Paolo Detti Dipartimento di Ingegneria dell’Informazione

Università di Siena

Gestione della produzione e della supply chain

Logistica distributiva

Il corso ha lo scopo di introdurre lo studente ai problemi e ai modelli matematici relativi alla logistica interna ed esterna dei sistemi di produzione e distribuzione. http://www.dii.unisi.it/~detti/GestProdSupChain.htm Docente: Paolo Detti Contatti: detti@dii.unisi.it http://www.dii.unisi.it/~detti/ Orario di ricevimento su appuntamento

Gestione della produzione e della supply chain

Programma

•  I problemi di coordinamento delle filiere produttive. •  La funzione logistica. Struttura delle reti logistiche. •  Problemi di gestione dei flussi materiali. Leve gestionali. •  Problemi di costo su reti di flusso: struttura delle soluzioni, il simplesso su reti. •  Problemi strategici: plant location. •  Logistica interna: approcci e modelli per la gestione della produzione - sistemi push, pull, ibridi - la produzione just-in-time - gestione delle scorte: EOQ e varianti. •  Logistica esterna: coordinamento della filiera produttiva. Forecasting. •  Vehicle routing.

- P. Brandimarte, G. Zotteri, Logistica di Distribuzione, CLUT, 2005. - A. Sassano, Modelli e Algoritmi della Ricerca Operativa, FrancoAngeli, 2004. - Ravindra K. Ahuja, Thomas L. Magnanti, James B. Orlin, Network Flows: Theory, Algorithms, and Applications, Prentice Hall, 1993. - Lucidi delle lezioni e dispense (disponibili durante lo svolgimento del corso).

Testi e materiale didattico

La prova d'esame prevede una prova scritta ed una orale. Al termine del corso, prima dell'appello ufficiale, si svolge una prova scritta che comprende esercizi e domande di teoria. A seconda del voto conseguito nella prova, essa dà diritto a superare l'esame o a sostenere un orale "ridotto".

Prove d’esame

Cosa si intende per logistica

1991, U.S. Council of Logistics Management (a trade organization based in the United States)

Livelli e problemi decisionali

Strategico

Tattico

Operativo

Plant location, prog. rete logistica, acquisizione risorse, inserimento nuovi prodotti, dimens. cap. produttiva… Programmazione aggregata della produzione, gestione scorte, trasporti, allocazione stagionale della capacità... Quantità e tempistica della Produzione, gestione dei flussi fisici e informativi

Tipologia dei problemi

deterministici o stocastici, continui o discreti, con vincoli lineari o non lineari, con singolo obiettivo o multiobiettivo, con singolo decisore o multidecisore

Problemi in ambito logistico e produttivo

La gestione delle scorte

Controllo delle scorte

Sist. prod. / Fornitore

Magazzino

domanda ordini

T

I

R

Lead Time

La gestione delle scorte

Problema: •  Quando ordinare •  Quanto ordinare

Obiettivi: •  Basso livello delle scorte •  Soddisfacimento della domanda

La gestione delle scorte

Classificazione delle scorte: •  Materie prime •  Semilavorati •  Prodotti finiti •  Cycle stock (raccordano produzione e domanda) •  Safety stock (guasti del sistema, picchi di domanda) •  Seasonal stock (per domanda stagionale) •  Pipeline stock (sistemi multistadio)

Costi nella gestione delle scorte

•  Costo fisso di un ordine (trasporto, setup delle macchine, pratiche amministrative) •  Costi unitari di acquisto o di produzione •  Costi di giacenza (immobilizzo capitale, affitto locali, vigilanza ecc…) fissi e unitari •  Costi di Shortage (non soddisfacimento della domanda)

•  Con backlogging (soddisfacimento della domanda in periodi succassivi) •  Senza backlogging

•  Prezzi di vendita (profitto)

Modelli di gestione delle scorte

•  Periodic Review o Continuos Review •  Deterministici o stocastici •  A domanda esterna (indipendente) o interna (dipendente) •  A singolo prodotto o multi-prodotto

Modelli Periodic Review •  Il livello di magazzino viene esaminato in istanti di tempo prefissati (ogni intervallo di tempo T) •  Siano I il livello di magazzino e Q la quantità da ordinare •  Le ordinazioni dipendono da due parametri:

•  S, il livello target di magazzino •  R, il livello o punto di riordino

⎩⎨⎧

≤

>=

RIS-IRI

Q se

se 0

T

S

2T 3T

R

I

t

Modelli Periodic Review

Modelli Continuos Review

•  La quantità da ordinare Q è fissata •  I l l ivello di magazzino viene esaminato continuamente e si lancia un ordine quando il livello scende sotto il livello di riordino R

t

S

R

Q

I

Modelli deterministici per il controllo delle scorte

•  Si assume un tasso di domanda noto nel tempo

•  Ogni prodotto viene considerato indipendente dagli altri

•  Il riempimento del magazzino è istantaneo, non appena arriva la merce. •  I tempi di consegna (Lead Time) sono noti

•  Il modello del lotto economico (Economic Order Quantity, EOQ, F. W. Harris, 1915) è uno dei più semplici e noti modelli statici e deterministici

