Gli studi fluidodinamici di laboratorio e la tecnica PIV

Massimiliano Manfrin - Turlab, Dip. Fisica, Università di Torino - manfrin@ph.unito.it

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Importanza di poter riprodurre i fenomeni

naturali in laboratorio:

- Maggiore possibilità di controllare le condizioni

sperimentali e al contorno;

- Possibilità di eliminare o ridurre l’importanza di alcune

delle forze (analisi di scala) in azione potendo così scindere il

problema in sotto-problemi di più semplice interpretazione;

- Possibilità di variare alcuni parametri per verificarne

l’influenza/importanza;

- Fornire misure sperimentali per validare i modelli numerici;

- Ripetibilità dell’esperimento;

• Esperimenti in laboratorio devono quindi riprodurre opportunamente le condizioni naturali.

• Le tecniche di misura non dovrebbero essere intrusive né perturbative.

• Comunque la misura di per sé comporta una perturbazione che deve essere minimizzata per «non» influenzare il fenomeno osservato.

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Fenomeni naturali (prototipo) e riproduzioni in laboratorio (modello) >>> rappresentazione in laboratorio di fenomeni naturali a scale molto

diverse: dalla microscala alla scala sinottica, quindi dai cm alle migliaia di km.

Come far sì che lo studio di laboratorio sia rappresentativo del prototipo naturale?

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• Si dice che esiste similarità fra due quantità quando è possibile metterle in relazione attraverso una costante adimensionale (indipendente dal sistema di coordinate)

Teoria della similitudine

La tecnica della Similitudine

Nella riproduzione dinamica su modello di unfenomeno naturale occorre che il pattern del flussonel prototipo sia una copia ingrandita e non distortadel “pattern” del flusso nel modello.

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è necessario che, in corrispondenza di puntigeometricamente similari, le forze agenti sulleparticelle siano in rapporti fissi ad istantiomologhi di tempo.

Similarità dinamica

Se esiste similarità dinamica fra dueprocessi fisici, è possibile trasferire irisultati ottenuti per il primo al secondo, eviceversa («più facile a dirsi che non afarsi»……)

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Questo si traduce nella conservazione di alcune quantità adimensionali che vengono individuate da opportuni rapporti di forze

(le variabili sono variabili di scala).

Numero di Rossby: importanza della rotazione [U/(f*L)]; f

parametro di Coriolis

Numero di Reynolds: importanza della viscosità [UL/];

viscosità cinematica.

Ad esempio, nel moto dei grandi sistemi atmosferici, anticicloni e depressioni , si ha, alle nostre latitudini,

U= 10 m/s L= 1000 Km f=10-4

Ro=0.1

Se si vuole riprodurre su scale di laboratorio tale moto, riducendo la velocità a 0.1 m/s e la lunghezza a 10 m, f deve essere 0.1.

)sin(2

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Necessità per gli studi in laboratorio di avere anche

apparecchiature rotanti.

Perché una vasca rotante ?

Sulla Terra i processi atmosferici che

coinvolgono i fluidi (atmosfera e oceano)

si svolgono in un sistema di riferimento

rotante.

Presenza della forza di Coriolis: agisce

solo su una particella in moto perturban-

done la direzione del vettore velocità, ma

non il modulo.

Forza particolarmente importante su

grandi scale e per alte velocità.

Finestre per permettere di fotografare il flusso

Tubo per l’aggiunta di acqua

Collettore strisciante per la trasmissione dei dati

Aspetto unico: canali di vetro sul fondo che permettono la

creazione di lame verticali potenti e ben definite.

Laser verde a diodi allo stato solido: potenza massima 15 W trasmessa direttamente (senza fibra ottica).

