Formulazione ﬂnita dell’elettromagnetismoweb.diegm.uniud.it/elettrotecnica/Didattica... · 2...

Formulazione finitadell’elettromagnetismo

Enzo TONTI 1

14 maggio 2000

1Author’s address: Dipartimento di Ingegneria Civile, Universita di Trieste, PiazzaleEuropa 1, 34127 Trieste, Italia. E-mail: [email protected]

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0.1 Prefazione

Questa dispensa e stata scritta elaborando del materiale solo in parte gia pubblicatodallo scrivente.

Essa intende costituire un riferimento al ciclo di lezioni dal titolo “Formulazionefinita dell’elettromagnetismo partendo dai fatti sperimentali” che si terra presso l’U-niversita di Udine nei giorni 13 e 14 giugno 2000. Il lettore tenga conto che questadispensa copre solo una parte del corso: la parte rimanente e in corso di redazione.

Lo scrivente deve l’invito a tenere questo ciclo al prof. Andrea Stella che hamostrato interesse per il punto di vista qui esposto. Lo scrivente spera di non averdeluso l’aspettativa del collega e desidera qui esprimergli riconoscenza per la splendidaoccasione che gli ha fornito di presentare un punto di vista nuovo ai dottorandi e airicercatori che lavorano e continueranno a lavorare in questo campo.

La dispensa e stata redatta in un paio di mesi e quindi soffre di frammentarieta,contiene ripetizioni e forse anche qualche errore. Il lettore tenga conto che lo scriventenon ha mai avuto occasione di fare un corso sul tema trattato in quanto “condannato”da circa quaranta anni ad insegnare la meccanica razionale anche se si occupa di fisicamatematica.

Nel mentre lo scrivente chiede venia di questo, si augura fortemente che coloroche la leggeranno vorranno indicargli queste deficienze in vista della possibilita ditrasformare la dispensa in un libro. A costoro va, fin d’ora, il grazie piu sincero.

Buona lettura.

Indice

0.1 Prefazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20.2 Notazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1 Introduzione 91.1 Definizione operativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.2 Le sorgenti del campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2 Elettrostatica 152.1 La carica Q: sorgente del campo elettrico . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2 La prima legge dell’elettrostatica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.2.1 Induzione elettrostatica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.2.2 Il vettore induzione ~D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.2.3 La misura di Ψ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.2.4 Il teorema di Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.3 La seconda legge dell’elettrostatica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.3.1 Il vettore ~E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.3.2 La tensione elettrica U . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.3.3 La misura della tensione in un dielettrico . . . . . . . . . . . . 27

2.4 Equazione costitutiva D−E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.5 Equazione costitutiva U−I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.6 La legge di Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3 Magnetostatica 333.1 La corrente I: sorgente del campo magnetico. . . . . . . . . . . . . . 333.2 La prima legge della magnetostatica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.2.1 Il vettore campo magnetico ~H . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.2.2 La tensione magnetica Um . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.2.3 La natura assiale di ~H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.2.4 Misura della tensione magnetica . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.2.5 La prima legge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.2.6 Il potenziale scalare magnetico Vm . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.3 La seconda legge della magnetostatica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3

4 INDICE

3.3.1 Il vettore induzione magnetica ~B . . . . . . . . . . . . . . . . 403.3.2 La nascita del flusso magnetico Φ . . . . . . . . . . . . . . . . 423.3.3 La natura assiale di ~B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.4 L’equazione costitutiva B−H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4 Elettro-magnetismo 474.1 La relazione di Faraday-Neumann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.1.1 L’impulso di tensione elettrica U ♠ . . . . . . . . . . . . . . . 474.1.2 La misura del flusso magnetico Φ ♠ . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.2 La relazione di Maxwell-Ampere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504.2.1 L’impulso di tensione magnetica Um ♠ . . . . . . . . . . . . . 504.2.2 La corrente di spostamento Ψ ♠ . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

5 I complessi di celle 535.1 Il ruolo dei complessi di celle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535.2 Complessi simpliciali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

5.2.1 Triangolazione di Delaunay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555.2.2 Circocentro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555.2.3 Triangolazione generica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

5.3 Complesso duale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585.3.1 Complessi di Delaunay-Voronoi . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

5.4 Orientazione degli elementi geometrici . . . . . . . . . . . . . . . . . 685.4.1 Orientazione interna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 685.4.2 Orientazione esterna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

6 Analisi delle grandezze fisiche 796.1 Classificazione delle grandezze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 796.2 I parametri fisici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 806.3 Le variabili fisiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

6.3.1 Variabili di configurazione. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 826.3.2 Variabili di sorgente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 826.3.3 Variabili energetiche. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

6.4 Variabili globali nello spazio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 836.4.1 La proprieta addittiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 866.4.2 Le densita di linea, di superficie e di volume . . . . . . . . . . 87

6.5 Associazione agli elementi spaziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 896.5.1 Associazione agli elementi temporali . . . . . . . . . . . . . . 91

7 Analisi delle equazioni fisiche 977.1 Equazioni di struttura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

7.1.1 Legge di conservazione della carica. . . . . . . . . . . . . . . . 99

INDICE 5

7.1.2 Legge d’induzione elettrostatica. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1017.1.3 Legge dell’induzione elettromagnetica. . . . . . . . . . . . . . 1017.1.4 Legge di conservazione del flusso magnetico. . . . . . . . . . . 1027.1.5 Legge di Maxwell-Ampere. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1027.1.6 Invarianza delle grandezze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

7.2 Equazioni costitutive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1067.2.1 Verso la formulazione differenziale . . . . . . . . . . . . . . . . 1067.2.2 Campi uniformi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

7.3 Equazione fondamentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1087.3.1 Il campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1087.3.2 Le sorgenti del campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1087.3.3 I potenziali del campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1097.3.4 La legge del campo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1097.3.5 Il problema fondamentale del campo . . . . . . . . . . . . . . 1097.3.6 L’equazione fondamentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1107.3.7 Il principio di sovrapposizione degli effetti . . . . . . . . . . . 1127.3.8 L’equazione fondamentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1127.3.9 Sorgente impressa e indotta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1137.3.10 Sovrapposizione degli effetti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

8 Tavole riassuntive 1178.0.11 Il diagramma dell’elettrostatica . . . . . . . . . . . . . . . . . 1178.0.12 Il diagramma della magnetostatica . . . . . . . . . . . . . . . 1178.0.13 Il diagramma dell’elettromagnetismo . . . . . . . . . . . . . . 117

A Altre teorie fisiche 133

B Sulle definizioni operative 137

C Relazione con le forme differenziali 141

6 INDICE

1700 1750 1800 1850 1900 1950-20

0

20

40

60

80

100

120

140

Coulomb

Galvani

Volta

Ampère

Gauss

Ohm

Faraday

Kelvin

Kirchhoff

Maxwell

Lorentz

Hertz

Neumann

personaggi dell'elettromagnetismo

(personaggi.m)

Figura 1: I principali personaggi dell’elettromagnetismo. Nel 1800 Volta costruıla pila; nel 1819 Oersted scoprı la deviazione dell’ago magnetico in prossimita diun filo percorso da corrente; nel 1873 Maxwell pubblica il Treatise of Electricityand Magnetism. personaggiElet

0.2. NOTAZIONI 7

0.2 Notazioni

I punti, le linee, le superfici ed i volumi sono degli enti spaziali elementari checi servono per descrivere lo spazio: ad essi daremo il nome di elementi spaziali .Analogamente gli istanti e gli intervalli sono gli enti temporali elementari che ciservono per descrivere il tempo: ad essi daremo il nome di elementi temporali .

Questi sei elementi si potrebbero rappresentare con le seguenti lettere: P,L, S, VI, T che sono le iniziali dei rispettivi nomi1. Senonche vi sono alcuni inconvenienti:la lettera L indica spesso la lunghezza di una linea; la lettera S indica spesso l’areadi una superficie. Le cose stanno peggio per la lettera V . Infatti gia il termine“volume” indica due cose distinte: la regione di spazio e la sua estensione. Cosıin architettura si parla spesso di “volumi” intendendo regioni di spazio mentre siafferma che il “volume” di una stanza e di 30 m3. Analogamente la lettera T indicaspesso la durata di un intervallo. Queste due ragioni suggeriscono di usare i simboliin grassetto.

Ciascuno di questi enti spaziali e temporali puo possedere due tipi di orientazioni,quella “interna” e quella “esterna”, come spiegheremo nella sezione (6), e ciascun tipoha poi due determinazioni. Per distinguere l’orientazione interna da quella esternaporremo un tilde sopra la lettera per indicare l’orientazione esterna. Useremo quindila seguente notazione:

elementi spaziali e temporali loro estensione

punto P P

linea L L lunghezza L, L

superficie S S area S, S

volume (regione) V V volume (estensione) V, V

istante I I

intervallo T T periodo o durata T, T

Termini ricorrenti. Un materiale si dice:

• omogeneo se le sue proprieta fisiche non variano con il posto;

• isotropo se non variano con la direzione.

Un campo si dice:

• uniforme se le grandezze che lo descrivono sono invarianti per traslazione;

• costante se sono invarianti nel tempo.

1 Salvo T che pero si concilia con la tradizionale notazione di un periodo.

8 INDICE

Il tasso di una grandezza e il rapporto tra la grandezza, che deve essere associataad un intervallo di tempo, e la durata dell’intervallo. L’impulso di una grandezzae l’integrale dlla grandezza in un intervalo di tempo. Indicheremo l’impulso dellagrandezza generica F con la notazione calligrafica F . In particolare:

V [T ] =∫

TV dt U [T ] =

∫TU dt Um[T ] =

∫TUm dt (1) XZTE

Considerazioni epistemologiche. Nessuno si sognerebbe di definire la tensioneelettrica come il prodotto della resistenza per la corrente: la legge di Ohm U = RIesprime una legge costitutiva, e espressa da una equazione materiale in quantocontiene un parametro materiale, la resistenza R, il cui valore deve essere determinatoattraverso misure. Nello stesso modo nessuno si sognerebbe di definire lo sforzo σ comeil prodotto del modulo di elasticita E per l’allungamento unitario ε: σ = Eε. Questae la legge costitutiva di Hooke, valida per molti materiali ma non per tutti.

Ebbene molti autori, troppi autori, definiscono il vettore induzione elettrica ~Dmediante la formula ~D = ε ~E ed il vettore ~B mediante la relazione ~B = µ ~H, anchesolo nel vuoto. Queste sono leggi costitutive, valide per particolari materiali, quelliisotropi e lineari. Una legge non e una definizione! Una legge lega due grandezze chesono state precedentemente definite mentre una definizione presenta una grandezzain termini di altre che sono state precedentemente definite. Una definizione non puocontenere costanti materiali perche altrimenti gia riassume un comportamento delmezzo che necessita di misure in laboratorio.

La presentazione dell’elettromagnetismo, a differenza della meccanica dei solidideformabili e di quella dei fluidi, e ancora infarcita di simili impostazioni irrazionali.E nostra intenzione dare un contributo a rendere semplice e logica la presentazionedell’elettromagnetismo.

Simboli. Ci rifacciamo ai simboli della International Union of Pure and AppliedPhysics (IUPAP), revisione del 1987, pubblicato sulla rivista Physica 1987 [CON-TROLLARE ♣]. Ogni disaccordo nella nomenclatura e nei simboli usati in questadispensa deve ritenersi un errore del presente autore che sara grato a coloro che glielosegnaleranno.

Seguendo le raccomandazioni date nelle norme IUPAP l’aggettivo “specifico” perdesignare una grandezza intensiva deve essere evitato il piu possibile e deve in ognicaso essere ristretto al senso “diviso per la massa”.

Unita di misura. Faremo riferimento esclusivamente al Sistema Internazionale(SI).

Capitolo 1

Introduzione

Questa dispensa si rivolge a coloro che conoscono gia l’elettromagnetismo.

Lo scopo che ci proponiamo e solo quello di presentare le grandezze e le equazionidel campo elettromagnetico secondo un ordine molto pedagogico anche se poco usato,mettendo in risalto alcune caratteristiche solitamente lasciate in penombra quandonon addirittura ignorate1.

Vengono richiamati i fatti sperimentali che servono ad introdurre le principaligrandezze fisiche e le principali leggi del campo.

Un primo obiettivo e quello di definire in modo operativo le principali grandez-ze usate nell’elettromagnetismo dividendole nelle due grandi classi: le variabili di“configurazione” e quelle di “sorgente”. Questa distinzione e indispensabile per unaformulazione finita dell’elettromagnetismo a partire dai fatti sperimentali.

Un secondo obiettivo e quello di distinguere le equazioni di “struttura” da quelle“costitutive”, cosa che spesso viene omessa nella presentazione tradizionale.

Un terzo obiettivo e quello di mettere in evidenza che le grandezze “globali” sonoassociate agli “elementi” spaziali e temporali.

La situazione attuale. Le leggi del campo elettromagnetico sono state descritteda Maxwell mediante equazioni differenziali. Esse possono anche essere scrittein forma integrale effettuando integrazioni su linee, superfici, volumi ed intervallidi tempo. In tempi piu recenti si e constatato che, sempre nell’ambito differenziale,un linguaggio piu naturale e quello delle forme differenziali esterne. Nel seguitoparleremo di formulazione differenziale per intendere sia la formulazione con equazionidifferenziali che quella con forme differenziali.

La risoluzione numerica delle equazioni dell’elettromagnetismo necessita di una

1 Questa presentazione prende lo spunto dalla scuola tedesca che fa capo al fisico sperimentalePohl ed al fisico teorico Mie [34], [35]. Si veda anche Sommerfeld [47, p.10].

9

10 CAPITOLO 1. INTRODUZIONE

formulazione finita. Questa e attualmente ottenuta mediante discretizzazione delleequazioni differenziali.

E lecito porsi la domanda:

e possibile scrivere direttamente le leggi del campo elettromagnetico informa finita senza passare attraverso la formulazione differenziale?

Mostreremo che questo e possibile in modo molto semplice e nel contempo faremovedere come la formulazione finita metta in luce alcune caratteristiche delle grandezzefisiche e delle equazioni che sono spesso trascurate e talvolta addirittura ignorate dallaformulazione differenziale.

Le grandezze integrali dell’elettromagnetismo si possono ordinare secondo lo sche-ma della tavola (I). Esse possono essere divise in due classi 2 .

Tavola I: Variabili integrali dell’elettromagnetismo.LL1

configuration variables source variables(SI units: weber) (SI units: coulomb)

gauge function χ elec. charge prod. Qp =∫

T

∫Vσ dV dt

elec. potential imp. V =∫

TV dt elec. charge content Qc =

∫Vρ dV

electrokinetic momentum p =∫

L

~A · d~L elec. charge flow Qf =∫

T

∫S

~J · d~S dt

elec. tension imp. U =∫

T

∫L

~E · d~L dt electric flux Ψ =∫

S

~D · d~S

magnetic flux Φ =∫

S

~B · d~S magn. tens. imp. Um =∫

T

∫L

~H · d~Ldt

magn. charge flow Gf =∫

T

∫S

~k · d~S dt (no known name) α =∫

L

~T · d~L

magn. charge content Gc =∫

Ug dV magn. scalar pot. imp. Vm =

∫TVm dt

magn. charge prod. Gp =∫

T

∫Vτ dV dt (no known name) η

La prima classe e formata da quelle variabili che descrivono la “configurazione”del campo, quali il potenziale scalare e vettore nonche da quelle ad esse legate daoperazioni di prodotto o divisione per lunghezze, areee, volumi e durate. Questeverranno chiamate variabili di configurazione e sono collocate sulla sinistra dellatavola.

2 Il termine electrokinetic momentum e usato da Maxwell [?, § 585 e § 590].

11

Tavola II: Una classificazione delle variabili dell’elettromagnetismo.ConfSourEner

variabili di configurazionefunzione di gauge χ

potenziale elettrico Vimpulso di potenziale elettrico V

tensione elettrica Uimpulso di tensione elettrica U

vettore campo elettrico ~Eflusso magnetico Φ

induzione magnetica ~B

potenziale vettore magnetico ~Amomento elettrocinetico p

variabili di sorgente

flusso di carica elettrica Qf

contenuto di carica elettrica Qc

corrente elettrica I

densita di corrente ~Jflusso (di)elettrico Ψ

induzione elettrica ~D

intensita del campo magnetico ~Htensione magnetica Um

impulso di tensione magnetica Um

potenziale scalare magnetico Vm

polarizzazione dielettrica ~P

vettore magnetizzazione ~M

variabili energetichelavoro Wcalore Q

densita di energia elettrica ue

densita di energia magnetica um

vettore di Poynting ~S

quantita moto elettrom. ~Gdensita di quantita di moto ~g

azione elettrom A

-


La seconda classe e formata da quelle variabili che descrivono le “sorgenti” delcampo, quali cariche e correnti, nonche da quelle ad esse legate da operazioni diprodotto o divisione per lunghezze, areee, volumi e durate. Queste verranno chiamatevariabili di sorgente e sono collocate sulla destra della tavola.

Il prodotto di una variabile di sorgente per una di configurazione fornisce unavariabile energetica, quali la potenza, l’energia, l’azione, come mostra la tavola(II). In particolare il prodotto di due grandezze integrali delle due classi fornisce unaazione.

Una fondamentale constatazione e che tutte le grandezze integrali di una stessaclasse hanno le stesse dimensioni fisiche e quindi per tutte esse si puo usare la stes-sa unita di misura. Le variabili di configurazione hanno le dimensioni di un flussomagnetico, quelle di sorgente hanno le dimensioni di una carica elettrica.

Si nota dalla tavola che nelle grandezze di sorgente gli elementi geometrici e quellicronometrici sono dotati di una tilde: questo indica che l’elemento geometrico ocronometrico e dotato di orientazione esterna, come spiegheremo piu avanti.

1.1 Definizione operativa

La tavola (I) mostra il legame tra le grandezze integrali e le funzioni di campo. Inquesta sezione ci proponiamo di introdurre operativamente alcune grandezze integralisenza costruirle a partire dalle funzioni di campo: per questa ragione useremo iltermine grandezze globali.

Nella presentazione tradizionale i vettori ~E e ~B vengono introdotti riferendosialla forza esercitata su una carica di prova in quiete ed in moto rispettivamente.Successivamente per lo studio dei mezzi materiali vengono introdotti i due vettori ~De ~H. Questo porta a pensare che nel vuoto l’introduzione dei vettori ~D ed ~H risultiinutile. Al punto che alcuni autori davano come definizione nel vuoto ~D = ~E ed~H = ~B 3 . Altri autori fanno invece una distinzione sostanziale tra i vettori ~E e ~Bda una parte e ~D e ~H dall’altra4.

Come mostreremo in questo lavoro la formulazione discreta diretta dell’elettroma-gnetismo richiede come punto di partenza le grandezze globali, che sono scalari, noni vettori di campo. Questo ci condurra, nel passaggio alla formulazione differenziale,ad effettuare in modo naturale una distinzione sostanziale tra i vettori ~E, ~B da unaparte e ~D, ~H dall’altra valida anche nel vuoto. 5

3 Abraham [?, p.♣]; Lorentz [?, p.♣] [?, p.92]4 Fra essi Langevin [27]; Mie [34, p.] [35, p.]; Sommerfeld [47, p.9]; Van Dantzig [?]; Post [?].5 Il fatto che, secondo l’elettrodinamica quantistica, il “vuoto” abbia una sua complessita (fotoni

virtuali, polarizzazione del vuoto) al punto da far ritenere che la prima coppia di vettori sia distintadalla seconda coppia e che su questo si fondino esperimenti in corso [67] indica che la identificazionetra le due coppie di vettori nel vuoto e inopportuna e che la presentazione che svilupperemo e inarmonia con l’elettrodinamica quantistica.

1.2. LE SORGENTI DEL CAMPO 13

Una caratteristica della attuale presentazione e quello di effettuare una separazio-ne netta tra le equazioni di “struttura”, che sono di validita globale e indipendentidalla metrica usata nello spazio, dalle equazioni “costitutive” che hanno, al contrariodelle precedenti, validita locale, che dipendono dalla metrica e dal mezzo materialeincludendovi come caso limite il vuoto6.

1.2 Le sorgenti del campo

• La carica elettrica in quiete e la sorgente del campo elettrico;

• le cariche elettriche in moto stazionario (correnti costanti) sono le sorgenti delcampo magnetico;

• le cariche elettriche in moto non stazionario (correnti variabili) sono le sorgentidel campo elettromagnetico.

La variazione di un campo magnetico, anche se lenta, produce un campo elettrico(induzione elettromagnetica). In modo simmetrico la variazione di un campo elettricoproduce un campo magnetico il quale pero e rilevabile solo se la variazione avviene afrequenze dell’ordine delle radioonde (corrente di spostamento) ♣.

Questo consente di dividere lo studio dell’elettromagnetismo in stadi: ♣

• elettrostatica;

• magnetostatica;

• conduzione elettrica;

• campi lentamente variabili (tipico dell’elettrotecnica);

• campi rapidamente variabili (tipico della radiotecnica)

6 Questa separazione delle equazioni del campo elettromagnetico in due classi e stata effettuatada Van Dantzig [?, p.]. Vedere anche [56, p.86].

Capitolo 2

Elettrostatica

2.1 La carica Q: sorgente del campo elettrico

La grandezza fondamentale dell’elettricita e la carica elettrica: essa e la sorgente delcampo elettrico. La carica elettrica si manifesta mediante l’attrazione e la repulsionedi corpi carichi. Essa e una grandezza addittiva. Di qui ne viene che il confronto tradue cariche si puo fare confrontando la forza che si esercita fra ciascuna carica ed unacarica campione. E questo il punto di partenza tradizionale.

Senonche e possibile misurare le cariche approfittando della loro attrazione e re-pulsione senza misurare direttamente la forza. E sufficiente un elettro-scopio ad agoconnesso ad un pozzo di Faraday provvisto di scala graduata. Disponendo di n ca-riche identiche, inserendole nel pozzetto di Faraday in successione e registrando lesuccessive deviazioni dell’ago sulla scala graduata si ottiene un elettro-metro. Conesso e facile misurare la carica totale posseduta da un corpo.

Da un punto di vista spaziale1 si hanno due forme della carica: quella contenuta,Qc e quella che fluisce, Qf . La carica contenuta e associata ad un volume dotatodi orientazione esterna (normali uscenti o entranti) e questo verra indicato con lanotazione Qc[V]. La carica fluente, il cui tasso si chiama corrente, ha la proprietadi suscitare un campo magnetico e quindi di far deviare un ago magnetico. Questoconsente di fare una misura dinamica della carica fluita Q f con un galvanometro bali-stico. Quest’ultimo misura il flusso di carica transitato lungo un filo in un assegnatointervallo. Questo implica che il corpo sul quale si trovava la carica Q sia scaricatoe che la carica venga raccolta dallo strumento. Misurando la carica contenuta su un

1 Nella dinamica dei fluidi si utilizzano due punti di vista: quello materiale o Lagrangiano equello spaziale o Euleriano. Quando parliamo di carica posseduta da un corpo siamo nel punto divista materiale mentre quando facciamo riferimento ad una regione di spazio o volume di controlloe consideriamo la carica contenuta nel volume e quella fluente attraverso il bordo del volume siamonel punto di vista spaziale.

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16 CAPITOLO 2. ELETTROSTATICA

conduttore e quella che fluisce quando questo viene scaricato si constata che esse sonouguali: questo fatto esprime la legge di conservazione della carica.

2.2 La prima legge dell’elettrostatica

La prima legge dell’elettrostatica coinvolge le seguenti variabili fisiche

• il flusso elettrico Ψ ;

• l’induzione elettrica ~D.

La prima legge. Faraday scoprı che se una carica q e racchiusa entro un involucrosferico metallico neutro, una carica uguale e dello stesso segno appariva sulla superficiedella sfera. Egli ha trovato che il campo esterno e simmetrico sia che la sfera fosseconcentrica con la carica esterna sia che non lo sia. Se la carica esterna e rimossa

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-

Figura 2.1: La carica indotta sulla superficie esterna di un involucro metallico euguale a quella contenuta (figura tratta da Schelkunoff [45, p.24])induzione

mettendo momentaneamente a terra l’involucro sferico, una carica uguale e di segnoopposto a quella interna si raccoglie sull’involucro e puo essere misurata [?, p.24].

La carica raccolta sulla superficie esterna dell’involucro metallico

• non dipende dal mezzo che contorna la carica;

• non dipende dalla forma dell’involucro metallico;

• non dipende dalla dimensione dell’involucro metallico.

Questa legge della induzione elettrostatica costituisce il punto di partenza sperimen-tale di quella che noi chiamiamo oggi legge di Gauss.

2.2. LA PRIMA LEGGE DELL’ELETTROSTATICA 17

Possiamo esprimere a parole il risultato di questa esperienza: la carica elettrica chesi raccoglie sulla superficie esterna di qualunque guscio metallico chiuso contenentedelle cariche elettriche e uguale alla carica totale contenuta.

2.2.1 Induzione elettrostatica

Flusso elettrico Ψ . Disponendo una superficie metallica di forma arbitraria, chiusao aperta, si raccolgono per induzione due cariche elettriche di segno opposto sulle duefacce della superficie. Fissata una faccia come positiva, la carica che si raccoglie suessa si chiama flusso elettrico e si indica con la lettera Ψ . Avendo fissato una facciacome positiva e come se avessimo fissato un senso di attraversamento della superficiee quindi una orientazione esterna: per questo motivo indicheremo con S la superficiee con S la sua area.

Se si dispone in un generico punto del campo elettrico un dischetto metallicosi determinano per induzione elettrostatica due cariche opposte +Ψ e −Ψ sulle suefacce. Tali cariche dipendono dal punto in cui e posto il centro del dischetto, dalla suagiacitura Fig.(2.3) e dalla sua area. La carica Ψ (in coulomb) dipende dall’area ed e

Figura 2.2: ♣ Il flusso Ψ che si raccoglie sui due dischetti dipende dalla giacitura.Fissata una faccia come positiva, il flusso elettrico e la carica che si raccoglie su diessa. num

+++++++++

++ ++++

--- -- - ----

--

--

- αα

~n

~n

~n

~n~n00 0

Ψ

ΨΨ

Figura 2.3: La misura del flusso elettrico su un elemento di superficie dotato diorientazione esterna. (Schelkunoff [45, p.25]) dischetti

ragionevole attendersi che, per piccole lamine la Ψ risulti sensibilmente proporzionaleall’area. Il rapporto

σdef=Ψ

S(C/m2) (2.1) B10


prende il nome di densita media di carica superficiale. Nella formulazione differenzialetutte le volte che formiamo una densita (lineare, areale, volumica) siamo portati a fartendere a zero l’area e definire come densita il limite della densita media. In questocaso

σdef= lim

S→0

Ψ

S. (2.2)B11

Osservazione. Molte persone ritengono che una quantita “piccola” debba essere prece-duta da un simbolo d o δ. Cosı scrivono δW per indicare un piccolo lavoro, δS per indicareuna piccola area, δV per indicare un piccolo volume, ecc. Questo non e affatto necessarioe per giunta e sconveniente. Infatti la matematica, che e maestra di esattezza, non usaaffatto il simbolo δ per indicare una quantita piccola: un infinitesimo viene indicato con ilsimbolo ε o η e non con δε o δη. Ad esempio il primo principio della termodinamica chemolti scrivono nella forma

δQ+ δW = dU (2.3)HD5puo benissimo essere scritto nella forma

q + w = dU e nel finito Q+W = ∆U (2.4)GD5

come fanno i libri migliori [?, p.40]. E sconveniente in quanto complica la leggibilita di unlibro.

2.2.2 Il vettore induzione ~D

Lo scopo della formazione di una densita e quello di liberarsi dall’estensione dell’entegeometrico (linea, superficie o volume). Il ruolo di una densita e analogo a quellodella formazione del prezzo come rapporto costo/quantita: si ottiene un indicatoreindipendente dalla quantita e che svolge il ruolo di un fattore moltiplicativo.

Rimane ancora la dipendenza dalla giacitura: come liberarsene? Dal momentoche la giacitura e descritta dal versore ~n l’idea e di creare un vettore dipendente solodal posto tale che si possa effettuare la fattorizzazione

σ(P, ~n) = ~v(P) · ~n. (2.5)B12

Come farlo?Innanzi tutto consideriamo che fra le infinite giaciture passanti per un punto ve

ne sara una per la quale σ e massimo: σ0. Poi si constata che, indicata con ~n0 lanormale per la quale questo si realizza, per ogni altra giacitura ~n vale la relazione

σ(P, ~n) = σmax(P) cos(α) = σmax(P) (~n0 · ~n). (2.6)B13

Ecco che la doppia dipendenza dal punto P e dalla normale ~n viene fattorizzatanel prodotto di due quantita σmax(P)~n0 ed ~n. E naturale allora introdurre un vettore

~Ddef= σmax(P)~n0 (2.7)B14


cui si da il nome di vettore induzione elettrica. Questo vettore dipende solo dal posto.Ora potremo scrivere la relazione (2.6) nella forma

σ(P, ~n) = ~D(P) · ~n. (2.8)B15

E allora ovvio che il flusso elettrico che si forma sulla faccia positiva, scelta perconvenzione, si puo esprimere nella forma

Ψ [S] =∫

S

~D(P) · d ~S. (2.9) B16

Questa relazione non deve essere presa come definizione del flusso bensı come defi-nizione del vettore ~D. Perche? Perche il flusso Ψ si misura direttamente mentre~D si valuta come rapporto. E il flusso la grandezza globale associata alla superficie:il vettore induzione elettrica ~D(P) e solo una sorte di ”prezzo” vettoriale che ha ilpregio di non dipendere ne dalla giacitura ne dalla estensione dell’elemento piano disuperficie d ~S.

Il flusso elettrico e una grandezza associata alla superficie, e una funzione didominio mentre ~D(P) e una funzione del punto. Per indicare che una grandezza efunzione d’insieme si usano le parentesi quadre: Q[V], Ψ [S].

Ne viene che la legge dell’induzione elettrostatica di Faraday si puo esprimeredicendo che

Prima legge dell’elettrostatica: il flusso elettrico Ψ relativo albordo di un volume V e uguale alla carica elettrica Q contenuta nel volumeV.

Ricordando che il bordo di un volume, inteso come regione di spazio e non comeestensione della regione di spazio, si indica con ∂V scriveremo la legge dell’induzioneelettrostatica di Faraday nella forma finita

Ψ [∂V] = Q[V] (2.10) B19

Le lamine metalliche e gli involucri di materiale conduttore hanno un ruolo fon-damentale nella formazione delle nozioni del campo elettromagnetico in quanto, es-sendo conduttori, consentono la distribuzione delle cariche libere nelle diverse regionidel conduttore. E questa distribuzione dipende dalla forma e dalle dimensioni delconduttore ma e indipendente dalla natura del materiale che forma il conduttore.Questa indipendenza dal materiale consente l’ardita estrapolazione di associare lecariche superficiali ad una superficie geometrica invece che ad un conduttore.


2.2.3 La misura di Ψ

In un campo elettrostatico si consideri una sonda costituita da due lamine metallichepiane identiche provviste di due manici isolanti2. Mettendole a contatto, come indi-cato in figura (??), per induzione si determina una concentrazione di cariche oppostesulle facce esterne delle lamine. Allontanando le due lamine le cariche indotte riman-gono imprigionate sulle due lamine e si possono misurare. Fissando ad arbitrio unadelle due facce (o una delle due lamine) come positiva, la carica raccolta sulla facciapositiva e definita come flusso elettrico e la si indica con Ψ . Si ha quindi

Ψdef= carica sulla faccia positiva definizione del flusso elettrico (2.11)A662

E essenziale il fatto che la carica raccolta non dipende dal materiale usato dallasonda: questo consente di assegnare un flusso elettrico direttamente alla superficiegeometrica. Inoltre si constata che il flusso elettrico non dipende dal mezzo. Questosi puo vedere ripetendo la misura dopo aver immesso del petrolio nella regione ovesi fa la misura [16, p.85]. Questa e una informazione preziosa che e comunementeignorata nei libri di fisica.

Per definire il segno del flusso si sceglie una delle due lamine come principale,ovvero si fissa una faccia della superficie come positiva. Questo puo farsi fissandouna orientazione esterna della superficie ovvero fissando una normale alla superficie econsiderando positiva la faccia da cui la normale esce. E chiaro che il flusso elettricocosı definito cambia segno al cambiare dell’orientazione esterna alla superficie:

Ψ(−S) = −Ψ(S) condizione di disparita di Ψ . (2.12)P463

2.2.4 Il teorema di Gauss

Utilizzando la relazione (2.9) potremo scrivere la legge di induzione elettrostatica diFaraday (2.10) nella forma ∫

∂V

~D(P) · d ~S = Q[V]. (2.13)B20

Qualora la carica Q[V] sia distribuita entro V potremo scrivere

Q[V] =∫

Vρ(P) dV. (2.14)B21

e la legge in questione si puo esprimere∫∂V

~D(P) · d ~S =∫

Vρ(P) dV. (2.15)B22

2 See [17, p.71]; Fleury-Mathieu [16, p.61]; Maxwell [32, p.47]; Rojansky [44, p.230]; Schelkunoff[45, p.25]; Jefimenko [24, p.80; p.225].


Rimpicciolendo indefinitamente il volume V attorno ad un punto P arriveremo ascrivere

ρ(P) = limV→0

∫∂V

~D(P′) · d ~S

V. (2.16)B25

Il secondo membro e una grandezza scalare a cui si da il nome di divergenza delvettore ~D e si scrive

ρ = div ~D oppure ρ = ∇ ~D. (2.17) B26

Questa e la forma matematica data da Gauss alla legge dell’induzione elettrostaticadi Faraday. E evidente che essa descrive la legge sperimentale sotto due pesanticondizioni:

1. la carica elettrica deve essere distribuita pur ammettendo discontinuita. Unacarica “puntiforme” non e tollerata in quanto l’integrale nel senso di Lebesgue3 perde senso.

2. il vettore ~D deve essere continuo e derivabile entro ogni volume V. Questo nonaccade quando vi sono due materiali diversi e il volume si trova a cavallo dellesuperfici di separazione.

La formulazione integrale (2.15) e quindi piu restrittiva della formulazione (2.10) in

quanto il vettore ~D puo essere discontinuo su S ma non ammette cariche puntiformi.La formulazione differenziale (2.17) e ancor piu restrittiva della formulazione integrale(2.15) in quanto soggetta alle due limitazioni suddette. Ne viene che la formulazionefinita (2.10) e piu aderente al fatto fisico della formulazione in quanto non contienelimitazioni di natura matematica.

Osservazione. Quantunque una carica puntiforme non abbia senso fisico torna spessocomodo fare un modello puntiforme delle cariche elettriche libere, gli elettroni. Se poi siscopre che il campo generato da una carica puntiforme avrebbe una energia infinita la colpadell’infinito non fisico non e della carica (elettrone) ma del modello che ne abbiamo fatto.Ogni modello vale sotto certe condizioni, entro certi limiti.

3 Vi e un modo semplice di comprendere la distinzione tra l’integrale secondo Riemann e quellosecondo Lebesgue. Quando noi dobbiamo valutare l’importo totale di soldi possedendo un pacchettodi biglietti di diverso taglio possiamo operare in due modi diversi: il primo modo consiste nelprelevare dal pacchetto un biglietto alla volta, cosı come capita, e di aggiungere il valore del bigliettoalla somma precedente, il secondo modo consiste nel dividere prima i biglietti in mucchietti dellostesso taglio (tutti i pezzi da mille, da diecimila, da cinquantamila, ecc.) e quindi contare i bigliettidi ogni mucchietto. Si procede poi moltipılicando tali numeri per le rispettive taglie (30 bigliettida mille=30.000 L., 6 biglietti da 10.000=60.000 L., ecc.). Sommando gli importi parziali cosıottenuti si ottiene l’importo totale. Il primo modo corrisponde all’integrale alla Riemann, il secondoall’integrale alla Lebesgue. Semplice non e vero? Questa descrizione si trova in [30, v. III; ch. XV;par. 6].


Figura 2.4: Le leggi fisiche in forma globale sono valide anche attraverso lasuperficie di separazione di mezzi diversi mentre i vettori del campo subisconodiscontinuita e quindi esigono condizioni di raccordo. num

Volendo trattare teoricamente cariche puntiformi si puo far uso della teoria delle distri-buzioni e rappresentare una carica puntiforme e mediante la distribuzionee δ(P ). L’integraleallora non e piu secondo Lebesgue ma diventa solo un simbolo per indicare un funzionalelineare e continuo. La relazione (2.15) deve allora intendersi nel senso della teoria delledistribuzioni ovvero delle funzioni generalizzate [Ligthill][Vekua]. Con questo formalismosi puo trattare bene la teoria dell’elettromagnetismo ma non si puo certo fare dell’analisinumerica. La relazione (2.15), intesa nel senso della teoria delle distribuzioni, ha la stessageneralita della relazione (2.10).

La teoria delle distribuzioni , nota anche come teoria delle funzioni generalizzate, e natacon lo scopo di estendere la notazione differenziale a funzioni che non sono derivabili, qualila funzione a scalino introdotta dall’ingegner Heaviside. In un primo tempo e stata usataformalmente dall’ingegnere elettrotecnico P.A.M. Dirac ma solo nel 1955 ♣ il matematicofrancese Laurent Schwarz le diede un vestito matematico rigoroso4.

Una distribuzione e un funzionale lineare e continuo sullo spazio delle funzioni di clas-se C∞0 , cioe delle funzioni infinitamente derivabili (donde il simbolo di ∞ come apice) ea supporto compatto, ovvero diverse da zero in una regione (=supporto) chiuso (=con-tenente i suoi punti di accumulazione) e limitato. Le funzioni generalizzate pero, a dif-ferenza delle funzioni ordinarie, non si possono moltiplicare fra loro, non possono dotarsidi norma, non possono essere approssimate con successioni di funzioni e quindi non sonotrattabili numericamente. Esse quindi non possono essere utilizzate nell’elettromagnetismocomputazionale.

2.3 La seconda legge dell’elettrostatica

La seconda legge dell’elettrostatica coinvolge le seguenti variabili fisiche

• il vettore campo elettrico ~E

• la tensione elettrica U ;4 Anche se lo scrivente e un fisico di formazione e di interessi non puo che disapprovare lo spirito

di corpo di molti fisici che vedono fra loro e gli ingegneri una discontinuita invece di un gradualeslittamento di interessi tra la comprensione di un fenomeno e l’utilizzo dello stesso per la tecnica.Questi fisici si sentono una stretta allo stomaco quando scoprono che Dirac era un ingegnere, comelo era un altro grande fisico, Louis de Broglie. Per quanto riguarda la stretta allo stomaco sara benericordare la massima di Marco Aurelio Antonino: gli uomini sono afflitti non dalle cose, ma dalleopinioni che se ne fanno.

2.3. LA SECONDA LEGGE DELL’ELETTROSTATICA 23

• il potenziale elettrico V .

2.3.1 Il vettore ~E

La constatazione che le cariche si attraggono o si respingono suggerisce di istituireuna grandezza fisica che misuri l’intensita di questa azione. Si constata che una caricaelettrica “esploratrice” q posta in un generico punto di un campo elettrico subisce unaforza ~F .

Tale forza dipende da q : ~F (q) e si annulla per q = 0.

Osservazione. Una funzione di una variabile y(x) che si annulla per x = 0 ammetteuna rappresentazione

y = a x+ b x2 + c x3 + ... (2.18) S44in cui a e il primo coefficiente significativo. Per x piccolo vale l’approssimazione

y = a x. (costo=prezzo × quantita) (2.19) S46

Ne viene che il coefficiente a gioca il ruolo del prezzo di una merce. Si puo scrivere

a = limx→0

y(x)x

. (2.20) B45

La forza ~F dipende dal posto e dalla carica esploratrice q e puo esprimersi nellaforma

~F (P, q) = ~E(P)q + ~G(P)q2 + ~S(P)q3 + ..... (2.21) S47

Essendo ~E, ~G, ~S, .... dei vettori. In particolare se q e piccolo vale l’approssimazione

~F (P, q) = ~E(P) q (2.22) C48

essendo

~E(P)def= lim

q→0

~F (P, q)

q. (2.23) C49

Nasce cosı il vettore campo elettrico ~E.Osserviamo che introducendo una carica esploratrice in un campo elettrico pree-

sistente si altera la posizione delle cariche che generano il campo [43, p.39]. Ne viene

che il semplice rapporto ~F/q da una misura del campo alterato dalla presenza dellacarica di prova. Esso costituisce una misura del campo preesistente in una delle treipotesi seguenti [Schelkunoff] [45, p.8]:

• Le sorgenti del campo sono tenute fisse;

• il punto in cui e posta la carica esploratrice e cosı lontano dalle cariche chegenerano il campo da non influenzare la loro posizione;


• la carica elettrica e cosı piccola da non influenzare la posizione delle sorgenti.

Dal momento che l’alterazione e tanto piu piccola quanto minore e il valore della caricadi prova si e portati a fare il limite del rapporto come nella (2.23). L’operazionedi limite si scontra pero con il fatto che la carica piu piccola conosciuta e quelladell’elettrone e quindi l’operazione di limite, voluta dalla matematica, e in contrastocon la fisica. Come sempre ci si deve accontentare di fare un modello del campoignorando la natura discreta della carica elettrica. Einstein ha detto: “l’elettrone euno straniero nell’elettromagnetismo” [47, p.236].

2.3.2 La tensione elettrica U

Dal momento che il vettore ~E nasce da una forza e la circolazione di una forza lungouna linea da il lavoro, e naturale considerare la circolazione di ~E lungo una linea:

U [L] =∫

L

~E · d ~L. (2.24)S41

La circolazione U [L] associata alla linea prende il nome di tensione elettrica lungo lalinea L.

Tavola I: Come il vettore ~E e la forza per unita di carica, cosı la tensionee il lavoro per unita di carica.lav

tavola semplice

~F (P) = q ~E(P)

W [L] =∫

L

~F · d~L

U [L] =∫

L

~E · d~L

W [L] = qU [L]*

HHHj

HHHj

*

Osservando che il lavoro W lungo una linea e

W [L, q] =∫

L

~F · d ~L =∫

Lq ~E · d ~L = qU [L] (2.25)Z99

ne viene che la tensione elettrica e uguale al lavoro per unita di carica.

Definizione. Ricordiamo che una linea chiusa si dice riducibile se mediante una de-formazione continua, che mantiene sempre la linea nella regione in cui il campo e definito,si puo contrarre ad un punto. E evidente che ogni linea chiusa riducibile si puo concepirecome bordo di una superficie. Due linee chiuse si dicono riconciliabili se con una defor-mazione continua si possono portare l’una nell’altra senza farle uscire dalla regione in cuiil campo e definito. Cosı un cappio fatto con una corda se si avvolge attorno al tronco

2.3. LA SECONDA LEGGE DELL’ELETTROSTATICA 25

di un albero non e riducibile; un sentiero che forma un circuito attorno ad un lago non eriducibile. Due sentieri che partendo da un punto giungano ad uno stesso punto passandol’uno da una parte di un laghetto l’altro dall’altra parte non sono riconciliabili.

Seconda legge dell’elettrostatica. Se muoviamo una carica elet-trica di prova entro un campo elettrostatico lungo ogni linea chiusa ridu-cibile il lavoro fatto e nullo.

Evidentemente questo presuppone che il moto della carica non influenzi la disposizionespaziale delle cariche che generano il campo.

Potremo scrivereU [∂S]

law= 0. (2.26) S42

E questa la seconda legge dell’elettrostatica.

Il potenziale elettrico. La circostanza che la circolazione lungo ogni linea chiusariducibile e nulla consente di operare come segue: fissato ad arbitrio un punto P0 delcampo la circolazione da P ad un generico punto P0 lungo qualsiasi linea L da P aP0 da

V(P) =∫ P0

P

~E · d ~L = −∫ P

P0

~E · d ~L. (2.27) S43

La funzione V(P), definita a meno di una costante arbitraria, prende il nome dipotenziale elettrico nel punto P. Il punto P0 si prende all’infinito o a terra.

Si dice che fra due corpi conduttori carichi, o fra due punti, c’e una tensioneelettrica quando delle cariche libere si muovono da un corpo all’altro, o da un puntoall’altro. La scintilla che scocca tra due conduttori indica l’esistenza di una tensioneelettrica fra essi.

Il modo piu naturale di rilevare una tensione fra due corpi carichi e quello dicongiungere i due corpi con un filo conduttore e registrare la presenza di una correntelungo un filo. Per misurare la tensione fra due punti di un campo si connettono idue punti con un filo conduttore. Senonche alle estremita del filo si raccolgono subitoper induzione delle cariche che bilanciano la differenza di potenziale. Occorre quindieliminare con continuita tali cariche: questo si puo fare ionizzando l’aria circostantele due estremita con una fiamma o, meglio, con una sostanza radioattiva [43, p.61].

Per istituire la misura della tensione 5 ricordiamo come si opera per misurare una forza.Una forza si puo misurare approfittando del fatto che vi sono corpi deformabili: per renderevistosa la deformazione si ricorre ad una molla come campione. Disponendo di tante forzeuguali, ad esempio pesi, si aggiungono successivamente e si rileva di volta in volta l’allun-gamento della molla campione. Effettuata la taratura la molla campione e divenuta un

5 La nozione di tensione fu introdotta da Volta [64, p.72]


dinamometro. Non ha importanza che la molla abbia un allungamento proporzionale allaforza: e sufficiente che la sua lunghezza abbia un andamento monotono con la forza appli-cata e che riassuma la stessa lunghezza sotto l’azione della stessa forza. Un secondo mododi misurare la forza e quello dell’equilibramento con delle forze note. E questo il metodousato nella bilancia a stadera. In pratica si tratta di annullare lo spostamento che la forzatende a produrre con l’azione di un’altra forza nota. E questo il metodo dell’annullamentodello spostamento.

Torniamo alla misura della tensione elettrica U . Un primo metodo consiste neldisporre di tante tensioni uguali, ad esempio tante batterie elettriche identiche, e nelmisurare la corrente che passa dopo averle disposte in serie. Lo strumento cosı taratodiventa un tensiometro elettrico o voltmetro elettrostatico [7] ♣.

Un secondo metodo nasce dall’idea di potenziale elettrico, corrispondente allanozione di altezza dell’acqua in un vaso. Nel caso dell’acqua si puo misurare sia laquantita di acqua sia l’altezza che il pelo libero assume nel vaso. Se il vaso e cilindricol’altezza e la quantita sono proporzionali: il rapporto tra quantita di acqua e altezzadel pelo libero prende il nome di capacita del vaso cilindrico ed ha le dimensioni diun’area, l’area della sezione retta del vaso.

Nel caso elettrico si puo misurare il potenziale di un corpo connettendolo medianteun filo con un generatore a tensione variabile di cui l’altra estremita e collegataa terra e scegliendo la tensione che annulla la corrente nel filo: e questo il metododell’annullamento. La tensione che annulla e, per definizione, il potenziale elettrico Vdel corpo carico rispetto alla terra. Si noti che il potenziale, come la temperatura, sonoriferiti ad uno zero convenzionale (la terra ed il ghiaccio fondente rispettivamente).

La tensione elettrica e associata alle coppie di punti ed in un campo elettrico staticoe indipendente dalla linea che si considera. Il suo segno dipende dall’ordine con cuisono considerati i due punti terminali: si sceglie un ordine e si legge sullo strumentola corrente. E ovvio che invertendo l’ordine dei terminali la corrente cambia segno.Questa e la condizione di disparita della tensione. Si puo concludere che la tensioneelettrica e una grandezza fisica associata a coppie di ordinate di punti ovvero a lineedotate di orientazione interna:

U [−L] = −U [L] condizione di disparita di U . (2.28)P462

Si constata che la tensione elettrica tra due punti dipende dal mezzo, come si vedeintroducendo un dielettrico fra le due armature di un condensatore.

Ora che sappiamo misurare tensione e corrente siamo in grado di verificare sele due grandezze, per un dato filo, sono proporzionali, come capita per l’acqua inun contenitore cilindrico. La risposta sperimentale, fatta con corrente stazionaria, eaffermativa e costituisce la legge costitutiva di Ohm: U = RI.

La tensione elettrica tra due corpi conduttori o tra due punti dipende dal mezzo.

2.4. EQUAZIONE COSTITUTIVA D−E 27

2.3.3 La misura della tensione in un dielettrico

Let us consider an electrostatic field. We can measure the voltage along a line frompoint A to point B with a method devised by Faraday [41, p.519]. This runs asfollows: let us put at A and B two small metal spheres, as shown in Fig.(??d), sayof radii rA and rB. If we connect them by a wire of very small section, the chargesmove from one sphere to another to maintain the whole set, spheres and wire, at thesame potential.

We suppose that the capacity of the wire can be neglected in comparison withthe capacities of the spheres so that we can neglect the charge on the wire. In turnthe spheres are small enough to make negligible the influence of charges collected onthe spheres on the sources of the surrounding electric field. In these hypotheses letus denote qA the charge collected on the sphere in A and qB the one collected on thesphere in B: it will be qA = −qB.

If we break the connection between the two spheres the charges remain trapped.In the center of a sphere the potential of the charges q collected on its surfaces isq/(4πεr). The fact that the potential of the two spheres connected by the wire areequal implies that

VA +qA

4πεrA= VB +

qB4πεrB

(2.29) GZ23

from which we obtain

UAB ≡ VB − VA =−qA4πε

(1

rA+

1

rB

)(2.30) GZ24

Hence we can measure voltage measuring the charge collected on one sphere.In particular if we choose B on the grounds the ”sphere” B becomes the Earth

and then VB = 0 and 1/rB = 0: it follows

VA =−qA

4πεrA. (2.31) GZ28

The voltage refers to a line endowed with inner orientation. Experience tells us thatthe voltage between two points depends on the material filling the space region.

2.4 Equazione costitutiva D−EPer lo studio del campo elettrico abbiamo introdotto due vettori

1. il vettore ~D che descrive la distribuzione di carica su una superficie conduttrice;

2. il vettore ~E che descrive la forza su una carica esploratrice.


E naturale attendersi che vi sia una relazione tra i due vettori. Questa relazione

~D = ~D( ~E). (2.32) S26

dipendera dal mezzo nel quale si trova il campo e costituisce una equazione costitutivao materiale.

Consideriamo infatti un condensatore a facce piane parallele (le armature) sepa-rate da un dielettrico. Il campo elettrico fra le armature e sensibilmente uniforme ede dato da E = U/d.

Figura 2.5: didanum

Ddef=Ψ

SE =

U

d. (2.33)S27

Si constata sperimentalmente che per la maggior parte dei dielettrici le due grandezzesono proporzionali ed i due vettori hanno la stessa direzione per cui avremo

~D ÷ ~E. (2.34)S28

Introducendo una costante materiale ε potremo scrivere la proporzionalita precedentenella forma

~D = ε ~E. (2.35)S29

La ε si chiama costante dielettrica. Quindi la legge costitutiva dell’elettrostatica esperimentata in una regione di campo uniforme. Si noti che l’uniformita del camporende inutile il passaggio al limite. Le definizioni

σ = limS→0

Ψ

SE = lim

d→0

U

d(2.36)S30

hanno senso in caso si non uniformita del campo.

Nel vuoto ~D ed ~E hanno sempre la stessa direzione e lo stesso senso. La costantedielettrica nel vuoto e indicata con ε0.

~D = ε0~E nel vuoto (2.37)KD42

2.5. EQUAZIONE COSTITUTIVA U−I 29

2.5 Equazione costitutiva U−ILa legge di Ohm dice che

in regime stazionario la tensione elettrica fra due punti di un condut-tore filiforme e proporzionale alla intensita della corrente che passa nelconduttore.

U(t) = R I(t) (2.38) S21

La legge di Ohm sperimentata a corrente costante, e ritenuta valida anche a regimevariabile. ♣

Occorre segnalare una proprieta caratteristica che sfugge alla trattazione differen-ziale la quale non distingue gli istanti primali da quelli duali. Una tensione, essendoil rapporto tra un impulso di tensione elettrica e la durata dell’intervallo

U(t) =U [T]

T(2.39) OC5E

e naturalmente associata ad un istante duale t come mostra la figura (2.6). La corren-te, invece, essendo il rapporto tra il flusso di carica elettrica e la durata dell’intervalloduale

I(t) =Qf [T]

T(2.40) PC5E

e naturalmente associato ad un istante primale t. Se quindi facciamo una “inversionetemporale”, ovvero cambiamo l’orientazione interna degli intervalli primali, cambial’orientazione di T quindi, per la proprieta di disparita delle grandezze globali cambiasegno U [T] e quindi U(t). Questo cambiamento non comporta il cambiamento delsegno di Qf [T] e quindi quello di I(t). Quindi per una inversione temporale si ha

U(t) = −R I(t) (2.41) UD6E

ovvero la legge di Ohm non e invariante per inversione temporale. Questo fattocaratterizza la natura irreversibile della conduzione elettrica ovvero la produzione dicalore dovuta all’effetto Joule.

Dal momento che gli istanti duali si trovano a cavallo di quelli primali, comemostra la figura (2.6), una versione finita della legge di Ohm e

U(tn) = RI(tn−1) + I(tn)

2(2.42) YD87


lα

ph

sβ

vh

sα

lβ

electric charge content

electric charge flowelectric tension impulse

magnetic fluxmagnetic tension impulse

electric flux

τ n

tn

τ n

tn

tn−1

tn+1

primal complex

primal complex

dual complex

dual complex

timeaxis

configuration variables source variables

configuration variables

source variables

βF [τn, l ]

F [τn, l ]

Ψ [tn, sα]

Ψ [tn, sα]

[τn, sα]

[τn, sα]

[tn, vh]

[tn, vh][τn,ph]

[τn,ph]

V[τn, lα]

V[τn, lα]

βΦ[tn, s ]

Φ[tn, s ]

pk

vk

ϑ[τn, pk]

ϑ[τn, pk]

electric potential impulse

magnetic potential impulse

time association

space association

outer orientation

inner orientation

outer orientationinner orientation

φ

φ

β

β

Qf

Qf

Qc

Qc

Figura 2.6: L’associazione delle grandezze elettromagnetiche agli elementi spazialie temporali. associaElettro

2.6. LA LEGGE DI COULOMB 31

2.6 La legge di Coulomb

Una conseguenza della equazione costitutiva e la legge di Coulomb: essa si ottieneapplicando la legge dell’induzione elettrostatica di Faraday6 che porta a definire ~D el’equazione costitutiva che permette di ricavare ~E.

