1

Forza centripeta e gravitazione

1. Il moto circolare Quali sono le caratteristiche del moto circolare? Una particella si dice animata di moto circolare quando la sua traiettoria è una circonferenza. Lo studio di questo tipo di moto viene effettuato individuando due direzioni istantanee, cioè due rette orientate che cambiano ad ogni nuova lettura di cronometro. Si tratta della direzione radiale, lungo la semiretta che esce dal centro della circonferenza andando verso la posizione del punto che si sta muovendo; e della direzione tangenziale, sulla retta tangente alla circonferenza, orientata nel verso del moto e perpendicolare alla direzione radiale. Quali sono direzione e verso della velocità nel moto circolare? Quando una particella descrive una traiettoria curva, ed una circonferenza in particolare, per capire la direzione della velocità possiamo immaginare che d’improvviso scompaiano tutte le forze in azione. La particella si troverebbe allora nella condizione contemplata dalla legge d’inerzia, la quale prevede che in assenza di forze il moto segua una linea retta. Si tratta della retta tangente alla traiettoria, che per definizione viene assunta come direzione della velocità in quel dato istante. Che cosa sappiamo di sbagliato riguardo al moto circolare? Prima di iniziare l’analisi del moto circolare, è necessario rimuovere due idee errate che nei secoli si sono radicate, e che costituiscono un ostacolo alla comprensione di questo fenomeno.

Capitolo

6

DIREZIONE RADIALE

ISTANTANEA

DIREZIONE TANGENZIALE ISTANTANEA

v

v

2

prima idea errata: un oggetto può seguire una traiettoria circolare senza che vi sia un ” binario” di qualche tipo che lo costringa a farlo.

seconda idea errata: un oggetto in moto circolare tende ad essere scagliato verso

l’esterno, in direzione radiale, dall’azione di una forza detta “centrifuga”. Perché occorre un “binario” per sostenere il moto circolare? La prima delle due concezioni errate risale agli antichi Greci, i quali ritenevano il moto circolare la traiettoria perfetta, perché pensavano fosse seguita dagli oggetti celesti. Essendo perfetta, la traiettoria circolare doveva essere una condizione naturale per i corpi, “incorruttibile”, cioè capace di sostenersi autonomamente ed immutabile nel tempo. Da Galileo in poi sappiamo che questo ruolo “privilegiato” spetta al moto rettilineo uniforme, il solo a proseguire indefinitamente senza che debba intervenire alcuna forza, e che per tale caratteristica viene addirittura considerato uno stato. Viceversa, muoversi lungo una traiettoria curva significa cambiare in ogni momento la direzione della velocità. Mutare velocità, anche se solo in direzione e non in intensità, vuol dire accelerare: una macchina che curvi con velocità di modulo costate Km/h30v

, sta accelerando in direzione, anche se il

tachimetro segna sempre lo stesso valore perché non sta accelerando in intensità. Poiché il secondo principio prevede che possa aver luogo un’accelerazione unicamente in presenza di una forza, ne deduciamo che nel moto circolare occorre una forza anche solo per cambiare ogni istante la direzione alla velocità. Come vedremo nel dettaglio, si tratta di una forza in direzione radiale, che punta sempre verso il centro della circonferenza: ne sono esempi la forza normale esercitata da un binario curvo, oppure la tensione di una corda legata al centro della circonferenza. Nella figura a lato, là dove il binario (in un piano orizzontale) si interrompe, la pallina prosegue con un moto in linea retta lungo la direzione tangenziale istantanea, dato che è venuta meno la forza normale che la costringeva a curvare. Perché non esiste una “forza centrifuga”? Come sappiamo dalla terza legge della dinamica, non esistono forze solitarie, ma soltanto interazioni fra coppie di oggetti. Ogni forza deve avere due “attori”: un soggetto che la esercita (e che a sua volta subisce un’azione uguale e contraria), ed uno che la subisce. Ora, è nota a tutti la sensazione (illusoria) di essere scagliati verso l’esterno, in direzione radiale, quando la nostra auto percorre un arco di curva. Ma si deve escludere che questa sensazione sia dovuta all’azione di una forza, semplicemente perché non esiste alcun soggetto che esercita questa forza. Chi esercita la “forza centrifuga”? Non c’è risposta a questa domanda. Un passeggero su di un’auto in curva crede di essere tirato verso l’esterno, ma in realtà mantiene soltanto la stessa direzione di velocità, che come abbiamo detto è in ogni istante tangente alla traiettoria circolare. Se non ci fosse l’auto egli volerebbe in direzione tangenziale non appena inizia la curva. Nel frattempo invece, la macchina gli si muove sotto ed intercetta continuamente la sua traiettoria rettilinea forzandolo verso il centro. Come si vede in figura, lo spostamento dell’auto crea una valutazione errata, per cui egli pensa di

