Francesco A. Costabile Dipartimento di Matematica – Università della Calabria 1.

Francesco A. CostabileFrancesco A. CostabileDipartimento di Matematica – Università della Dipartimento di Matematica – Università della CalabriaCalabria

1

• SupportoSupporto valido per l’insegnamento -apprendimento della Matematica;

• strumentostrumento per l’interpretazione della realtà sensibile, attraverso l’interazione con la Matematica;

• strumentostrumento di lavoro anche in piccole attività quotidiane sempre in connessione con la Matematica;

Il calcolatore, opportunamente utilizzato, risulta: Il calcolatore, opportunamente utilizzato, risulta:

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• mediatoremediatore in situazioni di apprendimento;• stimolostimolo per l’autocorrezione e per l’uso di

un linguaggio formale e rigoroso;• strumentostrumento per la visualizzazione di taluni

nostri processi mentali, quindi, uno stimolo per lo sviluppo di capacità logiche, creative, intuitive e deduttive.

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Obiettivi formativiObiettivi formativi

Capire/approfondire taluni concetti fondanti della Matematica;

Facilitare il collegamento Matematica – realtà sensibile, ovvero staccare la Matematica dalla lavagna;

Usare il computer per eseguire calcoli, grafici, diagrammi, figure di uso comune in problemi matematici;

Avere consapevolezza delle potenzialità programmatorie del computer.

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““Opportunamente utilizzatoOpportunamente utilizzato” significa:” significa:

deve essere usato in connessione con un ambiente di programmazione utile allo scopo, nella fattispecie adeguato all’insegnamento - apprendimento della Matematica relativamente alla fascia d’età scolare interessata.

Ne scaturiscono i seguenti:

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Costruzione del prisma retto a base esagonale Costruzione del prisma retto a base esagonale

Supposto che la classe (biennio della scuola secondaria superiore) abbia la definizione del prisma retto a base esagonale, come momento di ulteriore approfondimento e/o di verifica se ne propone la costruzione in ambiente virtuale, attraverso l’ambiente di programmazione MatCos 2.xMatCos 2.x

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Esempio 1Esempio 1


I passo: ricerca di una strategia I passo: ricerca di una strategia risolventerisolventeSi clicca su Spazio 3D Spazio 3D per prendere visione dei

comandi disponibili che possono essere utili allo scopo. Dopo attento esame, sotto la guida dell’insegnante, si acquisisce che:1)Lo Spazio 3D di MatCos richiede le tre dimensioni (lunghezza, larghezza, altezza) per rappresentare i punti;2)Esistono i comandi: Segmento(punto,punto); Segmento(punto,punto); faccia(punto, punto, …); faccia(punto, punto, …);

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I passo: ricerca di una strategia risolventeLa strategia risolvente, dunque, può essere quella di

determinare, attraverso le dimensioni, i vertici del poliedro e conseguentemente usando il comando faccia(punto, punto, …); faccia(punto, punto, …); rappresentare le diverse facce che lo compongono.Scaturisce, quindi, un sottoproblema tutto matematico:Determinare le coordinate, in un riferimento cartesiano, (dimensioni) dei vertici del prisma retto a base esagonale.

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Determinare le coordinate (dimensioni) dei vertici del prisma Determinare le coordinate (dimensioni) dei vertici del prisma retto a baseretto a base

Tale sottoproblema va, ulteriormente, precisato:si decide, per es., che la base esagonale inferiore sia posta ad altezza zero, ovvero in altro linguaggio, sul piano xyxy.

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Determinare le coordinate (dimensioni) dei vertici del prisma Determinare le coordinate (dimensioni) dei vertici del prisma retto a baseretto a base

Individuati i vertici di tale base e denominati con A, B, C, D, E, F, facilmente, successivamente, si ricavano quelli della base superiore, la quale dovendo stare su un piano parallelo ad altezza, ad esempio, h basterà lasciar fisse le due dimensioni dei vertici trovati ed introdurre l’altezza h, otteniamo così i vertici A1, B1, C1, D1, E1, F1. Le facce laterali sono, poi, facilmente determinate dai rettangoli ABB1A1, BCC1B1, CDD1C1, DEE1D1, EFF1E1, FAA1F1 nei rispettivi piani.