Applichiamo la legge dell’induzione elettrostatica di Faraday ad una carica pun-tiforme Q. Se consideriamo una superficie sferica che abbia il suo centro nella caricapuntiforme, potremo scrivere

Ψ [∂V] = Q. (2.43) C27

Il vettore ~D sara normale alla superficie e di uguale modulo in tutti i punti dellasuperficie sferica. Potremo allora scrivere il flusso

Ψ [∂V] = 4πr2D. (2.44) S57

Inserendo nella equazione (2.43) otteniamo

D =Q

4πr2. (2.45) S58

Poiche nel vuoto vale l’equazione costitutiva (??) ne viene

E =D

ε0

=1

4πε0

Q

r2. (2.46) S59

Tenuto conto che ~D ed ~E hanno la stessa direzione ne viene

~F = q ~E =1

4πε0

Qq

r2

~r

r(2.47) S60

che e la legge di Coulomb.In questa deduzione la legge di Coulomb e conseguenza della legge di induzione

elettrostatica di Faraday, della creazione del vettore ~D e della legge costitutiva delvuoto.

Osservazione. I fisici che speculano intorno al fatto singolare che la forza dipende dalquadrato del raggio piuttosto che da una generica potenza di esso non avrebbero motivo difare questa speculazione se tenessero conto della legge di induzione elettrostatica. Questaimpone che il flusso elettrico sia uguale alla carica contenuta: per isotropia la densitaσ = D deve essere uniforme su una sfera. Questi due fatti portano a dire che σ = Q/(4πr2).Il quadrato del raggio e quindi immediata conseguenza della uniforme distribuzione delladensita elettrica sulla sfera.

6 Schelkunoff: “Coulomb’s law can be derived from Faraday’s law of electrostatics induction.”[?,p.24]

Capitolo 3

Magnetostatica

3.1 La corrente I: sorgente del campo magnetico.

Il campo magnetico e generato dalle cariche in moto, ovvero dalle correnti.La corrente media I e il flusso di carica Qf [S, T] diviso per la durata T

I(t)def=Qf [S, T]

T(3.1) U202

La carica fluita Qf si puo anche chiamare impulso di corrente [42, p.12].La corrente si misura con un galvanometro o un amperometro a secondo della sua

intensita. Riguardo il segno della corrente si sceglie ad arbitrio una orientazione lungoil filo fissando un ordine dei morsetti dell’amperometro a zero centrale, e si associaad essa la corrente misurata. E ovvio che invertendo l’orientazione cambia il segnodella corrente misurata e quindi la corrente elettrica lungo un filo e associata ad unalinea con orientazione interna.

Se la corrente non viene incanalata in un filo ma si considera quella che attraversauna data superficie, come nelle correnti di Focault, si vede che la corrente cambiasegno al cambiare della orientazione esterna della superficie, definita dalla normalealla superficie. Quindi la corrente e associata alle superfici con orientazione esterna.Il flusso di carica soddisfa le condizioni di disparita

Qf [−S, T] = −Qf [S, T]

Qf [S,−T] = −Qf [S, T](3.2) P427

Si noti che ordinariamente parliamo di corrente lungo un filo conduttore per in-tendere quella che attraversa una sua sezione normale, come accade per la corrented’acqua lungo un fiume. Questo evita l’errore di ritenere che la corrente sia associataad una linea.

33

34 CAPITOLO 3. MAGNETOSTATICA

3.2 La prima legge della magnetostatica

La prima legge del magnetismo coinvolge le seguenti variabili fisiche

• la tensione magnetica Um

• il vettore campo magnetico ~H

• il potenziale scalare magnetico Vm.

3.2.1 Il vettore campo magnetico ~H

Per iniziare la descrizione quantitativa del campo magnetico esaminiamo l’azione delcampo su un ago magnetico. Consideriamo una bobina sufficientemente lunga dapoter considerare entro di essa il campo magnetico uniforme.1 Disponiamo in essa unago magnetico posto trasversalmente all’asse della bobina e tenuto da un filo di unabilancia di torsione, come mostra la Fig. (??).

Figura 3.1: Il magnetoscopionum

Al passare della corrente nella bobina l’ago magnetico ruota tendendo a portarsiparallelo all’asse della bobina. La completa rotazione e pero impedita dalla torsionedel filo di sostegno. Per riportare l’ago nella posizione trasversale occorre torcereall’indietro il filo applicando un momento torcente Mt. Si ricordi che il momentotorcente di un filo e proporzionale all’angolo di rotazione.

Si constata che l’entita del momento torcente e proporzionale alla corrente i1 chepassa nella bobina, al numero n1 di spire ed inversamente proporzionale alla lunghezzaL1 della bobina.

Mt ÷n1i1L1

. (3.3)S01

Si constata che cambiando la bobina, ovvero prendendo una bobina con n2 spire,anche composta da piu strati di avvolgimento, con lunghezza L2 e facendo passareuna corrente i2 si ha lo stesso momento torcente (e quindi la stessa rotazione inizialedell’ago magnetico) quando si realizza la condizione

n1i1L1

=n2i2L2

. (3.4)S22

1 La descrizione che segue si trova in Pohl [43, p.86]

3.2. LA PRIMA LEGGE DELLA MAGNETOSTATICA 35

Evidentemente l’uguaglianza della rotazione o del momento torcente indica l’ugua-glianza dei campi nell’interno delle due bobine. Ne viene che la grandezza scalare

Hdef=n i

L(3.5)S02

e adatta a caratterizzare l’intensita del campo magnetico. Si noti che l’osservazionedella uguaglianza dei momenti torcenti non presuppone una taratura del dispositivoil quale funziona quindi da magnetoscopio.

2N N

I /2

I /2I

I

N I

Figura 3.2: Solenoidi di uguale ampiezza con lo stesso numero di amperspire (da[37, p.238]). solenoide

Per dire da che parte gira l’ago dobbiamo fissare un verso all’asse del solenoide.Questo e dato con la solita regola del cavatappi applicato al senso della corrente. Sia~t il versore che indica la direzione orientata.

E allora opportuno “elevare” la grandezza scalare H alla “dignita” di vettore

~H = H~t. (3.6) S05

Questo vettore prende il nome di intensita del campo magnetico.Il vettore cosı introdotto non dipende dalla natura del mezzo in quanto l’ugua-

glianza (3.4) ha luogo indipendentemente dal mezzo che si trova nel solenoide, purcheesso sia sempre lo stesso nelle due misurazioni. ♣

Osservazione. Parallelo tra ~D ed ~H. Nella regione interna ad un condensatore conarmature piane sufficientemente estese il campo elettrico e sensibilmente uniforme e nell’in-terno di un solenoide rettilineo sufficientemente esteso il campo magnetico e sensibilmenteuniforme.

campo elettrico campo magnetico

~D =Ψ

S~n ~H =

Um

L~t

flusso elettrico/area tensione magnetica/lunghezza

(3.7) S06


Come il vettore ~D, a parita di flusso elettrico Ψ , non dipende dal mezzo cosı il vettore~H, a parita di corrente I, non dipende dal mezzo.

L’analogo del condensatore a facce piane e parallele dell’elettrostatica e il solenoiderettilineo della magnetostatica. Il condensatore a facce piane e parallele e stato il cavallo dibattaglia di Faraday cosı come il solenoide e stato il cavallo di battaglia di Ampere.

3.2.2 La tensione magnetica Um

Rifacendoci al paragrafo precedente possiamo introdurre la tensione magneticalungo l’asse della bobina

Um = n i. (3.8)S03

Ne viene che

H =Um

L. (3.9)S04

In questo modo si puo vedere H come il rapporto tra la tensione magnetica lungol’asse della bobina e la lunghezza della bobina. In generale entro un campo uniformela tensione magnetica lungo un segmento di retta ~L si puo definire come

Um[L]def= ~H · ~L. (3.10)S17

Se il campo magnetico non e uniforme questa definizione si generalizza cosı

Um[L]def=∫

L

~H · d ~L. (3.11)S18

Si noti che, per definizione, il vettore ~H non dipende dal mezzo in quanto non contienela costante µ mentre il vettore ~B vi dipende.

3.2.3 La natura assiale di ~H

La tensione magnetica e quindi una grandezza fisica globale associata ad una linea.Quello che non viene solitamente precisato e che tale linea deve essere dotata diorientazione esterna, vale a dire di un senso di rotazione attorno alla linea. Infat-ti cambiando il senso della corrente la tensione magnetica muta nella sua opposta.Quanto al vettore ~H esso e associato ad un senso di rotazione attorno alla linea me-diante la regola del cavatappi: e in questo momento che si vede che ~H e definitoa meno di una convenzione sulla vite. Per questo motivo esso e chiamato vettoreassiale.


3.2.4 Misura della tensione magnetica

In un campo magnetostatico si consideri una sonda costituita da un solenoide dipiccola sezione comparata alla lunghezza e si faccia scorrere in essa una corrente diverso ed intensita tali da annullare il campo magnetico totale nel suo interno2. Se n e ilnumero totale di spire ed i0 la corrente necessaria, la corrente totale che avvolge l’assedel solenoide e I0 = ni0. Cio significa che per ricreare il campo magnetico nell’internodel solenoide, qualora le sorgenti esterne fossero rimosse, occorre far passare unacorrente opposta ieq = −i0. La grandezza

Um = n ieq = Ieq (3.12) L384

e la tensione magnetica relativa alla linea che forma l’asse del solenoide.La tensione magnetica e associata al segmento di linea L che forma l’asse del

solenoide ed il suo segno e legato ad un senso di rotazione attorno a tale segmentoscelto come positivo. Tale senso e, per definizione, l’orientazione esterna del segmento.E evidente che

Um[−L] = −Um[L] condizione di disparita di Um. (3.13) P469

3.2.5 La prima legge

Consideriamo un filo rettilineo ed esaminiamo il campo magnetico che si crea inprossimita del filo quando in esso passa una corrente I.

Misuriamo il valore H disponendo una bobinetta compensatrice lungo un piccoloarco di circonferenza coassiale al filo. Facendo passare nelle n spire della bobinettadi lunghezza a una corrente i in senso opposto in modo da annullare il campo nel suointerno si puo valutare H. Essendo H = n i/a (a parte il segno) si trova

H =I

2πr(3.14) Z01

essendo r la distanza del filo. Dal momento che il campo ha simmetria circolare neviene che

2πrH = I. (3.15) Z02

Il prodotto a primo membro e la circolazione del vettore ~H lungo la circonferenzacoassiale, chiamata forza magneto-motrice ed indicata con Fm. Ne viene

2 Questa e chiamata bobinetta compensatrice: vedi Fouille [17, p.224]; Pohl [42, p.66]; Schelkunoff[45, p.41]. Langevin [27, p.496] osserva che, in luogo di un solenoide, si potrebbe usare un cilindrettometallico superconduttore avendo questo la proprieta di annullare il campo magnetico interno. Inun superconduttore immerso in un campo magnetico, infatti, si producono delle correnti superficialispontanee cosı come in un conduttore si produce una carica superficiale spontanea. L’effetto diqueste correnti e quello di annullare il campo magnetico interno cosı come l’effetto delle carichesuperficiali in un conduttore e quello di annullare il campo elettrico interno.


Fm [lungo la circonferenza] = I [che attraversa il cerchio.] (3.16) ZPZ2

Il fatto interessante di questa relazione sperimentale e che la forza magneto-motricee la stessa per qualunque circonferenza coassiale. Dal momento che il vettore ~H ediretto tangenzialmente alla circonferenza ne viene che la tensione lungo un segmentoradiale e nulla. Inoltre la tensione lungo qualsiasi arco di circonferenza coassialedelimitato da uno stesso settore e la stessa come illustrato in Fig. (3.3).

i

r

H

I C

BD

A

Um2

Um1 =0

Um3 =0

Um4 =−Um2

Figura 3.3: (sinistra) la misura del vettore ~H con la bobinetta compensatrice;(destra) la forza magneto-motrice lungo il percorso chiuso ABCDA e nulla.circuito

Ne viene che lungo il circuito ABCDA indicato in Fig. (3.3) la forza magneto-motrice e nulla.

Mostriamo che la forza magneto-motrice lungo qualunque linea chiusa che avvolgail filo (una sola volta) e uguale alla corrente I che attraversa il circuito. Infatti, conriferimento alla Fig. (3.4), si vede che un circuito arbitrario puo approssimarsi con unalinea spezzata composta di archi e segmenti radiali per cui e sempre vera la relazione(3.16). Ne viene che la forza magneto-motrice lungo un circuito che avvolge il filo esempre uguale ad I anche se il circuito non e piano. Ne viene che l’inclinazione delfilo rispetto al circuito non ha importanza.

Osservazione. Spesso si legge l’affermazione che per r = 0 si ha H = ∞. Si trattadi una estrapolazione puramente matematica, fisicamente errata. Infatti un filo per esserepercorso da corrente deve avere un benche minimo spessore. Si constata che la correntescorre nella sezione del filo con densita uniforme sicche sull’asse del filo il campo e nullo (altroche infinito!). Questo ci insegna che occorre mantenere sempre il contatto con l’esperienzaper non fare affermazioni prive di senso fisico.

Se ora consideriamo un circuito che avvolga due fili percorsi da corrente I1 ed I2

essendo applicabile il principio di sovrapposizione 3, in ogni punto ~H sara la sommadi ~H1 ed ~H2 e quindi

Um [lungo il bordo di una superficie] = I [che attraversa la superficie] (3.17)ZZ43 Per il principio di sovrapposizione si veda il capitolo ....


A

BC

D

E

F

Figura 3.4: Ogni linea chiusa non riducibile puo essere approssimata con unalinea composta di archi di circonferenze coassiali, di segmenti paralleli al filo e disegmenti radiali. Il contributo non nullo alla forza magneto-motrice e dato solodagli archi di circonferenza.Biot-Savart

In generale si trova:

Prima legge della magnetostatica: la forza magneto-motrice Um

lungo il bordo di una superficie dotata di orientazione esterna e ugualealla corrente che attraversa la superficie.

che costituisce la prima legge della magnetostatica dovuta ad Ampere. In formule

Um[∂S] = I[S]. (3.18) SD8F

3.2.6 Il potenziale scalare magnetico Vm

Consideriamo una regione di spazio nella quale non vi siano correnti. Per la legge diAmpere in tale regione la tensione magnetica lungo ogni linea chiusa e nulla. Ne vieneche ad ogni punto P si puo associare un potenziale magnetico Vm(P) definito come latensione magnetica da un punto prefissato A della regione al punto generico:

Vm(P)def= Um(AP) =

∫ P

A

~H · d ~L (3.19) UDY7

avendo fatto la convenzione Vm(A) = 0. La nuova grandezza fisica e associata al pun-to e dipende dall’orientazione esterna di questo. Infatti, con riferimento alla figura(3.5), si vedere che il segno del potenziale magnetico dovuto ad una spira dipendedal senso in cui la corrente percorre una spira. Tale senso indica una orientazioneesterna della semiretta uscente dal punto e quindi una orientazione esterna del pun-to. Dal momento che la tensione magnetica Um e il tasso dell’impulso di tensione


I

I→ −I → −I I → −I

→ −

P

γ

Um Um Vm Vm

Vm

Um

Figura 3.5: Il potenziale scalare magnetico in un punto dipende dall’orientazioneesterna del punto. magnetico

magnetica Um[T, L] ne viene che anch’essa e il tasso dell’impulso di potenziale ma-gnetico Vm[T, L] e quindi eredita una associazione all’intervallo pur essendo funzionedell’istante (duale).

3.3 La seconda legge della magnetostatica

La seconda legge del magnetismo coinvolge le seguenti variabili fisiche

• il vettore induzione magnetica ~B;

• il flusso magnetico Φ;

3.3.1 Il vettore induzione magnetica ~B

Il vettore campo elettrico ~E e stato introdotto considerando la forza agente su unacarica di prova. In analogia introdurremo il vettore ~B misurando la forza agente suun “elemento” di corrente.

Consideriamo un campo magnetico uniforme come quello che si ha nell’intraferrodi un magnete ad anello illustrato in figura (3.6).

Disponiamo un elemento di filo rettilineo AB di lunghezza L percorso da correntenell’interno di tale campo uniforme. Tale elemento di filo si trovi all’estremita di unbraccio di una bilancia di torsione. Facendo passare una corrente di intensita i si vedesperimentalmente che l’elemento di filo subisce una forza che tende a far ruotare ilbraccio. La rotazione dell’asticciola e limitata da una forcella. Riportando l’elementodi corrente nella posizione iniziale mediante l’applicazione di un momento torcente Mt

sul braccio, si misura l’intensita della forza esercitata. L’esperimento indica che taleforza dipende dalla direzione dell’elemento di filo rispetto alla direzione del campouniforme ed e massima quando l’elemento di filo e perpendicolare alla direzione delcampo. Facendo infatti ruotare il campo con il dispositivo indicato in figura si verificala seguente legge

F ÷ i L sin(α). (3.20)PSF6

3.3. LA SECONDA LEGGE DELLA MAGNETOSTATICA 41

Mt

F

+-

Mt

F

Figura 3.6: (sinistra) La nascita del vettore campo elettrico ~E dalla misura dellaforza agente su una carica elettrica. (destra) La nascita del vettore induzionemagnetica ~B dalla misura della forza agente su un elemento lineare di corrente (siveda la figura (3.7).torsione1

Questa proporzionalita si puo tramutare in uguaglianza introducendo una variabileatta a caratterizzare il campo. Indicata con B scriveremo

F = B iL sin(α). (3.21) GU7S

Vediamo ora come tener conto delle informazioni relative alle direzioni. Dal momentoche il segno della forza cambia invertendo il senso della corrente e spontaneo introdur-re, in luogo della grandezza scalare L, un vettore ~L cui daremo come direzione quelladell’elemento rettilineo di filo ed come senso il senso della corrente. Dal momento chesia la forza che il campo hanno a una direzione siamo portati a caratterizzare l’azionedel campo mediante un vettore che abbia come modulo B e come direzione quella delcampo. Il senso del vettore verra fissato in modo che si possa scrivere

~F = i ~L× ~B. (3.22) JSS5

Abbiamo costruito in tal modo un secondo vettore ~B per caratterizzare il campomagnetico: ad esso si da il nome di vettore induzione magnetica. Il vettore~B nasce con l’intento di descrivere la forza che un campo magnetico esercita su unelemento di corrente mentre il vettore ~H descrive l’intensita della sorgente

Osservazione. Per comprendere questo si consideri la trazione di un’asta di lunghezzaL, la cui sezione normale abbia area S. Si sottoponga l’asta ad una forza di trazione Nlungo il suo asse. Lo sforzo nella direzione assiale e descritto dalla grandezza σ = N/S ed e,evidentemente indipendente dalla natura del materiale di cui e formata l’asta. Al contrario


~L

~B

~F~s

~S

i

Figura 3.7: Lavoro fatto spostando un elemento di corrente. sposta

l’allungamento dipende oltre che dalla lunghezza dell’asta anche dal materiale di cui ecomposta. Siccome l’allungamento e evidentemente proporzionale alla lunghezza (l’asta esupposta omogenea) e opportuno introdurre una grandezza che caratterizzi l’allungamentounitario: ε = ∆L/L. Orbene a parita di σ la ε dipende dal materiale. L’esperienza diceche per la maggior parte dei materiali le due grandezze risultano proporzionali. Per unostesso materiale, dati due valori σ1 e σ2 si hanno due allungamenti unitari ε1 e ε2 e vale larelazione sperimentale

σ1

ε1=σ2

ε2. (3.23)88VC

Questo indica che il rapporto e caratteristico del materiale e lo si indica con E. Si potraallora scrivere

σ = E ε (3.24)UISD7

3.3.2 La nascita del flusso magnetico Φ

Supponiamo ora che l’elemento di filo subisca un piccolo spostamento ~s nella direzionedi ~F . Tale spostamento comporta un lavoro W dato da4

W = ~F · ~s = i (~L× ~B) · ~s. (3.25)MCT6

Per le proprieta del prodotto misto potremo scrivere

(~L× ~B) · ~s = (~s×~L) · ~B. (3.26)VPD7

Il prodotto vettoriale a secondo membro da il vettore area ~S dell’elemento di super-ficie generato dall’elemento L nello spostamento s. Indicato tale vettore area con ~Spotremo scrivere

W [S] = i ~B · ~S. (3.27) UFP04 Qui seguiamo la presentazione di Mie [35, p.148]

3.3. LA SECONDA LEGGE DELLA MAGNETOSTATICA 43

Questo ci porta ad introdurre la grandezza

Φ[S]def= ~B · ~S (3.28)U9ZZ

alla quale si da il nome di flusso magnetico. Potremo allora scrivere

W [S] = i Φ[S]. (3.29) REPS

Questa definizione si generalizza ad un campo magnetico non uniforme nel modotradizionale: consideriamo una superficie S e dividiamola in tanti elementi piani dS.Il flusso magnetico del campo attraverso la superficie e definito come

Φ[S]def=∫

S

~B(P) · d ~S. (3.30) CP45E

Consideriamo non un solo elemento di corrente ma un circuito, ad esempio unaspira, e facciamogli compiere un moto tale che alla fine il circuito si ritrovi nellaconfigurazione iniziale. Ogni punto del circuito descrivera allora una linea chiusa el’insieme di queste linee formera una superficie chiusa. Cosı se la spira e una circon-ferenza e la facciamo ruotare attorno ad un suo diametro generiamo una superficiesferica; se la facciamo ruotare attorno ad una retta che non la intercetti generiamouna superfice torica. In tutti i casi si genera una superficie chiusa. Una superficiechiusa racchiude sempre un volume (ad esempio sfera o toro) e quindi puo vedersicome il bordo di un volume. Se il volume e dotato di orientazione interna anche lasuperficie e dotata di orientazione interna anche e quindi si puo scrivere ∂V. Il lavorocompiuto durante questa generazione e

W [∂V] = i∫

s

∫L

~B(P) · ( d~s× d ~L) = i∫∂V

~B(P) · d ~S = i Φ[∂V]. (3.31) PC6D

Orbene l’esperienza dice che

Seconda legge del campo magnetostatico: se muoviamo un cir-cuito, sia rigido che deformabile, ad esempio una spira percorsa da cor-rente, in un campo magnetico statico in modo da riportarlo alla posizioneiniziale non si compie alcun lavoro [35, p.148].

In formuleΦ[∂V] = 0. (3.32) UUD7

Si noti che questa relazione e analoga a quella del campo elettrostatico che affermaessere nullo il lavoro fatto in un campo elettrico costante muovendo una carica q lungouna linea chiusa.

Cosa accade se il campo magnetico e variabile? Quando si calcola un integraledi linea o di superficie o di volume di una funzione o di un vettore che dipende oltre


che dal posto anche dal tempo si intende che l’integrazione viene fatta mantenendocostante l’istante, come se il campo variabile fosse congelato a quell’istante. Questoe semplicemente conseguenza della nozione di integrazione parziale. La stessa cosaavviene nella definizione di derivazione parziale in cui le altre variabili rimangonocongelate. Ebbene la seconda legge del campo magnetostatico rimane valida anchese il campo magnetico e variabile ad esempio che si stia spegnendo lentamente obruscamente: il flusso magnetico sul bordo di un volume e nullo ad ogni istante.Vedremo che non accade lo stesso della tensione elettrica: in un campo costante neltempo (elettrostatica) essa e nulla su qualunque linea chiusa ma se il campo variaessa, (sempre essendo calcolata a tempo congelato) non e nulla, ovvero varia da unistante all’altro.

Osservazione. Confronto tensione elettrica-flusso magnetico. Come la tensione elet-trica U si puo interpretare come il lavoro per unita di carica cosı il flusso magnetico si puointerpretare come lavoro per unita di corrente:

U =W

qΦ =

W

i. (3.33)PJD6

volt =joule

coulombweber =

joule

ampere.

3.3.3 La natura assiale di ~B

Nel paragrafo precedente abbiamo rappresentato l’elemento di area individuato daidue vettori ~s ed ~L mediante il vettore ~S ottenuto facendo il prodotto vettoriale deidue vettori. Questo implica che il vettore ~S e associato alla superficie mediante laregola del cavatappi e quindi e un vettore assiale: esso muta segno se si cambia lavite destra nella vite sinistra. Dal momento che il flusso magnetico Φ non dipende,ovviamente, dalla vite, ne viene che anche il vettore ~B vi deve dipendere ovvero anche~B e un vettore assiale. Questo si puo vedere direttamente dalla formula (3.22) in

cui viene usato il prodotto vettoriale: dal momento che ne la forza F ne il vettore ~Ldipendono dalla regola della vite, e si chiamano percio vettori polari, il vettore Bvi deve dipendere per compensare la dipendenza dalla vite del prodotto vettoriale.

3.4 L’equazione costitutiva B−HLa relazione tra ~B ed ~H dipende dal mezzo: essa puo essere investigata con ildispositivo di Fig.(3.8a)).

Consideriamo un provino di forma torica5. Se consideriamo un avvolgimento conN spire in ciascuna delle quali passa una corrente I, indicando con L0 la circonfe-

5 Qui ci rifacciamo alla presentazione di Someda [46, p.24]

3.4. L’EQUAZIONE COSTITUTIVA B−H 45

1

234

A

C

GI

N+

+

N1

2

0

B

H

Figura 3.8: a) Il dispositivo per la determinazione della relazione H − B neimateriali ferromagnetici. b) La relazione risultante per i materiali ferromagnetici.magnete

renza media del toro, il campo magnetico nel suo interno sara approssimativamenteuniforme per cui

H =NI

L0

. (3.34) GZ4Z

Agli estremi di un secondo avvolgimento formato da n spire alla chiusura del circuitoregistrera una variazione di flusso (inizialmente nullo)

nB S = Rq donde B =Rq

nS(3.35) HYZ7

essendo R la resistenza del circuito secondario; q la carica registrata nel secondario; Sl’area della sezione del toro. Con queste due formule si ottiene un diagramma H−B.

Capitolo 4

Elettro-magnetismo

Per secoli i fenomeni elettrici sono stati considerati del tutto distinti da quellimagnetici. Una cosa era l’elettrizzazione per strofinio, le palline di sanbuco,la carica delle bottiglie di Leida, la generazione di corrente mediante una pila;tutt’altra cosa erano i magneti permanenti e le bussole. Un giorno dell’anno1819, durante un esperimento, il fisico danese Oersted si accorse che quandoin un filo passava una corrente un ago magnetico posto nelle vicinanze del filosi spostava: un fatto elettrico, la conduzione, interagiva con un fatto magneti-co. E’ cosı caduto un muro divisorio tra due branche della scienza che eranoadiacenti e non lo sapevano! Nacque cosı l’elettro-magnetismo.

4.1 La relazione di Faraday-Neumann

Consideriamo due aste metalliche parallele connesse ad un voltmetro. Su di essescorra un’asta metallica AB con velocita costante v. Il tutto sia immerso in un campomagnetico uniforme con il vettore B perpendicolare al piano delle due aste. A causadel movimento il flusso magnetico concatenato con il circuito varia. L’esperimentodice che tra i due estremi C e D delle guide si manifesta una forza elettromotrice diintensita U . La relazione tra le grandezze in gioco e

U = −∆Φ

∆t(4.1) SSS

Questa relazione esprime la legge dell’induzione di Faraday-Neumann.