Diametro vasca 5 m

Altezza massima acqua 0.8 m

Velocità rotazione 0-20 rpm

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I flussi nella vasca possono essere generati con

pompe oppure, con, in generale migliori risultati,

variando bruscamente il periodo di rotazione

dello strumento dopo che si è ottenuta la

condizione di rotazione solida

Tini > Tfin spin-up Tini < Tfin spin-down

Il flusso risultante ha una velocità che decresce

esponenzialmente e il cui valore massimo è dato da:

Umax=2p(1/Tfin-1/Tini)r

(r distanza dal centro )

Il moto della vasca è generato

da un motore elettrico ed il

sistema di rotazione si basa

sulla tecnologia del velo

d’olio ad alta pressione che

riduce gli attriti e le

vibrazioni.

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1 Mikrotron MC1310:

CMOS

1-500 Hz a piena

risoluzione 1280x1024;

501- 1000 Hz at 1/2 ris …

8 bit

2 Dalsa 1M60P: 1-60 Hz

CCD 1024x1024

12-10-8 bit

2 Dalsa 4M60P: 1-60 Hz

CMOS 2352x1728

10-8 bit

1 Flare2MC320:

CMOS,

1-280 Hz,

a colori,

2048x1088,

8 bit

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E’ la nota Spirale di Ekman in

cui il vettore velocità è ruotato

verso sinistra avvicinandosi al

suolo e contemporaneamente il

modulo del vettore diminuisce.Ekman pumping works on the principle of frictional geostrophic motion. If the fluid is at solid body rotation and the rotation rate is then increased, the bulk of the fluid (except near the walls) is now in relative motion to the new rotation rate of the inertial reference frame. A frictional, viscous layer is created along the floor (Ekman layer) and the walls (Stewartson layer) of the tank. At this point, the geostrophic balance between Coriolis force and pressure gradient force is destroyed, and the Coriolis force dominates, forcing mass transport to the right of the surface stress, or outward along the floor of the tank and upward along the walls. A secondary circulation is then induced.

Tipi di Circolazione

Come posso determinare i campi di velocità ?

Uso di traccianti passivi: determinazione del moto nel tempo

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Se voglio fare delle valutazioni quantitative ho bisogno di un approccio che mi registri qualcosa permettendomi una analisi successiva, in qualsiasi momento, indipendente

dall’acquisizione e dall’acquisitore.

Conviene riprendere con una foto/telecamera e poi analizzare quanto catturato.

Devo fare anche in modo che il risultato sia scientificamente indipendente da chi effettua le misure o le analisi.

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Due approcci: Euleriano Lagrangiano

Seleziono un tracciante , «etichettandolo» e lo seguo nelle sue evoluzioni.

Seleziono un’area di mio interesse ed eseguo le misure in quell’area valutando sempre nuovi traccianti che entrano ed escono dal campo di misura

Ho un’ottima visione d’insieme nell’area di misura, che però è limitata:

Ho un’ottima valutazione del moto di quel particolare elemento nello spazio e nel tempo ma perdo la visione d’insieme:

PIV/LIF

Particle Image Velocimetry / Laser

Induced Fluorescency

PTV

Particle Tracking Velocimetry

Meno usata perché richiede zone di misura molto ampie e/o sistemi di inseguimento complessi.

Fornisce informazioni solo in pochi punti: è limitante!

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Permettono misure quantitative

-Densità =1.03 g/cm3

-Diametro: 5-1000 micron

-Necessitano di un agente

bagnante per renderle

sospensibili

-Buona riflettività

-Forma simil-sferica

-Economiche

Approcci sperimentali

Le più piccole (5-10 micron) rimangono in

sospensione, in acqua dolce, per alcune

decine di ore; quelle di grandi dimensioni

(1000 micron) per qualche minuto.

ParticelleInchiostri

Permettono misure qualitative

-Gestione molto più

semplice e veloce

-Normali o fluorescenti

-Utili per studi di diffusione

PIV(Particle Image Velocimetry)

Abilità di definire campi di flusso istantanei su aree e volumi che possono spaziare di diversi ordini di grandezza.

Possibile identificare strutture spaziali in flussi non stazionari e studiarli quantitativamente.

Tecnica nata negli anni 70.

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Le riprese possono essere bidimensionali (una telecamera; setup relativamente «semplici») o tridimensionali (due o più telecamere; setup molto più complessi).

