Funzione derivabile. La derivata.€¦ · per il teorema di Fermat, in un tale punto la derivata si...

Funzione derivabile. La derivata.

Dati:

If−→ R funzione; I ⊂ R intervallo aperto ; x0 ∈ I .

Definizione (Derivata come limite del rapporto incrementale)

Se esiste finito (cioe, non +∞ o −∞) il limite del rapportoincrementale

limx→x0

f (x)− f (x0)

x − x0

(limh→0

f (x0 + h)− f (x0)

h

)f si dice derivabile in x0 e tale limite si chama la derivata di f nelpunto x0.

Alcune notazioni per la derivata

f ′(x0)df

dx(x0) (Leibniz) Df (x0) f (x0) (Newton)

Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Derivate 1/45

Il differenziale.

Definizione (Funzione lineare)

R T−→ R si dice lineare se T (h) = L · h, (L ∈ R fissato).

Definizione (Il differenziale)

Supponiamo f derivabile in x0. Si chiama differenziale di f in x0, esi denota dfx0 , la funzione lineare

Rdfx0−→ R h 7−→ dfx0(h) = f ′(x0) · h (1)

Esempio

f (x) = x2; x0 = 1; f ′(x0) = 2x0 = 2; dfx0 : h→ 2h.


Differenziabile equivale a derivabile

Teorema (Proprieta di differenziabilita)

1 Se f e derivabile in x0, allora si puo scrivere:

f (x0 + h) = f (x0) + f ′(x0) · h + o(h) per h→ 0 (2)

2 Se esiste una funzione lineare R −→ R, h→ L · h tale che

f (x0 + h) = f (x0) + L · h + o(h) per h→ 0 (3)

allora f e derivabile in x0 e L = f ′(x0).


Dimostrazione

Implicazione (1):

limh→0

f (x0 + h)− f (x0)− f ′(x0) h

h=

limh→0

[f (x0 + h)− f (x0)

h− f ′(x0)

]= f ′(x0)− f ′(x0)

= 0

Implicazione (2):

limh→0

f (x0 + h)− f (x0)

h= lim

h→0

[L +

o(h)

h

]= L + lim

h→0

o(h)

h= L


Interpretazione geometrica del differenziale.

dfx0(h)(= f ′(x0) · h) e la variazione dell’ordinata, corrispondenteall’incremento h dell’ascissa, letta sulla retta tangente (anziche sulgrafico).


Teoremi sulle derivate (1)

Teorema (Derivabilita implica continuita)

Se f e derivabile in x0, allora e continua in x0.

Dimostrazione

limx→x0

[f (x)− f (x0)] = limx→x0

[f (x)− f (x0)

x − x0(x − x0)

]= f ′(x0) · 0 = 0


Funzioni derivabili e non derivabili

Derivabile: esistono le rette tangenti

f ′−(x0) 6= f ′+(x0)

Continua non derivabile

Non continua (Salto)f (x) = x sin

1

x, f (0) = 0

Continua non derivabile


Formule di derivazione (1)

Teorema (Somma, prodotto, quoziente)

Se f , g sono derivabili in x, allora:

1 f + g e derivabile in x, e

(f + g)′(x) = f ′(x) + g ′(x)

2 f · g e derivabile in x, e vale la Regola di Leibniz:

(f · g)′(x) = f ′(x)g(x) + f (x)g ′(x)

3 (Derivata del quoziente) Se g(x) 6= 0, allora il rapporto f /g ederivabile in x e si ha:(

f

g

)′(x) =

f ′(x)g(x)− f (x)g ′(x)[g(x)

]2Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Derivate 8/45

Derivata della funzione composta e della funzione inversa

Teorema (Derivata della funzione composta. “Chain Rule”)

Se e definita la funzione composta g ◦ f , f e derivabile in x0 e g ederivabile in y0 = f (x0), allora g ◦ f e derivabile in x0 e si ha

(g ◦ f )′(x0) = g ′(y0) · f ′(x0)

Teorema (Derivata della funzione inversa)

