errore relativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27Derivate in azione! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32Passo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34Passo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34Passo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35Calcoliamo la derivata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39Calcoliamo la derivata di una funzione costante, lineare e quadratica . . . . . . . 40Riassunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2

iMPARiAMO A DERiVARE! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

La derivata della somma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48La derivata del prodotto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53La derivata dei polinomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62Troviamo i massimi e i minimi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64Il teorema del valor medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72La derivata di un quoziente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74La derivata della funzione composta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75La derivata della funzione inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

3

iNTEGRiAMO LE FUNZiONi! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

Il teorema fondamentale del calcolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82Passo 1 — Quando la densità è costante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83Passo 2 — Quando la densità è costante a tratti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84Passo 3 — Quando la densità cambia in maniera continua . . . . . . . . . . . . . . . . 85Passo 4 — Ripassiamo le approssimazioni lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

Passo 5 — Dall’approssimazione al valore esatto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89Passo 6 — p(x) è la derivata di q(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90Applichiamo il teorema fondamentale del calcolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91Riassunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93Una spiegazione più rigorosa del passo 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94Calcolare con gli integrali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95Applichiamo il teorema fondamentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101La curva dell’offerta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102La curva della domanda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103Ricapitoliamo il teorema fondamentale del calcolo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110Integrazione per sostituzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111Integrale di una potenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

4

iMPARiAMO A iNTEGRARE! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

Le funzioni trigonometriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116Gli integrali delle funzioni trigonometriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125L’esponenziale e il logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131Generalizziamo l’esponenziale e il logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135Riassunto delle funzioni esponenziale e logaritmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140Altre applicazioni del teorema fondamentale del calcolo . . . . . . . . . . . . . . . . . 142Integrazione per parti. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

5

SViLUPPi Di TAYLOR! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

Approssimare con i polinomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147Come ricavare lo sviluppo di Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155Sviluppi di Taylor di funzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160Che cosa ci dicono gli sviluppi di Taylor? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

6

LE DERiVATE PARZiALi! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

Cosa sono le funzioni di più variabili? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180Funzioni lineari in più variabili: i fondamenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184Derivate parziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191Definizione di differenziale parziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196Differenziali totali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

vi soMMario

Condizioni per gli estremi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199Applicazioni all’economia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202Funzione composta in più variabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206Derivate delle funzioni implicite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

EpilogO:

A COSA SERVE LA MATEMATiCA? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

A

SoluZiONE DEGLi ESercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

Prologo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225Capitolo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225Capitolo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225Capitolo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226Capitolo 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227Capitolo 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228Capitolo 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

B

principali formule, teoremi e funzioni che trovate in questo

libro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

Equazioni lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231Derivazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231Derivate di funzioni importanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232Integrali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233Sviluppi di Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234Derivate per funzioni di più variabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

inDiCE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

soMMario vii

Prefazione

Certe cose si possono fare solo con i fumetti, cioè – nel nostro caso – con i manga.

E siccome avete preso in mano questo volumetto e state leggendo queste pagine, con ogni probabilità appartenete a una delle categorie seguenti.

La prima comprende persone che semplicemente amano il fumetto e pensano “L’Analisi Matematica spiegata con i manga? Fantastico!” Se siete questo tipo di persona, dovreste precipitarvi alla cassa e comprarlo all’istante. Non ve ne pentirete. È un manga delizioso. Nulla di cui meravigliarsi, naturalmente: il disegnatore Shin Togami è un mangaka molto apprezzato, e l’idea editoriale è della Becom, uno studio molto professionale.

“Ma di solito i manga scientifici non sono particolarmente divertenti.” potreste obiettare. Vero. E in effetti, quando un editor della Ohmsha mi chiese di scrivere questo libro per poco non rifiutai. Molti dei cosiddetti “manga didattici” sono decisamente deludenti: anche se sono pieni di illustrazioni e di immagini grandi, non sono dei veri fumetti. Ma quando la Ohmsha mi mostrò un esempio (era “I manga delle scienze – Statistica”) cambiai idea immediatamente. A differenza di altre guide analoghe, si leggeva che era un piacere e l’editor mi disse che il mio libro sarebbe stato qualcosa di molto simile, così accettai. In realtà, avevo sempre pensato che usando i manga sarebbe stato più facile insegnare la matematica e mi sembrò un’ottima occasione di mettere in pratica quell’idea. Vi garantisco che più siete pazzi per i manga e più vi piacerà. Be’, cosa state aspettando? Se già non l’avete fatto, correte a comprarlo!

Un secondo tipo di lettore è quello che ha preso in mano il libro pensando “Anche se sono un disastro o proprio completamente allergico alla matematica, forse un manga mi aiuterà a capire”. Anche in questo caso, questo libro fa per voi, perché comprende deliberatamente dei passaggi pensati per chi in passato è rimasto traumatizzato dall’Analisi: non solo la spiega a fumetti ma lo fa in un modo sostanzialmente diverso dai testi tradizionali sull’argomento. Innanzitutto, proponiamo in continuazione le idee alla base dell’Analisi. Cose che non potreste mai capire limitandovi a impostazioni didattiche basate unicamente sui limiti (quella che io chiamo “la logica ε-δ”). Non potrete mai capire veramente l’Analisi, o farne uso con disinvoltura, se non avrete un’idea chiara di ciò che può veramente fare e

del perché è utile nel mondo reale. Finireste inevitabilmente in un circolo vizioso fatto di regole e formule imparate a memoria. Il libro spiega le formule sulla base di un’idea molto generale, quella di approssimazione del primo ordine, cercando di aiutarvi a visualizzare il significato delle formule, e a capirle. Si tratta di un approccio didattico unico, che vi permetterà di passare facilmente dalla derivazione all’integrazione. Ho inoltre adottato un metodo originale, che non si trova in altri testi, per spiegare l’integrazione delle funzioni esponenziali e trigonometriche, cosa che anche dopo ripetute spiegazioni di solito resta arabo per un sacco di persone. Inoltre, approfondiamo argomenti che in altri manga sullo stesso argomento non si trovano, come gli sviluppi di Taylor e le derivate parziali. Infine, ho invitato tre regolari fruitori dell’Analisi – Fisica, Statistica ed Economia – a fare parte del libro, presentando numerose applicazioni da cui è evidente quando l’Analisi possa essere indispensabile. Forti di questo armamentario, vedrete anche voi l’Analisi non come qualcosa di inarrivabile, ma come uno strumento da utilizzare.

Non lo ripeterò mai abbastanza: tutto ciò è stato possibile grazie al linguaggio dei manga. Ma perché sarebbe possibile acquisire più informazioni leggendo un manga invece che un romanzo in prosa? Perché gli elementi visivi del manga vengono presentati come una forma di animazione. L’Analisi è un ramo della matematica nato per descrivere illustrata con i manga.

E adesso voltate pagina e divertitevi anche voi con questo meraviglioso connubio tra fumetto e matematica.

Hiroyuki Kojima

NOTA – Per chiarezza, alcune figure non sono riportate in scala.

x prefazione

1

PROLOGO.CHE COS’È UNA FUNZiONE?

2

Gli ufficidi Sanda-Cho dell’Asagake

Times devono es-sere qui vicino.

Non ci posso credere... io, Noriko Hikima... una

giornalista! La miacarriera sta per

cominciare!

È solo laredazione loca-le di un piccolo

giornale, ma sono pur sempre una

giornalista!

Lavorerò come una

matta!

prologo

3

Asagake Times Distributore di Sanda-Cho

Un distributore?

Uffici diSanda-Cho... che sia sbagliata la

cartina?

È la porta a fianco.

Cercate laredazione di Sanda-Cho? Si

sbagliano tutti perché i nostri uffici sono più

grandi.

Che cos'è una funzione?

4

Asagake Timesredazione disanda-cho

prologo

Whoosh...

Oh, no!!Un prefabbricato!

M-mantieni la calma, Noriko.

È una redazione locale ma è pur

sempre l’Asagake Times.

5

Buongiorno!

[SPALANC]

S-sonos-spacciata.

Ha portato il pranzo?

Zzzzzzz...


O la vao la spacca!

6

Puòlasciarlo lì,

grazie.

Che c’è?

Oh, capisco. Lei è la nuova giornalista.

Mi chiamoNorikoHikima.

È stato unviaggio lungo, eh? Kakeru Seki, piacere. Sono il caporedattore.

il tipo grosso è Futoshi Masui, il

mio unico soldato sul caMpo.

Sono solo due...

prologo

7

È un ottimo po-sto. Un ambiente perfetto per pensare con

un po’ dicalma.

Pensare...? Sì. Pensarealle notizie.

Ai fatti.

Un fatto è una cosa collegata a

un altro fatto.

Se non capisciquesti collegamenti non diventerai unabrava giornalista.

VERO GIORNALISMO!!


8

Vedo che haifatto studiumanistici.

Sì! Hostudiato

letteraturasin dal liceo.

Allora devirecuperare un sacco di cose. Cominciamo con

le funzioni.

F-funzioni?Matematica?

C-co...?!

Quando unacosa cambia, ne

influenza un’altra.Una funzione èuna forma direlazione.

Puoi pensare al mondo stesso

come a una specie di grande funzione.

Una funzione descrive una relazione, un le-game di causalità o

un cambiamento.

il lavorodi noi giornalisti è scoprire perché le cose accadono...

le cause.

S-sì...

9

Sapevi che spesso una

funzione viene rappresentata nella forma

y=f(x)?

No!!

Supponiamo per esempio che x

e y sianoanimali.

Se x è una rana e la mettiamo nella scatola f, che la trasforma, dalla scatola esce il

girino y.

Ma, uh... che cos’è

f?

f sta per “funzione”, naturalmente.

La usiamo per indicare che la variabile y si trova in una relazio-ne ben precisa con la

variabile x.

E ovviamenteinvece di f pos-siamo usare una

lettera qualsiasi.

Animale yAnimale x f

Che cos'è una funzione? 9

10

in questo caso f descrive la relazione, o regola, traun “genitore”e un “discen-

dente”.

Genitore DiscendenteUna relazione che è vera per qualsiasi ani-

male. Se x è un uccello, y è un

uccellino.

Perfetto! Ora guarda qua.

Crisi:

calano i

consumi

di caviale

Un altro esempio: la relazione tra il reddito e le

spese può esse-re vista come una

funzione.Come quando

le vendite di una società aumenta-no e i dipendenti

ricevono dei bonus?

Jet X-43 raggiunge

Mach 9,6

Nuovo record del mondo

Anche la velocità del suono e la temperatura possono essere viste

come legate da una fun-zione. Quando la tempera-tura aumenta di un grado la velocità del suono

aumenta di 0,6 metrial secondo.

E in montagna la temperatu-ra scende di

circa 0,5 gradi ogni 100 metri d’altezza, dico

bene?Yoo-deel!

prologo

11

Chiaro no?!Siamo circondati

da funzioni.

Ora ca-pisco cosa vuoi dire!

E qui abbiamo tutto il tempo per pensare con cal-ma a queste cose.

Un giorno, le cosea cui pensiamo e che capiamo potranno

tornare utili.

È una piccolaredazione ma spe-ro che farai del

tuo meglio. Oh, sì.

Ehi?!

BUMP!


12 Prologo

Ouch...

Tutto bene...? È già ora di pranzo? Dov’è il mio manzo?

È presto per il pran-zo, Futoshi.

Lei è...

Non è ora? Sve-gliatemi quando arriva il pranzo, per favore... zzz.

Futoshi, abbiamo una

nuova...

È ora dipranzo?

No, èpresto.

zzz...

Flop

13

TABEllA 1: LE CARAttERiSTiCHE Di UNA FUNZiONe

argomento formula grafico

Relazione La frequenza del frinire del grilli dipende dalla temperatura. Indicativamente, la relazione tra y versi al minuto di ungrillo esposto alla temperatura di xgradi centigradi (°C) è

x = 27° 7 × 27 − 30

y g x x= ( ) = −7 30

Il risultato è di 159 versi al minuto.

Quando tracciamo il grafico di queste fun-zioni otteniamo una linea retta. Per questo le chiamiamo “lineari”.

x

y

0

Variazioni La velocità del suono y, espressa in metri al se-condo (m/s), nell’aria alla temperatu-ra di C, è data da

y v x x= ( ) = +0 6 331.

A 15°C,

y v= ( ) = × + =15 0 6 15 331. 340 m/s

A −5°C,

y v= −( ) = × −( ) + =5 0 6 5 331. 328 m/s

Conversioniunità di misura

Passaggio da x gradi Fahrenheit (°F) a y gradi Celsius (°C)

y f x x= ( ) = −( )59

32

Perciò 50 °F equivalgono a

59

50 32 10−( ) = °C

I computer memorizzano i numeri utilizzando un sistema binario (cioè le cifre”1” e “0”, dette anche “bit”). Un numero binario espresso da x bit può codificare y numeri

y b x x= ( ) = 2

(ulteriori dettagli su questo esempio a pagina 131)

Il grafico è una funzione esponenziale

x

y

10

1024

1

0


14 Prologo

P(x) non ha la forma di una funzione già nota ma è comunque unafunzione. Se in giugno aveste trovato il modo di predire il valore P(7) che il titolo avrebbe avuto in luglio, avreste potuto realizzare grossi guadagni.

esercizio

1. Scrivere la funzione che esprima la frequenza in frinii/minuto di un grillo alla temperatura di x °F

Il valore P del titolo di una società nel mese x nel corso del 2016 èy = P(x)

1 2 3 4 5 6

300

200

100

Mese

Yen

fx f(x) g( f(x))g

La funzione composta di f e g

Alcune funzioni non hanno grafici composti da linee rette o da curve con una forma regolare.

Quando applichiamo consecutivamente due o più funzioni parliamo di “composizione di funzioni”, una tecnica checi permette di allargare i possibili tipi di causalità.

15

1Deriviamo le funzioni!

16

Approssimare con le funzioni

Asagake Times Redazione di Sanda-Cho

Molto bene,per oggi ho

finito.

Tap-tap

Mi hanno dettoche ha aperto un ristorante italia-no proprio chic,

Noriko. Ti va?

Oh! Adoromangiare italiano...andiamo!

Ma... stacchi già? Non è

neppure mez-zogiorno.

Questa è una redazione lo-cale, abbiamo orari diversi.

capitolo 1 Deriviamo le funzioni!

17

[Sb

irc]

A: Redattori

Oggetto: Titoli del giorno

Orso irrompe nuovamente in abitazione – Nessun feritoLa reputazione dei cocomeri di Sanda-Cho inaumento in tutta la Prefettura

Ma... pubblichi sempre storie del genere?

Notizie locali come queste

non sono male. inoltre, l’aspet-

to umano può essere...

Politica,Esteri, Finanza,

Economia... io voglio trattare gli

argomenti che contano!!

Oh...quello è impossi-

bile.

Approssimare con le funzioni

[Conk]

18 capitolo 1 Deriviamo le funzioni!

[chomp][chomp]

Non è cheda queste parti

ci facciano iSummit.

Non succede mai niente d’interes-sante e il tempo scorre molto

lentamente.

LO SAPEVO!iO QUi NON Ci

LAVORO!

Noriko, ti assi-curo che un po’

d’esperienza qui ti servirà egualmente.

Non soche notiziet’interessicoprire...

...Ma ti insegnerò bene, così

potrai passarealla redazione

centrale.

19Approssimare con le funzioni

Per esempio, pensi che l’e-conomia giap-

ponese si trovi ancora in defla-

zione?

Credo di sì. Lo vedo nella vita di tutti i giorni.

il governo ha affermato ripetu-tamente che l’eco-nomia si sarebbe

ripresa.

Ma è passatomolto tempo

prima che apparis-sero dei segnali

di ripresa.prezzi

Un verogiornalista do-

vrebbe domandar-si per prima cosa “Che cosa voglio

sapere?”

Ho un brutto presenti-mento...

20

2004 2005 2006

y(Prezzi)

x(Anno)

Passaggio all’inflazione Ancora in deflazione

a > 00 a < 00

y ax b= +


Se riesci ad approssimare ciò che vedi con una funzio-ne semplice, la risposta ti apparirà più chiaramente.

Qui abbiamo usato un’e-spressione

lineare:y = ax + b

D-di nuovo matematica...? Lo sapevo!

Ora, ciò chepiù desideriamo sapere è se i

prezzi salirannoo caleranno.

Guarda.

Approssimandola fluttuazione dei prezzi con y=ax+b

otteniamo...

Perciò, se a è negativo possiamo affermare che la

deflazione è anco-ra in corso.


Esatto. impari alla

svelta.

[Growl]

E adesso andiamo a

fare pausa al ristorante

italiano.

Fuori di qui!

Noi andiamoa pranzo,

Futoshi. Vedi di non mangiare

troppo.

A proposito dimangiare, hai presen-te Johnny Fantastic, la rockstar che ha

scritto un libro sulle diete che è diventato

un successo? Sì.

22

Peso (kg) Peso (kg)

8 9 10 11 12 8 9 10 11 12

70 70

Giorni Giorni

y ax bx c= + +2


Ma dopo che si è lasciato in malo modo con la fidanzata è

tornato improv-visamente aingrassare.

Anche se il suo agentelo aveva av-

vertito.

Sono già al massimo del

peso.

Ne era certo. Ora, quello che il suo agente

vorrebbe capire...

È severamente il

peso di Johnny ha smesso di aumentare,come luisostiene.

Esattamente.Proviamo allora a descrivere l’aumen-

to del peso cony = ax2 + bx + c


L’aumento di peso accelera

L’aumento di peso rallenta Se a è positivo

l’aumento di peso continua ad accele-rare. Se è negativo,

rallenta.

Brava!Complimenti!

Da queste parti ci sono un

sacco di curve strette.

Supponiamo che tu voglia sape-re quanto sono

strette.

Be’, inrealtà nonm’interessa.

Possiamoapprossimare ciascuna curva con un cerchio.

...

[Vr

oom]

24

y R x a b= − −( ) +2 2

x a y b R−( ) + −( ) =2 2 2


Per farlo, usiamo la formuladel cerchio di raggio R

con centro nel punto (a,b).

E supponiamo che la curvatura sia quella

del cerchio.

Più R è pic-colo, più la curva è stretta. Ehi! At-

tento!

Stai bene?

Credo di sì...

[Vr

oom]

B a ng !


Ecco, quello è il nostro ristorante.

È ancora molto

lontano!

Ehi, ho un’idea! indichiamo il

punto dell’in-cidente con la lettera P.

Cosa?

Ristorante italiano

Luogodell’incidente

E immaginiamoche la strada

coincida col gra-fico della funzio-

ne f(x) = x2

26

y

4

x

Ristoranteitaliano

P

x = 2

f (x) = x2

y = g(x)

Approssi-mazione cong(x) = 4x − 4

P = (2, 4)

4km

1km

Pendenza nel punto P

La funzione lineareche approssima la funzionef(x) = x2 (la strada) in x = 2 è g(x) = 4x – 4*. Possiamo usare questa espressione per cal-colare l’inclinazione in quel

punto particolare.

Nel punto Pl’inclinazione aumenta di 4 chilometri in verticale per ciascun chilometro

percorso orizzontalmen-te. in realtà, per la mag-gior parte il percorso

non è così ripido.

*il motivo è spiegato a pagina 39

Futoshi? Abbiamo avuto un incidente. Puoi venire a dar-

ci una mano?

Dove? Èsuccesso nel

punto P.

Che razza difunzione dovrei usare per ap-

prossimare quel-lo che hai dentro

la testa?


27

Errore relativo = Differenza tra f(x+h) e g(x+h)

Variazione di x (=h)

Lafunzioneoriginale

La funzionecon cui laapprossimiamo

CALCOLiAMO L’ErrORE RELATiVO

Mentre aspettiamo Futoshi, ti parlerò dell’errore re-lativo, una cosa

molto importante.Errore

relativo?

L’errore relativoè il rapporto della

differenza tra i valori di f(x) e g(x) e la varia-zione di x, quando x

cambia. in altreparole...

Facile, no?

Me ne frego della differenza relativa. io vo-glio mangiare. Guarda

là, per esempio.

Un ristorantedi ramen?


28

Ramen

Ramen


Supponiamo che x sia 2 nel punto in cui ci troviamo e

che la distanza tra noi e il ristorante

sia 0,1.

Variamo x di 0,1: x=2 diventa

x=2,1

La differenzadiventa allora

f(2,1) – g(2,1) = 0,01e l’errore relativo è 0,01 / 0,1 = 0,1 (il 10%).

Supponiamo ora che il punto in cui mi trovo

disti 0,01 da P.

29

Errore

Errore relativo

Se lo scostamento tende a 0, anche l’errore relativo tende a 0.

Scostamento

di x da 2

f(x) g(x) Errore Errore

relativo

1 9 8 1 100,0%

0,1 4,41 4,4 0,01 10,0%

0,01 4,0401 4,04 0,0001 1,0%

0,001 4,004001 4,004 0,000001 0,1%

0 0


Aumentiamo x di 0,01: x=2 diventa x=2,01

L’errore relativo per questo punto

è minore che per il ristorante.

in altre parole, più resto vicino al luogo dell’inci-

dente e meglio g(x) approssima f(x).

30

Non mi sembra affatto sor-prendente...

Grandioso! Capisci già le

derivate.

Perciò il ristorante con l’erro-re relativo minore è...

...quello di ramen.

Non girarci in-torno! Hai inten-zione di andare al ristorante di

ramen, vero?

Sì. È più vicino al punto P e oggi

andremo lì.

La funzione lineare che approssimaquella originale è tale che, localmente,

il suo errore relativo è zero.

Perciò, finché ci riferiamo a caratteristichelocali, possiamo ricavare risultati corretti

utilizzando l’approssimazione lineare alposto della funzione originale.

Trovate tutti i dettagli a pagina 39.


31

Ramen Sanda Perché Futoshi mangia tanto? in fondo, è solo

venutoad aiutarci.

Sigh! il ramenmi piace, ma volevo mangiare italiano.

Sai Noriko, con le funzioni appros-simanti possiamo

stimare anche l’ef-ficacia degli spot

televisivi.

Davvero?


32

DERiVATE iN AZiONE!

Hai presente “MiXED Cola”,

la bibita?

Supponiamo che un loro manager abbia aumentato o diminuito il tempo

complessivo delle pubblicità televisi-ve, con lo scopo di aumentare i ricavi dei

vari prodotti.

Okay,ricevuto.

Sai...

Quando lavoravo in redazione centrale,

solo una persona riu-scì a risolvere questo

problema e oggi èun potentissimo...

Ci penso io! Lavorerò come

una pazza. Ti prego, raccon-

tami tutto.

Supponiamo chela mixed Cola

acquisti spot televisiviper x ore al mese.

Sappiamo che il guadagno derivante dall’aumento del-

le vendite in seguito a xore di spot è

f(x) = 20√x(in centinaia di milioni di yen)


33

Èbuonissima!

Attualmente, in un mese la mixed Cola

manda in ondaspot per 4 ore.

E siccomef(4) = 20√4 = 40,

la società guadagna4 miliardi di yen.

il costo de-gli spot è di 10 milioni di yen al

minuto.

Un minuto di spot =10 milioni di yen

D-diecim-milioni...?!

Un responsabile fresco di nomina ha deciso di interve-nire sui tempi degli spot. Secondo te, li aumenterà o li

diminuirà?

centinaia di milioni di yen

Un minuto di spot = 10 milioni di yen

mmm...

derivate in azione!

f x x( ) = 20

34

passo 1

centinaia di milioni di yen

*Ecco i calcoli per la retta tangente (v. anche le spiegazioni sulla derivata apagina 39).Per f x x( ) = 20 , f′(4) è data da

f f4 4 20 4 20 220

4 2 4 2

4 2

204

+( ) − ( )= + − × =

+ −( ) × + +( )× + +( )

= + −

ee

ee

e e

e e

e 44

4 2

20

4 2e e e+ +( ) = + + u

Quando e tende a 0, il denominatore di u 4 2+ +e 4. Perciò, u 20 ÷ 4 = 5.La funzione lineare che approssima f è quindi g x x x( ) = −( ) + = +5 4 40 5 20

Siccome f(x) = 20√xè una funzione com-plicata, ricaviamone una lineare che le assomigli per poi eseguire una stima

indicativa.

approssimiamolacon

Non possiamo imitare l’intera funzione con un’altra lineare, quin-di lo faremo solo nei pressi del tempo di messa in onda x=4.

Passo 2

Ora tracciamo la

tangente* al gra-

fico di f(x) = 20√x nel punto (4,40).


35

Se x cambia molto – di un’ora, per esempio – il valore g(x) sarà troppo diverso da f(x) e non po-

tremo usarlo.

in realtà, i tempi di messa in onda degli spot devo-no variare di una quantità piccola, iN Più o in meno.

Se consideriamo per esempio una va-riazione di sei minuti (0,1 ore), l’appros-simazione regge,

perché [per picco-le variazioni di x ]l’errore relativo

resta piccolo.

Passo 3

Vicino a x = 4 ore, f(x) è approssimata bene da

g(x) = 5x + 20.

il fatto chenell’espressione di g

il coefficiente sia 5 signifi-ca un aumento degli introiti di 500 milioni di yen all’ora. Perciò, se la variazione è di soli 6 minuti (0,1 ore), che

cosa succede?

Un aumento di sei minuti produce un aumento dei pro-fitti di 5 x 0,1 = 0,5 miliardi di yen, cioè

500 milioni.

Esatto. Maquanto costa

aumentare di sei minuti i tempidegli spot?

il costo dell’au-mento è di 6 x 0,1 = 0,6 centinaia di

milioni di yen.

Se invece i tempi diminuiscono, dimi-nuiranno anche gli introiti di circa 0,5 miliardi, cioè 500

milioni. Ma siccome avremo 600 milioni

di costi inmeno...

derivate in azione!

36

La risposta è... lasocietà ha deciso di diminuire gli spot!

Esatto!

Nel mondo reale usiamo le funzio-ni per risolvere i

problemi di lavoro e della vita di tutti i

giorni.

Esattamente, non importa che ne siamo consapevoli oppure no.

Per la cronaca, chi fu a risolvere que-

sto problema?


37

Oh, è statoFutoshi.

VUOI

SChERZARE?!

Ma avevi detto che era diven-

tato potentissi-mo... no?!

È un potentissi-mo giornalista di una redazione

locale.

Lo sapevo... risolvere dei problemi di matematica

non mi farà diventare una giornalista importante. ?!

Slurp

derivate in azione!

STRAP!

38

È una follia! Ma io non mi arrendo!

LA PAUSA PRANZO È FINITA! RIPA-RIAMO L’AUTO!

Futoshi, alzaladi più! Non sei un

potentissimogiornalista?

Non credo che questo c’en-tri niente col giornalismo...


39

CALCOLiAMO LA DERiVATA

Per determinare la funzione lineare g(x) = kx + l che approssima la funzione f(x) nel punto x=a dobbiamo trovarne la pendenza k.

u g x k x a f a( ) = −( ) + ( ) (g(x) coincide con f(a) quando x = a)

E adesso calcoliamo l’errore relativo quando x passa da x = a a x = a + e.

