6

Calcolo integrale

6.1 Definizione di integrale

Il primo obiettivo di questo capitolo e vedere se riusciamo a trovare un modo percostruire funzioni con derivata assegnata. Questo e un problema comune nella pra-tica scientifica, in quanto spesso siamo in grado di controllare la variazione di unadata quantita, e partendo dalla variazione vogliamo studiarne il comportamento.

Esempio 6.1 Alzando o abbassando la fiamma sul fornello il tuo assistente con-trolla la variazione di temperatura dell’acqua; ma a te serve sapere quando l’acquabolle, cioe quando la temperatura raggiunge il valore effettivo di ebollizione.

Esempio 6.2 Variando la quantita di nutrimento il tuo assistente puo controllarela velocita di crescita di un campione di batteri; a te interessa evitare che il numerototale di batteri non divenga eccessivo, uscendo dalla provetta e riempiendoti illaboratorio.

Esempio 6.3 La legge di Newton dice che la forza che viene applicata a un corpone determina l’accelerazione. Controllando la forza, tu controlli l’accelerazione, cioela derivata della velocita; per conoscere l’effettivo percorso fatto dal corpo soggettoa quella forza occorre quindi trovare una funzione la cui derivata della derivata sial’accelerazione nota.

Partiamo quindi da una funzione f definita e continua vicino a un punto x0.Trovare una funzione che abbia come derivata il valore di f in x0 (ma non neces-sariamente in altri punti) e molto facile: basta prendere la funzione lineare

ax0(x) = (x− x0)f(x0) .

Non e l’unica possibilita; possiamo prendere anche

ax0(x) = (x− x0)f(x)

260 Capitolo 6

In tutti e due i casi abbiamo

ax0(x0) = ax0(x0) = 0 edax0

dx(x0) =

dax0

dx(x0) = f(x0) ,

come potrai verificare facilmenteQueste due funzioni hanno un’interpretazione geometrica molto intuitiva. Per

esempio, se x > x0 e f(x0) > 0 allora ax0(x) e l’area del rettangolo di base l’inter-vallo [x0, x] e altezza f(x0). Analogamente, se x > x0 e f(x) > 0 allora ax0(x) el’area del rettangolo di base l’intervallo [x0, x] e altezza f(x); vedi la Fig. 6.1.

x0

f(x0)

x

f(x)

Figura 6.1 .

Osservazione 6.1 Possiamo rimuovere le ipotesi sul segno di f(x0), f(x) e x − x0

introducendo l’area orientata di (alcuni) rettangoli. Sia R un rettangolo con latiparalleli agli assi, e indichiamo con (x0, y0), (x, y0), (x, y) e (x0, y) le coordinate deiquattro vertici del rettangolo. Nota che non abbiamo specificato se x0 e maggioreo minore di x, o se y0 e maggiore o minore di y. Allora l’area orientata di R e datadalla formula

A(R) = (x− x0)(y − y0) .

In particolare, l’area orientata e positiva se x > x0 e y > y0 (o x < x0 e y < y0);ed e negativa se x > x0 ma y < y0 (o se x < x0 e y > y0). Se ci fai caso, l’areaorientata e positiva se i quattro vertici (x0, y0), (x, y0), (x, y) e (x0, y) sono elencatiin senso antiorario, mentre e negativa se sono elencati in senso orario. Con questadefinizione, ax0(x) misura l’area orientata del rettangolo di vertici (x0, 0), (x, 0),(x, f(x0)

)e(x0, f(x0)

), mentre ax0(x) misura l’area orientata del rettangolo di

vertici (x0, 0), (x, 0),(x, f(x)

)e(x0, f(x)

). Nota che se x > x0 allora l’area

orientata e positiva se il rettangolo e contenuto nel semipiano superiore, e negativase e contenuta nel semipiano inferiore.

Curiosita 6.1 Piu in generale, orientare un poligono convesso significa scegliere l’ordine in cuipercorrere i vertici; se si percorrono in senso antiorario, il poligono e orientato positivamente,altrimenti e orientato negativamente. L’area orientata di un poligono convesso orientato eallora uguale all’area usuale se il poligono e orientato positivamente, e all’opposto dell’area

6.1 Definizione di integrale 261

usuale se il poligono e orientato negativamente. In particolare, l’area orientata di un poligonoconvesso orientato negativamente e sempre negativa.

Le derivate delle funzioni ax0 e ax0 pero non e detto che coincidano con f inpunti diversi da x0. Questo non stupisce dato che chiaramente non consideranopiu di tanto il comportamento di f fuori da x0 — a meno che la funzione f non siacostante vicino a x0.

Un modo per esprimere che la funzione f e costante in un intervallo [a, b] e direche la parte di piano compresa fra l’asse x e il grafico di f sopra [a, b] coincide conun rettangolo di base [a, b]. Questo suggerisce la seguente definizione: il sottogra-fico Γf (x0, x) di una funzione f sopra un intervallo [x0, x1] e il rettangolo curvilineodi vertici (x0, 0), (x1, 0),

(x1, f(x1)

)e(x0, f(x0)

), dove colleghiamo gli ultimi due

vertici non con un segmento ma con il grafico di f ; vedi la Fig. 6.2.

x0

f(x0)

x

f(x)

Γf(x0, x)

Figura 6.2 Sottografico.

Il nostro obiettivo e definire l’area orientata Ax0(x) del sottografico Γf (x0, x);la nostra speranza e che Ax0 sia derivabile e che si abbia

∀x ∈ [x0, x1]dAx0

dx(x) = f(x) .

L’idea e di approssimare il sottografico con tanti rettangolini. Per dare l’idea dicosa vogliamo fare, supponiamo per semplicita che la nostra funzione f sia crescentee positiva nell’intervallo [x0, x1]. Suddividiamo questo intervallo in n intervallinitutti uguali, di lunghezza ∆t = (x1−x0)/n e di estremi x0 = t0 < t1 < · · · tn = x1,con tj+1 − tj = ∆t per j = 0, . . . , n − 1. Su ciascun intervallino [tj , tj+1] co-struiamo due rettangoli: uno piu piccolo di altezza f(tj), e uno piu grande dialtezza f(tj+1). Siccome abbiamo supposto f crescente e positiva, il rettangolinopiu piccolo e contenuto nel sottografico mentre il rettangolino piu grande sbordadal sottografico. Inoltre, se indichiamo con Rn(x0, x1) l’unione dei rettangolinipiu piccoli e con Rn(x0, x1) l’unione dei rettangolini piu grandi, abbiamo (vedi laFig. 6.3)

Rn(x0, x1) ⊆ Γf (x0, x1) ⊆ Rn(x0, x1) . (6.1)

262 Capitolo 6

x0 x

Rn(x0, x)

Rn(x0, x)

Figura 6.3 Area del sottografico.

Inoltre,

Area(Rn(x0, x1)

)=n−1∑j=0

f(tj)∆t = f(t0)∆t+ f(t1)∆t+ · · ·+ f(tn−1)∆t ,

Area(Rn(x0, x1)

)=n−1∑j=0

f(tj+1)∆t = f(t1)∆t+ · · ·+ f(tn−1)∆t+ f(tn)∆t ,

per cui

Area(Rn(x0, x1)

)−Area

(Rn(x0, x1)

)=(f(tn)− f(t0)

)∆t =

(f(x1)− f(x0)

)∆t .(6.2)

In particolare, all’aumentare del numero di intervallini la differenza fra l’area deirettangolini piu piccoli e l’area dei rettangolini piu grandi tende a zero (in quantoall’aumentare del numero di intervallini ∆t tende a zero). Ma, d’altra parte,all’aumentare del numero di intervallini le due unioni di rettangolini Rn(x0, x1)e Rn(x0, x1) si avvicinano sempre di piu al sottografico di f . Inoltre, se suppo-niamo di essere gia in grado di misurare l’area del sottografico, la (6.1) implica

Area(Rn(x0, x1)

)≤ Area

(Γf (x0, x1)

)≤ Area

(Rn(x0, x1)

). (6.3)

Se poi l’area di Rn(x0, x1) tende a un limite per n→ +∞, la (6.2) implica che l’areadi Rn(x0, x1) tende allo stesso limite, e quindi (6.3) ci dice che necessariamente

Area(Γf (x0, x1)

)= limn→+∞

Area(Rn(x0, x1)

)= limn→+∞

Area(Rn(x0, x1)

).

Quindi possiamo approssimare con la precisione che vogliamo l’area del sottograficousando l’area dei rettangolini.

