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Dal metodo simbolico-ricostruttivo al metodo

esperienziale-simbolico-ricostruttivo

Francesco Aldo Costabile Dipartimento di Matematica e Informatica, Università della Calabria

CONGRESSO NAZIONALE

Educazione e Cultura Matematica in Italia. Serve ciò che si studia a scuola? 10-12 Aprile 2014 Chiostro di S.Nicolò - SPOLETO

Francesco Aldo Costabile – Spoleto 2014

La Matematica

Ha avuto, ha e dovrà avere un forte legame con " l’uomo " e la cultura del suo tempo, nella duplice funzione di disciplina applicata (linguaggio delle scienze) e di disciplina teorica con una dimensione filosofica ed estetica.

La società odierna e la sua cultura è pervasa dalla tecnologia informatica e telematica, basata sul calcolatore elettronico, digitale e di tipo generale.

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La Matematica

ed il suo insegnamento/apprendimento non possono prescindere dalla tecnologia esistente ed in continuo cambiamento.

Francesco Aldo Costabile – Spoleto 2014 3

Come quello delle altre discipline, è ormai, da tempo, focalizzato sul metodo

simbolico-ricostruttivo basato sul testo scritto, quindi sulla destrutturazione mentale dei significati dello stesso.


L’apprendimento della Matematica

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L’apprendimento che ne deriva - quando ne deriva - spesso non è efficace.

Per la Matematica, in particolare, le difficoltà dovute al metodo, sono amplificate da alcuni caratteri intrinseci della disciplina, per esempio dovuti al suo linguaggio, astratto, artificiale, fatto di simboli, oltre che da parole, a volte inventati nel contesto.

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Ne consegue, spesso, che gli studenti abbandonano il testo scritto (famoso libro di testo) eccezion fatta per gli esercizi da svolgere, affidandosi quasi totalmente alla viva voce dell’insegnante e alla tecnica risolutiva dell’esercizio, così come appare dall’esempio fatto alla lavagna.

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Esempio

La conoscenza e la relativa acquisizione del concetto introdotto richiedono una decodifica profonda delle parole presenti, che va oltre il significato letterale, per pervenire ad uno schema mentale, che sarà il risultato della ricostruzione. Inoltre, non è sufficiente un primo passaggio di decodifica, come accade per la parola "intorno", ma occorre giungere al significato intrinseco-matematico di tale parola, fino al significato di appartenenza.

0

0

0

Si dice che la funzione reale per che tende ad tende al numero se e solo

se per ogni intorno di esiste un intorno di , tale che per ogni di tale intorno e

diverso da risulta

f ( x ) x x l

l , x x

x , f ( appartenente all'intorno di x ) l.

La comunicazione orale dell'insegnante e il testo scritto, nel manuale scolastico, sono del tipo:

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L’azione non migliora di molto se la comunicazione verbale/ scritta fa uso o è sostituita da simboli:

0

0( ) = 0 0 tale che con 0 : ( )limx x

f x l x R x x f x l

il lavoro di decodifica dei simboli è ancora più complesso e astratto, di conseguenza può richiedere ulteriori passaggi indietro. Nella maggior parte dei casi, accade che lo studente nella decodifica della comunicazione, non va oltre la comprensione o il semplice ricordo della singola parola, non completando nel pensiero, un percorso di effettiva interconnessione e ricostruzione. In queste condizioni, chiaramente, è difficile parlare di reale apprendimento; la situazione non diventa significativamente diversa a livelli inferiori sia per contesti matematici, che per età scolare.

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Il concetto di omotetia che si propone nella fascia d’età scolare di 14-15 anni, a livello di comunicazione verbale o scritta presenta la seguente declaratoria:

Esempio

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Forse utilizzando la tecnologia

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Sin dagli albori, ovvero a partire dagli anni ‘70, si preferì nella didattica della Matematica, l’uso del calcolatore, come strumento da programmare, piuttosto che come strumento per l’istruzione programmata. Il Superiore ministero avviò, in proposito, diversi piani operativi, tra cui il più famoso, denominato PNI.

Il continuo e veloce cambiamento dell’hardware e del software, non rese possibile, tuttavia, un assestamento di metodi e contenuti innovativi, per cui negli insegnanti, non certamente ben supportati, si instaurò ben presto un comprensibile scoraggiamento e un’altrettanta, non proprio giustificabile, voglia di ritornare “al passato” o, comunque di rivolgersi verso nuovi software che non richiedessero la programmazione (ad esempio: software di geometria dinamica, CAS , etc.)

