FONDAMENTI DELL’ ANALISI DEI SISTEMI TRIFASI

• Rappresentazione grafica di un sistema elettrico.

• Modelli matematici di primo livello del sistema elettrico:

Bipolodoppio bipolo ed n-bipolonodi

Rappresentazione grafica di un sistema elettrico.

Bear Valley

Mouse CityDuck City

BEAR VALLEY

DUCK CITY

MOUSE CITY

B

nB

BNB

B

nB

DB

7

L

LL

T

TC

TG

C

G

1

23

45

6

V1

V2 V3

I1I2

I3

Bear Valley

Duck City

Mouse City

VARIABILI DI INTERESSE NEI SISTEMI ELETTRICI

V1

IPOTESI SUI MODELLI DI PRIMO LIVELLO

• Legami lineari tra tensioni e correnti

• Modelli validi per l’analisi del funzionamento in regime sinusoidale costante o del funzionamento in condizioni dinamiche “lentamente variabili”

MODELLO DEL BIPOLO ATTIVO

I1

I2

I3

V1V2V3B

V

V

V

=

E

E

E

+

Z Z Z

Z Z Z

Z Z Z

I

I

I

1

2

3

1

2

3

11 12 13

21 22 23

31 32 33

1

2

3

V = E + Z If f f f

Z20

Z30

Z10

Zm23 Zm31

Zm12

Z0n

1

2

3

0

n

V2

V1

V3

I1

I3

I2

I1+ I2+ I3

V = Z I +Z I +Z I +Z I +I +I

V2 = Z I +Z I +Z I +Z I +I +I

V3 = Z I +Z I +Z I +Z I +I +I

1 10 1 m12 2 m313 0n 1 2 3

m12 1 20 2 m23 3 0n 1 2 3

m311 m23 2 30 3 0n 1 2 3

V

V

V

=

Z +Z Z +Z Z +Z

Z +Z Z +Z Z +Z

Z +Z Z +Z Z +Z

I

I

I

1

2

3

10 0n m12 0n m31 0n

m12 0n 20 0n m23 0n

m31 0n m23 0n 30 0n

1

2

3

If

Vf

Zf

Ef

MODELLO DEL n-BIPOLO

V1h

V3hV2

k I3k V2

hV1

k I3h

I1h

I2h

V3k

I2k

I1k

V

V

V

f1

fr

fn

f11

f1s

f1n

fr1

frs

frn

fn1

fns

fnn

f1

fs

fn

Z Z Z

Z Z Z

Z Z Z

I

I

I

If(i)If

(k)

Vf(k) Vf

(i)[zf]

MODELLO DEL DOPPIO BIPOLO(caso particolare del n-bipolo)

Ia1

Ia2

Ia3Va1Va2Va3

DB

Ip1

Ip2

Ip3

Vp3

Vp2Vp1

a3

a2

a1

p3

p2

p1

aa33

aa32

aa31

aa23

aa22

aa21

aa13

aa12

aa11

ap33

ap32

ap31

ap23

ap22

ap21

ap13

ap12

ap11

pa33

pa32

pa31

pa23

pa22

pa21

pa13

pa12

pa11

pp33

pp32

pp31

pp23

pp22

pp21

pp13

pp12

pp11

a3

a2

a1

p3

p2

p1

I

I

I

I

I

I

ZZZ

ZZZ

ZZZ

ZZZ

ZZZ

ZZZ

ZZZ

ZZZ

ZZZ

ZZZ

ZZZ

ZZZ

=

V

V

V

V

V

V

If(a)

Vf(a)

If(p)

Vf(p)

a a

f p a

f

a p f

p p f

ZZ

ZZ

Ia

Va

Ip

Vp

V

V =

Z Z

Z ZI

Ip

a

pp pa

ap aa

p

a

Descrizione mediante “impedenze a vuoto”

Descrizione mediante “ammettenze in cortocircuito”

I

I =

Y Y

Y YV

Vp

a

pp pa

ap aa

p

a

V

I =

A B

C D

V

Ip

p

a

a

Descrizione mediante “costanti di trasmissione”

La matrice :

a = A B

C D

viene chiamata“matrice di trasmissione”