Questo ci suggerisce come procedere per definire l’area del sottografico per fun-zioni non necessariamente crescenti o positive. Sia f : [x0, x1] → R una funzione

6.1 Definizione di integrale 263

limitata, cioe per cui esiste un M > 0 tale che |f(x)| < M per ogni x ∈ [x0, x1];in altre parole, il grafico di f e contenuto in una porzione finita di piano. Perogni n ∈ N suddividiamo di nuovo l’intervallo [x0, x1] in n intervallini tutti uguali,di lunghezza ∆t = (x1 − x0)/n ed estremi x0 = t0 < t1 < · · · tn = x1, contj+1 − tj = ∆t per j = 0, . . . , n − 1. Scegliamo poi (ma vedi la Curiosita 6.2)in ogni intervallo [tj , tj+1] un punto t<j in cui f sia minima nell’intervallo, e unpunto t>j in cui f sia massima nell’intervallo. In questo modo, se f e positival’unione Rn(x0, x1) dei rettangolini di base [tj , tj+1] e altezza f(t<j ) sono tutti con-tenuti nel sottografico, mentre l’unione Rn(x0, x1) dei rettangolini di base [tj , tj+1]e altezza f(t>j ) contiene il sottografico; vedi la Fig. 6.4.

x0 x1

Rn(x0, x1)

Rn(x0, x1)

Figura 6.4 Area del sottografico, caso generale.

Diremo allora che f e integrabile sull’intervallo [x0, x1] se esistono i limitiper n → +∞ dell’area orientata di Rn(x0, x1) e dell’area orientata di Rn(x0, x1),e questi limiti coincidono:

limn→+∞

Area(Rn(x0, x1)

)= limn→+∞

Area(Rn(x0, x1)

).

Il valore di questo limite e l’area Ax0(x1) del sottografico Γf (x0, x1), si indica colsimbolo

Ax0(x1) =∫ x1

x0

f(t) dt ,

e si chiama integrale definito della funzione f sull’intervallo [x0, x1]. I valori x0 e x1

si chiamano estremi di integrazione, e l’intervallo [x0, x1] intervallo di integrazione.Infine, la funzione f viene detta integrando, o funzione integranda.

Osservazione 6.2 Ricordando la definizione di area orientata, vediamo che

∫ x1

x0

f(t) dt = limn→+∞

n−1∑j=0

f(t<j )∆t = limn→+∞

n−1∑j=0

f(t>j )∆t .

264 Capitolo 6

Il simbolo scelto per l’integrale ricorda questo passaggio al limite: ∆t e diven-tato dt come per le derivate, e il simbolo

∫e una esse allungata, per indicare che

la sommatoria Σ si e allungata fino all’infinito. Attenzione: la lettera t nel simbolodell’integrale non ha alcun significato specifico, e puo essere sostituita da qualsiasialtro simbolo che non compaia negli estremi di integrazione o nella definizione dellafunzione f . Per esempio,∫ x1

x0

f(t) dt =∫ x1

x0

f(s) ds =∫ x1

x0

f(u) du ,

ma e meglio evitare scritture del tipo∫ x

x0

f(x) dx .

Osservazione 6.3 Siccome abbiamo usato l’area orientata dei rettangoli, l’integraledi una funzione negativa e negativo; piu in generale, l’integrale di una funzione consegno qualsiasi si ottiene sommando le aree delle parti del sottografico contenutenel semipiano superiore e sottraendo le aree (usuali, non orientate!) delle parti delsottografico contenute nel semipiano inferiore.

Osservazione 6.4 Se x1 > x0, per convenzione si pone∫ x0

x1

f(t) dt = −∫ x1

x0

f(t) dt ;

questo e coerente con la discussione di area orientata dei rettangoli fatta nell’Os-servazione 6.1.

Osservazione 6.5 Se x1 = x0 si ha∫ x0

x0

f(t) dt = 0 ;

infatti in questo caso il sottografico si riduce a una linea, che ha area zero.

Osservazione 6.6 Come vedrai, la definizione di integrale non si usa praticamentemai per calcolare un integrale; lavoreremo quasi esclusivamente con le proprietadell’integrale (che derivano pero dalla definizione, per cui non potevamo esimercidal citarla).

Nella prossima sezione vedremo che l’integrale e esattamente cio che ci serveper trovare una funzione con derivata data.

Curiosita 6.2 Nella definizione di integrale abbiamo supposto, per semplicita, che la funzione favesse massimo e minimo in ciascun intervallino [tj , tj+1]. Questo e vero per le funzioni con-tinue (Curiosita 4.1), ma non per tutte le funzioni. Per ovviare a questo problema, si procedein modo un poco piu generale. Una funzione a scala e una funzione costante a tratti. In

6.1 Definizione di integrale 265

altre parole, una funzione s: [x0, x1] → R e a scala se esistono x0 = t0 < t1 < · · · < tn = x1

(non necessariamente equidistanti) e numeri reali c0, . . . , cn−1 ∈ R tali che s(x) valga costan-temente cj sull’intervallo aperto (tj , tj+1), per j = 0, . . . , n − 1 (e fa quello che le pare negliestremi). Siccome il sottografico di una funzione a scala e formato da un numero finito direttangoli, l’integrale di una funzione a scala si definisce banalmente con la formula∫ x1

x0

s(t) dt =

n−1∑j=0

cj(tj+1 − tj) .

Supponiamo ora che f : [x0, x1] → R sia una funzione limitata, e M > 0 tale che |f(x)| < Mper ogni x ∈ [x0, x1]. Indichiamo con F< la famiglia di tutte le funzioni a scala s: [x0, x1]→ Rminori o uguali a f , cioe tali che s(x) ≤ f(x) per ogni x ∈ [x0, x1]; e con F> la famiglia ditutte le funzioni a scala s: [x0, x1] → R maggiori o uguali a f , cioe tali che s(x) ≥ f(x) perogni x ∈ [x0, x1]. Per esempio, la funzione costantemente uguale a −M appartiene a F<,e la funzione costantemente uguale a +M appartiene a F>. Ora, l’insieme degli integralidelle funzioni a scala appartenenti a F< e limitato superiormente (vedi la Curiosita 4.11)da M(x1 − x0) (perche?); indichiamo con I<(f) l’estremo superiore (vedi di nuovo la Curio-sita 4.11) di questi integrali. Analogamente, l’insieme degli integrali delle funzioni a scalaappartenenti a F> e limitato inferiormente da −M(x1 − x0) (perche?); indichiamo con I>(f)l’estremo inferiore di questi integrali. Chiaramente (perche?) I<(f) ≤ I>(f) sempre; diremoche f e integrabile su [x0, x1] se I<(f) = I>(f), e in tal caso l’integrale definito di f su [x0, x1]e dato da questo valore comune:∫ x1

x0

f(t) dt = I<(f) = I>(f) .

Curiosita 6.3 Non e difficile usare la definizione appena data per dimostrare che ogni funzionemonotona e integrabile. Sia f : [x0, x1] → R monotona; per semplicita, supponiamo sia cre-scente (il ragionamento nel caso decrescente sara analogo). Usando i simboli sopra introdotti,per ogni n ≥ 1 abbiamo (perche?)

Area(Rn(x0, x1)

)≤ I<(f) ≤ I>(f) ≤ Area

(Rn(x0, x1)

).

Quindi

0 ≤ I>(f)− I<(f) ≤ Area(Rn(x0, x1)

)−Area

(Rn(x0, x1)

)≤

(f(x1)− f(x0)

)(x1 − x0)

n,

grazie a (6.2). Siccome questo deve valere per ogni n ≥ 1, otteniamo I>(f)− I<(f) = 0, comevoluto.

Curiosita 6.4 Un ragionamento non molto diverso permette di dimostrare che ogni funzionecontinua e integrabile. Prima pero dobbiamo introdurre un altro risultato. Abbiamo detto cheuna funzione f : [a, b]→ R e continua se per ogni x0 ∈ [a, b] e per ogni ε > 0 esiste un δ > 0 (chea priori dipende sia da ε sia da x0) tale che |x−x0| < δ implica |f(x)−f(x0)| < ε. In realta sipuo dimostrare che siccome [a, b] e un intervallo chiuso e limitato, allora per ogni ε > 0 esisteun δ > 0 tale che |x−x0| < δ implica |f(x)−f(x0)| < ε per ogni x, x0 ∈ [a, b]; in altre parole, δdipende solo da ε e non da x0. Si dice che f e uniformemente continua sull’intervallo [a, b](Attenzione: ci sono funzioni continue f :R → R che non sono uniformemente continue sututta la retta reale, ma solo sugli intervalli chiusi e limitati).

Sia allora f : [x0, x1] → R una funzione continua. Fissiamo N ≥ 1, e poniamo ε = 1/N .L’uniforme continuita ci dice (perche?) che possiamo trovare n ≥ 1 tale che |t−s| ≤ (x1−x0)/n

266 Capitolo 6

implica |f(t) − f(s)| < ε per ogni t, s ∈ [x0, x1]. Suddividiamo allora l’intervallo [x0, x1] neisoliti n intervallini di lunghezza ∆t = (x1−x0)/n. Con le notazioni introdotte sopra abbiamo

n−1∑j=0

f(t<j )∆t ≤ I<(f) ≤ I>(f) ≤n−1∑j=0

f(t>j )∆t .

Sappiamo che t<j , t>j ∈ [tj , tj+1], per cui |t>j − t<j | ≤ |tj+1 − tj | = ∆t; quindi

n−1∑j=0

f(t>j )∆t−n−1∑j=0

f(t<j )∆t =

n−1∑j=0

(f(t>j )− f(t<j )

)∆t < ε

n−1∑j=0

∆t = ε(x1 − x0) =x1 − x0

N.

Ne segue che

0 ≤ I>(f)− I<(f) ≤n−1∑j=0

f(t>j )∆t−n−1∑j=0

f(t<j )∆t <x1 − x0

N.

Siccome questo deve valere per ogni N ≥ 1, otteniamo I>(f)− I<(f) = 0, come voluto.

6.2 Proprieta dell’integrale

Cominciamo questa sezione raccogliendo alcune proprieta dell’integrale che seguonodalla sua definizione come area orientata del sottografico.

Una prima cosa facile da fare e calcolare l’integrale della funzione costantementeuguale a 1, integrale che scriveremo per semplicita

∫ x1

x0dt invece di

∫ x1

x01 dt:∫ x1

x0

dt = x1 − x0 , (6.4)

in quanto il sottografico della funzione costante 1 e un rettangolo di base x1 − x0

e altezza 1.Sia f : [x0, x1]→ R una funzione integrabile. Prima di tutto

∀x ∈ [x0, x1]∫ x

x0

f(t) dt+∫ x1

x

f(t) dt =∫ x1

x0

f(t) dt . (6.5)

Infatti, il sottografico Γf (x0, x1) e l’unione disgiunta dei sottografici Γf (x0, x)e Γf (x, x1); quindi la sua area e la somma delle aree dei due pezzi.

Osservazione 6.7 L’Osservazione 6.4 e la (6.5) implicano che∫ b

x0

f(t) dt−∫ a

x0

f(t) dt =∫ b

a

f(t) dt (6.6)

indipendentemente dall’ordine relativo di x0, a e b.

6.2 Proprieta dell’integrale 267

Poi per ogni c ∈ R si ha∫ x1

x0

cf(t) dt = c

∫ x1

x0

f(t) dt . (6.7)

Infatti, moltiplicare per c la funzione f equivale ad allungare/accorciare il sottogra-fico nella direzione verticale di un fattore |c| (e di scambiare il semipiano superiorecon quello inferiore se c < 0), per cui l’area orientata del sottografico viene molti-plicata per c. In particolare, prendendo f ≡ 1 otteniamo

∀c ∈ R∫ x1

x0

c dt = c(x1 − x0) . (6.8)

Sia poi g: [x0, x1]→ R e un’altra funzione integrabile. Prima di tutto, anche f+ge integrabile e ∫ x1

x0

[f(t) + g(t)] dt =∫ x1

x0

f(t) dt+∫ x1

x0

g(t) dt . (6.9)

Infatti, supponiamo per semplicita che f e g siano positive. Allora possiamo scom-porre il sottografico di f + g in due parti: il sottografico di f , e la parte compresafra il sottografico di f + g e il sottografico di f (vedi la Fig. 6.5). Quest’ultimoinsieme possiamo approssimarlo con rettangolini di altezza data dalla differenzafra f + g e f , cioe di altezza data da g; quindi con ragionamenti analoghi a quellifatti nella sezione precedente vediamo (i dettagli sono nella Curiosita 6.5) che l’areadi quest’ultimo insieme dev’essere uguale all’integrale di g su [x0, x1], come voluto.Se g e negativa, si ragiona in modo analogo notando che il sottografico di f + ge ottenuto togliendo dal sottografico di f un insieme di area pari all’area (nonorientata) del sottografico di g. Se f e/o g sono di segno variabile, si scomponel’intervallo di integrazione in sottointervalli in cui sia f sia g hanno segno costante,si ricava (6.9) in ciascun intervallo, e poi si rimette tutto insieme usando (6.5). Dinuovo, se ti interessano i dettagli leggi la Curiosita 6.5.

g(x)

f(x)

f(x)+g(x)

Figura 6.5 Integrale della somma.

268 Capitolo 6

Curiosita 6.5 Usiamo la definizione piu generale di integrale data nella Curiosita 6.2. Lasomma di funzioni a scala e una funzione a scala (perche?), ed e facile vedere (controlla) che(6.9) e vera per le funzioni a scala. Inoltre, se s1, s2 sono funzioni a scala con s1 ≤ f e s2 ≤ g,chiaramente s1 + s2 ≤ f + g. Un risultato analogo vale se s1 ed s2 sono piu grandi di f e g,per cui

I<(f) + I<(g) ≤ I<(f + g) ≤ I>(f + g) ≤ I>(f) + I>(g) .

Ma f e g sono integrabili; quindi I<(f) = I>(f), I<(g) = I>(g), per cui

I<(f + g) = I>(f + g) = I<(f) + I<(g) = I>(f) + I>(g) ,

che e quanto volevamo.

Infine, se f(x) ≤ g(x) per ogni x ∈ [x0, x1] allora∫ x1

x0

f(t) dt ≤∫ x1

x0

g(t) dt . (6.10)

Infatti, il grafico di g e sopra il grafico di f , per cui il sottografico di g contieneil sottografico di f (nel semipiano superiore, dove l’area orientata e positiva, ede contenuto nel sottografico di f nel semipiano inferiore, dove l’area orientata enegativa).

Siamo ora in grado di mostrare come si usa l’integrale per trovare una funzionecon derivata data. Sia f : [a, b] → R una funzione continua, e sia A: [a, b] → R lafunzione data da

A(x) =∫ x

a

f(t) dt .

Scriviamo il rapporto incrementale per A in un punto x ∈ [a, b]:

A(x+ h)−A(x)h

=1h

[∫ x+h

a

f(t) dt−∫ x

a

f(t) dt

]=

1h

∫ x+h

x

f(t) dt ,

dove abbiamo usato (6.5). Ora, indichiamo con m(h) (rispettivamente, M(h)) ilminimo (rispettivamente, il massimo) di f sull’intervallo di estremi x e x + h.Essendo f continua,

limh→0

m(h) = limh→0

M(h) = f(x) .

Ora, se h > 0 (6.10) e (6.8) ci danno

hm(h) ≤∫ x+h

x

f(t) dt ≤ hM(h) ;

quindi

f(x) = limh→0+

m(h) ≤ limh→0+

A(x+ h)−A(x)h

≤ limh→0+

M(h) = f(x) .

6.2 Proprieta dell’integrale 269

In maniera analoga si ragiona quando h < 0. Quindi il limite del rapporto in-crementale di A in x e uguale a f(x), e abbiamo dimostrato il Primo teoremafondamentale del calcolo: se f : [a, b]→ R e una funzione continua allora

d

dx

∫ x

a

f(t) dt = f(x) .

Dunque, come avevamo sperato, l’integrale ci fornisce un modo per costruire unafunzione di derivata assegnata. In altre parole ancora, la funzione F (x) =

∫ xaf(t) dt

e una soluzione dell’equazionedF

dx= f . (6.11)

Ricordando che due funzioni con la stessa derivata differiscono solo per una costanteadditiva, ricaviamo che le soluzioni di (6.11) sono tutte e sole della forma

F (x) =∫ x

a

f(t) dt+ C

con C ∈ R.

Osservazione 6.8 Contrariamente al caso delle derivate, l’integrale di funzioni ele-mentari spesso non si puo esprimere in termini di funzioni elementari. In altreparole, l’operazione di integrazione permette di costruire funzioni effettivamentenuove, che non sono semplicemente una combinazione delle funzioni elementari.Inoltre, sono funzioni di cui possiamo calcolare facilmente la derivata, per cui pos-sono essere in buona parte studiate con le tecniche viste nel capitolo precedente.Nelle prossime sezioni di questo capitolo vedremo le tecniche principali che possonoessere usate per cercare di esprimere un integrale in termini di funzioni elementari;quando (spesso) non ci si riesce, per valutare un integrale bisogna ricorrere a tec-niche d’approssimazione numerica che non tratteremo qui.