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Il problema si è, dunque, ricondotto a determinare le coordinate dei punti A, B, C, D, E, F, vertici di un esagono in un piano, che è di per sé interessante. Esso può essere facilmente risolto considerando la circonferenza con centro nell’origine degli assi, circoscritta all’esagono e applicando proprietà del triangolo equilatero, unitamente alle simmetrie della circonferenza.

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Se r è il raggio della circonferenza si trova:A(r,0,0), B(r/2,r*Radice(3)/2,0), A(r,0,0), B(r/2,r*Radice(3)/2,0), C(-r/2,r*Radice(3)/2,0), D(-r,0,0), C(-r/2,r*Radice(3)/2,0), D(-r,0,0), E(-r/2,-r*Radice(3)/2,0), E(-r/2,-r*Radice(3)/2,0), F(r/2,r*Radice(3)/2,0).F(r/2,r*Radice(3)/2,0).

Tornando al prisma le coordinate dei vertici A1 B1 C1 D1 E1 F1 si determinano sostituendo l’altezza 0 con h in A, B, C, D, E, F.

A questo punto si può scrivere facilmente il codice MatCos nella maniera più generale possibile, senza alcuna preliminare “teoria della programmazione”

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MC1MC1 Rifcart3D;r=legginum("raggio"); h=legginum("altezza");A=Punto3D(r,0,0); B=Punto3D(r/2,r*Radiceq(3)/2,0);C=Punto3D(-r/2,r*Radiceq(3)/2,0);D=Punto3D(-r,0,0); G=punto3D(-r/2,-r*Radiceq(3)/2,0);F=Punto3D(r/2,-r*Radiceq(3)/2,0);Coloreriempimento(255,0,255);Faccia(A,B,C,D,G,F);A1=Punto3D(r,0,h); B1=Punto3D(r/2,r*Radiceq(3)/2,h);C1=punto3D(-r/2,r*Radiceq(3)/2,h);D1=Punto3D(-r,0,h); E1=Punto3D(-r/2,-r*Radiceq(3)/2,h);F1=Punto3D(r/2,-r*Radiceq(3)/2,h);Faccia(A1,B1,C1,D1,E1,F1);ColoreRiempimento(255,128,255); Faccia(A,B,B1,A1); Faccia(B,C,C1,B1);Faccia(C,D,D1,C1); Faccia(D,G,E1,D1);Faccia(G,F,F1,E1); Faccia(F,A,A1,F1);

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Miglioramenti del codice sono, ovviamente, possibili ed auspicabili.L’argomento può essere ripreso nel corso del triennio, come applicazione di concetti trigonometrici e l’idea può essere estesa alla costruzione dei vari poliedri, inclusi quelli platonici.

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Considerazioni didatticheConsiderazioni didattiche

La costruzione del prisma retto in ambiente virtuale ha funzionato come specchio per le allodole , infatti ci ha consentito di svolgere un’ampia attività matematica su argomenti curriculari, anche se in un contesto non usuale, ancora, nella pratica didattica della nostra Scuola secondaria. Da questo punto di vista l’attività è stata un approfondimento ed una verifica. Il calcolatore, supportato dall’ambiente MatCos, ha svolto le funzioni dianzi annunciate, in particolare quelle relative ai punti 1), 2), 4), 5), 6); così come da tutta l’attività traspaiono gli obiettivi formativi sopra citati.

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Linguaggio modulare fortemente orientato Linguaggio modulare fortemente orientato alla Matematica;alla Matematica; intermedio tra un linguaggio generale ed un intermedio tra un linguaggio generale ed un CAS;CAS; utilizza comandi specifici relativi a precisi utilizza comandi specifici relativi a precisi concetti concetti matematici;matematici; è in lingua italiana con una sintassi molto è in lingua italiana con una sintassi molto semplice semplice con istruzioni molto vicine al linguaggio con istruzioni molto vicine al linguaggio naturale e naturale e a quello matematico;a quello matematico; ogni comando ha parametri essenziali (relativi) ogni comando ha parametri essenziali (relativi) al al concetto matematico che si vuole concetto matematico che si vuole rappresentare;rappresentare; esecuzione “passo – passo”esecuzione “passo – passo”

L’ambienteMatCos MatCos

Il calcolo di ∏ con il metodo di Archimede Il calcolo di ∏ con il metodo di Archimede