4.1.1 L’impulso di tensione elettrica U ♠Consideriamo ora una corrente variabile nel tempo, come quella prodotta dalla scaricadi un condensatore o dalla scarica di una pila connettendo con un filo le due armature

47

48 CAPITOLO 4. ELETTRO-MAGNETISMO

Vv

∆Φ

A

B

C

D

Figura 4.1: La variazione del flusso magnetico nel circuito induce una forzaelettromotrice tra i due estremi delle guide. FaradayInd

i

F = I

I

V = −Φ

˙˙

Φwebersecondo

coulombsecondo

newton weber

newtoncoulomb

~J

~H ~E

~B

Figura 4.2: Analogia tra il campo magnetico prodotto da una corrente ed il campoelettrico prodotto da un flusso magnetico variabile (da Rojansky, [44, p.343]) analFiloSpirale

EH

r

r

H =I

2π

r

a2 E = − Φ

2π

r

a2H =I

2π

1

rE = − Φ

2π

1

r

Figura 4.3: Analogia tra il campo magnetico prodotto da una corrente ed il campoelettrico prodotto da un flusso magnetico variabile. Si noti che il campo in entrambii casi si annulla sull’asse del cilindro/solenoide. Biot

4.1. LA RELAZIONE DI FARADAY-NEUMANN 49

I

Q

Ψ F

Faraday: Ψ = Q Ampere: F = I

Figura 4.4: Analogia tra la legge di Faraday dell’induzione elettrostatica e quelladi Ampere delle correnti. anal-Far-Amp

o i due poli rispettivamente ne viene che anche la tensione e variabile. Poiche le duegrandezze U e I sono proporzionali considerando una corrente variabile nel tempo ilsuo valore medio in un intervallo stabilito rimane proporzionale al valore medio dellatensione.

Consideriamo un intervallo di tempo T e scomponiamolo in intervalli τk. La leggedi Ohm fornisce ∑

k

Uk τk =∑k

R Ikτk (4.2) H895

avendo indicato con una barra i valori medi delle grandezze nei relativi intervalli.Poniamo quindi

U def=∑k

Uk τk (4.3) H023

La grandezza U prende il nome di impulso di tensione.

Con queste grandezze si ottiene la legge di Ohm in forma globale

U = RQf . (4.4) H871

Questa afferma che l’impulso di tensione elettrica tra due punti di un filo conduttoree proporzionale alla carica passata. Il flusso di carica ottenuto dalla scarica di uncondensatore si puo misurare con un galvanometro balistico.

Anche per questa grandezza vale la relazione

U(−L) = −U(L) condizione di disparita di U . (4.5) P466


4.1.2 La misura del flusso magnetico Φ ♠

4.2 La relazione di Maxwell-Ampere

4.2.1 L’impulso di tensione magnetica Um ♠4.2.2 La corrente di spostamento Ψ ♠

4.2. LA RELAZIONE DI MAXWELL-AMPERE 51

Tavola I: Confronto tra le grandezze elettriche e magnetiche. G42Z

elettricita

Il flusso elettrico Ψ

e associato ad una superficie Scon orientazione esterna.

Il vettore induzione ~De il flusso per unita di area

ha la direzione del massimo flusso.Metodo di misura:

sonda a due dischetti(il campo interno si annulla)

Unita di misura:coulomb

Legge di Gauss:flusso elettrico = carica contenuta

Ψ [∂V, I] = Q[V, I]

L’impulso di f.e.m. Ue associato ad una linea Lcon orientazione interna.

Il vettore campo elettrico ~Ee la f.e.m. per unita di lunghezza

ha la direzione della massima f.e.m.Metodo di misura:annulla il campo.Unita di misura:

volt = joule/coulombLegge di Faraday:U [∂L,T] = −∆Φ[S, I]

magnetismo

L’impulso di f.m.m. Um

e associata ad una linea Lcon orientazione esterna.

Il vettore campo magnetico ~He la f.m.m. per unita di lunghezza

ha la direzione della massima f.m.m.Metodo di misura:

bobinetta compensatrice(il campo interno viene annullato).

Unita di misura:ampere

Legge di Maxwell-Ampere:f.m.m. = corrente concatenata

Um[∂S, T] = Qf [S, T] + ∆Ψ [S, I]

il flusso magnetico Φe associato ad una superficie S

con orientazione interna.

Il vettore induzione ~Be il flusso per unita di area

ha la direzione della massimo flusso.Metodo di misura:annulla il campo.Unita di misura:

weber = joule/ampereLegge di Gauss:Φ[∂V, I] = 0

Capitolo 5

I complessi di celle

Nella trattazione differenziale hanno un ruolo essenziale i sistemi di coordinatein quanto associano ai punti dello spazio una terna di numeri, le coordinatedel punto. Le variabili fisiche usate nella trattazione differenziale sono funzionidel punto e quindi le coordinate permettono di mettere in relazione punti dellospazio con numeri (i valori della variabili). Nella trattazione finita si usanograndezze fisiche globali che sono associate non solo a punti, ma a linee, asuperfici e a volumi. Quindi i sistemi di coordinate non bastano piu: occor-re avere un telaio di riferimento capace di esibire questi elementi geometrici.Questo ruolo e svolto dai complessi di celle in quanto questi esibiscono i vertici,gli spigoli, le facce ed i volumi.

5.1 Il ruolo dei complessi di celle

I complessi di celle svolgono un ruolo analogo ai sistemi di coordinate; essi consentonodi evidenziare nel dominio gli elementi geometrici di cui ha bisogno la trattazione finitae cioe i volumi, le facce, gli spigoli e i vertici.

Nella formulazione differenziale le coordinate hanno un ruolo essenziale in quantopermettono di descrivere i punti con delle coppie di numeri nel bidimensionale odelle terne nel tridimensionale. I punti sono i protagonisti della geometria nellaformulazione differenziale in quanto questa fa uso delle funzioni di punto.

Al contrario in una formulazione finita si usano le funzoni di insieme e queste sonoriferite non solo ai punti ma anche alle linee, alle superfici ed ai volumi. Ne vieneche i complessi di celle, con i loro vertici, spigoli, facce e volumi offrono i referentigeometrici per le grandezze globali e quindi sono indispensabili per la formulazionefinita.

53

54 CAPITOLO 5. I COMPLESSI DI CELLE

5.2 Complessi simpliciali

Tutte le volte che si studia un campo si fissa una regione dello spazio, il dominio,delimitato da un bordo. Per fare una trattazione finita del campo e necessario dividereil dominio in tante cellette di forma arbitraria e di dimensioni opportune. Si ottienein tal modo un complesso di celle. I complessi piu semplici da trattare sono formatida triangoli nel bidimensionale e da tetraedri nel tridimensionale. Dal momento chei triangoli e i tetraedri sono rispettivamente i poligoni ed i poliedri piu semplici ilcomplesso da essi formato prende il nome di complesso simpliciale. I triangoli e itetraedri sono i simplessi nel bidimensionale e nel tridimensionale rispettivamente.

Figura 5.1: Un esempio di complesso di Delaunay con maglie piu fitte in alcunezone del dominio.easyforo

La figura (5.1) mostra un complesso simpliciale ottenuto con un generatore auto-matico di maglie 1

Faremo riferimento a complessi simpliciali. Le ragioni che suggeriscono di usareun complesso simpliciale in due o tre dimensioni sono almeno tre:

• la prima e che un dominio di forma generica anche contenente cavita puo esseredelimitato da una o piu poligonali come mostra la figura (5.1). La triangolazionepuo appoggiarsi sui lati di queste poligonali nonche sulle superfici di separazionedi materiali diversi, come indicato in figura (??). Questo non e possibile se lamaglia2, e fatta di rettangoli3.

1 E’ stato ottenuto con il programma easymesh: si veda l’appendice ♣2 Noi usiamo il termine “complesso di celle” che e da ritenersi, per il momento, equivalente ad

altri termini come tessellatura, magliatura, grigliatura, rete, reticolo e similari.3 La maglia rettangolare e stata la causa della tramonto del metodo delle differenze finite!

5.2. COMPLESSI SIMPLICIALI 55

• la seconda e che i simplessi consentono l’infittimento in alcune regioni e lararefazione in altre. Questo consente di infittire il complesso nelle regioni incui le variazioni delle grandezze sono piu rapide e di rarefarle dove le variazionisono piu lente. Cio consente di diminuire notevolmente il numero delle celle delcomplesso a parita di approssimazione del risultato. Questo non e possibile sela maglia e costituita da rettangoli.

• L’interpolazione dei valori di una grandezza nell’interno di ogni simplesso eparticolarmente semplice, come vedremo.

5.2.1 Triangolazione di Delaunay

Il complesso simpliciale piu semplice nel bidimensionale e quello costituito da triangoliequilateri. Esso pero ha lo svantaggio di non poter essere adattato al bordo deldominio oltre al fatto di non potersi infittire in alcune parti del dominio. I piu viciniai complessi formati da triangoli equilateri sono i complessi di Delaunay4. Prima dipresentarli dobbiamo fare alcune considerazioni riguardo due triangoli adiacenti.

BI

C

baricentro: mediane

O

12

3

12

3

12

3

12

3

ortocentro: altezze incentro: bisettrici circocentro: assi

Figura 5.2: I quattro “centri” di un triangolo. centriIT

Intanto ricordiamo che in un triangolo esistono quattro centri significativi: il ba-ricentro, l’incentro, il circocentro e l’ortocentro, come mostra la figura (5.2). Mentreil baricentro e l’incentro sono sempre interni al triangolo, il circocentro e l’ortocentropossono trovarsi all’esterno: questo capita quando i triangoli sono ottusangoli. Noiprenderemo in considerazione il circocentro ed il baricentro.

5.2.2 Circocentro.

Il pregio del circocentro, intersezione degli assi di un triangolo, sta nel fatto che ilsegmento che congiunge i circocentri di due triangoli adiacenti e perpendicolare allato comune, come mostra la figura (5.3 a)) .

4 Chiamati anche complessi di Dirichlet.


Dalla figura (5.3) si vede che il circocentro di un triangolo acutangolo si trovaall’interno del triangolo stesso. Se quindi si considerano due triangoli adiacenti T1 eT2, entrambi acutangoli, il segmento C1C2 che connette i loro circocentri e diretto daltriangolo T1 al triangolo T2. Al contrario, se uno dei due triangoli adiacenti presentaun angolo ottuso il segmento C1C2 e diretto dal triangolo T2 al triangolo T1.

Facciamo vedere che in questo caso una soluzione numerica darebbe risultati errati. Adesempio, in un campo termico, se indichiamo con T1 e T2 le temperature misurate nei puntiC1 e C2 e supponendo che T1 > T2 il calore fluisce dalla regione dalla regione piu caldaverso quella piu fredda attraverso la faccia comune del triangolo t1 al triangolo t2. Cio eespresso dalla legge costitutiva di Fourier:

Q = (−λ)S

L(T1 − T2) (5.1)B07

dova S denota l’area della faccia comune, L la lunghezza del segmento C1C2 e λ la con-ducibilita termica. In questa relazione e sottinteso che la differenza di temperatura vengamisurata lungo una direzione ortogonale alla faccia. Se il senso del segmento C1C2 e oppostaal senso che va dal triangolo t1 al triangolo t2 il risultato e che l’applicazione della formula(5.1) genera un flusso opposto a quello naturale. Questo implica un errore nel calcolo nu-merico che si puo diffondere all’intera regione di integrazione anziche rimanere localizzato.Per evitare tale inversione dobbiamo richiedere che i due triangoli adiacenti abbiano formatale che non vi sia inversione dei centri. Occorre dunque assicurarsi che i circocentri di duetriangoli adiacenti non si scavalchino come invece accade in figura (5.3d).

Il criterio trovato da Delaunay e il seguente: per ogni triangolo il cerchio passanteper i tre vertici non deve contenere altri vertici del complesso delle celle. Per dimo-strare questo si faccia riferimento alla Fig.(5.4). Sia PQR un triangolo ottusangoloe C1 il suo circocentro. C1 giace sull’asse dei lati, in particolare sull’asse n del latoPR. Si consideri una linea r con origine in P e comprendente il punto S come verticedel triangolo adiacente PRS. Se S si trova all’interno del cerchio, detto in S ′, l’assedi PS ′ intersechera l’asse n in C1 che giace prima del centro C1. Al contrario se Sgiace in S ′′ l’asse di PS ′′ si trovera C2 dopo C1. Abbiamo dimostrato che se S gia-ce esternamente al cerchio del triangolo PQR (condizione di Delaunay) il centro deltriangolo adiacente PRS giace piu lontano del centro del triangolo dato rispetto allato comune PR. Una triangolazione che soddisfa le condizioni di Delaunay in tuttii suoi triangoli e detta triangolazione di Delaunay .

Il criterio di Delaunay e valido anche per i tetraedri: in tal caso la sfera contenentei quattro vertici del tetraedro non deve contenere altri vertici.

Esistono diversi generatori di maglie che costruiscono automaticamente una trian-golazione di Delaunay per un dominio di forma qualsiasi, anche contenente buchi.

Osserviamo che un dominio piano e opportuno considerarlo come un dominio tri-dimensionale racchiuso tra due piani paralleli situati a piccola distanza tra loro, comese si trattasse di una lastra sottile. Questo porta a considerare in luogo di triangoli

5.2. COMPLESSI SIMPLICIALI 57

a) ammesso b) ammesso c) proibito d) proibito

t1

t2

1C

2C

t1

t2

1C

2C

t1

t2

1C 2

C=

t1

t2

1C

2C

Figura 5.3: I segmenti che congiungono i circocentri di due triangoli adiacentisono ortogonali al lato comune. I circocentri di due triangoli distinti e bene chesiano distinti come in a) e b).Delaunay1IT

P

Q

R

n

r

S'

P

Q

R

n

rS

P

Q

R

n

rS"

1CC

2

1C C2

1C

C2

=

a) b) c)

1 2 1 2 1 2

Figura 5.4: La condizione di Delaunay assicura che C1 e C2 non siano invertiti,come in a), ne coincidenti, come in b).BB122


dei prismi, come mostrato in Fig.(5.5). Questo ha almeno due vantaggi: il primo e

strato strato

Figura 5.5: Un complesso simpliciale nel piano e opportuno che sia consideratoformato di prismi di spessore uniforme.BB11

che si puo mantenere una terminologia unificata tra problemi piani e tridimensionaliparlando di volumi (volumi dei prismi e volumi dei tetraedri); il secondo e che, comevedremo, il complesso duale risulta sfalsato nella terza dimensione.

5.2.3 Triangolazione generica

Sovente il dominio bidimensionale ha un contorno composto di tratti orizzontali everticali, come mostrato in figura (5.6a). Questi domini si possono decomporre inrettangolini come in figura (5.6b). Ciascuno di questi rettangolini puo essere suddivisoin due triangoli rettangoli aventi come ipotenusa una diagonale del rettangolo. Siottiene cosı un complesso simpliciale, come si vede in figura (5.6c) che non e del tipo diDelaunay in quanto la circonferenza che passa per tre vertici contiene un altro vertice.Ne consegue che i circoncentri coincidono e si trovano a meta dell’ipotenusa. In questocaso conviene prendere in considerazione i baricentri come punti rappresentativi deisingoli triangoli.

5.3 Complesso duale

Dato un complesso di celle di forma a priori arbitraria si puo considerare all’interno diogni cella un punto. Congiungendo tali punti interni per ogni coppia di celle adiacentisi ottiene un secondo complesso di celle cui si da il nome di complesso duale.

Se il complesso formato da quadrati nel bidimensionale o da cubi nel tridimensio-nale, come indicato in figura (5.7) si puo prendere il centro di ogni quadrato/cubocome punto interno. Questo centro e nel contempo il baricentro ed il circocentro (nelbidimensionale) o lo sferocentro (nel tridimensionale).

5.3. COMPLESSO DUALE 59

a) b)

c) d)

Figura 5.6: Un dominio formato da rettangoli, come in a), puo essere decompostoin tanti rettangoli come in b), ciascuno dei quali, a sua volta, puo essere diviso indue triangoli. Si ottiene cosı un complesso simpliciale come in c), che non e deltipo di Delaunay. Pertanto e conveniente usare come punti interni rappresentativii baricentri. Il complesso duale si ottiene congiungendo direttamente i baricentridei triangoli adiacenti, come in d).rettangoli

a) b)

duale

primale

Figura 5.7: a) La cella duale nel bidimensionale e sfalsata rispetto alle celleprimali. b) Idem nel tridimensionale.cubi3


Figura 5.8: ♣ duale simplessinum

Se il complesso e simpliciale del tipo di Delaunay, come in figura (??), si puoprendere come punto interno o il circocentro ( rispettivamente lo sferocentro neltridimensionale) oppure il baricentro come in figura (5.9 a e b). Nel primo caso ipoligoni e i poliedri che ne derivano sono chiamati poligoni di Voronoi ; nel secondocaso i poligoni ed i poliedri sono chiamati poligoni baricentrici .

Se si scelgono i baricentri e opportuno considerare come poligono/poliedro dualequello che ha come vertici i baricentri non solo delle celle ma anche delle facce e deilati, come mostrato in figura (5.9 c)

a) b)

Figura 5.9: a) Il poligono duale ottenuto congiungendo i circocentri di due trian-goli adiacenti (poligono di Varonoi). b) Il poligono duale ottenuto congiungendo ibaricentri di due triangoli adiacenti (poligono baricentrico). c) Il poligono ottenutocongiungendo i baricentri dei triangoli con i baricentri dei lati. Anche questo sichiama poligono baricentrico.tre-poliIT

Il lettore sara d’accordo sul fatto che sia piu semplice disegnare nel tridimensionaleun complesso formato da cubi piuttosto che da tetraedri. Questo lo spingera, pro-babilmente, a preferire i cubi anche nel calcolo numerico. In tal modo si priverebbedella possibilita di infittire le celle nelle regioni in cui le variazioni dei gradienti sonomaggiori e di adattare il complesso alle superfici del bordo.

Per evitare questo il lettore deve tener presente che per la impostazione numericanel tridimensionale non e affatto necessario disegnare un complesso simpliciale e tantomeno il suo duale. Al piu occorre disegnare un solo tetraedro con le sei faccettebaricentriche. In figura (5.11) abbiamo illustrato le fasi per fare questa costruzione amano libera ed in appendice (??) abbiamo riportato un programma in MATLAB chefornisce questa figura.


C

a) b)

Figura 5.10: a) I baricentri del tetraedro, delle sue facce e dei suoi spigoli. b) Lefacce del poliedro duale si ottengono componendo le 6 faccette indicate in figura.Ciascuna di queste e un quadrilatero congiungente il baricentro del tetraedro coni baricentri delle facce e degli spigoli.tetra2

I baricentri delle cellette possono essere presi come vertici di un secondo comples-so di celle: questo secondo complesso lo chiameromo duale del precedente che verrachiamato primale. La figura (5.22) a) mostra una cella duale nel caso di un comples-so formato da rettangoli mentre in (5.22) b) si ha la stessa cosa per un complessosimpliciale.

Perche il termine “duale”? Tutto nasce dalla constatazione sorprendente chesussiste la seguente corrispondenza:

• ad ogni vertice del complesso primale corrisponde una cella del duale;

• ad ogni spigolo del complesso primale corrisponde una faccia del duale;

• ad ogni faccia del complesso primale corrisponde uno spigolo del duale;

• ad ogni cella del complesso primale corrisponde un punto del duale;

Una corrispondenza tra elementi di dimensioni complementari prende il nome dicorrispondenza di dualita.

Si possono allora classificare gli elementi geometrici orientati secondo gli schemidella tabella (I).

5.3.1 Complessi di Delaunay-Voronoi

La coppia formata da un complesso simpliciale di Delaunay e dai relativi poligo-ni/poliedri di Varonoi prende il nome di complesso di Delaunay-Voronoi.


h

i

j

k

h

i

j

k

h

i

j

k

h

i

j

k

h

i

j

k

h

i

j

k

/4

√31/

T eh

~

hi

j

k

Ah

3Ah /

4

~A4

~A5

~A6

h

i

j

k

T eh

~A1

~

~

A2

~A3

h

i

j

k

1

2

4

5

63

a)

d)

g)

b)

e)

h)

c)

f)

i)

Figura 5.11: Le fasi della costruzione delle sei faccette del poliedro duale contenutenel tetraedro. Il programma si trova in Appendice (??).costruisci


campione formato da diversi materiali

A

B

C

complesso simpliciale

Figura 5.12: Un pezzo formato da tre materiali diversi: si possono generareautomaticamente dei complessi simpliciali con infittimento scelto a piacere.easyVariMaterIT

Per metodi numerici e conveniente considerare complessi di Delaunay-Voronoi5.La figura (5.13) indica un complesso di Delaunay-Voronoi nel piano. Si vede come ipoligoni di Voronoi siano in realta dei prismi sfalsati rispetto ai prismi di Delaunay.Parleremo indifferentemente di triangoli di Delaunay e di “prismi” di Delaunay, cosıcome parleremo indifferentemente di poligoni di Voronoi e di “prismi” di Voronoi.

Nel tridimensionale possiamo scegliere un complesso di celle formato dalle lineecoordinate e dalle superfici coordinate di un sistema di coordinate come quello inFig.(??). Complessi di celle formati dalle linee e dalle superfici coordinate sono utiliquando si vuole passare al limite per ottenere la formulazione differenziale.

Abbiamo gia detto che la nozione di complesso di celle in un contesto finito cor-risponde alla nozione di sistema di coordinate in un contesto differenziale. Possiamoaggiungere che la coppia di celle Delaunay-Voronoi corrisponde ad un sistema di coor-dinate ortogonali . Inoltre un complesso di celle formato da parallelotopi 6 corrispondead un sistema di coordinate cartesiane. Indicheremo le celle del complesso duale conuna tilde in alto. La figura (??) mostra un complesso di Delaunay-Voronoi che tieneconto dello spessore: come si vede i triangoli sono, in realta, prismi triangolari e ipoligoni duali sono dei prismi.

I l complesso di celle ed il suo duale e stato presentato nel bidimensionale e neltridimensionale. Esso pero si puo introdurre nell’unidimensionale, come riportatonella figura (5.14).

Dopo aver diviso l’intervallo AB in intervalli piu piccoli (le celle unidimensionali)si possono considerare dei punti interni ai singoli intervalli come vertici del complesso

5 Cavendish, Hall, Porsching[?, p.338]6 Il termine parallelotopo comprende quello di parallelogramma nel bidimensionale e di

parallelepipedo nel tridimensionale e lo estende a dimensioni superiori a tre.


Figura 5.13: Per studiare campo piano di spostamenti si puo usare una triangola-zione. Ogni triangolo deve pero interpretarsi come la base di un prisma in quantooccorre tener conto del fatto che esiste uno spessore. Il complesso duale, forma-to qui da esagoni regolari e a sua volta da interpretare come formato da prismiesagonali. I prismi esagonali e quelli triangolari sono sfalsati anche nello spessore. formagginiElasto

P P P

L LLL

L L

x

PPA B

L

vertice del primale

vertice del duale

intervallo primale

intervallo duale

Figura 5.14: Un complesso di celle ed il suo duale in una dimensione. unidim


duale. La scelta piu spontanea per i vertici del duale e quella dei punti medi degliintervalli. Si noti che gli intervalli duali relativi ai due sistemi A e B risultano spezzati.

Per denotare gli elementi geometrici di un complesso di celle e del suo dualeintrodurremo la notazione seguente.

P = punto = verticeL = linea = spigoloS = superficie = facciaV = volume = cella

Per denotare gli elementi geometrici del complesso duale porremo una tilde soprala lettera corrispondente: P, L, S, V.

E’ immediato constatare che gli elementi geometrici del complesso duale corri-spondono a quelli del complesso primale in ordine inverso, come mostra la figura(5.15) .

1P

1L

1P 1P

2L

3L

3S

1S 1V1P 1P

1P

2L

3L

1L3S

1S 1V

1D 2D 3D

Figura 5.15: Gli elementi geometrici esibiti da un complesso di celle e dal suoduale. complessi-1-2-3

La figura (5.15) mostra delle celle formate mediante un sistema di coordinatecurvilinee. Questo tipo di celle e comodo quando si voglia passare da una formulazionefinita ad una differenziale. I numeri che stanno davanti ai simboli 1P, 3L, 3S, 1Vindicano le famiglie di elementi. Ad esempio 3L indica che vi sono tre famiglie di”linee” (spigoli delle celle) e cioe tante quante sono le linee coordinate.

Quando si considera un complesso simpliciale, che e piu adatto alla risoluzionenumerica dei problemi di campo, questi numeri scompaiono, come indica la figura(??)

Considerando il tempo, si puo costruire un complesso di celle ed il suo dualesull’asse dei tempi, come indicato in figura (5.17).


Figura 5.16: simpliciale num

τ nτ

tnt t

tn−1 tn©+1

ttn tn+1t1 t2

τ nτ

Figura 5.17: tempo-primale-duale

Sono definiti elementi ”cronometrici” gli istanti I e gli intervalli T del complessoprimale con i relativi duali I e T.

Si puo considerare anche uno spazio-tempo bidimensionale come indicato in figura(5.18).

PP P

P P P

LL

TL

IP

IL

IP

IL

PT

TL

PT

T

T

I

I

I

I

tempo t

x

IP

IL

PT

TL IP

IL

TL

PT

Figura 5.18:spazio-tempo

Combinando gli otto elementi geometrici P,L,S,V, P, L, S, V con i quattro ele-menti cronometrici I,T, I, T si ottengono 8×4 = 32 elementi crono-geometrici. Latavola (I) mostra uno schema degli elementi geometrici e cronogeometrici.


Tavola I: Classificazione degli elementi geometrici degli spazi a diversedimensioni: (sopra) spazi a dimensioni in 1, 2, 3; (sotto) gli stessi conaggiunta della dimensione temporale.AA5

figura

complessoprimale

complessoduale

complessoprimale

complessoduale

complessoprimale

complessoduale P

L

L P

a) variabile x

P S

L L

S P

b) variabili x, y

P V

L S

S L

V P

c) variabili x, y, z

I T T I

d) variabile t

IP TL

IL TP

TP IL

TL IP

e) variabili t, x

IP TS

IL TL

IS TP

TP IS

TL IL

TS IP

f) variabili t, x, y

IP TV

IL TS

IS TL

IV TP

TP IV

TL IS

TS IL

TV IP

g) variabili t, x, y, z


5.4 Orientazione degli elementi geometrici

Una caratteristica degli elementi geometrici e quella di poter essere orientati. Co-munemente in fisica si fa uso della nozione di orientazione senza fornire un’adeguatapresentazione. La prima cosa che deve essere detta e che vi sono due tipi di orientazio-ne di un oggetto geometrico, quella interna e quella esterna. Ciascuna orientazionee dotata di sensi.

Un’altra cosa non comunemente specificata e che anche i punti, pur essendo prividi estensione, possono (e debbono!) essere orientati nell’uno o nell’altro modo.

Vedremo che se dotiamo di orientazione interna gli elementi geometrici del com-plesso primale automaticamente gli elementi geometrici del complesso duale risultanodotati di orientazione esterna.

5.4.1 Orientazione interna

Una linea puo essere percorsa in un senso o nel senso opposto: fissare un senso dipercorso vuol dire dare una orientazione interna alla linea. La nozione di orientazionee indispensabile in fisica perche le grandezze fisiche che associamo alle linee cambianosegno al cambiare dell’orientazione. Allo stesso modo il lavoro di una forza dipendedalla orientazione della linea; la tensione elettrica tra due punti cambia segno alcambiare dell’orientazione della linea (cioe invertendo i terminali del voltmetro).

orientazione esterna orientazione interna

P

L

S

VP

L

S

V

teOrientazione interna di un punto:un punto e orientato positivamense e un pozzo.

Orientazione interna di una linea:e la nozione base usata per dareun significato alla orientazione ditutti gli altri elementi geometrici.

e

p

Orientazione interna di una superficie:un orientazione compatibile dei

suoi spigoli, per es. il verso perercorrere i suoi bordi.

eOrientazione interna di un volume:

un orientazione compatibile dellesue facce. E’ equivalente alla regoladella vite.

