Frontespizio Economia Politica Anno accademico 2005-06.

frontespizioEconomia PoliticaAnno accademico 2005-06

1 Il problemadel consumatore

Esempio: una somma di denaro data (200 euro) va spesa (tutta) nell’acquisto di due beni, libri (1) e dischi (2) i cui prezzi siano dati (rispettivamente 10 e 20 euro). Come viene distribuita la somma?Notare le ipotesi fatte: denaro e prezzi sono

dati; la somma va spesa tutta; solo due beni. Hanno lo scopo di semplificare il modello mettendo a fuoco il problema.

Il vincolo di bilancio

Economia - Consumatore(ottobre 2005)

Corso di Economia Politica

Le possibilità di scelta

Come può essere spesa la somma di denaro?

PRIMO PASSO: dobbiamo definire

L’insieme delle alternative possibili

1. Comprando solo libri: indichiamo il numero di libri col simbolo x1 ; otteniamo x1 = 200/10 = 202. Comprando solo dischi: indichiamo il numero di dischi col simbolo x2 ; otteniamo x2 = 200/20 = 103. Comprando un po’ di libri e un po’ di dischi. I casi 1 (x1 = 20 e x2 = 0) e 2 (x1 = 0 e x2 = 10) rap- presentano le situazioni limite. Come possiamo rappresentare i casi intermedi?

2 Economia - Consumatore(ottobre 2005)


3 Il vincolo di bilancio

1) si fissa la quantità di un bene (non superiore a quella massi- ma); 2) si calcola la spesa corrispondente; 3) si ottiene la spesa per l’altro bene per differenza; 4) se ne calcola la quantità.

Calcolare un singolo caso intermedio è facile:

ESEMPIO: quanti dischi si possono acquistare se si com- prano 6 libri? Il costo di 6 libri è 10 ; restano di- sponibili 140 euro, con cui si possono comprare 140/20 = 7 dischi; la risposta è perciò x1 = 6 e x2 = 7. C’è una formula generale per

calcolare tutti i casi?Sì. È questa:

10 x1 20 x2 OVVERO: la spesa per i libri più quella per

i dischi non può superare la somma disponibile per la spesa




(segue)

Dove ciascuna componente della spesa è data dalla quantità acquistata moltiplicata

per il suo prezzo

Spesa = Reddito

Per questo la formula viene chiamata

Vincolo di bilancioVincolo di bilancio

La formula che abbiamo scritto ha due addendi al primo membro: prezzo dei libri (dato) per quantità di libri acquistata (variabile) più prezzo dei dischi (dato) per quantità di dischi acquistata (variabile). Il totale dà appunto la SpesaSpesa. Al secondo membro abbiamo la somma disponibile (data). D’ora in poi la chiameremo RedditoReddito (per fare prima).

Il significato della formula è perciò:




(segue ancora)

Applicando questa formula si ottiene subito il valore di x2 che può essere acquistato per ogni dato valore di x1 rispettando il vincolo di bilancio

La formula del vincolo di bilancio può essere letta come un’equazione con due variabili, ossia le due quantità x1 e x2. Se si fissa il valore di una variabile (per esempio x1), la formula permette di trovare il valore dell’altra (ossia x2). Diventa una normale equazione con una incognita (appunto x2) che può essere facilmente risolta con i metodi imparati a scuola. Controllare che la soluzione è 12 2

110 xx

x2 = 6)(per es. quando x1 = 8, la formula dà



6 Il vincolo di

bilancio(una formulazione più

generale)Nelle formule del vincolo di bilancio compaiono due varia-bili, le quantità dei beni x1 e x2, e tre dati, i due prezzi e il red-dito. Tutto quel che abbiamo detto finora può essere ripetuto anche quando i tre dati sono diversi (cambiano i risultati nu-merici ma non il modo con cui vengono ottenuti).

12

1

22 x

p

p

p

mx

Riscriviamo le formule in termini generali

usiamo i simboli p1 e p2 per i prezzi

e il simbolo m per il reddito

mxpxp 2211

Formula implicita

Formula esplicita



La retta del bilancio

Sappiamo che per rappresentare i modelli si possono usare anche i grafici.

Facciamo il grafico del vincolo di bilancio con i numeri dell’esempio

precedente:

B

x2

x10

10

6

A

C

PANIERI:A = (6 ; 10)B = (11 ; 3)C = (6 ; 7)

I panieri che si ricavano dalla formula si allineano sulla retta.