Errore relativo = Scostamento di x da x = a

Differenza tra f e g dopo la la variazione di x

Quando ε tende a 0, anche l’errore relativova a 0.

tende a kper ε � 0.

=+( ) − +( )f a g aε ε

ε

=+( ) − + ( )( )f a k f aε ε

ε

=+( ) − ( )

− →→f a f a

kεε ε 0 0

kf a f a

=+( ) − ( )

→limε

εε0

g a k a a f a

k f a

+( ) = + −( ) + ( )= + ( )

ε ε

ε

f a f a+( ) − ( )εε

(Il simbolo “lim” rappresenta il procedimento che produce il valore a sinistra del segno di uguaglianza quando e si avvicina a 0.)

Con questo valore di k, la funzione lineare u, o g(x), è un’approssimazione di f(x).k viene chiamato coefficiente angolare (o differenziale) di f(x)nel punto x = a.

lime

ee→

+( ) − ( )0

f a f a Pendenza della retta tangente a y=f(x) in un qualsiasi punto (a,f(a)).

Lo indichiamo con un apostrofo dopo la f.

′ ( ) = +( ) − ( )→

f af a f a

lime

ee0

f’(a) è la pendenza della retta tangente a y=f(x) in x=a.

Poiché a è un valore generico, possiamo sostituirlo con la lettera x e ora f’(x) può essere vista come una funzione di x, che chiamiamo “funzione deri-vata della funzione f”, o semplicemente derivata di f.

CALCOLiAMO LA DERiVATA

calcoliamo la derivata

40

CALCOLiAMO LA DERiVATA Di UNA FUNZiONE COSTANTE, LiNEARE EQUADRATiCA

1. Troviamo la derivata di una funzione costante f(x) = α. Il coefficiente angolare di f(x) at x = a è

lim lim limε ε ε

εε

α αε→ → →

+( ) − ( )= − = =

0 0 00 0

f a f a

Quindi la derivata di f(x) è f’(x)=0. Questo è ragionevole, perché il tasso di variazione di una funzione costante è 0.

Nota Spesso il coefficiente angolare di f(x) in x=a viene chiamato derivata di f(x) in x=a, o semplicemente f’(a).

2. Calcoliamo la derivata di una funzione lineare f(x) = α x + β. La derivata di f(x) at x = a è

lim lim limε ε ε

εε

α ε β α βε

α α→ → →

+( ) − ( )=

+( ) + − +( )= =

0 0 0

f a f a a a

Perciò la derivata di f(x) is f′(x) = α, cioè un valore costante. Anche questo dovrebbe essere intuitivo: il tasso di variazione delle funzioni lineari è costante per definizione.

3. Troviamo ora la derivata della funzione f(x) = x2, che appare nella storia. Il coefficiente angolare in f(x) at x = a è

lim lim lim lime e e e

ee

ee

e ee→ → → →

+( ) − ( )=

+( ) −= + =

0 0

2 2

0

2

0

22

f a f a a a aa ++( ) =e 2a

Il coefficiente angolare di f(x) in x=a è 2a, o anche f’(a) = 2a.La derivata di f(x) è quindi f’(x) = 2x.

riassunto

• Il calcolo di un limite è semplicemente una formula per il calcolo di un errore.

• Da un limite otteniamo una derivata.

• La derivata è la pendenza della retta tangente al grafico della funzione in un dato punto.

• La derivata è semplicemente il tasso di variazione.


41

La derivata di f(x) in x=a è data da

lime

ee→

+( ) − ( )0

f a f a

g(x) = f′(a) (x − a) + f(a) è quindi l’approssimazione lineare di f(x).f’(x) rappresenta la pendenza della retta tangente al grafico di f nel punto

(x,f(x)) e viene chiamata la derivata di f(x). Oltre a f’(x), per indicare la deri-vata di una funzione y=f(x) si usano anche i seguenti simboli

′ydydx

dfdx

ddx

f x, , , ( )

ESERCiZi

1. Sia data una funzione f(x) e una funzione lineare g(x)=8x+10. Sappiamo che l’errore relativo tra le due funzioni tende a 0 per x che tende a 5.

1. Calcolare f(5).1. Calcolare f′(5).

2. Data f(x) = x3, calcolare la derivata f′(x).

A.

B.

esercizi

43

2 impariamo a derivare!

44 Capitolo 2 impariamo a derivare!

!!!

Wow! Megatroxè una società enorme!

Non è uno scoop grandioso? ...

Accuse di rilevanza penale controMegatroxLeggi antitrust violate da contratto edilizio

45

immagino che un giorno tu voglia

scrivere un grande servizio, no?

Ovviamente!

immagino che quando eravate

in redazione centrale vi sia-te imbattuti inscoop incredi-

bili... non èvero?

Be’, nonproprio.

[uff]

Mi capitava di mancare le notizie importanti. Una volta ho anche

scritto una lettera di scuse per avereutilizzato notizie

false.

ah ah ah

Non c’è nulla di cui vantarsi!

Calmati,Noriko!

Capisco le tue aspettative sul

giornalismo d’in-chiesta, ma la cosa

più importante sono le basi.

Noriko vuole uno scoop!


Scrivi sempre inmaniera chiara e

semplice, senza pa-roloni o espressioni

oscure.

Non dimenticarti mai dell’uomo della strada.

Okay.

inoltre, non farefinta di sapere tutto. Se ti imbatti in qual-

cosa che non conosci, chiedi sempre adaltri o fai le tue

verifiche.

Futoshi èancora giovane ma ha capacità

investigative stu-pefacenti.

[orgoglio]

Uff

io non faccio finta di sapere

tutto!

Per lacronaca...

Che cos’èla leggeantitrust?

Eek!!

Thump

47Noriko vuole uno scoop!

Be’, la commissione fe-derale per il commercio controlla sempre che le imprese non faccia-

no qualcosa contro la libera concorrenza...

questo losai, no?

certamente!

[seeee!]

Aziende ed esercizi cercano sempre di fornire ai consuma-

tori le merci migliori ai prezzi più

bassi.

E proprio questo dovrebbe essere il

risultato della concor-renza: qualità maggiore

e prezzi inferiori.

Ma se delle società si mettono d’accordo per non essere concorrenti, o qualche altro fattore ostacola la concorren-za, ne risulterà uno svan-taggio per i consumatori. Lo scopo della commis-

sione federale per il commercio è monitora-

re queste attività.

Capisco.

Per spiegarti perché dovremmo pensare

alla legge antitrustin termini di analisi matematica, ti farò l’esempio del tapis

roulant.

Cosa?

Parleremodella regola di

derivazione della somma. Stai at-tenta, perchéti sarà molto

utile.

48

Formula 2.1

La derivata della somma

sia h x f x g x( ) ( ) ( )= +

′ = ′ + ′( ) ( ) ( )h x f x g x

approssimando

u

v

w

approssimando

approssimando

LA DERiVATA Della SOmmA

in altre parole, la derivata della som-ma di due funzioni è uguale alla somma delle derivate del-le singole funzioni.

Checosa vuol

dire?

Cerchiamo di capirlo appros-simando le cose

nei dintorni dix = a.

Lo abbia-mo già fatto.

Dato che

Vogliamotrovare k.

Poiché h(x) = f(x) + g(x), sostituiamo u e v

in questaequazione

uh-oh

Squeak

Squeak

Squeak

Capitolo 2 impariamo a derivare!

49

k = f ′(a) + g′(a) !

x

inoltre sap-piamo che...

Risistemando i

termini di x, l’equa-

zione w dice che il coefficiente di

(x - a) sarà k.

Vediamo...

Esatto!

Siccome ilcoefficiente an-golare coincide con la derivata,

abbiamo k = h’(a) =f’(a) + g’(a).

Parliamo ora un attimo del tapis

roulant.

Supponiamo che Futoshi stia

camminando sul marciapiede.

Preferirei non pensarci, ma immagino che

mi tocchi.

LA DERiVATA della SOmmA

50

f x f a x a f a( ) ( ) ( ) ( )≈ ′ − +

f x f a

x af a

( ) − ( )−

≈ ′ ( )

Supponiamo che in x minuti percorra f(x) metri a partire dall’origine O del

riferimento.a minuti

dopo si trovanel punto A.

Supponiamo che altri x minuti dopo sia nel

punto P.

Questosignifica che è

passato da A a P in(x - a) minuti.

Okay. Ma cosa vuol

dire?

Supponiamo che questo tempo

(x – a) siaestremamente

breve.

Allora l’e-spressione

diventa...

Mr. Seki, il membro di sinistra è la

distanza percorsa diviso il tempo im-

piegato... quindi è la velocità, giusto?

Precisamente! Quindi f’(a) rappre-senta la velocità di Futoshi quando

transita per il punto A.


51

Perciò derivare f significa trovare la velocità quan-

do f(x) rappresentala distanza in funzione

del tempo!

Esatto. E seh(x) = f(x) + g(x)

allora h’(x) = f’(x) + g’(x) significa quanto segue.

Supponiamo cheFutoshi cammini su un tapis roulant,

come negliaeroporti.

il nastro avanza di f(x) metri in x minuti. Rela-tivamente al nastro, nello stesso tempo Futoshi percorre g(x)

metri.

percorre g(x) metri in x minuti

avanza di f(x) metri in x minuti Quindi la distanza

totale percorsa da Futoshi in xminuti diventa

h(x) = f(x) + g(x).

LA DERiVATA Della SOmmA


Cosa significa allora h’(x) = f’(x) + g’(x)?

Vuol dire che la veloci-tà di Futoshi, misurata da

una persona che non è sul tapis roulant, è la somma della sua velocità rispet-

to al tapis roulant edi quella del tapisroulant, giusto? Giusto.

Ma cosa c’è di speciale, in tut-to ciò? E che cosa c’entra con la legge

antitrust?

Abbi un altro po’ di pazienza, cara

la mia cicala. Come ti ho det-to, le basi sono

importanti.

Anche laprossima regola è fondamentale,

quindi vedi diimpararla,

okay?

Ma certo!

[Pant, pant]

[uff uff]

53

Formula 2.2

LA DERiVATA DEL PRODOttO

Sia h x f x g x( ) = ( ) ( )

′ ( ) = ′ ( ) ( ) + ( ) ′ ( )h x f x g x f x g x

La derivata di un prodotto è la somma dei prodotti di ciascuna funzione per la derivata dell’altra.

f x f a x a f a( ) ≈ ′ ( ) −( ) + ( )

g x g a x a g a( ) ≈ ′ ( ) −( ) + ( )

h x f x g x k x a l( ) = ( ) ( ) ≈ −( ) +

h x f a x a f a g a x a g a( ) ≈ ′ ( ) −( ) + ( ){ }× ′ ( ) −( ) + ( ){ }h x f a g a x a f a g a x a f a x a g a f a g a( ) ≈ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )′ ′ − + ′ − + ′ − +2 (( )

h x f a g a f a g a x a f a g a( ) ≈ ′ ( ) ( ) + ( ) ′ ( ){ } −( ) + ( ) ( )k f a g a f a g a= ′ ( ) ( ) + ( ) ′ ( )

LA DERiVATA Del prodotto

LA DERiVATA DEL PRODOTTO

Davvero?

Sì.Consideriamo

x = a.

(x - a) è unavariazione piccola. Que-sto significa che (x - a)2

è ancora più piccola e

ragionando per appros-simazione possiamo

trascurarla.

Ecco ilrisultato.

54

*in realtà, normalmente per ogni prodotto vi sono grossi marchi di riferimento. Nel mercato del videonoleggio esistono catene famose di negozi. Nessun mercato può essere perfettamente concorrenziale, perciò stiamo parlando di una situazione ideale.

Capitolo 2

Ora useremo le derivate per capi-re perché bisogna evitare situazioni di

monopolio.

Cosa c’entra la derivazione con un pro-blema socia-

le?

Non dovrebbe essere una que-stione di mora-le, giustizia e

verità?

Proviamo a guardare il

mondo dal pun-to di vista degli

affari.

Un mercato incui non è possibile

discriminare prodot-ti forniti da aziende diverse viene detto “perfettamente con-

correnziale”.

Peresempio?

MERCATO PERFEttAMENTE CONCOrrENZiALE

Vediamo...il videono-

leggio?

Esatto.* in un mercato perfettamente con-

correnziale le aziende accettano per il bene il prezzo determinato dal mercato stesso e continuano a produrlo e a distribuirlo finché riescono a ricavarne

un profitto.

55la derivata del prodotto 55

Supponiamo per esempio che una società che produce dei

lettori CD, al prezzo unitario di mercato di 12.000 yen, valuti la possibilità di aumentare la

produzione.

Se il costo di produ-zione di una unità in più è 10.000 yen, l’azienda aumenterà sicuramente la produzione, perché in questo modo aumen-

terà anche iguadagni.

Aumento diproduzione

Siccome anchealtri concorrenti

producono lo stesso bene, l’azienda pensa che l’aumento di produzione produrrà una diminuzione

del prezzo di vendita.

Potrebbe quindi decidere di produrre di più, ma que-

sto farà variare il costo di produzione di ogni unità in più, e con esso la produt-tività. Alla fine, il costo di produzione dell’unità in più raggiungerà il prezzo di mercato di 12.000 yen. A

questo punto, i costi non giustificherebbero

l’aumento di produzione.

in breve, il mercato si stabilizza quando il prezzo di merca-to di una unità in più raggiunge il costo

di produzione di quell’unità.

Uh-uh

D’altra parte in un mono-polio, dove il bene è di-

sponibile presso un unico produttore, le cose vanno

diversamente. in quelcaso l’intero mercatocoincide con un’unica

azienda.

Mercato monopolistico

Se guardiamo al mercato come a un tutt’uno, un

aumento dell’of-ferta provocherà una diminuzione dei prezzi. La legge della domanda e dell’offerta.

56

Ricavo = R(x) = prezzo × quantità = p(x) × x

Formula 2.3 il RiCAVo AZiENDALe

Da R x R a x a R a( ) ≈ ′ ( ) −( ) + ( ) ricaviamo

R x R a R a x a( ) − ( ) ≈ ′ ( ) −( )

variazione della

produzione

variazione del ricavo


Supponiamo ora che il prezzo che consente

alla società di vendere l’intera quantità x della produzione sia una fun-zione di x, che chiamere-

mo p(x).

Per la cronaca, la va-riazione p’(x) del prez-zo è negativa, perché all’aumentare di x il

prezzo unitariodiminuisce.

Precisamente. i ricavi della società sono

quindi...Da cui si vede

che il ricavo ag-giuntivo derivato da una variazione nella produzione è R’(a) per ogni

unità.

Ho capito! Per deci-dere se aumentare la produzione, l’a-

zienda dovrà calco-lare R’ e confron-tarlo coi costi di

produzione.

Proprio così. E siccome R(x)=p(x)×x,

ricordiamoci della regola di derivazione del

prodotto.

Certo...

Squeak squeak

57

...quindi Otteniamo* R ′(a) = p ′(a) × a + p(a) × 1

LA DERiVATA Del prodotto

Esatto. La produ-zione va interrot-

ta esattamente quando questa quantità diventa inferiore al co-sto dell’aumento della produzione

di un’unità.

*La derivata di x è 1 (v. pagina 40 per i dettagli sulla derivazione delle funzioni lineari)

in altre parole, la produ-zione si fermerà quando p’(a) × a + p(a) = costo di produzione. Sappiamo che il primo termine è nega-tivo e questo garantisce che il prezzo di mercato

sia maggioredel costo.

Ma quando èun monopolista a interrompere la produzione, il

prezzo in realtà è maggiore dei costi

di produzioneaddizionali.

Cioè unamanipolazio-ne indebita dei prezzi, giusto? Oh.

Giusto. Ma diamoun’occhiata più da vi-cino. Si tratta di una

decisione presa su una base razionale.

Consideriamo nuovamente l’e-spressione dei

ricavi.

58

Le vendite aumentano quando la produzione aumenta ancora un po’:

′ ( ) = ′ ( ) + ( )R a p a a p a

I due termini hanno il seguente significato:

p(a) è il ricavo dalla vendita di a unitàp ′(a) a = Tasso di aumento del prezzo × produzione

= Gravi perdite a causa della diminuzione di prezzo di tutte le unità


Che ne pensi, Noriko?

Che ne penso?

il monopolistainterrompe la pro-duzione conside-

rando sia il ricavo della vendita di un

un’ulteriore unità che le perdite dovute alla diminuzione

del prezzo.

!!

Di per sé, non è nul-la di “cattivo”. Sem-plicemente, agisce in base al principio della ricerca di un

profitto. Da questo punto di vista, non

ha molto senso ac-cusare l’azienda di

immoralità.

Ma per i consumato-ri e per la società nel suo complesso

questo compor-tamento produce prezzi elevati, che non sono auspica-bili. Per questo la legge proibisce i

monopoli.

59LA DERiVATA Del prodotto

incredibile!! ?? Ma è grandioso, Mr. Seki!! Le derivate possono ri-solvere tutti i problemi

sociali, dico bene?

ME LODEVEDiRE!

L’AMORE?CHE Mi DiCE

DEll’AMORE?

Stai scherzando, vero?Non ha senso. ARGHH! Vi

DETESTO!!


Asagake Times, redazione di di

Sanda-Cho.

Oh,b-buongiorno

capo!

Asagake Times,redazione centrale. Vorremmo chieder-

le qualche spie-gazione su un suo

articolo.

Sì...

61Mr. Seki riceve una telefonata

Dovrebbe fornirci al-cuni dettagli sulle sue fonti e sulle informa-zioni che ha raccolto. Potrebbe essere una buona occasione per

ristabilire il suoonore.

Sì... capisco.

Grazie per avermi chiamato. Racco-glierò tutto il

materiale.

...

Che cosasuccede? Non hai un bell’a-

spetto.

Santo cielo.

!!!

Oh, no,niente digrave.

62

Come ricaviamo questa regola generale? Applichiamo più volte la regola per la derivata del prodotto.

Per h x x( ) = 2, si ha h x x x h x x x x( ) = × ′ ( ) = × + × =, 1 1 2

Ed è questa la formula

Per h x x( ) = 3, si ha h x x x( ) = ×2 , ′ ( ) = ( )′ × + × ( )′ = ( ) + × =h x x x x x x x x x2 2 22 1 32

Anche in questo caso la formula è di nuovo giusta.

Per h x x( ) = 4, si ha h x x x( ) = ×3 , ′ ( ) = ( )′ × + × ( )′ = × + × =h x x x x x x x x x3 3 2 3 33 1 4

E la formula è di nuovo quella giusta, per n=3. E così via: combinando queste tre formule possiamo derivare qualsiasi polinomio.

usiamo questo risultato

y ax=

y ax bx c= + +2

Monomio

termini

Polinomio

Formula 2.4 – la derivata di una funzione di grado N

La derivata di h x xn( ) = è ′ ( ) = −h x nxn 1

Formula 2.5 – lA derivatA della somma,della moltiplicazione per una costante e di xn

u

v Moltiplicazione per una costante: α αf x f x( ){ }′ = ′ ( )

w x nxn n{ }′ = −1

E adesso applichiamole tutte! Deriviamo h x x x x( ) = + + +3 22 5 3

regola �

regola � regola �

′ ( ) = + + +{ }′ = ( )′ + ( )′ + ( )′ + ( )′

= ( )′ + ( )′ +

h x x x x x x x

x x

3 2 3 2

3 2

2 5 3 2 5 3

2 55 3 2 2 5 1 3 4 52 2x x x x x( )′ = + ( ) + × = + +

Regoladella somma: f x g x f x g x( ) + ( ){ }′ = ′ ( ) + ′ ( )

Regola delle potenze:


LA DERiVATA DEi POLiNOMi

E ora cambiamo argomento.

Per conclude-re, ricaviamo una formula per deriva-

re i polinomi. La derivata di

qualsiasi poli-nomio si ottie-ne combinando tre formule.

E adesso applichiamole tutte! Deriviamo @@@ /// regola (1) /// @@@ regola (2) /// @@@ regola (3)

63la derivata dei polinomi

Esco unattimo.

...

Non devipreoccuparti

per lui.

Voglio che tu esca di qua e vada a fare delle

inchieste!

Davvero?

si, ho sentito direche hanno appena

rimesso a nuovo le montagne russe del parco divertimenti

di Sanda-Cho.

Le montagne russe di un paesino...

Sigh

64

y

x

Massimo

Minimo

I punti di massimo e di minimo sono punti in cui la funzione smette di crescere e comincia a diminuire, e viceversa. Quindi sono importanti nell’analisi del comportamento della funzione

Siccome un massimo o un minimo potrebbe essere un massimo o un minimo assoluto, è un punto importante nella ricerca di una soluzione ottimale.

Questo significa che troveremo i punti di massimo e di minimo tra quelli a per cui f ′(a) = 0. Questi valori sono chiamati estremanti.

TEOREMA 2.1: CONDiZiONi PER PUNTi ESTREMANTiSe in x=a la funzione y = f(x) è derivabile e ha un massimo o un minimo, allora f ′(a)=0.

TROViAMO i MASSiMi E i MiNiMi

AaaHHh!

OooHHh!

Ècome le

montagne russe

*

*ParcodivertimentiSandaland diSanda-Cho

E adessoche cosa...? io odio le monta-

gne russe...

Clickety-clack

clack

clack


65

f ′(a) = 0

f ′(a) = 0

(a, f(a))

(a, f(a))

teorema 2.2 – criteri per funzioni crescenti o decrescenti

Se f’(a)>0 allora y=f(x) è crescente in un intorno di x=a

Se f’(a)<0 allora y=f(x) è decrescente in un intorno di x=a

Supponiamo che f ‘(a) > 0.

Poiché in un intorno di x=a si ha f(x) ≈ f’(a)(x-a)+f(a), f’(a)>0 implica che in x=a l’approssimazione lineare di f – e quindi f – aumenta.

In altre parole, le montagne russe sono in salita e non si tro-vano né in una cima (massimo) né in un avvallamento (minimo).

Analogamente, se f’(a)<0 allora f(x) è decrescente e i valori che assume non sono né di massimo né di minimo.

Ne segue che se f(x) è crescente o decrescente – per f’(a)>0 e f’(a)<0, risp-ettivamente – in un avvallamento o in una cima si può solo avere f’(a)=0.

Infatti, questo implica che l’approssimazione lineare y=f’(a)(x-a)+f(a) si riduca alla costante y=f(a), il cui grafico è una retta orizzontale, in accordo con la nostra idea di massimo o minimo.

Possiamoriassumere l’in-tera discussione

col seguente teorema.

troviamo i massimi e i minimi


Bar Sandaya La, la, la! Ado-ro le derivate! Mi fanno capi-re la societa!

Eh, eh, eh! Quindi oracapisci!

Che cosa?Non hai altro da

dire? Soloderivare, deriva-

re, derivare!

Co...?! Ma hai appena detto

che...

Mi fa male la testa.

Un altrobicchiere, Mr.

Seki?

No, grazie.Stasera non voglio

bere troppo.

È quella telefonata, vero? Che

cos’ha detto il capo?

67troviamo i massimi e i minimi

...Buonissima!

La birra allaspina è lamigliore!

Ecco qua un bel proble-ma! Nella birra ci sono due tipi di bolle. Quelle relativamente piccole, che rimpiccioliscono sempre di più fino a

scomparire...

E quelle relativamente grandi, che rapidamen-te diventano ancora più grandi, emergono in su-

perficie e scoppiano.E adesso provaa spiegarmelo!

68

E r a r b r( ) = −

+ ( )4

343 2π π


Ah!

Conpiacere!

L’anidride carbonica presen-te nelle bevande, come per esempio la birra, è sovra-

satura ed è quindi più stabile come gas che sciolta in un

fluido.

Perciòl’energia di unabolla diminuisce

col volume(dove rè il raggio).

Gas (bolla)

Tensione superficiale

Fluido

D’altra parte, la tensione superficiale preme sulla

superficie di confine tra la bolla e il fluido, cercando

di ridurre l’areasuperficiale.

il contributo all’energia della bolla dovuto a que-

sta azione pertanto aumenta proporzionalmente all’a-

rea, che è data da 4r2

Sommando i due ef-fetti, possiamo scri-vere così l’energia E(r) di una bolla di

raggio r.

Volume dellasfera

Area della superficie sferica

Contributo del volume

Contributo dell’area

Ecco qua!

43

3πr

69

E(r)

MP

N

m n

r

2

′ ( ) = −( )′ + ( )′= − += − −( )

E r r r

r r

r r

3 2

2

3

3 6

3 2

troviamo i massimi e i minimi

La bolla cerca diridurre il più possibi-le la propria energia.

Se capiamo l’anda-mento di E(r) avremo risolto il mistero

della birra.

Capisco.Davvero

notevole,Futoshi!

Per semplificare i calcoli, supponiamo che a e b val-gano 1 e cambiamo il valo-re di r in modo da avere

E r r r( ) = − +3 23 *. È sufficien-te per valutare l’espressio-

ne generale di E(r).

*Si chiama rinormalizzazione di una variabile. Abbiamo semplicemente moltiplicato ciascun termine per 3/(4)

Per prima cosa tro-viamo gli estremi.

Poiché

per r = 2 abbiamo E’(r) = 0.Per 0<r<2 abbiamo invece

E’(r)>0 e la funzione è cre-scente. Per 2<r, E’(r)< 0 e la

funzione è decrescente. Ora vediamo quanto vale E(r) nel

punto di massimo r=2.

Ora sappiamo che il gra-fico di E(r) ha quest’an-

damento, e ci dice che da lati opposti del punto di massimo P la bolla si comporta in maniera

diversa.

70

P

N

n2

E(r)

MP

m 2La bollarimpicciolisce

La bolla aumenta


Per ridurre la propria energia E(r), una bolla di raggio ed energia corri-

spondenti al punto M dovrà ridurre il proprio raggio al di sotto di m. La bolla diventerà quindi sempre

più piccola, fino ascomparire.

D’altra parte, per ridurre la propria energia E(r), una bolla

di raggio ed energia corrispon-denti al punto N dovrà aumen-tare il proprio raggio al di

sopra di n. E diventerà sempre più grande, galleggiando

fino alla superficiedella birra.

?!

[rasp]

Eh, eh, eh...Futoshi...

N-Noriko...!

Bravo!

Clap

clap

71troviamo i massimi e i minimi

Non sbattermiin faccia grafici

e teoremi!!

Ouch! Certo che quando non sei in

ufficio ti comporti in maniera comple-tamente diversa!

Chiudi il becco! Sakè! Portatemi

del sakè!

A quanto pare, è arrivata al suo

massimo.

Aiuto!

72

il teorema del valor medio

Sappiamo che la derivata è il coefficiente della x nell’approssimazione line-are in un intorno di x=a. In altro parole,

f x f a x a f a( ) ≈ ′ ( ) −( ) + ( ) (con x molto vicino ad a)

Ma l’approssimazione, appunto, è solo una “imitazione” di f(x) e, in gene-rale, per un valore b vicino a (ma diverso da) x si avrà

u f b f a b a f a( ) ≠ ′ ( ) −( ) + ( )

Che non è un’equazione!