Il prossimo esempio mostra come gli integrali possano comparire anche in situa-zioni che non riguardano direttamente derivate o il calcolo di aree.

Esempio 6.4 Vogliamo tentare di definire il lavoro necessario per estendere unamolla dalla posizione di riposo s0 fino a una lunghezza s. Allungare una molla ri-chiede l’applicazione di una forza, tanto maggiore quanto gia la molla e allungata.Iniziamo allungando la molla di una distanza ∆s; se ∆s e abbastanza piccola pos-siamo approssimare la forza applicata con la forza F (s1) necessaria per mantenerela molla allungata fino a s1 = s0 + ∆s, e quindi possiamo approssimare il lavorofatto finora col prodotto F (s1)∆s.

Proseguiamo allungando la molla fino a una lunghezza s2 = s1 + ∆s. Di nuovo,approssimiamo la forza applicata per passare da s1 a s2 con la forza F (s2) ne-cessaria per mantenere la lunghezza s2. Il lavoro fatto per passare da s1 a s2 ecirca F (s2)∆s, per cui il lavoro fatto per passare dalla posizione di riposo alla lun-ghezza s2 e circa uguale a F (s1)∆s+ F (s2)∆s.

270 Capitolo 6

Continuando in questo modo, possiamo approssimare il lavoro necessario perallungare la molla dalla posizione di riposo a una lunghezza s con una somma

n∑j=1

F (sj)∆s .

L’analogia col conto fatto per calcolare l’area del sottografico e evidente. Permigliorare l’approssimazione dobbiamo ridurre ∆s, che corrisponde ad aumentareil numero di intervallini. Passando al limite come fatto per il calcolo dell’areapossiamo quindi esprimere il lavoro totale con l’integrale

L =∫ s

s0

F (s) ds .

Curiosita 6.6 Adesso abbiamo gli strumenti per completare la definizione di esponenziali,logaritmi e potenze irrazionali secondo il programma illustrato nella Curiosita 5.4. Infatti, lafunzione “log” usata lı si definisce esattamente ponendo

∀x > 0 “log”x =

∫ x

1

1

tdt .

6.3 Integrale indefinito

Abbiamo visto che derivando un integrale recuperiamo la funzione integranda. Eintegrando una derivata che succede? La risposta e contenuta nel Secondo teoremafondamentale del calcolo: se f : [x0, x1]→ R e una funzione derivabile si ha

∀x ∈ [x0, x1]∫ x

x0

df

dt(t) dt = f(x)− f(x0) . (6.12)

Infatti, indichiamo con A: [x0, x1]→ R la funzione data da

A(x) =∫ x

x0

df

dt(t) dt .

Il primo teorema fondamentale del calcolo ci dice che

dA

dx≡ df

dx;

quindi A ed f devono differire per una costante additiva, cioe A(x)− f(x) = c perun’opportuna costante c ∈ R. Ricordando che A(x0) = 0 otteniamo

c = A(x0)− f(x0) = −f(x0) ,

e quindi A(x) = f(x)− f(x0), che e la (6.5).

6.3 Integrale indefinito 271

Osservazione 6.9 Per indicare la differenza a secondo membro della (6.12) si usaspesso la notazione abbreviata

f(x)− f(x0) = f(t)∣∣∣∣xx0

.

Il secondo teorema fondamentale del calcolo fornisce un primo metodo per cal-colare qualche integrale. Infatti, se la funzione f e la derivata della funzione F , laformula (6.12) ci dice che

∫ b

a

f(t) dt = F (b)− F (a) .

Esempio 6.5 Dalla formula

d

dxxn+1 = (n+ 1)xn

deduciamo ched

dx

(1

n+ 1xn+1

)= xn . (6.13)

Quindi ∫ b

a

xn dx =1

n+ 1xn+1

∣∣∣∣ba

=bn+1 − an+1

n+ 1; (6.14)

nota che per n = 0 si ritrova (6.4). Mettendo insieme questo risultato con (6.7) e(6.9) possiamo calcolare l’integrale di qualsiasi polinomio. Per esempio,

∫ 2

1

(6x2 + 2x− 3) dx = 6∫ 2

1

x2 dx+ 2∫ 2

1

x dx− 3∫ 2

1

dx

= 613x3

∣∣∣∣21

+ 212x2

∣∣∣∣21

− 3(2− 1)

= 2(23 − 1) + (22 − 1)− 3 = 14 + 3− 3 = 14 .

Osservazione 6.10 In questo contesto si usa spesso una notazione comoda. Se f ela derivata della funzione F , si dice che F e un integrale indefinito di f e si scrive∫

f(t) dt = F (t) + C . (6.15)

Il motivo di questa scrittura e che due integrali indefiniti di f differiscono per unacostante additiva (in quanto hanno uguale derivata); quindi al variare della costantearbitraria C ∈ R il secondo membro di (6.15) descrive tutti i possibili integraliindefiniti di f . Nota inoltre che nell’integrale a sinistra in (6.15) non compaiono

272 Capitolo 6

gli estremi di integrazione; questo perche quella formula puo essere pensata anchecome abbreviazione della formula∫ b

a

f(t) dt = F (t)∣∣∣∣ba

valida su ogni intervallo [a, b] ove f e la derivata di F .

In particolare, ogni formula di derivazione ci fornisce un integrale indefinito.Per esempio, (6.13) ci dice che∫

xn dx =1

n+ 1xn+1 + C ,

che e equivalente a (6.14).Riguardando le formule di derivazione delle funzioni elementari del capitolo

precedente ricaviamo quindi i seguenti integrali indefiniti:∫(anxn + an−1x

n−1 + · · ·+ a0) dx =ann+ 1

xn+1 +an−1

nxn + · · ·+ a0x+ C ;

∀α 6= −1∫xα dx =

1α+ 1

xα+1 + C ;

∫ex dx = ex + C ;

∀a > 0 , a 6= 1∫ax dx =

1log a

ax + C ;

∫1xdx = log x+ C .

Osservazione 6.11 Piu precisamente, la formula per l’integrale indefinito di 1/x siscrive ∫

1xdx = log |x|+ C .

Infatti, 1/x puo essere integrato solo su intervalli [a, b] che non contengono lo zero(dove 1/x non e definito). Nella semiretta positiva, 1/x e la derivata di log x, percui non ci sono problemi. Ma nella semiretta negativa, 1/x = −1/|x| e la derivatadi log |x| = log(−x), come puoi verificare facilmente.

Rimangono le funzioni trigonometriche:∫sinx dx = − cosx+ C ;

6.3 Integrale indefinito 273∫cosx dx = sinx+ C ;∫

1cos2 x

dx = tanx+ C ;∫1

sin2 xdx = − cotx+ C ;∫

1√1− x2

dx = arcsinx+ C ;∫1

1 + x2dx = arctanx+ C .

Esempio 6.6 Vogliamo calcolare l’integrale di sinx sull’intervallo [0, π]. Abbiamo∫ π

0

sinx dx = − cosx∣∣∣∣π0

= − cosπ − (− cos 0) = 2 .

Quindi la regione di piano limitata dall’asse delle ascisse e da una gobba dellasinusoide ha area 2.

Esempio 6.7 La formula di derivazione

d

dxF (cx) = cF ′(cx)

ci fornisce un modo di ricavare altre formule di integrazione. Infatti, se F e unintegrale indefinito di f , cioe F ′ = f , otteniamo

∀c 6= 0∫f(cx) dx =

1cF (cx) + C .

Per esempio,

∀k 6= 0∫ekx dx =

1kekx + C ,

per cui ∫ 1

0

2x dx =∫ 1

0

e(log 2)x dx =1

log 2e(log 2)x

∣∣∣∣10

=21 − 20

log 2=

1log 2

.

Gli integrali ci permettono anche di risolvere un problema rimasto in sospeso:il calcolo dell’ordine di infinito del logaritmo e dell’esponenziale.

Per ogni c > 0 abbiamo tc−1 ≥ t−1 non appena t ≥ 1. Quindi

∀x ≥ 1 log x =∫ x

1

1tdt ≤

∫ x

1

tc−1 dt =xc − 1c

<xc

c.

274 Capitolo 6

Elevando a potenza e dividendo, otteniamo

0 <(log x)b

xa<xbc−a

cb

per ogni a, b, c > 0 e x > 1. In particolare, ponendo c = a/2b otteniamo

0 <(log x)b

xa<

1(a/2b)b xa/2

che tende a 0 per x→ +∞. Quindi

∀a, b > 0 limx→+∞

(log x)b

xa= 0 , (6.16)

o anche

∀a, b > 0 (log x)b = o(xa) per x→ +∞ .

In altre parole, il logaritmo (anche elevato a potenze enormi) diverge all’infinitopiu lentamente di qualsiasi potenza (anche di esponente piccolissimo).

Ponendo t = 1/x in (6.16) otteniamo un altro limite importante:

∀a, b > 0 limt→0+

ta| log t|b = 0 ,

cioe per t → 0+ qualsiasi potenza (anche con esponente piccolissimo) riesce adammazzare il logaritmo (anche elevato a potenze enormi).

Ponendo invece x = ey in (6.16) troviamo

∀a, b > 0 limy→+∞

ybe−ay = 0 , (6.17)

cioe per y → +∞ l’eponenziale con esponente negativo (anche con esponente pic-colissimo) riesce ad ammazzare qualsiasi potenza (anche con esponente enorme).

Infine, prendendo il reciproco troviamo

∀a, b > 0 limy→+∞

eay

yb= +∞ ,

cioe l’esponenziale diverge all’infinito piu velocemente di qualsiasi potenza.

Curiosita 6.7 Siamo ora in grado di verificare che tutte le derivate della funzione

f(x) =

{e−1/x2

se x > 00 se x ≤ 0

di cui abbiamo parlato nelle Curiosita 4.12 e 5.9 si annullano in 0. Siccome le derivate sinistresono chiaramente zero, ci basta verificarlo per le derivate destre. Prima di tutto,

f ′(x) =2

x3e−1/x2

;

6.4 Integrazione per parti 275

quindi ponendo t = 1/x2 otteniamo

limx→0+

f ′(x) = 2 limt→+∞

t3/2e−t = 0

grazie a (6.17). Ora, si vede facilmente che le derivate successive di f sono tutte della forma

f (j)(x) = pj(1/x)e−1/x2, dove pj e un polinomio; quindi ragionando come prima otteniamo

∀j ≥ 1 limx→0+

f (j)(x) = 0 ,

come affermato.

6.4 Integrazione per parti

I teoremi fondamentali del calcolo ci dicono che da formule di derivazione si possonodedurre formule di integrazione. Per esempio, partiamo dalla regola di Leibniz perla derivata del prodotto:

d(fg)dt

=df

dtg + f

dg

dt.

Integrando questa formula sull’intervallo [a, x], e ricordando il secondo teoremafondamentale del calcolo, otteniamo

fg

∣∣∣∣xa

=∫ x

a

df

dt(t)g(t) dt+

∫ x

a

f(t)dg

dt(t) dt ,

o anche ∫ x

a

f(t)dg

dt(t) dt = fg

∣∣∣∣xa

−∫ x

a

df

dt(t)g(t) dt .

Usando la notazione dell’integrale indefinito possiamo scrivere questa formula nelmodo seguente: ∫

f(t)dg

dt(t) dt = fg −

∫df

dt(t)g(t) dt , (6.18)

dove possiamo esimerci dallo scrivere la costante arbitraria C perche abbiamo in-tegrali indefiniti in entrambi i membri dell’uguaglianza.

La formula (6.18) e nota come formula di integrazione per parti. L’idea e chepermette di ricondurre l’integrale di fg′ all’integrale di f ′g, con la speranza chequest’ultimo sia piu semplice da calcolare. A volte funziona e a volte no, comevedremo nei prossimi esempi. Capire quando si puo usare e questione di esperienza— non necessariamente fondamentale per un biologo.

Osservazione 6.12 Attenzione: non esistono formule generali per il calcolo dell’in-tegrale di un prodotto. A volte la formula d’integrazione per parti aiuta, ma inmolti casi l’integrale di un prodotto non e esprimibile tramite funzioni elementari.

276 Capitolo 6

Esempio 6.8 Vogliamo calcolare l’integrale di t sin t. Siccome la derivata di t eparticolarmente semplice, e naturale tentare di usare la formula di integrazione perparti. Poniamo

f(t) = t , g′(t) = sin t =⇒ f ′(t) = 1 , g(t) = − cos t ;

quindi la formula di integrazione per parti ci da∫t sin t dt = −t cos t−

∫(− cos t) dt = −t cos t+ sin t+ C . (6.19)

Per esempio,∫ π

0

t sin t dt = −t cos t+ sin t∣∣∣∣π0

= −π cosπ + sinπ − (−0 cos 0 + sin 0) = π .

Nota che nel membro destro di (6.19) abbiamo dovuto reinserire la costante ar-bitraria C perche non vi compare piu il simbolo di integrale indefinito (che con-tiene in se tutte funzioni che differiscono per una costante additiva). Nota poiche g(t) = − cos t non era l’unica scelta possibile; avremmo potuto prendereg(t) = − cos t + k dove k ∈ R e una costante qualsiasi. Ma in tal caso avremmoottenuto ∫

t sin t dt = t(− cos t+ k)−∫

(− cos t+ k) dt

= −t cos t+ kt+∫

cos t dt−∫k dt

= −t cos t+ kt+ sin t− kt+ C

= −t cos t+ sin t+ C ,

cioe la stessa formula con maggiore fatica (e del resto non poteva essere diversa-mente: se avessimo ottenuto una formula diversa avrebbe voluto dire che t sin taveva integrali indefiniti che non differiscono solo per una costante additiva, im-possibile). Quindi conviene sempre scegliere g nel modo piu semplice possibile.

Esempio 6.9 Vogliamo calcolare l’integrale di t2et. Derivare et non cambia nulla,mentre derivando t2 lo si abbassa di grado; quindi proviamo con

f(t) = t2 , g′(t) = et =⇒ f ′(t) = 2t , g(t) = et .

La formula di integrazione per parti ci da∫t2et dt = t2et −

∫2tet dt .

Ancora non ci siamo, ma chiaramente questo suggerisce di provare a integrare perparti tet. Otteniamo ∫

tet dt = tet −∫et dt = tet − et + C ,

6.4 Integrazione per parti 277

per cui ∫t2et = t2et − 2(tet − et + C) = (t2 − 2t+ 2)et + C

(nota che, con un lieve abuso di notazione, in questa formula abbiamo indicatocon la stessa lettera C costanti arbitrarie a priori diverse: per completo rigore nelmembro destro avremmo dovuto scrivere 2C. Ma siccome al variare di C in Ranche 2C copre tutti i possibili valori di R, la costante 2C e altrettanto arbitrariadi C, per cui la si indica con lo stesso simbolo senza grossi rischi di confusione).Per esempio, ∫ 1

0

t2et dt = (t2 − 2t+ 2)et∣∣∣∣10

= e− 2 .

Con le tecniche introdotte in questi due esempi e possibile integrare tutte lefunzioni della forma

p(t) sin t+ q(t) cos t+ r(t)et ,

dove p, q e r sono polinomi in t. Il prossimo esempio contiene invece un’applicazioneun po’ diversa dell’integrazione per parti.

Esempio 6.10 Vogliamo integrare sin2 t. Vedendo il quadrato come prodottopossiamo provare a porre

f(t) = sin t , g′(t) = sin t =⇒ f ′(t) = cos t , g(t) = − cos t .

Quindi ∫sin2 t dt = − sin t cos t+

∫cos2 t dt . (6.20)

A questo punto potremmo provare a integrare per parti cos2 t = (cos t)(cos t); maotterremmo ∫

cos2 t dt = cos t sin t+∫

sin2 t dt ,

da cui dedurremmo∫sin2 t dt = − sin t cos t+ cos t sin t+

∫sin2 t dt =

∫sin2 t dt ,

che e vera ma non molto interessante. Se invece poniamo cos2 t = 1−sin2 t in (6.20)otteniamo∫

sin2 t dt = − sin t cos t+∫

(1− sin2 t) dt = − sin t cos t+ t−∫

sin2 t dt ,

da cui segue ∫sin2 t dt =

12

(t− sin t cos t) + C ,

278 Capitolo 6

che e la formula che risolve il nostro problema. In particolare,∫ π

0

sin2 t =12

(t− sin t cos t)∣∣∣∣π0

=π

2.

Esempio 6.11 Vogliamo calcolare l’integrale di log t, anche se non sembra unprodotto. Poniamo

f(t) = log t , g′(t) = 1 =⇒ f ′(t) = t−1 , g(t) = t ;

quindi ∫log t dt = t log t−

∫t−1t dt = t log t−

∫dt = t log t− t+ C .

Esempio 6.12 Galvanizzati dal successo precedente, proviamo a integrare et2.

Poniamo

f(t) = et2, g′(t) = 1 =⇒ f ′(t) = 2tet

2, g(t) = t ;

quindi ∫et

2dt = tet

2 − 2∫t2et

2dt .

Uhm; la situazione non e migliorata. Non possiamo integrare per parti l’integralea secondo membro, perche per farlo dovremmo conoscere l’integrale di et

2, che e

esattamente quello che stiamo cercando. . . Questo e un caso in cui l’integrazioneper parti non funziona (e, in effetti, si puo dimostrare che non c’e modo di esprimerel’integrale di et

2tramite funzioni elementari).

6.5 Integrazione per sostituzione

Un’altra formula di derivazione molto utile e la formula di derivazione di funzionecomposta:

d

dt(f ◦ g) =

(df

dt◦ g)dg

dt.

Integrando otteniamo ∫f ′(g(t)

)g′(t) dt = f

(g(t)

)+ C . (6.21)

Questa formula si chiama formula di integrazione per sostituzione; per capire ilmotivo del nome (e come si applica) riscriviamola in modo lievemente diverso.

Supponiamo di avere una funzione f , e poniamo

F (t) =∫ t

g(t0)

f(x) dx ,

6.5 Integrazione per sostituzione 279

(dove t0 e un punto arbitrario) in modo da avere F ′ = f . Allora (6.21) con F alposto di f diventa∫

f(g(t)

)dgdt

(t) dt = F(g(t)

)+ C =

∫ g(t)

g(t0)

f(x) dx+ C ,

o anche, con un lieve abuso di notazione,∫f(g(t)

)dgdt

(t) dt =∫ g(t)

g(t0)

f(g) dg + C . (6.22)

In altre parole, la formula di integrazione per sostituzione ci permette di trasfor-mare l’integrale di f

(g(t)

)g′(t) nell’integrale di f(x), calcolato nei valori dati dalla

funzione g. Quindi se sappiamo integrare f sappiamo integrare anche le funzionidella forma (f ◦ g)g′. In particolare, l’integrale definito diventa

∫ b

a

f(g(t)

)g′(t) dt =

∫ g(t)

g(t0)

f(x) dx

∣∣∣∣∣b

a

=∫ g(b)

g(t0)

f(x) dx−∫ g(a)

g(t0)

f(x) dx

=∫ g(b)

g(a)

f(x) dx ,

(6.23)

grazie a (6.6).

Osservazione 6.13 Un modo per ricordarsi la formula (6.22) e che si passa dalmembro sinistro al membro destro applicando g agli estremi di integrazione edeffettuando le seguenti sostituzioni:

f(g(t)

)↪→ f(g) ,

dg

dtdt ↪→ dg ;

in un certo senso, abbiamo “semplificato” dt. Come vedrai, a volte puo essere utileeffettuare la sostituzione equivalente dt ↪→ 1

g′(t)dg.

Vediamo alcuni esempi.

Esempio 6.13 Vogliamo integrare√

3t− 1. Siccome sappiamo come integrare√x = x1/2, e naturale tentare la sostituzione g(t) = 3t − 1. Allora g′(t) = 3, per

cui otteniamo∫ √3t− 1 dt =

13

∫(√

3t− 1)3 dt =13

∫ 3t−1

3t0−1

√x dx+ C =

13

23x3/2

∣∣∣∣3t−1

3t0−1

+ C

=29

(3t− 1)3/2 + C

(anche stavolta il simbolo C indica costanti diverse, ma comunque arbitrarie; inparticolare, ha assorbito la costante 2

9 (3t0 − 1)3/2 che, essendo t0 arbitrario, e

280 Capitolo 6

arbitraria anch’essa). Nota che potevamo passare dal primo al terzo membro conla sostituzione diretta dt ↪→ 1

g′(t) dx = 13 dx. Un esempio di calcolo di integrale

definito e ∫ 1

1/3

√3t− 1 dt =

29

(3t− 1)3/2

∣∣∣∣11/3

=29

23/2 ,

che e anche uguale a 13

∫ 2

0

√x dx, in accordo con (6.23) perche g(1/3) = 0 e g(1) = 2.

Osservazione 6.14 La tecnica dell’esempio precedente ci dice che se sappiamo in-tegrare f(x) allora sappiamo integrare f(at+ b) per ogni a, b ∈ R. Per esempio,∫

1at+ b

dt =1a

log |at+ b|+ C .

Esempio 6.14 Vogliamo integrare x cosx2. L’integrazione per parti non e di-rettamente applicabile, in quanto non sappiamo integrare cosx2. Possiamo peroprovare la sostituzione g(x) = x2; infatti (sostituendo, con un lieve abuso di nota-zione, l’uguale = alla freccia ↪→)

x dx =12g′(x) dx =

12dg ,

per cui ∫x cosx2 dx =

12

∫ x2

x20

cos g dg + C =12

sinx2 + C .

Esempio 6.15 Vogliamo integrare 2te−t2. Ponendo nuovamente g(t) = t2 otte-

niamo dg = 2t dt e quindi∫2te−t

2dt =

∫ t2

t20

e−g dg + C = −e−t2 + C .

In particolare, ∫ b

0

2te−t2dt = −e−t2

∣∣∣∣b0

= 1− e−b2 . (6.24)

Esempio 6.16 Vogliamo integrare sin√x, provando la sostituzione g(x) =

√x.

Apparentemente sembrerebbe esserci un problema, in quanto g′(x) = 12x−1/2 non

sembra apparire nell’integrando. Ma possiamo risolvere il problema con la seguenteoperazione:

sin√x =

12√x

2√x sin

√x = 2g′(x)g(x) sin g(x)

per cui abbiamo scritto l’integrando nella forma f(g(x)

)g′(x), con f(t) = 2t sin t,

e quindi ∫sin√x dx = 2

∫ √x√x0

t sin t dt+ C .

6.5 Integrazione per sostituzione 281

Un altro modo per effettuare questo conto e scrivere

dg = g′(x)dx =1

2√xdx =

12g(x)

dx =⇒ dx = 2g dg ,

per cui ∫sin√x dx =

∫ √x√x0

(sin g)2g dg + C .

In entrambi i casi possiamo applicare l’Esempio 6.8 ottenendo∫sin√x dx = 2(sin

√x−√x cos

√x) + C .

Esempio 6.17 La tecnica precedente non funziona invece per integrare sinx2.Infatti ponendo g(x) = x2, otteniamo

dg = 2x dx = 2√g(x) dx =⇒ dx =

12√gdg ,

per cui ∫sinx2 dx =

∫ x2

x20

sin g2√gdg + C .

Tentando di calcolare quest’ultimo integrale per parti otteniamo∫sin g2√gdg =

√g sin g −

∫ √g cos g dg ,

che continuiamo a non saper fare.

Curiosita 6.8 Abbiamo visto che possiamo integrare tutti i polinomi. In realta e possibileintegrare anche tutte le funzioni razionali; vediamo come. Un teorema di algebra assicura cheogni funzione razionale si puo scrivere come somma di funzioni della forma

α

(x+ a)ke

βx+ γ

(x2 + bx+ c)m

per opportuni k, m ∈ N e α, β, γ, a, b, c ∈ R; inoltre si puo anche supporre che b2 − 4c < 0,in modo che il polinomio x2 + bx+ c non abbia radici reali, e quindi non si possa scomporrecome prodotto di due fattori lineari.

Abbiamo gia visto come si integrano le funzioni della prima forma: infatti l’Osserva-zione 6.14 ci dice che∫

α

x+ adx = α log |x+ a|+ C , e

∫α

(x+ a)kdx =

α

1− k (x+ a)1−k + C

per ogni k > 1.Per calcolare gli integrali della seconda forma, scriviamo

x2 + bx+ c =

(x+

b

2

)2

+

(c− b2

4

)= u2 + ρ2 ,

282 Capitolo 6

dove u = x + (b/2) e ρ = 12

√4c− b2 > 0. La sostituzione u = x + b/2 riconduce quindi il

problema al calcolare ∫u

(u2 + ρ2)mdu e

∫1

(u2 + ρ2)mdu . (6.25)

Il primo integrale si calcola con la sostituzione v = u2 ed e uguale a 12

log(u2 + ρ2) + Cse m = 1, e a 1

2(1−m)(u2 + ρ2)1−m se m > 1.