Come devono essere i traccianti ?

PICCOLI !!!RIFLETTENTI (in realtà è principalmente uno scattering)

Possibilmente in equilibrio idrostatico con il fluidoRappresentazione «fedele» di un «elemento» fluido

Quando vengono illuminati da una opportuna luce diventano visibili (come la polvere in controluce)

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Laser perchè - facile da maneggiare (comporta qualche rischio .......);- può avere potenze ben regolabili ed elevate;

Verde perché - l’assorbimento da parte dell’acqua è minimizzato;- è fra le lunghezze d’onda più facilmente creabili;

Nelle riprese, bisogna stare molto attenti alle aberrazioni introdotte:

- dagli obiettivi e/o dal passaggio attraverso mezzi diversi (rifrazione),- dalle deformazioni prospettiche,- dalla luminosità di background: le particelle devono essere ben distinguibili le une dalle altre, risaltare rispetto al bg, avere una distribuzione di luminosità simil-gaussiana con bordi definiti ma sfumati (tecniche di blurring).

Utilizzata luce verde laser:

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E’ poi molto importante definire bene a priori (deve essere studiata in anticipo la fisica che si vuole riprodurre) i tempi di acquisizione e quindi la differenza temporale tra due immagini successive, e i tempi di esposizione per evitare «l’effetto cometa» (sovraesposizione).

Ci deve essere un buon seeding: non poche (pochi punti, radi e dal comportamento poco «correlato»), non troppe (punti sufficienti, ma rischio di eccessiva luminosità e sovrapposizione).

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I tempi devono essere grandi abbastanza da avere un moto «sensibile», ma piccoli a sufficienza da non perder di vista le particelle inquadrate nella prima immagine.

Due possibili approcci di acquisizione:

- In continua (vantaggio di poter «scegliere» l’accoppiamento dei campi e di non dover sapere con troppa precisione la fisica in anticipo; svantaggio di avere una grande mole di dati);

- A bursts: si scelgono 2-10 tempi di acquisizione consecutivi con intervalli che consentano la massima flessibilità temporale; poi pausa di consistente lunghezza e nuovo burst.

Inizialmente la ripresa veniva effettuata con camere analogiche su rullino (solo con il secondo approccio) .

Grandissima risoluzione ma problemi nell’analisi che doveva essere fatta a mano su una o due coppie di immagini considerando «particella per particella»; tempi di valutazione di giorni, fino anche a qualche settimana !!

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Con l’avvento delle telecamere digitali è aumentato enormemente il numero di immagini acquisite (sebbene almeno all’inizio a prezzo di risoluzioni e sensibilità molto inferiori).

I tempi sarebbero esplosi se non si fosse provveduto ad elaborare tecniche digitali di analisi.

In questo modo si possono decidere i parametri inizialmente e poi i computer si occupano di iterare l’analisi lungo tutta la serie (le condizioni fisiche non devono mutare troppo tra l’inizio e la fine!!).

Come si può mappare lo spazio delle immagini (in pixel) nello spazio fisico reale?

E come si può valutare lo spostamento dei traccianti? 21

Problema: Le equazioni del moto sono espresse in unità fisiche e non in pixel

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Prima di passare all’implementazione via software della PIV è

necessario mappare le posizioni delle particelle nel piano

dell’immagine (pixel) al piano della lama laser (cm).

Il primo step per effettuare la

calibrazione è l’allineamento

della lama laser con un

bersaglio dalle dimensioni

note (ideale una struttura

quadrettata o crocettata),

assicurandosi che sia ben

centrato.

La calibrazione

L’informazione data dall’immagine è in pixel, ma il numero di questi dipende strettamente dal tipo di obiettivo e dal sensore.

Acquisita un’immagine è necessario localizzare il centro delle croci. I

software in uso sfruttano un procedimento simile (correlazione) alla

tecnica usata nella PIV.

Sono però imprecisi, essendo automatici.