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A metà degli anni ‘90 abbiamo condotto, con un nutrito gruppo di insegnanti delle scuole secondarie, un’indagine su un campione molto significativo di scuole calabresi sull’utilizzo del calcolatore e dei metodi con relativi software,

I risultati furono, ovviamente, molto deludenti e l’analisi che ne seguì, evidenziò con chiarezza due problemi:

1) Inadeguatezza, in relazione allo scopo, del linguaggio di programmazione che si tentava di usare;

2) Inadeguata preparazione degli insegnanti, più di metodo didattico che di tecnica (ovvero come integrare i contenuti propri della Matematica, con il calcolatore).

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Abbiamo ritenuto che la via intrapresa, ovvero di inserire nell’apprendimento della Matematica, la metodologia della programmazione, che rendesse possibile sfruttare le potenzialità del computer per fare meglio e di più Matematica

fosse quella giusta.

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Andavano, però, cambiati gli ingredienti, ovvero il software e l’aggiornamento didattico degli insegnanti.

Abbiamo, quindi, intrapreso il nostro percorso di ricerca-azione. Da un lato abbiamo costruito un ambiente di programmazione finalizzato all’apprendimento della Matematica per studenti dai 10 ai 18 anni, ovvero abbiamo aiutato gli studenti a programmare in contesto matematico.



Ambiente di programmazione MatCos

L’ambiente di programmazione MatCos è stato creato sulla base dei seguenti obiettivi pedagogici - didattici: • avviare lo studente alla programmazione attraverso i contenuti

matematici relativi alla fascia scolare di riferimento; • apprendere contenuti e metodi matematici sfruttando le potenzialità

della programmazione e del computer.

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Caratteristiche didattiche: • Espressività: è in lingua madre allo stato (italiano ed inglese), presenta un uso elementare delle

strutture linguistiche con terminologia specifica riferita a precisi concetti matematici (punto, linea, retta, segmento, frazione, riferimento cartesiano, funzione, grafico di una funzione, derivata, integrale, matrice, determinante, etc),

• Facilità d’apprendimento: è privo di fase dichiarativa, contribuisce a snellire il fardello delle regole sintattiche di un linguaggio di programmazione evoluto.

• Modalità di esecuzione ‘passo-passo’: consente il monitoraggio costante, ovvero il controllo su ogni passo dell’algoritmo e, quindi, la possibilità per lo studente di verificare istantaneamente la correttezza dei suoi processi mentali sia sintattici che concettuali.

• Leggibilità: i codici dei programmi sono facilmente leggibili e comprensibili sia per chi progetta che per persone estranee, fermo restante la distinzione tra leggibilità per neofiti e per esperti.

• Modularità: la strutturazione in moduli consente di finalizzare i comandi del linguaggio ai contenuti matematici oggetto dell’apprendimento, senza fughe in avanti che potrebbero essere deleterie sul piano formativo. I moduli, inclusivi in ampiezza, sono dieci: uno per ogni anno della scuola del I e II ciclo più una versione omnicomprensiva e una versione per la scuola Primaria, denominati nella versione 3, rispettivamente, MatCos 3.1, …., MatCos 3.8; MatCos 3.X e MatCos 3.0).

L’ambiente MatCos



Caratteristiche tecniche: progettato, anche, sulla base del Design for All, consente la rappresentazione di diverse tipologie di dati e molti tipi di procedimenti risolutivi riconducibili sia al calcolo che a rappresentazioni grafiche. In particolare, si distinguono i seguenti blocchi d’istruzioni: classiche di ingresso/uscita, assegnazione, ciclo, condizionale, operatori booleani; specifiche di natura geometrica (nel piano e nello spazio euclideo e cartesiano); di natura aritmetico-analitica per lavorare con frazioni, funzioni, derivate, integrali,

etc.; di natura statistico-probabilistica per lavorare con diagrammi, istogrammi, etc.

Le istruzioni che si riferiscono a precisi concetti matematici di base richiedono come variabili i parametri necessari al concetto matematico in questione.

L’ambiente MatCos

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Ad esempio:

Retta(<punto>,<punto>); rimarca che per individuare una retta nel piano occorrono due punti distinti;

Mediana(<lista numeri>); rimarca che per calcolare la mediana occorre specificare come parametro una lista di numeri;

Matrice(<n-righe>,<m-colonne>); rimarca che per definire una matrice occorre specificare come parametri il numero

di righe e di colonne (n-righe, m-colonne).

