DERIVATA DI UNA FUNZIONE · derivata di una funzione 1. definizioni e considerazioni propedeutiche...
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DERIVATA DI UNA FUNZIONE
1.1. DDEFINIZIONIEFINIZIONI EE CONSIDERAZIONICONSIDERAZIONI PROPEDEUTICHEPROPEDEUTICHE
2.2. DDEFINIZIONEEFINIZIONE DIDI DERIVATADERIVATA DIDI UNAUNA FUNZIONEFUNZIONE ININ UNUN PUNTOPUNTO
3.3. SS IGNIFICATOIGNIFICATO GEOMETRICOGEOMETRICO DELLADELLA DERIVATADERIVATA
4.4. DDERIVATAERIVATA DESTRADESTRA EE SINISTRASINISTRA
5.5. OOSSERVAZIONISSERVAZIONI IMPORTANTIIMPORTANTI , , DEFINIZIONIDEFINIZIONI , , TEOREMITEOREMI
6.6. DDERIVATERIVATAA DELLEDELLE FUNZIONIFUNZIONI ELEMENTARIELEMENTARI
7.7. TTEOREMIEOREMI SULLESULLE REGOLEREGOLE DIDI DERIVAZIONEDERIVAZIONE
8.8. )x('f ÈÈ UNAUNA FUNZIONEFUNZIONE – – DERIVATEDERIVATE SUCCESSIVESUCCESSIVE
9.9. TTEOREMIEOREMI DIDI DEDE LL’H’HOSPITALOSPITAL
10. SS IGNIFICATOIGNIFICATO FISICOFISICO DELLADELLA DERIVATADERIVATA
11. IL DIFFERENZIALE
12. TEOREMI DEL CALCOLO DIFFERENZIALE
1. DEFINIZIONI E CONSIDERAZIONI PROPEDEUTICHE.
Data la funzione f(x) definita e continua in un intervallo I ⊂ Df e sia x0 un punto interno ad I , definiamo:
F1
a) AH = x − x0 = h = ∆x incremento della variabile indipendente fatto rispetto ad x0 ;
b) HB = f(x) – f(x0) = f(x0+h) – f(x0) = ∆y incremento della variabile dip. fatto rispetto ad f(x0);
c) le scritture
x
y
h
)x(f)hx(f
xx
)x(f)x(f
AH
HB
∆∆=−+=
−−= 00
0
0
prendono il nome di RAPPORTO INCREMENTALE.
2
Osservazioni:
1. il R.I. è la tangente goniometrica dell’angolo α di figura (f 1)
R.I. = tgα = coeff. ang. della retta per AB;
2. al tendere di x ad x0 , tanto l’incremento della variabile indip. quantol’incremento della var. dip. tendono a zero, cioè
x→ x0 , H → A, B → A lungo il grafico della funzione, h → 0, ∆x → 0f(x) → f(x0), f(x0+h) → f(x0), ∆y → 0,
quindi il R.I. tende a diventare il coeff. ang. della retta tangente al grafico della funzione in A(x0 ; f(x0)).
Esempio: determina il R.I. della funzione f (x) = x2 nel punto x0 = 1, per un incremento della variabile ind. h = 1:
3 21 R.I. ottiene si 1he 1x per
xh h
)xh(h
hxhxhx
h
x)hx(.I.R
0 =+===
+=+=−++=−+= 00
200
220
20
20 2
22
La retta secante passante per A(1;1) e B(2;4) ha coeff. ang. m = 3
3
F2
2. DEFINIZIONE DI DERIVATA DI UNA FUNZIONE IN UN PUNTO:
la funzione f(x) sia definita e continua in un intervallo I ⊂ Df e sia x0 un punto interno ad I, si definisce derivata della f(x) nel punto x0 il limite finito, se esiste, del rapporto incrementale che si ottiene facendo tendere a zero l’incremento della variabile indipendente:
Δx
Δy
xx
)f(xf(x)
)f(x)f(x ) '(x f
xxxxxhlimlimlim
hh
000
0
0
00
00
=→∆→→
=
−−=−+=
3. SIGNIFICATO GEOMETRICO DELLA DERIVATA
Da quanto detto nelle osservazioni, si deduce che la derivata di una funzione in un punto è il coefficiente angolare della retta tangente al grafico della funzione nel punto A(x0; f(x0)):
tangente in A t: y = mx + q con m = f ’(x0).