La localizzazione

manuale del centro di

tutte le croci reca

ottimi risultati in

termini di calibrazione,

ma richiede tempi

molto lunghi.

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I centri delle croci opportunamente mappati nella realtà fisica vengono poi fittati da una superficie curva che minimizza gli scarti e fornisce alcuni parametri del tipo di ripresa (distanza focale, centro ottico, eventuali distorsioni, matrice di rototraslazione, ….)

Il risultato permette di avere una funzione definita in tutto lo spazio inquadrato e di stimare le possibili deformazioni dovute a difetti delle lenti, alla loro curvatura, a problemi di parallasse, di allineamento della telecamera, …..

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PIV

Analisi di coppie di immagini legate temporalmente (se si è sbagliata la fase sperimentale, a questo punto non resta che rifare tutto….).

Tra le due immagini è necessario

che le particelle si spostino di alcuni

pixels (best tra 5 e 15).

x x

z

Lo spostamento osservato dipende

dal frame rate di acquisizione, dalla

velocità del fluido, dalla risoluzione

e dalle dimensioni del campo.26

Partendo dalle intensità luminose (a maggiore risoluzione in

bit dell’immagine corrisponde maggior accuratezza del

risultato) relative a ciascun pixel (in toni di grigio), viene

calcolato il coefficiente di cross-correlazione tra le pattern

box nell’immagine a e b.

Esistono diverse possibili implementazioni della PIV. Quella

adottata qui è chiamata CIV (Correlation Image Velocimetry)

e si basa sul calcolo diretto (più lento, ma più preciso del

calcolo tramite FFT) della cross-correlazione (normalizzata con

l’intensità locale):

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28

Si valuta il valore di tale funzione per ogni pattern-box possibile all’interno della search box della seconda immagine, generando una superficie topografica di cross-correlazione, di

cui viene individuato il massimo.

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X

Origine del vettorevelocità

Search box

Pattern box

Il vettore velocità è assegnato temporalmente alla prima

immagine della coppia, mentre il suo punto di applicazione è

posto nel punto intermedio del segmento congiungente il

punto corrispondente al

centro della pattern box nella prima immagine

ed il

centro della pattern box (che massimizza la

crosscorrelazione) della seconda immagine

dtW

yy

dtU

xx

a

a

2

2

Dal massimo di correlazione si ricava lo spostamento più probabile e, conseguentemente, il vettore della velocità (si conosce il tempo trascorso tra

le due immagini).Sono poi utilizzati algoritmi gaussiani di interpolazione subpixel che migliorano

la risoluzione a 0.1-0.2 px. 30

Lo spostamento identificato in questo modo ha risoluzioni di 1 pixel (px).

t

t +∆t

L’analisi viene poi ripetuta dal software per tutte le possibili pattern box identificabili all’interno delle immagini.

Quante sono le possibili pattern box?

Dipende da chi fa le analisi.Si può avere overlapping da 0 e fino al 50 %; oltre, i punti sono così correlati da non presentare più informazione e proporre invece problemi nella successiva fase di elaborazione.

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Nel corso del calcolo PIV vengono computati anche alcuni flag associati ad ogni vettore e che ne caratterizzano la qualità: particolarmente significativi sono il valore del coefficiente di correlazione e la localizzazione del massimo di correlazione (un massimo sui bordi può non essere un massimo).

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Problematiche delpeaklocking

I valori corrispondenti a pixel interi sono più probabili (e ciò è più vero nel primo passaggio PIV).

E’ una analisi statistica: lo spostamento indicato non è verità assoluta, ma il valore che ha la massima probabilità di rappresentare lo spostamento vero.

L’errore finale è, nel migliore dei casi (immagini «perfette»), dell’ordine di qualche decimo di px (in termini «fisici» l’errore dipende dalla risoluzione).

Quali sono gli errori di questo tipo di analisi?

Non si può valutare analiticamente, ma solo stimare da medie di ensemble o metodi montecarlo (creazione di immagini sintetiche dalla fisica nota, processing, valutazione delle differenze).