v

v

v

N

N

DIREZIONE RADIALE

ISTANTANEA

v

3

essere scagliato verso l’esterno, ed invece non sta seguendo affatto la direzione radiale istantanea. Il meccanismo è lo stesso di quando l’auto frena, ed il passeggero prosegue il moto in avanti con la medesima velocità di prima della frenata. Analogamente, quando l’auto accelera, al passeggero sembra di essere tirato indietro, ma sta solo proseguendo con la velocità che possedeva prima, mentre è l’auto ad aver cambiato stato di moto. Questa tendenza a proseguire il moto in direzione tangenziale è responsabile fra le altre cose, del rigonfiamento della circonferenza del nostro pianeta all’altezza dell’equatore, dove la velocità di rotazione è massima. Analogamente è il principio usato dalla “centrifuga” di una lavatrice per asciugare i panni. Come si vede dal disegno però, le goccioline di acqua non scappano in direzione radiale ma tangenziale, mentre il cestello continua a ruotare. E’ necessario che agisca una forza anche lungo la direzione istantanea della velocità? Immaginiamo la pallina di una roulette lanciata dal croupier. Inizialmente la pallina stava ferma, quindi la mano del croupier ha dovuto esercitare una forza per portarla fino ad avere velocità v

. Come sappiamo dalla seconda legge della dinamica, da quel momento in poi, in assenza di qualsiasi attrito, non è più necessaria una forza nella direzione istantanea di v

per mantenere la sua intensità v

costante. D’altro canto non possiamo nemmeno escludere che una

tale forza ci sia: ad esempio quando un’auto percorre una curva può farlo con velocità di modulo costante, ma anche accelerando in intensità. Allo stesso modo, quando tentiamo di produrre con la mano il moto circolare in un peso agganciato ad una corda, dobbiamo prima metterlo in moto, esercitando una forza nella direzione della velocità. Successivamente compiamo due azioni: mantenendo ferma la mano tiriamo la corda in modo da costringere il peso a descrivere la circonferenza, ed ogni tanto dovremo pure dare un colpetto nella direzione della velocità per compensare l’azione degli attriti e della gravità, che tendono a far diminuire l’intensità della velocità da noi inizialmente impressa. Nel seguito ci occuperemo della cinematica del moto circolare in cui l’intensità della velocità rimane costante, che chiameremo moto circolare uniforme. Nel moto circolare uniforme, ad essere costante è dunque solo v

, mentre v

cambia ogni istante direzione. Come possiamo ricavare l’accelerazione lungo la direzione radiale? Preso un punto in moto circolare uniforme di raggio r , consideriamo un arco di circonferenza AB, e l’intervallo di tempo t che occorre al punto per percorrerlo. In questo stesso tempo il raggio della circonferenza avrà “spazzato” l’angolo e la velocità avrà cambiato direzione passando da Av

a

Bv . Poiché sia Av

che Bv sono perpendicolari al raggio, se li riportiamo con

un’origine comune, è immediato concludere che anche la velocità ha spazzato lo stesso angolo . Dal metodo di punta-coda per la somma dei vettori si riconosce subito che il vettore v

che unisce le punte di Av e Bv

è il vettore

differenza, cioè A Bv v v da cui B Av v v

. Consideriamo ora il triangolo delle velocità ed il triangolo AOB: sono entrambi isosceli e con un angolo uguale, pertanto sono simili:

v

F ?

