Funzione logaritmica e esponenziale - TIM logaritmica e... · Microsoft Word - Funzione logaritmica...
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Funzione esponenziale Dato un numero reale a>0, la funzione x y a si chiama funzione esponenziale di base a e fa parte della famiglia delle funzioni elementari. Il suo andamento (crescenza o decrescenza) è strettamente legato al valore della base a. Facciamo subito notare come la scelta della base a condiziona il comportamento della funzione esponenziale : se avessi x y a con a>1 avrei un numero a esprimibile mediante frazione con numeratore maggiore del denominatore. Quindi con n>d x x n y d , da ciò si evince che all’aumentare di x il numeratore diventa sempre più grande del denominatore e di conseguenza il numero a (rapporto tra n e d) diventa sempre più grande. Per esempio, dato 3 2 x y . Se prendo x=2 si ha 9 ( 2, 25) 4 y . Se prendo x=3 si ha 27 ( 3, 375) 8 y . Quindi all’aumentare del valore di x, la funzione y cresce . se avessi x y a con a positivo ma <1 avrei un numero a esprimibile mediante frazione con denominatore maggiore del numeratore. Quindi con d>n x x n y d , da ciò si evince che all’aumentare di x il denominatore diventa sempre più grande del numeratore e di conseguenza il numero a (rapporto tra n e d) diventa sempre più piccolo. Per esempio, dato 2 3 x y . Se prendo x=2 si ha 4 ( 0, 444) 9 y . Se prendo x=3 si ha 8 ( 0, 296) 27 y . Quindi all’aumentare del valore di x, la funzione y decresce .
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Funzione esponenziale
Dato un numero reale a>0, la funzione xy a si chiama funzione esponenziale di base a e fa parte della famiglia delle funzioni elementari. Il suo andamento (crescenza o decrescenza) è strettamente legato al valore della base a. Facciamo subito notare come la scelta della base a condiziona il comportamento della funzione esponenziale :
se avessi xy a con a>1 avrei un numero a esprimibile mediante frazione con numeratore
maggiore del denominatore. Quindi
con n>dx
x
ny
d , da ciò si evince che all’aumentare
di x il numeratore diventa sempre più grande del denominatore e di conseguenza il numero a (rapporto tra n e d) diventa sempre più grande.
Per esempio, dato 32
x
y
.
Se prendo x=2 si ha 9 ( 2,25)4
y . Se prendo x=3 si ha 27 ( 3,375)8
y .
Quindi all’aumentare del valore di x, la funzione y cresce.
se avessi xy a con a positivo ma <1 avrei un numero a esprimibile mediante
frazione con denominatore maggiore del numeratore. Quindi
con d>nx
x
ny
d ,
da ciò si evince che all’aumentare di x il denominatore diventa sempre più grande del numeratore e di conseguenza il numero a (rapporto tra n e d) diventa sempre più piccolo.
Per esempio, dato 23
x
y
.
Se prendo x=2 si ha 4 ( 0,444)9
y . Se prendo x=3 si ha 8 ( 0,296)27
y .
Quindi all’aumentare del valore di x, la funzione y decresce.
Quindi riassumiamo i due casi con l’ausilio dei grafici:
Funz. xy a con base “a” maggiore di 1
Funz. xy a con base “a” 0 < a < 1
Nota che in entrambi i casi 0 1a
Un esempio per capire l’importanza nell’ osservare il valore dell’esponente durante un esercizio!!!
Se ho a>1
2 1x
x > 0
Se ho 0<a<1
1 12
x
x < 0
Dominio
Codominio 0;
Crescenza/decrescenza Funz Crescente in
Concavità/convessità Strettamente convessa in
Dominio
Codominio 0;
Crescenza/decrescenza Funz Decrescente in
Concavità/convessità Strettamente convessa in
y=1
y=1
Nota che se prendo un valore negativo x, ( ) 0xa comunque sia scelta la base a>0.
Facciamo un esempio con 2 e 23
a x :
2 22 3 9( ) ( ) 0
3 2 4
La funzione esponenziale è la funzione inversa della funzione logaritmica infatti vale la seguente condizione:
log con x e y 0;+xay a x y
PROPRIETA’ DEGLI ESPONENZIALI
1. x y x ya a a 2. :x y x ya a a 3. ( )x y x ya a 4. ( )x x xa b a b 5. ( : ) :x x xa b a b
6. 1 1xx
xaa a
7. ( )n
m nma a
Funzione logaritmica
La funzione logaritmica logay x fa parte della famiglia delle funzioni elementari. Il suo andamento (crescenza o decrescenza) è strettamente legato al valore della sua base a. Infatti possiamo distinguere i diversi due grafici:
Funz. loga x con base “a” maggiore di 1
Funz. loga x con base “a” 0 < a < 1
Quindi dai grafici si deduce che: se la base del logaritmo è maggiore di 1, il logaritmo di un numero maggiore di 1 è positivo mentre il
logaritmo di un numero minore di 1 è negativo. se la base del logaritmo è 0 < a < 1 , il logaritmo di un numero maggiore di 1 è negativo mentre il logaritmo
di un numero minore di 1 è positivo.
In entrambi i casi il loga1=0 e il logaa=1.
Un esempio per capire l’importanza della base!!!
Se ho a>1
2log 0x
x>1
Se ho 0<a<1
12
log 0x
0<x<1
Dominio 0;
Codominio
Crescenza/decrescenza Funz Crescente in 0;
Concavità/convessità Strettamente concava in 0;
Dominio 0;
Codominio
Crescenza/decrescenza Funz Decrescente in 0;
Concavità/convessità Strettamente
convessa in 0;
La funzione logaritmica è la funzione inversa della funzione esponenziale infatti vale la seguente condizione:
log con x 0;+ e yya x y x a
PROPRIETA’ DEI LOGARITMI
Il logaritmo in base a di a è 1:
Il logaritmo di 1 è, in qualsiasi base, 0:
Vale l' identità:
Il logaritmo del prodotto di due numeri è uguale alla somma dei logaritmi dei due numeri:
Il logaritmo di un quoziente è uguale alla differenza tra i logaritmi del dividendo e del
divisore:
Il logaritmo dell'inverso di a è l'opposto del logaritmo di a:
Il logaritmo di un numero elevato all'esponente k è uguale al prodotto dell'esponente per il logaritmo del numero:
Conseguenza della precedente proprietà, il logaritmo della radice k di x è uguale al quoziente tra il logaritmo e k:
Cambiamento di base: Se b, x, e k ( )reali positivi con b ≠ 1 e k qualsiasi ≠ 1:
La formula precedente si trasforma nel modo seguente:
e segue dalla relazione
Dalla formula del cambiamento di base, ponendo k = x, si ricava la relazione seguente:
