DERIVATA DI UNA FUNZIONE IN UN PUNTO · 2012. 11. 16. · v ' ' E’ interessante valutare anche la...
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Angela Donatiello 1
DERIVATA DI UNA FUNZIONE IN UN PUNTO SIGNIFICATO GEOMETRICO. EQUAZIONE DELLA RETTA TANGENTE
AL GRAFICO NEL PUNTO DI TANGENZA. REGOLE DI DERIVAZIONE. CONTINUITA’ E DERIVABILITA’
PUNTI DI NON DERIVABILITA’
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A (x1,y1) = (c, f(c)) B(x2,y2) = (c+h, f(c+h))
m =
tg
x
y
xx
yy
12
12
dove è l’angolo che la retta forma con l’asse delle ascisse valutato in senso antiorario.
RAPPORTO INCREMENTALE o TASSO DI VARIAZIONE
h
)c(f)hc(f
x
)c(f)xc(f
x
y
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Esso prende il nome di rapporto incrementale, in quanto è il rapporto tra l’incremento della variabile dipendente e quello della variabile indipendente.
Il rapporto incrementale corrisponde al coefficiente angolare della retta secante la curva nei due punti A e B
Esprime il tasso di variazione della funzione relativo all’intervallo [c,c+h] E’ un tasso di crescita se è positivo, un tasso di decrescita se negativo Si può interpretare anche come velocità media di variazione della
funzione nell’intervallo assegnato Se la funzione è una retta esso è costante, altrimenti varia, al variare
dell’intervallo
Esempio. Il tasso di crescita di una popolazione malthusiana è un rapporto incrementale:
)1t(N
)1t(N)t(Nmn
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Esempio. Velocità media di un corpo. La velocità media è rappresentata dal rapporto tra lo spazio percorso e il tempo impiegato per percorrerlo, indipendentemente dalla legge oraria considerata.
12
12media
tt
)t(s)t(s
t
sv
E’ interessante valutare anche la velocità istantanea di un corpo. Esempio. Controllo della velocità: tutor in autostrada e autovelox.
Tutor misura la velocità media: 12
12media
tt
)t(s)t(s
t
sv
L’autovelox misura la velocità istantanea, ossia una velocità media con l’intervallo di tempo 0t
12
12
0t0teatantanis
tt
)t(s)t(slim
t
slimv
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Data una funzione )x(fy , il limite del rapporto incrementale,
h
)c(f)hc(flim
x
ylim
0h0x
se esiste ed è finito
si chiama derivata della funzione nel
punto c e si indica con il simbolo )c('f o
)c(dx
df
Esempio. Accelerazione media e accelerazione istantanea. (8.1.7)
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Significato geometrico di derivata Il rapporto incrementale rappresenta il coefficiente angolare della retta secante
la curva nei due punti A e B. Quando però 0x , il punto B di coordinate ))hc(f,hc(B tende ad avvicinarsi al punto A di coordinate
))c(f,c(A . La retta secante, tende quindi a diventare tangente alla curva nel punto A. Di conseguenze, il valore del rapporto incrementale tende e diventare il valore del coefficiente angolare della retta tangente alla curva in A.
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Il valore )c('f
h
)c(f)hc(flim
x
ylim
0h0x
derivata della funzione nel punto c, coincide con il coefficiente angolare della retta tangente alla curva in c.
Equazione della retta tangente
Ricordiamo l’equazione del fascio proprio di rette di centro un dato punto P
)xx(myy 00
)cx(m)c(fy )c('fm
)cx)(c('f)c(fy
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Punto stazionario: Data la funzione )x(fy e un suo punto x = c, se 0)c('f allora si dice x = c è punto stazionario, ovvero un punto a tangente
orizzontale.
Derivata destra e sinistra
h
)c(f)hc(flim)c('f
0h
derivata sinistra nel punto c
h
)c(f)hc(flim)c('f
0h
derivata destra nel punto c
Una funzione si definisce derivabile in un punto c se esistono finite le derivate destra e sinistra e sono uguali. Una funzione si definisce derivabile in un intervallo chiuso [a,b] se è derivabile in tutti i suoi punti interni e se esistono finite la derivata destra in a e la derivata sinistra in b.
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Continuità e derivabilità
Teorema. Se una funzione )x(fy è derivabile in un punto x0 allora in quel punto è anche continua.