Problemi notevoli
4
321
41 =−−=
−−=
BA
BA
xx
yym
1° Problema notevole: determina l’equazione della retta tangente al grafico G della funzione f(x) nel punto A( xA ; yA ), con A∈G .
soluzione: )x-)(x(x' f y-y )x(' fm
)x-m(x y-yAAA
A
AA =⇒
==
Esempio: f (x) = x2 , A( 1 ;1 ) (A∈G)
Retta tangente in A: y – 1 = f ’(1)( x – 1 )
20000
=+=+=−++=−+=→→→→
2)(h h
2)h(h
h
12hh1
h
1h)(1 (1)' f limlimlimlim
hh
2
h
2
h
La retta tangente per A(1;1) è quindi: y = 2x - 1 . (figura F2)2° Problema notevole: determina l’equazione della retta tangente al grafico G della funzione f(x) e passante per il punto A( xA ; yA ), con A∉G .
soluzione: AAAA y)x-(x)(x' f f(x)
(x)' fm
)x-m(x y-y
f(x)y
+=⇒
==
= (*)
Le soluzioni dell’equazione (*), se esistono, sono le ascisse xi degli eventuali punti di tangenza, quindi trovo i coefficienti angolari mi = f ’(xi) e le rette tangenti ti: y - yA = mi(x-xA) .
a) Esempio: f (x) = x2 , A( 2 ;1 ) (A∉G)
Ricerca delle ascisse degli eventuali punti di tangenza:
f(x) = f ’(x)( x - xA ) + yA → x2 = 2x(x-2)+1 ; x2 - 4x + 1 = 0 ; 32x1,2 ±= ;coefficienti angolari : m1,2 = ( )32 ±2
rette tangenti : t1,2 : y – 1 = ( )32 ±2 (x - 2) .
5
b) Esempio: f (x) = x2 , A( 0 ;2 ) (A∉G)
Ricerca delle ascisse degli eventuali punti di tangenza:f(x) = f ’(x)( x - xA ) + yA → x2 = 2x(x-0)+2 ; x2 +2 = 0 ; l’equazione non ammette sol. reali, quindi non ci sono tangenti.
Osserva che f ’(x) è la derivata fatta in un generico punto x del dominio della f(x) e vale:
2x 2x)(h lim h
2x)h(hlim
h
x2xhhxlim
h
xh)(xlim (x)' f
0h0h
222
0h
22
0h=+=
+=
−++=
−+=
→→→→
(vedi anche in ‘ derivate delle funzioni elementari ’ , caso 6.3)
4. DERIVATA DESTRA E SINISTRA
I limiti da destra e da sinistra del R.I. in x0 possono esistere, essere finiti, ma diversi fra loro, in tal caso la funzione è non derivabile in x0 e si parla di derivata destra e derivata sinistra nel punto x0 . (FIG . F3 )
)(xf )(xfe )(xf e )(xf )(xf 00000'''''+−+− =∃∃⇔∃ .
Precisazioni sul concetto di derivabilità in un punto.
Consideriamo la funzione definita nei seguenti insiemi (intervalli):
1. [a;b] la f(x) è derivabile in a ( o in b) se in tale punto esiste la derivata da destra (sinistra);
2. ]a; b] la f(x) non può avere derivata in a, perché ivi non definita; può avere derivata da sinistra in b.
Esempi
1.
6
[ [
00
00
0
0
3
0
3
==−
−=
=∞+==
+→+→+ x
xx
x
x)(f
0x inderivata la calcolo ; ;D ; x)x(f
xx
'
0f
limlim
la funzione è derivabile in x0 = 0 da destra e la derivata vale 0.
2. ] [ ; D ;xln)x(f f ∞+== 0
la funzione non è derivabile in x0 = 0 perché in tale punto non è definita.
5. OSSERVAZIONI IMPORTANTI, DEFINIZIONI, TEOREMI
1. La continuità della f(x) in x 0 è condizione necessaria per la derivabilità.
TEOREMA : se una f(x) è definita e derivabile in x0, allora f(x) è continua in x0.
dim: se esiste la f ’(x0) allora esiste ed è finito il limite del
R.I. in x0 , cioè 0
00
0 xx
)x(f)x(f
xx )x('f lim
−−
→=
quindi :
( )
( ) )f(xxxxx
)f(xf(x))f(xlim f(x)lim
xxxx
)f(xf(x))f(x )f(x)f(xf(x) f(x)
000
00
0
00
0000
xxxx
xx con
=−−−+=
−−−+=−+=
≠
→→00
ma se )x(f)x(fxx
lim 00
=→ significa che la f(x) è continua in x0.
7
Quindi la derivabilità è condizione sufficiente per la continuità.
2. Punti particolari dove la f(x) è continua, ma non derivabile.
a. Se le derivate da sinistra e da destra esistono finite, ma sono diverse, allora il punto P(x0; f(x0)) è detto punto angoloso.
F3
esempio: f (x) = x2 – 1 ;
2(1)'f ; 2(1)'f =−= +−
( ) ( )( )2
1
11
1
11
1
2
1−=
−+−=
−+−=
−− →→− x
xxlim
x
xlimf
xx
'
( ) ( )( )2
1
11
1
11
1
2
1=
−+−=
−−=
++ →→+ x
xxlim
x
xlimf
xx
'
8
b. Se il limite del R.I. non esiste o è infinito, la funzione è non derivabile in x0 , tuttavia se tale limite è infinito, esiste la retta tangente nel punto P( x0 , f(x0) ), è verticale, di equazione x = x0 e possono verificarsi i seguenti casi a tangente verticale :
le rette di equazione x = a e x = b sono due tangenti verticali ;
per x = a ∞+=
→ ±
)x('f
axlim la f(x) ammette un flesso vert. (disc.);
per x = b ∞=
→ ±
)x('f
bxlim
la f(x) ammette un punto angoloso
detto cuspide.
Ricordo che in un punto di flesso la concavità cambia verso !
Esempi :
1. ∞+===±→
(x)' f ;x3
1(x)' f ;x)x(f lim
0x3 2
3 1
2. ∞±===±→
(x)' f sgn(x);x2
1(x)' f ;x)x(f lim
0x
1
9
3. Se la funzione ammette derivata in ogni punto di un certo intervallo I ⊂ Df , diremo che tale funzione è derivabile su tutto l’intervallo.
Sono equivalenti le scritture:
[ ] 'y )x(fD dx
df(x) )x(' f === con x ∈ I.
6. DERIVATA DELLE FUNZIONI ELEMENTARI
(al posto di un particolare punto x0 prendiamo un generico x)
1. f (x) = k → f ’(x) = 0 ∀ x ∈ R
10
00 h
kk (x)' f
0h0hlimlim ==−=→→
la derivata di una costante è zero.
2. f (x) = x → f ’(x) = 1 ∀ x ∈ R
1hhlim
hx -h)(xlim (x)' f
0h0h==+=
→→
3. f (x) = x2 → f ’(x) = 2x ∀ x ∈ R
( )2x
h
h
hx (x)' f
0h0h0hlimlimlim =+=−++=−+=
→→→ h
)x2h(hxhx2hxx 22222
11
y = x2
y = 2x - 1
y = -4x - 4y = 2x
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
4. f (x) = sen x → f ’(x) = cos x ∀ x ∈ R
X f ' = m1 22 43 6-2 -4-3 -6
f ' = 2x
12
gradi. in angolodell'misura la è x se xcos180
radianti, in angolodell'misura la è x se xcosh
h sinxcos
h
h sinxcos
h
)h (cosxsin
h
xcosh sin)h (cosxsin
h
xsinxcosh sinh cosxsin
h
xsin)hxsin()x(' f
0h
0h0h0h
0h0h
lim
limlimlim
limlim
π=
=⋅+=
=⋅+−⋅=+−=
=−+=−+=
→
→→→
→→
0
11
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
=
+−⋅=
+−=
=+−=
++−=−
→→
→→→
011
1
1
1
111
2
2
h cos
h sin
h
h sin
)h (cosh
hsin
)h (cosh
h cos
)h (cosh
)h )(cosh (cos
h
)h (cos
----------------------------------------------------------
0h0h
0h0h0h
limlim
limlimlim
5. f (x) = cos x → f ’(x) = − sen x ∀ x ∈ R
gradi. in angolodell'misura la è x se x sin180π
radianti, in angolodell'misura la è x se x sin
hh sinx sin
h1h coscosx
hx cosh sinx sinh cosx cos
hx cosh)cos(x(x)' f
0h0h
0h0h
limlim
limlim
−=
−=
=⋅−−⋅=
=−⋅−⋅=−+=
→→