•  Il modello consente di determinare la quantità Q da ordinare per rifornire il magazzino, ogni volta che si raggiunge il livello di riordino in modo da minimizzare i costi complessivi (continuos review)

Un esempio classico: Lotto economico e punto di riordino

•  Si assume un tasso di domanda noto e costante nel tempo (ad es. unità vendute all’anno) •  Ogni prodotto viene considerato indipendente dagli altri •  Gestione continuos review •  I lead time sono noti e costanti

Il modello del lotto economico (EOQ)

•  D la domanda (costante) annuale •  In prima analisi, si consideri un punto di riordino R=0 e Lead Time nulli •  Sia S il livello target a cui deve essere riportato il m a g a z z i n o o g n i v o l t a c h e u n o r d i n e d i approvvigionamento è emesso. •  Dato che R=0, Q=S è la quantità (fissa) ordinata ogni volta che si emette un ordine • T l’intervallo tra due ordini successivi di rifornimento del magazzino

Il modello del lotto economico (EOQ)

D

T=Q/D

S=Q=TD

R=0

I

t

retta I=-Dt+Q

•  Dato che la domanda è costante, la quantità da ordinare ad ogni intervallo T è Q=TD

Con Q=S e D fissati può essere calcolato facilmente T Esempio: D=1200 unità\anno; Q=S=50 unità Intervallo tra due ordini (frazione di anno):

T=Q/D=50/1200=1/24 Numero di emissioni di ordini all’anno:

1/T = D/Q=24

T

Q

Il modello del lotto economico (EOQ)

•  Sia h il costo di immagazzinamento per unità di bene e di tempo •  Sia c il costo unitario del bene ordinato •  Sia A il costo fisso di un lancio di un ordine di approvvigionamento •  Si vuole trovare la quantità da ordinare Q* che minimizzi i costi complessivi: costo complessivo di magazzino, costo totale della quantità ordinata e costo di lancio degli ordini

Il modello del lotto economico (EOQ)

Sist. prod. / Fornitore

Magazzino Costo unitario h

Domanda D

Ordini

Il modello del lotto economico (EOQ)

Costo fisso ordine A Costo unitario ordine c

•  Il costo di magazzino per un ciclo T è pari al livello medio del magazzino nel periodo T moltiplicato per h . •  Il livello medio di magazzino nel ciclo è pari all’area del triangolo rettangolo corrispondente ad un ciclo.

hDQh

DQQhQT

2

21

21

21

==

T=Q/D

Q

Il modello del lotto economico (EOQ)

cQAhDQQCT ++=2

21)(

•  Il costo fisso di un lancio di un ordine in un ciclo T è A •  Il costo della quantità ordinata in un ciclo T è cQ •  Costo totale per un ciclo

•  Il costo totale per unità di tempo, in funzione della quantità da ordinare Q:

cDQDAQhcQAh

DQ

TQC ++=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++=

21

211)(

2

Il modello del lotto economico (EOQ)

•  La quantità ottima Q* si ottiene annullando la derivata prima

hADQ

QDAh

QQC

cDQDAQhQC

2

021)(21)(

*

2

=

=−=∂

∂

++=

Il modello del lotto economico (EOQ)

costante

Economic Order Quantity (lotto economico):

hADQ 2* =

Il modello del lotto economico (EOQ)

C(Q*) = 2AhD(+cD)

Sostituendo:

hADQ 2* =

Il modello del lotto economico (EOQ)

C(Q*) = 2AhD(+CD)

cDQDAQhQC ++=

21)(

C (Q)

Q

Q*

•  Un’azienda compra 6000 unità all’anno di un prodotto con costo unitario di 30 Euro. •  Lanciare un ordine costa 125 Euro, mentre il costo di magazzino è pari a 6 Euro all’anno per unità •  Trovare quanto e quando ordinare

EOQ: Esempio

•  Un’azienda compra 6000 unità all’anno di un prodotto con costo unitario di 30 Euro. •  Ogni ordine costa 125 Euro, mentre il costo di magazzino è pari a 6 Euro all’anno per unità • Trovare quanto e quando ordinare

mese 1anni121

6000500

:è ordine di lanci due tra T ottimale periodo Il

5006

6000*125*2*

====

==

DQT

Q

EOQ: Esempio

hADQ 2* =

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Un problema di Gestione delle scorte con lead time

Descrizione del problema Un negozio di elettrodomestici vende 1200 telecamere all’anno. Il tasso di vendita delle telecamere può essere ritenuto costante durante l’anno. Il negozio ordina le telecamere presso un rifornitore della regione che impiega una settimana per consegnare la merce. Dati Il costo di un ordine è di 35 Euro. Il costo di acquisto di una telecamera è di 100 Euro. Non c’è un costo fisico di magazzino, ma un costo di immobilizzo del capitale pari al 10% annuo del capitale investito. Obiettivo Si vuole determinare quando e quanto ordinare ogni anno in modo da massimizzare il profitto.

