Frattalicurve con proprietà

“strane”

Caratteristiche dei Frattali

• Sono delle curve che, da un punto di vista matematico, hanno dimensionalità differente da quella “dovuta”.

• Quelli più conosciuti e di cui vedremo esempi sono “autosimili”.

• Molti si ottengono reiterando delle operazioni geometriche o matematiche.

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Cosa significa “dimensione”

Intuitivamente tutti sappiamo che una retta ha dimensione uno, un piano ha dimensione due, un volume tre. Questo perché è necessaria una coordinata per individuare un punto su una retta, due per individuarlo su un piano ecc.

Formalmente possiamo anche dire che la dimensione di uno spazio è n se per dividere tale spazio possiamo usare un ente di dimensione n - 1 (per dividere un piano, n = 2, si utilizza una retta n = 1).

La dimensione così definita è detta EUCLIDEA

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Definizione alternativa di “dimensione”

È però possibile definire la dimensione di un oggetto in modo meno intuitivo quando si lavora con oggetti che non seguono le regole della geometria euclidea.

In ogni caso la dimensionalità definita nel nuovo modo dovrà coincidere con quella euclidea quando si analizzano oggetti geometrici ordinari.

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Definizione alternativa di “dimensione”

• prendiamo una porzione di piano e, al suo interno, tracciamo una linea anche curva;

• sottoponiamo la porzione di piano ad una dilatazione in cui la direzione x e la y subiscono la stessa trasformazione (x' = k x e y' = k y);

• a questo punto misuriamo la lunghezza della linea trasformata: si scopre che la nuova lunghezza della linea l’ e la vecchia l stanno nella relazione l' = k l mentre per le aree vale S' = k2 S

Il modo diverso di vedere la dimensionalità di uno spazio è collegato ad un fatto che possiamo facilmente verificare:

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Definizione alternativa di “dimensione”

Risulta evidente che l’esponente di k è collegato alla dimensionalità dello spazio.

Se immaginiamo di fare la stessa operazione in uno spazio tridimensionale troviamo che la lunghezza della curva trasformata è proporzionale a k mentre il volume trasformato è, questa volta, proporzionale a k3.

Sarà questa l’idea che conduce ad una formulazione alternativa di dimensionalità di uno spazio dovuta ad Hausdorff.

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Definizione alternativa di “dimensione”

Hausdorff definisce un modo “diverso” per misurare la dimensionalità di un oggetto:

egli cerca di mettere in relazione il numero di tasselli necessari per un ricoprimento (in pratica le “piastrelle” necessarie per ricoprire un certo spazio) con il fattore di riduzione della lunghezza dell’unità di misura lineare.

In altre parole cerca il rapporto tra i tasselli necessari per il ricoprimento e il numero di parti che si ricavano dalla divisione dell’unità di lunghezza lineare

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Esempio di definizione alternativa di “dimensione”

Vediamo come si applica il ragionamento di Hausdorff nel caso di uno spazio unidimensionale (un segmento), uno spazio cioè dove la dimensionalità euclidea vale 1.

se si divide un segmento in n parti si ottengono m = n ricoprimenti del segmento.

nell’esempio n = 3

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Esempio di definizione alternativa di “dimensione”

Il ragionamento di Hausdorff nel caso di un piano (d = 2) è il seguente:

se si divide un segmento in n parti si ottengono m = n2 ricoprimenti della superficie

nell’esempio n = 3

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Analogamente in uno spazio a 3 dimensioni

se si divide l’unità di misura lineare in n parti saranno necessari m = n 3 cubetti per ricoprire completamente il volume

Quindi, in generale, si può dire che se si divide l’unità di misura lineare in n parti si ottengono, a seconda della dimensionalità dello spazio, m ricoprimenti (m tasselli che ricoprono lo spazio) con m = n d

Esempio di definizione alternativa di “dimensione”

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Definizione di “dimensione di Hausdorff”

Quindi, in base a quanto detto finora, la dimensionalità di Hausdorff (dH) si può definire in questo modo:

dH = log m / log n

dove m è il numero di tasselli necessari per un ricoprimento che si ottiene dividendo per n l’unità di misura lineare.

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Applicazione della definizione di Hausdorff

Cerchiamo di applicare la definizione di dimensionalità data da Hausdorff ad un oggetto che apparentemente ha dimensione uguale a 1 ma che possiede delle proprietà che le curve ordinarie non hanno:

la curva di Koch

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La curva di Koch

1) si parte con un segmento di lunghezza .