L’ambiente MatCos

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INTERFACCIA UTENTE MATCOS 3.0

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Menu dei comandi disponibili MATCOS 3.X

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MatCos, considerate le sue peculiarità, può dare un significativo apporto al processo di maturazione degli oggetti matematici negli studenti;

inoltre, consente al docente un’ampia scelta metodologica:

• procedere per via induttiva guidando l’allievo alla scoperta delle proprietà matematiche dell’oggetto di studio;

• operare per via deduttiva facendo riscoprire/verificare/consolidare concetti matematici;

• risolvere problemi con dati realistici o esempi significativi del mondo sensibile.

Queste caratteristiche danno la possibilità di realizzare laboratori didattici finalizzati alla riscoperta di situazioni cognitive in ambito matematico, rendendone più sicuro il possesso sia sotto l’aspetto concettuale che sotto l’aspetto operativo. Infatti, MatCos non necessita di una preliminare presentazione della sua grammatica per poter iniziare a lavorare.

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Tabulazione di una funzione nell’intorno di un punto.

Il concetto di limite e continuità.


Esempio

Il codice di programma MCS3, assegnata una funzione e il punto in cui si vuole il limite, consente di tracciare il grafico in un intorno del punto limite, evidenziando la sequenza dei punti calcolata. E’ evidente che variando l’ampiezza dell’intorno e il passo di tabulazione si ha la possibilità di osservare l’andamento della funzione nell’intorno del punto considerato e trarre delle indicazioni, da formalizzare in fase successiva.

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23 Francesco Aldo Costabile – Spoleto 2014

MCS3

rifCart;

f=leggifunz;

x0=legginum("punto limite");

r=rettapar_asse("y",x0);

n=20;

Ms=Matrice(n,2);

Md=Matrice(n,2);

h=1/n;

xs=x0-n*h; xd=x0+n*h;

Per(i DA 1 A n)Esegui;

ys=valutafunz(f,xs); punto(xs,ys);

Ms(i,1)=xs; Ms(i,2)=ys;

xs=xs+h;

yd=valutafunz(f,xd); punto(xd,yd);

Md(i,1)=xd; Md(i,2)=yd;

xd=xd-h;

Fine;

StampaMatr(Ms); StampaMatr(Md);

Graficofunz(f,x0-1,x0+1);

limite.MCS

Le coniche nel piano euclideo.


Esempio

Le coniche, ad esempio, prima di essere introdotte nel piano cartesiano come particolare luogo geometrico che coinvolge i fuochi o il fuoco e la direttrice (così come avviene nella prassi didattica tradizionale italiana), poco o nulla viene detto sull’effettiva costruzione o genesi nel piano. Il codice di programma MCS4 propone un approccio alle coniche mediante costruzioni grafiche per punti nel piano euclideo.

L’idea alla base è quella di considerare non già la nozione di fuoco, nel piano cartesiano, ma quella di vertice anche nel piano euclideo, usando il Sintomo di Apollonio riportato nel piano.


MCS4 - Ellisse e circonferenza

A=punto; B=punto;

s=segmento(A,B);

P=lista; Q=lista;

N=legginum("numero dei punti");

Per(k da 1 a 3) esegui;

Per(i da 1 a N) esegui;

h=puntoacaso_su(s);

m=Distanza(h,A);

m1=Distanza(h,B);

l=segmento(h,radiceq(m*m1*k),

perpendicolare(retta(A,B),h),1);

l1=segmento(h,radiceq(m*m1*k),

perpendicolare(retta(A,B),h),2);

j=i+(k-1)*N;

colore(k);

P(j)=l.estremo(2);

Q(j)=l1.estremo(2);

fine;

fine;

cancella(l,l1);

Costruzione delle coniche nel piano euclideo.

coniche (euclideo).MCS

L’idea di Archimede per il calcolo di π


Esempio

Si espone, a vari livelli di approfondimento per la scuola secondaria, l’idea di Archimede per il calcolo di π, associata all’uso del computer, come strumento da programmare. Si ha, così, l’opportunità di ricordare uno dei più grandi geni dell’umanità ed al contempo di svolgere una proficua azione didattica interdisciplinare, di particolare interesse nell’attuale dibattito sul curricolo di Matematica.

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Dopo aver giustificato/intuito (ad esempio mediante piccolo esperimenti con material povero) che il rapporto tra la lunghezza della circonferenza ed il relativo diametro è costante, ovvero il rapporto c/2r non varia al variare della circonferenza, si pone il problema del calcolo numerico di tale costante, tradizionalmente indicata con la lettera π (pi-greco), cioè:

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c

r

L’idea di Archimede, consiste nell’inscrivere e circoscrivere alla circonferenza poligoni regolari e di approssimare la lunghezza della circonferenza con i perimetri di questi poligoni. In considerazione del livello scolare in questione, si propone, come primo passo, di circoscrivere un quadrato ad una circonferenza. Il codice di programma MCS9 raggiunge lo scopo.