In altre parole, da qualche parte tra a e b* esiste un valore c per cui nell’espressione u vale il segno di uguaglianza.

teorema 2.3 – teorema del valor medio

Se f è derivabile per tutti i valori compresi tra a e b, con a<b, allora esiste un numero c per cui

f b f c b a f a( ) = ′ ( ) −( ) + ( )


il seguente teorema è per tutti quelli che non sopportano tanta imprecisione.

Come mai?

*Geometricamente: tra a e b esiste un punto nel quale la retta tangente al grafico di f è parallela alla retta che congiunge i punti A=f(a) e B=f(b).

73

Consideriamo il segmento di retta che unisce i punti A=(a,f(a)) e B=(b,f(b)).

Sappiamo che la pendenza è semplicemente Δy / Δx:

v Pendenza di ABf b f a

b a=

( ) − ( )−

Ora spostiamo la retta del segmento AB parallelamente a se stessa, verso il basso, come in figura, finché avrà in comune col grafico un unico punto. Indichiamolo con (c,f(c)).

In questo punto, la retta è diventata la tangente al grafico e la sua pen-denza è f’(c).

Per costruzione, la sua pendenza non è cambiata e sarà uguale a quella del segmento AB.

y = f(x)

B = (b, f(b))

Pendenza f ′(c)

a bc

Pendenza f b f a

b a

( ) − ( )−

A = (a, f(a))

Perciò

f b f a

b af c

( ) − ( )−

= ′ ( )

Da cui ricaviamo

f b f c b a f a( ) = ′ ( ) −( ) + ( )

Consideriamo il segmento di retta che unisce i punti A=(a,f(a)) e B=f(b,f(b)).

il teorema del valor medio

74

la derivata di un quoziente

Troviamo la formula per la derivata di h xg x

f x( ) = ( )

( )Per cominciare, limitiamoci a p x

f x( ) = ( )

1, cioè il reciproco di f(x).

Una volta trovata la sua derivata, potremo applicare alla funzione h(x) la regola per la derivazione di un prodotto.

Siccome per ogni x vale l’identità f(x) p(x) = 1 otteniamo

1 = ( ) ( ) ≈ ′ ( ) −( ) + ( ){ } ′ ( ) −( ) + ( ){ }f x p x f a x a f a p a x a p a

Derivando quindi i due membri, otteniamo.

0 = ( ) ′ ( ) + ′ ( ) ( )p x f x p x f x

Abbiamo quindi ′ ( ) = −( ) ′ ( )

( )p xp x f x

f x.

Siccome p af a

( ) = ( )1

, sostituendo nell’espressione precedente otteniamo

.

Data h xg x

f x( ) = ( )

( ) consideriamo in generale h x g xf x

g x p x( ) = ( ) × ( ) = ( ) ( )1

e applichiamo a questa espressione la regola di derivazione del prodotto.

′ ( ) = ′ ( ) ( ) + ( ) ′ ( ) = ′ ( ) ( ) − ( )′ ( )( )

=′ ( )

h x g x p x g x p x g xf x

g xf x

f x

g x f

12

xx g x f x

f x

( ) − ( ) ′ ( )( )2

Otteniamo quindi

FORMULA 2.6 – LA DERiVATA Di UN QUOZiENTE

′ ( ) =′ ( ) ( ) − ( ) ′ ( )

( )h x

g x f x g x f x

f x2


′ ( ) = − ′ ( )( )

p af a

f a2

75

la derivata della funzione composta

Troviamo la formula per la derivata di h(x) = g( f(x)).In un intorno di x = a,

f x f a f a x a( ) − ( ) ≈ ′ ( ) −( )

Mentre in y = b,

g y g b g b y b( ) − ( ) ≈ ′ ( ) −( )

Sostituiamo ora b=f(a) e y=f(x) nell’ultima espressione.In un intorno di x=a abbiamo

g f x g f a g f a f x f a( )( ) − ( )( ) ≈ ′ ( )( ) ( ) − ( )( )Sostituiamo f(x) – f(a) nel membro destro con quello della prima

espressione:

g f x g f a g f a f a x a( )( ) − ( )( ) ≈ ′ ( )( ) ′ ( ) −( )

Poiché g(f(x))=h(x), il coefficiente di (x-a) risulta essere h'(a) = g'( f(a)) f'(a).

Otteniamo così la formula

la derivata della funzione inversa

Usiamo la formula appena trovata per calcolare la derivata di x=g(y), la fun-zione inversa di y=f(x).Poiché x=g(f(x)) per ogni x, derivando i due membri otteniamo 1=g’(f(x))f’(x).Quindi 1=g’(y)f’(x) e quindi

formula 2.7 – derivata della funzione composta

′ ( ) = ′ ( )( ) ′ ( )h x g f x f x

FORMULA 2.8 – DERiVATA DEllA FUNZiONE iNVERSA

′ ( ) = ′ ( )g yf x

1

il calcolo delle derivate

76

le FORMULE DEllE DERiVATE

Formula PRO MEMORiA

Moltiplicazione per una costante α αf x f x( ){ }′ = ′ ( ) La costante “passa

attraverso” la derivazione.

xn (Potenza)x nxn n( )′ = −1 L’esponente diventa il

coefficiente, e il grado si riduce di 1.

Sommaf x g x f x g x( ) + ( ){ }′ = ′ ( ) + ′ ( ) La derivata di una

somma è la somma delle derivate.

Prodottof x g x f x g x f x g x( ) ( ){ }′ = ′ ( ) ( ) + ( ) ′ ( ) La somma dei prodotti di

ciascuna funzione per la derivata dell’altra.

Quozienteg x

f x

g x f x g x f x

f x

( )( )

′=

′ ( ) ( ) − ( ) ′ ( )( )2

Il denominatore elevato al quadrato. Il numera-tore è la differenza tra i prodotti di ogni funzione per la derivata dell’altra.

Funzionecomposta g f x g f x f x( )( ){ }′ = ′ ( )( ) ′ ( ) Prodotto delle derivate

della funzione esterna e di quella interna.

Funzioneinversa ′ ( ) = ′ ( )g y

f x1 Il reciproco della

funzione originale.

Esercizi

1. Per ogni numero naturale n, calcolare la derivata f’(x) di f(x) = 1—xn

.

2. Trovare gli estremi di f(x) = x3 − 12x.

3. Calcolare la derivata di f ′(x) of f(x) = (1 − x)3.

4. Calcolare il massimo valore di g(x) = x2(1 − x)3 sull’intervallo 0 ≤ x ≤ 1.


La derivata di una somma è la somma delle derivate

77

3integriamo le funzioni!

78 Capitolo 3 integriamo le funzioni!

**

Ehi, l’aveteletto l’articolo sul giornale di

oggi?

*Asagake Times

Quale artico-lo?

Studente univer-

sitario analizza

“la via del vento”

Potrebbe contribuire

a ridurre il fenomeno

delle isole di calore

nelle aree urbane.

Questo! Lo studente frequenta la mia università!

Sulla base dellescoperte dello

studente, la municipa-lità metropolitana di Tokyo sta finanziando

provvedimenti per contrastare il riscal-damento globale. È

fantastico!

La nostra università va forte in

scienze.

[Orgoglio]

Laurea in

lett

ere.

79iL RiSCALDAMENTO GLOBALE

Si sospetta che la causa del ri-

scaldamento glo-bale sia l’anidride

carbonica.

Calore

Viene chiamataanche gas serra e ha l’effetto di

mantenere calda la terra, impedendo al calore di lasciare

l’atmosfera.

Se il calore nonpuò disperdersioltre l’atmosfe-

ra, la terra diventa troppo calda, conconseguenze ano-male sul clima.

Lo studente ha analizzato l’influen-za del vento sulla

temperatura.

Ha propostodi limitare la

costruzione di edifici di grandi dimensioni che si trovino sul cam-mino del vento.

La speranza è che soffiando libe-

ramente sopra le coste e i fiumi, il

vento rallentereb-be l’aumento della

temperatura.

Per le società moderne è dura ridurre le emis-

sioni di CO2.

in realtà,tutti noi

dovremmo provarci.


Ma come faccia-mo a sapere se la quantità di

CO2 nell’aria sta aumentando?

[smorfia]

Oh, no...derivando?

No. integrando, questa volta. Ma

anche per questo serve una funzione.

INTEGRAZIONE

L’integrazione ci consente di determinare la quantità totale di CO2 nell’aria.

Conoscendola, possiamo stima-re questi altri

fattori.

1. incidenza della CO2 sul riscaldamento globale.

2. Quantità di CO2 prodotta dalle attività umane, come automobili e industrie.

Uh...

Ma si tratta di un problema difficile.

81iL RiSCALDAMENTO GLOBALE

Se laconcentrazione di CO2 fosse uniforme ovunque, saremmo in grado di calcolarne la quantità totale: la concentrazione mol-tiplicata per il volume

dell’aria.

Ma la concentra-zione di CO2 cambia da luogo a luogo, in maniera gradua-

le e continua.

Cerchiamo di capire come si

potrebbe fare a calcolare questa

variazionecontinua.

Uh... non ci sarebbe

qualcosa di più semplice?

Okay. Allora prendiamo il

prezioso sho-chu* di Futoshi!

Oh, no! Ma perché?!

* distillato giapponese

È per la forma-zione di Noriko. Peggio per teche lo tieni in

ufficio.

No! È il “Sonno lun-go mille anni”, un rarissimo shochu

di Sanda-Cho. Forse è per questo che

dorme sempre.

82

...

Capitolo 3 integriamo le funzioni!

iL TEOREMA FONDAMENTALE DEL CALCOLO

Altezza: 9 cmarea di base: 20 cm2

Verseremo dell’ac-qua bollente in

questo bicchieredi shochu.

Acqua bollente

...

Naturalmente, quando versiamo l’acqua, in

basso il liquore è più forte, mentre in alto la concentrazione è

minore.

inoltre, laconcentrazione varia in maniera

regolare, a poco a poco, dall’alto verso il basso.

Ora, usando lafunzione p(x), esprimiamo la

densità di shochu a x centimetri dal fondo, in g/cm3.

83

Densitàp(x)

2

0.02

0 9 xAltezza

p(x)

0.1

9 x

p(x)

0.1

9 x


Supponiamo che p(x) sia della forma

Dimmi, Noriko. Qual è la quantità di alcool in grammi contenu-ta in questo shochu

diluito in acqua?

E io come faccio a

saperlo?!

Passo 1 – Quando la densità è costante

Be’, sela densità ècostante, è

facile. La quan-tità totale di

alcool è ugua-le alla densità moltiplicata per

il volume del contenitore.

Se la densità è di0,1 g/cm3, come nel

grafico, basta calco-lare la densità e molti-plicarla per l’altezza e per l’area di base: 0,1 x 9 x 20 = 18 grammi, che

è la quantità dialcool.

Se calcoliamo l’area della parte grigia del grafico,

non è la stessa cosa?

Hai proprio ragio-ne! Per ottenere il volume dobbiamo

poi moltiplicare an-che l’altezza x per

l’area di basedi 20 cm2.

p xx

( ) =+( )2

12

84

x

0.1

0

0.2

0.3

6 92

2 4 3

Densitàp(x)

0,3 × 2 × 20 + 0,2 × 4 × 20 + 0,1 × 3 × 20

= (0,3 × 2 + 0,2 × 4 + 0,1 × 3) × 20 = 34

alcoolnel tratto0 ≤ x ≤ 2( ) alcool

nel tratto2 < x ≤ 6( ) alcool

nel tratto6 < x ≤ 9( )


Passo 2 – Quando la densità è costante a tratti

Adesso immaginiamo un bicchiere di shochu dove la densità cambi

in maniera diversa.

Come illu-strato da

questo grafi-co, per esem-

pio.

Perché nonla calcoli tu,

Noriko?

Vediamo, separando il grafico nei vari tratti... l’area di base è 20 cm2...

Quindi...

85

Densitàp(x)

2

0.02

0 9 x

. . .

p(x)

p(x0)p(x1)p(x2)

p(x6)

x0 x1 x2 x3 x4 x5 x6


La soluzione è 34 grammi,

giusto?

Giusto.

Passo 3 – Quando la densità cambia in maniera continua

Che cosa possia-mo fare quando

p(x) varia concontinuità?

Oh, che scocciatura!!

Ma no, dai. Guarda!

Oh, ora capisco. Per cominciare, possiamo imitare il comporta-mento della funzio-ne con una funzione costante a tratti, e usare lo stesso

metodo delPasso 2.

86

p x x x

p x x x

p x x x

p x x x

0 1 0

1 2 1

2 3 2

3 4

20

20

20

( ) × −( ) ×( ) × −( ) ×( ) × −( ) ×( ) × − 33

4 5 4

5 6 5

20

20

20

( ) ×( ) × −( ) ×

+ ( ) × −( ) ×p x x x

p x x x

Quantità approssi-mativa di alcool

p(x)

. . .

p(x0)p(x1)

p(x6)

x0 x1 x2 x3 x4 x5 x6


Esatto!Scegliendo

sull’asse dellex dei punti x0,x1, x2... e x6.

La densità è costante tra x0 e x1 e vale p(x0).La densità è costante tra x1 e x2 e vale p(x1).La densità è costante tra x2 e x3 e vale p(x2).

in questo modo,simuliamo p(x) con

una funzione costan-te a tratti.

La quantità di al-cool calcolata

in questo modo è un’approssimazio-ne del quantitativo

esatto.

E questi sono i calcoli com-pleti, vero?

Esatto. L’area gri-gia della funzione costante a tratti è la somma di queste quantità (ma senza moltiplicare per l’area di base di

20 cm2).

87

p x x x3 4 3( ) × −( )


Quindi se proseguia-mo all’infinito con questa suddivisione, alla fine otterremo

la giusta quantitàdi alcool, dico

bene?

Be’, ècorretto,

ma non reali-stico.

Dovresti sommare un numero infinito di fette

infinitamente sottili.

Ca...

capisco.

Guarda questa espressione. Ti ri-

corda niente?

Ah! Assomiglia aun’approssimazione

lineare!

88

PAssO 4 – RiPAssiAMO LE AppROssiMAZiONi LiNEARi

Se f’(x) è la derivata di f(x), allora in un intorno di x = a abbiamof(x) ≈ f’(a)(x – a) + f(a).

Possiamo scriverlo come

u f x f a f a x a( ) − ( ) ≈ ′ ( ) −( )ovvero (variazione di f) ≈ (derivata di f) × (variazione di x)

Se l’intervallo tra due valori consecutivi come x0, x1, x2, x3, ..., x6 è abbastanza piccolo, allora x1 è vicino a x0, x2 è vicino a x1, e così via.

Introduciamo ora una nuova funzione, q(x), la cui derivata è p(x):

q′ (x) = p(x).Applicando u a q(x), abbiamo

(Variazione di q) ≈ (derivata di q) x (variazione di x)

q x q x p x x x1 0 0 1 0( ) − ( ) ≈ ( ) −( )q x q x p x x x2 1 1 2 1( ) − ( ) ≈ ( ) −( )

Se sommiamo membro a membro le varie espressioni, vediamo che ivari termini si semplificano a due a due.

q x q x p x x x

q x q x p x x x

q x q x

1 0 0 1 0

2 1 1 2 1

3 2

( ) − ( ) ≈ ( ) −( )( ) − ( ) ≈ ( ) −( )( ) − ( )) ≈ ( ) −( )( ) − ( ) ≈ ( ) −( )( ) − ( ) ≈ ( )

p x x x

q x q x p x x x

q x q x p x x

2 3 2

4 3 3 4 3

5 4 4 5 −−( )+ ( ) − ( ) ≈ ( ) −( )

x

q x q x p x x x4

6 5 5 6 5

q x q x6 0( ) − ( ) ≈ La somma

Sostituendo x6 = 9 and x0 = 0, otteniamo

Quantità approssimativa di alcool = somma x 20

q x q x6 0 20( ) − ( ){ }×q q9 0 20( ) − ( ){ }×


ovvero (variazione di f) ≈ (derivata di f) × (variazione di x)

Quindi dobbiamo trovare una fun-zione tale che

q’(x)=p(x)

89

Passo 5 — DALL’APPROSSiMAZiONE al VALORE ESATTO

�

�La quantità di alcool approssimata(÷ 20) data dalla funzione a tratti:

(Costante)

La quantità esattadi alcool (÷ 20)

≈

≈

Quantità esattadi alcool (÷ 20)

==

=La somma diPer un numero infinito di xi

p x x xi i i( ) −( )+1 q q9 0( ) − ( )

p x x x p x x x0 1 0 1 2 1( ) −( ) + ( ) −( ) + ...

q q9 0( ) − ( )


Abbiamoappena ottenu-to la seguente

relazione tra le espressioni ripor-tate nella pagina

precedente.

Ma seaumentiamo il

numero dei punti x0, x1, x2, x3

e così via,all’infinito...

Possiamodire che

l’espressione u da “approssimata” diventa “esatta”.

Ma poiché la somma delle espressioni

approssima il valo-re costante

q(9) − q(0)

Otteniamo l’e-spressione che

abbiamo scritto*.

*A pagina 94 la ricaveremo in maniera più rigorosa.

ovvero (variazione di f) ≈ (derivata di f) × (variazione di x)

90

Passo 6 — p(x) è la derivata di q(x)

Supponiamo che q xx

( ) = −+2

1, allora ′ ( ) =

+( )= ( )q x

xp x

2

12

In altre parole, p(x) è la derivata di q(x).q(x) viene chiamata la primitiva di p(x).

Quantità di alcool

= q q9 0 20( ) − ( ){ }×

= −+

− −+

×2

9 12

0 120

= 36 grammi


Questa è la prossima

espressione che studieremo,

Noriko.

Allora la fun-zione che vole-vamo è questa

q(x).

Normalmente, la quantità di alcool in un bicchiere di sho-chu con acqua calda

è di 24,3 grammi.

Uh, roba forteallora.

La somma infini-ta che abbiamo

svolto...

...richiederebbe un sacco di tempo. Perciò la indi-

cheremo con un simbolo.

91AppLiCHiAMO iL TEOREMA FONDAMENTALE DEL CALCOLO

AppLiCHiAMO iL TEOREMA FONDAMENTALE DEL CALCOLO

L’espressione precedente...

Può essere scritta così. Oh, è

semplice.

Ma checos’è ∆?

∆ è una lettera gre-ca, si legge “delta”

e di solito viene usata per indicare

una differenza.Delta

Perciò ∆x indica la distanza che manca

al punto successivo. in altre parole, per esempio, rappresen-

ta (x1 – x0), oppure (x2 – x1).

E ∑...?


È un’altra lette-ra greca, si legge “sigma” e usata in

questo modo

indica l’operazione “somma da x0=0

a x5=9”.

Perciò,che cosa significa

p x xx x x x

( ) ∆=∑

0 1 5, ,...,

Noriko?

indica la somma dei pro-dotti tra valori di p nei

punti x per la distanza di x dal punto successivo.

Esatto. Ed è l’equazione che abbiamo visto in fondo a pagina

89.

il prossimo simbo-lo ci servirà per semplificare ulte-riormente questa

equazione.

Siccome rappresenta la somma di un nume-ro finito di termini,

passando all’infinito lo arrotondiamo.

Ar... ro-tondiamo?

Sì, così...

Oh![s

tira

cchio!]

Clap clap

nnngg-gHHh!!!

x x x x=∑

0 1 5, ,...,

93

p(x)

0 9 x

� ∫09p(x)dx

riassunto

a b

…

a b

p x p x dx p x x q b q aa

b

x x x x

( ) = ( ) ≈ ( ) ∆ = ( ) − ( )∫ ∑= 0 1 5, ,...,

Dobbiamo trovare una q(x) tale che ′ ( ) = ( )q x p x a


AllUNGO ∑,lo faccio

diventare ∫ e...Tiro

...sostituisco∆ con d.

Oh!

L’espressione w indica la somma quando gli interval-li divengono infinitamente brevi, e rappresenta l’area

tra il grafico e l’asse delle x.

Viene chiamatA inte-grale definito.

Se p(x) è la deri-vata di q(x)... Abbiamo calcolato la

somma con grande faci-lità, non trovi?

integrale definito, ti

amo!

Nonproprio

entusiasta

...

QUESTO È iL TEOREMA FONDAMENTALE DEL CALCOLO!

p x dx q b q aa

b ( ) = ( ) − ( )∫

94

una spiegazione più rigorosa del passo 5

Nella spiegazione a pagina 89 abbiamo usato l’espressione q x q x p x x x1 0 0 1 0( ) − ( ) ≈ ( ) −( ), una stima “rozza” del valore esatto. Per chi non fosse soddisfatto da tanta approssimazione, ora saremo un po’ più pre-cisi e, grazie al teorema del valor medio, otterremo il medesimo risultato.

Per cominciare, troveremo una funzione q(x) tale che q’(x)=p(x).Fissiamo sull’asse delle x dei

punti x0 (= a), x1, x2, x3, ..., xn (= b) Poi consideriamo il

punto x01 tra x0 e x1 per cui q x q x q x x x1 0 01 1 0( ) − ( ) ≈ ′ ( ) −( ).

Questo punto esiste per il teo-rema del valor medio.

Analogamente, consideriamo il punto x12 tra x1 e x2 per cui

q x q x q x x x2 1 12 2 1( ) − ( ) ≈ ′ ( ) −( )

Proseguendo con questa operazione, otteniamo

y

x

...

p(x)

x0 x1 x2 x3 x4 xn−1 xn

x01 x12 x23 x34 xn−1n

[xn = b][x0 = a]

Approssimazione dell’area

Area esatta

Sezioni infinitamente sottili

Sempre uguali

Uguali

+

... ... ...

q x q x

q x q x

q x q x

q x q xn n

1 0

2 1

3 2

1

( ) − ( ) =( ) − ( ) =( ) − ( ) =

( ) − ( ) =−

′ ( ) −( )′ ( ) −( )′ ( ) −( )

′ ( ) −− −

q x x x

q x x x

q x x x

q x x xn n n n

01 1 0

12 2 1

23 3 2

1 1(( )

= ( ) −( )= ( ) −( )= ( ) −( )

= ( ) −− −

p x x x

p x x x

p x x x

p x x xn n n n

01 1 0

12 2 1

23 3 2

1 1(( )q x q xn( ) − ( )0

q b q a( ) − ( )

So

mm

e

Aree


Questo schema è equivalente a quello del Passo 5

95

CALCOLARE CON GLi iNTEGRALi

Le espressioni da u a w diventano intuitive se ne rappresentiamo i grafici.

FORMULA 3.1 – LE FORMULE PRiNCiPALi

u f x dx f x dx f x dxa

b

b

c

a

c( ) + ( ) = ( )∫ ∫ ∫Possiamo unire intervalli adiacenti degli integrali definiti della

stessa funzione.

v f x g x dx f x dx g x dxa

b

a

b

a

b( ) + ( ){ } = ( ) + ( )∫ ∫ ∫L’integrale definito di una somma di funzioni è uguale alla

somma degli integrali definiti delle singole funzioni.

w α αf x dx f x dxa

b

a

b( ) = ( )∫ ∫Una costante moltiplicativa può essere “portata fuori” dal sim-

bolo di integrale.

�

�

�

a b c

+ =

+=

a b c a b c

a b a b a b

f(x) g(x)Area di g

Area di f

f(x)


Oh, capisco.


Wow! Ora siamo tutti stanchi.

Futoshi, serviti pure un po’ di

shochu.

Bah! Questoera comunque il

mio shochu.

La spiegazione è stata un po’ impe-gnativa ma l’hai capita, vero?

[sbronz]

Lo sento persino io...

uh-oh!!

Mi sono appena ricordato di una

cosa che devi fare. Ci spostiamo in

archivio?

97in archivio

Archivio

Ciao Noriko. Se ricordo bene, circa un anno fa dei ricerca-tori del Dipartimento di inge-gneria dell’Università di Sanda

analizzarono le caratteri-stiche del vento e usarono i risultati nella progettazio-ne dei nuovi edifici. Potresti cercare di capire quali pro-gressi ci sarebbero stati da

allora?

Perchécontinuano a snobbarmi?

Cosa?

Kakeru S

eki

Kakeru Seki... un articolo di Mr. Seki.

Di che cosa

parlerà mai?


Baia

Inquinata

La causa: un

versamento di scorie

della Burnham

Chemical Products

Burnham... uno degli inserzioni-sti dell’Asagake

Times.

Tra tutte le grandi società giappo-nesi... Mr. Seki ha

scritto un artico-lo accusando il

nostro maggiore inserzionista.

Per questo devono averlo trasferito in una redazione

locale.

99in archivio

Hai scoperto niente?

No, be’... ecco... han-no fatto proposte

interessanti...

Come per esempio costruire un edificio che convogli il vento in modo da diminuire l’effetto “isola di

calore”... quello per cui le aree urbane

trattengono più ca-lore di quelle rurali.

Molto bene.

E di che tipo di progetto si

tratta?

io... non lo so.

Li chiameròimmediatamente per chiederlo, giuro.

Chiamarli?Chiamarli?


Scordatelo!Gli articoli non siscrivono coi piedi!

Vai eintervistali!

E per punizione dovrai stabilire se la loro teoria può essere descritta

da delle equazioni!!

Sì, signore! Vado subito.

101Applichiamo il teorema fondamentale

AppLiCHiAMO iL TEOREMA FONDAMENTALE

...quindi, stiamo parlando di

domanda e of-ferta, giusto?

Precisamente.in economia, si ritiene che l’in-tersezione tra la curva della

domanda e quella dell’offerta...

...determiniprezzo e

quantità a cuile aziende produ-

cono i beni.

Certo, l’i-dea di base

è chiara.

Questo non vuol dire che le attività si svolgano

effettivamente nel punto

d’intersezione.

Anche se in real-tà, la società ne ricava i maggiori benefici se i com-merci rispettano queste situazioni

ideali.

Fantastico!

E possiamo capirlo meglio usando il teore-ma fondamentale

del calcolo.

102

LA CURVA DELL’OFFERTA

L’utile P(x) derivante dalla produzione di x unità di un bene è dato dalla fun-zione seguente:

dove C(x) sono i costi di produzione.Supponiamo che il valore x per cui l’utile P(x) è massimo sia la quantità

prodotta s.Lo scopo di un’azienda è quello di massimizzare il proprio utile.

Ricordiamo che per trovare gli estremi di una funzione poniamo a zero la sua derivata: questo significa che per la produzione s di eventuale massimo dell’utile abbiamo

Il prezzo p1 corrisponde al valore ottimale di produzione s1.

P(x) p x C(x)

(Profitto) = (Prezzo) × (Quantità prodotta) − (Costo) = px − C(x)

p (Prezzo)

A

s0

(Volume ottimale diproduzione per l’azienda)

�

�

p C s= ′ ( )p1

s1

il grafico della funzionep = C′ (s) viene chiamatocurva dell’offerta.


′ ( ) = − ′ ( ) =P s p C s 0

LA CURVA DELL’OFFERTA

Per cominciare, vediamo come le imprese cerchino di massimizzare il profitto in un mercato perfettamente

concorrenziale. cominciamo con la curva dell’offerta.