Numero di ordini all’anno =1/T = D/Q = 1200/Q Intervallo tra due ordini = T = Q/D= Q/ 1200 Costo annuale lancio di ordini = 35 * 1200/Q = 42.000 /Q Costo di acquisto annuale = 100 * D = 120.000 Costo di immobilizzo annuale = Costo annuale complessivo =

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ )100*1,0(211

DQQ

T

102Q +

42000Q

+120000

Un problema di Gestione delle scorte con lead time

Costo annuale complessivo =

Q* =2 * 42000

10= 91,65 ≈ 92

Costo annuale totale = 916,52

T =QD= 0,076 anni (27,87 giorni)

numero di ordini all'anno =1/T =13,09Istante di tempo di emissione dell'ordine?Qual è il punto di riordino R?

102Q +

42000Q

+120000

hADQ 2* =

AhDQC 2*)( =

Un problema di Gestione delle scorte con lead time

23920575,0*1200R? riordino di punto il è Qual

anni 0,0575 giorni 217-Tordine?dell' emissione di tempo di Istante

giorni 7 LT

)giorni 47,27( 076,0

9265,911042000*2*

=+−≈

=≈

=

==

≈==

R

DQT

Q

Un problema di Gestione delle scorte con lead time

T=Q/D

Q

retta I=-Dt+Q=-1200t+92

Il modello del lotto economico (EOQ): critiche

•  Non sempre si può assumere che la domanda sia costante (o comunque nota) e che i tempi di consegna (Lead Time) siano noti (deterministici)

•  EOQ è per un problema a singolo prodotto e a singolo stadio

•  L’assunzione che i tassi di interesse, i costi di acquisto, i costi di immagazzinamento e i costi fissi siano noti con certezza non sempre è realistica

•  Si assume che in generale la capacità del magazzino sia infinita

•  Limiti di budget, soprattutto nel caso multiprodotto, implicano che le quantità acquistate non possano essere arbitrarie

Programmazione della produzione e gestione delle scorte: un problema multi-stadio, con capacità

Descrizione del problema Un’azienda produce palloni da calcio, e vuole decidere per i prossimi sei mesi quanti palloni produrre ogni mese. Dati La domanda prevista e i costi di produzione per i prossimi sei mesi sono:

Il massimo numero di palloni che può essere prodotto in un mese è 30000. Il costo di stoccaggio ed il costo di immobilizzo del capitale, per unità di prodotto, alla fine di ogni mese è dato dal 5% (stima) del costo di produzione del mese. Il magazzino ha una capacità massima di 10000 palloni, e ne contiene attualmente 5000. Obiettivo L’azienda vuole decidere quanti palloni produrre ogni mese, in modo da soddisfare la domanda e minimizzare i costi di produzione e di magazzino.

Mese 1 2 3 4 5 6Domanda prevista (migliaia) 10 15 30 35 25 10Costo unitario di produzione 12,5 12,55 12,7 12,8 12,85 12,95

Una formulazione di Programmazione Lineare

Definizione delle variabili:

•  Pi numero di palloni confezionati nel mese i, i=1,…,6 •  Ii palloni giacenti in magazzino alla fine del mese i, i=1,…,6

Funzione obiettivo:

( )

( )∑=

+

=+++++

++++++

6

1

654321

654321

05,0min

95,1258,128,127,1255,125,1205,095,1258,128,127,1255,125,12min

iiiii IcPc

IIIIIIPPPPPP

Mese 1 2 3 4 5 6Domanda prevista (migliaia) 10 15 30 35 25 10Costo unitario di produzione 12,5 12,55 12,7 12,8 12,85 12,95

Vincoli sulla capacità produttiva e di stoccaggio:

6,...,1 100006,...,1 30000

=≤

=≤

iIiP

i

i

Lower bound sulle variabili:

1,...,6i 0, =≥ii IP

Vincoli sulla domanda nei sei mesi considerati:

6,...,1 1 =+=+− iIDPI iiii

1

P1

D1=10000

I1 6

P6

D6=10000

I5 2

P2

D2=15000

I2 I0=5000

30000 )3 15000 )2

500010000 )1

332

221

011

=−+

=−+

=−=−

IPIIPI

IIP

10000 )6 25000 )5 35000 )4

665

554

443

=−+

=−+

=−+

IPIIPIIPI

Formulazione complessiva:

min12,5P1 +12,55P2 +12,7P3 +12,8P4 +12,85P5 +12,95P6 +

0,05 12,5I1 +12,55I2 +12,7I3 +12,8I4 +12,85I5 +12,95I6( )subject to1) P1 − I1 = 5000

2) I1 +P2 − I2 =15000

3) I2 +P3 − I3 = 30000

4) I3 +P4 − I4 = 35000

5) I4 +P5 − I5 = 25000

6) I5 +P6 − I6 =10000

Pi ≤ 30000 i =1,...,6

Ii ≤10000 i =1,...,6

Pi ,Ii ≥ 0 i =1,...,6

Rappresentazione grafica della soluzione:

20000 5000 30000 30000 10000 25000

1

10000

0 2

15000

5000 3

30000

5000 4

35000

5000 5

25000

0 6

10000

0 0