Sia f una funzione reale definita su un intervallo I e invertibile.Supponiamo f derivabile in un punto x0 ∈ I e f ′(x0) 6= 0. Allora lafunzione inversa f −1 e derivabile nel punto y0 = f (x0) e si ha

(f −1)′(y0) =1

f ′(x0)(4)


Alcune derivate importanti (Da dimostrare)

1 Dxα = αxα−1

2 Dex = ex

3 D ln x =1

x4 D sin x = cos x

5 D cos x = − sin x

6 D tan x =1

cos2 x

7 D arctan x =1

1 + x2

8 D sinh x = cosh x

9 D cosh x = sinh x


Punti di massimo o minimo locale per una funzione

Definizione

Sia Df−→ R una funzione definita su un sottoinsieme D ⊂ R.

1 Un punto x0 ∈ D e punto di massimo locale per f , e il valoref (x0) si chiama un massimo locale per f , se esiste un intornoI di x0 tale che per ogni x ∈ I ∩ D si abbia

f (x0) ≥ f (x) (5)

2 Un punto x0 in D e un punto di minimo locale per f , e ilvalore f (x0) si chiama un minimo locale per f , se esiste unintorno I di x0 tale che per ogni x ∈ I ∩ D si abbia

f (x0) ≤ f (x) (6)


Teorema d Fermat

Definizione

Un punto x0, appartenente a un insieme D ⊂ R, si dice interno aD se esiste un intorno I (x0; r) = (x0 − r , x0 + r), di raggio r > 0,incluso in D:

I (x0; r) ⊂ D

Teorema (Fermat)

Sia Df−→ R una funzione a valori reali definita su un insieme

D ⊂ R. Supponiamo che:

1 x0 sia un punto di massimo (o di minimo) locale per f ;

2 x0 sia interno a D;

3 f sia derivabile in x0.

Allora x0 e un punto stazionario di f , cioe f ′(x0) = 0.


Dimostrazione del T. di Fermat

Sia x0 un punto di massimo locale per f . Esiste un intornosufficientemente piccolo I di x0 con le due proprieta seguenti:I ⊂ D (perche x0 e interno a D) e

∀x ∈ I f (x)− f (x0) ≤ 0 (7)

(perche x0 e punto di massimo locale). Per ogni x ∈ I , x 6= x0, siha allora

f (x)− f (x0)

x − x0≤ 0 (8)

se x > x0 ef (x)− f (x0)

x − x0≥ 0 (9)

se x < x0. Passando al limite per x che tende a x0, si ricavarispettivamente f ′(x0) ≤ 0 e f ′(x0) ≥ 0. Di conseguenzaf ′(x0) = 0. �


Teorema di Rolle

Teorema (Rolle, 1690)

Sia [a, b]f−→ R una funzione continua sull’intervallo compatto

[a, b] e derivabile sull’intervallo aperto (a, b). Supponiamo

f (a) = f (b) (10)

Allora esiste (almeno) un punto γ ∈ (a, b) in cui la derivata di f siannulla:

f ′(γ) = 0 (11)


Dimostrazione del T. di Rolle

Per il teorema di Weierstrass la funzione f , continua sul compatto[a, b], assume il suo valore massimo M e il suo valore minimo m.Questo significa che esiste (almeno) un punto xM ∈ [a, b] ed esiste(almeno) un punto xm ∈ [a, b] tali che f (xM) = M e f (xm) = m.Sono possibili due casi.

1 Sia xM che xm cadono negli estremi di [a, b]. In tale caso, perl’ipotesi f (a) = f (b), si ha M = m. Ma allora f e costante, equindi f ′(x) = 0 in ogni punto x di (a, b).

2 Almeno uno dei due punti xm, xM e interno ad [a, b]. Allora,per il teorema di Fermat, in un tale punto la derivata siannulla .