Il secondo integrale in (6.25) per m = 1 si ottiene con la sostituzione v = u/ρ, ed e ugualea 1ρ

arctan(u/ρ) + C. Per m > 1 si applica ripetutamente la formula∫1

(u2 + ρ2)du =

1

2ρ2(m− 1)

u

(u2 + ρ2)m−1+

2m− 3

2ρ2(m− 1)

∫1

(u2 + ρ2)m−1du

ottenuta integrando per parti.

6.6 Integrali impropri

Finora abbiamo calcolato integrali di funzioni limitate e definite su intervalli limi-tati; a volte puo essere utile rilassare queste ipotesi.

Per esempio, supponiamo di avere una funzione f : [a,+∞) → R definita sullasemiretta [a,+∞) e integrabile in ogni intervallo della forma [a, b]. Diremo che f eintegrabile sulla semiretta [a,+∞) se esiste finito il limite di

∫ baf(t) dt per b→ +∞,

e scriveremo ∫ +∞

a

f(t) dt = limb→+∞

∫ b

a

f(t) dt ;

si dice che∫ +∞a

f(t) dt e l’integrale improprio di f sulla semiretta, e che l’integraleimproprio converge. Se il limite esiste ma e infinito diremo che l’integrale impropriodiverge; se invece il limite non esiste diremo che l’integrale improprio non converge(o che non esiste).

Esempio 6.18 Proviamo a calcolare l’integrale improprio di f(t) = t−α sullasemiretta [1,+∞). Abbiamo

∫ b

1

1tαdt =

b1−α − 11− α se α 6= 1 ,

log b se α = 1 ;

quindi ∫ +∞

1

1tαdt =

{ 1α− 1

se α > 1 ,

+∞ altrimenti.

Esempio 6.19 L’integrale improprio di f(t) = cos t sulla semiretta [0,+∞) nonesiste. Infatti ∫ b

0

cos t dt = sin b

6.6 Integrali impropri 283

che non ha limite per b→ +∞.

In maniera analoga se f e definita sulla semiretta (−∞, b] si definisce l’integraleimproprio ∫ b

−∞f(t) dt = lim

a→−∞

∫ b

a

f(t) dt ,

ammesso che il limite esista finito; se il limite e infinito (rispettivamente, nonesiste) diremo che l’integrale improprio diverge (rispettivamente, non converge onon esiste).

Infine, sia f :R → R definita su tutta la retta reale e integrabile su qualsiasiintervallo limitato. Supponiamo inoltre che per un qualche c ∈ R (e quindi perqualsiasi c ∈ R; perche?) convergano sia l’integrale improprio

∫ +∞c

f(t) dt sial’integrale improprio

∫ c−∞ f(t) dt. Allora si definisce l’integrale improprio su tutta

la retta ponendo ∫ +∞

−∞f(t) dt =

∫ c

−∞f(t) dt+

∫ +∞

c

f(t) dt .

Siccome∫ c

−∞f(t) dt =

∫ d

−∞f(t) dt+

∫ c

d

f(t) dt e∫ +∞

c

f(t) dt =∫ d

c

f(t) dt+∫ +∞

d

f(t) dt

per ogni c, d ∈ R, la definizione di integrale improprio sulla retta non dipende dallascelta di c (cioe otteniamo lo stesso valore quale che sia il punto di partenza c chescegliamo).

Esempio 6.20 Vogliamo calcolare l’integrale improprio di 1/(1 + t2) su tutta laretta. Abbiamo∫ +∞

0

11 + t2

dt = limb→+∞

∫ b

0

11 + t2

dt = limb→+∞

arctan b =π

2,

e ∫ 0

−∞

11 + t2

dt = lima→−∞

∫ 0

a

11 + t2

dt = − lima→−∞

arctan a =π

2;

quindi ∫ +∞

−∞

11 + t2

dt = π .

Curiosita 6.9 Un integrale improprio particolarmente importante (come vedremo nel prossimocapitolo) e ∫ +∞

0

e−x2dx .

Voglio descrivere una tecnica che ci permette di calcolarlo anche senza bisogno di determinare

gli integrali definiti I(b) =∫ b

0e−x

2dx — integrali che, come detto in precedenza, non si

284 Capitolo 6

calcolano con funzioni elementari.Cominciamo introducendo la funzione di due variabili F (x, y) = e−x

2−y2. Il grafico

di F :R2 → R e l’insieme ΓF ={(x, y, F (x, y)

) ∣∣ (x, y) ∈ R2}⊂ R3. Indichiamo con

Q(b) ⊂ R2 il quadrato di lato 2b centrato nell’origine del piano; in altre parole,

Q(b) = {(x, y) ∈ R2 | |x| ≤ b, |y| ≤ b} .

Indichiamo poi con ΓF (b) il sottografico di F sopra Q(b), cioe l’insieme

ΓF (b) = {(x, y, z) | (x, y) ∈ Q(b), 0 ≤ z ≤ F (x, y)}

compreso fra il grafico di F e il quadrato Q(b). Se intersechiamo ΓF (b) con il piano diequazione x = x0 (cioe il piano costituito dai punti di ascissa x0) otteniamo una figura

congruente al sottografico della funzione e−x20e−y

2sopra l’intervallo [−b, b], e che quindi ha

area

A(x0) =

∫ b

−b

e−x20e−y

2dy = 2e−x

20I(b) ,

dove ho usato il fatto che e−(−y)2 = e−y2, per cui

∫ 0

−be−y

2dy = I(b).

Ora, come l’area del sottografico di una funzione di una variabile e l’integrale delle lun-ghezze dei segmenti ottenuti intersecando il sottografico con le rette x = x0, anche il volumedel sottografico di una funzione di due variabili si puo calcolare come l’integrale delle areedelle figure ottenute intersecando il sottografico con i piani x = x0. Quindi il volume V (b)di ΓF (b) e dato da

V (b) =

∫ b

−b

A(x) dx = 2I(b)

∫ b

−b

e−x2dx = 4I(b)2 .

Adesso consideriamo invece un cerchio C(r) di centro l’origine e raggio r > 0, e indichiamoconW (r) il volume del sottografico di F sopra il cerchio C(r). Siccome C(b) ⊂ Q(b) ⊂ C(

√2b),

abbiamo

W (b) < V (b) < W (√

2b) .

Il vantaggio di W (b) su V (b) e che possiamo calcolare esplicitamente W (b). Infatti possiamovedere il sottografico di F sopra C(b) come l’unione, al variare di r ∈ [0, b], dei cilindri di base

la circonferenza di centro l’origine e altezza e−r2, per cui il volume W (b) e l’integrale delle

aree delle superfici laterali di questi cilindri, cioe

W (b) =

∫ b

0

2πre−r2dr = π(1− e−b2 ) ,

grazie a (6.24). Analogamente troviamo W (√

2b) = π(1− e−2b2 ); quindi

π(1− e−b2 ) < 4I(b)2 < π(1− e−2b2 ) .

Mandando b→ +∞ sia il primo che il terzo termine tendono a π, per cui il termine centralee forzato ad avere lo stesso limite; quindi∫ +∞

0

e−x2dx =

√π

2.

6.6 Integrali impropri 285

Nel prossimo capitolo ci servira l’integrale improprio di f(x) = e−x2/2 su tutta la retta.

Usando la sostituzione u = x/√

2 possiamo scrivere

∫ b

0

e−x2/2 dx =

√2

∫ b/√

2

0

e−u2du =

√2I(b/

√2) ;

quindi ∫ +∞

0

e−x2/2 dx =

√2 limb→+∞

I(b/√

2) =√

2

∫ +∞

0

e−u2du =

√2π

2.

Siccome∫ 0

−∞e−x

2/2 dx =∫ +∞

0e−x

2/2 dx, otteniamo infine

∫ +∞

−∞

e−x2/2 dx =

√2π .

L’altro caso di integrale improprio riguarda le funzioni non limitate. Sup-poniamo che f : (a, b] → R sia una funzione limitata e integrabile su ogni inter-vallo [x, b] con x > a, ma non necessariamente limitata nell’intero intervallo (a, b].Diremo che f e integrabile sull’intervallo (a, b] se esiste finito il limite di

∫ bxf(t) dt

per x→ a+, e scriveremo

∫ b

a

f(t) dt = limx→a+

∫ b

x

f(t) dt ;

si dice che∫ baf(t) dt e l’integrale improprio di f sull’intervallo (a, b], e che l’integrale

improprio converge. Se il limite esiste ma e infinito diremo che l’integrale impropriodiverge; se invece il limite non esiste diremo che l’integrale improprio non converge(o che non esiste).