Orientazione esterna di un volume:scelta di un orientazione interna odesterna delle normali.

Orientazione esterna di un volume:scelta di un orientazione interna oesterna delle normali.

Orientazione esterna di una linea:e l’orientazione interna dellasuperficie che attraversa la linea.

Orientazione esterna di un punto:e l’orientazione interna delvolume che contiene il punto.

Figura 5.19: I due tipi di orientazione di un elemento geometrico.CC15IT

5.4. ORIENTAZIONE DEGLI ELEMENTI GEOMETRICI 69

Una volta orientata la linea si puo dare una orientazione interna ad una superfi-cie: basta dare una orientazione interna, ovvero un senso di percorso, al suo bordo.L’orientazione interna di una superficie si puo indicare con una freccia curva. Adesempio, il flusso magnetico prodotto da una spira percorsa da corrente cambia se-gno al cambiare del senso della corrente: e questa una grandezza fisica il cui segno evincolato all’orientazione interna della superficie.

Figura 5.20: L’orientazione interna di un volume equivale alla regola della vite. elica

Se si prende un cubo e si assegna una orientazione interna ad una sua facciaquindi si propaga questa orientazione alle altre facce in modo che le orientazioni sianocompatibili, si dice che si e data una orientazione interna al cubo. Evidentementeinvece del cubo si puo orientare un generico poliedro o una sfera o un cilindro. Nelcaso di un cilindro si vede che le frecce curve sulle due basi hanno sensi opposti einvitano a torcere il cilindro: cosı facendo le generatrici del cilindro si attorciglianodando luogo ad un’elica o ad una vite. Se si cambia l’orientazione interna del cilindrole generatrici si attorcigliano nel senso opposto e si genera l’elica opposta. Di qui sivede che una vite destra (come le comuni viti da ferro e da legno) o sinistra equivaleall’orientazione interna di un volume.

Se si considera un tetraedro con tre spigoli ortogonali il cambiamento dell’orien-tazione interna equivale al cambiamento della mano destra con la mano sinistra.

Ha senso orientare i punti? Si. Basta osservare che da una “sorgente” l’acquaesce, mentre, in un pozzo l’acqua entra. La nozione di sorgente e di pozzo e usatanel campo elettrico: le cariche positive sono sorgenti e quelle negative sono pozzi. Lelinee di campo escono da una carica positiva ed entrano in quella negativa.

Diremo pertanto che un punto e dotato di orientazione interna se consideriamole linee uscenti o quelle entranti come positive. A prima vista sembra privo di sensogeometrico parlare di orientazione di un punto in quanto questo non ha estensione.Basta pero pensare che quando una nozione non ha significato immediato gli si puodare un significato in modo da mantenere certe proprieta formali. Consideriamole potenze ad esponente intero del tipo 3m. Secondo la definizione diretta 34 =3×3×3×3 ovvero si deve moltiplicare la base per se stessa tante volte quante ne


indica l’esponente. Stante questa definizione l’espressione 30 e priva di significato:infatti essa indica il prodotto di 3×3×3... zero volte! Si scopre poi la regola preziosa3m/3n = 3m−n. Questa regola, originariamente, vale se m > n. Cosa succede perm = n ? La regola estesa a questo caso fornisce l’uguaglianza: 3m/3m = 1 . Dunqueall’espressione 30 che non ha significato diretto si puo dare significato assegnando, perconvenzione, il valore 1. In tal modo si conserva la proprieta formale.

La stessa cosa si puo fare per dare una orientazione interna ad un punto. Dal mo-mento che il punto non ha estensione tale nozione non puo essere data direttamente.Ma considerando che dal punto possono partire ed arrivare linee si puo definire l’o-rientazione interna considerando come positive le linee uscenti e come negative quelleentranti. Questo induce una orientazione interna al punto che diventa sorgente opozzo.

Facciamo ora vedere che, per ragioni storiche, il punto e stato implicitamenteorientato come pozzo anziche come sorgente.

Consideriamo il grafico di una funzione y = f(x) e consideriamo la definizione di“incremento” della funzione tra il valore in x e quello in x+h, come indicato in figura(5.21a)).

y

xhf(x) f(x + h)

∆ydef= (−1)

−1

f(x)+(+1)

+1

f(x+h)

P

~r

~r′

′

~r′ ′′

′

′

′′

′

x

x

x

y

y

y

′′O

O

Oa) b)

Figura 5.21: a) La tradizionale definizione dell’incremento di una funzione im-plica l’orientazione dei punti come pozzi. b) Il vettore raggio e sempre orientatodall’origine verso il punto e quindi il punto e orientato come un pozzo.incremento

Chiamiamo numero di incidenza tra un punto orientato ed una linea orientatail numero +1 se le due orientazioni sono concordi, -1 se sono discordi e 0 se i duenon sono incidenti. Se si orientano i punti come pozzi (linee positive entranti) si


vede che i numeri di incidenza di due estremi dell’intervallo h sono rispettivamente-1 e +1. Questi numeri coincidono con i coefficienti dei valori f(x) ed f(x+ h) nelladefinizione dell’incremento. Quindi: la definizione di incremento di una funzioneutilizza implicitamente la nozione di punto orientato come pozzo. Una seconda ragioneche indica una orientazione implicita dei punti come pozzi (linee positive se entranti)si ha nella considerazione del vettore raggio. In figura (5.21 b) si vede che il vettore~r e, per definizione, orientato dall’origine di un sistema di assi al punto considerato.

Le figure (5.22) e (5.23) mostrano rispettivamente un complesso di celle nel bi-dimensionale e nel tridimensionale con le orientazioni interne dei rispettivi elementigeometrici.

duale (Voronoi)primale duale primale (Delaunay)

P

L

SP

L

S

Lx

Ly

Sxy

P

P

Ly

Lx

Sxy

Figura 5.22: Un complesso di celle primale e duale in due dimensioni. A sinistradelle celle rettangolari, a destra delle celle triangolari. BB1IT

5.4.2 Orientazione esterna

Un tessuto o una medaglia hanno un diritto e un rovescio. Orientare una superficievuol dire anche fissare una sua faccia come positiva ed una come negativa ovverofissare un senso di attraversamento chiamando negativa la faccia di ingresso e positivaquella di uscita. Questo tipo di orientazione si dice “esterna” in quanto presupponel’immersione della superficie nello spazio. L’orientazione interna di una superficie sipoteva fissare stando nell’interno della superficie, percorrendola, non attraversandola.Quindi diremo che una superfice e dotata di orientazione esterna quando e stato fissatoun senso di attraversamento o, che e equivalente, quando e stata prescelta una suafaccia come positiva. Faremo riferimento alla figura (5.19) parte destra.

Se consideriamo il calore che attraversa una superficie il suo segno dipende dallaorientazione esterna prefissata: sara positivo se il flusso di energia (calore) va nelsenso dell’orientazione esterna.


xy

z

P

pozzo

V

PLx

Syz

Lz

Ly

Szx

Sxy

SxyL z

P

LyLx

V

Syz Szx

normaliuscenti

1P

3L

3S

1V

1V

3S

3L

1P

complesso duale

complesso primale

Figura 5.23: Un complesso di celle cubiche: il cubo ombreggiato e il duale. Latabella a destra classifica gli elementi dei due complessi in uno schema che sarautilizzato intensivamente piu tardi. BB17IT

Se consideriamo la carica elettrica indotta su un dischetto di rame posto in uncampo elettrico dobbiamo prima dire quale faccia consideriamo positiva. Infatti lacarica indotta su una faccia e opposta a quella indotta sulla faccia opposta. Se suuna faccia c’e la carica di 7 coulomb e sull’altra -7 coulomb, quale delle due potremodesignare col nome di carica indotta? Sara quella indotta sulla faccia che consideriamopositiva.

Anche una linea puo avere una orientazione esterna: basta considerare un segmen-to di linea immerso nello spazio e un senso di rotazione attorno al segmento. Il modomigliore di vederlo e quello di disporre il segmento attraverso un elemento di superfi-cie dotato di orientazione interna. La freccia curva che da l’orientazione interna dellasuperficie fissa una orientazione esterna del segmento. E’ come se il segmento fossel’asse di rotazione di un disco: ruotando nell’uno o nell’altro senso il disco si definisceuna orientazione esterna dell’asse.

Anche un volume puo essere dotato di una orientazione esterna: basta considerarepositive le linee uscenti e negative quelle entranti. Solitamente si dice che un volumee “orientato” quando si fissano le normali uscenti o entranti dal suo bordo.

Questa dualita tra linee e superfici, tra punti e volumi ci consente di dare sensoalla nozione di orientazione esterna di un punto. Basta considerare un cubo dotatodi orientazione interna e un punto posto al centro di esso: i sensi di rotazione sullefacce del volume possono vedersi come sensi di rotazione delle semirette con originenel punto. Quindi un punto si dira dotato di orientazione esterna quando siano statifissati dei sensi di rotazione delle semirette con origine nel punto. Per rendere evidentequesta orientazione si consideri il centro della pupilla dell’occhio: se si guardano lelancette di un orologio alla semiretta con origine nel centro della pupilla e associata


a b ))

Figura 5.24: a) orientazione interna di un cubo; b) orientazione esterna.orientaVolume

l’orientazione oraria del moto delle lancette.Si puo vedere che il potenziale magnetico in un punto di un campo magnetico e

una grandezza fisica associata ai punti dotati di orientazione esterna: esso cambiasegno se si cambia l’orientazione esterna del punto ♣.

Mentre l’orientazione interna di un elemento geometrico (linea, superficie, volume)non richiede di considerare l’elemento stesso immerso in una varieta mono-, bi- o tri-dimensionale, al contrario l’orientazione esterna esige questa immersione e dipendedalla dimensione della varieta entro la quale l’elemento e considerato immerso.

Consideriamo segmento di retta nello spazio, la sua orientazione esterna consistein un senso di rotazione attorno al segmento. E’ come se il segmento fosse l’asse dirotazione di un disco: ruotando nell’uno o nell’altro senso il disco si definisce unaorientazione esterna dell’asse. Se consideriamo il segmento di retta in un piano lasua orientazione esterna consiste in un senso di attraversamento. Se consideriamo unsegmento di retta appartenente ad una retta la sua orientazione esterna consiste nelconcepire il segmento come fosse soggetto a trazione o compressione.

L

LL

LL

L

a b c) ))

Figura 5.25: Orientazione esterna di un segmento di retta:a) nello spazio; b) nelpiano; c) in una retta. orientaSegmento

Consideriamo un poligono, ad esempio un triangolo o un rettangolo. Se il poligonoe immerso nello spazio la sua orientazione esterna e costituita da un senso di attra-versamento ovvero dal considerare una faccia come negativa e l’altra come positiva.Se invece il poligono e considerato in un piano, la sua orientazione esterna consistenel considerare le semirette uscenti come positive e quelle entranti come negative oviceversa.


Figura 5.26: Orientazione esterna di un elemento di superfice: a) nello spazio; b)nel piano. orientaPoligono

a b c )))

Figura 5.27: Orientazione esterna di un punto: a) nello spazio, b) nel piano, c)su una retta. orientaPuntoEsterna


Il momento statico di un sistema di masse valutato rispetto ad un piano e un esem-pio di grandezza fisica associata ad un piano con orientazione esterna: infatti il segnodel momento statico di una massa dipende dal senso prescelto di attraversamento delpiano.

La figura (5.28) riassume la nozione di orientazione esterna di quattro elemen-ti geometrici immersi nel tridimensionale, nel bidimensionale e nell’unidimensionalerispettivamente.

P

P

P

L

L

L

S

S

V

1

2

3D

D

D

Figura 5.28: L’orientazione esterna di un oggetto spaziale dipende dalledimensioni dello spazio di immersione. esterna

L’orientazione di un oggetto geometrico si mantiene per proiezione, come mostrala figura (5.29).

La figura (5.30) mostra dei complessi di celle in spazi di diversa dimensione, as-sieme alle orientazioni degli elementi geometrici che li compongono. Si osservi il fattoimportante che una volta assegnate le orientazioni interne agli elementi del complessoprimale risultano assegnate quelle esterne del duale.

La tavola (I) mostra degli schemi di classificazione degli elementi geometrici di uncomplesso di celle e del suo duale.


orientazione interna orientazione esterna

IR1

IR2

IR3

Figura 5.29: Quando un oggetto spaziale o spazio-temporale e proiettato in unospazio di dimensione inferiore le orientazioni interna od esterna dell’oggetto dipartenza danno luogo alle corrispondenti orientazioni della proiezione. proietta-orientazIT


x

y

zP

P

PP P

L

L

S

S

P

P P P

P P P

L

L

LL

S

S

V

S

TL

TL

x

y

tempo

spazio

IP

IP

IL

IL

IP

IP

IL

IL

PT

PT

TL

TLT

PT

PT

T

T

T

T

T

T

L

I

I I I

I

I

I

I

I

I

S

TS TS

I

I

S

tV

tempo

tempo

x

t

a

fe

LL

L L S

P

L

P

LS

x

x

c

d

PPP

b

y

Figura 5.30: Complessi di celle. (a) unidimensionale; (b) bidimensionale; (c)tridimensionale; (d) sull’asse dei tempi; (e) in uno spazio-tempo bidimensionale;(f) in uno spazio-tempo tridimensionale. BB55IT

Capitolo 6

Analisi delle grandezze fisiche

grandezzeNoi dedichiamo poca attenzione all’introduzione delle grandezze fisicheche pur sono le pietre sulle quali e fondata la descrizione matematica dellafisica. Solitamente le introduciamo di soppiatto man mano che ci servonosenza presentarle, senza analizzarle, spesso senza darne una definizione.

6.1 Classificazione delle grandezze

Classificare vuol dire dividere in classi. Si divide un insieme di elementi o di nozioniin classi al fine di mettere ordine; si mette ordine per lavorare con piu facilita, persemplificare, per facilitare la comprensione e per tante altre ragioni. Ogni classifica-zione si basa su un criterio; il successo e l’utilita di una classificazione sta nel criterioscelto. Il criterio che intendiamo presentare e quello del ruolo che la grandezza svolgenell’ambito di una teoria.

Per fare una analogia si possono classificare gli uomini secondo la loro razza,bianca, gialla, nera, australiana, ecc. oppure secondo il ruolo che svolgono nellasocieta: casalinghe, operai, impiegati, dirigenti, ecc.

Ebbene la piu spontanea classificazione basata sul ruolo svolto dalla grandezza equella che distingue le costanti fisiche e le variabili fisiche. Questi termini sonoconvenzionali 1 e non impediscono che una variabile mantenga costante il suo valoredurante un processo e quindi si comporti da costante cosı come non impediscono aduna costante di dipendere da un’altra grandezza, ad esempio la temperatura, e quindidi comportarsi da variabile.

Una prova della validita di questa tradizionale classificazione sta nel fatto cheesistono libri che raccolgono i valori delle costanti fisiche.

In matematica il termine “parametro” denota una quantita che e costante in undato contesto ma che puo assumere diversi valori nel passare da un contesto all’altro.

1 Agazzi [1, p.178]

79

80 CAPITOLO 6. ANALISI DELLE GRANDEZZE FISICHE

Ad esempio una retta ha l’equazione parametrica y = a x + b: le quantita a e bsono parametri mentre x ed y sono variabili . I parametri a e b caratterizzano unaretta: assegnando loro un valore si precisa una determinata retta. Per tener contodella possibile variazione delle “costanti” fisiche e opportuno usare per esse il nomedi parametri fisici. Si ha quindi la seguente suddivisione

grandezze fisiche

parametri fisici

variabili fisiche(6.1)MM1

6.2 I parametri fisici

Con questo nome si intendono quelle grandezze che caratterizzano la natura di unsistema fisico. Anche i parametri, a loro volta, possono classificarsi in funzione delruolo che svolgono in una teoria: vi sono parametri che caratterizzano un sistemanella sua globalita, altri che caratterizzano un materiale, altri che intervengono nelleinterazioni tra due campi, altri che descrivono un processo, ecc. Distingueremo cinqueclassi: parametri di sistema; parametri materiali; parametri di accoppiamento;parametri di processo; altri parametri.

La quinta classe denominata altri parametri contiene tutti i parametri che nonrientrano nelle quattro classi precedenti, fra cui le costanti universali. Faremo riferi-mento alla tavola (I)2.

Parametri di sistema. Sono quei parametri che descrivono le caratteristiche diun sistema fisico preso nella sua globalita: essi dipendono sia dai materiali che locompongono, sia dalla geometria del sistema (forma e dimensioni). Nella teoria deisistemi si chiamano parametri concentrati [♣ CITARE]. Sono definiti aggiungendouna specifica del tipo: del tale sistema, della tale particella, della tale molecola, deltale atomo, della tale stella, del tale oggetto, ecc.

Parametri materiali. Sono quelli che dipendono solo dalla natura fisica del ma-teriale. Essi richiedono specifiche del tipo: di un materiale, di una sostanza, di unaspecie chimica, di un mezzo, ecc. Essi sono spesso chiamati costanti materiali .

Parametri di accoppiamento. Detti anche parametri d’interazione. Legano levariabili di due campi in interazione o di due fenomeni accoppiati. Esempi sono lacostante termo-elettrica, il rapporto giro-magnetico, la costante di Hall che riguarda il

2 Non si presuppone affatto che il lettore abbia familiarita con tutte questi parametri! Si consigliadi spulciare mettendo un segno a quelli che conosce aggiornando gli indicatori man mano che nellostudio ne incontra altri.

6.2. I PARAMETRI FISICI 81

Tavola I: Una classificazione funzionale dei parametri fisici.AA1parametri di sistema

capacita di un condensatore impedenza di una bobinaresistenza di un conduttore rigidezza di una mollamassa di una stella momento magnetico di una particellamomento di dipolo di una molecola luminosita di una stellamassa del protone vita media di una particellacapacita termica di un corpo potenza di una lenteperiodo di rivoluz. di un pianeta spin di un nucleonecarica dell’elettrone stranezza di una particellanumero di protoni di un nucleo tensione elettrica di una batteriatempo di riverberaz. di una stanza emissivita di un corpo irragg.coeff. di smorzamento sist. oscillante distanza focale di una lente

parametri materialipermittivita di un materiale resistivita di un materialemodulo elastico di un materiale tensione superficiale di un liquidopeso specifico di una sostanza conducibilita di un materialeindice di rifrazione di una sostanza coeff. di diffusione di un mezzotemper. di fusione di una sostanza fatt. di trasmissione di una sostanzavelocita della luce in un mezzo coeffic. di Poisson di un materiale

parametri di accoppiamentocostante termo-elettr. di un materiale coeff. di attrito tra due materialicoeffic. piezo-elettr. di un materiale coeffic. di Peltier di due metallicost. di accoppiam. di una particella sezione d’urto (?) di una particella

parametri di processonumero di Reynolds di un fluido numero di Mach di un fluidonumero di Nusselt di un fluido rendimento di un ciclo termod.

altri parametrinumero di Avogadro NA costante dei gas Rcostante di Boltzmann k = R/NA costante di Faraday Fcostante di Planck h costante gravitaz. Gmagnetone di Bohr µB quanto flusso magn. h/2e


fenomeno magneto-elettrico ♣ ; la costante di Verdet della magneto-ottica. A questaclasse appartengono i coefficienti fenomenologici della termodinamica irreversibile.

Parametri di processo. Sono quelle grandezze fisiche che caratterizzano il com-portamento di un processo. E questo il caso del rendimento di un ciclo termodina-mico, del numero di Reynolds nel moto di un fluido; del numero di Prandl nel motodi un fluido.

Altri parametri. In questa classe abbiamo messo tutti i parametri che non rien-trano nelle quattro classi precedenti, in particolare le costanti universali.

6.3 Le variabili fisiche

Le variabili fisiche sono quelle grandezze che specificano un attributo variabile diun sistema, comel’energia potenziale e quella cinetica di un sistema, l’intensita diuna sorgente, il potenziale elettrico in un punto, l’allungamento di un’asta, i flussiscambiati tra due sistemi, ecc.

Vi e una prima classificazione poco nota ma molto utile: e quella che individua treclassi di variabili fisiche in funzionedel ruolo che esse svolgono in una teoria: variabilidi configurazione, variabili di sorgente e variabili energetiche.

Con riferimento alla tavola II abbiamo

6.3.1 Variabili di configurazione.

Sono quelle che danno la configurazione di un sistema fisico e tutte quelle legate aqueste da operazioni di somma, differenza, passaggio al limite, derivazione e integra-zione, divisione per una lunghezza, un’area, un volume e per un intervallo di tempo.Queste relazioni non devono contenere costanti fisiche. A questa classe appartengo-no le variabili geometriche e cinematiche della meccanica dei continui, le coordinategeneralizzate della meccanica analitica, i potenziali, le affinita della termodinamicairreversibile, ecc.

6.3.2 Variabili di sorgente.

Sono quelle che descrivono le sorgenti di un campo e tutte quelle variabili che sonolegate ad esse da operazioni di somma, differenza, passaggio al limite, derivazione eintegrazione, divisione per una lunghezza, un’area, un volume e un intervallo di tempo.Queste relazioni non devono contenere costanti fisiche. A questa classe appartengonole variabili statiche e dinamiche della meccanica dei continui, le forze, le masse che

6.4. VARIABILI GLOBALI NELLO SPAZIO 83

creano il campo gravitazionale, le cariche elettriche che creano il campo elettrico, lecorrenti, le forze generalizzate della meccanica analitica, ecc.

6.3.3 Variabili energetiche.

Sono le variabili ottenute dal prodotto di una variabile di configurazione per unavariabile di sorgente. Fra queste il lavoro, l’energia nelle sue diverse forme, comel’energia potenziale, l’energia cinetica, l’energia interna, l’energia libera, l’energia dicampo; la potenza, le funzioni di Lagrange e di Hamilton, l’azione, ecc.

Osservazione. Questa classificazione e stata introdotta da Hallen nel 1947 [20, p.1],quindi indipendentemente da Penfield e Haus nel 1967 [40, p.155] e, indipendentemente, dalpresente autore nel 1972 [49], [50]. La tabella che segue confronta la terminologia dei treautori.

Hallen variabili di forza variabili di sorgente variabili meccanichePenfield variabili geometriche variabili di forzaattuale variabili di configurazione variabili di sorgente variabili energetiche

6.4 Variabili globali nello spazio

Sulle grandezze fisiche di solito si mettono in evidenza tre caratteristiche:

il campo a cui appartengono (ottica, acustica, fisica atomica, ecc.);le dimensioni fisiche (ad esempio: MLT−2);la natura matematica (scalari, pseudoscalari, vettori, vettori assiali, ecc).

Ebbene: cosa altro si puo dire sulle grandezze fisiche che non sia gia stato detto?

Il grande fisico inglese James Clark Maxwell [?], aveva richiamato l’attenzionesul fatto che alcune grandezze sono associate alle linee, altre alle superfici. Questadistinzione non e stata recepita dalla letteratura successiva. Se si aggiunge che vi sonograndezze fisiche associate ai punti ed altre associate ai volumi, tradizionalmente leintensive e le estensive presentate in termodinamica, si vede far capolino un’altrapossibile classificazione delle grandezze basata sulla naturale associazione che moltedi esse hanno ai quattro elementi spaziali, cioe ai punti, alle linee, alle superfici ed aivolumi, come vedremo nel seguito.

I punti, le linee, le superfici ed i volumi sono i mattoni costitutivi degli elementidello spazio: essi sono delle varieta di dimensione 0,1,2 e 3 rispettivamente.

In tutti i campi della fisica si trovano variabili fisiche associate ad uno dei quattroelementi spaziali:


Tavola II: Classificazione generale delle grandezze fisiche. ConfSourEner

variabilidi configurazione

variabili geometrichee cinematiche

coordinate generalizzatespostamento, velocita

tensore di deformazionevelocita di deformazionevorticita, vel. angolare

potenziale velocitaacceleraz. gravita

frequenza, vettore d’ondafase, differenza di fase

potenziale gravitazionaletemperatura, affinitapotenziale chimicopotenziale elettrico

vettore campo elettricoflusso magnetico

induzione magneticaecc.

parametri (o costanti)capacita termica

costante dielettricacarica dell’elettronemassa del protone

conducibilita termicaresistenza elettricamodulo di elasticita

temperatura di fusionenumero di Avogadronumero di Reynoldsvelocita del suono

indice di rifrazionevelocita della lucecostante di Planck

viscositaecc.

variabilidi sorgente

variabili statichee dinamiche

forze generalizzateforza, impulso

quantita di motomassa gravitazionale

densita di massamomento angolarepressione, sforzo

entropiaflussi termodinamici

carica elettricaflusso dielettricocorrente elettrica

vettore campo magneticovettore induz. elettricapotenziale magnetico

corrente di probabilitaecc.

variabili energetichelavoro, calore

energia potenzialeenergia cineticaenergia internaenergia libera

energia elettrom.potenza

densita di energiavettore di Poynting

funzione di Lagrangefunzione di Hamilton

azioneecc.6

-


• sono associate ai punti:

la temperatura T [P]il potenziale elettrico V [P]il potenziale gravitazionale Vg[P]lo spostamento ~u[P] di un punto.

• sono associate alle linee:

il lavoro di una forza lungo una linea W [L];la tensione elettrica lungo una linea U [L]

la tensione magnetica Fm[L];l’allungamento di un segmento ∆L[L].

• sono associati alle superfici:

il flusso magnetico Φ[S];il flusso elettrico Ψ [S];il calore attraverso una superficie Q[S];il flusso di carica elettrica Q[S].

• sono associate ai volumi:

la massa M [V] contenuta in un volume;la carica elettrica Q[V] contenuta in un volume;

la quantita di moto ~P [V] entro un volume

la forza di volume ~F [V].

Si veda la tavola (III).Per indicare la associazione di queste grandezze agli elementi spaziali abbiamo

posto l’elemento stesso entro parentesi quadra. Questa notazione ha il pregio diessere in armonia con la notazione che usa la parentesi tonda per indicare le comunifunzioni di punto. Ad esempio

M [V] =∫

Vρ(P) dV Φ[S] =

∫S

~B(P) · d ~S W [L] =∫

L

~F (P) · d ~L (6.2) HV5F

Mentre le grandezze ρ(P), ~B(P), ~F (P) sono delle funzioni del punto, le grandezzecorrispondenti M [V], V [S],W [L] sono delle funzioni di dominio. Queste ultime va-riabili, ottenute per integrazione delle funzioni di punto su un dominio tridimensiona-le (V), bidimensionale (S) e unidimensionale (L), si chiamano solitamente grandezzeintegrali o grandezze globali . Noi useremo sistematicamente il termine grandezzeglobali.

Il fatto di preferire l’espressione variabile globale in luogo di variabile integralerisiede nella constatazione che in laboratorio si misurano principalmente variabili glo-bali e che quelle locali si deducono per formazione della relativa densita. Cosı nellameccanica dei solidi si misura l’allungamento di un segmento mediante un estensi-

metro e successivamente si valuta l’allungamento unitario εdef= ∆L/L. Nell’elettro-

magnetismo si misurano correnti, flussi e tensioni che sono grandezze globali nellospazio: successivamente si valutano le corrispondenti densita ρ, ~J, ~B, ~D, ~E, ~H.