L’idea di Archimede è tanto intuitivamente semplice quanto profonda matematicamente al punto da essere ancora oggi presa ad esempio per ogni metodo di approssimazione. Pensò di approssimare la lunghezza della circonferenza con i perimetri dei poligoni regolari inscritti e circoscritti alla circonferenza. Senza la conoscenza del simbolismo moderno e senza il contributo di alcun strumento di calcolo, Archimede riuscì a considerare poligoni regolari di 6, 12, 24, 48, 96 lati giungendo alla diseguaglianza:

10 13 371 7

o

17

Esempio 2Esempio 2


Ad esempio il seguente codice MatCos riproduce l’esagono regolare inscritto e circoscritto alla circonferenza . Esso è basato sulla suddivisione della circonferenza in sei archi uguali, tramite la rotazione di un suo punto intorno al centro, di 60° e sulla costruzione delle tangenti in questi punti.

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P=punto; r=legginum("raggio"); c=circ(P,r);A=lista; B=lista; D=lista; A(1)=punto_su(c); per (i da 2 a 6) esegui; A(i)=ruota(A(i-1),P,60,antiorario); fine;ColorePenna(128,0,64); poligono(A);segmento(A(1),P); segmento(A(2),P); StilePenna(5); r=retta(a(1),a(2)); s=perpendicolare(r,p);h=intersezione(r,s); B(1)=intersezione(c,s); t1=tangente(C,B(1)); per (i da 2 a 6) esegui; b(i)=ruota(b(i-1),P,60,antiorario); t2=tangente(c,b(i)); t3=tangente(c,b(i-1)); d(i-1)=intersezione(t2,t3); cancella(t2,t3); fine;n=distanza(d(1),d(2));stampa(“il lato dell’esagoni circoscritto è" , " ",n);t4=tangente(c,b(6)); d(6)=intersezione(t1,t4);cancella(r,s,t1,t4); ColorePenna(128,0,64); poligono(d);

Esagono inscritto e circoscritto ad una circonferenza

MC2MC2

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Lavorando quasi sperimentalmente con questo programma si cerca di intuire la relazione tra il raggio ed il lato dell’esagono inscritto e tra questo ed il lato del poligono circoscritto. Infine, con semplici considerazioni sul triangolo equilatero si dimostra che il raggio è uguale al lato dell’esagono inscritto e con l’uso dei teoremi di Pitagora e di Euclide si trova che il lato LL dell’esagono circoscritto è legato al lato l l dell’esagono inscritto dalla relazione: LL=2*=2*ll/Radice(4-/Radice(4-ll^2)^2)

o

20


Con l’esagono si trova perciò la diseguaglianza: 3< ∏∏ <3.4Si passa quindi ad esaminare il dodecagono regolare inscritto e circoscritto, procedendo allo stesso modo e tenendo conto che questa volta l’angolo di rotazione è di 30°.Si ha il seguente codice MatCos:

o

21

Dodecagono regolare inscritto e circoscritto ad una circonferenza

P=punto; r=legginum(“raggio”); c=circ(P,r);A=lista; B=lista; D=lista; A(1)=puntoacaso_su(c);per (i da 2 a 12) esegui; A(i)=ruota(A(i-1),P,30,antiorario);fine;m=distanza(a(2),a(3)); stampa(m*6/r);poligono(A);segmento(A(1),P); segmento(A(2),P);r1=retta(a(1),a(2)); s=perpendicolare(r1,p);h=intersezione(r1,s);B(1)=intersezione(c,s); t1=tangente(C,B(1));per (i da 2 a 12) esegui; b(i)=ruota(b(i-1),P,30,antiorario); t2=tangente(c,b(i)); t3=tangente(c,b(i-1)); d(i-1)=intersezione(t2,t3); cancella(t2,t3);fine;m1=distanza(d(2),d(3)); stampa(m1*6/r);t4=tangente(c,b(12)); d(12)=intersezione(t1,t4);poligono(d);

MC3MC3

22


Sperimentalmente, il software ci dà la diseguaglianza: 3.1< ∏∏ <3.2Teoricamente, questa volta non si riesce a dare la relazione tra il raggio della circonferenza ed il lato del poligono inscritto; tuttavia, con il solo uso del teorema di Pitagora si dimostra una relazione tra il lato dell’esagono, llee e quello del dodecagono, lldd :

lld d =Radiceq(2-radiceq(4-=Radiceq(2-radiceq(4- l le e ^2))^2))

o

23


Per il lato del dodecagono circoscritto in modo analogo si trova la relazione con il lato del dodecagono inscritto, anzi è la stessa di prima. Poiché il lato dell’esagono inscritto è pari al raggio della circonferenza, posto questo per semplicità uguale ad 1 si ha per il dodecagono la diseguaglianza:

o

6 2- 3 < <12 2- 3 / 2+ 3

24


Si può, ora, generalizzare questo discorso ai poligoni regolari di n e rispettivamente 2n lati, dimostrando i teoremi:

Teorema 1 Se ln (n=3,4,5,…) indica il lato del poligono regolare di n lati inscritto nella circonferenza di raggio 1 (per comodità), allora il lato l2n del poligono regolare inscritto di 2n lati è dato da:

2

2 2 4n nl l

25


Teorema 2 Sia Ln il lato del poligono regolare di n lati circoscritto alla circonferenza di raggio 1 ed ln il lato del poligono regolare con lo stesso numero di lati inscritto, allora vale la seguente relazione

2

2

4n

n

n

lL

l

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Combinando questi due teoremi si ha la diseguaglianza:

22 4n n

n

nl nl

l

Su di essa si può scrivere il seguente codice MatCos:

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Algoritmo di Archimede

n=6; L=1; eps=LeggiNum("precisione voluta");d=10;Esegui Finquando (d>eps); Pinf=n*L/2; Psup=n*L/RadiceQ(4-L^2); d=(Psup-Pinf); n=n*2; L=radiceq(2-radiceq(4-L^2)); Fine;Stampa("per n= ",n, " il valore approssimato per difetto è ",pinf);Stampa("per n= ",n, " il valore approssimato per eccesso è ",psup);Stampa("Pigreco è compreso tra ", Pinf, " e ", Psup);

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MC4MC4

Assumendo si ottengono i seguenti valori in output : 310

1310 La precisione può aumentare fino ad assumere ottenendo, così, i seguenti valori in output :

29

Per si ha un risultato sbagliato, non già per errori nell’algoritmo o nel codice MatCos, ma a causa dell’errore di arrotondamento e della sua propagazione. Si ha, così, l’opportunità di introdurre ed approfondire un argomento importante quale è l’errore di arrotondamento, dovuto alla natura dei numeri ed all’uso dell’aritmetica finita. Infatti, sostituendo la formula

con l’altra equivalente

2

2 2 4n nl l

222 4

nn

n

ll

l

30

1410

il programma precedente dà buoni risultati anche percioè fornisce 15 cifre esatte.

1410

Nel corso del triennio è opportuno riprendere il calcolo di π dopo che si sono acquisite le nozioni fondamentali di trigonometria e magari la formula di Taylor, se si vuole uno studio più approfondito dell’errore.

31

Infatti, applicando il Teorema dei Seni e note identità trigonometriche, il lato del poligono regolare inscritto nella circonferenza di raggio 1 è:

2sinnl n

e quindi: sin

2 2n np nl

nn

32

Tenendo conto dello sviluppo di Taylor - McLaurin della funzione si ha: sin x

3 51 1

.........2 3! 5!np n

n n n

da cui: 2

2np O n

che fornisce lo sviluppo asintotico dell’errore. Infine, ricordando che per x>0

si può ottenere la maggiorazione dell’errore:

3

sin6

xx x

3

3

2 2 2

225.177

2 6 6np

n n n

33

sin2 2n np nl

nn

3

3

2 2 2

225.177

2 6 6np

n n n

Combinando la

con la

si può ottenere un algoritmo con stima a-priori dell’errore, implementabile facilmente in MatCos dal momento che esiste il comando sin(α) con α assegnato in gradi.

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n=legginum("numero lati poligono iniziale");

eps=legginum("errore richiesto");

d=10;

p=n*sen(180/n);

esegui finquando (d>eps);

n=n*2;

p=n*sen(180/n);

d=5.17/(n^2);

fine;

stampa("il valore approssimato è ", p);

Stampa("il numero di lati è ", n);

Stampa("l'errore effettivo è ", pi-p);

Stampa("l'errore stimato è ", d);

MC5MC5

35

Per molti di noi, di sicuro per me, p-greco, nel Per molti di noi, di sicuro per me, p-greco, nel corso della Scuola secondaria, è stato inizialmente corso della Scuola secondaria, è stato inizialmente il “numero fisso” della circonferenza e il “numero fisso” della circonferenza e successivamente la lettera dell’alfabeto greco successivamente la lettera dell’alfabeto greco che a volte assumeva il valore 3.14 e altre 180°. che a volte assumeva il valore 3.14 e altre 180°. Al contrario, oggi, ci sono le condizioni per Al contrario, oggi, ci sono le condizioni per svolgere intorno a questo fatidico numero svolgere intorno a questo fatidico numero un’ampia attività matematico-informatica e a vari un’ampia attività matematico-informatica e a vari livelli di apprendimento, attuale e non livelli di apprendimento, attuale e non tecnicistica.tecnicistica.

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Funzioni reali di variabili realiFunzioni reali di variabili reali

Comandi dell’ambiente :MatCos: MatCos: GraficofunzGraficofunz; consente di tracciare il grafico di una funzione assegnata, fissato il riferimento cartesiano;ValutafunzValutafunz; consente di calcolare il valore della funzione in un punto assegnato;FzeroFzero; consente di calcolare lo zero di una funzione, supposto esistente in un dato intervallo, con una precisione assegnata;DerivatafunzDerivatafunz; consente il calcolo analitico della derivata di una funzione;

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Esempio 3Esempio 3

Grafico di una funzione e della sua derivataGrafico di una funzione e della sua derivata

Rifcart;f=leggifunz;graficofunz(f);g=derivatafunz(f);stampafunz(g);colore(128,12,128);graficofunz(g);

MC6MC6

38


L’importanza didattica di un tale programmino è evidente: si possono illustrare in un’infinità di esempi le proprietà qualitative delle funzioni ed i relativi legami col la funzione derivata. Per quanto attiene proprietà quantitative, ovvero valori in punti particolari si può fare uso del comando valutafunzvalutafunz unitamente alle istruzioni generiche, in particolare condizionale e ciclo nelle due forme possibili.

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Ad esempio si possono costruire programmi che calcolano i valori della funzione in un intorno sufficientemente ristretto di un punto con esclusione del punto stesso, in cui la funzione stessa può non essere definita e, con i numeri davanti, si può illustrare la definizione epsilon-delta e farne apprezzare la profondità.

Il seguente programma raggiunge lo scopo:

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Funzioni reali di variabili realiFunzioni reali di variabili realiSenx/x

f=Leggifunz("Introdurre la funzione");

x0=Legginum("Punto limite");

n=Legginum("Num pti in cui valutare la funzione");

ms=matrice(n,2); md=matrice(n,2);

h=1/n; xs=x0-n*h; xd=x0+n*h; rifcart;

i=1;

esegui finquando (i<=n);

ys=valutafunz(f,xs); ms(i,1)=xs; ms(i,2)=ys;

punto(xs,ys); xs=xs+h;

yd=valutafunz(f,xd);

md(i,1)=xd; md(i,2)=yd; punto(xd,yd);

xd=xd-h;

i=i+1;

fine;

stampamatr(ms); stampamatr(md);

MC7MC7

41

Calcolo dell’integrale definitoCalcolo dell’integrale definito

Per il calcolo dell’integrale definito, ovvero di aree, si possono creare dei semplici programmi che calcolano le somme integrali nelle diverse forme e fare intuire quella che sarà, poi, la definizione rigorosa ; ad esempio il seguente codice è adatto allo scopo:

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f=leggifunz; rifcart; graficofunz(f);a=legginum;b=legginum;n=legginum;h=(b-a)/n; x=vettore(n-1); y=vettore(n-1); ColorePenna(255,0,0);segmento(punto(a,0),punto(a,valutafunz(f,a)));segmento(punto(b,0),punto(b,valutafunz(f,b)));eps=legginum;s=0; s=s+h/2*(valutafunz(f,a)+valutafunz(f,b));per(i da 1 a n-1)esegui;x(i)=a+i*h;y(i)=valutafunz(f,x(i)); ColorePenna(255,0,0);segmento(punto(x(i),0),punto(x(i),y(i)));s=s+h*(valutafunz(f,x(i)));fine;stampa(n, " ",s); s1=0; xx=vettore(2*n-1); yy=vettore(2*n-1);hh=(b-a)/(2*n); s1=S1+hh/2*(valutafunz(f,a)+valutafunz(f,b));per (i da 1 a 2*n-1) esegui;xx(i)=a+i*hh; yy(i)=valutafunz(f,xx(i)); ColorePenna(255,0,0);segmento(punto(xx(i),0),punto(xx(i),yy(i)));s1=s1+hh*(valutafunz(f,xx(i)));fine;stampa(2*n, " ",s1);

MC7bisMC7bis

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Per il calcolo effettivo del valore di un integrale definito, specialmente per alcuni istituti tecnici, c’è il comando MATCOS:

integrale(funz,a,b,ep);integrale(funz,a,b,ep);

che fornisce il valore dell’integrale della funzione, nell’intervallo a,b a meno della tolleranza ep.