→→
6. f (x) = loga x → f ’(x) = x
1 loga e { } ++ ∈∀−∈∀ 00 1 Rx ; Ra
13
( )
ex1t
tx1t
tx1
x1
xhx
at
aat
h
x
a0h
ha
0hh
a0h
ha
0h0h
logloglog
tallora h se , th
x ponendo
log logx
x log
log h
xlog-hxlog(x)' f
limlim
h
x lim
x
hlim
x
hlim
limaalim
=+=+
=+=+=+
=
=
∞→→=
=
=+=
∞→∞→
→→→
→→
+
11
11
1111
0
11
1
In particolare f(x) = ln x → f ’(x) = x
1
7. f (x) = a x → f ’(x) = a x loge a { } Rx ; Ra ∈∀−+∈∀ 10
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
==+
=+
=
∞→⇒→+=⇒=
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
==
===
∞→∞→→
→
+
→
alogelog
tlog
1
tlogt
1 h
1-a
t h se ; t
logh t
11-a ponendo
e (x)' f e (x) f :e particolar in
alogah
1-aah
a-a(x)' f
e
at
a
ta
t
h
0h
ah
xx
ex
hx
0h
xhx
0h
limlimlim
limlim
1
111
1
011
7. TEOREMI SULLE REGOLE DI DERIVAZIONE
a) Teorema: derivata della somma di due o più funzioni
Se le funzioni f(x) e g(x) sono derivabili in un intervallo I ⊂ (Df ∩ Dg),la derivata della somma delle funzioni è uguale alla somma delle singole derivate:
14
( ) ( )[ ] ( ) ( )x'g x'f xgxfD +=+
[ ]
I x con (x)g'(x)' f h
g(x)-h)g(x
hf(x)-h)f(x
hg(x)-h)g(x
hf(x)-h)f(x
hg(x)-f(x) -h)g(xh)f(x g(x)f(x)D
0h
0h0h
0h
lim
limlim
lim
∈+=++
++=+++=
=+++=+
→
→→
→
Esempi: [ ] ( ) ( )
[ ] ( ) ( )
[ ] ( ) ( ) ( ) 22152523
12
21
222
22
ln xxD .
xsinelogx
xcos xlogxcosxlogD .
xcosx xsin xxsinxD .
x''x'x
''
''
+=−+=−+
+=−=−
+=+=+
b) Teorema: derivata del prodotto di due (o più) funzioni
Se le funzioni f(x) e g(x) sono derivabili in un intervallo I ⊂ (Df ∩ Dg),la derivata del prodotto delle funzioni è uguale alla somma del prodotto della derivata della prima funzione per la seconda non derivata con il prodotto della prima funzione per la derivata della seconda:
D[ f(x) • g(x) ] = f ’(x)• g(x) + f(x)• g’(x)
15
[ ]
I x con (x)'g f(x)g(x)(x)' f
hg(x))h)h)(g(xf(xf(x))-h)g(x)(f(x
h
g(x)h)f(xg(x)f(x)-h)g(xh)f(x
hg(x)f(x) -h)g(xh)f(x g(x)f(x)D
0h
0h
0h
lim
lim
lim
∈⋅+⋅=
=−++++=
=⋅+±⋅+⋅+=
=⋅+⋅+=⋅
→
→
→
Nel caso di più funzioni la formula si generalizza facilmente; per esempio con tre funzioni si ha:
D[f⋅g⋅h] = f ’gh + fg’h + fgh’.
Esempi: 1) D[x⋅ ln(x)] = (x)’ ln(x)+ x (lnx)’ = ln(x) +1
2) D[x⋅sin(x)⋅ log2(x)] = (x)’ sin(x) log2(x) + x [sin(x)]’ log2(x) + x sin(x) [log2(x)]’ = = sin(x) log2(x) + x cos(x) log2(x) + sin(x) log2e .
c) Teorema: derivata della funzione F(x) = [f(x)]n ( in particolare F(x) = xn )
Se la funzione f(x) è derivabile in un intervallo I ⊂ Df , la derivata della potenza ennesima della funzione è
D[(f (x))n] = n[f(x)]n-1f ’(x) con n∈N ( in particolare D[xn] = nxn-1 )
Si dimostra come caso particolare del b), infatti:
D[f n] = D[f⋅f⋅ … ⋅f⋅f] = f ’[f] n-1 + … + f ’[f] n-1 = n [f] n-1f ’
Esempi: 1. D[x5] = 5x4 ; 2. D[sin3(x)] = 3sin2(x)cos(x) .