Questa naturale associazione delle variabili globali agli elementi spaziali e comune-mente sottintesa: noi intendiamo metterla in evidenza e farne oggetto di una accurataanalisi in quanto essa si rivelera preziosa per ottenere una razionale classificazionedelle variabili fisiche e delle equazioni che le legano.♣

Presentando le grandezze e le equazioni dell’elettrostatica in questo modo ci siaccorge che alcuni teoremi scendono al rango di semplici definizioni. Cosı il “teoremadi Coulomb” secondo il quale sulla superficie di un conduttore D = σ (FM, v.6, p.63)diviene la definizione stessa si D!

Analogamente il “teorema di Gauss” e immediata conseguenza della legge diinduzione elettrostatica e della definizione di ~D.

Alcuni autori definiscono il flusso elettrico Ψ mediante la formula (??). Nelladescrizione che abbiamo dato, al contrario, il flusso Ψ e una quantita che si misura ela relazione (??) e conseguenza immediata della definizione di D.♣

La legge di induzione elettrostatica di Faraday, vale anche per superfici chiu-se che stanno a cavallo di materiali diversi. Al contrario il vettore ~D subisce unadiscontinuita nel passare da un mezzo ad un altro.

Analogamente l’affermazione che la tensione elettrica lungo una generica lineachiusa e nulla vale anche se la linea attraversa materiali diversi. Al contrario ilvettore ~E subisce una discontinuita nel passaggio tra due materiali diversi. Quindi ilpregio della formulazione globale delle due leggi dell’elettrostatica sta nel fatto che

1. sono valide anche se le superfici chiuse e le linee chiuse passano attraversomateriali diversi;

2. sono valide sia se le cariche sono distribuite sia se sono concentrate.

♣

6.4.1 La proprieta addittiva

Ci proponiamo di mostrare che le variabili globali soddisfano, per definizione, laproprieta addittiva sui relativi elementi spaziali. Consideriamo della materia chefluisce attraverso una superficie S. Se dividiamo la superficie in tanti pezzi Sk lamateria che fluisce su tutta la superficie e la somma di quelle che fluiscono sui singolipezzi. In formule

se S =⋃k

Sk ne viene Q[S] =∑k

Q[Sk]. (6.3)IECR

E evidente che tale addittivita, che solitamente diamo per scontata per il solo fattoche eseguiamo delle integrazioni sulle superfici, sussiste per tutti i flussi, non solo per


quelli di materia. Infatti la stessa cosa vale per il flusso di energia, di carica elettrica,di entropia, ecc.

Consideriamo ora una grandezza fisica globale associata alle linee. Tale e, adesempio il lavoro W di una forza lungo una linea L in un campo di forze. Anche quila grandezza e addittiva. Questo significa che dividendo la linea in tanti pezzi Lk valela proprieta

se L =⋃k

Lk ne viene W [L] =∑k

W [Lk]. (6.4) MCU5V

Anche questa proprieta vale, evidentemente, per tutte le grandezze globali associatealle linee. Consideriamo ad esempio il dislivello tra due punti di una strada in mon-tagna: se d1 e d2 sono i dislivelli relativi ai tratti di strada L1 ed L2 evidentemente ildislivello relativo ai due tratti e d1 + d2.

Consideriamo infine una grandezza globale associata ai volumi, quale la massaM contenuta entro un volume. Se dividiamo il volume V in tanti pezzi Vk vale laproprieta

se V =⋃k

Vk ne viene M [V] =∑k

M [Vk]. (6.5) MCO5V

Questa e la tradizionale proprieta addittiva che presentano le grandezze estensive usa-te nella termodinamica. Fra queste ricordiamo la il contenuto di carica, il contenutodi entropia, il contenuto di energia, il contenuto di quantita di moto.

Vale la pena di osservare che questa addittivita vale se i pezzi degli elementigeometrici non si sovrappongono, ovvero se sono disgiunti. In simboli

L1 ∩ L2 ∩ ... ∩ Ln = ∅ S1 ∩ S2 ∩ ... ∩ Sn = ∅ V1 ∩V2 ∩ ... ∩Vn = ∅ (6.6) P7V56Quindi la addittivita e una proprieta generale delle grandezze globali associate ad

elementi spaziali dotati di estensione.

6.4.2 Le densita di linea, di superficie e di volume

Dalle grandezze globali si formano le grandezze densitarie dividendole per l’estensionedell’elemento geometrico al quale sono associate. Si ottengono cosı le densita mediedi linea, di superficie o di volume. Le grandezze densitarie, brevemente chiamatedensita, sono funzioni del posto.

Cosı la densita di massa, la densita di carica, la densita di entropia, la densita diquantita di moto sono funzioni del posto. Si puo precisare meglio questa dipendenzaosservando che il semplice rapporto tra la massa ed il volume e una densita mediae, come tale, eredita una associazione ai volumi. Solo quando si fa il limite di talerapporto facendo contrarre il volume ad un punto la densita diventa funzione delpunto. Per le densita di volume avremo

〈ρ〉 def=M [V]

Vda cui ρ

def= lim

V→0

M [V]

V(6.7) GC6F


In modo simile, considerato un elemento di superficie piana di normale ~n definiremoimplicitamente il vettore induzione magnetica ~B mediante la formula

Φ[S]def= 〈 ~B〉 · ~S da cui Bn

def= lim

S→0

Φ[S]

Sn(6.8)HC45D

ed infine, indicato con ~t il versore tangente ad un elemento di linea retta ~L

W [L]def= 〈~F〉 · ~L da cui Ft

def= lim

L→0

W[L]

L(6.9)HC5D

Per il fatto che le grandezze densitarie sono ottenute da quelle globali, sara natura-le tener conto della dipendenza indiretta che le densita hanno con l’elemento spazialeal quale sono associate le rispettive grandezze globali. Si potrebbe chiamare questa“dipendenza ereditaria”. Per le grandezze densitarie useremo le due espressioni

• diremo che e associata ad un elemento spaziale per intendere che la grandezzaglobale corrispondente e associata a quell’elemento spaziale.

• diremo che e funzione del punto per intendere che dipende dal punto.

Con questo criteriola densita di carica elettrica diremo che e associata al volume ma che e funzione

del punto;la pressione diremo che e associata alla superficie ma che e funzione del punto;

il vettore campo elettrico ~E e associato alle linee ma e funzione del punto.3

Esempi di variabili globali nello spazio e nel tempo sono riportati nella tavola (III).

OSSERVAZIONE. E opportuno dire subito, a scanso di equivoci, che questa associa-zione non riguarda tutte le variabili fisiche; che i criteri di associazione non sono sempreevidenti e che per alcune grandezze vi sono ambiguita nell’associazione.

Queste ambiguita sono quasi sempre riconducibili ad una ambiguita nella denominazionedi una grandezza che non e completamente specificata da un solo termine o al fatto chel’associazione e relativa al “punto di vista”, quali il punto di vista lagrangiano o euleriano.

Poniamoci la domanda: a quale elemento spaziale e associata una forza? Vi sono forzedi volume, quali e il peso e la forza d’inerzia che sono associate ai volumi, come e ovvio;vi sono forze di superficie, quali la spinta che un corpo riceve quando e immerso in unfluido, che sono associate alle superfici. In un campo di forze queste sono associate alle lineecome conseguenza del fatto che esse danno luogo a circolazioni del vettore lungo una linea equindi a tensioni: tipica e la forza agente su una particella carica che da luogo alla tensioneelettrica, grandezza associata alla linea.

6.5. ASSOCIAZIONE AGLI ELEMENTI SPAZIALI 89

6.5 Associazione agli elementi spaziali

Riguardo le grandezze fisiche si parla delle dimensioni delle grandezze, della loronatura matematica, scalari, vettori, tensori; del fatto che siano vettori assiali o polari;dell’essere costanti fisiche o variabili fisiche. Raramente si parla della distinzione tragrandezze globali e loro densita. Raramente si distinguono le variabili nelle tre classi:variabili di configurazione, di sorgente ed energetiche. Conseguenza di questa mancatadistinzione e il fatto che non sia stato messo in evidenza il fatto fondamentale che

le variabili globali di ogni teoria fisica sono associate ad un oggetto geo-metrico.

Le grandezze fisiche globali dell’elettromagnetismo che sappiamo misurare sonosei:

source config sourcebehaviour in the medium dependent independent

grandezze globali: Qc Qf U Φ Ψ Um

discreto | | | | | |densita e tassi (medi): 〈ρ〉 i U σ Um

densita e tassi: ρ i U σ Fal limite ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓

grandezze di campo: ρ J ~E ~B ~D ~H

(6.10) M832

Tavola III: The global variables of electromagnetism to be used in finiteformulation and corresponding field functions of differential formulation. global

finite formulation differential formulationelectric charge content Qc → ρ electric charge density

electric charge flow Qf → j electric current densityvoltage impulse U → ~E electric field strength

magnetic voltage impulse Um → ~H magnetic field strengthmagnetic flux Φ → ~B magnetic induction

electric flux Ψ → ~D electric displacement

Notiamo che le grandezze globali dell’elettromagnetismo sono di tipo scalare e chei vettori nascono come conseguenza della associazione delle grandezze globali a lineee superfici e sono richieste dalla formulazione differenziale. Quindi la formulazionediscreta dell’elettromagnetismo utilizza solo grandezze scalari .


Se facciamo attenzione alla definizione operativa che abbiamo dato constateremoche le grandezze globali sono associate agli elementi geometrici fondamentali, tali sonoi punti, le linee, le superfici ed i volumi, alcuni dotati di orientazione interna, altri diorientazione esterna.

Per renderci meglio conto di questa associazione consideriamo una regione di spa-zio entro la quale ha sede un campo elettrico. Ci sara comodo introdurre una com-plesso di celle, ad esempio formato di parallelepipedi, come indicato in figura (6.1), inquanto esso ci consente di evidenziare gli elementi fondamentali dello spazio. Questisono i punti (P) che si identificano con i vertici delle celle; le linee (L) che si identi-ficano con gli spigoli; le superfici (S) che si identificano con le facce ed i volumi (V)che si identificano con le celle.

Indichiamo con Qc la carica contenuta in una cella e con Ψ il flusso elettricorelativo ad una faccia con orientazione esterna. Il fatto stesso che si usi il termine“contenuto” indica che e stato definito un interno ed un esterno: questo indica cheil volume e orientato con le normali uscenti o entranti. Dovendo ora considerare ilpotenziale elettrico e naturale associarlo ai punti “centrali” delle celle, ad esempioai loro baricentri. Ne viene che la tensione elettrica e associata alle congiungenti ibaricentri. Si delinea in tal modo un secondo complesso di celle, che ha come verticii “centri” delle celle.

Questo secondo complesso lo chiameremo primale mentre il complesso di partenzaverra chiamato duale.

Si vede cosı che le quattro grandezze globali dell’elettrostatica, rispettivamente ipotenziale V , la differenza di potenziale U , il flusso elettrico Ψ e la carica contenutaQc hanno un naturale referente geometrico. Due grandezze sono riferite agli elementigeometrici di un complesso, altre due a quelli di un complesso duale.

Consideriamo ora una regione di spazio entro la quale ha sede un campo magnetico.Introdotti due complessi di celle duali l’uno dell’altro, indichiamo con Gc la caricamagnetica contenuta in una cella (nulla) e con Φ il flusso magnetico relativo ad unafaccia.

Dovendo ora considerare il potenziale magnetico θ e naturale associarlo ai verticidelle celle duali. Ne viene che la differenza di potenziale magnetico, ovvero la tensionemagnetica Fm e associata ai lati del complesso duale.

Si vede cosı che le quattro grandezze globali della magnetostatica, rispettivamenteil potenziale magnetico θ, la differenza di potenziale Fm, il flusso magnetico Φ e lacarica magnetica contenuta Gc hanno un naturale referente geometrico.

Due grandezze sono riferite agli elementi geometrici di un complesso, altre due aquelli di un complesso duale. Una analisi parallela consente di mettere in evidenzal’associazione delle grandezze globali agli elementi del tempo.


electric field

magnetic field

The electric potential ϕrefers to the points

of the primal complex

The electric voltage Vrefers to the lines


The magnetic flux Φrefers to the surfaces


The magnetic charge content Grefers to the volumes


The electric charge content Qrefers to the volumesof the dual complex

The electric flux Ψrefers to the surfacesof the dual complex

The magnetic potential θrefers to the pointsof the dual complex

The magnetic voltage Frefers to the linesof the dual complex

Figura 6.1: Gli elementi geometrici a cui sono associate le grandezze globalidell’elettromagnetismo.analogies1

6.5.1 Associazione agli elementi temporali

Finora abbiamo considerato complessi di celle nello spazio. Ora consideriamo uncomplesso di celle nel tempo.

Consideriamo l’asse dei tempi e dividiamolo in tanti piccoli intervalli come indicatoin figura (IV)

Tavola IV: A time cell complex and its dual. Z669

- tprimal

- - - - -tn−1 tn tn+1

τn τn+1

dual tn tn+1

τn

- -

-

Gli istanti primali sono orientati come pozzi, come avviene per i punti dello spazio.Questo e conseguenza della convenzione che vuole che l’incremento di una funzione

sia definito come ∆tdef= +f(t + τ) − f(t). In questa espressione i segni ”+” e ”-”

si possono considerare come i numeri di incidenza +1 e -1 tra l’intervallo τ e i due

istanti t e t+ τ , ovvero ∆tdef= (+1) f(t+ τ) + (−1) f(t).

Gli intervalli primari, indicati con ..., τn, τn+1, ..., sono dotati di orientazione inter-na, vale a dire sono orientati nel senso degli istanti crescenti ..., tn−1, tn, tn+1, ....

Gli istanti duali ..., tn, tn+1, ... sono dotati di orientazione esterna, vale a dire hannola stessa orientazione degli intervalli primali.


Gli intervalli duali ..., τn, τn+1, ... sono dotati di orientazione esterna, che e, perdefinizione, l’orientazione interna degli istanti primali.

L’inversione temporale e null’altro che l’inversione dell’orientazione interna degliintervalli del complesso primale e coincide, per definizione, con l’inversione dell’orien-tazione degli istanti duali. Ne viene che se una grandezza e associata agli intervallidel primale o agli istanti del duale essa cambia segno per inversione temporale e, vi-ceversa, se una grandezza e associata agli intervalli del duale o agli istanti del primaleessa non cambia segno per inversione temporale.

E evidente che la carica elettrica contenuta sia riferita agli istanti di tempo mentrequella fluente sia riferita agli intervalli: rimane ora da stabilire se istanti ed intervallisono del complesso primale o duale. Dal momento che la carica contenuta e riferitaai volumi del complesso duale dotati di orientazione esterna e naturale, per coerenzacon la descrizione relativistica, che anche gli istanti siano quelli del complesso duale.Quindi scriveremo Qc(I, V). Ne viene che il flusso di carica e riferito agli intervallidel duale: Qf(T, S). Dal momento che il flusso elettrico e la carica riferita ad unasuperficie con orientazione esterna ne viene che pure esso e riferito agli istanti delduale: Ψ(I, S). L’impulso di tensione magnetica e, per definizione, l’opposto delflussodi carica che passa nella bobina compensatrice in un dato intervallo di tempo e quindianch’esso e associato all’intervallo duale: Um(T, L).

Le variabili di configurazione sono tutte riferite agli elementi geometrici del com-plesso primale dotati di orientazione interna. Per coerenza con la descrizione relativi-stica esse sono riferite agli elementi cronometrici del complesso primale dell’asse deitempi. In sintesi

Qc(I, V) Qf(T, S) Ψ(I, S) Um(T, L) U(T,L) Φ(I,S) (6.11)J215

La associazione delle variabili globali dell’elettromagnetismo agli elementi tempo-rali e riassunta in Fig.2.6.

Associazione agli elementi geometrici.Abbiamo cosı introdotto le quattro grandezze

V(P) U(L) Ψ(S) Q(V)che sono rispettivamente riferite ai punti, alle linee, elle superfici ed ai volumi.

Mentre il potenziale V(P ) e una funzione di punto (comunemente si dice funzione dicampo) le tre grandezze U, Ψ,Q sono associate ad elementi geometrici dotati di esten-sione e quindi si chiamano funzioni di insieme. Queste tre grandezze sono grandezzeglobali. Comunemente si dice grandezze integrali perche si pensano ottenute perintegrazione di funzioni di campo. Il fatto di riprenderle come integrali ne sminuisceil valore in quanto esse sono grandezze direttamente misurabili .

Orientazione. Soffermiamoci sugli elementi geometrici che servono come referen-ti delle quattro grandezze V , U, Ψ, V♣. Osserviamo che la tensione elettrica definitamediante la (??) esige un senso di percorso lungo la linea L e che, invertendo tale


senso di percorso, la tensione cambia segno. Una linea con un senso di percorso si dicedotata di orientazione interna. Indicata con L una linea dotata di orientazione inter-na indicheremo con −L la medesima linea con orientazione opposta. Il cambiamentodi segno si puo esprimere dicendo che

U(−L) = −U(L). (6.12) S50E questa una condizione di disparita (oddness condition). Si noti che questa

condizione riflette il fatto sperimentale che invertendo i terminali di un voltmetro siinverte il segno della tensione (e della corrente).

Il potenziale elettrico V(P ), calcolato mediante la (??), e calcolato orientando lalinea da un prefissato punto P0 al generico punto P . Dal momento che la linea arrivain P , ovvero “entra” in P , possiamo dire che il punto P e orientato come un pozzo.Un punto e orientato come pozzo se le linee che vi giungono sono considerate positivee quindi quelle che lo abbandonano sono considerate negative. [teorie dei circuiti].

Se avessimo definito il potenziale con una formula

V(P ) =∫ P0

P

~E(Q) · d ~L. (6.13) S51

In luogo di V(P ) possiamo convenire di scrivere V(−P ). Scriveremo allora

V(−P ) = −V(P ). (6.14) S52E questa la condizione di disparita del potenziale elettrico.Esaminiamo il flusso elettrico Ψ [S]. Una superficie puo essere dotata di due tipi

di orientazione

1. orientazione interna

2. orientazione esterna

Si noti che ogni tipo di orientazione ha due determinazioni (le frecce diritte o curvepossono invertirsi).

Anche una linea ha due tipi di orientazione:



Mentre la tensione elettrica richiede l’orientazione interna della linea, il flussoelettrico richiede l’orientazione esterna della superficie. Se cambiamo l’orientazioneesterna di una superficie cambiano la faccia che consideriamo positiva e quindi cam-biano il segno del flusso elettrico (si pensi alla superficie conduttrice sulla quale sidepositano per induzione cariche opposte sulle due facce).


Indichiamo con S una superficie dotata di orientazione esterna avremo

Ψ(−S) = −Ψ(S) (6.15) S53

che e la condizione di disparita del flusso elettrico.Anche la carica elettrica “contenuta” entro un volume V necessita della orienta-

zione esterna dei volumi. Infatti anche il volume puo essere dotato di due orientazioni



Si noti che la locuzione orientazione esterna per un volume indica quella di at-traversamento della sua superficie di bordo, non il fatto che le facce siano uscenti(possono essere anche entranti).

Se in un volume V vi e una carica Q nello spazio esterno vi e la carica −Q.Invertendo l’orientazione esterna V→ −V il −V indica la regione complementare

a V e quindi

Q(−V ) = −Q(V ) (6.16)S54

che e la condizione di disparita della carica elettrica.Uno schema di classificazione E opportuno farne una classificazione dei due

tipi di orientazione di un “oggetto geometrico” quale il punto, la linea, la superficieed il volume. Questa classificazione degli elementi geometrici orientati comporta unaclassificazione delle grandezze elettriche ad essi associate. Le leggi della elettrostatica

Figura 6.2: didanum

possono riassumersi nella forma seguente:

1. Ψ [∂V ]law= Q[V ]

2. V [∂S]law= 0

3. ~Dlaw= ~D( ~E)


Ψ [∂V ] = Q[V ] →∫∂V

~D · d ~S =∫Vρ dV → div ~D = ρ

U [∂S] = 0 →∫∂S

~E · d ~L = 0 → rot ~E = 0

. (6.17)S55

Questo diagramma ha il suo corrispondente nella formulazione differenziale.♣

L’analogo della carica “puntiforme” dell’elettrostatica e il filo rettilineo “indefini-to” della magnetostatica.

La presentazione dell’elettrostatica che abbiamo fatto, parte con l’introduzione delflusso elettrico Ψ e quindi del vettore induzione ~D. In un secondo tempo si introduceil vettore ~E ed in un terzo tempo si introduce la relazione costitutiva tra ~D ed ~E.

In modo analogo la presentazione che faremo della magnetostatica parte dall’in-troduzione della tensione magnetica [o forza magnetomotrice] e quindi del vettore ~H.

Successivamente viene introdotto il flusso magnetico V ed il vettore ~B. In un terzotempo si introduce l’equazione costitutiva ~B = ~B( ~H).

Questa presentazione contrasta con quella tradizionale che presenta prima ~E epoi ~D e prima ~B e poi ~H.

magnetic tension

electric tension

magnetic flux

electric flux

electric current

primal cell complexinner orientation

dual cell complexouter orientation

sα

lβ

sβ

lαsγ

Fα

Ψβ

Vβ

Φα

Iβ

electric charge Qh

vhpk

Figura 6.3: Associazione delle grandezze globali dell’elettromagnetismo alle celledi un complesso e del suo duale. formag


♣Fra le variabili dell’elettromagnetismo spiccano per importanza quelle globali.

Esse sono le 6 seguenti:

il contenuto di carica (charge content) Qc I, V

il flusso di carica (charge flow) Qf T, Sil flusso magnetico (magnetic flux) Φ I,S

il flusso elettrico (electric flux) Ψ I, Sl’impulso di tensione elettrica (voltage impulse) U T,L

l’impulso di tensione magnetica (magnetic voltage impulse) Um T, L

La loro importanza nasce dalle seguenti constatazioni:

• sono direttamente misurabili;

• sono associate agli oggetti spaziali e temporali;

• a causa di questa associazione da esse nascono le densita e i tassi;

• sono coinvolte direttamente nelle leggi del campo;

Infatti dalle variabili associate agli istanti nascono le densita

Qc[V, I] =∫

Vρ dV

Φ[S, I] =∫

S

~B · d~S

Ψ [S, I] =∫

S

~D · d~S

(6.18)LS6D

da quelle associate agli intervalli di tempo nascono sia i tassi che le densita:

Qf [S, T] =∫

TI dt =

∫S

∫T

~J · d~S dt

U [L,T] =∫

TU dt =

∫L

∫T

~E · ~L dt

Um[L, T] =∫

TUm dt =

∫L

∫T

~H · ~L dt

(6.19)LS4D

♣

Capitolo 7

Analisi delle equazioni fisiche

equazioniI libri di fisica e quelli di tecnica sono pieni di formule: se ne scrivono tan-te, spesso se ne scrivono troppe. Siamo tutti consapevoli che mescolando po-che equazioni in modi diversi se ne possono ottenere molte altre e spesso cidivertiamo a moltiplicarle dimenticando che il lettore sara frastornato dalletroppe formule. In un mare di formule c’e il naufragio dei concetti! Raramen-te ci fermiamo ad esaminare i diversi tipi di equazioni, a vedere come sonocomposte, qualine sono gli elementi costitutivi. Parliamo di “equazioni fonda-mentali”, di “equazioni di campo”, di “equazioni costitutive”, di “equazioni dibilancio”, di “equazioni circuitali”, di “equazioni d’interazione”, di “equazionidi definizione”, ecc., quasi sempre senza darne una definizione.

Le equazioni presenti in ogni teoria fisica sono il risultato della composizione diequazioni appartenenti ai tre tipi seguenti

• equazioni di struttura, dette anche equazioni di campo;

• equazioni costitutive dette anche equazioni materiali o fenomenologiche, tal-volta equazioni di stato oequazioni di comportamento.

• equazioni di equazioni di definizione, che servono a definire le densita, i tassi,le grandezze energetiche, ecc.

Componendo fra loro equazioni di questi tre tipi si ottengono le equazioni fon-damentali che legano le sorgenti del campo con i corrispondenti potenziali delcampo.

7.1 Equazioni di struttura

Le equazioni di struttura sono quelle equazioni che legano fra loro le variabili di confi-gurazione e quelle che legano fra loro le variabili di sorgente. Quindi sono le equazioni

97

98 CAPITOLO 7. ANALISI DELLE EQUAZIONI FISICHE

che legano fra loro le variabili fisiche associate alle celle di uno stesso complesso. Essesono:

• le equazioni di bilancio che utilizzano un volume V ed il suo bordo ∂V oppureV e ∂V ;

• le equazioni circuitali che utilizzano una superficie S ed il suo bordo ∂S oppureS e ∂S;

• le differenze spaziali che utilizzano una linea L ed i suoi due estremi ∂L oppureL e ∂L ;

• le differenze temporali che legano un intervallo T con i suoi istanti estremi ∂Toppure T e ∂T.

E una caratteristica delle equazioni di struttura di riferirsi ad una varieta p-dimensionaleed al suo bordo di dimensione(p−1). Con riferimento alla Fig ?? le equazioni di strut-tura connettono le grandezze contenute in una colonna con quelle della stessa colonna.Esse hanno alcuni aspetti comuni:

1. coinvolgono i quattro elementi spaziali P,L,S,V ed i due elementi temporaliI,T nonche le loro combinazioni. Si tratta di 4×2 = 8 elementi. Tenuto contoche ciascuno di questi elementi possiede due orientazioni, interna o esterna, visono in totale 8×2 = 16 elementi.

2. esse valgono qualunque sia la forma e l’estensione degli elementi spazio-temporalicoinvolti: in questo senso esse sono equazioni topologiche;

3. sono indipendenti da proprieta metriche vale a dire non utilizzano la nozione dilunghezza, area, volume (nel senso di estensione di una regione) e di durata.

4. non coinvolgono parametri materiali;

Per queste ragioni esse verranno chiamate equazioni di struttura.

Il punto (2) implica che le equazioni di struttura siano valide sia in un contestofinito che in uno infinitesimo. Per esempio l’equilibrio si puo applicare ad un atomoin un reticolo cristallino (10−10m) cosı come ad una nave (102m) alla fonda: in questocaso la somma delle forze di superficie e di quelle di volume deve essere nulla.

Questo implica che non sono le equazioni differenziali le responsabili della formu-lazione differenziale delle leggi fisiche.

Useremo i seguenti simboli per le grandezze globali:

7.1. EQUAZIONI DI STRUTTURA 99

Qc[V, I] la carica elettrica contenuta in un volume V ad un istante I;

Qf [S, T] la carica fluita attraverso la superficie S durante l’intervallo T

Ψ [S, I] il flusso elettrico sulla superficie S all’istante I;

Um[L, T] l’impulso di tensione magnetica lungo la linea L nell’intervallo TU [L,T] l’impulso di tensione elettrica lungo la linea L nell’intervallo TΦ[S, I] il flusso magnetico relativo alla superficie S ad un istante I

Tavola I: Le grandezze elettromagnetiche JH54

variabili di sorgente variabili di configurazione

globali Qc[V, I] Qf [S, T] Um[L, T] Ψ [S, I] U [L,T] Φ[S, I]

tassi I[S, T] F [L, T] U [L, I]

densita ρ(~r, t) ~j(~r, t) ~H(~r, t) ~D(~r, t) ~E(~r, t) ~B(~r, t)

Le grandezze globali sono solitamente chiamate grandezze integrali . Le grandezzedell’ultima riga sono funzioni di campo, scalari e vettoriali.

7.1.1 Legge di conservazione della carica.

l’incremento della carica contenuta entro un volume durante un intervallodi tempo e opposto alla carica uscita dal bordo del volume durante ilmedesimo intervallo.