Dunque, in ogni caso esiste (almeno) un punto γ nell’intervalloaperto (a, b) in cui la derivata si annulla. �


Teorema del Valore Medio (di Lagrange)

Teorema (del Valore Medio, o di Lagrange)

Sia [a, b]f−→ R una funzione continua sull’intervallo compatto

[a, b] e derivabile sull’intervallo aperto (a, b). Allora esiste unpunto γ ∈ (a, b) per il quale si ha

f (b)− f (a) = f ′(γ)(b − a) (12)


Dimostrazione del T. di Lagrange

Si consideri la funzione

g(x) = f (x)− f (a)− f (b)− f (a)

b − a(x − a) (13)

definita sull’intervallo [a, b]. Tale funzione soddisfa le ipotesi delteorema di Rolle. Dunque, esiste un punto γ in (a, b) in cuig ′(γ) = 0. La derivata di g(x) e

g ′(x) = f ′(x)− f (b)− f (a)

b − a

Quindi si ha

0 = g ′(γ) = f ′(γ)− f (b)− f (a)

b − a

che e la tesi. �


Funzioni con derivata nulla su un intervallo

Teorema

Una funzione definita su un intervallo aperto I = (a, b) e conderivata nulla in ogni punto di tale intervallo e costante.

Dimostrazione

Prendiamo due punti x1, x2 in (a, b). Per il teorema di Lagrange,esiste un punto c , compreso tra x1 e x2, per il quale si ha:

f (x2)− f (x1) = f ′(c)(x2 − x1) = 0 · (x2 − x1) = 0

Ne segue f (x1) = f (x2). Quindi f e costante. �


Funzioni con derivate uguali su un intervallo

Teorema

Siano f e g due funzioni reali, definite su un intervallo apertoI = (a, b), con uguale derivata in ogni punto di I = (a, b):

∀x ∈ I f ′(x) = g ′(x) (14)

Allora f e g differiscono per una costante.

Dimostrazione

Applicare il Teorema precedente alla funzione ϕ(x) = f (x)− g(x).


Funzioni monotone

Definizione

Una funzione Df−→ R e crescente (o non decrescente) su D

(sottoinsieme qualunque di R, non necessariamente un intervallo),se, per ogni x1, x2 ∈ D,

x1 < x2 =⇒ f (x1) ≤ f (x2) (15)

Se per ogni x1, x2 ∈ D,

x1 < x2 =⇒ f (x1) < f (x2) (16)

diremo che f e strettamente crescente su D.In modo analogo si definiscono le funzioni decrescenti (o noncrescenti) e le funzioni strettamente decrescenti.


Funzioni strettamente monotone

Teorema (Funzioni derivabili strettamente monotone)

Sia I un intervallo aperto e sia f una funzione reale derivabile su I .

1 Se f ′(x) > 0 in ogni punto x ∈ I , allora f e strettamentecrescente su I .

2 Se f ′(x) < 0 in ogni punto x ∈ I , allora f e strettamentedecrescente su I .

Dimostrazione. (Implicazione (1))

Siano x1, x2 due punti di I , con x1 < x2. Per il Teorema diLagrange esiste un punto c , compreso tra x1 e x2, per il quale

f (x1)− f (x2) = f ′(c)︸︷︷︸>0

(x1 − x2)︸︷︷︸<0

< 0

Dunque f e strettamente crescente su I . (La (2) e analoga). �Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Derivate 21/45

Funzioni derivabili monotone

Teorema

Sia I un intervallo aperto e sia f una funzione reale derivabile su I .Allora:f crescente su I ⇐⇒ f ′(x) ≥ 0 per ogni x ∈ I


Dimostrazione: =⇒Fissiamo x0 ∈ I . Poiche, per ipotesi, f e crescente, il rapportoincrementale e sempre maggiore o uguale a zero. Quindi(Permanenza del Segno) il limite del rapporto incrementale,quando x tende a x0, resta maggiore o uguale a zero:

f ′(x0) = limx→x0

f (x)− f (x0)

x − x0≥ 0

Dimostrazione: ⇐=

Siano x1, x2 ∈ I , con x1 < x2. Per il Teorema di Lagrange, esisteun punto c , x1 < c < x2, tale che

f (x1)− f (x2) = f ′(c)︸︷︷︸≥0

(x1 − x2)︸︷︷︸<0

≤ 0

Dunque f e crescente in I . �


Teorema di Cauchy

Teorema (di Cauchy)

Siano f e g due funzioni continue sull’intervallo compatto [a, b] ederivabili sull’intervallo aperto (a, b). Supponiamo g ′(x) 6= 0 perogni x in (a, b). Allora esiste (almeno) un punto γ ∈ (a, b) per ilquale

f (b)− f (a)

g(b)− g(a)=

f ′(γ)

g ′(γ)(17)


Regole di de L’Hospital

Teorema (Joh. Bernoulli 1691, de L’Hospital 1696. Caso0

0.)