16
d) Teorema: derivata del quoziente
Se le funzioni f(x) e g(x) sono derivabili in un intervallo I ⊂ (Df ∩ Dg),con g(x) ≠ 0 ∀x ∈ I, la derivata del quoziente delle funzioni è uguale al rapporto fra la differenza del prodotto della derivata del numeratore per il denominatore non derivato con il prodotto della derivata del den. per il num. non derivato ed il quadrato del den.
)x(g
)x('g)x(f)x(g)x(' f
)x(g
)x(f D
2
−=
( )( )
( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( )( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
Ix con
xg
x'gxfxgx'f
h
xghxg
xghxg
xf
h
xfhxf
xghxg
xglim
h
xghxg
xgxfhxgxfxghxf
lim h
xg
xf
hxg
hxf
lim )x(g
)x(fD
h
hh
∈
−=
−+⋅+
−−+⋅+
=
=+±+−+
=−
++
=
→
→→
20
00
Esempi:
) [ ] [ ] [ ]
) [ ] [ ] [ ] ( )
) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( )( )
( )( )2
2
2
32
2
'3'33
222
22
2
''
222
22
2
''
x4
x62x
x4
xx43x
x4
x4xx4 x
x4
xD 3
xcotg1 - xsin
1 -
xsin
xcos-xsin-
xsin
sinxxcossinx cosx
sinx
cosxD xcotg D 2
xtg1 xcos
1
xcos
xsinxcos
xcos
cosxsinxcosx sinx
cosx
sinxD xtg D 1
−
−=−
−−−=−
−−−=
−
+===−=
=
+==+=−=
=
1
e) Teorema: derivata del reciproco di una funzione
Se la funzione f(x) è derivabile in un intervallo I ⊂ Df e f(x) ≠ 0 ∀x∈I, allora
)x(f
)x(' f
)x(f D
2
1 −=
Si dimostra come caso particolare del d).
Esempio: xcos
xsin
xcosD
2
1 =
17
f) Teorema: derivata della funzione inversa
Se la funzione f(x) è derivabile ed invertibile in un intervallo I ⊂ Df , con f ’(x) ≠ 0 ∀ x ∈ I, detta x = f -1(y) la funzione inversa, allora
[ ])x(f
)y(f D'
11 =−
Interpretazione grafica:
tg(a)
1 cotg(a) a
2
πtgtg(b)
a 2
πb
==
−=
→−= [ ])x(f )a(tg essendo
)x(f
)a(tg )b(tg )y(f D
quindi
'
'
0
00
1 11
=
===−
Esempi:
) [ ][ ]
{ }
{ }
≤≤−∈=≤≤−∈==
≤≤−∈=
≤≤−∈==
=−
=−
===
2
πx
2
π:RxC ;1y1:RyDy arcsin(y)f
1y1:RyC ;2
πx
2
π:RxD xsinf(x)
x sinyche ricordando y1
1
xsin1
1
x cos
1
x sin
1 y arcsinD 1
1-1- ff1-
ff
22'
18
) [ ][ ]
) [ ][ ]
) [ ][ ]
) [ ] [ ]( ) { } { }
( ) { } { }0x:RxC ;0y:RyD yyf
0y:RyC ;0x:RxD xxf
yxe xyche ricordando y2
1
2x
1
x
1yD 5
...x cotg yche ricordando y
1 -
xtgco1
1 -
xcotg
1 yarccotg D
...x tg yche ricordando y
1
xtg1
1
xtg
1 yarctg D
...x cosyche ricordando y1
1 -
xcos1
1 -
x sin-
1
x cos
1 y arccosD 2
11 ff1
ff2
2'2
2'
2'
22'
≥∈=≥∈==
≥∈=≥∈==
=====
=+
=+
==
=+
=+
==
=−
=−
===
−−−
2
2
14
13
g) Teorema: derivata della funzione composta