Idea di Archimede per il calcolo di π (esemplificazione scuola secondaria I grado)


Idea di Archimede per il calcolo di π (esemplificazione scuola secondaria I grado) MCS9 - Quadrato circoscritto ad una circonferenza

asse=RettaNum;

A=Punto_su(asse); B=Punto_su(asse);

r=retta(A,B); cancella(asse);

m=distanza(A,B);

p=Perpendicolare(r,A);

p1=Perpendicolare(r,B);

l=segmento(A,B);

l1=segmento(A,m,p); D=l1.estremo(2);

l2=segmento(B,m,p1);

C=l2.estremo(2);

l3=segmento(D,C); s=retta(A,C);

s1=retta(B,D);

Q=intersezione(s,s1); g=circ(Q,M/2);

f=diametro(g);

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MCS10 - Esagono inscritto e circoscritto ad una circonferenza P=punto; r=legginum("raggio"); c=circ(P,r);

A=lista; B=lista; D=lista;

A(1)=punto_su(c);

per (i da 2 a 6) esegui;

A(i)=ruota(A(i-1),P,60,antiorario);

fine;

ColorePenna(128,0,64); poligono(A);

SpessorePenna(1); ColorePenna(0,0,255);

segmento(A(1),P); segmento(A(2),P);

StilePenna(5); r=retta(a(1),a(2));

s=perpendicolare(r,p);

h=intersezione(r,s); B(1)=intersezione(c,s);

t1=tangente(C,B(1));

per (i da 2 a 6) esegui;

b(i)=ruota(b(i-1),P,60,antiorario);

t2=tangente(c,b(i)); t3=tangente(c,b(i-1));

d(i-1)=intersezione(t2,t3);

cancella(t2,t3);

fine;

n=distanza(d(1),d(2));

stampa("il lato dell'esagono circoscritto alla

circonferenza è" , " ",n);

t4=tangente(c,b(6));

d(6)=intersezione(t1,t4);

cancella(r,s,t1,t4);

poligono(d);scrivi("pi-greco è maggiore di 3 e

minore di ", n);

Idea di Archimede per il calcolo di π (esemplificazione scuola secondaria I grado)

calcolo pi (media).MCS


MCS11 - Algoritmo di Archimede n=6;

L=1; eps=LeggiNum("Inserisci la precisione

voluta: ");

d=10;

Esegui Finquando (d>eps);

Pinf=n*L/2;

Psup=n*L/RadiceQ(4-L^2);

d=(Psup-Pinf);

n=n*2;

L=radiceq(2-radiceq(4-l^2));

Fine;

Stampa("per n= ",n, " il valore

approssimato per difetto è ",pinf);

Stampa("per n= ",n, " il valore

approssimato per eccesso è ",psup);

Stampa("Pigreco è compreso tra ",

Pinf, " e ", Psup);

Idea di Archimede per il calcolo di π (esemplificazione scuola secondaria II grado)

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Sembra chiaro, a questo punto, come il metodo simbolico-ricostruttivo possa essere fatto precedere da una fase esperienziale che possa introdurre il concetto in modo quasi “ visivo” o “percettivo motorio” che dir si voglia.

Oltre che in questa fase iniziale il calcolatore può risultare utile in fase di verifica di congetture, o per ottenere risultati diversamente non raggiungibili (calcolo di π ) .

La programmazione, poi, funge da volano per la mente e la creatività.

Durante la sperimentazione sono emersi fatti sorprendenti …….

Di questo vi parlerà, unitamente alla formazione degli insegnanti, il relatore successivo, la prof.ssa Annarosa Serpe.

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Di ricerca: Aspetti pedagogici e cognitivi dell’apprendimento della Matematica con le tecnologie.

A cura di Francesco A. Costabile CAROCCI EDITORE Roma 2013 Didattici: Matematica per il terzo millennio vol.1 e vol.2

Francesco A. Costabile EDIZIONI NUOVA SANTELLI Cosenza

Scaricabile dal sito www.cubolibri.it

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Francesco Aldo Costabile

Dipartimento di Matematica e Informatica, Università della Calabria e.mail: [email protected] [email protected]

CONGRESSO NAZIONALE

Educazione e Cultura Matematica in Italia. Serve ciò che si studia a scuola? 10-12 Aprile 2014 Chiostro di S.Nicolò - SPOLETO

Grazie per l’attenzione

Slides scaricabili dal sito: www.cird.unical.it

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