3

11

7


Ogni “pallino” verde rappresenta

un PANIERE

20


è del tipo:La formula del vincolo di bilancio, ,

9 Un po’ di matematica:L’equazione della

rettaEconomia - Matematica(ottobre 2005)

y

x0

Equazione di una retta:• a termine noto• b coefficiente angolare

xbay

a

a misura l’intercetta:

b misura l’inclinazio-ne:

b’ > b

b’ < 0

12122 // xpppmx

b

a’ > a

un valore più grande sposta la retta in alto (parallela)

un valore più grande ruota la retta verso l’alto (più ripi-da); se b < 0, la retta è decrescenteCorso di Economia Politica

Consideriamo una retta qualunque; per esempio

10

Ancora matematica:Variazioni

Se x = 4 y = 11 Se x = 5 y = 13Se x = 6 y = 15

xy 23VARIAZIONE di x (x): la differenza tra il va-lore finale e quello iniziale di x. Se x passa da 5 a 6 x = 1; se x passa da 5 a 4 x= 1; se x passa da a 6x= 2VARIAZIONE di y (y): la differenza tra il valore

finale e quello iniziale di y in corrispondenza di ogni data variazione di x. Nei tre casi precedenti: quando x = 1 y = 2; quando x = 1 y = 2; quando x = 2 y = 4. È facile verificare che:• quando x = 1, qualunque sia il valore iniziale di x, si ha sempre y = 2 (che è il valore del coefficiente angolare b);• qualunque sia il valore di x (e qualunque sia il valore iniziale di x), si ottiene sempre y = 2x (ovvero y = bx).Il coefficiente angolare b è sempresempre uguale al rapporto y/x

Economia - Matematica(ottobre 2005)


11

La retta del bilancio

(dalla formula al grafico)

La formula esplicita del vincolo di bilancio è una retta.

Anche quella implicita è la stessa retta.

mxpxp 2211

La forma implicita è co-moda per costruire il grafico:

x2

x10

Notare il valore del coefficiente angolare


m/p1

m/p2 (1) si pone x2 = 0 e si trova subito x1 = m/p1 (è il “paniere” in cui la retta incontra l’asse orizzontale); (2) si pone x1 = 0 e si trova subito y2 = m/p2 (è il “paniere” in cui la retta incontra l’asse verticale);

(p1/p2) (3) si traccia la retta unendo i due punti.


12“Statica comparata”:Aumento di p1

Che succede alla retta del bilancio se aumenta p1? Il paniere m/p1 si sposta a sinistra e la retta ruota verso il basso.


m/p1n

(p1/p2)

x1

x2

0

m/p2

m/p1

v

v


13 “Statica comparata”:Diminuzione di p1

Che succede alla retta del bilancio se diminuisce p1? Il paniere m/p1 si sposta a destra e la retta ruota verso l’alto.


m/p1n

x1

x2

0

m/p2

(p1/p2)v

m/p1v


14 “Statica comparata”:Aumento di p2

Che succede alla retta del bilancio se aumenta p2? Il pa-niere m/p2 si sposta in basso e la retta ruota verso il basso.


(p1/p2)n

x1

x2

0

m/p1

m/p2v

m/p2n

Notare che p1/p2 diminuisce (per-ché aumenta il denominatore


15 “Statica comparata”:Aumento di m

Che succede alla retta del bilancio se aumenta m? I panieri m/p1 e m/p2 aumentano entrambi; la retta si sposta in alto. È parallela a quella vecchia perché p1/p2 non cambia.


nm /p2

m /p1

n

(p1/p2)

x1

x2

0

m /p2

v vm /p1


Abbiamo visto (cfr. lucido 21) cosa è una variazione (x): è la differenza tra il livello finale di una variabile, che indichiamo con

xn (“n” sta per “nuovo”), e il suo livello iniziale, che indichiamo con xv (“v” sta per

“vecchio”).

16

matematicaVariazioni

percentuali

Perciò: x = xn xv

La variazione percentuale, invece, è la variazione divisa per il li-vello di partenza (di solito il risultato viene moltiplicato per 100)PRIMO ESEMPIO:Sia pv = 20 e pn = 22. • La variazione è p = 2. • La variazione percentuale è p/pv = 2/20 = 0,1 = 10%.