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Elementi di geometria analiticaElementi di geometria analitica

Nello studio/apprendimento della Geometria analitica, il calcolatore supportato dall’ambiente MATCOS offre varie opportunità di chiarimento e quindi di approfondimento/verifica.Infatti la rappresentazione dei punti nel piano cartesiano richiede l’assegnazione delle coordinate e viceversa di un punto arbitrario nel piano è possibile stampare le coordinate, il tutto con il semplice e intuitivo programmino:

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Esempio Esempio 44

Rifcart;P=punto(2,-3);Q=punto_a_caso;as=Q.x;or=Q.y;Stampa(“l’ascissa di Q è”,as,”l’ordinata di Q è”,or);

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MC8MC8

Passando all’equazione della retta, uno dei primi concetti fondanti della matematica del triennio, l’ambiente MATCOS con il comando Punto_su (Retta);Punto_su (Retta);consente un’attività sperimentale propedeutica all’acquisizione del concetto e alla dimostrazione rigorosa dell’equazione della retta. Infatti è possibile verificare, entro limiti di approssimazione, la relazione algebrica lineare esistente tra le coordinate dei punti di una stessa retta, ad esempio il semplice programmino seguente è adeguato allo scopo:

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Rifcart;P=punto(2,3);Q=Punto(-2,-1);r=retta(P,Q);T=puntoacaso_su(r);a=T.x;b=T.y;Stampa(“L’ascissa di T è ”,a,”L’ordinata di T è ”,b);

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Si possono, poi, illustrare graficamente, con una moltitudine di esempi in tempo reale, il significato del coefficiente angolare e dell’intercetta, ottenendo il fascio di rette sia proprio che improprio (rette parallele).Per quanto attiene le coniche il discorso è ancora più interessante. Tradizionalmente la prassi didattica nella scuola italiana su questo argomento segue due vie che dovrebbero essere una il proseguimento dell’altra ma che, invece, spesso appaiono separate. Infatti, alcune volte si inizia il discorso affermando che le coniche sono le curve intersezioni di un piano con una superficie conica e a seconda dell’inclinazione del piano sull’asse si ha un’ellisse, un’iperbole o una parabola.

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Il giorno successivo, magari … a causa della fretta, si prosegue: si chiama ellisse il luogo dei punti …… e si buttano giù una marea di calcoli ….La relazione concettuale con quanto affermato il giorno prima evidentemente non c’è, né teorica né “sperimentale”; quindi una lacuna didatticamente notevole.Altre volte, invece, si parte direttamente dalla seconda parte, trascurando sia aspetti storici che culturali; ma neanche didatticamente questa seconda via è molto valida, perché a molti studenti sfugge la generazione di questo luogo e quindi la sua importanza.

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Si può avere, invece, con il calcolatore un valido supporto per migliorare didatticamente questa presentazione. Ad esempio con l’ambiente MatCosMatCos , se si decide di partire dalla definizione come luogo di punti, si può facilmente implementare un algoritmo che rappresenta un certo numero di punti, che hanno la proprietà geometrica del luogo e poi determinarne l’equazione cartesiana come naturale completamento. Il programma seguente è in grado di visualizzare un’ellisse o un’iperbole a seconda che si scelga un punto interno e esterno alla circonferenza; naturalmente preliminarmente si dimostra, tra l’altro con proprietà geometriche molto semplici, che i punti rappresentati hanno l’una o l’altra caratteristica.