Siano f e g due funzioni continue sull’intervallo [x0, b] (x0 ∈ R) ederivabili in (x0, b). Supponiamo che valgano le seguenti ipotesi:

1 f (x0) = g(x0) = 0.

2 g ′(x) 6= 0 per ogni x ∈ (x0, b).

3 Esiste (finito o infinito) il limite limx→x+

0

f ′(x)

g ′(x)= L

Allora esiste anche il limite limx→x+

0

f (x)

g(x)ed e uguale al precedente:

limx→x+

0

f (x)

g(x)= L


Dimostrazione di de L’Hospital

Caso L finito.

Applichiamo il teorema di Cauchy alla coppia di funzioni f ,gsull’intervallo [x0, x ]. Poiche f (x0) = g(x0) = 0, per il teorema diCauchy si ha

f (x)

g(x)=

f (x)− f (x0)

g(x)− g(x0)=

f ′(γ)

g ′(γ)

per un opportuno γ soddisfacente x0 < γ < x . Quando x tende ax0, il punto γ, compreso tra x e x0, deve tendere a x0. Quindi,poiche

f (x)

g(x)=

f ′(γ)

g ′(γ)

e limx→x+

0

f ′(x)

g ′(x)= L, anche il limite lim

x→x+0

f (x)

g(x)deve esistere, e deve

essere uguale a L. �


Teorema (de L’Hospital, caso∞∞

. (Senza dimostrazione))

Siano f e g due funzioni continue sull’intervallo [x0, b] e derivabiliin (x0, b). Supponiamo che valgano le seguenti condizioni:

1 limx→x+

0

f (x) = limx→x+

0

g(x) = +∞

2 g ′(x) 6= 0 per ogni x ∈ (x0, b).

3 Esiste (finito o infinito) il limite

limx→x+

0

f ′(x)

g ′(x)= L (18)

Allora esiste anche il limite limx→x+

0

f (x)

g(x)ed e uguale al precedente:

limx→x+

0

f (x)

g(x)= L (19)

(Non facciamo la dimostrazione).Federico Lastaria. Analisi e Geometria 1. Derivate 27/45

Altri casi di de L’Hospital

Infine, le regole di de L’Hospital valgono anche per le forme di

indeterminazione0

0o∞∞

quando x tende a +∞ o −∞.

L’enunciato e sempre dello stesso tipo: se esiste il limite

limx→+∞

f ′(x)

g ′(x)= L

(finito o infinito) allora esiste anche il limite limx→+∞

f (x)

g(x)ed e

uguale al precedente:

limx→+∞

f (x)

g(x)= L


I polinomi di Taylor

Teorema (Polinomio di Taylor)

Sia f una funzione derivabile n volte in un punto x0. Allora esisteun polinomio Pn(x), e uno soltanto, di grado minore o uguale a n,che ha in comune con f , nel punto x0, tutte le prime n derivate,cioe che soddisfa le n + 1 condizioni:

Pn(x0) = f (x0), P ′n(x0) = f ′(x0), ......,P(n)n (x0) = f (n)(x0)

Tale polinomio, detto polinomio di Taylor di ordine n di f , centratoin x0, e dato da:

Pn(x) = f (x0) + f ′(x0)(x − x0) + · · ·+ f (n)(x0)

n!(x − x0)n

Problema fondamentale: Il resto = f (x)− Pn(x) =?