103

L’area del rettangolo delimitato dai quattro punti (p1, A, s1) e l’origine equivale al prezzo unitario moltiplicato per la quantità prodotta. In teoria, questo rappresenta il ricavo lordo dell’azienda, prima di sottrarre i costi di produzione, ma guardiamo bene: la porzione u del grafico corrisponde ai costi di produzione, che possiamo ricavare con un integrale.

Qui applichiamoil teorema

fondamentale.

Assumiamoper semplicità

C(0) = 0.

Questo significa che l’utile netto è rappresentato dall’area dellaregione v, cioè l’area dell’intero rettangolo meno u.

Curva della domanda

Ora prendiamo in considerazione le esigenze dei consumatori.Quando un consumatore acquista x unità di un bene, i vantaggi B(x) sono

espressi dall’equazione

B(x) = Valore totale dei consumi – (Prezzo × Quantità) = u(x) – px

Dove u(x) è una funzione che descrive il valore dei beni per tutti iconsumatori.

Questi ultimi, acquisteranno la massima quantità di beni quando saràmassimizzata anche B(x).

Se t è il valore dei consumi che annulla la derivata B’(t), otteniamol’equazione*

′ ( ) = ′ ( ) − =B t u t p 0

′ ( ) = ( ) − ( ) = ( ) =∫ C s ds C s C C ss

0 1 1

10 Costi

Applichiamo il teorema fondamentale

L’area del rettangolo delimitato dai quattro punti p1, A, s1 e l’origine equivale al prezzo unitario moltiplicato per la quantità prodotta. In teoria, questo rappresenta il ricavo lordo dell’azienda, prima di sottrarre i costi di produzione, ma guardiamo bene: la porzione u del grafico corrisponde ai costi di produzione, che possiamo ricavare con un integrale.

La funzione p=u’(t) viene chiamatacurva della domanda.

* Notiamo ancora una volta che siccome i consumatori desiderano massimizzare i propri benefici, stiamo cercando dei punti di estremo (quelli per cui B’(t)=0).

104

Consideriamo ora l’area del rettangolo w: essa è data dal prezzo moltipli-cato per i consumi. In altre parole, si tratta della spesa totale effettuata dai consumatori in cambio del prodotto.

La somma delle aree w e x si può ottenere per integrazione.

= Valore totale dei consumi

Per semplificare,supponiamo che

u(0) = 0.

Sottraendo l’area del rettangolo w dall’integrale da 0 a t1 determiniamo l’area di x, cioè i vantaggi dei consumatori.

B

t (Consumi ottimali)

�

�p u t= ′ ( )

p (Prezzo)

0

p1

t1

′ ( ) = ( ) − ( ) = ( )∫ u t dt u t u u tt

0 1 1

10


Quindi x è dato dal valore totale dei consumi meno la cifra pagata w, dico bene?

Esattamente. E ades-so diamo un’occhiata alle curve della do-manda e dell’offerta

prese insieme.

105

p (Prezzo)

pe

Quantità

Utile delleaziende

Vantaggiodei consumatori

Curva della domanda

Curva dell’offerta

E

E

G

F

Perditaper lasocietà

xe

pf

xf

Applichiamo il teorema fondamentale

Possiamo dire che gli utili dell’a-zienda uniti ai vantaggi dei consuma-tori producono il vantaggio della società nel suo complesso, rap-presentato dall’area in grigio.

Ma che cosa succede se la transazione non avviene al prezzo e per la quantità corrispondenti al punto

d’intersezione?

i benefici complessivi per lasocietà si riducono dellaquantità corrispondenteall’area vuota in figura.

Tutto chiaro?

Sì, e useròl’analisi mate-

matica anche nei miei articoli.

Trovo che an-che velocità e caduta dei gra-vi siano buoni argomenti di cui scrivere.

Vado subito a documentarmi!

106

È matematico: l'integrale della velocità (nel tempo) è la distanza!

L’integrale della velocità = variazione della posizione nel tempo = distanza percorsa

Ci hanno sempre detto che capendo questa formula saremo in grado di calcolare la distanza percorsa da corpi la cui velocità cambia in maniera costante. Ma sarà vero?

Il nostro promettente neo-acquisto Noriko Hikima ci spiega come stanno le cose nel suo sconvolgente servizio.

Sanda-Cho – Alcuni lettori ricorderanno un nostro precedente esempio, nel quale Futoshi si spostava sopra un tapis-roulant. Altri avranno cercato di rimuovere al più presto la sua imma-gine sudata e affannata. Ma sicuramente ricor-derete che la derivata della distanza è la velocità.

u y F x= ( )

v v x dx F b F aa

b ( ) = ( ) − ( )∫L’equazione u descrive la posizione del

nostro sudaticcio, sgradevolissimo Futoshi. In altre parole, dopo x secondi, si sarà trascinato per una distanza y.

Integrale della velocità = variazione della posizione

La derivata F′ (x) rappresenta la “velocità istantanea” al secondo x. Se riscriviamo F ′ (x) come v(x), (“v” come “velocità”), il Teorema Fondamentale del Calcolo ci permette di trovare l’espressione v! Diamo un’occhiata al grafico di v(x) nella figura 2-A: la velocità di Futoshi nel tempo. L’area grigia rappresenta l’integrale, cioè l’espressione v.

Ma guardiamo anche la figura 2-B, che rappresenta la distanza percorsa da Futoshi nel tempo. Se accostiamo le due figure, notiamo

che l’integrale della velocità è uguale alla dif-ferenza nella posizione (cioè alla distanza per-corsa)! Osservate attentamente i due grafici: quando la velocità di Futo-shi è positiva, la distanza aumenta, e viceversa.

y

x

y3

y2y1

x3x2x1

Figura 1: il grafico rappresenta ladistanza percorsa nel tempo da Futoshi. Mentre il tempo passa attraverso gli istanti y1, y2, y3... il nostro amico si sposta nelle posizioni x1, x2, x3...

y

x

y

x

=Area Differenza

+ +

−

A BVelocità Distanza

y3

y1

x3x1x3x1x0

y = F(x)

Figura 2

IL CORRIERE DELL’ANALISI Vol. 150¥

IL CORRIERE DELL’ANALISI

107

In caduta libera dalla Torre di TokyoIn quanti secondi a terra?

È facile dare tutto per scontato. Prendiamo per

esempio la gravità. Se un oggetto vi sfugge di mano,

cadrà a terra. Possiamo dire che il suo moto cambia

a ogni istante: accelera a causa dell’attrazione gravi-

tazionale della Terra. Un moto che possiamo descri-

vere facilmente con un po’ di Analisi.

Ma consideriamo una caduta un po’ più impe-

gnativa – dalla cima della torre di Tokyo – e vediamo

di rispondere alla domanda “quanto tempo impiega

un oggetto per arrivare a terra?” (ignorando l’osser-

vazione di Futoshi: “Perché non salite in cima alla

torre con un cronometro e lo scoprite da soli?”).

L’aumento della velocità quando un oggetto si

trova in caduta libera viene detto accelerazione gra-

vitazionale ed è di 9,8 m/sec2. In altre parole, ogni

secondo la velocità di un oggetto aumenta di 9,8 m/

sec. Perché l’accelerazione è questa? Be’, diciamo

che per oggi ci limiteremo ad accettare quello che ci

dicono gli scienziati.

L'espressione u esprime la distanza percorsa

da un oggetto che cade per T secondi. Poiché l’in-

tegrale della velocità è la differenza tra posizione

iniziale e posizione finale, cioè la distanza percorsa

dall’oggetto, possiamo ricavare l’espressione v. Date

un’occhiata alla figura 3: abbiamo calcolato l’area

come metà del prodotto dei valori di x e di y (in que-

sto caso, ½ x 9,8t × t). Inoltre, sappiamo che l’altezza

della torre di Tokyo è 333 metri. La radice quadrata

di (333/4,9) è circa 8,2, che sono i secondi impiegati

da un oggetto per raggiungere il suolo (per sempli-

cità, abbiamo trascurato la resistenza dell’aria).

u F T F v x dx x dxT T( ) − ( ) = ( ) = ( )∫ ∫0 9 80 0

,

v 4 9 4 9 0 4 92 2 2, , ,T T− × =

333 4 93334 9

8 22= ⇒ = =,,

,T T secondi

Figura 3

v(x) = 9,8xVelocità Distanza 4,9t2

t

TempoTempot

Distanzain caduta

9,8t

Area della velocità9,8t × t × ½ = 4,9t2

Il corriere dell’analisi Inchiesta

108

Il dado è tratto!Il Teorema Fondamen-tale del Calcolo vale anche per i dadi!

Ricordiamo tutti quando da ragazzi giocavamo coi dadi. Sin dall’antichità questi speciali esaedri sono stati lanciati un po’ in tutto il mondo, non solo per giocare, ma anche per predire la sorte e per scommessa.

Da un punto di vista mate-matico, possiamo dire che i dadi sono i più piccoli generatori di numeri casuali. E sono davvero meravigliosi... ora li lanceremo per fare degli esperimenti! Su ogni faccia c’è un numero da 1 a 6 e la probabilità che ha ciascun numero di uscire è di una su 6. Lo vediamo bene con un istogramma (Figura 4), dove i numeri sono sull’asse delle x e le probabilità su quello delle y.

L’equazione u si legge così: “f(x) = probabilità che esca il numero x”. Nel caso che tentiamo di predire uno specifico risultato per esempio che esca 4diventa la v.

u f x( ) = Probabilità che esca x

v f 416

( ) = = Probabilità che esca 4

Ora diamo un’occhiata alla figura 5, che descrive una funzione di distribuzione. Comin-ciamo da 1, sull’asse delle x. Siccome su un dado non esiste nessun numero inferiore a 1, la proba-bilità associata a questa regione è 0. In x=1 il gra-fico balza a 1/6, perché è questa la probabilità che esca un qualsiasi numero minore o uguale a 1. Lo stesso vale per un numero maggiore o uguale a 1 e inferiore a 2. Questo è abbastanza intuitivo. In 2 la probabilità sale a 2/6, nel senso che è que-sta la probabilità che esca un numero inferiore o uguale a 2, e resta tale fino a prima di 3.

w f x dx F b F aa

b ( ) = ( ) − ( )∫ = Probabilità che esca x con a ≤ x ≤ b

Analogamente, vediamo che la probabilità che esca 6 o un qualsiasi numero inferiore a 6 (cioè un qualsiasi numero presente sul dado) è 1. Dopotutto, un dado non può restarsene in equi-librio su un vertice. Ora diamo un’occhiata alla probabilità che escano numeri inferiori o uguali a 5. La situazione è illustrata nella figura 6.

Notiamo che l’equazione w illustra ciò che ben sappiamo: “L’integrale definito su un inter-vallo di una funzione derivabile = differenza negli estremi della funzione derivata”. Nient’al-tro che il Teorema Fondamentale del Calcolo! Ma quanto sono belli i dadi?

Figura 4: Funzione densità

1 ⁄6

1 2 3 4 5 6

f(x)

Figura 5: Funzione distribuzione

1 ⁄6

1 2 3 4 5 6

F(x)

1

Funzione distribuzioneFunzione densità

1

Figura 6: Derivata della funzione distribuzioneF(x) = Funzione densità f(x)

f f f F F3 4 5 5 2( ) + ( ) + ( ) = ( ) − ( )

1 ⁄6

1 2 3 4 5 6

F(x)

1 ⁄6

1 2 3 4 5 6

f(x)

Il corriere dell’analisi Inchiesta

109Applichiamo il teorema fondamentale

ooops!

ooops!

[Flop]

Ouch...era soloun sogno.

ArgHHh!

Mi restanosolo 15 minuti!

Devo fare un servizio sul San-da-Cho Summer

Festival.

Arrivo,Mr. Seki!

110

RiCAPiTOLiAMO iL TEOREMA FONDAMENTALE DEL CALCOLO

Se la derivata di F(x) è f(x), cioè f(x) = F ′ (x), allora

f x dx F b F aa

b ( ) = ( ) − ( )∫Possiamo anche scrivere così

′ ( ) = ( ) − ( )∫ F x dx F b F aa

b

Il significato di queste espressioni è il seguente:

(Funzione derivata)dx

= Variazione della funzione originale tra a e b

L’interpretazione grafica è questa:

l’area compresa tra la funzione derivata el’asse delle x, tra x = a e x = b

variazione della funzioneoriginale tra a e b( = () )

y

a bx

y

a bx

F(b)

Teoremafondamentaledel calcolo

Variazione dellafunzione originale

y f x F x= ( ) = ′ ( )

y F x= ( )

f x dxa

b ( )∫

F(a)


111

integrazione per sostituzione

Quando effettuiamo un cambio di variabile, nella forma x=g(y), ci chiediamo come fare a calcolare

S f x dxa

b= ( )∫

cioè l’integrale definito rispetto a x, però rispetto a y.Per cominciare esprimiamo l’integrale definito, in maniera approssimata, in termini di una funzione a tratti

S f x x x x a x bkk n

k k n≈ ( ) −( ) = =( )= −

+∑0 1 2 1

1 0, , ,...,

,

Col cambio di variabile x=g(y), otteniamo

y y y yn0 1 2= =α β, , ,...,

e di conseguenza

a g x g y x g y b g= ( ) = ( ) = ( ) = ( )α β, , ,...,1 1 2 2

Notiamo ora che usando l’approssimazione lineare

x x g y g y g y y yk k k k k k k+ + +− = ( ) − ( ) ≈ ′ ( ) −( )1 1 1

e sostituendo queste espressioni in S, otteniamo

S f x x x f g ykk n

k k kk n

≈ ( ) −( ) ≈ ( )( ) ′= −

+= −

∑ ∑0 1 2 1

10 1 2 1, , ,..., , , ,...,

gg y y yk k k( ) −( )+1

L’ultima espressione è un’approssimazione di

f g y g y dy( )( ) ′ ( )∫αβ

Passando al limite sull’ampiezza degli intervalli otteniamo la formula seguente

FORMULA 3.2 – iNTEGRAZiONE PER SOSTiTUZiONE

f x dx f g y g y dya

b ( ) = ( )( ) ′ ( )∫ ∫αβ

integrazione per sostituzione

iNTEGRAZiONE PER SOSTiTUZiONE

112

ESEMPiO:

Calcoliamo:

10 2 14

0

1x dx+( )∫

Per prima cosa, effettuiamo la sostituzione di variabile

y = 2x + 1, cioè x g yy= = −

( )1

2.

La derivata della nuova funzione è g'(y) = 12

.

Integrando rispetto a y, gli estremi del nuovo intervallod’integrazione diventano 0=g(1) e 1=g(3)*, da cui

10 2 1 1012

5 3 1 2424

0

1 4

1

3 4

1

3 5 5x dx y dy y dy+( ) = = = − =∫ ∫ ∫

iNTEGRALE Di UNA POTENZA

Nell’esempio precedente, per concludere l’esercizio abbiamo sfruttato il fatto che la derivata di y5 è 5y4. Se F(x) = xn, allora se F′ (x) = f(x) = nx(n + 1), dovremmo essere in grado di trovare una formula generale per la funzione F(x) data f(x) = xn.

Sappiamo che nell’espressione di F(x) deve comparire x(n + 1) ma cosa possiamo dire del coefficiente? Nella derivata non c’è nessun coefficiente e siccome derivando otteniamo il fattore (n+1), ne segue che per semplificarlo dovrà esserci 1 / (n + 1). Abbiamo quindi che la formula generale per la primitiva F(x) of f(x) = xn è

F xn

xxn

nn

( ) =+

× =+

+( )+( )1

1 11

1


Per prima cosa, effettuiamo la sostituzione di variabile y = 2x + 1, cioè x=g(y)=(y-1)/2

*In altre parole, quando x=0 si ha y=1 e quando x=1 si ha y=3. Ed è questo il nuovo intervallo d’integrazione.

113

Esercizi

1. Calcolare i seguenti integrali definiti

u 3 2

1

3x dx∫

v x

xdx

3

22

4 1+∫

w x x dx x x dx+ +( ) + − +( )∫ ∫1 12 7

0

5 2 7

0

5

2. Rispondere alle seguenti domande:

A. Scrivere lo sviluppo di un integrale definito per

calcolare l’area compresa tra il grafico di y=f(x)=x2-3x

e l’asse delle x.

B. Calcolare l’area risultante dall’espressione.

Esercizi

ESERCiZiPer prima cosa, effettuiamo la sostituzione di variabile y = 2x + 1, cioè x=g(y)=(y-1)/2

115

4impariamo a integrare!

116 Capitolo 4 impariamo a integrare!

LE FUNZiONi TRiGONOMETRiCHE

Fiuuu! Hofatto appena

in tempo!

La vita è bella a

Sanda-Cho!

Uff... che caldo che

fa!

in quale altro

posto

Dovrei mettere

anch’io uno yukata*

Vorresti mai

andare?

*lo yukata è il tradizionale abito estivo giapponese.

Ciao, Noriko. Sei stata gentile

a chiamare per dirmi che avresti

fatto tardi.

Be’... a causa di questo bel cel-lulare non è che possa sfuggirti.

ThumpaThumpa

Thump

117le funzioni trigonometriche

Quand’ero io un reporter alle prime armi cer-te comodità non

c’erano.Spesso, quando avevo una sca-

denza, per inviare un pezzo usavo un telefono a

gettone.

Dettavo l’articolo al telefono al mio assistente, parola

per parola.

Wow, roba da matti!

Grazie alle onde radio non è più necessa-

rio.

in natura esistono onde di ogni tipo.

Già! Le onde dell’oceano, i terremoti, le

onde sonore... e la luce.

118

1

−1

�3

2

32

52

2

Capitolo 4 impariamo a integrare!

Possiamo descri-vere le onde con delle funzioni, per esempio col cose-no di theta, cioè di un angolo (cosθ).

Lo sapevi?

Uh... devotornare al

lavoro.

Noriko! Si dà il caso, che se stacchiamo la manica di una ca-

micia, la sezione è Un grafico di cosθ.

Le funzioni tri-gonometriche sono molto im-

portanti nell’ab-bigliamento.

OccAVOLO!

frittelle

Pop corn

Crèpes

119

y

P

A

1

−1

�

1−1x

le funzioni trigonometriche

Noriko... là! Scat-ta una foto! Quel-

lo è cosθ.

Cosa!?Guarda le danza-trici. Questa è una splendida occa-sione per stu-

diare le funzioni mentre facciamo

il servizio.

Tu e le tue funzioni!!

L’unità di misura degli

angoli si chiama ra-

diante.

Radiante...

accidenti! Prendo sem-pre appunti... per abitudine.

[Shock!]

Consideriamo un cerchio di raggio 1 con il centro in

(0,0). Supponiamo di partire dal punto A e di spostarci sul-la circonferenza fino raggiungere il punto P, corri-spondenteall’an-

golo θ.

Per un cerchio di raggio 1, l’am-piezza dell’an-

golo in radianti è per definizione

la lunghezza dell’arco AP!


Siccome la misura della lunghezza della circon-ferenza è 2π, possiamo dire che 90 gradi equi-valgono a π/2 radianti, e che 180 gradi corrispon-

dono a π radianti.Un radiante equivale a circa 57,2958 gradi.

Da questo momento, per misurare gli

angoli usere-mo i radianti.

Definiamo poi il cose-no come una funzione dell’angolo: x = cosθ. il coseno è la posizio-ne orizzontale di una danzatrice che abbia ruotato di θ radianti.

Vedi di ricor-dartelo!

Oh, ecco perché avevi urlato

“Quello è cosθ”.

Che cosa gli passa per la

testa?

Allo stesso modo, la po-sizione ver-ticale della danzatrice definisce la

funzionesenθ = y.

Uh, okay... Guarda, Noriko!!

STRAP!!

121

�

��

�

�

��

y

1

−1

1−1x

0

��


Stupendo!

Cosa?

Stupendo?

[arross]

Sì! A mano a mano che θ aumenta, il valore di cosθ diminuisce gradualmen-te, passando da 1 a 0 e poi fino a -1, di

nuovo a 0 e poi ancora a 1!

Quindi cosθ varia tra -1 e

1, giusto?

Giusto. E sicco-me le funzioni

trigonometriche rappresenta-

no delle onde, possiamo usarle per studiare un sacco di cose

in natura.

Aww! Le vecchie signore pensano che stia parlando di loro e sono

raggianti!

Stupendedavvero!


Piuttosto grande come festival, non

trovi?

Sì, maperché quelle

bacchette?

Perché èun festival!

Capisco...

Lo sapevi che l’om-bra di una bacchetta è lunga quanto la

bacchetta moltipli-cata per cosθ?

Sì, vagamen-te... è dav-vero sor-prendente.

Cerchiamo allora di

essere un po’ più precisi.

ThUNK

Clack

clackclack

123

y

B

1

xA C


il sole risplende sulla bacchetta AB, che rispetto al ter-reno è inclinata di un

angolo θ.

Se chiamiamoAC l’ombra (la proie-zione ortogonale), la sua lunghezza è uguale a quella del segmento AB moltiplicata per cosθ.

Anzi, possiamo porre per definizione

ed è per questo che la lunghezza

dell’ombra diventa AB × cosθ,giusto?

Giusto! ilcoseno ci dice

di quanto l’ombra è più corta della bacchetta.

cosθ = ACAB

(ombra) (bastone)

124

y

x

2

Oops!


in altre parole

Sì? Uh... potrebbe ri-darci le nostre

bacchette?

Ora siamo pronti per la parte più im-portante del Sanda Summer festival!!

Per la cronaca, poiché se ruotiamo

l’asse x di 90 gradi (

π2 radianti),

possiamo dire che la funzione senθ

fornisce gli stessi valori di cosθ , con

un ritardo di π2.

125gLi iNTEGRALi DEllE funzioni trigonometriche

GLi iNTEGRALi DEllE FUNZiONi TRiGONOMETRiCHE

Questi sono i vo-stri posti, signori giornalisti. state

attenti a noncadere.

Certo, grazie.

Ora daremo un’oc-chiata a cosθ dal punto di vista dell'analisi.

Mr. Seki! Quel-lo che dice è

completamente diverso da quel-

lo che fa!

in effetti, è più facile calcolarne l’integrale

che la derivata.

Si capisce bene se osserviamo il cerchio del-le danzatrici

dall’alto.

126

1

−1

2 32

52

2

0

y

P

1

θx

Q

θ

0 1

y

A′1

x0

A1

A′2A2

A0

A3

θ2 − θ1

θ3 − θ2

θ1 − θ0

Angolo θ1 con l’asse delle y

Lunghezza θ2 − θ1

La variazione di cos θ è la lunghezza A′1A′2, cioè la proiezione ortogonale di A1A2. Lunghezza di A′1A′2 ≈ arc A1A2 × cos θ1 = (θ2 − θ1) × cos θ1


il nostro scopo è determinare quanto vale ∑ cos θ × ∆θ = cos θ0 (θ1 − θ0) + cos θ1 (θ2 – θ1) + ...

+ cos θn−1 (θn – θn−1)

Misi annebbiala vista.

Guarda questa figura. Non ti fa

venire un’idea? Mo-stra che se P è il punto che ruota di θ a partire da (1,0), l’angolo formato dall’asse delle y e dalla tangente PQ

è ancora θ.

?Chow mein Futoshi! Perché lui

può ingozzarsi di chow mein mentre io devo imparare

gli integrali?

127

A1 (cos θ1, sen θ1)

A2

An (cos θn, sen θn) = (cos α, sen α)sen α = sen θn

A0 (cos θ0, sen θ0) = (1, 0)

α

y

A′1

x0

A′2

∑ cos θ∆θ quando θ cambia da 0 a α

cos θ0 (θ1 − θ0) + cos θ1 (θ2 − θ1) + ... + cos θn−1 (θn − θn−1)

≈ A′0 A′1 + A′1 A′2 + ... + A′n−1 A′n = A′0 A′n = sen α

gLi iNTEGRALi DEllE funzioni trigonometriche

Sfruttiamo questo fatto per integrare

da 0 ad α,Uh...

Giusto?

Giusto! Se rendiamo le differenze

tra gli ango-li sempre più

piccole...

Scopriamo che l’inte-grale del

coseno è il seno.

Quindi, per dirla in un altro modo, la

derivata del seno è il coseno?

Esatto!

E adesso cerchiamo di ricordarci

queste for-mule.

128

formula 4.1 – derivazione e integrazione di funzioni trigonometriche

Da u cos sen senθ θ αα

d = −∫ 00

, sappiamo che il seno è la derivata del coseno.

v sen cosθ θ( )′ =

Ora in v sostituiamo θ + π2 con θ. Otteniamo sen cosθ

πθ

π+

′= +

2 2

.

Dalle equazioni di pagina 124 concludiamo che

w cos senθ θ( )′ = −

Quindi derivando o integrando il seno otteniamo il coseno,e viceversa (a meno del segno).


[BALL

!]Oookay! E adesso, il

ballo dell’A-nalisi... tutti

insieme!!

Ball...?! che

razza di suono!

il ballo dell’analisiversione trigonometrica

Balla

Entrambe le braccia in alto a destra

A sinistra con un sal-

tello

A-na-li-si

Un altro salto, batti le mani due

volte.

A-na-li-si

A-na-li-si

129

deriva-

zione

sen cosθ θ( )′ =

Coseno

integra-zione

derivazione

inte

gra

zione

cos senθ θd xx

=∫0

gLi iNTEGRALi DEllE funzioni trigonometriche

in questo modoanche la logica più noiosa è divertente!

A-an A-na-li-si

Un cerchio di seni, da integra-re col coseno!

Entrambe le braccia a forma-

re un cerchio.

La derivata del seno è il co-seno. Formate una “s” con le

braccia.

Seno!

L’integrale del coseno è il

seno. Formate una “c” con le

braccia.

Derivazione e integrazione scambiano

seno e cose-no. Alzate e abbassate le

braccia.

A-na-li-si A-na-li-si

A-na-li-si


Balliamo,Futoshi!

Non posso. Non ho assag-giato neanche

metà della roba che c’è nei banchetti.

Siamo qui per fare un servizio!

Be’, sei tuquella in tenuta

da ballo!

Dateci un taglio! Voi due non avete

neanche cominciato a lavorare. Non ci resta molto tempo prima dell’edizio-ne del mattino di

domani!

Mi sa che ilfestival vi piaceun po’ troppo!

Anche a te...

Oh, no!

131l’esponenziale e il logaritmo

l’esponenziale e il logaritmo

Okay,spedito!

Wow! Ho mandato l’articolo!

i computer e internet hanno cambiato molto il lavoro dei giornalisti.

Per lacronaca...

L’informazione ela-borata dai computer è codificata come una

successione di bit, cioè per mezzo di due sole

cifre: 0 e 1.

Oh, sui computer qualcosina

la so.

D-davvero...?Be', ecco...

appena un po'...

Click

Send

132

i computermanipolano l’infor-mazione in formato binario e un bit può quindi rappresenta-re due numeri (0 e 1). Due bit ne rappre-

sentano quattro (00, 01, 10, 11). Tre bit ne rappresentano otto e in generale n bit rappresentano 2n

numeri.

Se f(x) è il nu-mero dei valori codificabili con x bit, allora f(x) = 2x, cioè una fun-zione esponen-

ziale.