F

Av

Bv

A

B

O

rs

Av

Bv

v

goccia

4

v s

rv

Dividiamo per t ambo i membri e riordiniamo:

v v s

t r t

Quando tende a zero l’intervallo temporale t , sappiamo che il rapporto s

t

diviene il modulo della velocità istantanea v . Il rapporto

v

t

diventa invece

il modulo dell’accelerazione istantanea, la cui direzione si mantiene sempre parallela a v

e così alla fine risulta perpendicolare a v . Infatti nel triangolo delle velocità, quando 0 si ha 90 dovendo la somma rimanere uguale a 180 . La chiamiamo quindi accelerazione centripeta Ca

, in quanto diretta lungo il raggio puntando verso il centro. Quindi sostituendo nella

relazione precedente v

t

con Ca e

s

t

con v si trova che l’intensità

dell’accelerazione centripeta vale:

2

C

va

r

Esempio 1 Sopra ad un piano orizzontale, una pallina di massa Kg0.0500m viene

lanciata in una guida circolare di raggio m0.200r e percorre un giro

completo in s1.45 . Assumendo che il modulo della velocità sia rimasto

costante durante il giro, calcolare l’accelerazione centripeta della pallina e la forza normale esercitata su di lei dalla guida. Troviamo innanzitutto il modulo della velocità:

m/ss

2 6.28 0.2000.866

1.45 1.45r

v

Fissiamo quindi un riferimento sul piano con l’origine nel centro della circonferenza e consideriamo l’istante in cui la pallina taglia l’asse delle ascisse come in figura. In direzione orizzontale agisce la forza normale, mentre

l’accelerazione vale 2

( / ; 0 )a v r :

N2

20.8660.0500 0.187

0.200x x x

vN ma N m

r

e per l’accelerazione centripeta si ha:

m/s2

220.866

3.750.200C

va

r

Ca

v

Bv

Av

0 90°

v

v

rN

v

Ca

N x

y

5

Cosa si intende con il termine “forza centripeta” ? Se una particella di massa m segue un moto circolare uniforme di raggio r ,

lungo la direzione radiale istantanea la seconda legge della dinamica si scrive:

2

r

vF m

r

Si chiama forza centripeta la somma delle componenti in direzione radiale rF

di tutte le forze che agiscono su di una particella in moto circolare. Non si tratta quindi di un nuovo tipo di forza, ma solo del nome che sinteticamente si assegna alla risultante delle forze che producono l’accelerazione centripeta. Nel precedente esempio 1 la forza centripeta è fornita dalla normale alla guida, in questo caso l’unica ad agire sulla pallina in direzione radiale. Riflettiamo sul fatto che la forza normale è una forza passiva, che è in grado di fornire sempre il valore che occorre per costringere l’oggetto a percorrere la traiettoria circolare di quel raggio con quella velocità. Se ad esempio il modulo della velocità raddoppiasse, la guida dovrebbe fornire una forza centripeta

2 2(2| |) | |4v v

r rm m

quattro volte più grande, e così via finché la forza richiesta

non divenisse così intensa da piegare la guida stessa. E’ quanto accade ai treni che deragliano per aver tentato di percorrere le curve a velocità superiore al massimo che il binario poteva sopportare senza deformarsi. La forza centripeta può avere le origini più diverse: la tensione di una corda insieme alla gravità producono la forza centripeta quando si fa ruotare una massa ad un suo capo, l’attrito statico fra pneumatici ed asfalto fornisce la forza centripeta che serve per far percorrere all’auto una curva, la forza di gravità funge da forza centripeta per tenere la Luna in orbita attorno alla Terra, e così via. Esempio 2 Una massa Kg0.600m agganciata al capo di una fune lunga m0.500 viene

fatta ruotare in un piano verticale, imprimendogli nel punto più in basso una velocità m/s5.00v

. La traiettoria è circolare ma il modulo della velocità non

rimane costante in quanto la massa è rallentata dalla gravità mentre sale ed è accelerata mentre scende. Sapendo che nel punto più in alto risulta

m/s2.32v , si calcolino la forza centripeta, l’accelerazione centripeta e la

tensione della fune nelle posizioni di massima e minima altezza. Nella posizione di minima altezza abbiamo, lungo l’asse y (che in quel momento coincide con la direzione radiale):

2| |y y y

vT W ma T mg m

r

N2 2| | 5.00

0.600 9.81 0.600 35.90.500

vT mg m

r

mentre la forza centripeta e l’accelerazione centripeta valgono:

T

y

W

T

W

y

6

N35.9 0.600 9.81 30.0rF T mg

m/s2 2

2| | 5.0050.0

0.500C

va

r

m/s250.0ya

Nel punto di massima altezza abbiamo, sempre lungo la direzione radiale y : 2| |

y y y

vT W ma T mg m

r

N2 2| | 2.32

0.600 0.600 9.81 0.5730.500

vT m mg

r

mentre la forza centripeta e l’accelerazione centripeta valgono: N0.573 0.600 9.81 6.46rF T mg

m/s2 2

2| | 2.3210.8

0.500C

va

r

m/s210.8ya

Riflettiamo sul fatto che la tensione della corda non coincide con la forza centripeta, ma anzi T

aggiusta il suo valore facendosi minima quando è

aiutata dalla gravità nel produrre la forza centripeta, come accade nel punto più alto, e facendosi invece massima quando è contrastata dalla gravità nel produrre la forza centripeta, come accade nel punto più basso. Esempio 3 Un’auto segue una strada curva procedendo a velocità di modulo costante v

.

Si calcoli il modulo della sua accelerazione nei tratti AB, BC, CD, DE specificando dove è massimo e dove minimo. Lungo i tratti AB, CD, DE, che sono archi di circonferenza, l’accelerazione è solo centripeta essendo il modulo della velocità costante. Si ha:

2

AB

va

R

;

2 2

34

4

3CD

v va

RR

;

2 2

13

3DE

v va

RR

mentre nel tratto rettilineo BC essendo costante il modulo della velocità si ha: 0BCa

Il massimo valore di accelerazione, tutta centripeta, si ha quindi durante la curva di raggio minimo DE, il minimo valore di accelerazione centripeta nella curva di raggio massimo AB, mentre il minimo valore di accelerazione in assoluto è il valore nullo che si ha nel tratto rettilineo BC. Esempio 4 Un’automobile di massa Kg1500m percorre una curva circolare di raggio

m40.0r alla velocità di m/s15.0 . Si trovi quanto vale la forza centripeta.

Sapendo poi che il coefficiente di attrito statico fra pneumatici ed asfalto è 0.950s , si calcoli la massima velocità alla quale l’auto può percorrere la

curva e la forza centripeta in questo secondo caso.

N

W

sf x

y

R

3R

4

1R

3

A

BC

D

E

7

La forza centripeta è fornita tutta dalla forza di attrito statico sf

, e la sua

direzione è perpendicolare a quella in cui avanzano le ruote. Nel primo caso sf

non raggiunge il suo valore massimo, ma sappiamo però che la sua intensità

soddisfa la condizione 0 s sf N

. Indicando con x la direzione radiale

istantanea come in figura, si ha:

N2

2415.0

1500 0.844 1040.0sx x s

vf ma f m

r

Per avere la velocità massima dobbiamo calcolare invece proprio la massima

forza di attrito statico s N

e quindi trovare N

. Dall’equilibrio in direzione

verticale si ha: 0 0y yN W N mg N mg

che sostituito nella relazione precedente: 2

maxsx x s s

vf ma N m m

r

g m

2v

r

m/s0.950 9.81 40.0 19.3sv gr .

In questo caso per la forza centripeta risulta

N2

2419.3

1500 1.40 1040.0r

vF m

r

.