Sotto i primi tre passi della costruzione della curva

2) al primo segmento si sosti-tuiscono quattro segmenti ciascuno di lunghezza /3, disposti a triangolo.

3) si ripete lo stesso proce-dimento per ogni segmento della curva, in teoria si può reiterare all’infinito.

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Dimensione di Hausdorff della curva di Koch

Per calcolare la dimensionalità di Hausdorff della curva di Koch si deve applicare la formula

dH = log m / log n

con m = 4 e n = 3

dato che da un segmento di lunghezza si passa ad uno lungo /3 e che sono necessari 4 di questi segmenti per ricoprire quello iniziale.

Perciò, per la curva di Koch, dH = log 4/log 3 ≈ 1.262

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Frattali

Negli anni ‘70 il matematico Mandelbrot riprende vari studi di matematici come Peano e Cantor e coniuga, per gli oggetti matematici che hanno dimensione di Hausdorff diversa da quella euclidea, il termine di “frattali” (dal latino fractus cioè rotto, frastagliato).

In sostanza la curva di Koch è un frattale.

Questi oggetti hanno proprietà “strane”: la curva di Koch, p. es., può delimitare una zona di piano finita anche se il suo perimetro diventa infinito. Inoltre è “autosimile”, cioè una parte è simile all’intero.

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Frattali

E’ evidente che applicando la costruzione di Koch ad un triangolo si ottiene una curva il cui perimetro tende ad infinito e che delimita una porzione di piano finita, infatti:

passo 2 passo 3 passo 1

2p = 3 al primo passo, diventa 3(4/3) al secondo, 3(4/3)2 al terzo e così via e la succesione 1, 4/3, (4/3)2, …, (4/3)n è divergente.

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Sierpinski gasket

Il Sierpinski gasket si ottiene, sempre per ricorsione, partendo da un triangolo e formandone altri quattro congiungendo i punti medi dei lati del primo.

A questo punto il triangolo centrale viene scartato.

Da un punto di vista euclideo d = 2 ma per Hausdorff ?

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Dimensionalità del Sierpinski gasket

Nel caso del Sierpinski gasket dividendo per 2 il lato (l’unità di misura lineare) si ottengono 3 tasselli (il quarto viene scartato). La dimensionalità di Hausdorff è quindi

dH = log 3/log 2 ≈ 1.585

è un frattale, autosimile e, fra l’altro, ha la proprietà di avere una superficie tendente a zero mentre il suo perimetro resta costante.

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I frattali sono reali ?E’ possibile estendere in 3 dimensioni il Sierpinski gasket (un tetraedro all’interno del quale se ne costruiscono altri quattro, si scarta lo spazio centrale, unendo tutti i punti medi dei lati) e questo solido avrebbe dH = 2.Questo tipo di struttura richiama le spugne o un qualche reticolo cristallino.

Sotto i primi due passi del Sierpinski gasket in 3D.

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I frattali sono reali ?

•La curva di Koch si chiama anche “fiocco di neve”. La somiglianza è evidente e l’autosimilitudine si può mettere in relazione con l’aumento di risoluzione, come quando osservando un oggetto al microscopio si aumenta l’ingrandimento.

•Inoltre Mandelbrot trova che la lunghezza delle linee di costa ha comportamenti simili alla curva di Koch, aumenta al diminuire dell’unità di misura lineare.

quindi i frattali esistono

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Esempi di frattali realiCominciamo ad analizzare le caratteristiche delle linee di costa che si prestano ad uno studio in termini di geometria frattale; vediamo perché:

A) nel caso di una circonferenza, un ingrandimento di un particolare, non modifica sostanzialmente la geometria e quindi la lunghezza totale dell’oggetto non cambia.

B) nel caso di una linea di costa, un ingrandimento, rivela particolari non visibili e ciò comporta un “allungamento” della lunghezza complessiva (come nella curva di Koch).

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Esempi di frattali realiVediamo ora alcuni esempi di frattali che sono legati a fenomeni reali: la diffusione o percolazione.

Questa figura rappresenta la simulazione della diffusione di un gas in una camera o se preferite la diffusione dell’acqua in un materiale granuloso (sabbia o caffè).

La diffusione parte dal punto centrale e il gas (o l’acqua) occupa i punti (siti) vicini in modo casuale.

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Esempi di frattali realiL’immagine rappresenta un fulmine che si sviluppa in altezza dalle nuvole al suolo.

Qui ci troviamo di fronte alla diffusione di una scarica elettrica nell’atmosfera, non particelle macroscopiche ma ioni e su scala notevolmente più grande rispetto alla precedente.

La struttura ha comunque le caratteristiche dei frattali in termini di autosimilitudine.