FUNZiONEESPONENZiALE

Funzioneesponenziale? Una funzione

esponenziale esprime una for-ma di crescita,

come per esem-pio quella eco-

nomica.

Vediamo... un esempio...

Uh...

Negli anni Cinquan-ta, in Giappone ci fu un tasso di cresci-ta molto elevato:

circa il 10%all’anno.

Un reddito annuale di 5 milioni di yen di-ventava di 5,5 milioni l’anno successivo.

Questo aumento permetteva di ac-quistare il 10% in

più di beni e servizi rispetto all’anno

precedente.


133

G1 = G0 × 1,1 Prodotto interno lordo dopo 1 anno

G2 = G1 × 1,1 = G0 × 1,12

Prodotto interno lordo dopo 2 anni

G3 = G0 × 1,13


G4 = G0 × 1,14 Prodotto interno lordo dopo 4 anni

G5 = G0 × 1,15


Che bei tempi! Mi sarei comprata un

intero guardaroba e un sacco di altre

cose!

Manteniamo la calma.

Supponiamo quindi che la crescita economica sia del 10% e che all’ini-zio il prodotto interno lordo sia G0. Nel giro di

qualche anno saràaumentato in questo

modo.

in generale, quale sarà il PiL

dopo nanni?

Facile! Gn = G0 × 1,1n

G7 = G0 × 1,17cioè 1,95 volte G0. in altre pa-

role, il PiL sarà quasi raddoppiato in soli 7

anni.

Raddoppiato? Wow! Cosa potrei com-prare con il doppio dello

stipendio?

Chiamiamo quindi esponenziale

una funzione della forma

f(x) = a0ax.

il PiL di un’economia con un tasso di cre-scita α è espresso

dalla funzione espo-nenziale

f(x) = a0(1 + α)x.


134

2 configurazioni

4 configurazioni

8 configurazioni

1 bit

2 bit

3 bit

log


Dicevamo prima che i bit sono codici che rap-presentano l’in-

formazione.

Sì, 1 bit per 2 confi-gura-zioni, 2 bit per

4.

Abbiamo visto che questo numero è dato da f(x) = 2x.

Esiste una funzio-ne, detta funzione inversa, che torna a trasformare in

bit quelle chehai chiamato

configurazioni.

La funzione inversa

Non è difficile,basta ragionare al

contrario.

in altre paro-le, possiamo rappresen-tare 2n pos-sibili numeri usando n bit.

Chiamiamo g(y) questa “funzio-ne inversa” di

f(x): una funzione che trasforma

y configurazioni in x bit.Prova!

Otteniamo g(2) = 1, g(4) = 2, g(8) = 3,

g(16) = 4...

il rapportotra f e g puòquindi essere

rappresentato comeg(f(x)) = x e f(g(y)) = y.

L’inversa dell’esponen-

ziale viene chia-mata funzione logaritmica e si indica col simbolo log.

Nel casoprecedente, possiamo scrivere

g(y) = log2y.

Esatto! E abbiamo così log22 = 1, log24 = 2,

log28 = 3, log216 = 4...

135

Tasso di crescita annuo = = Valore dopo 1 anno − Valore attuale

Valore attuale

f x f x

f x

+( ) − ( )( )

1


generalizziamo l’esponenziale e il logaritmo

Le funzioni esponenziale e logaritmica sono già molto utili, ma per ora leabbiamo definite solo nel caso che

la x in f(x) = 2x e lA y in g(y) = log2y siano

esclusivamente numeri naturali.

Ora con degli esempi vedremo come definire

l’esponenziale e il loga-ritmo più in generale.Ummm... e come

facciamo?

Lieto che abbia chiestosono io. La potenza dell’Analisi

useremo noi. Oh, sì.

Per cominciare, partendo dal nostro esempio, dal tasso di crescita annuo passiamo al tasso istantaneo.

Partiamo da questa espressione!

136

Tasso di crescita istantaneo=

Idealizzazione di Valore leggermente successivo Valore attuale =

Valore attualeTempo trascorso

− ÷

= →+( ) − ( )

( )

Risultato per in ε

ε0

f x f x

f x 1ε

= ( )+( ) − ( )

= ( )

′ ( )→

lime

ee0

1 1f x

f x f x

f xf x

Supponiamo ora che esista una funzione f con tasso di crescita istanta-neo costante, cioè

′ ( )( ) =

f x

f xc dove c è una costante.

Supponendo che c = 1, troveremo una f(x) per cui

′ ( )( ) =

f x

f x1

1. Per cominciare ipotizzeremo che abbia una forma esponenziale. Vediamo perché...

′ ( )( )

f x

f x

intanto, se ′ ( ) = ( )f x f x u, allora ′ ( ) = ( )f f0 0

poi, ricordiamo che per h vicino allo 0, abbiamo

f h f h f( ) ≈ ′ ( ) −( ) + ( )0 0 0


Ne ricaveremo il tasso istantaneo nelmodo seguente.

Definiamo quindi il tasso di crescita istantaneo come

Trovarla? Ecome facciamo?

137

Da u, abbiamo f h f h f( ) ≈ ( ) + ( )0 0 e quindi

v f h f h( ) ≈ ( ) +( )0 1

Se x è sufficientemente vicino ad h, otteniamo

f x f h x h f h( ) ≈ ′ ( ) −( ) + ( )

Sostituendo x con 2h e ricordando che f ′(h) = f(h),

f h f h h h f h2 2( ) ≈ ′ ( ) −( ) + ( )

f h f h h f h2( ) ≈ ( ) ( ) + ( )

f h f h h2 1( ) ≈ ( ) +( )

Sostituiamo ora f h f h( ) ≈ ( ) +( )0 1 nell’equazione.

f h f h h2 0 1 1( ) ≈ ( ) +( ) +( )

f h f h2 0 12( ) ≈ ( ) +( )

Analogamente, sostituiamo 3h, 4h, 5h, ..., e così via al posto di x, eprendiamo m in modo che mh = 1.

f f mh f hm

1 0 1( ) = ( ) ≈ ( ) +( )

Allo stesso modo,

f f mh f h f hm m

2 2 0 1 0 12 2

( ) = ( ) ≈ ( ) +( ) = ( ) +( ){ }f f mh f h f h

m m3 3 0 1 0 1

3 3

( ) = ( ) ≈ ( ) +( ) = ( ) +( ){ }Così otteniamo

f n f an( ) ≈ ( )0 osservando che a = (1 + h)m

e in effetti questa ricorda molto da vicino una funzione esponenziale*.

* Poichè mh = 1, h = f fm

m

1 0 11( ) ≈ ( ) +

. Abbiamo quindi, f f

m

m

1 0 11( ) ≈ ( ) +

. per m → ∞, 11+

→m

em

, un numero

detto costante di Eulero, pari a circa 2.718. Perciò, f(1) = f(0) × e, coerentemente con la discussione che

vedremo a pagina 141.


138

2. Ora vedremo che f(x) esiste e quale forma ha.

w ′ ( ) = ′ ( )g yf x

1

x ′ ( ) = ′ ( ) = ( ) =g yf x f x y

1 1 1

Adesso, col Teorema Fondamentale del Calcolo, abbiamo

y 1

11 y

dy g g= ( ) − ( )∫ αα

Poniamo g(1) = 0 e...1

*Come abbiamo visto a pagina 75, se g(y) è l’inversa di f(x), allora f’(x) g’(y) = 1

Scriviamo la funzione inversa di y = f(x) as x = g(y).

A pagina 136 abbiamo visto che f ′(x) = f(x) coincide con la sua derivata. Questo però non ci aiuta molto:

quale sarà mai la derivata di g(y)?

In generale vale questa uguaglianza,*

da cui vediamo che laderivata della funzione inversa g(y) è 1

y.

Siccome g ′(y) = 1y

, integrando 1y

da 1 ad α otteniamo g(α).

Otteniamo gy

dyαα( ) = ∫

11

Brava! E adesso tracciamo il grafico di

zy

= 1

!


139

zy

= 1z

yα

g(α)

1

Poiché

zy

= 1

è una funzione in forma esplicita, possiamo

calcolare l’area in maniera esatta.

Poiché gy

dyy

dy g g11

01

111

1( ) = = = ( ) − ( )∫∫ , αα

che soddisfa la y.

Abbiamo quindi trovato la funzione inversa g(y), cioè l’area sotto la curva, che esprime anche la funzione originale f(x).


È il grafico della pro-porzionalità inversa.

Ora definiamo g(α) come l’area della superficie com-presa tra il grafico, l’asse delle y nell’intervallo

da 1 a α. Questa funzione è ben definita, cioè, in altre parole, g(α) assume un valore ben preciso per ogni

valore di α, anche se fosse una frazione o √2.

A proposito, che mi dice del tasso di cre-scita dell’Asa-gake Times?

...La prego, mi dica la

verità!

Ma lei pian-ge! È così

grave?

140

riassunto delle funzioni esponenziale e logaritmica

u ′ ( )( )

f x

f x è il tasso di crescita.

v una y = f(x) che soddisfa ′ ( )( )

f x

f x = 1 è una funzione con tasso di

crescita costante uguale a 1.

Si tratta della funzione esponenziale, che quindi soddisfa la condizione

′ ( ) = ( )f x f x

w Se x= g(y) è la funzione inversa di y=f(x), allora

′ ( ) =g yy1

x Definiamo g(α), come l’area delimitata dal grafico h(y) = 1y

,

gy

dyαα( ) = ∫

11

La funzione inversa di f(x) è la funzione che soddisfa e g(1) = 0.

y

z

e

zy

= 1

Area = 1

1

�

e è un numero irrazionaleche vale circa 2,7178.

Definiamo e (la base dei logaritminaturali) come il valore y per cui g(y) = 1. In altre parole, queldeterminato valore per cui vale 1l’area tra la curva e l’asse delle y nell’intervallo da 1 a e.


141

Siccome f(x) è una funzione esponenziale, usando la costante a0possiamo scriverla come

f x a ax( ) = 0

Poiché f(g(1)) = f(0) = a0a0 = a0 and f(g(1)) = 1, abbiamo

f g a1 1 0( )( ) = =

Quindi

f x ax( ) =

Analogamente, poiché

f g e f a( )( ) = ( ) =1 1 e

f g e e( )( ) =e a= 1

Abbiamo quindi f x ex( ) = .La funzione inversa g(y) è logey che chiameremo “logaritmo naturale” e

che scriveremo semplicemente come “ln y”. Ora riscriviamo v usando la x in termini di ex e ln y.

z ′ ( ) = ( ) ⇔ ( )′ =f x f x e ex x

{ ′ ( ) = ⇔ ( )′ =g yy

yy

1 1ln

| gy

dy yy

dyy

αα( ) = ⇔ =∫ ∫

1 11 1

ln

} Per definire 2x, che nasce come funzione dei bit, per ogni numero reale x, partiamo da

f x e x( ) = ( )ln2 (dove x è un numero reale qualunque)

Il motivo è il seguente. Poiché ex e ln y sono funzioni inversa l’una dell’altra,

eln2 2=

Pertanto, per ogni numero naturale x abbiamo che

f x ex x( ) = ( ) =ln2 2

riassunto delle funzioni esponenziale e logaritmica

Siccome f(x) è una funzione esponenziale, usando la costante a0 possiamo scriverla come

142

altre applicazioni del teorema fondamentale del calcolo

Possiamo rappresentare anche altre funzioni nella forma f(x) = xα. Eccone alcune

1 1 112

23

3

xx

xx

xx= = =− − −, , ,...

In generale, continua a valere la formula che abbiamo già trovato.

Esempio:

Sia f xx

f x x xx

( ) = ′ ( ) = ( )′ = − = −− −13

33

3 44

,

Sia f x x f x x xx

( ) = ′ ( ) =

′= =

−4

14

34

34

14

1

4,

dimostrazione:

Scriviamo f(x) in termini di e. Osserviamo che eln x = x, e che quindi

f x x e ex x( ) = = ( ) =α α αln ln

Perciò,

ln lnf x x( ) = α

Derivando ambo i membri, ricordando che ln w = 1w , e applicando la

regola per la derivata della funzione composta, otteniamo

1 1f x

f xx( ) ×

′ ( ) = ×α

Quindi,

′ ( ) = × × ( ) = × × = −f xx

f xx

x xα α αα α1 1 1

formula 4.2 – derivata di una potenza

f x x( ) = α

′ ( ) = −f x xα α 1


Possiamo rappresentare anche altre funzioni nella forma f(x)=xα. Eccone alcune:

143

integrazione per Parti

Se h(x) = f(x) g(x), calcolando la derivata del prodotto otteniamo,

′ ( ) = ′ ( ) ( ) + ( ) ′ ( )h x f x g x f x g x

Poiché f(x) g(x) è la funzione la cui derivata è f’(x)g(x) + f(x)g’(x), per il Teorema Fondamentale del Calcolo abbiamo

′ ( ) ( ) + ( ) ′ ( ){ } = ( ) ( ) − ( ) ( )∫ f x g x f x g x dx f b g b f a g aa

b

Per integrazione della somma, otteniamo:

A titolo di esempio, calcoliamo

Ponendo f(x)=x e g(x)=cosx, otteniamo

′ + ( )′ = ( ) ( )∫ ∫x x dx x x dx f x g xcos cos0 0 0

π π π

Ora possiamo valutare

= ( ) ( ) − ( ) ( )f g f gπ π 0 0

Sostituendo le funzioni originali f(x) e g(x) otteniamo

= − = −( ) − = −π π π πcos cos0 0 1 0

Per la prima equazione, abbiamo quindi

′ + ( )′ = −∫ ∫x x dx x x dxcos cos0 0

π ππ

formula 4.3 – integrazione per parti

′ ( ) ( ) + ( ) ′ ( ) = ( ) ( ) − ( ) ( )∫∫ f x g x dx f x g x dx f b g b f a g aa

b

a

b

x x dxsen0

π

∫

altre applicazioni del teorema fondamentale del calcolo

144

Perciò:

cos senx dx x x dx0 0

π ππ∫ ∫+ −( ) = −

che possiamo riscrivere anche come

cos senx dx x x dx0 0

π ππ∫ ∫− = −

Ed ecco che ritroviamo l’integrale di partenza, ma in una forma che ora possiamo risolvere! Ricaviamo quindi la funzione originale:

x x dx x dxsen cos0 0

π ππ∫ ∫= +

Ricordiamo che ∫ cos x dx = sen x, e che quindi

x x dx xsen sen0 0

π π π∫ = +

= − +sen senπ π0

= − + =0 0 π π

Trovato!

Esercizi

1. La funzione tan x è definita come sen x / cos x. Calcolate la derivata di tan x.

2. Calcolare

120

4

cos xdx

π

∫3. Determinare x tale che f(x) = xex abbia un minimo.

4. Calcolare

21

x x dxe

ln∫Suggerimento: ponete f(x) = x2, g(x) = ln x, e integrate per parti.


145

5Sviluppi di taylor!

146 Capitolo 5 sviluppi di taylor!

Redazione centrale dell’Asagake Times.

Wow! Che razza di ufficio!

Come vorrei lavorare

qui!Ho una riunione. Mi aspetteresti all’ingresso?

Co... e io cosa sarei, ditroppo?

[Smile]

147

Reception

AppROssiMARE CON i POLiNOMi


Piacere diconoscerla.

Ho sentito parlare molto di lei, Mr.

Seki.

Gradirei che desse un’occhiata aquesti dati.

Conpermesso.

Oh, grazie...

TU?!

Grazie.


Che intenzioni hai, Noriko? Questo

comportamento è sospetto.

Uh, quanta polvere...

[Strofin] [strofin]

Sono gli stessi che ha usato per il suo

articolo, vero?

be’, sì.dove... dove

li avete presi?

vengono dalla Burnham Chemical. Li abbiamo ricevuti da una talpa e abbia-mo già verificato l’attendibilità con

altre fonti.

Non posso ancora pubbli-care il nuovo

servizio.

Ma vi daròi dati raccolti

finora.

si tratta di cor-rispondenze

incoraggianti.

149AppROssiMARE CON i POLiNOMi

Non ti avrei mai pensata così sfron-

tata.

io... non ve-devo l’ora

di sapere. Mi dispiace...

Diciamo che sei molto, molto

curiosa.

Sono preoccupata, Mr. Seki. La Burnham Chemical è un impor-tante inserzionista

dell’AsagakeTimes.

Se portiamoalla luce i loro illeciti, ritireran-no i loro finan-

ziamenti.

Ci hopensato.

È comeuno sviluppo di

Taylor.Cosa?

150

1 1 1 22

33+( ) = + + + + +x C x C x C x C x

n

n n n n nn...

*È la formula dello sviluppo binomiale, dove n rCn

r n r=

−( )!

! ! e n C n1 =

n n n rCn n

Cn n n

Cn n n r

r2 3

1

2

1 2

6

1 1=

−( )=

−( ) −( )=

−( ) − −( ){ }, ,...,

...

!

Capitolo 5 sviluppi di taylor!

Derivare signifi-ca semplicemente approssimare con

una funzionelineare.

Abbiamo appros-simato le funzio-ni per ricavare informazioni di

massima da situa-zioni semplifica-te, dico bene?

Data la funzione f(x), se po-niamo p=f’(a) e q=f(a), vicino al

valore x=a possiamo ap-prossimarla con la funzione

lineare f(x) ≈ q + p(x-a).

in altri casi,invece, abbiamo

usato una funzione quadratica o

cubica.

Sì, per esempio nel caso di John-ny Fantastic, che

aveva cominciato a ingrassare dopo avere rotto con

la fidanzata.

È un po’ che non lo faccio, quindi ecco un altro

esempio.

Supponi di pren-dere in prestito M yen al tasso d’interesse an-

nuo x.

Se ripaghi il denaro dopo un anno, pagherai la cifra M(1+x). Se ci metterai due anni, pagherai M(1+x)(1+x).

Dopo n anni, abbiamo M(1+x)n. Ora, se vogliamo“sviluppare” questa

funzione*...

Otteniamoquesto.

151

1 1+( ) ≈ +x nxn


Prendere solo i primi termini

significaapprossimare (1+x)n con la

funzione lineare 1+nx.

Ma...

in effetti, è un’approssima-zione troppo

rudimentale per servire a qual-

cosa.

Se usassi que-sta espressione, prenderesti in

prestito troppi soldi e finire-sti dentro per

debiti.Verg

ogna!

Paga!

Oh, no! Mi aiuti!Perciò useremo un’approssima-

zione qua-dratica...

A-aspetti un attimo! Credevo che gli sviluppi di Taylor riguardassero

il nostrogiornale!

Ti dispiace pa-zientare solo

un altro un minuto?

152

Per ogni coppia di numeri n e x per cui nx = 0,7 abbiamo

è quasi 0, quindi lo trascuriamo≈ + + × = ≈1 0 712

0 7 1 945 22. . .

1 11

21

12

12

2 2 2+( ) ≈ + +−( )

≈ + + ( ) −x nxn n

x nx nx nxn

In breve, se nx = 0,7 allora (1+x)n vale quasi 2.Possiamo scriverlo così:

Formula 5.1 – l’approssimazione quadratica

1 11

22+( ) ≈ + +

−( )x nx

n nx

n

LA LEggE DEll’iNFERNO DEL DEBiTORE

Se numero degli anni × il tasso d’interesse = 0,7ripagherete circa il doppio di quanto preso in prestito.

if we modify this expression a little, we get a very

interesting law.

Oh, no!! This is terrible!!


Modificando leggermente que-sta espressione otteniamo una

regola molto interessante.

Circa il doppiodopo 35 anni al 2%

Circa il doppio dopo7 anni al 10%

Circa il doppio dopo 2anni al 35%

Oh, no!!Ma è terribile!!

153

Se per esempio f xx

( ) =−1

1, abbiamo

� (all’infinito)

Attenzione! c’è scritto = invece di ≈.

f xx

x x x x( ) =−

= + + + + +11

1 2 3 4 ...

Supponiamo che x = 0,1. Allora

f 0 11

1 0 11

0 9109

,, ,

( ) =−

= =

Membro destro = + + + + += + + + + +=

1 0 1 0 1 0 1 0 1

1 0 1 0 01 0 001 0 0001

1 11

2 3 4, , , , ...

, , , , ...

, 1111...

Se calcoliamo 10/9 facendo la divisione, otte-niamo il medesimo risultato.

91.111...

109

109

109

109


i termini xn per cui n è maggiore di 1 ven-

gono detti termini di ordine superiore.

Approssimare una funzione con una curva quadratica (di secondo grado) spesso ci permette di fare alcune scoperte interessanti. Proviamo adesso a farlo con un

polinomio di ordine superiore. in effetti, è ben noto che è possibile ricostruire esattamente la funzione originale

con un polinomio di ordine infinito.

Com’è possibi-le? Dev’essere un errore, non

può essere uguale!

Sapevo che l’avresti detto.

Proviamoa svolgere i

calcoli.

154

Quando una funzione generica f(x) (che sia però derivabile un numero qualsiasi di volte) può essere scritta nella forma

f x a a x a x a x a xnn( ) = + + + + + +0 1 2

23

3 ... ...

Il membro destro viene chiamato sviluppo di Taylor di f(x) (in un intorno di x=0).

A sinistra =−

= −11 2

1

A destra = + + + + +1 2 4 8 16 ...

Si può dimostrare che l’espressione u ha senso per -1<x<1, che è l’insieme dei valori ammissibili per lo sviluppo di Taylor (in x=0). Questo insieme viene chiamato intervallo di convergenza.


Quando una funzione generica f(x) (che sia però derivabile un numero qualsiasi di volte) può essere scritta nella forma

Questo vuol dire che f(x) coincide esattamente con un polinomio di grado infinito in un de-

terminato intervallo contenente x=0. Notiamo però che il membro di destra può perdere di significato e non avere un valore ben definito

al di fuori dell’intervallo in questione.

Per esempio, sostituiamox=2 in entrambi i membri

dell’espressione u

Visto?Non sono uguali.

Si può dimostrare che l’espressione (1) ha senso per -1<x<1, che è l’insieme dei valori ammissibili per lo sviluppo di Taylor(in x=0). Questo insieme viene chiamato intervallo di convergenza.

155

COME RiCAVARE LO SViLUPPO Di TAYLOR

Dato lo sviluppo

v f x a a x a x a x a xnn( ) = + + + + + +0 1 2

23

3 ... ...

cerchiamo di trovare il coefficiente an.Sostituendo x = 0 nell’espressione e osservando che f(0) = a0, vediamo

che il coefficiente di grado 0 a0 è f(0).Ora deriviamo v.

w ′ ( ) = + + + + +−f x a a x a x na xnn

1 2 32 12 3 ... ...

Sostituendo x = 0 in w e osservando che f ′(0) = a1, Abbiamo determinato il coefficiente di primo grado.

Ora deriviamo w e otteniamo

x ′′ ( ) = + + + −( ) +−f x a a x n n a xnn2 6 12 3

2... ...

Sostituendo x = 0 in x, vediamo che il coefficiente di secondo grado

a2 è

12

0′′ ( )f .

Derivando x, otteniamo

′′′ ( ) = + + −( ) −( ) +−f x a n n n a xnn6 1 23

3... ...

Da cui il coefficiente di terzo grado, che è a3 is 16

0′′′ ( )f .

Ripetendo l’operazione e derivando n volte, otteniamo

f x n n ann

( ) ( ) = −( ) × × +1 2 1... ...

dove f (n)(x) è quello che si ottiene derivando n volte f(x).Da qui è facile trovare il coefficiente di grado n:

an

fnn= ( )( )1

0!

n! si legge “n fattoriale” e indica il numero n n n× −( ) × −( ) × × ×1 2 2 1... .

cerchiamo di trovare il coefficiente an. /// Sostituendo x=0 nell’espressione e osservando che f(0)= a0, vediamo che il coefficiente di grado 0 a0 è f(0). /// Ora deriviamo (2)

come ricavare lo sviluppo di taylor


Uh... forse è stata un’intro-duzione un po’

troppolunga...

Si può sapere perché il gior-nale dovrebbe preoccuparsi

dello sviluppo di Taylor?

Se f(x) rappresenta l’im-porto delle inserzioni della Burnham Chemical, il contributo al nostro

giornale può essere considerato il terzo

termine dello sviluppo di Taylor. f(x) = The JapanTimes + The Kyodo News +

The Asagake Times

il ter-zo...?

Esatto.

il punto è chequello che la

Burnham Chemical spende per noi è un importo molto pic-colo... il termine di terzo grado, cal-colato dopo avere

derivato trevolte.

Siccome per loro è insignificante, probabilmente continueranno a finanziarci come in passato, anche cambiando diri-

genza.

in quale bar andava quan-do lavorava in redazione centrale, Mr.

Seki?

Co...?

157come ricavare lo sviluppo di taylor

Voglio dire, un goccio con i col-leghi a fine gior-

nata, parlando dei servizi, degli

articoli...

Oh.

Per oggi ab-biamo finito. Che ne dice di andare a bere

qualcosa?

Okay, andiamo.

Sì!

Headliners’ Pub (24 ore su 24)


Bel posto, no?

Oh, sì. Sono tutti giornalisti?

Quello è ishizuka, il più giovane vincitore del principale premio

fotograficoGiapponese.

Poi c’è Mr. Nakata,un pezzo grosso

tra i direttoriartistici.

i ragazzi làin fondo sono del Sanda City Post.

Mr. Analisi?!

Ehilà, Analisi, quanto tem-

po! Dai, prendi qualcosa!

Salve!

Che razza di soprannome! Ma gli sta a pennello.

Vediamo... ma-gari riesco ad ascoltare le loro conver-

sazioni.

Ultimamente Bitterman hail diabete.

Stack è sot-to control-lo medico... problemi di pressione.

Forse dovrei fare qualche controllo

anch’io.

solite chiacchiere tra cinquantenni! Non

mi serve a niente!

159

Per ora, non preoccupiamoci delle condizioni sotto cui lo sviluppo esistein un certo intervallo di convergenza.

Usando questa formula, verifichiamo la u a pagina 153.

f xx

f xx

f xx

f xx

( ) =−

′ ( ) =−( )

′′ ( ) =−( )

′′′ ( ) =−( )

11

1

1

2

1

6

12 3 4

, , , ,...

ff f f f f nn0 1 0 1 0 2 0 6 0( ) = ′ ( ) = ′′ ( ) = ′′′ ( ) = ( ) =( ), , , ,..., !

Perciò abbiamo

f x f f x f x f xn

f n( ) = ( ) + ′ ( ) + ′′ ( ) + ′′′ ( ) + + (( )011

012

013

01

02 3

! ! !...

!)) +

= + + × + × + + +

= + + + +

x

x x xn

n x

x x x

n

n

...

! !...

!! ...

...

112

213

61

1

2 3

2 3 xxn + ...

f x f a f a x a f a x a

f a x a

( ) = ( ) + ′ ( ) −( ) + ′′ ( ) −( )

+ ′′′ ( ) −( ) +

11

12

13

2

3

! !

!....