Se la funzione t = g(x) è derivabile in un intervallo I ⊂ Dg e se la funzione y = f(t) è derivabile in J ⊂ Df ⊂ g(I), allora anche la funzione composta f[g(x)] è derivabile e risulta:
D[f(g(x))] = f ’(t)⋅g’(x) con t = g(x)
Esempi: 1) D[sin(x2)] = cos(x2) (x2)′ = 2x cos(x2)
t = x2 , D[sin(x2)] = [sint]’⋅[x2]’ = cost⋅(2x) = 2xcos(x2)
) ( )[ ] ( )
( )[ ] [ ] [ ] cotgx xsin
xcos xcos
t xsin tln xsinlnD ,sinx t
cotgx xsin
xcos xsin
xsin xsinlnD
''
'
===⋅==
===
1
12
Il teorema si estende anche al caso in cui le funzioni intermedie siano più d’una; se, ad es. è:
y = f(t); t = g(z); z = h(x), risulta y = f[g(h(x))] e si ha : D[f(g(h(x)))] = f ’(t)⋅g’(z)⋅h’(x)
19
) [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] ( )
) ( )( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) 2323
3323
33
3
2
22
2
3515
1
5515
15
5
152
422
122
122222
22
222
xxtgxtg
xxtgxtg
xtgxtg
xtglnD
x
ln42 2x
x
1ln22
2xz
1ln22 x lnz 2 2D ,lnz t,xz
x
ln x
xln
xx
ln xlnln D 1 :Esempi
''
lnx
2lnx
t'2''tlnx2
xlnxln
'xln'xlnxln
22
2
⋅++⋅+
=
=+⋅++⋅+
=+⋅+
=+
⋅=⋅⋅=
⋅⋅=⋅⋅=
==
⋅=⋅⋅⋅=
=⋅⋅=⋅⋅=
h) Derivata logaritmica – applicazione del teorema 7.g
F(x) = [f(x)]g(x) { }0f(x):RxDDcon gF >∈∩=
( )[ ] ( )
( )[ ] [ ] [ ] ( )
+===
===
f
fglnfg'xF ' glnfe eD xFD
eexfF(x)
'glnfg(x)lnf(x)
g(x)lnf(x)ln(f(x)xg g(x)
Casi particolari:
( ) ( )( )[ ] ( )( ) ( )
( )[ ] ( ) ( )
[ ] ( )
[ ] Rα 0,con x 1α xα x
1αα x αxD
0con x 1lnxx x xxD
0xfcon xf2
(x)'f xfD
2
1α se inoltre, , 7.c derivata la ritrova si N, ncon n, se
0xfcon (x)'fxf xfD Rcon , αxg 1-
∈>−==•
>+=•
>=
→=∈=α
>α=α→∈α=•
α
[ ]
.n xxD
:7.c derivata la ritrova si N,ncon n,α se eparticolarin
0con x x2
1 x
2
1xD
:7.f.5 derivata la ritrova si ,2
1α se eparticolarin
1nn
2
1 -
2
1
−=
∈=
>==
=
20
8. )x('f È UNA FUNZIONE – DERIVATE SUCCESSIVE
La derivata in un punto è un limite finito e, per il teorema dell’unicità del limite, se esiste, è unica, quindi se in un intervallo ]a; b[ la f(x) ammette derivata in ogni punto, allora esiste una corrispondenza univoca fra l’insieme ]a; b[ (dominio) e l’insieme immagine F’ (codom.) formato dalle )x('f , cioè
ad ogni elemento di ]a; b[ corrisponde uno ed un solo elemento di F’.
E’ quindi definita una funzione, detta derivata di f(x), che ha per dominio l’insieme in cui f(x) è derivabile.
Derivate successive: la derivata della funzione derivata (prima) f ’(x), se esiste, prende il nome di derivata seconda f ’’ (x), e così via …
Sono equivalenti le scritture:
[ ] ''y)x('fD dx
f(x)d )x(''f
2
2
=== con x ∈ ]a; b[.