Hp: h
)x(f)hx(flimfinito 00
0h
Th: )x(f)x(flim 0
xx0
Dim.
hh
)x(f)hx(f)x(f)x(f)hx(f)x(f)hx(f 0000000
Calcolo il limite per 0h di entrambi i membri, tenendo conto del fatto che il limite della somma è la somma dei limiti, il limite del prodotto è il prodotto dei limiti e il limite di una costante è la costante stessa.
hh
)x(f)hx(f)x(flim)hx(flim 000
0h0
0h
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hh
)x(f)hx(flim)x(fh
h
)x(f)hx(flim)x(flim 00
0h0
00
0h0
0h
Ricordiamo l’ipotesi:
)x('fh
)x(f)hx(flim 0
00
0h
finito
Allora 00)x('fhh
)x(f)hx(flim 0
00
0h
(*) )x(f0)x('f)x(f)hx(flim 00000h
Pongo xhx0 se 0xx0h
Sostituendo nella (*) )x(f)x(flim 0xx
0
cioè la funzione è continua in x0.
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Attenzione: Non vale il viceversa!!!! Il teorema non si può invertire!! E’ cioè possibile trovare funzioni continue in un punto, ma non derivabili in tale punto. Controesempio. La funzione valore assoluto
0x
0x
x
x|x|)x(f
Proviamo che in x = 0 è continua, ma non derivabile.
1) 0xlim|x|lim)x(flim0x0x0x
)0(f0xlim|x|lim)x(flim0x0x0x
Pertanto possiamo affermare che è continua in x = 0
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2) Valutiamo ora la derivata destra e la derivata sinistra:
1h
hlim
h
|h|lim
h
|0||h0|lim
h
)0(f)h0(flim)0('f
0h0h0h0h
1h
hlim
h
|h|lim
h
|0||h0|lim
h
)0(f)h0(flim)0('f
0h0h0h0h
Pertanto la derivata destra e la derivata sinistra in x = 0 esistono finite, ma sono diverse, la funzione non è derivabile in x = 0 e si dice che essa ha in x = 0 un punto angoloso.
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Punti di non derivabilità Punti angolosi E' un punto in cui la derivata destra e la derivata sinistra esistono finite,o almeno una delle due è finita, ma sono diverse. In questo caso la curva nel punto ha due tangenti con pendenza diversa.
)c('f)c('f
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Cuspidi Un punto di cuspide è un punto in cui la derivata destra e la derivata sinistra sono infinite, ma con segno diverso. Cuspide verso il basso:
)c('f )c('f
Cuspide verso l’alto:
)c('f )c('f
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Flessi a tangente verticale Un punto di flesso a tangente verticale è un punto in cui la derivata destra e la derivata sinistra sono infinite con lo stesso segno. In questo caso la retta tangente alla curva esiste ed è una retta parallela all’asse y di equazione x = c.
)c('f )c('f
)c('f )c('f
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Funzione derivata: h
)x(f)hx(flimx:)x('f
0h
REGOLE DI DERIVAZIONE
)x('fk)]x(fk[D )x('g)x('f)]x(g)x(f[D )x('g)x(f)x(g)x('f)]x(g)x(f[D
)x('f)]x(f[n)]x(f[D 1nn
2)]x(f[
)x('f
)x(f
1D
2)]x(g[
)x('g)x(f)x(g)x('f
)x(g
)x(fD
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Derivate fondamentali (dim. svolte in aula)
0)k(D 1)x(D xcos)senx(D senx)x(cosD
alna)a(D xx xx e)e(D
elogx
1)x(logD aa
x
1)x(lnD
xtg1xcos
1)tgx(D 2
2
x2
1)x(D
2x1
1)x(arcsinD
2x1
1)x(arccosD
2x1
1)arctgx(D
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Derivata della funzione inversa
Teorema. Sia )x(fy definita e invertibile in un intervallo I e sia )y(fx 1 la sua inversa. Se )x(fy è derivabile in ogni punto di I, con derivata diversa da
zero, allora anche )y(fx 1 è derivabile e vale la relazione:
)x('f
1)]y(f[D 1
Applicazioni
2x1
1)x(arcsinD
2x1
1)x(arccosD
2x1
1)arctgx(D
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Derivata della funzione composta Teorema. Se la funzione g è derivabile nel punto x e la funzione f è derivabile in
)x(gz , allora la funzione composta ))x(g(fy è derivabile in x e la sua derivata è il prodotto delle derivate di f rispetto a z e di g rispetto a x.