Esempio 5 Un’automobile di massa Kg1300m , che viaggia alla velocità costante di

m/s10.5v , passa sopra ad un dosso il cui profilo può essere considerato

una circonferenza di raggio m15.0R . Si dica, senza svolgere alcun calcolo,

se quando l’auto raggiunge la sommità, la forza normale esercitata dal terreno è maggiore, minore od uguale al peso della vettura. Si calcolino quindi le intensità della forza centripeta e della forza normale in quel momento. Quando si trova nel punto più alto l’auto sta descrivendo una circonferenza, quindi deve agire su di lei una forza verticale che punta verso il centro. Questo significa che la somma delle forze che agiscono in verticale deve puntare in basso, cioè la forza N

deve avere un’intensità minore di quella del peso W

. E’

ben nota infatti la sensazione di “alleggerimento” che da passeggeri si sperimenta sulla sommità dei dossi: quello che si percepisce è proprio la diminuzione della forza normale, che come sappiamo, invece, quando siamo in quiete resta sempre uguale al peso. La forza centripeta è il risultato delle azioni congiunte di N

e W

, che in

verticale si sottraggono. Osservando la direzione dell’asse verticale si ha 2

v

y Ra

, da cui si ricava per la forza centripeta:

N

W

R

y

N

W

N

N

W

W

8

N2

2310.5

1300 9.56 1015.0y y y r

vN W ma F N mg m

R

mentre per la normale: N N3 3 39.56 10 1300 9.81 9.56 10 3.20 10N mg N

Esempio 6 Una pallina di massa Kg0.300m , appesa ad un filo lungo m0.750L , gira

a velocità di modulo costante descrivendo una circonferenza, mentre l’angolo che il filo forma con la verticale rimane sempre 25.0 . Sapendo che la pallina compie un giro in s1.50 si trovi la tensione del filo, l’intensità della

forza centripeta e l’intensità dell’accelerazione centripeta. Calcoliamo innanzitutto il raggio della traiettoria circolare:

msin 0.750 sin25.0 0.317R L

e ricaviamo da questo il modulo della velocità della pallina:

m/ss

2 6.28 0.3171.33

1.50 1.50R

v

e l’intensità dell’accelerazione centripeta:

m/s2

221.33

5.580.317C

va

R

Fissato un riferimento nell’istante rappresentato in figura, sappiamo che in direzione verticale non c’è accelerazione, poiché se l’angolo rimane costante, la pallina non può né salire né scendere. Si ottiene: cos25.0 0y y yT W ma T mg

N0.300 9.813.25

cos25.0 0.906

mgT

La forza centripeta è data dalla componente orizzontale della tensione, e coincide anche con la composizione data dalla regola del parallelogramma della tensione e del peso, poiché la risultante di queste due forze, come abbiamo detto, è tutta orizzontale:

Nsin 25.0 3.25 0.423 1.37rF T

Esempio 7 Sopra ad un piano, fissata ad una corda, una massa Kg0.450m descrive un

moto circolare uniforme di raggio m0.500r con velocità m/s2.50v .

All’altro capo della corda pende immobile, da un foro ricavato al centro del piano, una seconda massa M . Si trovi il valore di M . Fissato un riferimento con la direzione radiale istantanea lungo l’asse x , abbiamo che la forza centripeta è fornita dalla tensione della corda:

R

L

Forza centripeta

W

y

x

T

M

m

9

N2

22.500.450 5.63

0.500x x

vT ma T m

r

Per la massa appesa, la condizione di equilibrio richiede che lungo l’asse verticale sia nulla l’accelerazione:

N0 5.63y y yT W ma T Mg Mg T

da cui si ottiene:

Kg5.630.574

9.81

TM

g

Esempio 8 Una blocco di massa m , scivola senza attrito lungo il profilo di un igloo a forma di sfera avente raggio R , partendo dal punto più alto con una velocità orizzontale così piccola da potersi considerare nulla. Ad un certo valore dell’angolo il blocco si stacca dall’igloo, descrivendo una traiettoria parabolica di caduta libera. Spiegare perché si distacca e calcolare quanto vale la velocità in quell’istante. Fintanto che il blocco segue il profilo dell’igloo sta descrivendo una traiettoria circolare, e quindi occorre che le forze agenti su di lui, normale N