!...+ ( ) −( ) +( )1

nf a x an n

FORMULA 5.2 – LO SViLUppO Di TAYLOR

Se f(x) possiede uno sviluppo di Taylor in x = 0, allora è dato da

f x f f x f x f xn

f n( ) = ( ) + ′ ( ) + ′′ ( ) + ′′′ ( ) + + (( )011

012

013

01

02 3

! ! !...

!)) +xn ...

Da cui discende

f

f x

f x

f x

0

0

12

0

13

0

2

3

( )′ ( )

′′ ( )

′′′ ( )!

!

Termine costante di grado 0

Termine di grado 1

Termine di grado 2

Termine di grado 3

a f

a f

a f

a f

0

1

2

3

0

0

12

0

16

0

= ( )= ′ ( )= ′′ ( )

= ′′′ ( )

They coincide!

come ricavare lo sviluppo di taylor

Coincidono!

La formula rappresenta un polinomio di grado infinito che coincide con la funzioneoriginale in un intorno di x=0. La formula per un polinomio in un intorno di un generico

punto x=a è la seguente. Provate a verificarla con l’esercizio a pagina 178!

Lo sviluppo di Taylor di una funzione è un’eccellente approssimazione.

160

sviluppi di taylor di funzioni

[1] Sviluppo di Taylor della radice quadrata

Poniamo

f x x x( ) = + = +( )1 112.

Per cui, da

′ ( ) = +( )−f x x12

112

′′ ( ) = − × +( )

′′′ ( ) = × × +( )

′ ( ) =

−

−

f x x

f x x

f

12

12

1

12

12

32

1

012

32

52 ,...

, ′′′ ( ) = − ′′′ ( ) =

( ) = +

= + + × −

+

f f

f x x

x x

014

038

1

112

12

14

12

, ,...

! 3338

3

!...× +x

1 112

18

116

2 3+ = + − +x x x x ...

[2] Sviluppo di Taylor della funzione esponenziale ex

Se poniamo f x ex( ) = ,

′ ( ) = ′′ ( ) = ′′′ ( ) =f x e f x e f x ex x x, , ,...

Perciò, da

e x x x x

nx

x

n

= + + + + +

+ +

111

12

13

14

1

2 3 4

! ! ! !...

!...

Sostituendo x = 1, otteniamo

en

= + + + + + + +111

12

13

14

1! ! ! !

...!

...

[3] Sviluppo di Taylor della funzione logaritmo ln (1 + x)

Poniamo f x x( ) = +( )ln 1

′ ( ) =+

= +( )′′ ( ) = − +( ) ( ) = +( )

( )

−

− ( ) −

( )

f xx

x

f x x f x x

f x

11

1

1 2 1

1

2 3 3

4

, ,

== − +( )( ) = ′ ( ) = ′′ ( ) = − ( ) =( )

−

( )

( )

6 1

0 0 0 1 0 1 0 2

0

4

3

4

x

f f f f

f

,...

, , , !,

== −3!,...

Abbiamo quindi

ln

!! ! ...

1

012

13

214

32 3 4

+( ) =

+ − + × − +

x

x x x x

ln

... ...

1

12

13

14

112 3 4 1

+( ) =

− + − + + −( ) ++

x

x x x xn

xn n

[4] Sviluppo di Taylor di funzioni trigonometriche

Sia f(x) = cos x.

′ ( ) = − ′′ ( ) = − ( )= ( ) =

( )

( )

f x x f x x f x

x f x x

sen , cos ,

sen , cos ,...

3

4

Da cui

f f f

f f

0 1 0 0 0 1

0 0 0 13 4

( ) = ′ ( ) = ′′ ( ) = −

( ) = ( ) =( ) ( )

, , ,

, ,...

Perciò,

cos! ! !

...x x x x x= + − × × + × × + × × +1 012

113

014

12 3 4

cos! !

...!

...x x xn

xn n= − + + + −( ) ( ) +1

12

14

11

22 4 2

Analogamente

sen! !

...!

...x x x xn

xn n= − + + + −( )

−( ) +− −13

15

11

2 13 5 1 2 1


Nel capitolo 4 abbiamo visto che e vale circa 2,71. Ora abbiamo ricava-to un’espressione per calcolar-

lo con precisione maggiore.

161

che cosa ci dicono gli sviluppi di taylor?

y

x

0

y = x

Appross. lineare

Appross.di grado 0 Appross. quadratica

Appross. cubica

y = f(x)

ln ...1 012

13

14

2 3 4+( ) = + − + − +x x x x x

Esatto. consideriamo ln ...112

13

14

2 3 4+( ) = − + − +x x x x x

uno degli esempi di cui sopra, per capire

quanto possono essere utili gli sviluppi di taylor.


Sono un modo per sostituire funzioni complicate con un polinomio. Per esempio, sapresti disegnare

il grafico di ln (x+1)?

il punto è che per capire il mondo invisibileche si cela dietro una funzione dobbiamo prima

approssimarla, dico bene?

Per cominciare, un’approssimazione digrado zero. ln(1+x) ≈ 0 in un intorno di x=0.

Che cosa vuol dire, Noriko?

Uh... ecco... che in x=0 il valore di f(x) è 0e quindi il grafico passa per il punto (0,0).

Esattamente. Poi è il momento dell’approssimazione lineare.

Vedi che vicino a x=0 la funzione y=f(x) ricorda approssimativa-

mente y=x? Questo vuol dire che in x=0 la funzione cresce.

162

E ora, un passo in avanti con l’approssimazione

quadratica. Consideriamo il grafico di

ln 1

12

2+( ) ≈ −x x x

in un intorno dello 0.Che cosa significa,

Noriko?

y

x

0−1

y f x= ( )

y x x= − 12

2

Vuol dire che vicino allo 0 y=f(x) assomiglia

approssimativamente a

e che in x=0 il grafico è rivolto verso il basso (l’approssimazione quadratica ci permette di stimarne

la curvatura in un punto x=a )

infine, spingiamoci fino all’approssimazione cubica! Vicino a x=0,

ln 112

13

2 3+( ) ≈ − +x x x x

(l’approssimazionecubica corregge ulte-riormente l’errore di

quella quadratica).

y

x

0

y f x= ( )

y x x x= − +13

12

3 2

E adesso tutti alprossimo pub, Mr. Seki!

!

y x x= − 12

2


!

163che cosa ci dicono gli sviluppi di taylor?

Ora va meglio! Qui possiamo parlare con

più calma.

Dovevamo venircisubito.

Prima, al pub, avresti potuto parlare molto

di più coiragazzi.

Be’, sembravanotutti così... brillanti.

Non mi sentivo... ecco...alla loro altezza.

A che giocosta giocando,

Mr. Seki?

Quei tipi erano tutti famosi...

vincitori di premi giornalistici.

Ma ho capito subito che la rispettavano.


Come può essere felice di restarse-ne rintanato in una redazione locale?

Ormai scri-ve solo

assurdità!

Basta alcool per lei.

[sniff]

Mi chiedo che probabilità ab-bia veramente

di diventare una star del gior-nalismo, come

quelli delpub.

Se l’unica cosa che ti interessa è la pro-babilità di diventare importante, non di-venterai niente. Non arriverai da nessuna parte continuando ad

aspettare.

165che cosa ci dicono gli sviluppi di taylor?

Anche sechiacchieravano di

frivolezze...

...tutti sisforzano di dare

il massimo nel loro lavoro.

Semplicemente, fanno ciò che desiderano fare. Nessuno di loro si ar-

renderebbe mai al loro “destino”. E neanch’io.

[sob]

Ehi, aproposito diprobabilità!

Cosa? No,eh? Dovremmo

studiareancora?

Naturalmente! Sono il tuo istruttore e tu sei una risorsa

preziosa.


Quandoanalizziamo gli even-ti incerti usando la

probabilità, spessis-simo usiamo la distri-

buzione normale.Uh-uh...

La distribuzione è caratterizzata da una funzione di densità di probabilità, propor-

zionale a

a meno di un fattoredi scala. Dalla figura,

è chiaro che il grafico è simmetrico rispetto

all’asse delle y e ha la forma di una campana.

scratch

scratch

Me lo scusino, mi sa che scriverà un sacco. Avete mica degli altri sotto-

bicchieri?

oplà!

È una distribuzione tipica di un sacco di fenomeni. Per esem-pio, l’altezza degli esseri umani o degli

animali.

O gli errori di misura negli esperimenti.

BONKNegli ambienti

finanziari, si pensa che i tassi degli

utili generati dalle azioni seguano una

distribuzionenormale.

i sistemi divotazione per glistudenti spesso si

basano sulla distribu-zione normale, perché ci si aspetta che venga

seguita dai risultatidegli esami.

f x ex( ) = −1

22

167

0

0.05

0.10

0.15

0.20

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19

Numero di “testa” lanciando20 monete tutte insieme(distribuzione binomiale).

g (x )

0

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0 1 2 3 4−1−2−3−4

f x ex( ) =

−1

2

12

2

π

Distribuzione normale standard


Grazie a uno sviluppo di

Taylor, ti mo-strerò come

il lancio di una moneta segua la distribuzio-ne normale.

Qual è la pro-babilità che esca testa?

flip

Non mi tratti da stupida!

È 0,5.

Esatto. Non sap-piamo quale faccia uscirà ma sappiamo che la probabilità di una particolare faccia è di 1 su 2.

il primo grafico mostra la probabilità che esca “testa” lanciando 20 monete tutte insieme: sull’asse delle x abbiamo il numero delle uscite, su quello delle y abbiamo la probabilità.

Oh… assomiglia al secondo.

Sì, si sovrappone quasi perfetta-

mente al grafico di una distribuzio-

ne normale.

168

* La distribuzione della probabilità di ottenere x “testa” lanciando n monete, di solito viene chiamata distribuzione binomiale. Troviamo per esempio la probabilità di ottenere 3 volte testa lanciando 5 monete. Se T=testa e C=coda, la probabilità di ottenere TTCTC è

12

12

12

12

12

12

5

× × × × =

Siccome esistono 5C3 modi di ottenere 3 volte testa e 2 volte croce, la

probabilità è 5 3

512

C

. L’espressione generale è n x

n

C12

. Ora mostreremo che

per n molto grande la distribuzione binomiale si avvicina a quella normale.


in effetti, se defi-niamo gn(x) come la “probabilità di ot-

tenere testa x volte lanciando n mone-te tutte insieme”*, e facciamo tendere n

all’infinito…

Quell’equazione l’ha già scritta!

Perché continua a consumare i miei sottobicchieri?

Calma,emh…

...la possiamo riscrivere e vedere che è

proporzionale alla funzione

normale.

169

g x C

C

n n x

x n x

n x

n

( ) =

=

−12

12

12

gn

Cn n

n

n

2122

=

h xg x

gCCn

n

nn

n x

n n

( ) = ( )( ) =2

2

h xn

x n x n xn

n n n n

( ) =−( )

×

( ) ( )

=

( ) ( )!! !

! !

!

! !

!2 2 2 2

nn x−( )!

[scrib]

[sc

rib]

n xCn

x n x=

−( )!

! !

n n nC

nn2

2 2

= ( ) ( )!

! !


Usando la distri-buzione binomiale,

abbiamo

gn(x) la possiamo scrivere così.

Poiché il grafico di f(x) è simmetrico rispetto all’asse

x=0 e gn(x) rispetto a x=g

nCn n

n

n

2122

=

…

i miei poverisottobicchieri…

invece di gn(x) possiamo consi-derare gn(n/2)

Quindi…

Dividiamo gn(x) per il risultato

E otteniamo hn, la funzio-ne scalata.

Poiché

Abbiamo che

E dividen-do…

CHE COSA Ci DiCONO GLi SViLUppi Di TAYLOR?

170

[si

gh]

Abracadabra!


Tutti… tuttiquei bei sotto-

bicchieri…

è la deviazionestandard. Se non sai

nulla di statistica, puoi semplicemente conside-rarla come una specie

di parola magica*!

*La deviazione standard è una mi-sura della dispersione dei dati.

poiché x è lontana dall’asse disimmetria

n2,

cambiamo unità

di misura in n2

n2

171

* ricordiamo la proprietà

ln ln ln

ln ln ln

ab a b

dc

d c

= +

= −

h z

n n

n nz

n nz

n ( ) =

+

−

2 2

2 2 2 2

! !

! !

nn n

z− +

2 2

ln

ln ! ln ! ln

h z

n n n nz

n ( )

=

+

− +

2 2 2 2

− −

! ln !n n

z2 2


in altreparole

in questo modo, abbiamo cambiato variabile. Quella

nuova, la z, rappre-senta il numero di

deviazioni standard dall’asse di simmetria.

Otteniamo

Passiamo poi al logaritmo ln di ciascun membro*

Ora dobbiamo calcolare questa espressione… ma

forse sarà meglio cambiare bar.

poniamo n n

z x2 2+ =

e sostituiamo z in hn .

172

Approssimiamo ln(m!)

ln ! ln ln ln ... lnm m= + + + +1 2 3

Se nel grafico di ln x consideriamo dei rettangoli come in figura, otteniamo

ln ... ln ln21

+ + ≈ ∫m xdxm

x x x x xx

xln ln ln−( )′ = + × − =11

Quindi,

ln ln ln

ln

xdx m m m

m m m

m

11 1 1

1∫ = −( ) − −( )

= − +

Siccome faremo uso di questa formula per m molto grande, il termine più importante è m ln m, mentre −m+1 è molto più piccolo, e lo ignoriamo. Indicativamente, possiamo quindi usare l’approssimazione m! ≈ m ln m

Area = ln m

ln mArea = ln 2

. . . . . .

2 3 m−1 m

y = ln x


Grazie! Dovremmo avere finito.

fiuuuNe sono rimasti

pochissimi!

Andiamo? immagino che dovrei essere felice che ne siano rimasti…

Pensiero positivo

Siccome faremo uso di questa formula per m molto grande, il termine più importante è mln, mentre -m+1 è molto più piccolo, e lo ignoriamo. Indicativa-mente, possiamo quindi usare l’approssimazione m! ≈ mlnm

173

ln ln ln lnn n

zn n

nz

n nn

z2 2 2

12

1+

= +

= + +


ci Siamo quasi! Se m! ≈ m ln m

(v. pagina prece-dente)…

Presto!Degli altri…!

AHHh!

dopo un sacco di passaggi, otteniamo

Tra l’altro, abbiamo usato l’uguaglianza

E ora usiamo uno sviluppo di Taylor… so che non vedevi

l’ora.

Sì, non vedevo l’ora.

…

Okay, prendeteli

pure

Squeak

Squeak

174

Quando t si avvicina a

zero

(approssimazione quadratica, o del second’ordine*)

Per n abbastan-za grande, √n/n = 1/√n è vicino

allo zero.

Pertanto,

Possiamo so-stituirlo nell’e-

spressione

Per n abbastanza

grande, nn n

= 1

è

vicino allo zero.

quindi lo è anche

nn

z

per ogni z fissato.


*v. pagina 161

175

Otteniamo hn(x) ≈ -e-z2/2

Se pensi che i termini di ordine superiore dello sviluppo di Taylor del logaritmo, da x3 in poi, possano influenzare la forma di hn(x) (per n

abbastanza grande), calcoliamo hn(x) usando lo sviluppo

Scopriremo che il coefficiente del termine z4 ha n al denominatore e converge quindi a

zero per n → ∞.

E le distribuzioni normali? Possiamo applicarle a cose diverse dal lancio

delle monete?


poiché

lnh z zn ( ) ≈ − 12

2 ,

Otteniamo

h z en

z( ) ≈ −−1

22.

ln 112

13

2 3+( ) ≈ − +t t t t

176

Stai di nuovo pensando di applicare all’amore i nostri studi? Probabil-mente può funzionare

solo per fenomeni del tutto non intenzionali e

puramente casuali.E se fosse

questo il caso dell’amore?

Non si discute neppure!

Ascolta! Se anchesolo ipotizzassimo, deltutto indicativamente, che l’innamoramento di due

persone è assimilabile alla combinazione dei risultati del lancio di un numero

infinito di monete…

…

Be’, siccome ora sappiamo che la distribuzione di

quei risultati segue approssimativamen-te la distribuzione

normale, non ci sarebbe da stupirsi se fosse possibile calcolare una di-

stribuzione normale per l’amore.

Davvero?


177

Però!

il calcolo delleprobabilità si applica solo ai fenomeni non certi da cui è esclusa ogni intenzionalità. E scusa la pignoleria.

uh-oh

Ma supponiamodi avere una ragazza totalmente ingenua,

Mr. Seki…

Proprionon mi vuoi dare

retta?


178

esercizi

1. Calcolare lo sviluppo di Taylor di f(x) = e−x in x = 0.

2. Calcolare l’approssimazione quadratica di f xx

( ) = 1cos

in x = 0.

3. Derivare lo sviluppo di Taylor di f(x) in x=1 di pagina 159. In altre parole, ricavate l’espressione dei coefficienti cn nell’espressione:

f x c c x a c x a c x an

n( ) = + −( ) + −( ) + + −( )0 1 2

2...

ESERCiZi


179

6Le derivate parziali!

180 Capitolo 6 LE DERiVATE PARZiALi!

che cosa sono le funzioni di più variabili?

Cosa???

Mr. Seki…tornerà inredazionecentrale?

Cos’è succes-so? L’hanno promossa?

Non so…

181

Lei mi ha sempre detto “ogni effet-to ha una causa”.

Me lo ripeteva ogni giornO! Mi sono anche ve-nuti gli incubi!

Causa ed effetto...me lo ricordo bene. Ne abbiamo parlatoin una delle prime

lezioni.

È vero, abbiamo studiato semplici

funzioni che rappre-sentavano una causa

e un effetto.

Una relazione che possiamo

esprimere

Causa EffettoCon un diagramma

come questo.

Ma il trasferimento mi ha ricordato che il mondo non è poi

così semplice,dopotutto.

slurp

Già.

Credo che il mio tra-sferimento sia la ri-

sultante di una serie di cause combinate.



Possiamo rappresen-

tarlo

in questo modo

Nel caso di Mr. Seki, la x è lo stile eccellen-te, y è il suo giornali-smo d’inchiesta senza compromessi e z è il trasferimento alla redazione centrale,

dico bene?

Be’, in realtà ancora non co-nosco i motivi del trasferi-

mento.

Nel caso di Noriko, x1 sono le cantonate del mese scorso, x2 quelle di questo mese e x3 e

x4 sono trascuratezza e scarsa igiene perso-nale, il che spiega ilconfinamento ai

necrologi.

Chiudi ilbecco, razza

di bue!Basta così,

Noriko. Non ci resta molto tempo.

Dobbiamoimparare le

nozioni fonda-mentali.[STRIZZ]

183

Esempio 1

Supponiamo che un oggetto si trovi all’altezza di h(v,t) metri dopo che sono trascorsi t secondi da quando è stato gettato verticalmente verso terra con la velocità v. Allora h(v,t) è data da

h v t vt t, ,( ) = − 4 9 2

eSEMPiO 2

La concentrazione f(x,y) di sciroppo di glucosio che si ottiene sciogliendo y grammi di zucchero in x grammi di acqua è data da

f x yy

x y,( ) =

+×100

eSEMPiO 3

Sia K la quantità (detta capitale) di attrezzature e macchinari a disposizione in un paese, e L il lavoro. Supponiamo che la produzione complessiva di beni (o PIL, Prodotto Interno Lordo) sia data da Y(K,L).

Esempio 4

In fisica, se P è la pressione di un gas ideale e V il suo volume, sappiamo che la temperatura T è una funzione di P e di V, ed è data da

T P V PV,( ) = γ


Ore vedremoalcuni esempi di funzioni in cui il

valore, cioè l’ef-fetto, dipende dadue cause, cioè funzioni di due

variabili.

La funzione a di sinistra si

scrive z=g(x,y), e quella di destra

y=h(x1,x2,x3,x4).

in teoria economica si usa la funzione Y L K L K,( ) = −β α α1

detta “funzione di Cobb-Douglas”), dove α e β sono costanti, come approssimazione di Y(L, K). (v. a pagina 203).

184

z =x

yf ax by c+ +

mmm

Capitolo 6 LE DERiVATE PARZiALi!

funzioni lineari in più variabili: i fondamenti

Che ne dicidi dare un’occhiata alle proprietà di queste funzioni in

due variabili?

Useremo delle approssimazioni

lineari?

Be’, sì. Ma siccome ora la-voriamo con due variabili, dovrà essere così anche

per le funzioni lineari.

Le funzioni lineari in due variabili hanno la forma z = f(x,y) = ax + by + cdove a, b e c sono

costanti. Per esempio, z = 3x + 2y + 1

oppure z = −x + 9y − 2. Semplice, no?

Vediamo adesso che aspetto può avere il loro grafico. Sicco-me hanno due valori in ingresso (x e y) e uno

solo in uscita (z) è natu-rale usare coordinate

tridimensionali.

mmm

Pensa al pia-no x-y come al pavimento e all’asse z come a unacolonna.

Una co-lonna…

185

2

3

5

P = (2, 3, 5)z

y

x

8

2

1

4

3

19

(4, 3)(1, 2)

y

x


Qualcosa non va?

No, no!Andiamo avanti.

Come puoi vedere, il punto P di coor-dinate (2,3,5) è il

punto in cima a una colonna di altezza 5 posizionata nel

punto sul pavimento di coordinate (2,3).

E ora, che aspetto pensi che potrà ave-re il grafico di una funzione lineare?

Comeesempio, tracciamo

quello diz = f(x, y) = 3x + 2y + 1.

Per prima cosa, collochia-mo nel punto (1,2) sul pavimen-to una colonna di lunghezza

f(1, 2) = 3 × 1 + 2 × 2 + 1 = 8.Analogamente, l’altezza delgrafico nel punto (4,3) sarà f(4, 3) = 3 × 4 + 2 × 3 + 1 = 19 *.

*in realtà dovremmo scrivere (1,2,0) e (4,3,0) ma persemplicità omettiamo la terza coordinata.

186

20

15

10

5

01 2 3 4

12

34


Nello stesso modo, collochiamo 16 colonne nei 16

punti (x,y) per cui 1≤x≤ 4 e 1≤y≤4, come in figura.

Possiamo già vedere che il gra-fico comincia ad assomigliare a un piano, non trovi?

Sì, è vero!

Diamo ora un’occhia-ta alle colonne sul

lato più vicino.

Cominciando da sinistra, le altezze hanno i va-lori f(1,1) = 6, f(2,1) = 9, f(3,1) = 12, e f(4,1) = 15.

È intuitivo vedere che questi punti giacciono su una retta di penden-za 3. infatti, se y

è costante (y=1) in z = f(x,y) = 3x + 2y + 1 , abbiamo z = 3x + 2 ×

1 + 1 = 3x + 3 .

Adesso passiamo alle altez-ze delle colonne dietro le prime. i valori sono f(1,2) = 8,

f(2,2) = 11, f(3,2) = 14e f(4,2) = 17, ciascuno dei quali è maggiore di 2

dell’altezza della colon-na che ha davanti.

inoltre, le altezze delle colonne

ancora posteriori sono f(1,3) = 10, f(2,3) = 13, f(3,3) = 16, e

f(4,3) = 19 e anche ciascuna di queste è maggiore di 2 dell’altezza della

colonna che ha davanti.

20

15

10

5

01 2 3 4

12

34

187

z

C

B

(x, y)

byy

y

A

ax

xx

O

ax + by

z = by

z = ax

(x, y)

z

c

y

y

xx

O

by + c

ax + by + c

ax + c


mano a mano che le colonne si allonta-nano da noi, la loro

altezza aumenta sempre di 2…

...perciò lecime delle colonne

giacciono tutte su un unico piano. Ora pos-siamo generalizzare.

Per prima cosavediamo come trac-ciare il grafico di z = f(x,y) = ax + by (con la costante

c=0).

Cominciamo dal punto O(0,0,0), cioè dall’origine, e consideriamo il seg-

mento di retta OA: otte-niamo una funzione che lo rappresenti ponendo y=0. Questo è come dire che la retta è rappresentata da

z=ax, e ha pendenza a. Ana-logamente, ponendo x=0, il segmento di retta OB

del piano è rappresentato da z=by e ha pendenza b. il punto C sul piano OACB ha altezza uguale a ax + by. Se volessimo rappresentare fisicamente questo piano, potremmo attaccare un

lenzuolo ai segmenti OA e OB, e tirarlo.

Dovendo ora considerare anche la costante c,

semplicemente adattiamo il grafico elevando il

piano all’altezza c. Ora il punto O sul piano si trova

in (0,0,c), il punto A ha un’altezza ax + c

e così via.


Noriko!Sì!?!

Per oggi può ba-stare. Non mi sembri molto presa dalla

lezione.

HO UN SAccO DA FARE Prima di andarmene, tra cuiimpacchettare tutte

le mie cose.Ti andrebbe di vederci

domenica?

Lo so che la vorrestilibera, ma cerchiamo difare un’ultima lezione.

Alla fine sarai miaospite a cena.

Uh, certo…

Cena??

ufff

non è vero!

189scuola tanaka

Scuola Tanaka,Domenica

Hanno chiusoquesta scuola

qualcheanno fa.

Sul serio?E Vorrebbe farci

sopra un servizio?

No. Mi piaceperché è qui che ho imparato la

matematica.

Wow!

in effetti,questa è lamia città.

Era una piccolascuola. Ma avevo unodei migliori insegnanti

del mondo.


Se tracciamo ilgrafico della fun-

zione di due variabili z = f(x,y) = 3x + 2y + 1

in un sistema di coordi-nate tridimensionali, che aspetto avrà, Kakeru?

Supponiamo che questo vecchio

sacco sia il piano OACB…

Maestro, c’era-no ancora den-

tro delle patate. Che cosa ne facciamo?

Se sai risolvere il problema, bolliamole e mangiamole…

oh, oh, oh!

Mr. Kinjiro Bun-da era un ottimo

insegnante.

E adesso,Noriko, l’ultima

lezione. Okay!

191

z y

y

x

x

O

f(x, y)

(x, y)

derivate parziali

derivate parziali

Oh, la campana della prima ora! Ora parleremo

della derivazione in due variabili.

Programma

Derivate parziali

Ora che sappiamoche in due variabili il

grafico di una funzio-ne lineare è un piano,

possiamo approssimare funzioni piùcomplesse.

La nostra funzione as-

somiglia a una specie di tenda,

non trovi?

A me sembra più una torta!

in definitiva, non è molto importante. Ora troviamo una funzione lineare in due

variabili che approssimi f(x,y) in un intorno

del punto (a,b).

192

Costruiremo una funzione lineare con la medesima altezza di f(a,b) nel punto (a,b). La formula è L(a,b)=p(x-a)+q(y-b)+f(a,b).

Sostituendo x=a e y=b otteniamo L(a,b)=f(a,b).

I grafici di z=f(x,y) e di z=L(x,y) passano per lo stesso punto al di sopra di A(a,b) ma hanno altezza diversa in P(a+e,b+δ). In questo caso l’errore è f(a+e,b+δ) – L(a+e,b+δ) = f(a+e,b+δ) – f(a,b) – (pe+qδ) e l’errore relativo esprime il rapporto tra l’errore e la distanza AP.