dx
dz
dz
df)x('g)z('f))]x(g(f[D con )x(gz
Esempio. 423 )1xx3x2(y in tal caso
1xx3x2)x(gz 23 4z)z(fy
)1x6x6()1xx3x2(4'zz4dx
dz
dz
dfDy 23233
Esempio. )2x(senlny4 34
4x4)2xcos(
)2x(sen
1'y
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Angela Donatiello 20
Esempio. x3arctgy
x3xarctg3)x31(4
3
3x32
1
x31
1
x3arctg2
1'y
Esempio. 2x4x
2
xarcsen4y
2
2
22
2
22
2
22
22
22
2
2
2
2
x42)x4(
x4)x4(2
x4
xx44
x4
xx4
x4
4
x4
xx4
2
1
x4
24
)x2(x42
1xx4
2
1
4
x1
14'y
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Angela Donatiello 21
Derivate di ordine superiore al primo
Data la funzione )x(fy , la sua derivata )x('f'y è una funzione della variabile x, della quale a sua volta è possibile calcolare la derivata. Tale derivata
prende il nome di derivata seconda )x(''f''y . In modo analogo si definisce la derivata terza, come la derivata della derivata seconda e così via. La derivata di una funzione è anche detta derivata prima.
Esempio. 2x3x)x(fy 3
3x3'y 2 x6''y 6'''y 0y )4(
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Angela Donatiello 22
Derivate di funzioni definite per casi o contenente valori assoluti
|xln|)x(f Determino il dominio della funzione
C.E. 0x0x
0x
,0D
Poi valuto il segno dell’argomento del modulo
1x
1x
0x
1x
0x
0x
1lnxln
0x
0x
0xln
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Angela Donatiello 23
Si deduce che l’argomento è
1x00xln
1x0xln
Posso quindi scrivere la funzione per casi:
1x0xln
1xxln|xln|)x(f
Determino ora la funzione derivata
1x0x2
1
1xx2
1
1x0x2
1
x2
1
x
1
1xx2
1
x2
1
x
1
)x('f
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Angela Donatiello 24
Attenzione!!!!!! Devo inizialmente escludere gli estremi, in quanto va controllato se in essi la funzione derivata esiste oppure no e pertanto vanno eventualmente esclusi dal dominio di derivabilità. Cosa succede in x = 1 ? Valutiamo la derivata destra e la derivata sinistra. Se esse risultano diverse o non esistono o sono infinite, allora la funzione iniziale y = f(x) non risulta derivabile in x = 1 e dunque tale punto va escluso dal dominio di derivabilità.
2
1)1('f
2
1)1('f )1('f)1('f finite
Pertanto la funzione in x = 1 non è derivabile e presenta un punto angoloso
,11,0'D dominio di derivabilità
Si osserva che D'D
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Angela Donatiello 25
Determiniamo le due semirette tangenti in x = 1
0|1ln|)1(f )0;1(P )1x(m0y
2
1x
2
1y:t
2
1)1('f
2
1x
2
1y:t
2
1)1('f
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Angela Donatiello 26
Esercizi. Determina la funzione derivata delle seguenti funzioni contenente moduli.
|x6x|y 2 |x|xey )1|1xln(|y
Determina l’equazione della retta tangente alla curva 1x
x
ey nel suo punto di intersezione con l’asse y. [y = - x + 1 ]
Determina i coefficienti dell’equazione dx4
cbxaxy
2
sapendo che il
grafico corrispondente passa per il punto
3
1;1 , nell’origine ha per
tangente la retta x2y ed inoltre si ha che
)x(flim
4
1x
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Angela Donatiello 27
Determina i punti di discontinuità e di non derivabilità delle seguenti funzioni e indicane il tipo.
1x
2x
x1
1xe
)x(f
|x|
[x=1 punto di discontinuità I specie; x=0 punto angoloso; x=2 p. disc. II specie]
3 32 xx)x(f [x=0 cuspide; x=1 flesso a tangente verticale]
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Angela Donatiello 28
Trova a e b, in modo che la funzione sia continua e derivabile in tutto R
0x
1x
2
0xbsenxxcosa
)x(f
2
[a= -2, b = 2]
1xx)1a2(xlnb
1x3xa)x(f
2
[a =1, b = - 5/2]