Esempi:
21
1) f(x) = x2; f ’(x) = 2x; f ’’(x) = 2 2) f(x) = sen(x2) ; f ’(x) = 2xcos(x2) ; f ’’(x) = 2cos(x2) - 4x2sen(x2) ; f ’’’(x) = - 4xsen(x2) – 8xsen(x2) - 8x3cos(x2) = - 12xsen(x2) - 8x3cos(x2) ; …
9. TEOREMI DI DE L’HÔPITAL (si dimostrano mediante il teorema di Cauchy)
I teoremi di De L’Hôpital consentono di esprimere le seguenti regole
per il calcolo di limiti di funzioni del tipo ( ) ( )( )xg
xfxF = , che presentino le
forme indeterminate 0/0 e ∞ /∞ :
a) x → x0
a.1) Forma indeterminata 0/0 : se le funzioni f(x) e g(x) sono continue in x0 e derivabili in un suo intorno I, escluso al più il punto x0 , con g(x0) = f(x0) = 0 e g’(x) ≠ 0 ∀ x ∈ I - x0 , e se esiste (finito o infinito) il (*)
a.2) Forma indeterminata ∞ /∞ :se f(x) e g(x) sono due funzioni derivabili in un intorno I di x0 ,
escluso al più il punto x0 , con ( ) ( ) ∞==→→
xg xf0xx0xx
limlim e con g’(x) ≠ 0
∀ x ∈ I - x0 , e se esiste (finito o infinito) il (*)
(*)( )( )
( )( )
( )( )
( )( ) xg
xf
xg
xf
:risulta e xg
xf il anche esiste allora
xg
xf
00
00
xxxx
xxxx
limlim
limlim
'
'
'
'
→→
→→
=
b) x → ∞
Forme indeterminate 0/0 e ∞ /∞ :
22
se f(x) e g(x) sono due funzioni derivabili in un intervallo illimitato
I, con ( ) ( )
∞==
∞→∞→
0 xg xf
xxlimlim e con g’(x) ≠ 0 ∀ x ∈ I , e se esiste (finito o
infinito) il
( )( )
( )( )
( )( )
( )( ) xg
xf
xg
xf
:risulta e xg
xf il anche esiste allora
xg
xf
xx
xx
limlim
limlim
0'
0'
'
'
∞→∞→
∞→∞→
=
Esempi:
( )( )
( )( )
1111
1
3
001
2
110
01
2
02
00
000
===→∞∞==
===→∞∞==
===→==
+++ →→→
+∞→+∞→+∞→
→→→
L quindi xcoslim
xcostgx
xcosxsinlim: H.L'De applico
tgxln
xsinlnlimL .
L quindi x
limx
xlnlim : H.L'De di teor. il applico
x
xlnlimL .
L quindi xcoslimx
xsinlim : H.L'De di teor. il applico
x
xsinlimL .
xxx
x'
'
xx
x'
'
xx
Osservazioni :
a) I teoremi di De L’Hôpital sono condizioni sufficienti per l’esistenza del limite dei rapporti di funzioni.
Esempio:
0 0 1 x
1sinx lim
sinx
xlim
sinxx
1sinx
lim ilesiste tuttavia
x
1coslim ilesiste nonperchè esiste non
xcosx
cosx
sinxlim il ;
xsinx
sinxlim
0x0x
2
0x
0xxx
=⋅=
⋅=
−=
→→→
→→→
112
0
01
0
2
0
23
b) I teoremi si possono applicare ripetutamente, nel caso che il rapporto delle derivate dia luogo ancora ad una forma indeterminata.
Esempio:
6 2
48x60xlim ;
0
0
22x
116x15xlim
:H.L'De di teor. ilvolte due mente successiva applicando ; 0
0
12xx
x4x3xlim
23
1x
34
1x
2
45
1x
=−=−
+−
=+−+−
→→
→
c) Vi sono accorgimenti che permettono di trattare mediante i teoremi di De L’H. le altre forme indeterminate: +∞-∞, 0⋅∞, 1∞, ∞0, 00.
Esempi:
2
1
2
111
1
0
01
1
11
0
01
1
111
2
2
11
11
==+
→=−+
−
→=−−−→∞−+∞=
−−=
→→
→→
L quindi
xx
xlim: H.L'De di teor. il applico
xxln
xlim
: H.L'De di teor. il applico xlnxlnx
xlnxlim
xxlnlimL .
xx
xx
( )
( )
10
03
001
1
102
0
0
0
0
02
0
00
===
=→==
==−=−
→∞+∞−=→∞−⋅==
+
+
++
++
→
→
→→
→→
eL quindi ) 2esempio ( xlnxlim
:esponente'dell itelim il cerco exxlimL .