Si ricordi che

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- Definire l’area media (pattern box) contenente almeno 5-7 particelle: ad ogni area corrisponderà

un vettore del campo di velocità; dimensioni possono essere diverse lungo le due direzioni; le

box possono essere rettangolari.

- Stabilire un grigliato con su cui centrare le finestre;

Passi per Analisi PIV

- Dimensioni delle box sempre dispari in modo da assegnare il centro ad un px reale e non interpolato.

- Definire l’area (search box; indicativamente circa 40-50 px più grande della pattern box) entro la quale si muoverà la finestra per calcolare il coefficiente di correlazione (bidimensionale); più è grande e maggiori saranno i tempi di calcolo.

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Tutto il processo di analisi può (e «deve») venire iterato più volte portando così ad un miglioramento del risultato:

L’analisi iniziale o precedente viene utilizzata per imporre uno spostamento piccolo (1-2 px) nell’intorno dello

spostamento appena identificato come il più probabile e non muoversi più su tutta l’area identificata dalla search

box; vengono anche utilizzati algoritmi per valutare la possibile deformazione della forma delle particelle

(stretching e di convect flow).

Normalmente, il campo calcolato contiene vettori errati

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Necessità di eliminare tali vettori errati.

Dovuti a:

possibili problemi di illuminazione,

seeding non uniforme,

agglomerati di particelle, poche particelle,

parallassi,

non buona messa a fuoco, ….

Scartare i vettori ad «occhio» è relativamente semplice e molto accurato (soprattutto nel caso di flussi ben definiti), ma farlo per 5000 vettori per campo e in 1000, 10000 campi può essere una faccenda lunghetta…….

Si usano quindi software da impostare e poi applicare iterativamente: è un metodo molto meno accurato ma molto più veloce (…. e meno alienante…).

Un approccio molto rapido è:- valutazione dei valori di correlazione calcolati in fase di

analisi (valori bassi caratterizzano vettori spesso errati);- Valutazione della localizzazione dei massimi (quelli sui bordi

della finestra potrebbero anche essere errati);- Eliminazione di vettori con componente (u,v) > o < di soglie

fissate.37

1) Utilizzo di alcuni flag computati in fase di analisi

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L’applicazione del filtraggio solo tramite flag, nel caso sotto riportato, pone dei problemi.

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Scatter plot (o istogramma) nel piano (u,v): permette di identificare (alcune volte) aree non fisiche e quindi di eliminare i punti che vi cadono.

2) Creazione di uno scatter plot

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3) Filtraggio su base locale, utilizzando intorni di opportuna grandezza di cui vengono valutati

media/mediana, std dev, abs dev

Confronto della consistenza di ogni vettore con un suo intorno (magari definito di dimensioni diverse, sia nello spazio che nel tempo).

Approccio più raffinato e flessibile ma decisamente più lungo e soggetto alla scelta, soggettiva, di numerosi parametri.

Possibili anche filtraggi tramite FFT (molto veloce).

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Invece l’applicazione dei filtri più sofisticati è molto più sensibile

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In fase di filtraggio è preferibile scartare qualche vettore “corretto” facilmente sostituibile nella fase successiva, piuttosto che lasciare nel campo vettori palesemente scorretti (che l’ultima procedura di regolarizzazione rischia di propagare).

I parametri del filtraggio locale devono perciò venire ottimizzati in questa ottica.

I vettori filtrati vengono scartati, etichettandoli con dei flags (ma non rimossi dai files). Il campo risultante non è più

omogeneo (presnta dei «buchi») e non è neanche disposto su di un grigliato regolare (questo già dall’inizio per l’utilizzo del

punto di applicazione).

Per evitare problemi nella fase di uso delle equazioni fisiche, si procede alla sostituzione dei vettori scartati

e alla regolarizzazione della griglia con processi di interpolazione eseguiti su sottodomini (in modo da preservare al massimo eventuali disomogeneità del

flusso) ed effettuati mediante spline (che garantiscono anche la continuità delle derivate).

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