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C=punto;r= legginum("raggio della circonferenza"); c1=circ(C,r); stampa("scegliere un punto F interno alla circonferenza"); F=punto; ColorePenna(0,255,0); Per ( i da 1 a 200 ) esegui; A=puntoacaso_su(c1); s=segmento(A,F); M=punto_medio(s); af=retta(A,F); ac=Retta(A,C); P=intersezione(perpendicolare(af,m),ac); cancella(af,ac,s,m,A); Fine;

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MC9MC9

Se invece non si vuole rinunciare all’introduzione storica, ovvero il riferimento alla superficie conica, al momento in MatcosMatcos esiste un robusto programma che genera la superficie conica, l’intersezione con un piano e quindi la curva sezione e si può verificare la proprietà focale. In questo modo la lacuna didattica di cui sopra viene quantomeno attutita.

A breve, creeremo un comando MatCosMatCos diretto che abbia in input i parametri della superficie e del piano, con il relativo angolo di inclinazione.

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Elementi di statistica e probabilitàElementi di statistica e probabilità

Per gli argomenti di Statistica che riguardano la Scuola Secondaria MATCOS dispone dei comandi diretti per la costruzione dei diagrammi più comuni: istogramma, diagramma a strisce, diagramma circolare, nonché per il calcolo degli indici più notevoli:medie, moda, mediana, scarto quadratico medio, indice di Pearson, varianza, covarianza, retta di Regressione…

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Esempio 5Esempio 5

Elementi di statistica e probabilitàElementi di statistica e probabilità

Ad esempio il seguente programmino traccia i diagrammi e gli indici di centralità di una distribuzione di frequenze assegnate:

n=legginum(“numero delle frequenze”);n=legginum(“numero delle frequenze”);v=vettore(n);v=vettore(n);leggivett(v);leggivett(v);istogramma(v);istogramma(v);diagstr(v); diagcirc(v);diagstr(v); diagcirc(v);m=media(v); m1=moda(v);m=media(v); m1=moda(v);m2=moda(v);m2=moda(v);stampa(“la media è”,m,”la mediana è”,m1,”la stampa(“la media è”,m,”la mediana è”,m1,”la moda è”,m2);moda è”,m2);

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MC10MC10

Per gli elementi di Probabilità, allo stato, non ci sono comandi specifici ma con i comandi generici: numero_a _caso(n,m); numero_a _caso(n,m);

e int(x);int(x);è possibile creare programmini che simulino i primi classici esempi di approccio al concetto frequenti sta di Probabilità, quali testa-croce, lancio del dado,ago di Buffon etc.

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Matematica e realtà sensibileMatematica e realtà sensibile

In questo contesto il calcolatore, unitamente ad un ambiente di programmazione è di fondamentale importanza per esaltare il rapporto intrinseco Matematica - Realtà sensibile . L’ambiente MatCosMatCos si è rivelato adeguato, a livello di scuola secondaria, per tale problematica ; infatti numerosi sono state le proposte fatte agli studenti, ma anche quelle, autonomamente, fatte dagli studenti; alcuni esempi sono di seguito riportati.

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Esempio 6Esempio 6

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Il MODELLO REALEIl MODELLO REALE

© Annarosa Serpe - Gela 2006

Seguirà l’osservazione del logo.

PREREQUISITISi richiede la conoscenza di tutte le proprietà ed i concetti geometrici di volta in volta richiamati.

Il logo di una nota casa automobilisticaIl logo di una nota casa automobilistica

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Si mostra poi l’oggetto reale ed in un contesto di problem solving, con una strategia didattica di tipo maieutico, si stimola la discussione.

© Annarosa Serpe - Gela 2006

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1.1. L’oggetto a quali figure geometriche fa L’oggetto a quali figure geometriche fa pensare ? pensare ?

2. Proviamo a rilevare la misura del lato del 2. Proviamo a rilevare la misura del lato del rombo erombo e

quella della diagonale minore.quella della diagonale minore.3. Analizzate la posizione dei due rombi rispetto 3. Analizzate la posizione dei due rombi rispetto

al al terzoterzo.

DISAMINA DELL’OGGETTO REALEDISAMINA DELL’OGGETTO REALE

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• l’oggetto fisico esaminato “ricorda” tre rombi di cui due potrebbero essere la rotazione dell’altro (il primo) intorno ad un suo vertice di circa 120° in senso orario e antiorario; • nel rombo il lato è “quasi uguale” alla diagonale minore.