L quindi xlim
x
xlim
: H.L'De di teor. il applico
x
xlnlimxlnxlimL .
x
xlnxxx
x
xx
xx
24
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) 1021
2
12
1
12
111
1
1
0
01
101
1114
0
02
0
02
0
2
02
0
00
1
0
===−=−
→∞+∞−==
−
⋅−
→∞+∞−=
+
−=−
+
→=+→⋅−∞=+
=+→=+=
++
++
++
++
+
→→
→→
→→
→→
+∞−
→
eL quindi xlim
x
xlim
: H.L'De di teor. il applico
x
xlnlim
x
xxln
lim
: H.L'De di teor. il applico
x
xlnlim
xlnx
xlim
: H.L'De di teor. il applico
xln
xlnlim xlnxlnlim
:esponente'dell itelim il cerco exxlimL .
xx
xx
xx
xx
xlnxlnxlnxln
x
10. SIGNIFICATO FISICO DELLA DERIVATA
Molte grandezze fisiche, per come sono state definite, sono funzioni derivate di altre funzioni, come per esempio:
1. La velocità v = v(t) è la derivata della legge oraria s = s(t), infatti
per def. t
sv
∆∆= (vel. media) e ( ) (t)'s
ΔtΔslim tv
0Δt==
→ è la velocità
istantanea al tempo t.
2. L’accelerazione a = a(t) è la derivata della funzione v = v(t), infatti
per def. ΔtΔva = (acc. media) e ( ) ( ) ( )t''s t'v
ΔtΔvlim ta
0Δt===
→ è
l’acceleraz. istantanea al tempo t.
3. L’intensità della corrente elettrica i = i(t) è la derivata della funzione q =
q(t), infatti per def. ΔtΔqi = (int.di corr. media) e
( ) (t)'q ΔtΔqlim ti
0Δt==
→ è l’int.di corr. istantanea al tempo t.
25
4. Un campo scalare ( )z;y;xϕ origina un campo vettoriale ( )z;y;xu→
facendone la derivata rispetto allo spazio:( ) ( )
→→→→
∂∂+
∂∂+
∂∂== k
z j
y i
x grad con gradu ϕϕϕϕϕ ;
in particolare per il campo elettrico si ha: ( ) Vgrad E −=
→indicando con ( ) zy;x;V V = il potenziale elettrostatico;
e in una dimensione (x): ( ) ( )→→→
=−= ix'V - idxdV xE
5. La forza elettromotrice è, per la legge di Faraday-Neumann-Lenz,
( )t'Φ - dt
dΦ - f.e.m. BB == indicando con ΦB il flusso del vettore induzione
magnetica →B attraverso il circuito concatenato.
Esempio:
Un corpo si muove in linea retta secondo la legge oraria : s(t) = t3 - 9t2 + 15t , con s misurato in metri e t in secondi.Determinare la velocità, l’accelerazione al tempo t = 6 e gli intervalli di tempo durante i quali il corpo si sposta in avanti, e quelli durante i quali si sposta indietro. v(t) = s’(t); v(t) = 3t2 - 18t + 15; quindi v(6) = 15 m/s ; a(t) = v’(t) = s’’(t) ; a(t) = 6t – 18 ; quindi a(6) = 18 m/s2 ;v(t) > 0 ; 3t2 - 18t + 15 > 0 per t < 1 ∪ t >5 → il corpo avanza ;v(t) < 0 ; per 1 < t < 5 → il corpo indietreggia.
11. Il Differenziale
La funzione f(x) sia derivabile (⇒ continua ⇒ definita) in un intervallo I ⊂ Df e x0 , x0 + ∆x siano due punti interni ad I; si definisce differenziale dfx0 della f(x) nel punto x0 la funzione lineare dfx0 : ∆x → f ’(x0)⋅∆ x , che associa all’incremento ∆x della variabile indipendente il prodotto della derivata della funzione nel punto x0 ( f ’(x0) ) per l’incremento stesso ( ∆x ):
dfx0 = f ’(x0)⋅∆x
Significato geometrico:
26
( )
( ) Δxxf df
quindi Δx
df tg xf
dfAB
0'
x
x0
'
x
0
0
0
⋅=
==
=
α
In particolare, se la funzione è f(x) = x , il differenziale in ogni punto coincide con l’incremento della variabile indipendente:
dx = (x)’∆x → dx = ∆x
pertanto il differenziale di una funzione si scrive più in generale:
df = f ’(x)⋅dx
Da qui la scrittura vista al 5.3, detta notazione di Leibniz : ( )dx
df xf ' = .
Esempi:
27
data la funzione f(x) = x2 , il suo differenziale nel punto x0 = - 2 è: df -2 = 2(-2)dx ; df -2 = - 4 dx
data la funzione f(x) = log10x , il suo differenziale nel punto x0 = 3 è: df 3 = (1/3) log10( e) dx .
28