IDENTIFICAZIONE DELLE COSTANTI DI TRASMISSIONE

• Prova a vuoto

• Prova in corto

circuito

PROVA A VUOTO

Ia0=

0Va

0Vp0

Ip0

A B

C D

A = V

V C =

I

V

p0

a0

p0

a0

PROVA IN CORTO CIRCUITO

VaCC= 0

B = V

I D =

I

I

pcc

acc

pcc

acc

IaCC

VpCC

IpCC

A B

C D

Relazioni tra le costanti di trasmissione, impedenze a vuoto e

ammettenze in cortocircuito

A = Z

Z = -

YY

B = Z -Z Zpp

Z =

1Y

C = 1

Z = Y -

Y Y

Y D = -

ZZ

= Y

Y

pp

ap

aa

appa

aa

ap pa

appa

aa pp

pa

aa

ap

pp

pa

RELAZIONE TRA LE COSTANTI DI TRASMISSIONE

det A B

C D = AD - BC = -

Y

Y = -

Z

Z pa

ap

pa

ap

Condizione di reciprocità

Ia

Vp Va=0=

Ip

Va Vp=0

Se :

Allora : Zap = Zpa e Yap = Ypa ;

AD - BC = -1

INVERSIONE DEL DOPPIO BIPOLO

V

I =

A B

C D

V

Ia

a

p

p

1

A B

C D =

1det a

D -B

-C A =

-D B

C -A

1

ove:

V

I =

A B

C D

V

Ip

p

a

a

SIMMETRIA DI UN DOPPIO BIPOLO

Un doppio bipolo si dice “simmetrico” se coincide col suo

inverso, ossia se:

A B

C D =

A B

C D =

-D B

C -A

1

ossia se:

A = - D

CONDIZIONI DI SIMMETRIA DI UN DOPPIO BIPOLO IN TERMINI DI IMPEDENZE A VUOTO

O DI AMMETTENZE IN CORTO CIRCUITO

A = - D

Yaa = Ypp

Zaa = Zpp

RETI EQUIVALENTI A TRE POLI DI UN DOPPIO BIPOLO

ALMENO SIMMETRICO O RECIPROCO

•Rete equivalente a “”

•Rete equivalente a “T”

RETE EQUIVALENTE A ““

Z*aa

Z*pa

Z*pp

p a

0

RELAZIONI TRA COSTANTI DI TRASMISSIONE E IMPEDENZE

DELL’EQUIVALENTE A “”

A = Z* +Z*

Z*

B = -Z*

D = -Z* +Z*

Z*

Z* = -B

Z* = B

1-A

Z* = B

1+D

aa pa

aa

pa

pp pa

pp

pa

aa

pp

RETE EQUIVALENTE A “T“

Za0Zp0

Z00

p a

0

RELAZIONI TRA COSTANTI DI TRASMISSIONE E IMPEDENZE

DELL’EQUIVALENTE A “T”

A = Z +Z

Z

C = 1

Z

D = -Z +Z

Z

Z = 1C

Z = -D-1

C

Z = A-1C

p0 00

00

00

a0 00

00

00

a0

p0

RIDUZIONE DI UN DOPPIO BIPOLO

Ic

VcVp

Ip

A B

C DZcV

a

Ia

Z = V

I =

-AZ +B-CZ +Dp

p

p

c

c

IMPEDENZA ITERATIVA DI UN DOPPIO BIPOLO

E’ l’impedenza che, collegata alla porta di arrivo riduce il bipolo ad una impedenza dello stesso valore.

CALCOLO DELL’IMPEDENZA ITERATIVA

Z = -AZ +B-CZ +Dit

it

it

Z =

- A+D A+D -4BC

2Cit 2

IMPEDENZA CARATTERISTICA

Nel caso di simmetria del doppio bipolo vale:

A + D = 0In tal caso l’impedenza iterativa si chiama:

“IMPEDENZA CARATTERISTICA”e vale:

Z = -BCc

MODELLO DEL NODO

I2a

I3a

I1b

I2b

I3b

I1c

I2c

I3c

I1a

V2a

V3a

V1b

V2b

V3b

V1c

V2c

V3c

V1a

V

V

V

=

V

V

V

=

V

V

V

I

I

I

+

I

I

I

+

I

I

I

=

0

0

0

1a

2a

3a

1b

2b

3b

1c

2c

3c

1a

2a

3a

1b

2b

3b

1c

2c

3c

Vb

Ib

Vc

Va

Ic

Ia

7

L

L

T

TC

T

G

C

G

1

23

45

6

IfVf

L