In modo assolutamente analogo si definisce (quando esiste) l’integrale impropriosull’intervallo [a, b) di una funzione f : [a, b) → R limitata e integrabile su ciascunintervallo [a, x] per x < b ma non necessariamente limitata su [a, b); questa voltasi calcola il limite di

∫ xaf(t) dt per x che tende a b da sotto.

Esempio 6.21 Proviamo a calcolare l’integrale improprio di f(t) = t−α sull’in-tervallo (0, 1]. Abbiamo

∫ 1

x

1tαdt =

1− x1−α

1− α se α 6= 1 ,

log x−1 se α = 1 ;

quindi ∫ 1

0

1tαdt =

{ 11− α se α < 1 ,

+∞ altrimenti.

286 Capitolo 6

Ovviamente e possibile combinare i due tipi di integrali impropri, e calcolarel’integrale improprio su semirette aperte (a,+∞) o (−∞, b) di funzioni non ne-cessariamente limitate, scegliendo un punto c ∈ (a,+∞) e sommando l’integraleimproprio da a a c con l’integrale improprio da c a +∞; ma ti lascio volentieri ilcompito di sistemare i dettagli.

6.7 Media integrale

Voglio concludere questo capitolo con almeno un esempio di uso dell’integrale inambito biologico (altri esempi li vedremo nel prossimo capitolo).

Il problema che vogliamo affrontare e: come si calcola la media di una funzionecontinua?

Esempio 6.22 Supponi di voler mantenere una coltura batterica a una tempera-tura media di 18 ◦C durante un esperimento. Non puoi pretendere che la tempera-tura sia esattamente costante per tutto l’esperimento; ci saranno delle fluttuazioni(sperabilmente piccole). Il tuo assistente ha tracciato un grafico con la misuraistante per istante della temperatura della coltura batterica; che operazione devifare per calcolare qual e stata la temperatura media della coltura durante l’esperi-mento?

Esempio 6.23 A un paziente in riabilitazione dopo un infarto viene monitoratain continuazione la pressione del sangue, che varia istante per istante in manieraabbastanza casuale. Le fluttuazioni sono piccole, inevitabili e poco significative;molto piu importante e il valore medio della pressione del paziente. Come facciamoa calcolarlo?

Abbiamo a suo tempo studiato come calcolare la media di n dati x1, . . . , xn: sisommavano e si divideva per n. Un modo geometrico per riprodurre questa ope-razione e il seguente: costruiamo un istogramma con n colonne affiancate di lar-ghezza unitaria e altezza rispettivamente x1, . . . , xn. Allora la somma x1 + · · ·+xncorrisponde all’area delle colonne; e la media x si ottiene dividendo l’area per lalunghezza n del segmento ottenuto unendo le basi delle colonne.

Forti di questa immagine geometrica, affrontiamo il caso continuo. Vogliamocalcolare la media di una funzione (integrabile) f : [a, b] → R definita su un in-tervallo [a, b]. Un primo tentativo puo essere discretizzare la funzione: conside-riamo n + 1 punti a = x0 < x1 < · · · < xn = b equidistanti (cioe tali chexj+1 − xj = (b − a)/n per ogni j = 0, . . . , n − 1) e calcoliamo la media dei va-lori f(x0), . . . , f(xn−1). Ricordando quanto visto nella Sezione 3.5, possiamo rap-presentare la discretizzazione sostituendo al grafico della funzione un istogrammacomposto da n colonne, dove la colonna j-esima e alta f(xj) e ha come base l’inter-vallo [xj , xj+1]; vedi la Fig. 3.15. L’area totale delle colonne di questo istogrammae

f(x0)(x1 − x0) + · · ·+ f(xn−1)(xn − xn−1) =b− an

n−1∑j=0

f(xj) ;

6.7 Media integrale 287

quindi la media dei valori si ottiene dividendo l’area dell’istogramma per b− a, lalunghezza dell’intervallo di base.

A questo punto dovrebbe esserti chiaro dove stiamo andando a parare. Au-mentando il numero n di punti la media dei valori si avvicina sempre piu a quelloche vorremmo considerare il valore medio della funzione sull’intervallo. La me-dia dei valori e data dall’area dell’istogramma divisa per b − a; e all’aumentaredi n l’istogramma approssima sempre meglio il sottografico di f , la cui area e datadall’integrale. Quindi e naturale definire media integrale della funzione f sull’in-tervallo [a, b] il numero

Media(f) =1

b− a

∫ b

a

f(t) dt .

In altre parole, Media(f) e l’altezza di un rettangolo di base l’intervallo [a, b] e areauguale a quella del sottografico di f .

Esempio 6.24 Vogliamo studiare la velocita media del sangue in un capillarecilindrico di raggio interno r > 0 e lunghezza l > 0; vedi anche l’Esempio 5.31.In assenza di turbolenza (ovvero, in termini tecnici, in condizione di flusso lami-nare), un’altra legge di Poiseuille ci dice che la velocita del sangue in un punto chedista t ∈ [0, r] dall’asse centrale e data da

v(t) =P

4ηl(r2 − t2) ,

dove P e la differenza di pressione fra i due estremi del capillare, e η e la viscositadel sangue. Vogliamo calcolare la velocita media del sangue in due casi:(a) in una sezione circolare del capillare parallela alla base del cilindro; e(b) lungo un diametro della sezione circolare.Iniziamo con il caso (b), che e un’applicazione immediata di quanto abbiamo appenavisto. La velocita del sangue dipende solo dalla distanza dall’asse centrale. L’assecentrale suddivide il diametro in due raggi, e la distribuzione delle velocita suun raggio e esattamente identica a quella sull’altro raggio; quindi la media dellevelocita sul diametro sara uguale alla media calcolata su uno solo dei due raggi.I punti del raggio sono univocamente individuati dalla distanza t ∈ [0, r] dall’assecentrale che, guarda caso, e l’unica quantita che ci serve per calcolare la velocita.Quindi la media nel caso (b) e data dalla media integrale1

Media(b)(v) =1r

∫ r

0

v(t) dt =1r

∫ r

0

P

4ηl(r2 − t2) dt =

P

4ηlr

[r2

∫ r

0

dt−∫ r

0

t2 dt

]=

P

4ηlr

[r3 − r3

3

]=

P

6ηlr2 .

1 Oppure si poteva descrivere i punti dell’intero diametro permettendo a t di variareda −r a r, considerando cioe la distanza con segno dall’asse centrale, e calcolare la mediaintegrale di v(t) sull’intervallo [−r, r]; il risultato e identico.

288 Capitolo 6

Il calcolo della media nel caso (b) e lievemente piu complicato. Invece di farel’integrale su un segmento e poi dividere per la lunghezza del segmento, dobbiamofare l’integrale su un disco e poi dividere per l’area del disco. Ma cosa vuol dire farel’integrale della velocita su un disco? A ogni punto del disco D possiamo associarela velocita del sangue in quel punto, e costruire il grafico Γ della velocita sul disco,costituito dai punti (x, y, z) ∈ R3 tali che z sia la velocita del sangue passante peril punto (x, y) del disco. Allora l’integrale della velocita sul disco sara il volumedel sottografico; vedi la Fig. 6.6.

-1-0.5

0

0.5

1 -1

-0.5

0

0.5

1

00.20.40.60.81

1-0.5

0

0.5

Figura 6.6 Grafico della velocita.

Per calcolare questo volume, notiamo che la velocita e costante su ogni circonfe-renza di raggio t ∈ [0, r] fissato; quindi il pezzo di sottografico sopra una di questecirconferenze e un cilindro di base la circonferenza di raggio t e altezza v(t). Ora,come l’area del sottografico di una funzione di una variabile e uguale all’integraledelle lunghezze dei segmenti che stanno fra un punto dell’intervallo di base e ilgrafico, cosı il volume del nostro sottografico e l’integrale delle aree delle superficilaterali di questi cilindri al variare di t da 0 a r. Siccome l’area della superficielaterale del cilindro di raggio t e data da 2πtv(t), il volume del sottografico e∫ r

0

2πtv(t) dt = 2π∫ r

0

P

4ηlt(r2 − t2) dt =

πP

2ηl

[r2

∫ r

0

t dt−∫ r

0

t3 dt

]=πP

2ηl

[r4

2− r4

4

]=πP

8ηlr4 .

Quindi la media della velocita sul disco si ottiene dividendo questo volume perl’area del disco, che e πr2, e otteniamo

Media(a)(v) =P

8ηlr2 =

34

Media(b)(v) .