Studio locale (vicino a un punto x0): Formula di Taylorcon il resto di Peano

Teorema (Formula di Taylor locale, con il resto di Peano)

Sia f una funzione di classe Cn su un intervallo aperto I dell’assereale. Fissiamo un punto x0 in I . Allora vale la Formula di Taylor:

f (x) = f (x0)+f ′(x0)(x−x0)+· · ·+ 1

n!f (n)(x0)(x−x0)n+o((x−x0)n)

In particolare, se x0 = 0, si ha la Formula (detta di Maclaurin):

f (x) = f (0) + f ′(0)x + · · ·+ 1

n!f (n)(0)xn + o(xn)


Dimostrazione della Formula di Taylor con il resto di Peano

(Caso n = 2.)

Usando due volte di seguito il teorema di L’Hospital, abbiamo

limx→x0

f (x)− f (x0)− f ′(x0)(x − x0)− 12! f

′′(x0)(x − x0)2

(x − x0)2=

limx→x0

f ′(x)− f ′(x0)− f′′

(x0)(x − x0)

2(x − x0)=

limx→x0

f ′′(x)− f ′′(x0)

2= 0

Poiche l’ultimo limite (giustificato dalla continuita di f ′′ in x0)esiste e vale 0, per il teorema di de L’Hospital anche il limiteiniziale esiste e vale 0, come volevamo dimostrare.


Alcuni importanti sviluppi locali di Taylor (resto di Peano)

exp x = 1 + x +x2

2!+

x3

3!+ · · ·+ xn

n!+ o(xn)

cos x = 1− x2

2!+

x4

4!− x6

6!+ · · ·+ (−1)n

x2n

(2n)!+ o(x2n+1)

sin x = x − x3

3!+

x5

5!− x7

7!· · ·+ (−1)n

x2n+1

(2n + 1)!+ o(x2n+2)

ln(1 + x) = x − x2

2+

x3

3− x4

4· · ·+ (−1)n+1 xn

n+ o(xn)


Altri sviluppi locali: Il binomio di Newton

Per ogni α ∈ R:

(1 + x)α =n∑

k=0

(α

k

)xk + o(xn)

= 1 + αx +α(α− 1)

2!x2 + · · ·

+α(α− 1) · · ·+ (α− n + 1)

n!xn + o(xn)

1

1 + x= 1− x + x2 − x3 + · · ·+ (−1)nxn + o(xn)

1

1− x= 1 + x + x2 + x3 + · · ·+ xn + o(xn)


Altri sviluppi locali. (Taylor, resto di Peano)

arctan x = x − x3

3+

x5

5− x7

7+ o(x8)

tan x = x +1

3x3 +

2

15x5 + o(x6)

(L’espressione generale per i coefficienti e difficile.)


Studio (“globale”) su un intervallo: Formula di Taylor conil resto di Lagrange

Teorema (Formula di Taylor con il resto di Lagrange)

Sia f una funzione derivabile n + 1 volte su un intervallo aperto Idell’asse reale. Fissiamo un punto x0 in I . Allora, per ogni altropunto x ∈ I esiste un punto c, compreso tra x0 e x, per il qualevale:

f (x) = f (x0) + f ′(x0)(x − x0) +f ′′(x0)

2!(x − x0)2 + · · ·+

· · ·+ f (n)

n!(x0)(x − x0)n +

f (n+1)(c)

(n + 1)!(x − x0)n+1


Un’applicazione importante: stima dell’errore

Problema

Nell’intervallo [0, π/4], approssimiamo sin x con il polinomio diTaylor

P3(x) = x − x3

3!

Dare una stima dell’errore che si compie.

Soluzione

sin x = x − x3

3!+

cos c

5!x5

L’errore che si compie e dunque∣∣∣cos c

5!x5∣∣∣ ≤ (π/4)5

5!' 0, 0024


La serie esponenziale

(Taylor, resto di Lagrange). Per ogni fissato x ∈ R e per ognin ∈ N, esiste un numero c , compreso tra 0 e x , tale che

ex = 1 + x +x2

2!+

x3

3!+ · · ·+ xn−1

(n − 1)!+

xn

n!ec (20)

Per ogni x fissato, per n→ +∞, il resto tende a zero:

xn

n!ec → 0

Abbiamo allora lo sviluppo di ex (serie esponenziale):

ex =+∞∑n=0

xn

n!= 1 + x +

x2

2!+

x3

3!+ · · ·+ xn

n!+ · · · (21)

valido per ogni x ∈ R.