e peso W

,

producano la forza centripeta necessaria. La normale N

come sappiamo è una forza passiva, che adegua man mano la sua intensità in conseguenza della forza con la quale il blocco viene premuto contro l’igloo. Se l’igloo non ci fosse, il blocco seguirebbe sin dall’inizio una traiettoria parabolica di caduta libera, che si troverebbe nello spazio occupato dal ghiaccio. A mano a mano che procede la discesa, questa traiettoria ipotetica si va aprendo sempre più perché aumenta l’intensità della velocità con cui la caduta libera avrebbe inizio. Nell’istante in cui la parabola diventa tutta esterna all’igloo, il blocco non viene più premuto contro il ghiaccio e così si stacca. In quel momento, dato che cessa di essere premuto, si annulla anche la forza normale. Scegliendo un riferimento come in figura, osserviamo che il modulo della velocità non è uniforme, ma cresce durante la caduta per l’azione della gravità. Il blocco seguirà il profilo circolare dell’igloo solo fino a quando la somma delle

forze radiali rF riuscirà a produrre la necessaria forza centripeta 2

v

Rm

: 2

cosv

r RF N mg m

Imponendo la condizione trovata sopra, per cui la normale si annulla al momento del distacco, si trova la velocità:

mg cos m 2

v

R

cosv Rg

x

M

m T

W

T

y

N

N

N = 0

W

y

x

N

direzione radiale

istantanea

y

R cos

10

Esempio 9 Un’automobile di massa m tenta di eseguire il “giro della morte” lungo una pista circolare di raggio R . Si trovi la velocità minima av

con la quale deve arrivare nel punto più alto della pista. Per poter eseguire il giro le ruote dell’auto devono mantenere sempre il contatto con la pista, in particolare nel punto più alto. Questo avviene solo se in ogni momento la velocità istantanea che la traiettoria di caduta libera che tende a far descrivere all’auto ha la parte iniziale esterna alla pista, come nella curva blu in figura. In tal modo la pista deve esercitare una forza normale per costringere l’auto a deviare verso il centro, ed il contatto è assicurato. Se viceversa la velocità istantanea è così bassa da produrre una traiettoria di caduta libera interna alla pista (curva gialla), il contatto viene meno. Quando la condizione di contatto è soddisfatta nel punto più alto, essa è certamente soddisfatta anche nell’intero tragitto, dato che forza di gravità fa diminuire l’intensità della velocità man mano che l’auto sale. Indicando con av

la velocità alla sommità, in quel momento risulta: 2 2

a av v

y y y R RN W ma N mg m N mg m

La forza centripeta 2

av

Rm

che occorre per mantenere l’auto in pista è tanto più

piccola quanto minore è av . Il valore minimo di av

è quello a cui basta la sola

gravità a produrre 2

av

Rm

. Per esso risulta dunque 0N

nel punto più alto: 2

2aa a

vmg m v gR v gR

R

Esempio 10 Un’automobile di massa m percorre una curva di raggio m150R alla

velocità di m/s15.0 . Sapendo che la strada è inclinata ed indicato con

l’angolo che essa forma con l’orizzontale, si trovi il valore di che permette all’auto di percorrere la curva anche in assenza di attrito fra pneumatici ed asfalto. Come si ricava dalla figura la somma vettoriale della forza normale e del peso debbono fornire la necessaria forza centripeta per descrivere una curva di raggio R alla velocità assegnata. Il secondo principio della dinamica in forma vettoriale si scrive:

CN W ma N mg ma

L’equazione sopra scritta è facilmente visualizzabile in termini geometrici grazie al metodo di punta-coda. Si forma un triangolo di ipotenusa N

ed i cui

cateti Cma ed mg

, in base ai dati del problema, devono essere rispettivamente

N

W

y

N

R

0v

x

y

W

N

N

11

orizzontale e verticale. Si dimostra facilmente che è pure l’angolo fra N

ed mg . Risulta dunque:

tan Cma m

mg

2| |vR

m

2 2| | 15.0

0.1539.81 150

v

gRg

1tan (0.153) 8.69 Allo stesso risultato si perviene facendo il rapporto delle componenti orizzontale e verticale della forza normale:

2| |x x x

vN ma N m

R

0 0y y y yN W N mg N mg 2| | 2| |

tanvRx

y

mN v

N mg gR

Esempio 11 Disco che gira con la massa sopra ed attrito

N mg

Cma

mg

N

R

N

y

N

x

N