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Esempi di frattali realiQuesta è un immagine delle Alpi (confine italo-austriaco) ripresa da un satellite.

La somiglianza con le figure precedenti risulta evidente anche se, in questo caso, non possiamo fare riferimento a nessun fenomeno di diffusione.

Anche in questo caso sono evidenti le caratteristiche frattali.

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Esempi di frattali realiAncora un immagine da satellite: un fiume con il suo complesso di affluenti.

Di nuovo una struttura molto ramificata in cui i particolari sono simili alla struttura intera.

É evidente, anche in questo caso, che la possibilità di analisi mediante la geometria frattale è realizzabile.

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Esempi di frattali realiLa figura rappresenta l’andamento della velocità e dello spazio in funzione del tempo per un oscillatore armonico reale (smorzato).

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

0 180 360 540 720

spazio

velocità

Le unità di misura sono arbitrarie

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Esempi di frattali realiIn questa figura è invece rappresentata la traiettoria descritta nello spazio delle fasi dallo stesso oscillatore (in ascissa è rappresentato lo spazio, in ordinata la velocità).

-3.5

-2.5

-1.5

-0.5

0.5

1.5

2.5

3.5

-1 -0.5 0 0.5 1

È chiaro che la traiettoria (una spirale) ha, a grandi linee, lo stesso andamento anche se non percorre mai esattamente lo stesso percorso. Tenderà a raggiungere il punto di quiete nell’origine del sistema di riferimento:

è un attrattore strano.

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Esempi di frattali realiAnche questo è un attrattore strano: sembra che le orbite tendano a stabilizzarsi ma ogni volta c’è una differenza. La situazione è più complessa ma simile a quella precedente.

La traiettoria rappresentata in figura è ottenuta applicando ricorsivamente delle trasformazioni delle coordinate x e y.

Potrebbe essere la rappresentazio-ne di un evento fisico nello spazio delle fasi.

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Un altro settore dove si possono reperire oggetti che possono essere analizzati per mezzo della geometria dei frattali è quello del “caos”.

Si definiscono “caotiche” quelle situazioni in cui le dinamiche sono governate da processi non lineari in cui piccole variazioni di un parametro possono causare grosse variazioni delle grandezze in gioco.

Vediamo un esempio concreto:

Caos

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Prendiamo in esame il problema dello sviluppo di una popolazione al passare del tempo; si può immaginare che il numero di individui ad un certo istante di tempo dipenda:

• dalla popolazione all’istante precedente [ p(t-1) ] ;

• dalla velocità di riproduzione degli individui [ r ] ;

• dalla presenza di risorse (p. es. cibo) [ 1 - p(t-1) ] ;

è necessario precisare che la popolazione e le risorse sono “normalizzate” (cioè 1 significa massimo numero di elementi sostenibile dall’ambiente).

Caos

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Con le premesse precedenti possiamo scrivere che la popolazione ad un certo istante è:

Caos

p(t) = r p(t - 1) [1 - p(t - 1)]

a questo punto è interessante analizzare cosa succede alla popolazione quando cambia il parametro r (velocità di riproduzione): fino a r = 1 la popolazione va a zero, da r > 1 a r = 2.9 la popolazione si assesta stabilmente attorno ad un certo valore. Vediamo cosa accade per valori maggiori...

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Caosr = 3.1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 100 200 300 400 500

tempo (u.a.)

r = 3.5

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 100 200 300 400 500

tempo (u.a.)

r = 3.55

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 100 200 300 400 500

tempo (u.a.)

r = 3.6

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 100 200 300 400 500

tempo (u.a.)

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•Per 3.6 < r < 4 la situazione resta caotica e per valori superiori a 4 la popolazione va a zero.

•Si nota dai grafici che una minima variazione di r porta da situazioni ordinate (2, 4 o 8 livelli di popolazione) a una situazione caotica e imprevedibile.

•La situazione è in realtà ancor più complessa perché ci sono valori intermedi del parametro r che portano a situazioni ordinate e con minime variazioni (< di qualche centesimo) a situazioni completamente disordinate.

Caos

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Il grafico rappresenta i livelli di popolazione (ordinate) in funzione di r (ascisse).

Caos

La zona evidenzia-ta in giallo è simile all’intera struttura del grafico

autosimilitudine

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Bibliografia

•Gleick; Caos - RCS Rizzoli Libri

•Mandelbrot; The fractal geometry of nature - Freeman NY

•http://earth.jsc.nasa.gov/

•http://www-chaos.umd.edu/

•http://www.dst.unipi.it/