Prime considerazioniPrime considerazioni

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IL MODELLO MATEMATICOIL MODELLO MATEMATICO

L’esame del modello reale conduce alla L’esame del modello reale conduce alla formulazione di un “plausibile” modello formulazione di un “plausibile” modello matematico; quindi si può ipotizzare che: matematico; quindi si può ipotizzare che: a)a) la diagonale minore del rombo sia uguale al la diagonale minore del rombo sia uguale al

lato;lato;b) i rombi b) i rombi 22 e e 3 3 si ottengono dal rombo si ottengono dal rombo 1 1 che che ruota attorno ad un suo vertice di circa ruota attorno ad un suo vertice di circa 120°120° in senso orario, e rispettivamente, antiorario. in senso orario, e rispettivamente, antiorario.

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Di conseguenza, ogni rombo è formato da due triangoli equilateri 1' ed 1" con un lato in comune disposti su semipiani opposti rispetto alla retta su cui giace tale lato.

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1. disegna un segmento P1P3 (dato iniziale);2. traccia la circonferenza di diametro P1P3 e centro

P1 (Assioma del compasso);3. traccia la circonferenza di diametro P1P3 e centro

P3 (Assioma del compasso);4. i punti d’intersezione delle due circonferenze

sono i vertici P2 e P4 dei due triangoli equilateri e quindi del rombo P1P2P3P4 (proprietà della circonferenza );

5. segmenti P1R e P3R, con R punto medio del segmento P1P3 (Assiomi della riga).

ALGORITMO RISOLVENTEALGORITMO RISOLVENTE

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Per ottenere il prototipo completiamo l’algoritmo con la rotazione del rombo P1P2P3P4:

6. ruotare il rombo 1 di 120° attorno al centro P4 in senso orario;

7. ruotare il rombo 1 di 120° attorno al centro P4 in senso antiorario.

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Listato programmaListato programma CommentoCommento

O=Punto;

r=RettaNum(O,30);

P1=Punto_su(r);

P3=Punto_su(r);

s1=Segmento(P1,P3);

d=Distanza(P1,P3);

c1=Circ(P1,d);

c2=Circ(P3,d);

P2=Intersezione(c1,c2);

P4=Intersezione(c1,c2);

ColorePenna(0,0,0);

SpessorePenna(2);

ColoreRiempimento(255,0,0);

t1=Poligono(P1,P2,P3,P4);

Cancella(c1,c2,s1,r,o);

t2=Ruota(t1,P4,120,orario);

t3=Ruota(t1,P4,120,antiorario);

re riempimentoDisegna il Assegna il punto O nel piano euclideoDisegna la retta numerica di origine O e lunga 30 unitàAssegna il punto P1 sulla retta rAssegna il punto P3 sulla retta rDisegna il segmento P1 P3 Misura la distanza d del segmento P1 P3

Disegna la circonf. di centro P1 e raggio dDisegna la circonf. di centro P3 e raggio dDisegna i punti d’intersezione P2 e P4 delle circonf. c1 e c2Cambia coloreCambia stileCambia colopoligono di punti P1 P2 P3 P4

Ruota il rombo r1 intorno al centro P4 di 120° in senso orarioRuota il rombo r1 intorno al centro P4 di 120° in senso antiorario

MC11MC11

Confronto del prototipo con il modello realeConfronto del prototipo con il modello reale

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Dal confronto emergeranno le “diversità” che, in generale, possono riscontrarsi tra le due realtà. Inoltre, l’insegnante richiederà il calcolo della misura della diagonale maggiore del rombo.

L’immediata applicazione del teorema di Pitagora porta a:

3Md d

e quindi.....e quindi.....

Lavori autonomi degli studenti

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A conclusione di questo excursus, si può dire che il A conclusione di questo excursus, si può dire che il calcolatore, unitamente ad un ambiente di calcolatore, unitamente ad un ambiente di programmazione, costituisce un’enorme potenziale programmazione, costituisce un’enorme potenziale da sfruttare per l’apprendimento e l’uso della da sfruttare per l’apprendimento e l’uso della matematica nell’attuale momento storico-sociale. matematica nell’attuale momento storico-sociale. Il voler volutamente ignorare questa opportunità ci Il voler volutamente ignorare questa opportunità ci sembra fuori del comune buon senso, oltre che sembra fuori del comune buon senso, oltre che voler ignorare le recenti conquiste scientifico-voler ignorare le recenti conquiste scientifico-tecnologiche dell’umanità.tecnologiche dell’umanità.

CONCLUSIONICONCLUSIONI

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Francesco A. Costabile Dipartimento di Matematica – Università della Calabria 1.

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