G. Pugliese, corso di Fisica Generale 1 Descrive il moto in termini di spazio e tempo,...

G. Pugliese, corso di Fisica Generale 1

Descrive il moto in termini di spazio e tempo, indipendentemente dalle cause del moto.

La cinematica


Traiettoria e legge oraria

Una particella che assume posizioni diverse P1, P2..in istanti successivi t1, t2,..è in moto.

L’insieme delle posizioni occupate nel moto costituisce la traiettoria.

Lo stato di moto e la forma della traiettoria sono relative al sistema di riferimento dal quale viene osservato il punto materiale.

eq. Della traiettoria: individua la posizione del punto nel tempo

ktzjtyitxtrr

y

z

O

x

tr

tzztyytxx , ,

eq. Oraria: tss

ts


y

z

P1

1r

O

P2

2r

x

r s

tr

12 rrr

r spostamento del punto nell’intervallo di tempo t.

Non coincide con la lunghezza s dell’arco P1P2 effettivamente percorso dal punto.

Spostamento & distanza percorsa

t

rr

t

rm

12v

Definiamo velocità media: il rapporto tra il vettore spostamento e l’intervallo t

Unità di misura: [v] = L T-1 = m s-1


Velocità media

vm3

z

P1

1r

O

P2

2r

1r

tr

P33r

vm2

2r

Non dipende dal particolare percorso seguito

Può essere sia negativa che positiva a seconda del segno dello spostamento

È la pendenza della retta che congiunge Pinziale a Pfinale

La descrizione del moto è

insoddisfacente vedi la posizione occupata in t intermedio!!

Per intervalli sempre più piccoli il vettore spostamento cambia in modulo e direzione, così come il vettore velocità media.


Velocità istantanea

Quanto più si riduce l’ampiezza

degli intervalli di tempo t migliore è

la descrizione del moto!

Al limite per t 0 la pendenza

della retta congiungente Pfinale-Piniziale

approssima la tangente la curva in P

dt

d

tttrr

0v lim

Si definisce Velocità istantanea in P

Se il sistema di riferimento è fisso, in coordinate cartesiane:

kdt

dzj

dt

dyi

dt

dxkzjyix

dt

dt

v


Accelerazione media ed istantanea

Se la velocità del corpo varia ci si può chiedere con che rapidità varia:

accelerazione media nell’intervallo di tempo t finale – t iniziale:

[L][T] -2 = m/s2

l’accelerazione istantanea:

inizialefinale

inizialefinalem ttta

vvv

2

2

0

rvvlim)(

dt

d

dt

d

tta t

In coordinate cartesiane: kdt

zdj

dt

ydi

dt

xdkji

dt

dt zyx

2

2

2

2

2

2

vvva


Determinazione del moto: 1 dimensione

t

t

v

v 00

adtdvadtdvdt

dva

t

t

0

0

adtvv

costvv

0a

0

)a(vv

costa

00 tt

Possiamo passare dal vettore allo scalare..

t

v

t

v0

Moto rettilineo uniforme

Moto uniformemente accelerato


t

t

x

x 00

vdtdxvdtdxdt

dxv

costxx

0v

0

)t-(tvxx

costv

000

2oo00 )t-a(t

2

1)t-(tvxx


Determinazione del moto: 1 dimensione

t

t

0

0

vdtxx

Corpo in quiete

Moto rettilineo uniforme

)a(vv

costa

00 tt

t

x

t

x0


Applicazione: accelerazione di gravità

Se trascuriamo l’attrito con l’aria, un corpo lasciato libero di cadere in vicinanza della superficie terrestre si muove verso il basso con una accelerazione costante pari a circa 9.8 ms-2


Applicazione: caduta libera (v0=0)

g

htc

2

2hgvc

2

2

1)( gtty

g

2ht c

h

Tempo di caduta Velocità al suolo

h


Applicazione: lancio verso l’alto

Supponiamo che una palla venga lanciata verso l’alto con modulo della velocità pari a 15m/s. Determinare:

a) il tempo che impiega per raggiungere la quota massima;

b) l’altezza massima;

c) gli istanti di tempo per i quali la palla passa ad 8m dalla posizione iniziale;

d) il tempo totale prima di tornare tra le mani del lanciatore;

e) la velocità in questo istante.


)t-(tavvdtavd 00

Il vettore velocità è sempre nel piano

individuato dai vettori costanti v0 ed a

)t-(tavv 0x0xx

)t-(tavv 0y0yy {

{2

0x00x0 )t-(ta2

1)t-(tvxx

20y00y0 )t-(ta

2

1)t-(tvyy

20000 )t-(ta

2

1)t-(tvrrdtvrd

Proiezione del moto in due

dimensioni

Determinazione del moto: 2 dimensioni

costa

G. Pugliese, corso di Fisica Generale 13Capitolo 2 Cinematica

x

jgga

0t

sinvv

cosvv v

0y

0x0r

iniziali condizioni

0

00y

00x

0

0

00

cosvcostv

tcosvx

0x

0

gtsinvv

gt2

1)tsin(vy

0y

20

Eq. della Parabola!