Qc[V, I+]−Qc[V, I−] +Qf [∂V, T] = 0 (7.1) 56

Per arrivare alla formulazione differenziale si dividono i due membri per la durata Tdell’intervallo T quindi si effettua un passaggio al limite:

Qc[V, I+]−Qc[V, I−]T

+ I[∂V, I] = 0 (7.2) 31

ddt

∫Vρ(~r, t) dV +

∫∂V

~j(~r, t) · d~S = 0 (7.3) 45∫V∂tρ(~r, t) dV +

∫V∇ ·~j(~r, t) dV = 0 (7.4) 24

dovendo valere per qualunque volume dovra essere


Tavola II: Le grandezze fondamentali dell’elettromagnetismo. Le varia-bili in grassetto denotano le grandezze globali. [dire di Maxwell che fa lastessa cosa]♣ HG5Z

~E campo elettrico

U tensione elettrica U =∫

L

~E · d~L

U impulso di tensione elettrica U =∫

TU dt

~B induzione magnetica

Φ flusso magnetico Φ =∫

S

~B · d~S

~j densita di corrente

I corrente elettrica I =∫

S

~j · d~S

Qf flusso di carica Qf =∫

TI dt

ρ densita elettrica

Qc carica contenuta Qc =∫

Vρ dV

~H campo magnetico

Fm tensione magnetica Fm =∫

L

~H · d~L

Um impulso di tensione magnetica Um =∫

TFm dt

~D densita di flusso elettrico

Ψ flusso elettrico Ψ =∫

S

~D · d~S


∂t ρ(~r, t) +∇ ·~j(~r, t) = 0 (7.5) 29Gli esperimenti conducono alle seguenti quattro leggi del campo elettromagnetico.

7.1.2 Legge d’induzione elettrostatica.

Il flusso elettrico indotto sul bordo di un volume ad ogni istante e ugualealla carica contenuta nel volume a quell’istante.

Ψ [∂V, I] = Qc[V, I] (7.6) 66

Per passare alla formulazione differenziale scriviamo∫∂V

~D(~r, t) · d~S =∫

Vρ(~r, t) dV (7.7) 65∫

V∇ · ~D(~r, t) dV =

∫Vρ(~r, t) dV (7.8) 244

dovendo valere per qualunque volume dovra essere

∇ · ~D(~r, t) = ρ(~r, t) (7.9) 67

7.1.3 Legge dell’induzione elettromagnetica.

L’impulso della tensione elettrica lungo il bordo di una superficie duranteun intervallo e opposto alla variazione del flusso magnetico attraverso lasuperficie nell’intervallo.

Um[∂S,T] + Φ[S, I+]− Φ[S, I] = 0 (7.10) 76

Per ottenere la formulazione differenziale dividiamo per la durata T e passiamo al limiteottenendo

Fm[∂S, I] +ddtΦ[S, I] = 0 (7.11) 71∫

∂S

~E(~r, t) · d~L+ddt

∫S

~B(~r, t) · d~S = 0 (7.12) 72∫S∇× ~E(~r, t) d~S +

∫S∂t ~B(~r, t) · d~S = 0 (7.13) 73

dovendo valere per qualunque superficie dovra essere

∇× ~E(~r, t) + ∂t ~B(~r, t) = 0 (7.14) 724


7.1.4 Legge di conservazione del flusso magnetico.

Il flusso magnetico totale associato al bordo di un volume ad ogni istantee nullo.

Φ[∂V, I] = 0 (7.15)86

Per passare alla formulazione differenziale∫∂V

~B(~r, t) · d~S = 0 (7.16)85∫

V∇ · ~B(~r, t) dV = 0 (7.17)84

∇ · ~B(~r, t) = 0 (7.18)87

vouter orientationinner orientation

boundary ∂S

surface S

boundary ∂V

olumeV

boundary ∂S

surface S

boundary∂V

volume V

Figura 7.1: Le quattro varieta alle quali fanno riferimento le leggi del campoelettromagnetico.G787

7.1.5 Legge di Maxwell-Ampere.

L’impulso della tensione magnetica lungo il bordo di una superficie du-rante un intervallo e uguale alla somma della variazione del flusso elettricoe del flusso di carica attraverso la superficie nell’intervallo.

Um[∂S, T] = Ψ [S, I+]− Ψ [S, I−] +Qf [S, T] (7.19)96

Dividendo per la durata T e passando al limite si ottiene

Fm[∂S, I] =ddtΨ [S, I] + I[S, I] (7.20)91


∫∂S

~H(~r, t) · d~L =ddt

∫S

~D(~r, t) · d~S +∫

S

~j(~r, t) · d~S (7.21)92 ∫S∇× ~H(~r, t) · d~S =

∫S∂t ~D(~r, t) · d~S +

∫S

~j(~r, t) · d~S (7.22)93

dovendo valere per qualunque superficie dovra essere

∇× ~H(~r, t) = ∂t ~D(~r, t) +~j(~r, t) (7.23) 94

L’analisi che abbiamo fatto delle grandezze fisiche dell’elettromagnetismo com-binata con i rudimenti della topologia algebrica ci consente ora una descrizionepuramente algebrica dell’elettromagnetismo.

Le quattro leggi del campo elettromagnetico possono esprimersi nella forma se-guente: Φ[I, ∂V] = 0

U [T, ∂S] + Φ[∂T,S] = 0

Ψ [I, ∂V] = Qc[I, V]

Um[T, ∂S] = Ψ [∂T, S] +Qf [T, S].(7.24) L253

A queste quattro si aggiunge la legge di conservazione della carica elettrica

Qf [T, ∂V] +Qc[∂T, V] = 0 (7.25) MT35

Questa scrittura e l’equivalente della forma integrale

∫∂V

~B · d~S = 0

∫T

∫∂S

~E · d~L dt+[∫

S

~B · d~S]T

0= 0

∫∂V

~D · d~S =∫

Vρ dV

∫T

∫∂S

~H · d~L dt−[∫

S

~D · dS]T

0=∫

T

∫S

~J · d~S dt

∫T

∫∂V

~J · d~S dt+[∫

Vρ dV

]T0

= 0.

(7.26) TZ8

These equations describe the “structure” of the field, i.e. they link physical va-riables of the same kind i.e. configuration variables with configuration variables andsource variables with source variables. They are valid in wathever media. For thisreason it is convenient to call them equations of structure.

The relations (7.24) relate global quantities of the same kind and do not involvemetrical notions: length, areas, measures of volumes and durations are not required.


It is for this reason that we shall call them topological equations [39, p.20]. Then theequations of structure are topological equations.

When equations (7.24) are applied to the cells of the two complexes, we obtain a“local” form of Maxwell’s equations in a discrete setting, i.e.

∑α

dhα Φα = 0∑β

cαβ Uβ + ∆t Φα = 0

∑α

dhα Ψα = Qch∑

β

cαβ Umβ − ∆t Ψα = Qfα

(7.27) K896

∑α

dhαQfα + ∆tQ

ch = 0 (7.28)TP3

The symbols ∆t and ∆t refer to time differences between the values of a quantityreferred to a primal and dual time cell complex as shown in Fig.(2.6):

∆tfdef= f(tn)− f(tn−1) backward difference

∆tgdef= g(tn+1)− g(tn) forward difference

(7.29)G882

Queste equazioni si prestano in modo naturale alla trattazione numerica del campoelettromagnetico. Come si vede in questa presentazione dell’elettromagnetismo legrandezze coinvolte nelle leggi sono le tensioni elettrica e magnetica e i flussi, elettricoe magnetico. Le tensioni ed i flussi sono quindi le grandezze piu naturali da usarenella risoluzione numerica di problemi elettromagnetici. In particolare le equazioni(7.27) si prestano bene per la risoluzione numerica.

©

7.1.6 Invarianza delle grandezze

Abbiamo introdotto le sei grandezze globali dell’elettromagnetismo senza fare ricorsoa nozioni metriche. Le linee, le superfici ed i volumi ai quali le diverse grandezze sonoriferite possono aver forma e dimensioni arbitrarie. In nessun caso si e dovuto farricorso a misure di lunghezze, aree o volumi: nessuna misura ha coinvolto la geometriadello spazio e pertanto le grandezze sono definite indipendentemente dalla metrica,sia essa quella euclidea dello spazio o quella pseudoeuclidea dello spazio-tempo. Neviene che queste grandezze sono invarianti rispetto a qualunque trasformazione dicoordinate, in particolare sono invarianti per trasformazioni di Galileo o conformi.


z

t

yx

z

t

yx

t

y

y

x

x

z

t

y

y

x

x

z

z z

xy

z

ϕ

Vx

x Vyy

Vz

zΦ

Φ ΦFy

y

y

y

Fz

z

z

z

Ψ

Ψ Ψ

Fx

x

x

x

Gauss’law

electric Gauss’law

Faraday’s law

Maxwell-Ampere’s law

TT

Tϑ

magneticQ

π

ππ

J

J

J

Figura 7.2: Space-time objects and global variables associated with them. Thepicture of the last row is a four-dimensional cube exploded.ipercubo8


7.2 Equazioni costitutive

Le equazioni che legano le variabili di sorgente con quelle di configurazione di unastessa teoria fisica prendono il nome di equazioni costitutive1. La tavola (I) mostra leprincipali equazioni costitutive della fisica.

Le equazioni costitutive hanno le seguenti proprieta caratteristiche:

1. legano le variabili di sorgente con quelle di configurazione;

2. dipendono dalla metrica in quanto coinvolgono nozioni di lunghezza, area, vo-lume e richiedono la nozione di perpendicolarita;

3. contengono costanti materiali e parametri del sistema;

4. sono sperimentate e quindi valide in regioni di uniformita del campo.

Mentre le equazioni di struttura hanno un carattere universale quelle costitutivehanno un carattere particolare: sono valide entro certi limiti, possono essere diverseper materiali diversi, ecc. 2.

7.2.1 Verso la formulazione differenziale

La nostra presentazione dell’elettromagnetismo ha preso come punto di partenza ladefinizione operativa delle 6 grandezze globali

Qflow Qcont U Fm Φ Ψ (7.30)L8F

l’enunciato delle 4+1 leggi del campo in forma discreta (globale) e delle 3 equazionicostitutive in forma discreta (locale).

Il nostro obiettivo attuale e quello di mostrare come partendo dalla formulazionediscreta si arriva a quella differenziale deducendo le corrispondenti grandezze locali

J ρ E B D H (7.31)HZ8

e le 4+1 leggi del campo in forma differenziale e le 3 equazioni costitutive in formaalgebrica.

Questo procedimento e l’opposto di quanto si fa normalmente: di solito si defini-scono le grandezze differenziali e si deducono le grandezze integrali.

tradizionale presentazione: variabili locali → variabili globaliattuale presentazione: variabili globali → variabili locali.

1 Si chiamano anche equazioni materiali o di stato o fenomenologiche.2 Una chiara distinzione tra i due tipi di equazioni si trova in Van Dantzig [?, p.86] che usava

il termine di equazioni di legame per le equazioni costitutive e di equazioni fondamentali per leequazioni di struttura.

7.2. EQUAZIONI COSTITUTIVE 107

L’abitudine alla scrittura diretta delle grandezze e delle leggi in forma differenzialenasconde il fatto che il passaggio alla formulazione differenziale avviene i tre tappe:

1. si considerano dapprima regioni in cui i campi elettrici e magnetici siano unifor-mi per definire le grandezze locali e per poter esprimere le 3 equazioni costitutivecome legame tra queste grandezze locali.

2. Si passa quindi a considerare regioni in cui i campi elettrici e magnetici sianoaffini per istituire gli operatori algebrici grad , rot e div che descrivono il processodi cobordo. Le equazioni costituive sperimentate in regioni di campo uniformesono valide anche in campi affini. Le equazioni del campo di Maxwell, per poterlegare le variabili di sorgente con quelle di configurazione hanno bisogno chei campi siano localmente affini (nei campi uniformi le sorgenti distribuite nonpossono esistere).

3. Infine si effettua il passaggio al limite considerando i campi affini come ap-prossimazioni del primo ordine dei campi generici. In questa fase gli operatorialgebrici grad , rot e div divengono operatori differenziali mentre le equazionicostitutive rimangono di tipo algebrico.

7.2.2 Campi uniformi

Per dedurre dalle grandezze globali le funzioni di campo occorre considerare regioni dispazio ove il campo possa considerarsi uniforme: infatti mostreremo che in una regionedi uniformita le grandezze globali dipendono linearmente dagli elementi geometriciai quali sono associate. Solitamente l’uniformita si enuncia dicendo che i vettori delcampo sono indipendenti dal punto. Questa definizione presuppone la nozione divettori di campo che finora non abbiamo introdotto.

Definizione. Diremo che un campo e uniforme quando le grandezze fisicheassociate agli elementi spaziali (punti, linee, superfici e volumi) sono invarianti pertraslazione dell’elemento spaziale al quale fanno riferimento.

La nozione di traslazione e di tipo affine e quindi non coinvolge il confronto dilunghezze e aree relative a giaciture diverse quindi non coinvolge la metrica.

Il campo elettrico uniforme si realizza nell’interno di un condensatore a faccepiane parallele e indefinite; il campo magnetico uniforme si realizza nell’interno di unsolenoide rettilineo indefinito e un flusso di corrente uniforme si realizza in una vascaelettrolitica con gli elettrodi a facce piane parallele indefinite.

Dal momento che in laboratorio non esiste nulla di “indefinito” si intende chei campi sono considerati uniformi relativamente alla sensibilita dello strumento dimisura. Questi ultimi sono caratterizzati da una precisione e sono comunementedivisi in classi di precisione. Sia manifesta qui la nozione di “tolleranza” che permeatutta la fisica oltre che la nostra vita di tutti i giorni. Questo indica che l’attributo


“indefinito” implica un processo di passaggio al limite e quindi di una idealizzazionedella realta. E’ in questo mondo ideale che vive la formulazione differenziale.

Se vogliamo una descrizione piu aderente alla realta dobbiamo introdurre la no-zione di “tolleranza”, e accontentarci di descrivere il mondo fisico con un prestabilitogrado di precisione. Questo non puo essere reso piccolo a piacere perche deve farei conti sia con gli strumenti di misura che con la natura discreta della materia edell’energia.

In conclusione: considerare un campo “uniforme” significa considerare una regionedi spazio Ω entro la quale le grandezze associate agli elementi spaziali mantengano lostesso valore relativamente ad una convenuta tolleranza.

7.3 Equazione fondamentale

7.3.1 Il campo

Con il termine campo si intende uno stato fisico dello spazio o della materia che vi econtenuta.

7.3.2 Le sorgenti del campo

Ogni campo ha delle sorgenti, cioe delle cause. Cosı

i generatori di calore sono le sorgenti del campo termico;le cariche elettriche in quiete sono le sorgenti del campo elettrico;le cariche elettriche in moto sono le sorgenti del campo elettromagnetico;le masse sono le sorgenti del campo gravitazionale;le forze su un corpo solido sono le sorgenti del campo delle deformazioni;le forze su un continuo fluido sono le sorgenti del campo delle velocita.

Le sorgenti possono essere concentrate in piccole regioni o in punti o distribuite inuna regione del dominio o in tutto il dominio. Sovente sono distribuite uniformementesu tutto il dominio (e il caso del peso). Se le sorgenti non variano nel tempo ne comeintensita ne come distribuzione spaziale, allora il campo da esse generato puo esserecostante oppure stazionario. In un simile campo le variazioni delle funzioni di camposono solo variazioni spaziali. Se le sorgenti invece variano con il tempo allora ancheil campo da esse generato e variabile nel tempo; le variazioni delle funzioni di camposono sia spaziali che temporali.

7.3. EQUAZIONE FONDAMENTALE 109

7.3.3 I potenziali del campo

La configurazione di un campo e descritta da una o piu funzioni del posto e del tempoalle quali si da il nome di potenziali del campo. Tali sono il potenziale elettrico,quello gravitazionale (usato in geodesia), la temperatura (potenziale termico), lo spo-stamento nella meccanica dei solidi, la velocita in quella dei fluidi, ecc. La tavola(III) mostra i potenziali e le sorgenti di diversi campi.

Tavola III: I potenziali e le sorgenti dei principali campi della fisicaclassica.FFF

campo potenziale sorgenteelettrico potenziale elettrico V carica elettrica Qgravitazionale potenziale gravitazionale V massa mtermico temperatura T generazione di calore P

elastico spostamento ~u forza ~F

fluidodinamico velocita ~v forza ~Fvelocita dilatazione volumica θ pressione ptemperatura T generazione di calore P

magnetico potenziale vettore magnetico ~A densita di corrente ~J

7.3.4 La legge del campo

Con questo termine si intende una relazione che lega (legge=lex=lega) gli attributidi uno o piu sistemi. Se gli attributi sono quantitativi si possono esprimere con dellegrandezze fisiche e allora la legge fisica e espressa da formule matematiche che leganotali grandezze, ovvero da equazioni.

7.3.5 Il problema fondamentale del campo

Il problema fondamentale dei campi e il seguente:

assegnata la regione in cui ha sede il campo;assegnata la natura del materiale che si trova nella regione;assegnate le sorgenti del campo;assegnate le condizioni sul contorno del campo;determinare la configurazione del campo.

Esempi:


campo elettrico: assegnata una regione di spazio, precisata la natura dei materialiche vi si trovano, assegnata la distribuzione delle cariche elettriche nella regione,precisate le condizioni al contorno della regione (pareti metalliche, dielettriche,vuoto, ecc.), determinare il potenziale elettrico in ogni punto della regione;

campo termico: assegnata una regione di spazio, precisata la natura dei materialiche vi si trovano, assegnata la distribuzione delle sorgenti di calore nella regione,precisate le condizioni al contorno della regione (isolanti, conduttori, fluidi,vuoto, ecc.), determinare la temperatura in ogni punto della regione. E’ questoun problema che si incontra nella fisica delle stelle, nella meteorologia, nellafluidodinamica, nella progettazione dei reattori nucleari, ecc.

campo elastico: considerato un corpo solido deformabile, assegnata la distribuzio-ne delle forze sul corpo e quelle agenti sul contorno, precisate le condizioni alcontorno della regione (appoggio, incastro, bordo libero, ecc.), determinare lospostamento in ogni punto del continuo;

campo fluido: assegnata una regione di spazio, precisata la natura dei materiali chevi si trovano, data la distribuzione delle forze agenti nella regione e quelle agentisul contorno, precisate le condizioni al contorno della regione (impermeabile,libero, ecc.) determinare la velocita in ogni punto del continuo;

campo elettromagnetico: assegnata una regione di spazio, precisata la natura deimateriali che vi si trovano, assegnata la distribuzione delle carichee delle cor-renti elettriche nella regione, precisate le condizioni al contorno della regione(pareti metalliche, dielettriche, vuoto, ecc.), determinare il potenziale elettricoe magnetico in ogni punto della regione.

campo gravitazionale: assegnata una regione di spazio, data la distribuzione dellemasse nella regione, precisate le condizioni al contorno della regione, deter-minare il potenziale gravitazionale in ogni punto della regione. E’ questo unproblema che s’incontra in geodesia.

7.3.6 L’equazione fondamentale

Questo problema e tipico di tutta la scienza: assegnate le cause, determinare glieffetti. Per risolvere il problema fondamentale, occorre mettere in relazione la causa(sorgente) e l’effetto (potenziale). La relazione e espressa da un’equazione chiamataequazioni fondamentale. Si veda lo schema (7.3).

Le equazioni di campo portano solitamente il nome di coloro che le hanno scoperte,come mostra la tavola (IV).


!?

causeeffetti

note

Φ potenziali S sorgenticampodel del campo

problema

fondamentale

fondamentaleequazione

incogniti

Figura 7.3: L’equazione fondamentale di un campo esprime il legame tra lasorgente del campo ed il suo potenziale.equazioniCampo

Tavola IV: Le equazioni fondamentali dei campi fisici portano il nomedei loro scopritori.autori

campo equazione ditermico Fourierelettromagnetico Maxwelldiffusione Fickfluidodinamico (per fluidi perfetti) Eulerofluidodinamico (per fluidi viscosi) Navier-Stokesacustico (in un fluido o in un solido) D’Alembertgravitazionale (classico) Poissongravitazionale (relativistico) Einsteinampiezza di probabilita (meccanica quantistica) Schrodingerdell’elettrone (meccanica quantistica relativistica) Dirac


A titolo esemplificativo abbiamo raccolto nella tavola (II) le piu comuni equazionidi campo scritte in forma di equazioni differenziali. Osserviamo che alcune equazioni,ad es. l’equazione di Poisson, appaiono in diversi campi fisici.

7.3.7 Il principio di sovrapposizione degli effetti

Consideriamo un generico fenomeno fisico. Individuiamo in esso un “causa” chechiameremo sorgente del fenomeno ed un “effetto” che chiameremo configurazionedel fenomeno.

La sorgente sara descritta da una variabile fisica che indicheremo con s, dall’inizialedel termine “sorgente”. L’effetto sara descritto da una variabile fisica che chiameremogenericamente “potenziale” e che indicheremo con la lettera V .

Tali variabili possono essere grandezze scalari o vettoriali, grandezze globali ofunzioni del posto.

Vi e una regola valida per tutte le teorie fisiche: se la sorgente e una grandezzascalare anche il potenziale e una grandezza scalare; se la sorgente e un vettore ancheil potenziale lo e.

Esempi. Nella conduzione termica le sorgenti di calore sono descritte dalla quantitadi calore erogato nell’unita di tempo ovvero da una grandezza scalare. Il corrispondente“potenziale termico” e la temperatura, che e una grandezza scalare.

Nell’elettrostatica la sorgente e la carica elettrica (scalare) ed il potenziale elettrico euno scalare.

Nella meccanica dei solidi deformabili la sorgente e una forza (vettore) ed il potenzialee lo spostamento (vettore).

Nel campo gravitazionale la sorgente e la massa (scalare) ed il potenziale gravitazionalee uno scalare.

Nel magnetismo posso prendere come variabile di sorgente il vettore densita di corrente~J e come potenziale il vettore ~A.

7.3.8 L’equazione fondamentale

La variabile di sorgente s e legata al potenziale V da una equazione: dal momento cheessa lega le due variabili fondamentali, descriventi la causa e l’effetto, a tale equazionesi da il nome di equazione fondamentale. Essa e esprimibile nella forma generale

N (V ) = s (7.32)Z05ove con N intendiamo un “operatore”, sia esso differenziale, integrale, algebrico, ecc.

Esempi. L’equazione fondamentale della meccanica della particella e

md2

dt2~r(t) = ~f(t). (7.33)Z06


Essa e una equazione lineare e le due variabili, quella di sorgente, ~f , e quella di configura-zione, ~r, sono entrambi vettori.

A velocita relativistiche l’equazione diventa nonlineare:

ddt

m0

d~r(t)dt√

1−(

dr(t)dt

)2

= ~f(t). (7.34) Z07

Nel campo elettrostatico l’equazione fondamentale e quella di Poisson

−ε0∆V(P) = ρ(P) (7.35) Z08

essendo ρ(P) la densita di carica e V(P) il potenziale elettrico. Entrambi sono grandezzescalari funzioni del posto.

7.3.9 Sorgente impressa e indotta

La sorgente del fenomeno puo essere impressa ovvero puo agire indipendentementedalla configurazione del sistema o indotta ovvero dipendente dalla configurazione delsistema. Scriveremo quindi l’equazione fondamentale nella forma

N (V ) = s imp + s indotta(V ). (7.36) Z09Esempio. Nel moto armonico forzato e smorzato agiscono tre forze

~f imp(t) ~f elastica = −k ~r(t) ~f elastica = −h d~r(t)dt

(7.37) Z10

per cui l’equazione fondamentale e

md2 ~r(t)

dt2= ~f imp(t)− k ~r(t)− h d~r(t)

dt. (7.38) Z11

Se la resistenza e quella aerodinamica si ha

~f aerod = −12ρ Cxs

(d~r(t)

dt

)2

(7.39) Z12

ovvero non e lineare.

Ricordiamo che un operatore L si dice lineare se soddisfa le due condizioni (λ eun generico numero reale)

L(λV ) = λL(V ) proprieta omogenea

L(V1 + V2) = L(V1) + L(V2) proprieta addittiva(7.40) Z13


che si possono riassumere nella unica forma

L(λV1 + µV2) = λL(V1) + µL(V2). (7.41) Z14

Ebbene vi sono diversi fenomeni fisici in cui l’operatore N nella equazione (7.36) elineare. Chiameremo queste equazioni intrinsecamente lineari . Al contrario vi sonodiversi casi in cui la sorgente indotta, cioe quella indotta dalla configurazione delsistema o del campo, sono funzioni nonlineari del potenziale.

Esempi. Le grandi oscillazioni pendolari sono descritte dall’equazione

IV(t) = −mgL sin V (t) (7.42)Z15

e intrinsecamente lineare ma ha una sorgente indotta nonlineare.

Le equazioni della fluidodinamica sono, invece, intrinsecamente nonlineari . In partico-lare lo sono quelle dei fluidi perfetti incomprimibili (equazione di Eulero)

ρ0∂ ~v

∂t+ ρ0

∂ ~v

∂xkvk = ~f −∇p. (7.43)Z16

7.3.10 Sovrapposizione degli effetti

In diversi fenomeni fisici si realizza la seguente circostanza: facendo agire contem-poraneamente due sorgenti, caratterizzate dalle variabili s1 ed s2, la configurazionerisultante e descritta dalla somma dei rispettivi potenziali V1 e V2. In simboli

s1 → V1 s2 → V2

λs1 → λV1

s1 + s2 → V1 + V2

. (7.44)ZZ5

Quando questo capita si dice che vale il principio di sovrapposizione degli effetti.Dimostriamo che quando vale il principio di sovrapposizione degli effetti l’equa-

zione fondamentale e lineare. Infatti essendo

L(V1) = s1 L(V2) = s2 (7.45)Z17

ne vieneL(λV1) = λs1

L(V1 + V2) = s1 + s2.(7.46)ZZ6

Viceversa la linearita dell’operatore comporta la validita del principio di sovrap-posizione degli effetti.


Quando l’equazione fondamentale e lineare allora l’applicazione contemporanea didue sorgenti ha come effetto la somma dei due effetti prodotti separatamente dalle duesorgenti. Quindi per equazioni lineari vale il principio di sovrapposizione degli effetti.

Esempi. L’elettromagnetismo e intrinsecamente lineare e quindi, in assenza di sorgentiindotte, vale il principio di sovrapposizione degli effetti. Considerando lo spostamento dicariche e correnti, ove questo puo avvenire, in funzione del campo da loro stesse creato,le sorgenti indotte dipendono in modo generalmente nonlineare dal potenziale e quindi, acausa di questo, non si puo applicare il principio di sovrapposizione degli effetti.

La linearita intrinseca dell’elettromagnetismo si manifesta, ad esempio, nel fatto chedue onde elettromagnetiche (ad esempio due raggi luminosi) che si intersecano nel vuotoproseguono il loro cammino senza alterazione. La non linearita indotta si manifesta inpresenza di certi materiali e da luogo, ad esempio, alla ottica nonlineare [Bloemberger].

La meccanica dei solidi deformabili e, al contrario, intrinsecamente nonlineare. E’ suf-ficiente fare l’esperimento indicato in Fig.(??). Un’asta di balsa (o una lama metallica)incastrata ad un estremo e soggetta ad una forza (la sorgente s) all’stremo libero. Rad-doppiando la forza non raddoppia lo spostamento (il “potenziale” V ). La proporzionalitaha luogo solo in modo approssimato se ci limitiamo a piccole forze che producono piccoledeformazioni.