Dimostrazione: Il resto Rn =xn

n!ec tende a 0

Dimostrazione (non richiesta)

Dimostriamo che, per ogni x ∈ R, il restoxn

n!ec tende a 0. La

successionexn

n!(x ∈ R fissato) tende a 0. (Fatto gia dimostrato).

Sia nel caso x < c < 0 che nel caso 0 < c < x , vale | c |<| x | equindi

ec ≤ e |c| < e |x |

Dunque, posto K = e |x |, vale sempre la disuguaglianza ec < K .Dunque

0 <xn

n!ec <

xn

n!K

Siccomexn

n!K → 0, anche

xn

n!ec → 0 (per n→ +∞) per il criterio

del confronto. �


Altri sviluppi in serie di potenze

sin x = x − x3

3!+

x5

5!− x7

7!+ · · · x ∈ R

cos x = 1− x2

2!+

x4

4!− x6

6!+ · · · x ∈ R

(1 + x)α =+∞∑n=0

(α

n

)xn − 1 < x < 1

1

1− x= 1 + x + x2 + x3 + · · ·+ xn + · · · − 1 < x < 1

1

1 + x2= 1− x2 + x4 − x6 + · · · − 1 < x < 1


Funzioni convesse

Definizione

Una funzione f definita su un intervallo aperto I si dice convessa,se per ogni x1, x2 ∈ I il segmento di estremi M = (x1, f (x1)) eN = (x2, f (x2)) sta al di sopra del grafico di f .

0

MN

In modo equivalente, se per ogni x1, x2 ∈ I e per 0 ≤ t ≤ 1 si ha:

f ((1− t)x1 + tx2) ≤ (1− t)f (x1) + tf (x2) (22)


Funzioni concave

Definizione

Una funzione f definita su un intervallo aperto I si dice concava,se (−f ) e convessa, cioe se per ogni x1, x2 ∈ I il segmento diestremi M = (x1, f (x1)) e N = (x2, f (x2)) sta al di sotto delgrafico di f .

0

MN

In modo equivalente, se per ogni x1, x2 ∈ I e per 0 ≤ t ≤ 1 si ha:

f ((1− t)x1 + tx2) ≥ (1− t)f (x1) + tf (x2) (23)


Funzioni convesse derivabili

Teorema

Condizione necessaria e sufficiente perche una funzione f ,derivabile in tutto un intervallo [a, b], sia convessa e che la rettatangente al grafico in un suo qualsiasi punto stia tutta al di sottodel grafico.

(La dimostrazione e semplice, ma non la riportiamo).

0


Interpretazione del segno della derivata seconda

Teorema

Supponiamo che f sia derivabile due volte su un intervallo apertoI . Se per ogni x ∈ I si ha f ′′(x) ≥ 0, allora f e convessa.

Dimostrazione

Siano x0, x ∈ I . Per la formula di Taylor centrata in x0, esiste c ,compreso tra x e x0, per il quale vale:

f (x)︸︷︷︸Ordinata sul grafico di f

= f (x0) + f ′(x0)(x − x0)︸︷︷︸Ordinata sulla retta tangente

+f ′′(c)

2(x − x0)2︸︷︷︸≥0

Abbiamo cosı dimostrato che il grafico di f sta tutto al di sopradella retta tangente nel punto (x0, f (x0)). �


Punto di flesso

Definizione (Punto di flesso)

Sia If−→ R una funzione definita su un intervallo aperto I ⊂ R.

Un punto x0 si dice punto di flesso per f se e estremo comune didue intervalli, su uno dei quali la funzione e convessa, e sull’altroconcava.

Osservazione

Sia f una funzione due volte derivabile sull’intervallo aperto I e siax0 ∈ I . La condizione f ′′(x0) = 0 e necessaria perche x0 sia unpunto di flesso per f , ma non sufficiente. (Esempio: f (x) = x4).


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