Errore relativo = differenza tra f e L

distanza AP

u =+ +( ) − ( ) − +( )

+

f a b f a b p qε δ ε δ

ε δ

, ,2 2

Vediamo ora il comportamento di L(x,y) quando la sua differenza con f tende a 0 (questo avviene quando P tende ad A), in qualità di approssima-zione lineare. Vediamo che ne ricaveremo p e q. In figura, p è la pendenza di DE e q è quella di DF. Siccome e e δ sono arbitrari, poniamo per cominciare δ=0 e vediamo che u diventa

Errore relativo =+ +( ) − ( ) − + ×( )

+

=+( ) −

f a b f a b p q

f a b f a

ε ε

εε

, ,

,

0 0

02 2

,,bp

( )−

ε

ε

δ

CD E

B

GFH(funzione

lineare diapprossimazionein due variabili)

z L x y= ( ),

z f x y= ( ),

f a b+ +( )ε δ,

P a b= + +( )ε δ,f a b,( )

A a b= ( ),ε δ2 2+


Costruiremo una funzione lineare con la medesima altezza di f(a,b) nel punto (a,b). La formula è L(a,b)=p(x-a)+q(y-b)+f(a,b).Sostituendo x=a e y=b otteniamo L(a,b)=f(a,b).

193

Perciò l’affermazione “l’errore relativo tende a 0 per e che tende a 0” significa che:

v lim, ,

e

ee→

+( ) − ( )=

0

f a b f a bp

Questa è la pendenza di DE.Dev’essere chiaro che il membro di sinistra di (2) è lo stesso che avremmo per

la derivata di una funzione di una sola variabile. In altre parole, se a y sostitu-iamo b e lo manteniamo costante, otteniamo f(x,b), che è una funzione della sola x. Il membro sinistro di (2) è a questo punto la definizione di derivata di questa funzione in x=a.

La tentazione di scrivere il membro di sinistra come f’(a,b) è fortissima: in fondo di tratta di una derivata, ma non sarebbe chiaro rispetto a quale variabile abbiamo derivato.

Scriviamo quindi “la derivata di f in x=a con y costante uguale a b” col sim-bolo fx(a,b).

Questa funzione fx è detta “derivata parziale di f nella direzione x” ed è l’equi-valente della notazione con l’apostrofo nella derivazione di un’unica variabile

Si usa anche la notazione df—dx (a, b), che corrisponde a

∂ f—∂ x . In breve,

abbiamo:“La derivata di f nella direzione x in x=a con y=b”

f a bfx

a bx , ,( ) = ∂∂

( )

=

o anche

Pendenza di DEEsattamente allo stesso modo, otteniamo

“La derivata di f nella direzione y in y=b con x=a”

f a bfy

a b

DF

y , ,( ) = ∂∂

( )

= Pendenza di

∂ si legge “derivata parziale”.

derivate parziali

194

Abbiamo quindi stabilito quanto segue.Se z = f(x, y) ammette un’approssimazione lineare in un intorno di (x, y) =

(a, b), questa è data da

w z f a b x a f a b y b f a bx y= ( ) −( ) + ( ) −( ) + ( ), , ,

ovvero* zfx

a b x afy

a b y b f a b= ∂∂

( ) −( ) + ∂∂

( ) −( ) + ( ), , ,

Consideriamo il punto (α, β) su un cerchio di raggio 1 con centro nell’origine del piano x − y (il pavimento). Abbiamo allora α 2 + β 2 = 1 (questo perché α = cosθ and β = senθ). Calcoliamo ora la derivata nella direzione che va da (0, 0) a (α, β). Uno spostamento lungo t in questa direzione è espresso da (a, b) → (a + α t, b + β t). Se in u poniamo e = α t e δ = β t otteniamo

Errore relativo =+ +( ) − ( ) − +( )

+

=+

f a t b t f a b p t q t

t t

f a

α β α β

α β

α

, ,2 2 2 2

tt b t f a b

tp q

f a t b t f a b

tp q

, ,

, ,

+( ) − ( )+

− −

=+ +( ) − ( )

− −

β

α βα β

α βα β

2 2

x Poiché α β2 2 1+ =

Ponendo p = fx(a, b) and q = fy(a, b), modifichiamo x come segue:

y f a t b t f a b t

t

f a b t f a b

tf a b f a bx y

+ +( ) − +( )+

+( ) − ( )− ( ) − ( )α β β β

α, , , ,

, , ββ

Siccome la derivata di f(x, b + βt), come funzione della sola x in x = a è

f a b tx , +( )β

dall’approssimazione lineare in una sola variabile otteniamo,

f a t b t f a b t f a b t tx+ +( ) − +( ) ≈ +( )α β β β α, , ,

*Abbiamo calcolato l’approssimazione lineare in modo che l’errore relativo tenda a 0 per AP che va a 0 nella direzione x o y. Non è però ovvio se l’errore relativo vada a 0 quando AP va a zero lungo una direzione qualsiasi per un’approssimazione lineare costruita a partire dalle derivate fx(a, b) e fy(a, b). Ora approfondiremo questo punto, anche se non in maniera rigorosissima.

−1

−1

1

1

y

x

θ(α, β)


195

Analogamente,

f a b t f a b f a b ty, , ,+( ) − ( ) ≈ ( )β β

Sostituendo in y,

≈ +( ) + ( ) − ( ) − ( )= +( ) − ( )

f a b t f a b f a b f a b

f a b t f a b

x y x y

x x

, , , ,

, ,

β α β α β

β(( )αy

Poiché per t abbastanza piccolo fx(a, b + βt) − fx(a, b) ≈ 0, per l’errore rela-tivo abbiamo = y ≈ 0. Abbiamo quindi dimostrato che “l’errore relativo tende a 0 quando AP tende a 0 in qualsiasi direzione.”

Notiamo anche che per potere affermare fx(a, b + β t) − fx(a, b) ≈ 0 (t ≈ 0) fx dev’essere continua. Se non fosse continua, non potremmo dire che la derivata esiste in ogni direzione, anche se fx e fy esistono. Questo può capi-tare per funzioni piuttosto strane ed “esotiche” e in questo libro non ne parleremo.

ESEMPi (FUNZiONE DELL’ESEMPiO 1 A PAGiNA 183)

Troviamo le derivate parziali di h(v, t) = vt − 4,9t2 in (v, t) = (100,5).Nella direzione v deriviamo h(v,5) = 5v − 122,5 e

otteniamo

∂∂

( ) =hv

v,5 5

Perciò,

∂∂

( ) = ( ) =hv

hv100 5 100 5 5, ,

Nella direzione t deriviamo h(100, t) = 100t − 4,9t2 e otteniamo

∂∂

( ) = −ht

t t100 100 9 8, ,

∂∂

( ) = ( ) = − × =ht

ht100 5 100 5 100 9 8 5 51, , ,

E l’approssimazione lineare è quindi

L x y v t, ,( ) = −( ) + −( ) −5 100 51 5 377 5

derivate parziali

196

In generale,

∂∂

= ∂∂

= −hv

tht

v t, ,9 8

Quindi, dalla w a pagina 194, in un intorno di (v, t) = (v0, t0),

h v t t v v v t t t h v t, , ,( ) ≈ −( ) + −( ) −( ) + ( )0 0 0 0 0 0 09 8

Ora cercheremo di approssimare la concentrazione di sciroppo di glu-cosio dati y grammi di zucchero in x grammi di acqua.

f x yy

x y

fx

fy

x y

fy

fx y y

x

x

y

,( ) =+

∂∂

= = −+( )

∂∂

= =+( ) − ×

+

100

100

100 100 1

2

yy

x

x y( )=

+( )2 2

100

Pertanto, in un intorno di (x, y) = (a, b), abbiamo

f x yb

a bx a

a

a by b

ba b

,( ) ≈ −+( )

−( ) ++( )

−( ) ++

100 100 1002 2

definizione di differenziale parziale

Se z=f(x,y) è parzialmente derivabile rispetto a x in ogni punto (x,y) di una certa regione, la funzione (x,y) → fx(x,y) che a (x,y) associa fx(x,y), cioè la deri-vata parziale rispetto a x in quel punto, viene detta il differenziale parziale di z=f(x,y) rispetto a x e si indica con una qualunque delle seguenti notazioni

f f x yfx

zxx x, , , ,( ) ∂

∂∂∂

Analogamente, se z=f(x,y) ammette derivata parziale rispetto a y per ogni punto (x,y), la funzione

x y f x yy, ,( ) → ( )


197

viene detta differenziale parziale di z=f(x,y) rispetto a y e si indica con una qualunque delle seguenti notazioni:

f f x yfy

zyy y, , , ,( ) ∂

∂∂∂

L’operazione di calcolo delle derivate parziali di una funzione viene detto derivazione parziale.

Dall’approssimazione lineare di z=f(x,y) in (x,y)=(a,b) abbiamo determinato

f x y f a b x a f a b x b f a bx y, , , ,( ) ≈ ( ) −( ) + ( ) −( ) + ( )

Che possiamo scrivere così

z

f x y f a bfx

a b x afy

a b y b, , , ,( ) − ( ) ≈ ∂∂

( ) −( ) + ∂∂

( ) −( )

Siccome f(x,y) − f(a,b) rappresenta l’incremento di z=f(x,y) quando un punto si sposta da (a,b) a (x,y), possiamo rappresentarlo come ∆z, proprio come abbiamo fatto per le funzioni di una sola variabile.

Inoltre, (x−a) è ∆x e (y−b) è Δy.Possiamo quindi riscrivere l’espres-

sione z come

{ ∆ ≈ ∂∂

∆ + ∂∂

∆zzx

xzy

y

L’espressione si può leggere come “se x varia di ∆x rispetto ad a e y di ∆y rispetto a b in z=f(x,y), z varia di”

∂∂

∆ + ∂∂

∆zx

xzy

y

differenziali totali

secondaora


∂z∂y∆y

∆z

∆y

∆x

∂z∂x∆x

∂z∂x∆x

∂z∂y∆y= +


198

Poiché ∂z—∂x

∆x è “l’incremento di z nella direzione x in y=b”

e ∂z—∂y

∆y è “l’incremento nella direzione y in x=a”, l’espressione { può

anche essere intepretata come “l’incremento di z = f(x, y) è la somma dell’in-

cremento nella direzione x e di quello nella direzione y.”

Quando in { passiamo al limite facendo tendere ∆x e ∆y a 0, otteniamo

| dzzx

dxzy

dy= ∂∂

+ ∂∂

o

} df f dx f dyx y= +

(al posto di “∆” abbiamo una “d”).Il significato è il seguente:

Variazione in altezza di una superficie =

Incremento nella direzione y

Derivata parziale nella direzione x

× Incremento nel-la direzione x

+ Derivata parziale nella direzione y

×

E ora diamo un’occhiata all’espressione di un differenziale totale a par-tire dall’esempio 4 di pagina 183.

Convertendo opportunamente l’unità di misura, riscriviamo l’equazione della temperatura come T=PV

∂∂

=∂ ( )∂

= ∂∂

=∂ ( )∂

=TP

PV

PV

TV

PV

PP and

Il differenziale totale può quindi essere scritto come dT = VdP + PdV.In maniera approssimata, diventa ∆T ≈ V∆P + P∆V.

Temperature maggiori

Volume

Pre

ssio

ne

T = costante

P

V

Le espressioni | o }vengono dette differen-

ziale totale.

Questo vuol dire che per un gas ideale l’in-cremento di temperatura può essere calco-lato moltiplicando il volume per l’incremen-

to di pressione e sommando la pressione moltiplicata per l’incremento di volume.

Pressione /// Temperature maggiori /// T=costante /// volume


199

condizioni per gli estremi

Terza ora.

Che panorama! Sanda è sempre

la stessa!!

Massimo

Se pensiamo allamontagna come a una fun-zione di due variabili, la

cima è il massimo.

Oh, no, sarebbe già la lezione?


200

Gli estremi di una funzione di due variabili f(x,y) sono punti in cui il grafico raggiunge “la cima di una montagna” o “il fondo di una vallata”.

f x y p x a q y b f a b, ,( ) ≈ −( ) + −( ) + ( )

con p = q = 0 nell’approssimazione lineare.Inoltre

pfx

f qfy

fx y= ∂∂

=( ) = ∂∂

=( )

quindi, se f(x,y) possiede un estremo in (x,y)=(a,b), una condizione necessaria* è

f a b f a bx y, ,( ) = ( ) = 0

cioè

∂∂

( ) = ∂∂

( ) =fx

a bfy

a b, , 0

Massimo

Minimo

Punto di massimo

Piano tangente

z

x

y

0

z

x

y

0

z

x

y

0

Q

P

P

Poiché il piano tangente al grafico nei punti P o Q è parallelo al piano x-y, abbiamo

*Non è vero il contrario: anche se fx(a,b) = fy(a,b) = 0, f potrebbe non avere un estremo in (a,b). In altre parole, questa condizione serve per selezionare i candidati a essere dei punti estremanti.


201

Esempio

Troviamo il minimo di f(x,y) = (x − y)2 + (y − 2)2.Per prima cosa, facciamolo algebricamente: abbiamo quindi

x y y−( ) ≥ −( ) ≥2 20 2 0

f x y x y y,( ) = −( ) + −( ) ≥2 22 0

Sostituendo x = y = 2,

f 2 2 2 2 2 2 02 2

,( ) = −( ) + −( ) =

Da qui, vediamo che f(x,y) ≥ f(2,2) per tutte le coppie (x,y). In altre parole, f(x, y) nel punto (2,2), la funzione f ha un minimo, che vale 0.

D’altra parte, ∂∂

= −( )fx

x y2 e ∂∂

= −( ) −( ) + −( ) = − + −fy

x y y x y2 1 2 2 2 4 4 . Se poniamo

∂∂

= ∂∂

=fx

fy

0

e risolviamo il sistema di equazioni,

2 2 0

2 4 4 0

x y

x y

− =− + − =

troviamo nuovamente (x,y) = (2,2).

Nei punti di estremo di una fun-zione di due variabili, le deri-vate parziali nelle direzioni x

e y sono entrambe zero.

le due soluzionisono uguali!



applicazioni all’economia

Paul Douglasera un senatore

dell’illinois elettoin parlamento dal

1949 al 1966.

Era stato un eco-nomista e nel 1927

si era posto il pro-blema della distri-

buzione del PiLtra capitale e

lavoro.

in quale modo?

Ci sono sostanzial-mente due modi per

dividere il Prodotto interno Lordo, cioè la produzione com-

plessiva di unpaese, tra i suoi

abitanti.

il primo è pagando gli stipendi!

il secondo è sotto for-ma di dividendi agli azio-nisti e beni strumentali, come apparecchiature e

macchinari.

203

f L K L K,( ) = −β α α1

Applicazionii all’economia

Douglas studiò il rap-porto tra lavoro e

quote di capitale negli Stati Uniti e scoprì che era rimasto costante

per circa 40 anni.

Circa il 70% (0,7) del PiL veniva distribuito sotto forma di retribuzione

del lavoro e il 30% (0,3) come dividendi azionari

ai proprietari.

Strano che questo rapporto non fos-se cambiato, con una situazione economica in continua trasfor-

mazione.

Ti piacerebbe sapere com’è fatta la funzio-ne f(L,K) che fornisce

un simile risultato, vero?

AncheDouglas era

perplesso, così si consultò col matema-

tico Charles Cobb.

La funzione che trovarono, fu la celebre funzione di Douglas-Cobb. L rappresenta il lavoro, K il capi-tale e β e α sono

costanti.

Funzione di Douglas-Cobb

Quindi adessoparleremo unpo’ del miostipendio?

Okay, è un’ottimaapplicazione delle fun-

zioni di due variabili.

204

Per prima cosa, supponiamo che gli stipendi si misurino in unità w, e il capitale in unità r. Ipotizziamo che la produzione del paese sia rappresentata dalla funzione f(L,K) e che il paese agisca in modo da massimizzare il prof-itto. L’utile (o profitto) P è allora dato dall’equazione:

P f L K wL rK= ( ) − −,

Siccome i valori di L e K vengono selezionati dall’attività d’impresa in modo da massimizzare P, otteniamo le seguenti condizioni per gli estremi:

∂∂

= ∂∂

=

= ∂∂

= ∂∂

−∂ ( )∂

−∂ ( )∂

= ∂∂

− ⇒ = ∂∂

= ∂∂

PL

PK

PL

fL

wL

L

rK

LfL

w wfL

PK

0

0

0 == ∂∂

−∂ ( )∂

−∂ ( )∂

= ∂∂

− ⇒ = ∂∂

fK

wL

K

rK

KfK

r rfK

u

v

Le relazioni all’estrema destra significano quanto segue:

w = stipendi = derivata parziale della funzione di produzione rispetto a L

r = quota di capitale = derivata parziale della funzione di produzione rispetto a K

Il compenso complessivo che la popolazione riceve è stipendi × lavoro = wL. Se questo valore rappresenta il 70% del PIL abbiamo

w wL f L K= ( )0 7, ,

Analogamente, l’introito complessivo incamerato dagli azionisti del capitale è

x rK f L K= ( )0 3, ,

Da u e w,

y ∂∂

× = ( )fL

L f L K0 7, ,

Da v e x,

z ∂∂

× = ( )fK

K f L K0 3, ,


205

Cobb determinò una f(L,K) che soddisfa queste equazioni:

f L K L K, , ,( ) = β 0 7 0 3

dove β è un parametro positivo che fotografa il livello tecnologico.Vediamo se soddisfa le condizioni.

∂∂

× =∂ ( )

∂× = ×

==

−( )fL

LL K

LL L K L

L K

ββ

β

0 7 0 30 3 0 3 1

0 7 0 3

0 7

0 7

0

, ,. .

, ,

,

,

,7

0 3

0 3

0 7 0 3

0 7 0 7 1

0

f L K

fK

KL K

KK L K K

L

,

,

,

, ,

, ,

,

( )

∂∂

× =∂ ( )

∂× = ×

=

−( )ββ

β 77 0 3

0 3

K

f L K

,

, ,= ( )

Applicazionii all’economia

Direi proprio di sì.

in questo modo, le deri-vate parziali svelarono una legge misteriosa

nascosta tra le pieghe dell’economia su larga scala che governa la ricchezza di un paese.

Dietro le quinte le derivate par-ziali si danno da

fare, eh?

206

funzione composta in più variabili

A pagina 14 abbiamo visto la regola per la derivata della funzione composta di funzioni di una variabile

y f x z g y z g f x

g f x g f x f x

= ( ) = ( ) = ( )( )( )( )′ = ′ ( )( ) ′ ( )

, , ,

Supponiamo che z sia una variabile delle due funzioni x e y, nella forma z=f(x,y), e che sia x che y siano funzioni di un’unica variabile t, nella forma x=a(t), y=b(t). Allora possiamo esprimere z come funzione dellasola variabile t.

La relazione avrà la forma

z f x y f a t b t= ( ) = ( ) ( )( ), ,

Cosa sarà allora dz—dt ?

Poniamo a(t0) = x0, b(t0) = y0 e f(x0, y0) = f(a(t0), b(t0)) = z0 per t = t0, e con-sideriamo solo intorni di t0, x0, y0, and z0.

Se trovassimo un α per cui

u z z t t− ≈ × −( )0 0α

Allora sarebbe un candidato per dz—dt (t0).

t

a

b

x

y

f z


funzione composta in più variabili

Ora ricaveremo la formula per le derivate parziali di funzioni compo-

ste in più variabili.

207

Intanto, dall’approssimazione di x = a(t),

v x xdadt

t t t− ≈ ( ) −( )0 0 0

Analogamente, per y = b(t),

w y ydbdt

t t t− ≈ ( ) −( )0 0 0

Ora, per la formula del differenziale totale di una funzione di due variabili, f(x,y),

x z zfx

x y x xfy

x y y y− ≈ ∂∂

( ) −( ) + ∂∂

( ) −( )0 0 0 0 0 0 0, ,

Sostituendo v e w in x,

y z zfx

x ydadt

t t tfy

x ydbdt

t t t− ≈ ∂∂

( ) ( ) −( ) + ∂∂

( ) ( ) −( )

= ∂

0 0 0 0 0 0 0 0 0, ,

ffx

x ydadt

tfy

x ydbdt

t t t∂

( ) ( ) + ∂∂

( ) ( )

−( )0 0 0 0 0 0 0, ,

Dal confronto tra u e y, ricaviamo

α = ∂∂

( ) ( ) + ∂∂

( ) ( )fx

x ydadt

tfy

x ydbdt

t0 0 0 0 0 0, ,

Che è quello che volevamo!Da cui la formula:

formula 6.1 – derivata della funzione composta

Se z f x y x a t y b t= ( ) = ( ) = ( ), , ,

dzdt

fx

dadt

fy

dbdt

= ∂∂

+ ∂∂

derivata della funzione composta


che ne dice se adesso facessi lezione io, Mr.

Seki?

Uh, okay. Sarà divertente

tornare die-tro i banchi.

Okay! Useremo una funzione in più varia-bili per studiare…

...un problemaambientale!

!

Supponiamo di avere una fabbrica che emette sco-rie come sottoprodotto della produzione di beni di consumo. Le scorie inquina-no il mare, provocando una

diminuzione della pesca.

impianto

Le ricadute di un’attività produttiva su altri settori,

senza transitare attra-verso il mercato, come in questo caso, vengono chiamate esternalità. in

particolare, le esternalità dannose, come l’inquina-

mento, sono detteesternalitànegative.

impianto

Supponiamo che x lavoratori producano una quantità f(x) di beni. Durante il processo produttivo, gli impianti rila-sciano scorie, con ricaduta sulla pescosità nell’area.

Sia b=b(f(x))la quantità discorie. Ora…

209Noriko sale in cattedra!

Supponiamo che il pescato sia espresso da una funzione di due variabili g(y, b) della quantità di lavoro y di scorie b.

(la pescosità diminuisce con l’aumento di b, quindi, ∂g—∂b

è negativa.)

Poiché dipende dalla variabile x nella forma g(y, b) = g(y, b( f(x)), la produzione dell’impianto influenza direttamente l’attività dell’industria ittica, senza passare per il mercato. Si tratta quindi di un’esternalità.

Per cominciare, vediamo cosa succede quando sia l’impianto industriale che il comparto dell’ittico agiscono (egoisticamente) unicamente per il proprio torna-conto. Se per entrambi il costo del lavoro è w, il prezzo del bene prodotto dall’im-pianto è p e il prezzo del pesce è q, l’utile per l’impianto è dato da

P x pf x wx1 ( ) = ( ) −L’industria vuole quindi massimizzare questa funzione, e le condizioni

per gli estremi sono

dPdx

pf x w pf x w1 0= ′ ( ) − = ⇔ ′( ) =

Sia s una soluzione dell'equazione:

pf s w′ ( ) =Questa s è quindi la quantità di lavoro utilizzata dall’impianto, la produ-

zione è f(s) e la quantità delle scorie è data da

b b f s* = ( )( )L’utile per l’industria ittica è dato da

P qg y b wy2 = ( ) −,

Siccome la quantità di scorie industriali è data da b* = b( f(s)),

P qg y b wy2 = ( ) −, *

che in pratica è una funzione in y di una sola variabile. Per massimizzare P2, imponiamo la condizione per gli estremi di una funzione di due variabili solo nella variabile y

∂∂

= ∂∂

( ) − = ⇔ ∂∂

( ) =Py

qgy

y b w qgy

y b w2 0, * , *

La quantità ottimale di lavoro t sarà quindi

qgy

t b w∂∂

( ) =, *

210

La produzione industriale e la quantità di pescato quando entrambi i settori agiscono liberamente secondo questo modello è data da f(s) e g(t,b*), rispettivamente, dove s e t soddisfano le condizioni

pf s w

b b f s qgy

t b w

′ ( ) =

= ( )( ) ∂∂

( ) =* , , *

P3 è una funzione di due variabili in x e y, perciò la condizione per gli estremi è data da

La prima derivata parziale si calcola così

∂∂

= ′ ( ) +∂ ( )( )( )

∂−

= ′ ( ) + ∂∂

( )( )( ) ′

Px

pf x qg y b f x

xw

pf x qgb

y b f x b f

3,

, xx f x w( )( ) ′ ( ) −

(abbiamo usato la regola della funzione composta)

∂∂

=∂∂

=Px

Py

3 3 0


Riassumendo

E adesso, Mr. Seki, verifichiamo se questo sia il risultato ideale per la società nel suo complesso. Pren-dendo in considerazione entrambi i

comparti, quello che vogliamo fare è massimizzare il profitto di entrambi.

P pf x qg y b f x wx wy3 = ( ) + ( )( )( ) − −,

211Noriko sale in cattedra!

Quindi,

∂∂

= ⇔ + ∂∂

( )( )( ) ′ ( )( )

′ ( ) =Px

p qgb

y b f x b f x f x w3 0 ,

Analogamente,

∂∂

= ⇔ ∂∂

( )( )( ) =Py

qgy

y b f x w3 0 ,

Se i valori ottimali del lavoro per il comparto ittico e per l’industria sono T ed S rispettivamente, soddisferanno le condizioni

p qgb

T b f S b f S f S w

qgy

T b f S w

+ ∂∂

( )( )( ) ′ ( )( )

′ ( ) =

∂∂

( )( )( ) =

,

,

Queste equazioni hanno un aspetto complicato ma in realtà solo solo equazioni simultanee in due variabili.

Se le confrontiamo con e , vediamo che e sono diverse, mentre e sono la stessa equazione. In che cosa sono diverse, allora?

p f s w

p f S w

× ′ ( ) =+( ) × ′ ( ) =

E come vedete, nell’espressione ha fatto la sua comparsa .

Dato che = ∂∂

′ ( )( )

qgb

b f S è negativo, p + è minore di p.

Quindi da e ricaviamo che f’(S) è maggiore di f’(s).

f(x)

xsS

Pendenza f ′ grande.

Pendenza f ′ piccola.

Supponiamo che il grafico

di f abbia que-sto andamento

Se i valori ottimali del lavoro per il comparto ittico e per l’industria sono T ed S rispettivamente, soddisferanno le condizioni

212

A beneficio della società, l’industria dovrebbe ridurrela produzione daS a s, nel caso diattività puramente

egoistica.

Se da un lato ilvantaggio sociale

raggiunge un massimo all’intersezione della curva della domanda e

dell'offerta*, che rappre-senta le attività egoistiche, questo non accade in pre-

senza di esternalità negati-ve, come per esempio

– in questo caso –l'inquinamento.

*come visto a pagina 105

Esistono quindimezzi praticabili per indurre l’a-zienda a ridurre spontaneamentela produzione

da S a s?in un’economia

pianificata, o socia-lista, il governo può costringere l’azienda a farlo

per legge.

Un altrostrumento è la

tassazione.

il governo tassa l’azienda propor-zionalmente alla

produzione.

Di solitosi parla di

tassa ambien-tale.

impianto

Tasse

Per porre rimedio al riscaldamento globale,

per esempio, si è discusso di una carbon tax sulle emissioni di carbonio.