Ecco la ragione per la quale nella scienza delle costruzioni ci si limita, generalmente,alle piccole deformazioni.

Figura 7.4: asta inflessa num

Capitolo 8

Tavole riassuntive

8.0.11 Il diagramma dell’elettrostatica

8.0.12 Il diagramma della magnetostatica

8.0.13 Il diagramma dell’elettromagnetismo

©

117

118 CAPITOLO 8. TAVOLE RIASSUNTIVE

Tavola I: Le due leggi del campo magnetico espresse in varie forme ZZ1

in forma globale (=valida per una regione finita)


il flusso magnetico la tensione magneticarelativo al bordo di un volume relativa al bordo di una superficie

e nullo e uguale alla intensita della correnteche attraversa la superficie.

Φ[bordo volume] = 0 Um[bordo superficie] = I[superficie]

Φ[∂V] = 0 Um[∂S] = I[S]

in forma integrale in forma integrale∫∂V

~B · d ~S = 0∫∂S

~H · d ~L =∫

S

~J · d ~S

in forma locale (=valida per una regione infinitesima)

a) nei punti di regolarita a) nei punti di regolarita

div ~B = 0 ∇ · ~B = 0 rot ~H = ~J ∇× ~H = ~J

in forma differenziale tensoriale in forma differenziale tensoriale

∇jBj = 0 εijk∇j ×Hk = J i

o anche (h < i < j) o anche (h < i < j)

∇jBij −∇ijBhj +∇jBhi = 0 ∇hHk −∇kHh = Jhk

in termini di distribuzioni e cobordo in termini di distribuzioni e cobordo

δΦ(2) = 0(3) δUm(1) = I(2)

con le forme differenziali esterne con le forme differenziali esterne

φ(2)def=

1

2!Bhkdx

k ∧ dxk i(2)def=

1

2!jhk dxk ∧ dxk um

(1) = Hkdxk

dφ(2) = 0 (forma pari) dum(1) = i(2) (forma dispari)

b) nei punti di discontinuita b) nei punti di discontinuitacondizioni di raccordo condizioni di raccordo

B−n = B+n H−t = H+

t + ~Kt~K=corrente superficiale

119

Tavola II: Le due leggi del campo elettrico espresse in varie forme ZZ2

in forma globale (=valida per una regione finita)


la tensione elettrica il flusso elettricorelativo al bordo di una superficie relativo al bordo di un volume

e nulla e uguale alla caricacontenuta nel volume.

U [bordo superficie] = 0 Ψ[bordo volume] = Q[volume]

U [∂S] = 0 Ψ[∂V] = Q[V]

in forma integrale in forma integrale∫∂S

~E · d ~L = 0∫∂V

~D · d ~S =∫

Vρ · dV

in forma locale (=valida per una regione infinitesima)

a) nei punti di regolarita a) nei punti di regolarita

rot ~E = 0 ∇× ~E = 0 div ~D = ρ ∇ · ~D = ρ

in forma differenziale tensoriale in forma differenziale tensoriale

εijk∇jEk = 0 ∇jDj = ρ

o anche (h < i < j) o anche (h < i < j)

∇hEk −∇kEh = 0 ∇hDij −∇iDhj +∇jDhi = ρ

in termini di distribuzioni e cobordo in termini di distribuzioni e cobordo

δU(1) = 0 δΨ(2) = Q(3)

con le forme differenziali esterne con le forme differenziali esterne

u(1) = Ek dxk ψ(2) =1

2!Dhkdx

k ∧ dxk q(3) =1

3!ρhij dxh ∧ dxi ∧ dxj

du(1) = 0 (forma pari) dψ(2) = q(3) (forma dispari)

b) nei punti di discontinuita b) nei punti di discontinuitacondizioni di raccordo condizioni di raccordo

E−t = E+t D−n = D+

n + σ


Tavola III: Natura vettoriale dei vettori dell’elettromagnetismo (~S e ilvettore di Poynting). HDO7


vettore di linea ~E, ~P ~H, ~Massociato a linee polare assiale

vettore di superficie ~B ~D, ~J, ~Sassociato a superfici assiale polare

Tavola IV: Le 6 formulazioni delle equazioni delle equazioni di strutturadel campo elettromagnetico: prima equazione dell’elettrostatica. MED6

discrete formulation continuous formulation

global formulation integral formulation

Ψ [∂V, I] = Qc[V, I] −→∫∂V

~D · d ~S =∫

Vρ dV

↓ ↓local formulation differential forms

(δ = coboundary operator) (d = exterior differential)

δΨ(2) = Q(3) −→ dψ(2) = q(3)

D+n = D−n + σ

↓ ↓local formulation differential equation∑α

dhαΨα = Qh −→ ∇ · ~D = ρ

D+n = D−n + σ

121

Tavola V: Le 6 formulazioni delle equazioni delle equazioni di strutturadel campo elettromagnetico: prima equazione della magnetostatica. MED7



Φ[∂V, I] = 0[V, I] −→∫∂V

~B · d ~S = 0



δΦ(2) = 0(3) −→ dφ(2) = 0

B+n = B−n

↓ ↓local formulation differential equation∑β

dkβΦβ = 0k −→∇ · ~B = 0B+n = B−n


Tavola VI: Le 6 formulazioni delle equazioni delle equazioni di strutturadel campo elettromagnetico: seconda equazione dell’elettromagnetismo. MED8



U [∂S,T] + Φ[S, ∂T] = 0 −→∫∂S

∫T

~E · d ~L dt+[∫

S

~B · d ~S]t2t1

= 0



δUm(1) + ∆tΦ(2) = 0(2) −→

du(1) + φ(2) = 0

E+t = E−t

↓ ↓local formulation differential equation

∑β

cαβ Uβ + ∆tΦα = 0α −→

∇× ~E +∂ ~B

∂t= 0

E+t = E−t

123

Tavola VII: Le 6 formulazioni delle equazioni delle equazioni di strutturadel campo elettromagnetico: prima equazione dell’elettromagnetismo. MED9



Um[∂S, T]− Ψ [S, ∂T] = Qf [S, T] −→∫∂S

∫T

~H · d ~L dt−[∫

S

~D · d ~S]t2t1

=∫

S

∫T

~J · d ~S dt



δUm(1) −∆tΨ(2) = Qf

(2) −→ dum

(1) − ψ(2) = i(2)

H+t = H−t +Kt

↓ ↓local formulation differential equation

∑β

cαβ Umβ −∆tΨα = Qf

α −→

∇× ~H − ∂ ~D

∂t= ~J

H+t = H−t +Kt


Tavola VIII: Formulazione differenziale dell’elettrostatica. EE58

variabili di configurazionecomplesso primale: orientazione interna

intervalli primali

variabili di sorgentecomplesso duale: orientazione esterna

istanti duali

V

~E

~k

λ

ρ

~D

~T

η

~E = −∇V

∇× ~E = ~k

∇ ·~k = λ

∇ · ~D = ρ

∇× ~T = ~D

~T = −∇η

~Dlaw= ε ~E

?

?

6

6

-?

6Campo elettrico

formulazione differenziale

dia electrost diff.tex

V potenziale elettrico

~E intensita del campo elettrico

~k densita di corrente magnetica

τ senza nome

ρ densita elettrica

~D induzione elettrica

~T senza nome

η senza nome

1TP

3TL

3TS

1TV

1IV

3IS

3IL

1IP

125

Tavola IX: Formulazione discreta dell’equazione di Poisson dell’elettro-statica. 125


intervalli primaliSI units: volt


istanti dualiSI units: coulomb

Vh

Uα

Gcβ

Qch

Ψα

Tβ

Uα = −∑h

gαh Vh

∑α

cβα Uα = 0

∑α

dhα Ψα = Qch

Ψα =∑β

cαβ Tβ

Ψαlaw= ε

sαlαUα

−ε∑k

Lhk Vk = Qch

Poisson

Lhkdef=∑α

dhαsαlαgαh

dia laplaciana disc.tex

i

j

h

lαlβ

lγ

gαh = −1

sγ

gβj = +1

j +1gγ =

gβi = −1 gα = +1i

g h = −1γ

dhγ = +1dhα = +1

sβ

sα

Voronoi prism

Delaunay prism

?

?

6

6

-

TP

TL

TS

IV

IS

IL


Tavola X: Formulazione discreta dell’elettrostatica. EE59variabili di configurazione

complesso primale : orientazione internaintervalli primali

dimensioni: [ML2T−2I−1]unita SI: weber

variabili di sorgentecomplesso duale : orientazione esterna

istanti dualidimensioni: [TI]unita SI: coulomb

Vh

Uα

Kβ

Nk

Qch

Ψα

Rβ

Ak

Uα = −∑h gαhVh

Kβ =∑α cβα Uα

∑β dkβ Kβ = Nk

∑α dhα Ψα = Qc

h

∑β cαβ Rβ = Ψα

Rβ =∑k gβk Ak

Ψαlaw= ε

sαlα

Uα

?

?

6

6

-?

6Campo elettrico

formulazione discreta

Vh potenziale elettrico

Uα tensione elettrica

Kβ corrente magnetica

Nk nessun nome

Qch carica elettrica

Ψα flusso elettrico

Rβ nessun nome

Ak nessun nome

?c s !-

?6

TP

TL

TS

TV

IV

IS

IL

IP

127

Tavola XI: Formulazione differenziale della magnetostatica. EE60


istanti primali


intervalli duali

χ

~A

~B

g

τ

~J

~H

Vm

~A = −∇χ

~B = ∇× ~A

∇ · ~B = g

∇ · ~J = τ

∇× ~H = ~J

~H = −∇Vm

~Hlaw=

1µ~B

?

?

6

6

-?

6

Campo magneticoformulazione differenziale

χ funzione di gauge

~A potenziale vettore magnetico

~B induzione magnetica

g densita di carica magnetica

τ produzione di carica elettrica

~J densita di corrente elettrica

~H intensita del campo magnetico

Vm potenziale scalare magnetico

1IP

3IL

3IS

1IV

1TV

3TS

3TL

1TP


Tavola XII: Formulazione discreta della magnetostatica. EE61variabili di configurazione

complesso primale : orientazione internaistanti primali

dimensioni: [ML2T−2I−1]unita SI: weber

variabili di sorgentecomplesso duale : orientazione esterna

intervalli dualidimensioni: [TI]unita SI: coulomb

χh

pα

Φβ

Gk

Sh

Iα

Umβ

Vmk

pα = −∑h gαhχh

Φβ =∑α cβα pα

∑β dkβ Φβ = Gk

∑α dhα Iα = Sh

∑β cαβ Umβ = Iα

Umβ = −∑k gβk Vmk

Umβlaw=

1µ

lβsβ

Φβ

?

?

6

6

-?

6

Campo magneticoformulazione discreta

χh funzione di gauge

pα momento elettrocinetico

Φβ flusso magnetico

Gk carica magnetica

Sh prod. carica/tempo

I fα corrente elettrica

Umβ tensione magnetica

Vmk potenziale magnetico

?c s !-

?6

IP

IL

IS

IV

TV

TS

TL

TP

129

Tavola XIII: La struttura differenziale dell’elettromagnetismo EE88

variabili di configurazioneprimal complex: inner orientation

intervalli istanti


istanti intervalli

V

~E

~k

λ

χ

~A

~B

g

ρ

~D

~T

η

τ

~J

~H

Vm

V = ∂t χ ~A = −∇χ

?

~E = −∂t ~A−∇V~B = ∇×~A

?

?

∇×~E + ∂t ~B = 0∇ · ~B = 0

?

?

−∂t g +∇ · ~k = λ

?

∂t ρ+∇ · ~J = 0

6

∇ · ~D = ρ

∇×~H − ∂t ~D = ~J

6

6

~D = ∇×~T~H = −∇Vm + ∂t ~T

6

6

Vm = −∂t η~T = −∇η

6

~Dlaw= ε ~E

-

~Hlaw=

1µ~B -

:

~Jlaw= σ ~E

Elettromagnetismoformulazione differenziale

legge di Ohm

1TP

3TL

3TS

1TV

1IP

3IL

3IS

1IV

1IV

3IS

3IL

1IP

1TV

3TS

3TL

1TP


Tavola XIV: La struttura differenziale dell’elettromagnetismo EE119


intervalli istanti


istanti intervalli

Vh

Vα

Gfk

Gpk

χh

pα

Φβ

Gck

Qch

Ψα

Tβ

ηk

τh

Qfα

Umβ

Vmk

Vh = ∆tχh

pα = −∑h gαhχh

?

Uα = −∑h gαhVh −∆tpα

Φβ =∑α cβαpα

?

?

∑β cβαUα + ∆tΦβ = 0∑

β dqβ Φβ = 0

?

?

∆tGck −

∑β dhβ G

fk = Gp

k

?

∑α dhαQ

fα + ∆tQ

ch = 0

6

∑α dhαΨα = Qc

h∑β cαβ Umβ − ∆tΨα = Qf

α

6

6

Ψα =∑β cαβTβ

Umβ = −∑k gβkηk + ∆tTβ

6

6

Vmk = ∆tηk

T =∑k gβkηk

6

Ψαlaw= ε

sαlατn

Uα -

Umβlaw=

1µ

lβ τnsβ

Φβ -

Qfα

law= σsατnlατn

Uα

1

legge di Ohm

Elettromagnetismoformulazione discreta

dia elettrom disc.tex

TP

TL

TS

TV

IP

IL

IS

IV

IV

IS

IL

IP

TV

TS

TL

TP

131

Tavola XV: Formulazione spazio-temporale del campo elettromagnetico. lu28

χ

Aα

Fαβ

kµ

λ

τ

Jµ

Gµν

Tσ

η

Aα = ∂αχ

Fαβ = ∂αAβ − ∂βAα

12εγαβµ∂γFαβ = kµ

∂µkµ = λ

∂µJµ = τ

∂νGµν = Jµ

Gµν = ερσµν∂ρTσ

Tσ = ∂ση

Gµνlaw=

12χµναβFαβ

〈χ, τ〉 =∫Hχτ dH

〈A, J〉 =∫HAαJ

α dH

〈F,G〉 =∫H

12FαβG

αβ dH

〈k, T 〉 =∫HkσTσ dH

〈λ, Vm〉 =∫Hλη dH

-

?

?

?

?

6

6

6

6

dia elettrom ST.tex

Campo elettromagneticoformulazione relativistica

dH = dV dt H = hypervolume

Aα =(V

c,− ~A

)Jα =

(cρ, ~J

)kα =

(c g,~k

)Tα =

(Vm

c,−~T

)

1P

4L

6S

4V

1H

1H

4V

6S

4L

1P

Appendice A

Altre teorie fisiche

133

134 APPENDICE A. ALTRE TEORIE FISICHE

Tavola I: The main constitutive equations. LL785

reversible phenomena

1 CoulombΨ

Slaw= ε

U

LD

def=

Ψ

SE

def=U

LD

law= εE

2Φ

Slaw= µ

Fm

LB

def=

Φ

SH

def=

Fm

LB

law= µH

3 (dynamics) plaw= m

∆x

Tv

def=

∆x

Tp

law= mv

4 HookeN

Slaw= E

∆l

Lσ

def=N

Sε

def=

∆l

Lσ

law= Eε

5 (shear)T

Slaw= G

∆l

hτ

def=T

Sγ

def=

∆l

hτ

law= Eγ

6 thermodyn. ∆Ulaw= Cv T u

def=U

V∆u

law= cv T

7 thermodyn. plaw= nR

T

V

irreversible phenomena

8 NewtonT

Slaw= −µ ∆v

hτ

def=

T

Sγ

def=

∆v

hτ

law= −µγ

9 FourierQ

Slaw= −λ ∆T

Lq

def=

Q

Sp

def=

∆T

Lq

law= −λp

10 OhmQ

Slaw= −σ ∆V

LJ

def=

Q

SE

def= −∆V

LJ

law= σE

11 FickQ

Slaw= −D ∆c

Lq

def=Q

Sj

def=

∆c

Lq

law= −Dj

12 DarcyQ

Slaw= −K ∆H

Lq

def=Q

Sj

def=

∆H

Lq

law= −Kj

135

Tavola II: Un campionario di equazioni della fisica: accanto al nomeabbiamo posto una data indicativa. EQDIFF

Equazione di Newton (1687 ?)dinamica particella

md2

dt2~r(t) = ~f(t)

Equazione di d’Alembert (17...)acustica nei fluidi

1

c2∂ttV(t, ~r)−∆V(t, ~r) = 0

Equazione di Poisson (1812 ?)il prezzemolo della fisica

−ε∆V(t, ~r) = ρ(t, ~r)

Equazione di Fourier (1822)conduzione termica

ρ cv ∂tT (t, ~r)−K ∆T (t, ~r) = σ(t, ~r)

Equazioni di Navier-Stokes (1822): fluidodinamica

ρ(t, ~r)

∂~v(t, ~r)

∂t+∇

[v2(t, ~r)

2

]+[∇×~v(t, ~r)

]×~v(t, ~r)

−(λ+ µ)∇

[∇ ·~v(t, ~r)

]− µ∆~v(t, ~r) = ~f vol(t, ~r)

∂ρ(t, ~r)

∂t+∇ · (ρ(t, ~r)~v(t, ~r)) = 0

Equazione di Navier (1827) : elastodinamica

ρ∂tt~η(t, ~r)−[µ∇2~η(t, ~r) + (λ+ µ)∇(∇ · ~η(t, ~r))

]= ~f(t, ~r)

Equazioni di Maxwell (1865): elettromagnetismo ∇ ·~B(t, ~r) = 0

∇× ~E(t, ~r) + ∂t ~B(t, ~r) = 0

∇ ·~D(t, ~r) = ρ(t, ~r)

∇× ~H(t, ~r)− ∂t ~D(t, ~r) = ~j(t, ~r)

Equazione di Helmholtz (187...)acustica, onde elettrom.

∆ψ(~r) + k2 ψ(~r) = 0

Equazioni di Einstein (1916): gravitazione relativistica

Rµν(gαβ, ∂γgαβ, ∂γδgαβ)− 1

2R (gαβ, ∂γgαβ, ∂γδgαβ) = −χTµν(gαβ)

Equazione di Schrodinger (1926): meccanica quantistica

1

2m

(h

2π

)2

∆Ψ(t, ~r) + i

(h

2π

)∂tΨ(t, ~r) = eUΨ(t, ~r)

136 APPENDICE A. ALTRE TEORIE FISICHE

Tavola III: Elenco delle principali variabili globali con l’ente spaziale etemporale al quale sono associate. AA2

funzione iconale in un punto ad un istantefunzione di gauge in un punto ad un istantespostamento iniziale di un punto ad un istantefunzione di Jacobi in un punto ad un istantefunzione di fase (di un’onda) in un punto ad un istantepotenziale delle velocita in un punto ad un istantespostamento di un punto in un intervalloimpulso del potenziale gravitaz. in un punto in un intervalloimpulso del momento elettrocin. in un punto in un intervallodifferenza di fase (nel tempo) in un punto in un intervalloimpulso di temperatura in un punto in un intervallocircolazione magnetica lungo una linea ad un istantenumero d’onde lungo una linea ad un istantecammino ottico lungo una linea ad un istantedifferenza di fase (nello spazio) lungo una linea ad un istantespostamento relativo lungo una linea ad un istantecircolazione della velocita lungo una linea ad un istanteimpulso di tensione elettrica lungo una linea in un intervalloimpulso di tensione magnetica lungo una linea in un intervalloimpulso di tensione termodin. lungo una linea in un intervalloflusso elettrico su una superficie ad un istanteflusso magnetico su una superficie ad un istanteflusso dei vortici su una superficie ad un istanteflusso di massa attraverso una superficie in un intervalloflusso di energia (lavoro, calore) attraverso una superficie in un intervalloflusso di quantita di moto attraverso una superficie in un intervalloflusso di carica elettrica attraverso una superficie in un intervalloflusso di particelle attraverso una superficie in un intervalloflusso di entropia attraverso una superficie in un intervalloflusso di probabilita attraverso una superficie in un intervalloflusso di momento angolare attraverso una superficie in un intervallocontenuto di massa in a volume ad un istantecontenuto di energia in a volume ad un istantecontenuto di di carica in a volume ad un istantecontenuto di entropia in a volume ad un istantecontenuto di quantita di moto in a volume ad un istantecontenuto di particelle in a volume ad un istantecontenuto di probabilita in a volume ad un istantecontenuto di momento angol. in a volume ad un istanteproduzione di energia in a volume in un intervalloproduzione di entropia in a volume in un intervalloproduzione di massa in a volume in un intervalloproduzione di particelle in a volume in un intervalloimpulso di volume in a volume in un intervallo

Appendice B

Sulle definizioni operative

Molti libri di fisica sostengono che in fisica non si debbono usare grandezze che nonsiano misurabili.

Nulla e piu sciocco di questo tabu.

Gli stessi autori usano il potenziale vettore magnetico ~A che non e misurabile,l’entropia S che non e misurabile, l’energia potenziale V che non e misurabile, lafunzione d’onda ψ della meccanica quantistica che non e misurabile. Si tratta di unmalinteso che viene erroneamente attribuito ad Heisenberg.

E evidente che la fisica debba partire da grandezze misurabili ma nel corso delsuo svolgimento e libera di introdurre grandezze che non sono direttamente misurabilipurche da esse si possano ottenere grandezze misurabili.

Cosı la funzione d’onda ψ, definita a meno di un fattore di fase exp(iφ) non emisurabile ma il prodotto ψψ∗ integrato su una regione di spazio da laprobabilita ditrovare una particella entro quella regione e quest’ultima e una grandezza misurabile.

L’energia potenziale e definita a meno di una costante arbitraria e come tale none misurabile. La sua variazione pero da il lavoro ceduto o assorbito dal sistema cioeuna quantita misurabile.

Il potenziale vettore magnetico ~A, definito a meno del gradiente della funzione digauge ξ non e misurabile ma il suo rotore e il vettore induzione magnetica B che emisurabile.

L’entropia non e misurabile ma la variazione dell’entropia di un sistema e il rap-porto Q/T essendo Q il calore assorbito da un sistema e T la temperatura assolutaalla quale questo assorbimento avviene.♣

Per togliere quindi questo tabu citiamo le opinioni di alcuni fisici di grande rilievo.

“E’ assolutamente falso, sebbene lo si dica spesso, che l’immagine del mondo dellafisica contenga, o possa contenere, soltanto grandezze direttamente osservabili. Alcontrario, grandezze direttamente osservabili non si trovano assolutamente nell’im-

137

138 APPENDICE B. SULLE DEFINIZIONI OPERATIVE

magine del mondo.” [M. Plank, Autobiografia Scientifica, Einaudi, 1956, pag. 78.]

“It is not true that we can pursue science completely by using only those conceptswhich are directly subject to experiment.” [Feynmann, Lectures on physics, vol. III,pag. 29.]

“Non tutte le grandezze di cui si serve il fisico nei suoi ragionamenti possono essereosservate e misurate. Alcune servono solo come strumenti necessari al calcolo, ma sitrascurano nelle verifiche sperimentali. Ponendosi da un punto di vista puramentefenomenologico, si e cercato di espellere dalle teorie fisiche tutte le grandezze nonmisurabili; la dottrina energetica e, piu recentemente, la meccanica quantistica diHeisenberg sono esempi notevoli di tentativi del genere. Ma questi tentativi non sonomai completamente riusciti e nelle teorie intervengono sempre certe grandezze nonmisurabili: cosı in meccanica ondulatoria la famosa funzione d’onda Ψ. Nondimenole grandezze misurabili hanno una importanza maggiore, perche solo per esse la teoriapuo ricevere l’indispensabile controllo sperimentale delle sue conseguenze.. . .“Insomma, ci sembra che non bisogna esagerare la portata della distinzione tra gran-dezze misurabili e grandezze semplicemente definibili.” [de Broglie, Fisica e Miscrofi-sica, Einaudi, pag. 89-92.]

“Now we do not accept the ”posivistic” standpoint, according to which only obser-vables may be employed in theoretical physics, but instead are of the opinion that theintroduction of not directly observable quantities is justified whenever the resultingconclusions agree with experiment (as in the kinetic theory of gases). Neverthelesswe demand that the concepts introduced in a hypothesis may be based at least on animaginary experiment, i.e. an observational method, even if it cannot be carried outin practice.” [A. Sommerferld, Electrodynamics, Academic Press, pag. 72.]

“It is often said that it was a metaphysical idea which led Heisenberg to the prin-ciple of matrix mechanics, and this statement is used by the believers in the powerof pure reason as an example in their favour. Well, if you were to ask Heisenberg,he would strongly oppose this view. As we worked together I think I know whatwas going on in his mind. At that time we were all convinced that the new mecha-nics must be based on new concepts having only a loose connection with classicalconcepts, as expressed in Boh’rs postulate of correspondence. Heisenberg felt thatquantities which had no direct relation to experiment ought to be eliminated. Hewished to found the new mechanics as directly as possible on experience. If this is a’metaphysical’ principle, well, I cannot contradict; I only wish to say that is is exactlythe fundamental principle of modern science as a whole, that which distinguishes itfrom scholasticism and dogmatic systems of philosophy. But if it is taken (as manyhave taken it) to mean the elimination of all non-observables from theory, it leads,

139

to nonsense. For instance, Schroedinger’s wave function ψ is such a non-observablequantity, but it was of course later accepted by Heisenberg as a useful concept. Hestated not a dogmatic, but a heuristic principle. He found by an act of scientificintuition the spurious conceptions that have to be eliminated. I shall try to describethis.” [Max Born, Experiment and Theory in Physics, Dover, 1956, pag. 18.]

140 APPENDICE B. SULLE DEFINIZIONI OPERATIVE

Appendice C

Relazione con le forme differenziali

Si veda Burke [?, p.297]

141

142 APPENDICE C. RELAZIONE CON LE FORME DIFFERENZIALI

Tavola I: Correspondence between the discrete and the differential for-malism of electromagnetism using algebraic topology and differentialgeometry respectively J55

discreteformulation differentialformulationp− distributions p− forms

U (1)def= U1,U2, ...UN1 u(1)

def=

1

1!Ei(x

0, x1, x2, x3) dxi

Φ(2)def= Φ1, Φ2, ...ΦN2 φ(2)

def=

1

2!Bij(x

0, x1, x2, x3) dxi∧ dxj

Um(1)

def= Um

1 ,Um2 , ...Um

N2 um

(1)def=

1

1!Hi(x

0, x1, x2, x3) dxi

Ψ(2)def= Ψ1, Ψ2, ...ΨN1 ψ(2)

def=

1

2!Dij(x

0, x1, x2, x3) dxi∧ dxj

Qf(2)

def= Qf

1, Qf2, ...Q

fN1 i(2)

def=

1

2!jij(x

0, x1, x2, x3) dxi∧ dxj

Qc(3)

def= Qc

1, Qc2, ...Q

cN0 q(3)

def=

1

3!ρijk(x

0, x1, x2, x3) dxi∧ dxj∧ dxk

δ U (1) + ∆t Φ(2) = 0(2) du(1) + φ(2) = 0 Faraday

δ Φ(2) = 0(3) dφ(2) = 0(2) Gauss magnetico

δ Um(1) − ∆t Ψ(2) = Qf

(2) dum(1) − ψ(2) = i(2) Ampere

δ Ψ(2) = Qc(3) dψ(2) = q(3) Gauss elettrico

δ Qf(2) + ∆t Q

c(3) = 0(3) d i(2) + q(3) = 0 conservazione carica

vertici del primale = N0 = volumi del dualespigoli del primale = N1 = facce del dualefacce del primale = N2 = spigoli del dualecelle del primale = N3 = vertici del duale

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