222

0

xcos2v

gxtany(x)

Applicazione: moto parabolico

Moto rett. uniforme


{{


g

sincosvxx

g

)sin(2v

g

sincos2vx

20

2GM

20

20

G

2g

sinvy

220

M

discesa di tempo tsalita di tempot

g

sin2v

v

2x

cosv

2xt

2G

2G

0

x

M

0

MG

Applicazione: moto parabolico (1)

Gittata: imponiamo y = 0

xM

Coordinate altezza max: imponiamo vy = 0

g

sincosvx

20

M

{

Tempo di volo

xG


Applicazione: moto parabolico (1)

Gittata massima:

45

902 0)cos(2

0g

sin2v

dt

dx 20G

dt

d

Riassumiamo:

massa dalla dipendononon

ve 2 x

ve

0

02

max

sen

seny

G


Applicazione: colpisci il bersaglio

0v

),(P 00 yx2

oy1 gt2

1tvy

Proiettile

202 gt

2

1yy

Bersaglio

21 yy

0y

020

20y v

ytgt

2

1ygt

2

1tv

02

00y

0x0x1

x x

yv

vtv x

0

0

0y

0x00

0y

0x21 y

x

v

vxy

v

vx ximponiamo se

Bersaglio

Proiettile x

yy:

x:


TT

T

uvudt

ds

dt

rdv

urd

ds

La velocità è sempre tangente alla traiettoria

in qualunque sistema di riferimento!!

Abbiamo già visto le componenti cartesiane della velocità…

Moto Piano: la velocità


dt

udru

dt

dr

dt

rdv

urr

rr

r

udt

du

dt

drv r

r

Componente normale

(Velocità radiale)

Dipende dalle variazioni del modulo del raggio vettore

22

2

dt

dr

dt

dr

dt

dsv

Modulo della velocità

Velocità in coordinate polari

Componente trasversa

Legata alle variazioni di direzione del raggio vettore

o

r

u

ru

v


La derivata di un versore è perpendicolare al versore stesso:

Derivata del versore

1 uu

0dt

udu2

dt

uud

Affinché il prodotto scalare sia nullo

dt

ud ad lareperpendico essere deve u

P1

P2

ur2

ur1

S

u

u

2222 1

sensenuu

ds

d

s

sen

s

sen

s

u

ds

ud

SSS

2222 limlimlim000

dt

d

ds

d

dt

ds

dt

ds

ds

ud

dt

ud

rudt

d

dt

ud

u

u

u


2

2

dt

rd

dt

vda

Tuvv come velocitàla scriviamo

temponel variaTu

Accelerazione nel moto piano

// alla velocità, responsabile della variazione del modulo di v.

Perp velocità, responsabile della variazione della direzione di v.

dt

udvu

dt

dvuv

dt

da T

TT

NT udt

dvu

dt

dva


Ta

Na

2N

2T aaa

N

2

T u R

vu

dt

dva

Ta

Na

NT udt

dvu

dt

dva


v1

Rdt

ds

ds

d

dt

d

RCPCP 21 se

Rs


Moto curvilineo vario: la aT e aN sono diverse da zero.

Moto curvilineo uniforme: aT = 0

Moto rettilineo vario: aN = 0

Moto rettilineo uniforme: aN = 0 e aT =0

indipendentemente dal sistema di riferimento.

Moto curvilineo vario: la aT e aN sono diverse da zero.

Moto curvilineo uniforme: aT = 0

Moto rettilineo vario: aN = 0

Moto rettilineo uniforme: aN = 0 e aT =0

indipendentemente dal sistema di riferimento.



Moto circolare uniforme

Moto Circolare uniforme: moto piano la cui traiettoria è una circonferenza.

Il vettore velocità:

• cambia continuamente direzione

• constante in modulo

0Na

0Ta

Spazio percorso sulla circonferenza:

costantercon r tts

ωrv r

v

dt

ds

r

1

dt

dω

Definiamo velocità angolare:

t


Moto circolare uniforme

Leggi orarie :

RR 0

22

N

0

00

ωv

aa

costωtω

tωt

ωv

x

Moto periodico, di T (tempo necessario per compiere un giro completo):

2

v

2

RT


Moto circolare

Poiché varia il modulo della velocità, v:

Tu

dt

dvTa

Poiché varia, definiamo accelerazione angolare, :

costtα

)t-α(tωtω

)t-α(t2

1)t-(tωt

00

20000

Moto circolare uniformemente accelerato

αra r

a

dt

dv

r

1

dt

dω

dt

dα T

T2

2

a

ωv

x

t

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