Carbonio

Carbonio

impianto

Tasse

Tasse


213

− = − ∂∂

′ ( )( ) qgb

b f S

P x pf x wx f x1 ( ) = ( ) − − − ( )( )

∂∂

= ′ ( ) − + ′ ( ) = ⇔ +( ) ′ ( ) =Px

pf x w f x p f x w1 0

Supponiamo che la tassa sull’unità di bene pro-

dotto dalla fabbrica sia-

Questa è unacostante positiva.

Perciò il profitto , nel caso di attività EGOiSTiCHE, assume

questa forma:

La condizione per massimizzarlo è

Ora, e sono la stessa equazione e la produzione

massimizza il vantaggio sociale.

La tassazione ordi-naria (imposta sul reddito, sui consu-mi, eccetera) serve per gli investimenti

pubblici...

Una tassa ambienta-le è finalizzata alla tutela dell’ambiente attraverso il con-trollo dell’eco-

nomia.

Tutto chiaro, Mr. Seki?

Noriko sale in cattedra!

214

Sì...

Maestro.

La matematicaè bellissima.


215

Appartamento di Noriko, alcuni giorni dopo.

Fiuuu.

Direi che conle scatole hoquasi finito.

Eccoti qua,Noriko! incarico

Una lettera d’incarico...

anche per me? Non se ne va solo lei?

AncheFutoshi.

Gliel’ho già detto.

il giornaleha deciso di

chiudere la reda-zione di Sanda.

un nuovo incarico

SOGG I O RNO

CAME RA

DA L ET TO

216

Ti farannosapere presto

la tuadestinazione.

Non avrei mai pensato di an-dare a lavora-re a Okinawa.

TRASFERiMENTO

A OKiNAWA

Non sapevo neppure che a

Okinawa avessimo una redazione.

Un regalo per te. Usala per scrivere dei buoni servizi.


217

Serv

izio

: am

bie

nte

ed

eco

no

mia

Le scuse dellaBurnham Chemical L’inquinamento di Ox Bay

Imminente unaccordo con le

cooperativedei pescatori.

Addio...

un nuovo incarico

CUC INA

CUC INA

218

derivate delle funzioni implicite

Consideriamo i punti di coordinate (x,y) nei quali una funzione di due variabili f(x,y) assume il valore costante f(x,y)=c. Quando una parte di questi punti può essere vista come il grafico di una funzione di una singola variabile y=h(x), la h viene detta funzione implicita. Per una funzione implicita vale la relazione f(x,h(x))=c per tutti gli x per cui è definita. Ora cercheremo di ricavarla.Data z=f(x,y), per la formula dei differenziali totali abbiamo dz = fxdx +fydy. Nell’insieme dei valori (x,y) per cui f(x,y)=c il valore di f non cambia, l’incre-mento di z è 0 e quindi anche il suo differenziale dz=0. Abbiamo quindi 0=fxdx + fydy. Se richiediamo che fy ≠ 0, operando formalmente otteniamo

dydx

ffx

y

= −

Il membro sinistro è l’espressione formale dell’incremento di f diviso per quello di x nel punto (x,y). Per definizione, è la derivata di h in x. Quindi

′ ( ) = −h xffx

y

ESEMPio

f(x,y) = r2, dove f(x, y) = x2 + y2, rappresenta un cerchio di raggio r con centro nell’origine. In un intorno di un punto per cui x2 ≠ r2, possiamo risolvere l’equazione f(x, y) = x2 + y2 = r2 e determinare la funzione impli-cita y = h(x) = r2 − x2 oppure y h x r x= ( ) = − −2 2 . Poi, grazie alla formula, la derivata sarà data da

′ ( ) = − = −h xff

xy

x

y

Esercizi

1. Ricavare fx e fy per f(x, y) = x2 + 2xy + 3y2.

2. Data l’accelerazione gravitazionale g, il periodo T di un pendolo di lun-ghezza L è dato da by

TLg

= 2≠

(l’accelerazione gravitazionale g varia a seconda della distanza dal suolo).Ricavare l’espressione per il differenziale totale di T.Se L aumenta dell’1% e g diminuisce del 2%, di quale percentuale aumen-terà T?

3. Usando la regola della funzione composta, ricavare in maniera diversa il differenziale della funzione implicita h(x) di f(x,y)=c.


219

Epilogo. A cosa serve la matematica?

220

Aeroporto Naha Fiuuu, che caldo!

Dovunque mi man-dino, farò sempre del mio meglio.

Vediamo, dov’è la redazione dell’Asagake

Times?

epilogo

221a cosa serve la matematica?

Redazione di Okinawa dell’Asagake Times.

Questa situazione non mi è per niente

nuova!

TU?!?

Non sarai mica tu il

redattore capo,

vero?!?

Ci manche-rebbe! An-ch’io sono appena arri-vato dall’ae-

roporto.

Oh,stupendo!

Ma non sei qui

da abbastanza tem-

po per metterti a

dormire!! Razza di

pigrone!

iiik!

Chi è il responsa-bile della reda-

zione?

trot

trot

G o n n n g !

222 epilogo

Mi scusi, sa dov’è il respon-

sabile?

Oh, non fa altro che nuotare.

Sei arrivata!

Pat

Pat

Pat

223a cosa serve la matematica?

Mr. Seki!!! Mr. Seki!!

Ho deciso di trascorrere un altro anno in un posto caldo a

pensare alle mie cose.

Wow!Mangerò tutta

Okinawa!

Ho scoperto a cosa serve la matematica, Mr.

Seki!

Davvero?

224 epilogo

Serve a esprimere quello che non può essere detto con

le parole.

Molto bene, Noriko, supponiamo che l’o-rizzonte sia l’asse

delle x... Cosa?! Cosa c’è per cena? Mmm... gli spaghetti vanno

benissimo.

Domani sarà un’altra giornata

meravigliosa.

Eh eh eh

225

ASoluzione degli esercizi

Prologo

1. Sostituendo

y x z y z x= −( ) = − = −( ) −59

32 7 30359

32 30in ,

Capitolo 1

1. a. f(5) = g(5) = 50 b. f ′(5) = 8

2. lim lim lim

li

e e e

ee

ee

e e ee→ → →

+( ) − ( )=

+( ) −= + +

=

0 0

3 3

0

2 2 33 3f a f a a a a a

mme

e e→

+ +( ) =0

2 2 23 3 3a a a

Perciò la derivata di f(x) è f′(x) = 3x2.

Capitolo 2

1. La soluzione è

′ ( ) = −( )′( )

= − = −−

+f xx

x

nxx

nx

n

n

n

n n2

1

2 1

soluzione degli esercizi

A SOLUZiONi DEGLi ESERCiZi

226

2. ′ ( ) = − = −( ) +( )f x x x x3 12 3 2 22

Per x < −2, f ′(x) > 0, per −2 < x < 2, f ′(x) < 0, e per x > 2, f ′(x) > 0. Quindi per x = −2, abbiamo il massimo f(−2) = 16, e in x = 2, il minimo f(2) = −16.

3. Poiché f(x) = (1 − x)3 è una funzione g(h(x)) composta di g(x) = x3 e h(x) = 1 − x abbiamo.

′ ( ) = ′ ( )( ) ′ ( ) = −( ) −( ) = − −( )f x g h x h x x x3 1 1 3 12 2

4. Derivando g(x) = x2(1 − x)3 otteniamo

′ ( ) = ( )′ −( ) + −( )( )′= −( ) + − −( )( )= −( )

g x x x x x

x x x x

x x

2 3 2 3

3 2 2

1 1

2 1 3 1

122

2

2 1 3

1 2 5

025

1 1 0

−( ) −( )= −( ) −( )′ ( ) = = ( ) =

x x

x x x

g x x x gquando o , e .=

Ha quindi il massimo g x25

1083125

25

= =in

CAPitolo 3

1. Le soluzioni sono

u 3 3 1 262

1

3 3

1

33 3x dx x∫ = = − =

v x

xdx x

xdx xdx

xdx

3

22

4

22

4

22

4

2

4

2 2

1 1 1

12

4 21

+ = +

= +

= −( ) −∫ ∫ ∫∫

4424

254

−

=

w x x dx x x dx xdx+ +( ) + − +( ) = = − =∫ ∫ ∫1 1 2 5 0 252

0

5 72

0

5 72 2

0

5

appendice a

227

a. L’area tra il grafico di y = f(x) = x2 − 3x e l’asse delle x è data da

− −∫ x xdx2

0

33

b. − − = − −

= − −( ) + −( ) =∫ x xdx x x2

0

3 3 2

0

33 3 2 23

13

32

13

3 032

3 092

capitolo 4

1. La soluzione è

tansencos

sen cos sen cos

cos

cos

xxx

x x x x

x

x

( )′ =

′=( )′ − ( )′

=

2

2 + =sencos cos

2

2 2

1xx x

2. Poiché

tancos

costan tan

xx

xdx

( )′ =

= − =∫

1

14

0 1

2

20

4≠ ≠

3. Da

′ ( ) = ( )′ + ( )′ = + = +( )f x x e x e e xe x ex x x x x1

il minimo è

fe

−( ) = −11

4. Ponendo f(x) = x2 e g(x) = ln x, integrando per parti.

x xdx x x dx e ee e2

1

2

1

2 1( )′ + ( )′ = −∫ ∫ln ln ln ln


2.

L’area tra il grafico di y=f(x)=x2-3x e l’asse delle x è data da

228

Da cui,

21

1

2 2

1x xdx x

xdx e

e eln + =∫ ∫

212

1

12

1

2

1

2 2 2

2

x xdx xdx e e e

e

e eln = − + = − −( ) +

=

∫ ∫ ++ 1

2

capitolo 5

1. Per

f x e f x e f x e f x e

f f

x x x x( ) = ′ ( ) = − ′′ ( ) = ′′′ ( ) = −

( ) = ′ (

− − − −, , ,

,

0 1 0)) = − ′′ ( ) = ′′′ ( ) = −

( ) = − + − +

1 0 1 0 1

112

13

2 3

, , ...

! !...

f f

f x x x x

2. Deriviamo

f x x f x x x

f x x x

( ) = ( ) ′ ( ) = ( )′′ ( ) = ( ) ( ) +

− −

−

cos , cos sen

cos sen co

1 2

3 22 s cos

cos sen cos

x x

x x x

( )= ( ) ( ) + ( )

−

− −

2

3 2 12

Da cui f f f0 1 0 0 0 1( ) = ′ ( ) = ′′ ( ) =, ,

3. Procedere esattamente come a pagina 155, derivando più volte f(x). Poiché lo sviluppo è centrato in x = a, sostituendo a troverete i cn. Dovete ritrovare cn = 1/n! f (n)(a), come nella formula di pagina 159.

appendice a

229

Capitolo 6

1. Per f(x, y) = x2 + 2xy + 3y2, fx = 2x + 2y, e fy = 2x + 6y.

2. Il differenziale totale di

TLg

g L= =−

2 212

12π π

è dato da

dTTg

dgTL

dL g L dg g L dL= ∂∂

+ ∂∂

= − +− − −

π π32

12

12

12

Perciò,

∆ ≈ − ∆ + ∆− − −

T g L g g L Lπ π32

12

12

12

Sostituendo Δg = −0,02g, ΔL = 0,01L, abbiamo

∆ ≈ +

= = =

− − −

−

T g L g g L L

g LT

T

0 02 0 01

0 03 0 032

0 015

32

12

12

12

12

12

, ,

, , ,

π π

π

Quindi T aumenta dell’1,5%.

3. Supponiamo che y = h(x) sia la funzione implicita di f(x, y) = c.

4. Poiché il membro destro è costante per tutti i valori di (x,y) in esame, in un intorno di x abbiamo f(x,h(x))=c.

dfdx

dfdx

f f h xx y= = + ′ ( ) =0 0,

Perciò

′ ( ) = −h xffx

y


Per la formula della funzione composta

231

Bprincipali formule, teoremi e funzioni

che trovate in questo libro

equazioni lineari

L’equazione di una retta di pendenza m passante per il punto (a,b):

y m x a b= −( ) +

derivazione

coefficienti di derivazione

′ ( ) = +( ) − ( )→

f af a h f a

hhlim

0

Derivata

′ ( ) = +( ) − ( )→

f xf x h f x

hhlim

0

Altri simboli per la derivata

dydx

dfdx

ddx

f x, , ( )

derivata del prodotto per una costante

α αf x f x( ){ }′ = ′ ( )

DERiVATA DELLA POTENZA N-ESiMA

x nxn n{ }′ = −1

232

DERiVATA DELLA SOMMA

f x g x f x g x( ) + ( ){ }′ = ′ ( ) + ′ ( )

derivata del prodotto

f x g x f x g x f x g x( ) ( ){ }′ = ′ ( ) ( ) + ( ) ′ ( )

derivata del quoziente

g x

f x

g x f x g x f x

f x

( )( )

′=

′ ( ) ( ) − ( ) ′ ( )( ){ }2

Derivata della funzione composta

g f x g f x f x( )( ){ }′ = ′ ( )( ) ′ ( )

derivata della funzione inversa

Con y = f(x) e x = g(y)

′ ( ) = ′ ( )g yf x

1

Estremi

Se y=f(x) ha un massimo o un minimo in x=a, allora f’(a)=0 Se f’(a)>0, allora y=f(x) aumenta in un intorno di x=aSe f’(a)<0, allora y=f(x) diminuisce in un intorno di x=a

Teorema del valor medio

Dati a, b (a < b), allora esiste c con a < c < b, e tale che

f b f c b a f a( ) = ′ ( ) −( ) + ( )

derivate di funzioni importantifunzioni trigonometriche

cos sen , sen cosθ θ θ θ{ }′ = − { }′ =

appendice b

233

funzioni esponenziali

e ex x{ }′ =

funzioni logaritmiche

log xx

{ }′ = 1

integrali

integrali definiti

Se F′(x) = f(x)

f x dx F b F aa

b ( ) = ( ) − ( )∫

integrazione sull’unione degli intervalli

f x dx f x dx f x dxa

b

b

c

a

c( ) + ( ) = ( )∫ ∫ ∫

integrale della somma

f x g x dx f x dx g x dxa

b

a

b

a

b( ) + ( ){ } = ( ) + ( )∫ ∫ ∫

integrale del prodotto per una costante

α αf x dx f x dxa

b

a

b( ) = ( )∫ ∫

integrale per sostituzione

Se x = g(y), b = g(β ), a = g(α )

f x dx f g y g y dya

b ( ) = ( )( ) ′ ( )∫ ∫αβ

integrale per parti

′ ( ) ( ) + ( ) ′ ( ) = ( ) ( ) − ( ) ( )∫ ∫f x g x dx f x g x dx f b g b f a g aa

b

a

b

principali formule teoremi e funzioni che trovate in questo libro

234

Sviluppi di taylor

Se f(x) ammette uno sviluppo di Taylor in un intorno di x = a, allora

f x f a f a x a f a x a

f a x a

( ) = ( ) + ′ ( ) −( ) + ′′ ( ) −( )

+ ′′′ ( ) −( ) +

11

12

13

2

3

! !

!....

!...+ ( ) −( ) +( ) ( )1

nf a x an n

sviluppo di taylor di varie funzioni

cos! !

...!

...

sen! !

x x xn

x

x x x x

n n= − + + + −( ) ( ) +

= − +

112

14

11

2

13

15

2 4 2

3 55 1 2 1

2 3 4

11

2 1

111

12

13

14

+ + −( )−( ) +

= + + + +

− −...!

...

! ! ! !

n n

x

nx

e x x x x ++ + +

+( ) = − + − + + −( ) ++

...!

...

ln ... ..

1

112

13

14

112 3 4 1

nx

x x x x xn

x

n

n n ..

derivate per funzioni di più variabili

Derivate parziali

∂∂

=+( ) − ( )

∂∂

=+( ) − ( )

→

→

fx

f x h y f x y

h

fy

f x y k f x y

k

h

k

lim, ,

lim, ,

0

0


dzzx

dxzy

dy= ∂∂

+ ∂∂

derivata parziale della funzione composta

Se z = f(x, y), x = a(t), y = b(t)

dzdt

fx

dadt

fy

dbdt

= ∂∂

+ ∂∂

appendice b

indice

Aalgebra, 74, 173, 201antitrust (leggi), 44,

46–47, 52, 58approssimare le

funzioni lineari, 26, 30, 34, 39, 41, 65, 72, 111, 161

approssimazione - con le funzioni, 16–26,

48- cubica, 161–162- lineare, 161- quadratica, 152,

161–162, 174, 178- valore esatto, 89–94

Bballo dell'analisi,

128–129binomiale, - distribuzione, 167–169- sviluppo, 150bit, 131–132

Ccalcolo, teorema

fondamentale del. (v. teorema fondamentale del calcolo)

causalità, 8, 13, 14causa ed effetto, 181convergenza (intervallo

di), 154, 159circonferenza, 24,

119–120Cobb-Douglas, - funzione di, 183, 203coefficienti, 35, 49, 72,

75, 76, 112, 155, 175- differenziali di, 39–40,

49, 231

computer, bit, 131–132condizioni per gli

estremi, 64, 199–201 (v. anche punti estremanti)

conversioni unità di misura, 13

costante (moltiplicazione per una), 62, 76, 231, 233

costante di Eulero, 137n

costante positiva, 213coseno,- funzioni, 118, 122–129criteri per funzioni

crescenti o decrescenti, 65–71

cubica, - approssimazione,

161–162- funzione, 150curva della domanda,

101, 103–105, 212curva dell'offerta, 101,

102–103, 105, 212

Ddeflazione, 19–20delta (simbolo), 91domanda (curva della),

101, 103–105, 212densità (funzione di),

108, 166densità costante, 82–86derivata di una potenza,

142derivata di un prodotto,

53–59, 62, 74, 143, 232

derivate,- calcolo delle, 39–41,

75, 76, 231- definizione di, 39

- di funzioni di grado N, 62–63, 155, 231

- primitive, 90, 112, 143derivate parziali, 193,

195–198, 201, 204, 210, 234

- cenni introduttivi, 191–198

- condizioni per gli estremi, 199–201

- definizione, 196–198- differenziale totale,

197–198, 207, 218, 229, 234

- di funzioni implicite, 218

- di funzioni composte, 142, 206–211, 218, 229, 234

- economia (applicazioni in), 202–205

derivazione,- coefficienti di, 39–40,

49, 231- formule di, 74–76,

231–232- funzione composta

(derivata della), 75, 76, 142, 206–211, 218, 229, 234

- funzione di grado N (derivate di), 62–63, 155, 231

- funzioni inverse, 75, 76

- integrale di funzioni trigonometriche, 128, 129, 232

- moltiplicazione per una costante, 62, 76, 231, 233

- polinomi (derivata dei), 62

236 indice

- potenza (derivata di), 142

- prodotto (derivata di), 53–59, 62, 74, 143, 232

- punti estremanti, 64, 78, 102, 103n, 199–201, 200n, 204, 209–210, 213, 232

- quoziente (derivata di) 74, 76

- somma (derivata di) 47, 48–52, 62, 76, 232

deviazione standard, 169–170

differenziali totali, 197–198, 207, 218, 229, 234

distribuzione- binomiale, 167–169- normale, 166–168,

175, 176domanda.- curva della, 101,

103–105, 212- e offerta, 55, 101, 104

Eeconomia, 101, 132–

133, 183, 202–205errore relativo, 27–30,

35, 39, 41, 192–195, 194n

esercizi- calcolare le derivate,

41- derivate parziali, 218- formule delle derivate,

76- funzioni (sostituzione

di), 14- integrali, 113, 144- soluzioni, 225–229- sviluppo di Taylor, 178

Fformule e regole (v.

anche teoremi),- approssimazione

quadratica, 161–162, 174, 178

- derivata della somma, 47, 48–52, 62, 76, 232

- derivate delle funzioni composte, 142, 206–211, 218, 229, 234

- derivate di funzione di grado N, 62–63, 155, 231

- derivata di un prodotto, 53–59, 62, 74, 143, 232

- derivata di un quoziente, 74, 76

- derivata di una potenza, 142

- di derivazione, 74–76, 231–232

- funzione composta, 75, 76

- funzioni esponenziali, 133–135, 140–141, 160, 233, 234

- funzioni inverse, derivate di, 75, 76

- funzioni logaritmiche, 134, 140, 160, 233, 234

- integrale di una potenza, 112

- integrali, 95, 106–107, 111–112

- integrali della somma, 95, 233

- integrali definiti, 233- integrazione per parti,

143–144, 233- integrazione per

sostituzione, 111–112, 233

- moltiplicazione per una costante, 62, 76

- sviluppo binomiale, 150

- sviluppo di Taylor, 159, 234

- funzioni trigonometriche (derivate e integrazioni di), 128, 129, 232

funzioni, 32–38, 183–185, 191–192, 200, 206, 207, 209–211, 218.

(v. anche funzioni a due variabili; funzioni esponenziali; funzioni lineari; funzioni logaritmiche; funzioni trigonometriche)

- approssimare con, 16–26

- approssimate lineari, 26, 30, 34, 39, 41, 65, 72, 111, 161

- caratteristiche di, 13- cenni introduttivi,

8–14- Cobb-Douglas, 183,

203- complesse in più

variabili, 184, 191- composizione di, 14- composte, 75, 76- coseno, 118, 122–129- costanti, 40, 65- cubica, 150- curva della domanda,

101, 103–105, 212- curva dell'offerta, 101,

102–103- densità, 108, 166- di distribuzioni, 108

237

- di grado N, 62–63, 155, 231

- di più variabili, 180–183, 206, 208

- esponenziali, 13, 131–132, 140–141, 160, 233, 234

- implicite, 218- inverse, 75, 76, 134,

138–141, 138n, 232- lineari approssimanti,

39, 87, 88, 150–151, 184, 192, 194–195, 194n, 197, 200

- logaritmiche, 131, 134–135, 140–141, 160, 233, 234

- quadratica, 40, 150, 151–153

- seno, 127–129funzioni a due variabili,

183–185, 191–192, 200, 206, 207, 209–211, 218

funzioni esponenziali, 13, 131–132, 140–141, 160, 233

- sviluppo di Taylor, 160, 234

funzioni lineari - a due variabili, 184–

187, 190–192- a più variabili, 184,

191- approssimare, 39, 87,

88, 150–151, 184, 192, 194–195, 194n, 197, 200

- approssimate, 30, 34, 39, 41, 65, 72, 111

- calcolare la derivata di, 40

- cenni introduttivi, 13, 34, 39–41

- variabili, 184–192

funzioni logaritmiche, 131, 134–135, 140–141, 160, 233, 234

- sviluppo di Taylor delle, 160, 234

funzioni trigonometriche

- derivazione e integrazione di, 128, 129, 232

- integrali con, 125- sviluppo di Taylor di,

160, 234- utilizzo di, 116,

118–124

Ggas serra, 79–81

Iinfinito - polinomi di ordine,

153–154, 159- tendere a, 168integrali (formule), 95,

106–107, 233integrali- definiti, 93, 95, 108,

111, 113, 154, 233- di funzioni

trigonometriche (derivazione e integrazione di), 128, 129, 232

- di potenze, 112- di somme, 95, 233- formule di, 233integrazione - per parti, 143–144, 233- per sostituzione,

111–112, 233intervallo di

convergenza, 154, 159

inversa

- funzione, 75, 76, 134, 138–141, 138n, 232

- proporzione, 139

Lleggi antitrust, 44,

46–47, 52, 58lineare - approssimazione, 161- equazioni, 231- espressioni, 20, 26- funzione (v. funzioni

lineari)log (simbolo), 134logaritmo naturale, 140,

141

Mmassimi/minimi,

64–65. (v.anche punti estremanti)

monopolio, 54–58

Oofferta- curva della, 101,

102–103, 105, 212- e domanda, 55, 101,

104

Ppendenza, 26, 39–40,

72–73, 186–187, 192–193, 211, 231

polinomi- derivata dei, 62- di ordine infinito,

153–154, 159- di ordine superiore,

153, 175potenza (integrale di

una), 112primitive, 90, 112, 143probabilità

(distribuzione delle), 165–168, 177

indice

238 indice

prodotto (derivata del), 53–59, 62, 74, 143, 232

prodotto interno lordo (PIL), 202

proporzioni proporzioni, 139

punti estremanti, 64, 78, 102, 103n, 200n, 204, 209–210, 213, 232

- condizioni per il teorema, 64, 199–201

- massimo/minimo, 64–65

Qquadratica - approssimazione, 152,

161–162, 174, 178- funzione, 40, 150,

151–153quoziente (derivata di

un), 74, 76

Rradiante, 119–120, 124radice quadrata, 107- sviluppo di Taylor di,

160, 234regole. (v. formule e

regole)relazione, 9–10, 13, 89,

134, 181, 206

Sseno (funzioni),

127–129sigma (simbolo), 91-92somma - derivata della, 47,

48–52, 62, 76, 232- integrale della, 95, 233sostituzione

(integrazione per), 111–112, 233

sviluppo binomiale, 150sviluppo di Taylor- cenni introduttivi,

149–156, 161–162- come ricavarlo, 155- della radice quadrata,

160, 234- di funzioni

esponenziali, 160- di funzioni

logaritmiche, 160, 234

- di funzioni trigonometriche, 160, 234

- formule di, 159, 234

Ttangenti (linee), 34, 40,

72n, 73, 126, 161tasse ambientali, 212tasso di variazione, 40Taylor (sviluppo di),- cenni introduttivi,

149–156, 161–162- come ricavarlo, 155- della radice quadrata,

160, 234- di funzioni

esponenziali, 160- di funzioni

logaritmiche, 160, 234

- di funzioni trigonometriche, 160, 234

- formule di, 159, 234teorema fondamentale

del calcolo- applicazioni, 101–108- spiegazione, 82–90- riassunto del, 110–112- utilizzi, 91–93,

142–144teoremi

- condizioni per punti estremanti, 64, 199–201

- criteri per funzioni crescenti o decrescenti, 65–71

- punti estremanti, 64, 78, 102, 103n, 199–201, 200n, 204, 209–210, 213, 232

- valor medio, 72–73, 94, 232

termini di ordine superiore, 153

Uunità di misura

(conversioni), 13

Vvalor medio (teorema

del), 72–73, 94, 232variazione, 27, 29velocità, 105, 106–107,

183

Xx (asse delle), 86, 93,

94, 108, 110, 113, 124, 224, 227

xn (potenza), 76

iL BAllO DEllE DERiVATE E DEGLi iNTEGRALi PER LE FUNZiONi TRiGONOMETRiCHE

Potrà sembrarvi pedan-tino e poco praticabile ma con questa canzone

diventerà facile!

Seno e coseno sono come un vortice! Di de-rivate e integrali sarò

l’ambasciatrice!

Da seno a coseno con la derivata!

Da coseno e seno con l’integrale!

Seno e coseno sono come un vortice, è così naturale!

Lo dice il calcolo inte-grale e differenziale.

L’AUTORE

Hiroyuki Kojima è nato nel 1958 e ha conseguito un dottorato di ricerca in Economia presso l’Università di Tokyo.È stato un apprezzato conferenziere e ora è Professore Associato presso la Facoltà di economia dell’Università Teikyo di Tokyo.È un economista di fama e un saggista prolifico, con al suo attivo un gran numero di pubblicazioni di matematica ed economia a livello base, divulgativo e accademico.

i manga delle scienze

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