SECONDO ESEMPIO:Sia pv = 40 e pn = 42. • La variazione è p = 2. • La variazione percentuale è p/pv = 2/40 = 0,05 = 5%.

Economia - Matematica(ottobre 2005)


17

Ancora subilancio, prezzi e

redditoChe succede alla retta del bilancio se aumentano sia p1 che p2 nella stessa proporzione? Indichiamo i nuovi prezzi come p1 e p2 dove è un numero maggiore di uno ( > 1)

(p1/p2)

x1

x2

0

m/p2

m/p1

La retta del bilancio si sposta in basso, perché sia il paniere m/p1 che il paniere m/p2 conten-gono meno beni (con prezzi più alti si possono comprare meno beni)

La nuova retta è parallela, perché p1/p2 = p1/p2 L’ aumento dei prezzi equivale a una diminuzione del reddito

m/p1

m/p2



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Prezzi relativi

Il rapporto p1/p2 si chiama prezzo relativo

Il prezzo relativo misura quante unità del bene il cui prezzo è al denominatore (p2) possono essere ottenute in cambio di una unità del bene il cui prezzo è al numeratore (p1). Misura quanto vale un bene non in euro ma nei termini dell’altro. ESEMPIO: se p1 = 10 e p2 = 20, allora il prezzo relativo p1/p2 = 1/2 = 0,5. Cedendo una unità del primo bene se ne può ottenere mezza del secondo, ovvero il primo bene vale metà del secondo (alternativamente, p2/p1 = 2, ovvero - è ovvio - il secondo bene vale il doppio del primo).



19

Retta del bilancioe prezzi relativi

Ricordando la formula (esplicita) della retta del bilancio, si vede che la sua in-clinazione (in valore assoluto) è misu-rata proprio dal prezzo relativo p1/p2 .

12

1

22 x

p

p

p

mx

Ogni volta che ci si muove verso destra lungo la retta si ottiene un po’ di più del primo bene rinunciando a un po’ del secondo.Il prezzo relativo p1/p2 misura proprio la quantità di x2 cui si rinuncia ogni volta che x1 aumenta di uno. Più inclinata è la retta, maggiore è la quantità di x2 cui si rinuncia.

x1 = 1 x2 = (p1/p2)

Il prezzo relativo è una misura della scarsità dei due beni



20

Retta del bilancioe reddito reale

Ricordiamo che, nel vincolo di bilancio, m rappresenta la somma (data) disponibile per acquistare i

beni. L’abbiamo chiamata Reddito. Abbiamo visto che un aumento di m sposta in alto la retta del bilancio; il che rende acquistabili panieri che prima erano troppo costosi (viceversa una diminuzione di m).

Abbiamo visto anche che un aumento in proporzione dei prezzi equivale a una diminuzione di m (sposta in basso la retta del bilancio).

m > 0 maggiori possibilità di scelta:

il consumatore diventa più ricco. Questo

aumento dei prezzi provoca

una diminuzione del reddito

reale



21

Reddito reale e prezzi

Il REDDITO REALE aumenta ogni volta che la retta del bilancio si sposta verso l’alto, rendendo possibile la scelta di panieri prima troppo cari.

La crescita del reddito reale può essere pro-vocata da un aumento della somma m (il reddito “nominale”), oppure dalla diminuzione di un prezzo o di entrambi.Il REDDITO REALE diminuisce ogni volta che la retta del bilan-cio si sposta verso il basso, riducendo il numero dei panieri di-sponibili per la scelta.

La diminuzione del reddito reale può derivare da una riduzione della somma m (il reddito “nomi-nale”), oppure dall’aumento di un prezzo o di entrambi.

Indichiamo il reddito reale col simbolo R. Avremo:

m > 0 R > 0; p1 > 0 R < 0; p2 > 0 R < 0; ecc.



22

Reddito reale e prezzi

(un caso interessante)


ESERCIZIO: Cosa succede al reddito reale quando aumentano sia il reddito m che i due prezzi p1 e p2 nella stessa proporzione?

Moltiplichiamo m, p1 e p2 per lo stesso numero > 1. Cosa succede? Niente! Il numero “sparisce” e la formula rima-ne quella di prima.

RISPOSTA: Quando il reddito (nominale) aumenta come i prezzi la retta del bilancio non si sposta. Perciò il reddito reale non cambia.

Per rispondere basta vedere cosa succede alla retta del bilancio.

Ricordiamo la formula:

12

1

22 x

p

p

p

mx


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